Vzorce a recepty nebeské mechaniky - Nebeská mechanikanebmech.astronomy.cz/vzorce.pdf · 1 Úvod...

Vzorce a recepty nebeské mechaniky

Verze 3.0

Petr Scheirich, 2004http://nebmech.astronomy.cz

Obsah

1 Úvod 1

2 Souřadnice na obloze 1

3 Pohyb po kuželosečce 4

4 Elipsa 6

5 Pohyb po elipse 7

6 Parabola 10

7 Pohyb po parabole 11

8 Hyperbola 13

9 Pohyb po hyperbole 14

10 Převod souřadnic na dráze na rovníkové či ekliptikální sou-řadnice 16

11 Problém 3 těles 18

12 Geografické a geocentrické souřadnice 19

1 Úvod

Tato brožurka nemá být učebnicí nebeské mechaniky. Její první verze vzniklav roce 2001 z autorovy potřeby vytvořit kompaktní seznam vzorců používa-ných (nebo použitelných) při výpočtech pohybů a poloh vesmírných těles,aby je nebylo nutné neustále hledat v nejrůznější literatuře, či dokonce znovuodvozovat.Od čtenáře se předpokládá, že význam pojmů, které se v ní vyskytují, ale-spoň zhruba zná. Všem začátečníkům před jejím používáním doporučuji sinastudovat stránky http://nebmech.astronomy.cz, kde je vše srozumitelněvysvětleno.

2 Souřadnice na obloze

Označení veličin:

α – rektascenze (v tomto odstavci vždy v hodinách),t – hodinový úhel (v hodinách),δ – deklinace,h – výška nad obzor,A – výška nad obzorem,φ – zeměpisná šířka,λ – zeměpisná délka,Sm – místní hvězdný čas,Sg – Greenwichský hvězdný čas,S0 – Greenwichský hvězdný čas v 0 h UT,JD – Juliánské datum v 0 h UT,Tu – čas uplynulý od standardní epochy J2000,0 (JD 2451545,0) vyjádřenýv juliánských stoletích,

k – poměr středního slunečního dne a středního hvězdného dne,xA, yA, zA – pravoúhlé azimutální souřadnice (osa x míří k jihu, osa z kzenitu),

xR, yR, zR – pravoúhlé rovníkové souřadnice (osa x míří k jarnímu bodu,osa z k sev. neb. pólu),

l, b – ekliptikální souřadnice (délka a šířka),xE , yE, zE – pravoúhlé ekliptikální souřadnice (osa x míří k jarnímu bodu,osa z k sev. pólu ekliptiky),

o – sklon ekliptiky k rovníku.

1

Převodní vztahy mezi veličinami:

Tu = (JD − 2451545, 0)/36525,k = 1, 002737909350795+ 5, 9006 · 10−11Tu − 5, 9 · 10−15T 2u , [6]

S0 = 24110, 54841 + 8640184, 812866Tu + 0, 093104T2

u − 6, 2 · 10−6T 3u , [6]

Sg = S0 + kUT,

Sm = S0 + kUT + λ/15.

Sm = α + t.

Obzorníkové souřadnice

xA = cosh cosA,

yA = cosh sinA,

zA = sinh.

h = arctan

zA√

x2A + y2A

,

xA > 0 : A = arctan(yA/xA)

xA < 0 : A = arctan(yA/xA) + 180,

xA = 0 a yA > 0 : A = 90,

xA = 0 a yA < 0 : A = 270.

Rovníkové souřadnice

xR = cos δ cos(15α),

yR = cos δ sin(15α),

zR = sin δ.

α, δ vypočteme z xR, yR a zR obdobně jako A, h z xA, yA, zA.

Obzorníkové ↔ rovníkové souřadnice

xA = xR cosH sinφ+ yR sinH sin φ − zR cosφ,

yA = xR sinH − yR cosH,

2

zA = xR cosH cosφ+ yR sinH cosφ+ zR sinφ,

xR = xA cosH sinφ+ yA sinH + zA cosH cos φ,

yR = xA sinH sinφ − yA cosH + zA sinH cos φ,

zR = −xA cosφ+ zA sinφ,

kde H = 15Sm.

Ekliptikální souřadnice

xE = cos b cos l,

yE = cos b sin l,

zE = sin b.

l, b vypočteme z xE , yE a zE obdobně jako A, h z xA, yA, zA.

Ekliptikální ↔ rovníkové souřadnice

xR = xE ,

yR = yE cos o − zE sin o,

zR = yE sin o+ zE cos o,

xE = xR,

yE = yR cos o+ zR sin o,

zE = zR cos o − yR sin o,

kde o = 2326′21, 448′′ − 46, 8150′′Tu − 0, 00059′′T 2u + 0, 001813′′T 3u= 23, 43929111 − 0, 013004166Tu − 0, 1638 · 10−6T 2u + 0, 5036 · 10−6T 3u [6]

3

3 Pohyb po kuželosečce


v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danémubodu),

u – úhlová rychlost (= dv/dt),e – numerická výstřednost dráhy (excentricita),p – parametr dráhy,G – univerzální gravitační konstanta,MS – hmotnost soustavy,M⊙ – hmotnost Slunce,r – vzdálenost od centra (ohniska),V – rychlost na dráze,γ – úhel směru rychlosti V (měřený ve stejném smyslu jako pravá anomálie

v).x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící kpericentru,

Vx, Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y,Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče),Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální),E – celková energie soustavy,

4

M – celkový moment hybnosti soustavy.

Velikosti a jednotky konstant:

G = 6, 672 · 10−11 Nm2kg−2 [kg−1m3s−2] [1]Sluneční soustava:

MS = 1, 9891 · 1030 kg,GMS = 1, 3271244 · 1020 m3s−2,= 2, 959122083 · 10−4 AU3d−2,

G = 2, 959122083 · 10−4 M−1⊙

AU3d−2,

GMZ = 398600, 44 · 109 m3s−2,GMM = 4902, 8 · 109 m3s−2,kde MZ je hmotnost Země a MM je hmotnost Měsíce.


Veškeré vzorce v této a následujících kapitolách věnovaných pohybu v policentrální síly platí pro souřadný systém s počátkem v jednom z těles. Chceme-li spočítané veličiny (s centrem v tělesu A) převést do těžišťového systému,transformujeme je podle vzorců:Pro délkové veličiny a rychlosti: a′ = a · mA/(mA +mB);pro úhly: v′ = v.(Čárkované veličiny jsou v těžišťovém systému)

r =p

1 + e cos v(polární rovnice kuželosečky).

x = r cos v =p − r

e,

y = r sin v =

√

r2e2 − (p − r)2

e.

r2u =√

GMSp (Keplerův zákon ploch),

V =

√

GMS

p(1 + 2e cos v + e2) =

√

GMS

p(2p/r − 1 + e2),

γ = arctan(

−e+ cos v

sin v

)

+ 180 pro v ∈ (0, 180),

5

γ = arctan(

−e+ cos v

sin v

)

pro v ∈ (180, 360),

Vr =

√

GMS

pe sin v =

√

GMS

p

√

e2 − 1 + 2pr − p2

r2= −eVx,

Vt =

√

GMS

p(1 + e cos v) =

√GMSp

r=

√

GMS

p(1− e2) + eVy,

Vx = −√

GMS

psin v = −

√

GMS

p

√

1−(

p − r

re

)2

= −1eVr,

Vy =

√

GMS

p(e+ cos v) =

√

GMS

p

re2 + p − r

re=1eVt −

√

GMS

p

1− e2

e.

E = GmAmBe2 − 12p

,

M2 =m2Am2B

MS

Gp.

4 Elipsa


a – velká (hlavní) poloosa,e – numerická výstřednost (excentricita),b – malá (vedlejší) poloosa,

6

p – parametr,q – vzdálenost v pericentru,Q – vzdálenost v apocentru,r – vzdálenost od ohniska,v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danémubodu).


r =p

1 + e cos v(polární rovnice elipsy).

e =

√

1− b2

a2=√

1− p

a=

p − r

r cos v= 1− q

a=

p

q− 1 = Q

a− 1,

a =b2

p=

q

1− e=

q +Q

2=

Q

1 + e=

p

1− e2=

q2

2q − p,

p =b2

a= a(1− e2) = q(1 + e) = Q(1− e) = 2q − q2

a= r(1 + e cos v),

q = a(1− e) =p

1 + e,

Q = a(1 + e) =p

1− e.

5 Pohyb po elipse

(Viz obr. v sekci 3)


M – střední anomálie,E – excentrická anomálie,v – pravá anomálie,a – velká poloosa dráhy,e – numerická výstřednost (excentricita) dráhy,n – střední denní pohyb,G – univerzální gravitační konstanta,k – Gaussova gravitační konstanta (pro úhly vyjádřené v radiánech),kS – Gaussova gravitační konstanta pro úhly vyjádřené ve stupních,MS – hmotnost soustavy,r – vzdálenost od centra (ohniska),

7

V – rychlost na dráze,x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící kpericentru,

Vx, Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y,Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče),Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální).Vp – rychlost v pericentru,Va – rychlost v apocentru,T – oběžná doba,t – čas,T0 – okamžik průchodu pericentrem.

Velikosti a jednotky konstant:

Sluneční soustava:

k=0,01720209895GMS = k2 AU3d−2,kS = k180/π = 0.985607614.

Ostatní viz kapitola Pohyb po kuželosečce.


T = 2π

√

a3

GMS,

k =√

GMS,

n = ka−3/2 [rad] = kSa−3/2 [],

M = n(t − T0),

M0 = n(t0 − T0),

M = n(t − t0) +M0,

E − e sinE =M (Keplerova rovnice, pro M, E v rad.),

E − (180/π)e sinE =M (pro M, E ve stupních),

cos v =cosE − e

1− e cosE, sin v =

√1− e2 sinE

1− e cosE,

cosE =e+ cos ve cos v + 1

, sinE =

√1− e2 sin v

e cos v + 1,

8

tan v2=

√

1 + e

1− etan E

2.

r = a(1− e cosE),

x = r cos v = a(cosE − e),

y = r sin v = a√1− e2 sinE.

V =

√

GMS

(2

r− 1

a

)

,

a =rGMS

2GMS − V 2r,

Vp =

√

GMS

a

1 + e

1− e,

Va =

√

GMS

a

1− e

1 + e,

Vx = −√

GMS

a

sinE

1− e cosE= −

√

GMS

a(1− e2)sin v,

Vy =

√

GMS(1− e2)a

cosE1− e cosE

=

√

GMS

a(1− e2)(e+ cos v),

Vr =

√

GMS

a(1− e2)e sin v =

√

√

√

√

GMS

a

(

2ar − a2(1− e2)

r2− 1

)

= −eVx,

Vt =

√

GMS

a(1− e2)(1 + e cos v) =

√

GMSa(1− e2)

r=

√

GMS(1− e2)

a+ eVy.

9

6 Parabola


p – parametr,q – vzdálenost v pericentru,e = 1 – numerická výstřednost (excentricita),r – vzdálenost od ohniska,v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danémubodu).


r =p

1 + e cos v=

p

1 + cos v=

2q

1 + cos v=

q

cos2 12v,

q =p

2,

cos v =2qr

− 1.

10

7 Pohyb po parabole

(Viz obr. v sekci 3)


B, W – analogie střední anomálie,v – pravá anomálie,G – univerzální gravitační konstanta,k – Gaussova gravitační konstanta (pro úhly vyjádřené v radiánech),kS – Gaussova gravitační konstanta pro úhly vyjádřené ve stupních,MS – hmotnost soustavy,r – vzdálenost od centra (ohniska),V – rychlost na dráze,x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící kpericentru,

Vx, Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y,Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče),Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální).Vp – rychlost v pericentru,T – oběžná doba,t – čas,T0 – okamžik průchodu pericentrem.


B = q−3/2(t − T0),

tanv

2+1

3tan3

(

v

2

)

=

√

GMS

2B (Barkerova rovnice).

Řešení Barkerovy rovnice:

tan v2= 2 cot γ =

1

tan γ2

− tan γ2,

kde

tan γ2= 3

√

tan β2,

tan β =2

3B

√

2

GMS

.

11

Některá literatura (např. [?]) definuje analogii střední anomálie (i Barkerovurovnici) mírně odlišně, vše se ale liší pouze o konstanty:

W =3 ·√

GMS/2

q3/2(t − T0),

3 tanv

2+ tan3

(

v

2

)

=W.

Řešení Barkerovy rovnice:

tan v2=

2

tan 2γ,

kde

tan γ = 3

√

tan β2,

tan β =2

W.

Další možností řešení (viz. [9]) je toto:

tan v2= Y − 1/Y,

kde

Y =3

√

G+√

G2 + 1,

G = W/2.

x = r cos v = q(1− tan2 v2) = 2q − r,

y = r sin v = 2q tan v2= 2

√

q(r − q).

V =

√

2GMS

r=

√

GMS

q(1 + cos v),

Vx = −Vr = −√

2GMS(r − q)

r= −

√

GMS

2qsin v,

Vy = Vt =

√2GMSq

r=

√

GMS

2q(1 + cos v),

Vp =

√

2GMS

q.

12

8 Hyperbola


a – hlavní poloosa,e – numerická výstřednost (excentricita),b – vedlejší poloosa,p – parametr,q – vzdálenost v pericentru,r – vzdálenost od ohniska,v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danémubodu),

vm – maximální/minimální hodnota pravé anomálie,α – odchylka asymptot.


r =p

1 + e cos v(polární rovnice hyperboly).

e =

√

1 +b2

a2=√

1 +p

a=

p − r

r cos v=

q

a+ 1 =

p

q− 1 =

1

cos α2

=−1cos vm

13

a =b2

p=

q

e − 1 =p

e2 − 1 =q2

p − 2q

p =b2

a= a(e2 − 1) = q(e+ 1) =

q2

a+ 2q = r(1 + e cos v)

q = a(e − 1) =p

e+ 1

α + |2vm| = 360

e cos α2= 1

cosα =2

e2− 1

e cos vm = −1cos vm = − cos α

2

9 Pohyb po hyperbole

(Viz obr. v sekcích 3 a 8)


M – analogie střední anomálie,H – analogie excentrické anomálie,v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danémubodu),

a – velká poloosa dráhy,e – numerická výstřednost (excentricita),n – analogie středního denního pohybu,G – univerzální gravitační konstanta,k – Gaussova gravitační konstanta,MS - hmotnost soustavy,r – vzdálenost od centra (ohniska),V – rychlost na dráze,x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící kpericentru,

Vx, Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y,Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče),Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální).Vp – rychlost v pericentru,

14

V∞ – rychlost v nekonečnu (příletová nebo odletová),t – čas,T0 – okamžik průchodu pericentrem,2θ – úhel odchýlení dráhy (odchylka vektorů příletové a odletové rychlosti),vm – maximální/minimální hodnota pravé anomálie,α – odchylka asymptot,d – impact parameter – vzdálenost, ve které by těleso prolétlo okolo centra,kdyby se pohybovalo po přímce bez gravitace.


k =√

GMS,

n = ka−3/2 rad,

M = n(t − T0),

M0 = n(t0 − T0),

M = n(t − t0) +M0,

e sinhH − H =M.

cos v =coshH − e

1− e coshH, sin v =

√e2 − 1 sinhH

e coshH − 1 ,

coshH =e+ cos v

e cos v + 1, sinhH =

sin v√

e2 − 1e cos v + 1

,

tan v2=

√

1 + e

1− etanh H

2.

r =q

1− e(1− e coshH),

x = r cos v =q

1− e(e − coshH),

y = r sin v = q

√

e+ 1

e − 1 sinhH,

V =

√

GMS

(2

r+1

a

)

=

√

√

√

√GMS

(

2

r+

e − 1q

)

,

a =rGMS

−2GMS + V 2r,

15

Vp =

√

GMSe+ 1

q,

Vx = −√

GMS(e − 1)q

sinhH

e coshH − 1 = −√

GMS

q(e+ 1)sin v,

Vy =

√

GMS(1 + e)

q(1− e)

coshH

e coshH − 1 =

√

GMS

q(e+ 1)(e+ cos v),

Vr =

√

GMS

q(e+ 1)e sin v =

√

√

√

√GMS

(

e − 1q+2r − q(e+ 1)

r2

)

= −eVx,

Vt =

√

GMS

q(e+ 1)(1 + e cos v) =

√

GMSq(e+ 1)

r=

√

GMS(1 + e)q

(1− e) + eVy.

θ = 90 − α2,

vm = 90 + θ.

e sin θ = 1,

d =GMS

V 2∞

cot θ =q

e − 1 cot θ = q

√

e+ 1

e − 1 ,

V∞ =

√

GMS(e − 1)q

,

q = −GMS

V 2∞

+GMS

√

√

√

√

1

V 4∞

+

(

d

GMS

)2

,

e =

√

√

√

√1 +

(

dV 2∞

GMS

)2

.

10 Převod souřadnic na dráze na rovníkovéči ekliptikální souřadnice


x, y – souřadnice tělesa na dráze vyjadřéné v soustavě s počátkem v cent-rálním tělese a osou X mířící k pericentru (jejich výpočet viz sekce 5, 7 a9),

16

Xr, Yr, Zr – souřadnice tělesa v pravoúhlé rovníkové soustavě. Počátek sou-stavy je v centrálním tělese, osa X míří k jarnímu bodu, rovina XY jerovnoběžná s rovinou zemského rovníku,

Xe, Ye, Ze – souřadnice tělesa v pravoúhlé ekliptikální soustavě. Počátek sou-stavy je v centrálním tělese, osa X míří k jarnímu bodu, rovina XY jerovnoběžná s rovinou ekliptiky,

Pr1, Pr2, Pr3, Qr1, Qr2, Qr3 – směrové kosiny dráhy v rovníkové soustavě,Pe1, Pe2, Pe3, Qe1, Qe2, Qe3 – směrové kosiny dráhy v rovníkové soustavě,i – sklon dráhy k ekliptice,ω – argument délky perihelia dráhy,Ω – délka výstupného uzlu dráhy,o – sklon ekliptiky k rovníku (viz sekce 2).

Význam veličin:

Pi jsou složky jednotkového vektoru Pmířícího od centra do směru pericentra(směr osy x souřadnic na dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkovésouřadnicové soustavě.

Qi jsou složky vektoru kolmého naP a ležícího na dráze (směr osy y souřadnicna dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkové souřadnicové soustavě.


Pr1 = A1 cosω + A2 sinω,

Pr2 = B1 cosω +B2 sinω,

Pr3 = C1 cosω + C2 sinω,

Qr1 = A2 cosω − A1 sinω,

Qr2 = B2 cosω − B1 sinω,

17

Qr3 = C2 cosω − C1 sinω,

kde

A1 = cosΩ, A2 = − cos i sin Ω,

B1 = sinΩ cos o, B2 = cos i cosΩ cos o − sin i sin o,

C1 = sin Ω sin o, C2 = cos i cosΩ sin o+ sin i cos o.

Pe1 = cosω cos Ω− sinω sinΩ cos i,

Pe2 = cosω sin Ω + sinω cosΩ cos i,

Pe3 = sinω sin i,

Qe1 = − sinω cosΩ− cosω sinΩ cos i,Qe2 = − sinω sinΩ + cosω cosΩ cos i,

Qe3 = cosω sin i.

Xr = Pr1x+Qr1y,

Yr = Pr2x+Qr2y,

Zr = Pr3x+Qr3y,

Xe = Pe1x+Qe1y,

Ye = Pe2x+Qe2y,

Ze = Pe3x+Qe3y.

11 Problém 3 těles


Rp – sféra gravitačního vlivu planety (vůči Slunci),Mp – hmotnost planety,D – vzdálenost mezi Sluncem a planetou,M⊙ – hmotnost Slunce.

18


Rp = D

(

Mp

M⊙

)2/5

.

12 Geografické a geocentrické souřadnice

(pro Zemi jako rotační elipsoid) [7], [8]


ϕ – geografická šířka,h – nadmořská výška,ϕ′ – geocentrická šířka,ρ – vzdálenost od středu Země,a – rovníkový poloměr Země,b – polární poloměr Země,x, z – pravoúhlé geocentrické souřadnice,f – zploštění zemského elipsoidu,e – excentricita zemského elipsoidu.

Velikosti konstant:

a = 6 378 137 m (WGS 84), [8]

19

f = 1/298.257 223 563 (WGS 84),

b = 6 356752 m.


b = a(1− f),

f =a − b

a,

e2 = 2f − f 2,

x = ρ cosϕ′ = (aC + h) cosϕ,

z = ρ sinϕ′ = (aS + h) sinϕ,

kde

C =1

√

cos2 ϕ+ (1− f)2 sin2 ϕ,

S = (1− f)2C.

Geografické (ϕ, h) → geocentrické (ϕ′, ρ) souřadnice:

Pro h = 0 :

tanϕ′ = (b/a)2 tanϕ.

Pro h 6= 0 :tanu = (b/a) tanϕ,

s =b sin u+ h sinϕ

a,

c = cosu+h cosϕ

a,

tanϕ′ =s

c=

b sin u+ h sinϕ

a cosu+ h cosϕ,

ρ = a√

s2 + c2.

Geocentrické (ϕ′, ρ) → geografické (ϕ, h) souřadnice:

Z ρ a ϕ′ spočteme x, z,

ϕ počítáme iterační metodou:

20

ϕ1 = arctan(z/x),

ϕn+1 = arctan

(

z + aCe2 sinϕn

x

)

,

kde

C =1

√

1− e2 sin2 ϕn

.

Proces opakujeme, dokud se hodnoty ϕn+1 a ϕn od sebe neliší méně, než jepožadovaná přesnost.Pak

h =x

cosϕ− aC.

Reference

[1] Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, SPN,Praha, 1988

[2] Astronomy on the Personal Computer, O. Montenbruck, T. Pfleger,Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1989

[3] Základy nebeské mechaniky, P. Andrle, Academia, Praha, 1971

[4] Malá encyklopedie kosmonautiky, P. Lála, A. Vítek, Mladá fronta,Praha, 1982

[5] Základy astronomie a astrofyziky, V. Vanýsek, Academia, Praha, 1980

[6] Astronomická příručka, M. Wolf a kol., Academia, Praha, 1992

[7] Astronomické algoritmy pro kalkulátory, Zdeněk Pokorný, Hvězdárna aplanetárium hl. m. Prahy

[8] The Astronomical Almanac for the Year 1995, US Naval Observatory,Royal Greenwich Observatory, 1994

[9] Astronomical algorithms, Jean Meeus, Willmann-Bell, Inc., Richmond,1991

21

Date post:	15-Dec-2018
Category:	Documents
Upload:	duongkhuong
View:	229 times
Download:	0 times

Vzorce a recepty nebeské mechaniky - Nebeská mechanikanebmech.astronomy.cz/vzorce.pdf · 1 Úvod...

Documents