Základy mechaniky, 6. přednáškaStatika soustavy těles.

Obsah přednášky :

uvolňování soustavy těles,sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí,statická určitost, neurčitost a pohyblivost,prut a jeho vlastnosti,prutové soustavy

Doba studia :

asi 1,5 hodiny

Cíl přednášky :

seznámit studenty se základním metodou řešení statikysoustav těles - metodou uvolňování;její aplikace na soustavy těles a na prutové soustavy

Základy mechaniky, 6. přednáškaNěkolik těles, spojených navzájem vazbami, nazýváme v mechanice soustavou tělesnebo též (jedná-li se o pohyblivou soustavu) mechanismem.Ve statice se samozřejmě budeme zabývat výhradně nehybnými soustavami těles,zatíženými silami (momenty nebo spojitým zatížením).

V mechanice, zejména pak v kinematice,jednotlivá tělesa, tvořící soustavu (členysoustavy) číslujeme.Číslo 1 přisuzujeme obvykle rámu.Rám je nehybné těleso, pevně spojené se Zemí.Základní úlohou statiky soustavy tělesje určení vazbových sil (momentů),tedy sil (momentů), přenášených vazbami.Úloha je velmi podobná, ne-li totožnás úlohou řešení reakcí v uložení jednoho tělesa.

Základní metodou je metoda uvolňování. Uvolnit tělesoznamená pomyslně odstranit vazby a zavést vazbové účinky.Postup demonstrujeme na příkladu.

3

2

1

C

B A

rám

F1 F2

F3 F4

Dvě tělesa charakteru tyče AB (těleso 2) a BC (těleso 3)jsou vázána jak k rámu (body A a C) tak mezi sebounavzájem (bod B) kloubovými vazbami.Tyč 2 je zatížena silami F1 a F2, tyč 3 pak silami F3 a F4.

Základy mechaniky, 6. přednáška

2

B A

3

C

RCx

RBy

RBx

RAy

RAx RBx

RBy

RCy

F4 F3

F2 F1

B

Kromě vnějšího zatížení F1 ... F4 působí na tělesa 2 a 3 v kloubech A, B a C vazbové sílyRAx, RAy, RBx, RBy, RCx a RCy. Síly RAx, RAy, RCx a RCy jsou reakce od rámu.Síly RBx a RBy, jimiž na sebe navzájem působící na tělesa 2 a 3 v kloubu B,jsou podle zákona akce a reakce stejně velké, navzájem opačně orientované.

Vzhledem k uloženíse obě tělesanemohou pohybovat.Z toho je zřejmé,že silové soustavy,působící na obě tělesa,jsou v rovnováze.Pro každé těleso(každou silovou soustavu)můžeme sestavittři rovnice rovnováhy.

0cRbFaFM

0RFFRF

0RFFRF

Byy2y1Ai

Byy2y1Ayyi

Bxx2x1Axxi

=⋅−⋅+⋅=

=+−−=

=−−+=

∑∑∑

0iFhFgF

fFeRdRM

0RFFRF

0RFFRF

y4x4y3

x3ByBxCi

Cyy4y3Byyi

Cxx4x3Bxxi

=⋅+⋅−⋅+

+⋅+⋅+⋅=

=−++=

=−−+=

∑∑∑

Zde F1x, F1y, F2x, F2y, F3x, F3y, F4x a F4yjsou vodorovné a svislé složky působících sil,a, b, c, d, e, f, g, h a i jsou ramena,na nichž působí jak akční, tak reakční sílyvůči zvoleným momentovým bodům (A a C).

Z této soustavy šesti rovnic není již problém vyřešit šest neznámých RAx, RAy, RBx, RBy, RCx a RCy.Celkové reakce pak jsou : 2

Ay2

AxA RRR += 2By

2BxB RRR += 2

Cy2

CxC RRR +=

Tento postup použijeme vždy při řešení vazbových sil na soustavě těles.Jednotlivé konkrétní příklady se budou lišit jednak rozsahem (větší počet těles, větší počet sil),jednak použitými vazbami.V této souvislosti je třeba připomenout vlastnosti vazeb z hlediska přenosu sil,tak jak byly popsány na 4. přednášce.Pro demonstraci uvedeme příklad, dosti podobný předchozímu,avšak místo kloubové vazby mezi oběma tělesy je použitá vazba posuvná.

Základy mechaniky, 6. přednáška

3

2

1 C

A

rám

B

Základy mechaniky, 6. přednáška

2

C

A B

RCx

MB

RBy

RAy

RAx

RCy

F

RBy

MB

B

Kloubové vazby těles 2 a 3 vůči rámupřenáší dvě složky síly, nepřenáší moment.Posuvná vazba mezi tělesy 2 a 3 přenáší pouze sílu,kolmou k posuvu, přenáší však rovněž moment.

Podobně jako v předchozím příkladě jsouRAx, RAy, RCx a RCy reakce od rámu,RBy a MB je síla a moment, jimiž na sebe působítělesa 2 a 3 navzájem.Jsou stejně velké, opačně orientované.

Podobně jako v předchozím příkladě sestavímešest rovnic rovnováhy (po třech pro každé těleso- pro každou silovou soustavu).Z těchto rovnic vypočteme šest neznámých vazbových sil,uvedených v předchozím odstavci(přesněji pět vazbových sil a vazbový moment).

Základy mechaniky, 6. přednáškaSoustava těles může být topologicky složitější, zvláště je-li tvořena větším počtem těles.

Při uvolňování soustavy těles mohou nastat tři, kvalitativně odlišné situace.

Počet neznámých vazbových sil / momentůje roven počtu rovnic rovnováhy.

Soustava těles je nehybná, staticky určitá.Z rovnic rovnováhy přímo vypočteme vazbové síly (momenty).

9 ro

vnic

rovn

ováh

y,

9 va

zbov

ých

sil (

8 si

l a 1

mom

ent).

3

2

1

rám

4

pevný kloubpevný kloubposuvná vazba

posuvný kloubpevný kloub

Základy mechaniky, 6. přednáškaSoustava těles může být topologicky složitější, zvláště je-li tvořena větším počtem těles.

Při uvolňování soustavy těles mohou nastat tři, kvalitativně odlišné situace.

Počet neznámých vazbových sil / momentůje větší než počet rovnic rovnováhy.

Soustava těles je nehybná, staticky neurčitá.Abychom mohli vypočíst vazbové síly (momenty), musíme k rovnicím rovnováhypřidat chybějící rovnici (rovnice) - deformační podmínky.Např. posunutí bodu, v němž je kloubová vazba k rámu, je nulové.

9 ro

vnic

rovn

ováh

y,

10 v

azbo

vých

sil (

9 si

l a 1

mom

ent).

3

2

1

rám

4

pevný kloubpevný kloubposuvná vazba

pevný kloubpevný kloub

Základy mechaniky, 6. přednáškaSoustava těles může být topologicky složitější, zvláště je-li tvořena větším počtem těles.

Při uvolňování soustavy těles mohou nastat tři, kvalitativně odlišné situace.

Počet neznámých vazbových sil / momentůje menší než počet rovnic rovnováhy.

Soustava těles je pohyblivá.Rovnice rovnováhy nemohou být všechny splněny. Úlohu nelze řešit na poli statiky.Soustava těles se bude pohybovat a její pohyb (včetně vazbových sil / momentů) je třeba řešitz pohybových rovnic. Tím se však dostáváme na pole dynamiky.

9 ro

vnic

rovn

ováh

y,

8 va

zbov

ých

sil (

7 si

l a 1

mom

ent).

pohyb

pohyb pohyb

1

rám

3

2

4

pevný kloubpevný kloubposuvná vazba

posuvný kloubposuvný kloub

Základy mechaniky, 6. přednáškaNa tomto místě je třeba definovat zvláštní druh tělesa, jež budeme nazývat prutem.Prut je těleso :- jehož příčné rozměry jsou mnohokrát menší než jeho délka(podobně jako nosník);

- jež je k ostatním tělesům vázáno kloubovými vazbami;- jež není zatíženo jinak, než vazbovými silami,přenášenými kloubovými vazbami.

prut

RBy

A

B

RBx

RAy

RAx

a

b

Na uvolněný prut působí v kloubech A a B vazbové síly RAx, RAy, RBx a RBy.Ze silových rovnic rovnováhy vyplývá :

BxAx RR = ByAy RR =Momentové rovnice rovnováhy k bodu B resp. k bodu Aurčují poměr vodorovné a svislé složky vazbových sil,přenášených klouby A a B :

aRbR AyAx ⋅=⋅ aRbR ByBx ⋅=⋅

ab

RR

RR

Bx

By

Ax

Ay ==

Jak je zřejmé, oba klouby (A i B) přenášejí stejně velkouvazbovou sílu RA=RB, jež má směr osy prutu(spojnice bodů A a B).

Prut přenáší sílu, jež má směr osy prutu.

Základy mechaniky, 6. přednáškaTuto sílu budeme dále nazývat osovou silou.Srovnáme-li namáhání prutu s vnitřními statickými účinky nosníku,pak osová síla je normálovou silou a namáhá prut na tah nebo tlak.Namáhání posouvající silou a ohybovým momentem u prutu odpadá.Tato skutečnost výrazně zjednodušuje statické řešení soustav těles, jež obsahují pruty.

2

1

rám

3

prut

A

C

B D

Nosník 2 soustavy je v bodě A kloubově vázán k rámu, v bodě B je pak podepřen prutem 3.

Základy mechaniky, 6. přednáška

2A B DRAx

RAy RB

Nosník 2 soustavy je v bodě A kloubově vázán k rámu, v bodě B je pak podepřen prutem 3.

Pro statické řešení nám zcela stačí uvolnit nosník 2.Víme, že prut 3 na nosník působí silou RB, jež má směr osy prutu(spojnice BC), má tedy známý směr.

Stačí tedy sestavit tři rovnice rovnováhy o třech neznámých RAx, RAy a RB.V momentové rovnici k bodu A bude dokonce jen jedna jediná neznámá - osová síla v prutu RB.

Tuto sílu budeme dále nazývat osovou silou.Srovnáme-li namáhání prutu s vnitřními statickými účinky nosníku,pak osová síla je normálovou silou a namáhá prut na tah nebo tlak.Namáhání posouvající silou a ohybovým momentem u prutu odpadá.Tato skutečnost výrazně zjednodušuje statické řešení soustav těles, jež obsahují pruty.

Základy mechaniky, 6. přednáškaPrutová soustava je soustava, tvořená výhradně pruty,- jež jsou k ostatním prutům vázány výhradně kloubovými vazbami;- jenž jsou zatíženy výhradně ve styčnících (kloubová spojení jednotlivých prutů).

G

F

E

D

C

B

A

1 3

2

4

5

6

7

8

9

10

11prut

styčník

FB FFFD

FC FE

Kloubové vazby mezi jednotlivými pruty nazýváme styčníky (stýkají se v nich jednotlivé pruty).Styčníky jsou na obrázku označeny písmeny A, B, ..., G.V každém styčníku se může stýkat několik prutů.Pruty jsou označeny čísly 1, 2, ..., 11.Ve styčnících působí zatěžující síly FB, FC, ..., FF.

Předmětem řešení statiky prutové soustavy je zjištění velikosti osových sil v prutech.Označíme je S1, S2, ..., S11. Pruty jsou těmito osovými silami namáhány na tah nebo tlak.Osové síly mají směr prutů, jejich směr je tedy dán geometrií prutové soustavy.

Základy mechaniky, 6. přednáškaNež provedeme řešení osových sil, vypočteme reakce v uložení soustavy.To provedeme způsobem, popsaným na 4. přednášce.Při tom si uvědomíme, že na prutovou soustavu můžeme pohlížet jako na jedno těleso,neboť geometrie soustavy je jednoznačně dána délkami prutů.

G A

FB FF FD

FC FE RAx RAy RG

Jak však uvidíme dále, tento předběžný výpočet reakcí není nezbytný.Jde jen o možnost, nikoliv nutnost.

0M

0F

0F

i

iy

ix

=

=

=

∑∑∑

?

??

=

==

G

Ay

Ax

R

RR

⇒

Základy mechaniky, 6. přednáškaSeznámíme se se dvěma metodami řešení osových sil :- metoda styčníková (již lze považovat za základní metodu),- metoda průsečná (lze ji považovat za doplňkovou metodu).

G

F

E

D

C

B

A

FB FF

FC FE RAx RAy RG

FD

S8 S7 S5

γ δ S4 S4 S1

S1

S2 S2

S3

S3

S5 S6 S6

S7

S8

S9

S9

S10 S10

S11

S11 β

δ γ β α

α ε

ε

φ

φ

Styčníková metoda spočívá v uvolnění jednotlivých styčníků.Na styčníky působí tři druhy sil : vnější zatížení - síly FB, FC, ..., FF, reakce RAx, RAy a RGa konečně právě osové síly S1, S2, ..., S11 (dvě, stejně velké, opačně orientované osové síly Sipůsobí na dva styčníky, které prut spojuje).Tyto síly, působící na styčník, tvoří rovinnou silovou soustavu se společným působištěm.Rovnováhu této silové soustavy vyjádříme dvěma rovnicemi rovnováhy.

A

RAx RAy

S1

S2

α D FD

S8 S7 S5

γ δ S4

Např. na styčník Apůsobí reakce RAx a RAya osové síly S1 a S2.Rovnice rovnováhy jsou :

α⋅+=

+α⋅+=

∑∑

sin

cos

1Ayyi

21Axxi

SRF

SSRF

Na styčník D působísíla FD (její složky jsou FDx a FDy)a osové síly S4, S5, S7 a S8.Rovnice rovnováhy jsou :

δ⋅+γ⋅+=

−δ⋅−γ⋅++=

∑∑

sinsin

coscos

75Dyyi

8754Dxxi

SSFF

SSSSFF

Základy mechaniky, 6. přednáškaSeznámíme se se dvěma metodami řešení osových sil :- metoda styčníková (jež lze považovat za základní metodu),- metoda průsečná (lze ji považovat za doplňkovou metodu).

G

F

E

D

C

B

A

FB FF

FC FE RAx RAy RG

FD

S8 S7 S5

γ δ S4 S4 S1

S1

S2 S2

S3

S3

S5 S6 S6

S7

S8

S9

S9

S10 S10

S11

S11 β

δ γ β α

α ε

ε

φ

φ

Pro každý styčník sestavíme dvě rovnice rovnováhy. V takto vzniklé soustavě rovnicbudou neznámé jednak hledané osové síly S1, S2, ..., S11, jednak reakce v uložení RAx, RAy a RG.V uvedeném příkladu, kde je 7 styčníků, sestavíme tedy 14 rovnic, v nichž bude 14 neznámých- 11 osových sil a 3 reakce v uložení.

Jak je zřejmé, tyto reakce není nutné vypočíst předem z rovnováhy na soustavě jako celku.Mohou být vyřešeny současně s osovými silami z jedné soustavy rovnic.

Součástí řešení je znaménková dohoda. Tahové síly pokládáme za kladné, tlakové za záporné.Tahové síly pak působí na styčníky směrem ze styčníku ven, tlakové naopak do styčníku.

tah tlak+ -

Základy mechaniky, 6. přednáškaPrůsečná metoda umožňuje vypočíst pouze některé z osových sil, nikoliv všechny.Proto ji lze považovat za doplňkovou metodu. Spočívá v rozdělení prutové soustavy na dvědílčí pod-soustavy pomyslným přerušení tří prutů, jež nahradíme příslušnými osovými silami.

G

F

E

D

C

B

A

1 3

2

4

5

6

7

8

9

10

11

FB FFFD

FC FE

G

F

E

D

C

B

A

FB FF

FC FERAx

RAy RG

FD

S5

γS4S4

S5S6S6γ

Na takto pomyslněoddělené dílčí pod-soustavy prutů jižpohlížíme jakona tuhá tělesa.

Soustavy sil, působící na obě, zdánlivěizolovaná tělesa, jsou v rovnováze.Protože se jedná o rovinné silové soustavys různým působištěm, můžeme sestavitpro každou soustavu tři rovnice rovnováhy.

0M

0F

0F

i

yi

xi

=

=

=

∑∑∑

0M

0F

0F

i

yi

xi

=

=

=

∑∑∑ Z jedné soustavy rovnic vypočteme

tři neznámé osové síly (v uvedenémpříkladu to jsou síly S4, S5 a S6).Druhou soustavu rovnicmůžeme použít pro kontrolu.

Základy mechaniky, 6. přednáška

Obsah přednášky :

uvolňování soustavy těles,sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí,statická určitost, neurčitost a pohyblivost,prut a jeho vlastnosti,prutové soustavy