2
Zad´ an´ ı pˇ r´ ıklad˚ u pro cviˇ cen´ ı z pˇ redmˇ etu Programov´ an´ ı pro fyziky ´ Uloha ˇ c. 5 — 6. ledna 2016 ˇ R´ ık´a se,ˇ zesrovn´an´ ı pohybu Mˇ es´ ıce a jablka stoj´ ı za objevem gravitaˇ cn´ ıho z´ akona.Uv´aˇ z´ ıme-li, ˇ ze Zemˇ ea Mˇ es´ ıc ob´ ıhaj´ ı spoleˇ cnˇ e okolo Slunce, je na m´ ıstˇ e ot´ azka, jak daleko aˇ z sah´ a vliv Zemˇ e a kdy naopak u pohybu Mˇ es´ ıce pˇ revl´adne vliv Slunce. (Teoreticky to vyˇ reˇ sil cca 200 let po I. Newtonovi G. W. Hill [1].) Zkuste vyuˇ z´ ıt souˇ casn´ eho v´ ykonu osobn´ ıho poˇ c´ ıtaˇ ce a pˇ r´ ımo zkoumejte, jak by se Mˇ es´ ıc pohyboval, kdy- bychom jej nechali ob´ ıhat d´ale od Zemˇ e. Vyjdˇ ete z k´odu dostupn´ eho na webu ke cviˇ cen´ ı [2] a pˇ ridejte do roviny ekliptiky k Zemi jeˇ stˇ e Mˇ es´ ıc, tedy ˇ reˇ ste soustavu obyˇ cejn´ ych diferenci´ aln´ ıch rovnic: ¨ x ♁ = -GM x ♁ |x ♁ | 3 - GM $ x ♁ - x $ |x ♁ - x $ | 3 , (1) ¨ x $ = -GM x $ |x $ | 3 - GM ♁ x $ - x ♁ |x $ - x ♁ | 3 . (2) Z d˚ uvod˚ u snadn´ eho testov´ an´ ı spr´avnosti k´ odu uvaˇ zujte jak p˚ usoben´ ı Zemˇ e na Mˇ es´ ıc, tak pˇ r´ ısluˇ snou reakci (druh´ yˇ clen na prav´ e stranˇ e (1)). Pro takov´ y syst´ em bude platit z´ akon zachov´ an´ ı energie E = 1 2 M ♁ ˙ x ♁ 2 + 1 2 M $ ˙ x $ 2 - GM M ♁ |x ♁ | - GM M $ |x $ | - GM ♁ M $ |x ♁ - x $ | . (3) Doporuˇ cuje se pouˇ z´ ıt jednotky AU , rok a M (hmotnost Slunce), kdy m´ a gravitaˇ cn´ ı konstanta hodnotu (asi) G =4π 2 . Poˇ c´ateˇ cn´ ı podm´ ınky jsou na Obr. 1. 1 AU a 2π AU/rok 2π +b Obr. 1 Poˇ c´ ateˇ cn´ ı poloha a rychlost Zemˇ e a Mˇ es´ ıce v souˇ radn´ em syst´ emu, v jehoˇ z centru stoj´ ı Slunce – parametr a pˇ redstavuje poˇ c´ ateˇ cn´ ı vzd´ alenost Zemˇ e-Mˇ es´ ıc; b urˇ cuje poˇ c´ ateˇ cn´ ı rychlost Mˇ es´ ıce. V poˇ c´ ateˇ cn´ ım ˇ case jsou rychlosti na pr˚ uvodiˇ ce kolm´ e. 1. Ukaˇ zte, ˇ ze pro poˇ c´ ateˇ cn´ ı podm´ ınky a = 384 × 10 6 ma b =2πa/T $ , kde T $ ≈ 27 dn´ ı Mˇ es´ ıc bez komplikac´ ı vydrˇ z´ ı ve vaˇ s´ ı simulaci ob´ ıhat Zemi po dobu 10 let. Nakreslete z´ avislost a) vzd´alenosti Zemˇ e-Mˇ es´ ıc na ˇ case, b) relativn´ ı chyby energie (2) na ˇ case a c) trajektorii relativn´ ı polohy Mˇ es´ ıce vzhledem k Zemi x $ - x ♁ . 0.002 0.0022 0.0024 0.0026 0.0028 0.003 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 rMZ -1e-13 -5e-14 0 5e-14 1e-13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 rel Err -0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 0.002 0.003 -0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 0.002 0.003 M-Z Obr. 2 Vlevo: vzd´ alenost Zemˇ e-Mˇ es´ ıc a relativn´ ı chyba energie. Vpravo: relativn´ ı poloha Mˇ es´ ıce vzhledem k Zemi.
