Základní pojmy

1

Maticetransponovaná, hermitovsky sdružená

A ∈ Cn×m, A = [ai,j ], i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m,

A =

a1,1 a1,2 . . . a1,m

a2,1 a2,2 . . . a2,m...

.... . .

...an,1 an,2 . . . an,m

.

matice transponovaná, hermitovsky sdružená

AT =

a1,1 . . . an,1

a1,2 . . . an,2...

. . ....

a1,m−1 . . . an,m−1

a1,m . . . an,m

, A∗ =

a1,1 . . . an,1

a1,2 . . . an,2...

. . ....

a1,m−1 . . . an,m−1

a1,m . . . an,m

.

3

Maticečtvercová, symetrická, hermitovská, jednotková, diagonální, dolní trojúhelníková

A ∈ Cn×m, pokud n = m → matice čtvercová.

A = AT → matice symetrická,A = A∗ → matice hermitovská.

I, In → jednotková matice, ei její i-tý sloupec.

A nazveme diagonální, pokud ai,j = 0 pro i 6= j,

diag(a1,1, . . . , an,n) ≡

a1,1

. . .an,n

.

A nazveme horní trojúhelníkovou, je-li ai,j = 0 pro i > j, adolní trojúhelníkovou, pokud ai,j = 0 pro i < j.

4

Vektorysloupcový, řádkový

Vektory budeme chápat jako sloupcové vektory.Symbolem Cm rozumíme prostor Cm×1,

x =

ξ1

ξ2...ξm

.

Symbolem x∗ ∈ C1×m označíme řádkový vektor s prvky ξi,

x∗ =[

ξ1, ξ2, . . . , ξm

]

.

5

Matice a vektoryvektory jako sloupce matice, podprostor generovaný vektory

Matici se sloupci q1, . . . , qm, budeme zapisovat pomocí

[q1, . . . , qm].

Lineární obal vektorů qi ∈ Cn, i = 1, . . . ,m označíme

span{q1, . . . , qm}.

6

Násobení matice vektoremdefinice, lineární kombinace sloupců matice

Součinem matice A ∈ Cn×m s vektorem x ∈ Cm rozumímevektor b ∈ Cn (píšeme b = Ax), jehož i-tý prvek βi je dán vztahem

βi =m∑

j=1

ai,j ξj, i = 1, . . . , n.

Označme aj, j = 1, . . . ,m, j-tý sloupec matice A. Platí

b = Ax = ξ1a1 + · · · + ξmam .

7

Součin maticdefinice, různá vyjádření

Součinem matic A ∈ Cn×m a B ∈ Cm×k je matice C ∈ Cn×k,

ci,j =m∑

ℓ=1

ai,ℓ bℓ,j, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k.

Označme aj, bj a cj j-té sloupce matic A, B a C a aTi , bT

i a cTi

jejich i-té řádky. Pro součin C = AB platí následující:

C = [ci,j ], kde ci,j = aTi bj, (zápis po prvcích),

C = [c1, . . . , ck], kde cj = Abj , (zápis po sloupcích),

C = a1bT1 + · · · + amb

Tm (zápis pomocí vnějšího součinu).

�

8

Vlastnosti maticmatice pozitivně definitní, pozitivně semidefinitní, komutující matice, regulární, singulární

Hermitovskou matici A nazveme pozitivně definitní, pokudpro libovolný nenulový vektor x platí

x∗Ax > 0 ,

a pozitivně semi-definitní, pokud pro libovolný nenulovývektor x platí

x∗Ax ≥ 0 .

Pokud pro matice A a B platí AB = BA, říkáme, že maticeA a B komutují.

Čtvercovou matici A nazveme regulární, pokud existujematice B taková, že AB = BA = I; B nazveme inverznímaticí k matici A a budeme ji označovat symbolem A−1.

Čtvercovou matici, která není regulární, nazveme singulární.

Obecně platí (AB)∗ = B∗A∗.

9

Blokové dělení maticematice pozitivně definitní, pozitivně semidefinitní, komutující matice, regulární, singulární

Blokovým dělením matice A ∈ Cn×m rozumíme zápis maticeA ve tvaru

A =

A1,1 A1,2 . . . A1,s

A2,1 A2,2 . . . A2,s...

.... . .

...Ar,1 Ar,2 . . . Ar,s

, s ≤ m, r ≤ n ,

kde Ai,j jsou opět matice, a to takové, že všechny matice Ai,j

s prvním indexem stejným mají stejný počet řádků a všechnymatice Ai,j s druhým indexem stejným mají stejný početsloupců.

Matice blokově diagonální.

Matice A blokově horní resp. blokově dolní trojúhelníkovou.

10

Determinant čtvercové maticedefinice, vlastnosti, rozvoj

Definice pomocí permutací, viz učebnice.

Z vlastností permutací plyne, že

det(A) = det(AT )

pro libovolnou čtvercovou matici A.

Pro čtvercové matice A a B téhož řádu platí

det(AB) = det(A) det(B).

Rozvoj determinantu podle i-tého řádku či j-tého sloupce,viz učebnice.

Čtvercová matice A je regulární právě tehdy, když det(A) 6= 0.

Determinant blokově diagonální nebo trojúhelníkové matice jesoučinem determinantů diagonálních bloků.

11

Spektrum maticeVlastní číslo, vlastní vektor, spektrum, spektrální poloměr

Nechť A ∈ Cn×n. Číslo λ ∈ C je vlastním číslem matice A,pokud existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový, že

Ax = λx.

Vektor x nazveme vlastním vektorem matice A, dvojici{λ, x} se někdy říká vlastní pár matice A.

Množina všech vlastních čísel matice A se nazývá spektrummatice A a označuje se sp(A).

Spektrální poloměr matice A, označen (A), je nezápornéreálné číslo

(A) ≡ max {|λ|, λ ∈ sp(A)}.Číslo λ je vlastním číslem A právě tehdy, má-li soustava(A− λI)x = 0 netriviální řešení, tj. právě tehdy, je-li A− λI

singulární, což je ekvivalentní podmínce det(λI −A) = 0.

12

Spektrum maticecharakteristický polynom

Monický polynom

χA(λ) = det(λI −A) = (−1)n det(A− λI)

se nazývá charakteristický polynom matice A (monickýznamená, že koeficient u nejvyšší mocniny je roven jedné).

λ je vlastním číslem matice A ⇔ χA(λ) = 0.

Polynom s reálnými koeficienty může mít komplexní kořeny,a reálná matice může proto mít komplexní spektrum akomplexní vlastní vektory.

Protože každý polynom (stupně alespoň jedna) má alespoňjeden kořen, má každá matice aspoň jedno vlastní číslo.

13

Norma vektorupozitivní definitnost, trojúhelníková nerovnost, (absolutní) homogenita

Nechť V je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čikomplexních čísel a nechť 0 označuje jeho nulový vektor.

Norma vektoru x ∈ V, značeno 9x9, je funkcionál na Vsplňující pro libovolné vektory x ∈ V a y ∈ V a pro libovolnýskalár α ∈ C následující podmínky:

1 9x9 ≥ 0, a 9x9 = 0 právě tehdy, když x = 0,

2 9x+ y9 ≤ 9x 9 + 9 y9,

3 9αx9 = |α| 9 x9.

1 . . . pozitivní definitnost,

2 . . . trojúhelníková nerovnost,

3 . . . (absolutní) homogenita.

15

Topologická ekvivalence vektorových noremekvivalence norem

Nechť ‖ · ‖α a ‖ · ‖β jsou normy na daném lineárnímvektorovém prostoru V. Pokud existují konstanty c a C,0 < c ≤ C, tak, že

c‖x‖α ≤ ‖x‖β ≤ C‖x‖α, x ∈ V,

pak říkáme, že normy ‖ · ‖α a ‖ · ‖β jsou topologickyekvivalentní.

Věta (bez důkazu). Všechny normy na lineárním vektorovémprostoru konečné dimenze jsou ekvivalentní.

16

Skalární součindefinice

Skalárním součinem nazveme funkcionál na kartézskémsoučinu V × V, který libovolným dvěma vektorům x a y z Vpřiřazuje číslo 〈x, y〉 ∈ C a který splňuje:

1 〈x, x〉 ≥ 0, a 〈x, x〉 = 0 právě tehdy, když x = 0,

2 〈x, y〉 = 〈y, x〉,3 〈λx, y〉 = λ〈x, y〉, pro λ ∈ C,

4 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, pro z ∈ V .

Vlastnosti 1 se říká pozitivní definitnost, vlastnosti 3 a 4ukazují, že skalární součin je vždy lineární v první složce.

Analogicky nad tělesem reálných čísel.

17

Cauchy-Schwarzova nerovnostindukovaná norma, nerovnost

Každý skalární součin indukuje normu

9x9 ≡√

〈x, x〉

a pro skalární součin s příslušnou indukovanou normou platíCauchy-Schwarzova nerovnost.

TheoremNechť V je lineární vektorový prostor nad tělesem C. Dále nechť jedán skalární součin 〈·, ·〉 a norma definovaná 9x9 ≡ 〈x, x〉1/2.Potom pro libovolné x ∈ V a y ∈ V platí nerovnost

|〈x, y〉| ≤ 9x 9 9y 9 .

�

18

Norma a skalární součinměření vzdáleností a úhlů

Norma umožňuje měřit vzdálenost (definuje metriku):Vzdálenost mezi vektory x a y z lineárního vektorovéhoprostoru s normou 9 · 9 je kladné číslo 9x− y9.

Skalární součin umožňuje měřit úhel: Úhel θ mezi dvěmanenulovými vektory x a y.

Reálný případ

cos(θ) =〈x, y〉

9x 9 9y9, 0 ≤ θ ≤ π.

Komplexní případ:

cos(θ) =|〈x, y〉|

9x 9 9y9, 0 ≤ θ ≤ π

2.

19

Ortogonalitaortogonální vektory, ortogonální doplněk

Ortogonalita - základním pojem v numerické lineární algebře.

Řekneme, že vektory x a y jsou ortogonální (kolmé) vzhledemk danému skalárnímu součinu, pokud platí 〈x, y〉 = 0.

Nechť S je podprostor lineárního vektorového prostoru V seskalárním součinem 〈·, ·〉. Ortogonálním doplňkem Srozumíme podprostor

S⊥ ≡ {x ∈ V : 〈x, y〉 = 0 pro všechny y ∈ S}.

20

Příklady vektorových noremvektorové p-normy

Nechť x = [ξ1, ξ2, . . . , ξn]T ∈ Cn. Mezi tři základní vektorovénormy patří jedničková norma

‖x‖1 ≡n∑

i=1

|ξi| ,

euklidovská norma

‖x‖2 ≡ ‖x‖ ≡(

n∑

i=1

|ξi|2)1/2

a maximová norma

‖x‖∞ ≡ maxi=1,...,n

|ξi| .

Speciálními případy p-norem definovaných pro 1 ≤ p ≤ ∞,

‖x‖p ≡(

n∑

i=1

|ξi|p)1/p

.

21

Ekvivalence tří základních vektorových noremkonstanty ekvivalence

Tyto normy jsou topologicky ekvivalentní. Pro ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 a ‖ · ‖∞

uvádíme hodnoty konstanty C v následující tabulce.

p\q 1 2 ∞1 1

√n n

2 1 1√n

∞ 1 1 1

Tabulka: Konstanta C taková, že ‖x‖p ≤ C ‖x‖q.

22

Jednotkové koulev R

2

Představu o jednotlivých normách můžeme získat vykreslenímjednotkové koule, tj. množiny vektorů {x : 9x9 ≤ 1} v R

2.

Obrázek: Jednotkové koule v R2 pro normy ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 a ‖ · ‖∞.

23

Standardní (euklidovský) skalární součin

Standardní (euklidovský) skalární součin komplexníchvektorů x = [ξ1, ξ2, . . . , ξn]T a y = [υ1, υ2, . . . , υn]T ,

〈x, y〉 ≡ y∗x =n∑

i=1

υiξi.

Jsou-li vektory x a y reálné, platí y∗x = yTx = xT y.

Euklidovská norma vektoru ‖x‖2 je indukována standardnímskalárním součinem,

‖x‖ =√

〈x, x〉 =√x∗x.

24

Speciální příklad vektorové normyenergetická norma, vážená norma

Pro libovolnou čtvercovou matici A platí

〈Ax, y〉 = y∗Ax = (A∗y)∗x = 〈x,A∗y〉.

Nechť A ∈ Cn×n je hermitovská poz. definitní matice. Potom

〈x, y〉A ≡ y∗Ax

definuje skalární součin na Cn (viz cvičení). Indukovanounormu ‖x‖A nazveme energetickou normou vektoru x,

‖x‖A =√

〈x, x〉A =√x∗Ax.

25

Matice jako lineární zobrazeníObor hodnot, jádro, hodnost, defekt

Matice A ∈ Cn×m definuje zobrazení z Cm do Cn, které vektorux ∈ Cm přiřazuje vektor Ax ∈ Cn,

A : Cm −→ C

n, A : x 7−→ Ax.

Pro matici A ∈ Cn×m definujme podprostory

R(A) ≡ {Ax : x ∈ Cm} (obor hodnot, range),

N (A) ≡ {x ∈ Cm : Ax = 0} (jádro, nullspace).

hodnost (rank) matice . . . dimenze podprostoru R(A)

rank(A) ≡ dim(R(A)).

defekt matice A . . . dimenze podprostoru N (A).

27

VětaRozklady prostorů C

n a Cm

Theorem

Nechť A ∈ Cn×m. Potom platí

N (A) ⊕ R(A∗) = Cm, N (A) ⊥ R(A∗),

N (A∗) ⊕ R(A) = Cn, N (A∗) ⊥ R(A).

�

28

Hodnost matice

R(A) je podprostor všech vektorů Ax,

R(A) = span{a1, . . . , am}.

Dimenze rank(A) je počet lineárně nezávislých sloupců A.

Theorem

Nechť A ∈ Cn×m. Potom platí

rank(A) = rank(A∗),

tj. počet lineárně nezávislých sloupců A je roven počtu lineárněnezávislých řádků A. �

29

Poznámka k důkazuvěty dimenzi prostorů R(A) a R(A∗)

Použili jsme: dimenze obrazu nějakého podprostoru X jemenší nebo rovna dimenzi prostoru X .

PlatíN (A) ⊕ R(A∗) = C

m

a z předchozího zřejmě plyne, že

m = dim(N (A)) + rank(A),

n = dim(N (A∗)) + rank(A∗).

30

Generované normydefinice

→ definovány pomocí norem vektorů.

A : X → Y, kde X = Cm a Y = Cn. Uvažujme na Xvektorovou normu ‖ · ‖X a na Y vektorovou normu ‖ · ‖Y .

Maticová norma generovaná normami ‖ · ‖X a ‖ · ‖Y :

‖A‖X Y ≡ maxx 6=0

‖Ax‖Y

‖x‖X= max

x 6=0

∥

∥

∥

∥

Ax

‖x‖X

∥

∥

∥

∥

Y

= max‖x‖X =1

‖Ax‖Y .

Cvičení → je normou ve smyslu definice.

Sféra S ≡ {x : ‖x‖X = 1} → obraz SA = {Ax : ‖x‖X = 1}.Číslo ‖A‖X Y udává délku nejdelšího vektoru v množině SA

(měřenou normou ‖ · ‖Y).

32

Generované normyzákladní vlastnosti

‖A‖X Y splňuje pro každý nenulový x ∈ X nerovnost

‖Ax‖Y

‖x‖X≤ ‖A‖X Y , tj. ‖Ax‖Y ≤ ‖A‖X Y ‖x‖X

a zároveň existuje nenulový vektor x takový, že

‖Ax‖Y = ‖A‖X Y ‖x‖X .

Takto definované normy matic nelze obecně vypočítat pomocíjednoduchého vzorce. Výjimka → v obou prostorech stejnévektorové normy a jedná se o normy ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 nebo ‖ · ‖∞.

Maticovou normu generovanou vektorovou normou ‖ · ‖1

budeme opět označovat pomocí ‖ · ‖1 a podobně pro maticovénormy ‖ · ‖2 a ‖ · ‖∞.

33

Generované maticové normy - příklady‖A‖1, ‖A‖2 a ‖A‖∞

Theorem

Nechť A ∈ Cn×m. Potom platí

‖A‖1 ≡ max‖x‖1=1

‖Ax‖1 = max1≤j≤m

n∑

i=1

|aij |,

‖A‖2 ≡ max‖x‖2=1

‖Ax‖2 = ((A∗A))1/2,

‖A‖∞ ≡ max‖x‖∞=1

‖Ax‖∞ = max1≤i≤n

m∑

j=1

|aij |,

kde (·) označuje spektrální poloměr.

Jedna z nejpoužívanějších:

‖A‖ ≡ ‖A‖2 (spektrální norma, dvojková).

34

Generované maticové normyvlastnosti

TheoremJe-li A čtvercová matice a 9 · 9 libovolná generovaná maticovánorma, potom platí

(A) ≤ 9A 9 a (triviálně) 9 I9 = 1. �

TheoremNechť 9 · 9 je maticová norma generovaná vektorovou normou9 · 9 a nechť A a B jsou libovolné dvě (obecně komplexní) matice,které lze spolu násobit. Potom platí

9AB9 ≤ 9A 9 9B 9 (multiplikativita). �

35

Frobeniova normadefinice, vlastnosti

Frobeniova norma matice A ∈ Cn×m,

‖A‖F ≡

n∑

i=1

m∑

j=1

|aij |2

1/2

.

Lze vyjádřit třemi způsoby (viz cvičení),

‖A‖F =

m∑

j=1

‖aj‖2

1/2

=

n∑

j=1

‖aTi ‖2

1/2

= (trace(A∗A))1/2 ,

aj . . . j-tý sloupec, aTi . . . i-tý řádek A,

trace(A∗A) je stopa matice A∗A (součet diagonálních prvků).

36

Frobeniova norma - vlastnostije multiplikativní, není generovaná

TheoremFrobeniova norma není obecně generována žádnou normou vektoru.

Důkaz: pro čtvercové matice řádu n > 1 platí ‖I‖F =√n > 1.

TheoremFrobeniova norma je multiplikativní, tj. pro libovolné dvě matice Aa B, které lze spolu násobit, platí

‖AB‖F ≤ ‖A‖F ‖B‖F .

Navíc platí (m je počet sloupců matice A)

‖Ax‖2 ≤ ‖A‖F ‖x‖2 a ‖A‖2 ≤ ‖A‖F ≤ √m‖A‖2 . �

37

Poznámky k maticovým normám

Někdy se maticovou normou nazývá funkcionál, který splňujevlastnosti normy a zároveň navíc i vlastnost multiplikativity,9AB9 ≤ 9A 9 9B9. Generované normy i Frobeniova normajsou tedy maticovými normami i podle této definice.

Tvrzení věty o topologické ekvivalenci norem se vztahuje i namaticové normy.

Topologická ekvivalence norem neznamená, že je jedno, jakounormu používáme při formulaci úlohy či při kvantifikacinumerického postupu či výsledku!

Budeme používat především euklidovskou normu vektoru‖ · ‖2, spektrální normu matice ‖ · ‖2 a Frobeniovu normumatice ‖ · ‖F . Pokud nebude hrozit nedorozumění, budemepsát místo ‖ · ‖2 pouze ‖ · ‖.

38

Číslo podmíněnosti

Nechť A je čtvercová regulární matice a 9 · 9 libovolnánorma. Číslo podmíněnosti κ(A) vzhledem k normě 9 · 9definujeme jako

κ(A) ≡ 9A 9 9A−1 9 .

Je-li maticová norma 9 · 9 generovaná norma, potom

1 = 9I9 = 9AA−19 ≤ 9A 9 9A−19 = κ(A).

39

Podobnost maticDefinice a vlastnosti

A ∈ Cn×n je podobná matici B ∈ Cn×n, A ∼ B, pokudexistuje regulární matice S ∈ Cn×n taková, že A = S−1BS.Nechť λ je vlastním číslem matice A a x je příslušný vlastnívektor, tj. Ax = λx, x 6= 0 a nechť A ∼ B. Potom platí

S−1BSx = λx, BSx = λSx,

tj. podobné matice mají stejná vlastní čísla a vlastní vektoryjsou svázány vztahem y = Sx.Matice se stejným spektrem nemusí být podobné,

[

1 00 1

]

,

[

1 10 1

]

.

Podobnost je relací ekvivalence, která rozloží prostor všechčtvercových matic na třídy ekvivalence. V následujícímpopíšeme důležitého reprezentanta třídy podobných matic.

41

Jordanův kanonický tvarNechť λ je komplexní číslo a m přirozené číslo. Jordanovýmblokem Jm(λ) budeme nazývat čtvercovou matici řádu m,

Jm(λ) =

λ 1

λ. . .. . . 1

λ

.

Říkáme, že matice je v Jordanově kanonickém tvaru, je-liblokově diagonální a každý její diagonální blok je Jordanův blok

J =

Jn1(λ1)

Jn2(λ2)

. . .Jnr (λr)

.

42

Jordanova věta

Theorem

Každá matice A ∈ Cn×n je podobná matici v Jordanově

kanonickém tvaru. J je určena jednoznačně až na pořadí bloků.

Z Jordanovy věty vyplývá, že pro danou matici A ∈ Cn×n

existuje regulární matice S taková, že platí

A = SJS−1, AS = SJ.

Uvažujme dělení matice S na bloky S1, . . . , Sr, Sj ∈ Cn×nj ,j = 1, . . . , r,

S = [S1, . . . , Sr].

Potom pro každý blok Sj platí

ASj = SjJnj(λj).

43

Struktura invariantních podprostorů

Pro každý blok Sj platí

ASj = SjJnj(λj), Sj = [s

(j)1 , . . . , s(j)

nj] ,

rozepišme po sloupcích

As(j)1 = λjs

(j)1

As(j)2 = λjs

(j)2 + s

(j)1

...

As(j)nj

= λjs(j)nj

+ s(j)nj−1.

s(j)1 je vlastním vektorem příslušným k vlastnímu číslu λj matice A.

Ostatní vektory se nazývají zobecněné vlastní vektory matice A.Matice A má právě r vlastních vektorů, kde r je početJordanových bloků v J .

44

Algebraická a geometrická násobnost vlastních čísel

NechťχA(λ) = (λ− µ1)α1 . . . (λ− µk)αk

je charakteristický polynom matice A, kde µ1, . . . , µk jsounavzájem různá vlastní čísla.

Číslo αi nazveme algebraickou násobností vlastního čísla µi.

Geometrická násobnost vlastního čísla µi je početJordanových bloků příslušných k vlastnímu číslu µi.

Algebraická násobnost odpovídá součtu velikostí Jordanovýchbloků příslušných k vlastnímu číslu µi.

Geometrická násobnost odpovídá počtu lineárně nezávislýchvlastních vektorů příslušných k vlastnímu číslu µi.

45

Caley–Hamiltonova věta

TheoremKaždá matice je kořenem svého charakteristického polynomu.

Tj. pro charakteristický polynom

χA(λ) = (λ− λ1)n1 . . . (λ− λr)nr

platí

0 = χA(A) = S χA(J)S−1.

46

Minimální polynom

Polynom ψA(λ) nejmenšího stupně takový, že ψA(A) = 0,nazveme minimálním polynomem matice A.

Definujme τi jako rozměr největšího Jordanova blokupříslušného k vlastnímu číslu µi.

Potom lze ψA(λ) psát ve tvaru

ψA(λ) = (λ− µ1)τ1 . . . (λ− µk)τk .

47

Companion maticeUvažujme polynom p ve tvaru

p(λ) = λn + an−1λn−1 + · · · + a1λ+ a0

a definujme matici

A =

0 −a0

1 0...

1. . .

.... . . 0 −an−2

1 −an−1

.

A nazveme companion (přidruženou) maticí k polynomu p.

TheoremNechť A je companion matice k danému polynomu p. Potom je pcharakteristickým i minimálním polynomem matice A. �

48

Polynomy a maticeKořeny polynomu a vlastní čísla matice

Uvažujme polynom p ve tvaru

p(λ) = λn + an−1λn−1 + · · · + a1λ+ a0

a jeho companion matici

A =

0 −a0

1 0...

1. . .

.... . . 0 −an−2

1 −an−1

.

Vidíme, že problém hledání vlastních čísel lze převést naproblém hledání kořenů polynomu a naopak.

49

Cvičení

1.2 Ukažte, že euklidovský skalární součin 〈x, y〉 = y∗x jeskalárním součinem dle definice.

1.5 Ukažte, že součin y∗Ax pro hermitovskou, pozitivně definitnímatici A je skalárním součinem dle definice.

1.10 Dokažte následující tvrzení:1 Soustava lineárních rovnic Ax = b má řešení tehdy a jen tehdy,

když b ∈ R(A).2 Soustava lineárních rovnic Ax = b má právě jedno řešení tehdy

a jen tehdy, když b ∈ R(A) a N (A) = {0}.

1.11 Ukažte, že generovaná maticová norma ‖ · ‖X Y je norma dledefinice.

51

Cvičení1.13 Ukažte, že pro Frobeniovu normu matice A ∈ Cn×m platí

‖A‖F =

m∑

j=1

‖aj‖2

1/2

=

(

n∑

i=1

‖aTi ‖2

)1/2

= (trace(A∗A))1/2 ,

kde aj označuje j-tý sloupec a aTi označuje i-tý řádek A.

1.20 Určete vlastní čísla, jejich geometrickou a algebraickounásobnost, charakteristický a minimální polynom matice

A =

1 11 1

11 1

1−1 1

−1−1

−1

.

52

Cvičení

1.22 Ukažte, že pro companion matici k polynomu p platí vztah

p(λ) = det(λI −A).

1.25 Nechť A a B jsou čtvercové matice téhož řádu, potom platí

det(AB) = det(A) det(B).

Využijte tuto rovnost a Jordanovu větu pro důkaz toho, žedeterminant matice A je dán součinem vlastních čísel maticeA,

det(A) =∏

λ∈sp(A)

λ.

1.28 Nechť A je čtvercová matice a p(λ) je libovolný polynom.Ukažte, že vlastní čísla p(A) jsou p(λi), kde λi jsou vlastníčísla A.

53