Mechanika tekutinz

ac• tekutinap 0p

bpii 0p

0ij• smyková napětí jsou nulová

x

ysmyková napětí jsou nulová

Mechanika tekutinz

zz

• tekutinap 0p

ac'yy yy

'xx

pii 0p

0ij• smyková napětí jsou nulová

b

xx 'zzsmyková napětí jsou nulová

x

y

id ál í k li tl čit l á ( k t )• ideální kapalina – nestlačitelná ( = konst.)

• ideální plyn – dokonale stlačitelný (soubor molekul, které na sebe silově nepůsobí, kromě srážek)

Kinetická teorie plynů - tlak

• tlak plynu FSFp

Sx dx dx

• práce vykonaná při stlačení plynu o dx:

22d SPF• kdyby všechny molekuly měly stejnou x-ovou složku rychlost vx:

• celková práce vykonaná při stlačení plynu: • celková práce vykonaná při stlačení plynu:

• hybnost předaná při nárazu molekuly plynu: xmvP 21

č t l k l l j d tk é bj N

22d xV mSvnt

F

F• tlak na píst:

• počet molekul plynu v jednotkovém objemu: V

nV

• celková hybnost předaná za čas dt: tSvnmvP xVx d2d

22 xV mvnSFp

hybnost předaná jednou molekulou počet molekul, které se dostanou k pístu

Kinetická teorie plynů - tlak

• tlak plynu FSFp

Sx d

22 xV mvnp • tlak na píst:

x dx• molekuly mají různou rychlost ( a jen polovička jich letí směrem k pístu): 2

xV vmnp

střední kvadratická rychlost molekul

• všechny směry jsou ekvivalentní: 3/2222 vvvv zyx

2

232

31 2

2 mvnvmnp VV

UmvNV 22 2

střední kinetická energie molekulUNpV

323

vnitřní energie plynu

Adiabatické stlačení plynu

• zobecnění F

Sx d

UpV 1

• jednoatomový plyn: 5 (Poissonova

x dx• stlačení kdy se všechna práce využije na zvýšení vnitřní energie plynu: UVp dd

dd VV

jednoatomový plyn:3

konstanta)

dVVV pd1d

1-ddd

VppVU

• totální diferenciál vnitřní energie:

dVpVVp pd1d

pV d1d

pV

.konstln pV

.konstpV

Teplota

• tlaky v obou částech se vyrovnají22 vmvm

1 2

222211

21

vmnvmn VV

1 21 2

Teplota

• tlaky v obou částech se vyrovnají22 vmvm

1 2

222211

21

vmnvmn VV

á b d tř d í ki ti ké• v rovnováze budou střední kinetické energie obou druhů molekul stejné:

22 vmvm22

2211 vmvm

Teplota

• tlaky v obou částech se vyrovnají22 vmvm

1 2

222211

21

vmnvmn VV

1 2á b d tř d í ki ti ké 1 2• v rovnováze budou střední kinetické energie obou druhů molekul stejné:

22 vmvm22

2211 vmvm

• těžší molekuly se pohybují pomaleji než lehčí• těžší molekuly se pohybují pomaleji než lehčí

• stejné musí tedy být i objemové koncentrace:21 VV nn

• když mají dva plyny stejnou teplotu jsou střední kinetické energie jejich molekul stejné• když mají dva plyny stejnou teplotu jsou střední kinetické energie jejich molekul stejné

• střední kinetická energie nezávisí na typu plynu, ale jen na teplotě

kTmv

23

2

2

22

definice teploty• Boltzmanova konstanta k = 1.380648 10-23 J K-1

Stavová rovnice ideálního plynu

UmvNpV32

232 2

323

kTmv 32

stavová rovnice ideálního plynu

nRTNkTpV

kT22 stavová rovnice ideálního plynu

• Stejné objemy plynů mají při stejné teplotě a tlaku stejný počet molekul konst.TpV

• Avogadrova konstanta NA = 6.022140 1023

• počet molekul NA 1 mol

T

• je to tak definováno proto aby M[g] = A

• hmotnost 1 mol atomů 12C je 12 g

• n – látkové množství (počet molekul v molech)AN

Nn

• R – molární plynová konstanta 11molJK314468 kNR AR molární plynová konstanta molJK31446.8kNR A

Poissonova konstanta plynů

• Na každý nezávislý pohyb (stupeň volnosti) připadá střední hodnota kinetické energie kT21

kTUpV 1• jedna molekula (N = 1)

kTfU • počet stupňů volnosti f :12

f

potenciál• jednoatomové plyny (3 stupně volnosti) f = 3

2p p f f

667.135

odpudivá interakce, ~1/r12

potenciál• dvou-atomové plyny: (3 + 2 + 1 + 1 stupně volnosti) f = 7

E

286.179

Ekvibrace

Epvibrace

translační pohyb těžiště

přitažlivá interakce ~ -1/r6

vibracerotace

p y

přitažlivá interakce, 1/r

Poissonova konstanta plynů

j d é l (3 ě l i) f 3

• Na každý nezávislý pohyb (stupeň volnosti) připadá střední hodnota kinetické energie kT21

66715• jednoatomové plyny (3 stupně volnosti) f = 3 667.13

• dvou-atomové plyny (7 stupňů volnosti) f = 7 286.179

1 7

plyn T (oC) H 180 1 666

• experimentální hodnoty

1.5

1.6

1.7

teplotní závislost pro H2„zamrznutí“rotace

He -180 1.666Kr 19 1.680Ar 15 1.668

1.3

1.4

H2 100 1.404O2 100 1.399 odpovídá 5 stupňům volnosti, f = 5

T (oC)

0 500 1000 1500 20001.2

Br2 300 1.400I2 185 1.300NH 15 1 310

„zamrznutí“ vibrací

NH3 15 1.310C2H6 15 1.220

Poissonova konstanta plynů

• kvantový harmonický oscilátor: stavy s diskrétními hodnotami energie E0, E1, E2, …

E• pravděpodobnosti obsazení i-tého stavu E

• pro základní a první stav:

b í t E

…

• obsazení stavu E1:

• pro harmonický oscilátor:p ý

• obsazení stavu E1:

Js10626070.6 34hPlanckova konstanta

1

k d j t k j ilát lý“• pokud je tak je oscilátor „zamrzlý“

Poissonova konstanta plynů

j d é l (3 ě l i) f 3

• Na každý nezávislý pohyb (stupeň volnosti) připadá střední hodnota kinetické energie kT21

66715• jednoatomové plyny (3 stupně volnosti) f = 3 667.13

• dvou-atomové plyny (7 stupňů volnosti) f = 7 286.179

1 7

plyn T (oC) H 180 1 666

• experimentální hodnoty

1.5

1.6

1.7

teplotní závislost pro H2„zamrznutí“rotace

He -180 1.666Kr 19 1.680Ar 15 1.668

1.3

1.4

H2 100 1.404O2 100 1.399 odpovídá 5 stupňům volnosti, f = 5

T (oC)

0 500 1000 1500 20001.2

Br2 300 1.400I2 185 1.300NH 15 1 310

„zamrznutí“ vibrací

NH3 15 1.310C2H6 15 1.220

Mechanika tekutinz

zz

• tekutinap 0p

ac'yy yy

'xx

pii 0p

0ij• smyková napětí jsou nulové

b

xx 'zzsmyková napětí jsou nulové

x

y

id ál í k li tl čit l á ( k t )

Pascalův zákon

• ideální kapalina – nestlačitelná ( = konst.)

Tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalinu v uzavřené v nádobě, je ve všech místech kapaliny stejný

Pascalův zákon

Pascalův zákon

• hydraulický lis21 pp FF (Pascalův zákon)

1F

1S

2F

2S 21

SF

SF

21 SS

• práce 2211 hFhF

1F

1S

2F

2S 2h

1h

Mechanika tekutinz

zz

• tekutinap 0p

ac'yy yy

'xx

pii 0p

0ij• smyková napětí jsou nulové

b

xx 'zzzyxi ,,kde smyková napětí jsou nulové

• kapalina se nebrání změně tvaru (modul pružnosti ve smyku G =0)x

y

• ideální kapalina: = konst. (ideální kapalina je nestlačitelná)

k li íh é li 0p 0p p• kapalina v tíhovém poli: 0xp 0

yp

gzp

kghkgzp hydrostatický tlak

Pascalův zákon

• Tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalinu v uzavřené v nádobě, je ve všech místech kapaliny stejnýj p y j ý

• Tlak vyvolaný gravitační silou hydrostatický tlak

z • pro ideální kapalinu = konst.rovnováha

v hloubce h pod hladinou vzroste hydrostatický tlak o g h

hydrostatický tlakyd ostat c ý t a

Archimédův zákon

• rovnováha 012 gFFF z1F

Sh

Vh

S

SghpSFF

• hydrostatická vztlaková síla:h

F

vSghpSFF VV12

tíh k li gF2F

tíha kapaliny vytlačené tělesem

hSgFg • tíha tělesa:

Těleso ponořené v kapalině je nadlehčovánoArchimédův zákon

hhVV Těleso ponořené v kapalině je nadlehčováno silou, která se rovná tíze tekutiny o stejném objemu jako ponořená část tělesa.

• podmínka plavání: hhV

V

Archimédův zákon – měření hustoty

• vážení na vzduchu: Vgmg Vm 1

• vážení ve vodě: VgVgFmg v vztlakVVm v 2

vmmm 1

mm 21

• Archimédes, Syrakusy (287-212 př. n.l.)

3cmg3.19 Au

3cmg4910 cmg49.10Ag