Základy ekonometrie

Cvičení 34. října 2010

Dnešní funkce

Data: eko1.xls- odhadnout funkci na datech dynamickým jednorovnicovým

modelem

8

Výstup PcGive 1. tabulka = hodnocení individuálních odhadů

koeficientů

2. tabulka = hodnotí model jako celek

dodatečné výstupy

PcGive – nabídka TEST ukládají se buď do tištěného výstupu nebo přímo do

databáze

Získaný výstup

ROZBORPRVNÍ TABULKY

Z VÝSTUPU

1. sloupec = bodový odhad resp. estimátor jde o odhady získané odhadovou fcí

Jak vypadá odhadnutá regresní nadrovina? Ekonomická verifikace/interpretacePozor: Regresní nadrovina je něco jiného než estimátor !!!

Regresní nadrovina – zápis:

Napozorované hodnoty:Y = 3,016 + 0,104X2 – 0,098X3 + e

Vyrovnané hodnoty:Y^ = 3,016 + 0,104X2 – 0,098X3

Ekonomická verifikace

= tj. zhodnocení odhadnutých koeficientů z hlediska znaménka a intervalu

b1 – libovolné, vzniká z podmínky, aby součet čtverců reziduí byl minimální

b2 – v intervalu (0,1) pokud nepracujeme s úsporami nebo >0 s úsporami

b3 – by mělo být < 0

Ekonomická verifikace - OK

Ekonomická interpretace

b1 – bez interpretacee

b2 – odhad β2 – absolutní (příjmová) pružnost

b3 – odhad β3 – absolutní (cenová) pružnost

Absolutní pružnost dle vzorců:

b2 = 0,104 – vzroste-li disponibilní příjem o 1 jednotku (tj. o 1 mld CZK) a X3 se nezmění, vzroste maloobchodní obrat potřeb pro domácnost v průměru o 0,104 mld CZK.

b3 = - 0,098 – vzroste-li cenový index X3 o jeden procentní bod a X2 se nezmění, klesne maloobchodní obrat potřeb pro domácnost v průměru o 98 miliónu CZK.

definovány v daných jednotkách

Absolutní a relativní pružnost každou absolutní pružnost lze převést na

pružnost relativní

relativní pružnost – dána v % a pro dané období

definuje se koeficient relativní pružnosti - q

koeficient příjmové pružnosti:

koeficient cenové pružnosti:

VŽDY PRO NĚJAKÉ OBDOBÍ!(např. pro daný rok)

Relativní pružnost

Relativní pružnost pro r. 73

Y(73) = 13,6; X2(73) = 209, X3(73) = 113

zvýší-li se v roce 73 X2 o 1 % a X3 je pevné, vzroste Y v průměru o 1,59 %

zvýší-li se v roce 73 X3 o 1 % a X2 je pevné, klesne Y v průměru o 0,8 %

2. sloupec = standardní chyba regresního koeficientu

dle vzorce:

kde s standardní chyba regrese (viz výstup – 2. tabulka, hodnota SIGMA)

tj. prvek z diagonály momentové matice

Standardní chyba regrese s

= charakteristika výběrového rozptylu po kvantifikaci modelu

- pro intervalové odhady (ze statisticky významných bodových odhadů)

- dle vzorců:- při číslování od β0:

- při číslování od β1:

Součet čtverců reziduí = RSS v metodě nejmenších čtverců hledáme

minimum kvadratické formy:

RSS – viz výstup, 2.tabulka

Součetčtvercůreziduí(RSS)

3. sloupec = t-value

dle vzorce:

v tabulkách – kritická hodnota t-rozdělení (resp. kvantily studentova rozdělení)

testuje se hypotéza:H0: βi=0

H1: βi<>0

pokud vypočtená hodnota v absolutní hodnotě větší než tabulková hodnota => platí H1, koeficient je statisticky významný a vysvětlující proměnná je v modelu významná

4. sloupec = t-probability

= pravděpodobnost, že nulová hypotéza je pravdivá(tj. koeficient je statisticky nevýznamný, vysvětlující proměnná nemá v modelu smysl)

t-prob < 0,05 koeficient je statisticky významný na 5-ti % hladině

t-prob < 0,01 koeficient je statisticky významný na 1-ti % hladině

Statistická verifikace pokud nemáme tabulkovou hodnotu pro

srovnání postupujeme dle 4. sloupce

tabulková hodnota je třeba pro výpočet intervalového odhadu

5. sloupec = parciální koeficient determinace

tento sloupec lze využít k testování multikolinearity – více bude rozebráno při práci s náhodnými složkami

Y=f(X2,X3)+u

pracuje se zde s korelačními koeficienty

Korelační koeficienty

a) párový korelační koeficient- viz korelační matice(Package – Descriptive Statistics)

b) dílčí (parciální) korelační koeficienttj. 5. sloupec

c) vícenásobný koeficient determinace (tj. R2 – viz. výstup, 2. tabulka)

VÝSTUP PcGive

ROZBOR

2. TABULKY

SIGMA standardní chyba regrese [u~N(0,σ2)] charakteristika výběrového rozptylu, který

dostaneme po kvantifikaci abstraktního modelu

(tj. u – kvantifikace – rezidua)

dle vzorců: konstanta modelu s indexem 1:

konstanta modelu s indexem 0:

SIGMA užívá se při výpočtu standardní chyby

regresních koeficientů s(bi)

vzorec pro výpočet s(bi):tj. prvek z diagonály momentové matice

RSS součet čtverců reziduí RSS = ∑ei2 = ∑eTe užívá se při výpočtu sigma:

metoda nejmenších čtverců: RSS → MIN

1

Te es

n k

R^2 a F-test R^2: vícenásobný koeficient determinace

F-test: F(k, n-k-1)(k = počet vysvětlujících proměnných k+1 = počet odhadovaných parametrů)

tyto statistiky definují vazbu modelu

log-likelihood hodnota věrohodnostní funkce

při odhadové metodě – metoda maximální věrohodnosti (MMV)

MNČ: ∑eTe → MIN

MMV:

tj. bere se maximum ze záporných hodnot

2

_max ln konstanta1

ie

n k

MMV vs. MNČ oba odhady dávají stejné výsledky, pokud se

pracuje s normálním regresním modelem

tj. náhodné složky modelu mají normální rozdělení

DW Durbinova-Watsonova (DW) statistika d

užívá se pro testování vlastností náhodných složek

test autokorelace prvního řádu

Další řádky: počet pozorování – tj. n

počet parametrů – tj. k+1 (vč. konstanty)(počet vysvětlujících proměnných = k)

mean (y) – průměr vysvětlované (tj. endogenní) proměnné

var (y) – rozptyl vysvětlované proměnné

Test shody modelu s daty

Y = β1 + β2 X2 + β3 X3 + u

rozptyl Y = vysvětlený rozptyl + nevysvětlený rozptyl C – celkový rozptyl Y V – vysvětlený rozptyl (tj. modelem vysvětlený) N – nevysvětlený rozptyl

vysvětlený rozptyl nevysvětlený rozptyl

Vzorce pro výpočet rozptylů Celkový rozptyl C:

Vysvětlený rozptyl V:

Nevysvětlený rozptyl N:

Koeficient vícenásobné determinace:

Je-li N=0, pak R2 = 1

nezohledňuje počet vysvětlujících proměnných – hodnota R2 nikdy neklesne přidáním dalších vysvětlujících proměnných do modelu

Koeficient vícenásobné determinace

Korigovaný R2

korigovaný koeficient determinace(tj. R2

adj)

R2adj < R2 – zvyšováním počtu proměnných roste R2, ale ne R2

adj

rovnost jen pokud R2 = 1 nebo k = 1

2 2 11 1

( 1)

nR R

n k

F-statistika (Fisherovo rozdělení)

F(k,n-k-1) – náš příklad: k+1=3, n=8, F(2,5) – viz výstup

V = R2C N = (1 - R2)C

2

2

( 1).

1

R n kF

R k

F-statistika Výstup:

vypočtená hodnota + signifikace

Závěry stejné jako u t-statistiky

Vypočtená hodnota > tabulková hodnota => R2 je statisticky významný, model je statisticky významný H(0): všechna βi = 0 H(1): existuje alespoň jedno βi <> 0