Zajímavosti z 34. ASTIN Colloqia (2. část)

Jakub Strnad SAV 21.11.2003

Jakub Strnad

Zajímavosti z 34. ASTIN Colloqia (2. část)


Obsah

• modelování závislostí

• kam příště

– 35. ASTIN Colloquium

– 28. mezinárodní kongres aktuárů


Důvody modelování závislostí v pojišťovnictví a financích

Co je nezbytné pro:– chování portfolia aktiv

– moderní risk management

– dynamické finanční analýzy

modelování závislostí mezi náhodnými veličinami a procesy

Důvody závislostí: ekonomické cykly přírodní katastrofy …


Příklady

• WTC dopad na:– majetkové pojištění,– životní pojištění, – letecké pojištění,– pojištění odpovědnosti– ….

• ENRON dopad na:– akciové trhy– dluhopisové trhy– pojistitele– auditory– ….


Standardní míry korelace a jejich nedostatky

• korelační koeficient (Pearsonův)

– není invariantní vůči nelineární striktně rostoucí trans.

• Spearmanův korelační koeficient

– je invariantní vůči nelineární striktně rostoucí trans.

– máme-li výběr (Xi,Yi),i=1,…,n, potom je rovna korelačnímu koef. z (Ri,Oi), kde Ri resp. Oi je pořadí Xi resp. Yi

• Kendallův korelační koeficient

– je invariantní vůči nelineární striktně rostoucí trans.

)()(

),(),(

YVXV

YXCovYX

))(),((),( YFXFYXs

)0)')('(()0)')('((),( YYXXPYYXXPYX


Korelace popisuje „průměrnou závislost“

• na všech grafech je korelační koeficient roven 85%

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00

X

Y

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

N1

N2


Potřeba měřit závislosti chvostů rozdělení (tail dependence)

závislost horních chvostů

závislost dolních chvostů

))(|)((lim),( 11

1

→YX

aFYFXPYX

U>>=

))(|)((lim),( 11

YXL FYFXPYX


Co je KOPULE

Sdružená distribuční funkce náhodného vektoru

kde Ui má rovnoměrné rozdělení na [0,1]

Obecně:Funkce o n proměnných definovaná na [0,1]n s následujícímivlastnostmi:

1) obor hodnot je [0,1]

2) C(u) je rovna 0 pro všechna u z [0,1]n, pro které aspoň jedna souřadnice je rovna 0

3) C(u)=ui , jestliže všechny souřadnice, kromě i-té, jsou 1

4) C je n-rostoucí

),...,( 1 nUU

),...,(),...,( 111 nnn uUuUPuuC


Vlastnosti kopulí

• stejnoměrně spojité,

• existují všechny parciální derivace lze definovat hustotu

• každá kopule je zdola a shora omezená tzv. Fréchet-Hoeffdingovou závorou:

• nezávislá kopule

1,0,),(

),(

vu

vu

vuCvuc

)(),...,min(),...,()0,1max()( 111

uu MuuuuCnuW nn

n

ii

n

iin uuuC

11 ),...,(


Základní věta z teorie kopulí

Theorem (Sklar 1959):

Nechť H značí distribuční funkci n-rozměrného vektoru s marginálními

distr. funkcemi F1,…, Fn , potom existuje kopule C taková, že

jsou-li marginální rozdělní spojitá, potom je kopule určena jednoznačně.

Současně platí

))(),...,((),...,(:R 111 nnn xFxFCxxHx =∈∀

))(),...,((),...,( 11

111 nnn uFuFHuuC


Kopule a závislost

Věta: Nechť U, V jsou R(0,1) , potom jejich sdružená distribuční funkce je rovna:

a) W U je skoro jistě klesající funkcí V (tj. extrémní negativní závislost)

b) U a V jsou nezávisléc) M U je skoro jistě rostoucí funkcí

V (tj. extrémní pozitivní závislost)

Kopule uchovávají informaci o struktuře závislosti

Současně platí, že

Definujeme-li uspořádání kopulí

potom platí pro 2-rozměrné kopule:

),()(:[0,1] 212

21 uuu CCCC ≤∈⇔∀

2121 CCCC MCW ≤≤

dxdyyGxFyGxFC

dxdyyGxFyGxFCYX

]))(),(())(),(([

)]()())(),(([),Cov(


Praktické použití kopulí - Prof. Pfeifer

Risk management + dynamické modelování

(Prof. Pfeifer)

– generování závislých náhodných veličin s Poissonovým rozdělením s využitím kopulí včetně počítačové algoritmizace

– generování závislých Poissonovských procesů s využitím bodových procesů

Využití:

pojišťovnictví = několik různých událostí nastává téměř současně (impulsem může být např. živelná pohroma: silné deště povodně škody) událostí

finance = portfolio s put a call opcemi se stejnou realizační cenou


Praktické použití kopulí - F. Fabien

„Ekonomický kapitál (VaR) a závislost“

(F. Fabien)

• modelování společnosti provozující 4 poj. odvětví

• závislost generována s využitím Normální, Studentovy a

Gumblovy kopule a výsledek srovnám s předpokladem nezávislosti

• Normální kopule s korelační maticí

(chvosty jsou asymptoticky nezávislé)

• Studentova se stejnou korel. maticí a 1 st. volnosti

silná závislost chvostu (intenzivně používána ve finančních modelech)

• Gumblova s parametrem =2

Kandallovo tau=50% + silná závislost chvostů


Výsledky - F. Fabien


CatXL zajištění vázané na index

Praktické použití kopulí - F. Krieter

F .Krieter, Swiss Re

Standardní krytí (ZS):

Krytí vázané na index (ZI):


Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter

Předpoklady:

– X~df F, Y ~ df G

– závislost X a Y popisuje kopule C

Speciálně:

F=G a C(F(x),G(y))=min ZS = ZI

Obecně :

kde H(z) je d.f. veličiny ZI



Silná závislost chvostů volba kopulí z rodiny Gumbel-Hougaard

3,71



Předpoklad o marginálním rozdělní

tj. Weibullovo rozdělění

=1 nezávislá kopule kopule M (tj. max. závislá kopule)



Empirické DF Modelované DF

hrubé škody

index

čisté škody

odovzeno z Gumbelovy kopule



Závislost výsledku na parametru



Měření rizika portfolia po aplikaci zajištění

Míra:

Efektivnost ZI

Míra = snížení rizika díky ZI/snížení rizika díky ZS

Počítáno pro vrstvu 100% z 500 xs 10000


Kam příště?

35. ASTIN Colloquium

6. – 9.6. 2004 v Bergenu (Norsko)

oficiální web: www.astin2004.no

Hlavní témata:Insurance fraud

Genetics and Insurance

Climatic changes: A challenge to actuaries


35. ASTIN Colloquium Koho tam uvidíte

Professor Jean Lemaire(Wharton school of business) – jeden z hlavních řečníků

– téma: Aktuárská věda v 21. století


Kam dále

28. mezinárodní kongres aktuárů

28.5.-2.6.2004 Paříž

oficiální web: www.ica2006.com


28. mezinárodní kongres aktuárů Co tam uslyšíte

Program:– Vědecký

• Stochastic dependence • Solvency measurements and asset-liability management.

– Profesní

• The responsibility of the Actuary

• The point of view and role of actuaries with respect to the new accounting standards

– Technická témata

• Actuarial problems related to the retirement of the baby-boom generation.

• High severity risks and insurability

Date post:	12-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	roana
View:	43 times
Download:	0 times

Zajímavosti z 34. ASTIN Colloqia (2. část)

Documents