1

ZÁKLADY EKONOMETRIE

6. cvičení

Autokorelace

2

AUTOKORELACE Podstata

PříčinyDůsledkyTestování

3

AUTOKORELACE

Porušení G-M předpokladu:E(uuT) = σ2 In

tj. náhodné složky ui nejsou sériově nezávislé – to je způsobeno závislostí mezi hodnotami jedné proměnné

Dle předpokladu mají být nediagonální prvky matice E(uuT) nulové

nediagonální prky <> 0 → AUTOKORELACE2

2T

2

0 0

... 0( )

0 ... ... 0

0 0

E

uu

Autokorelace

4

čas

čas čas

čas čas

u,e

0

0 0

00

u,e

u,e u,e

(a) (b)

(d) (e)

u,e

(c)

čas0

u,e

(f)

Pozitivní vs. negativní autokorelace

(a) Pozitivní autokorelace

(b) Negativní autokorelace

5

ut

ut-1

ut

ut-1

ut

ut

čas

čas

(a)

(b)

+

-

++

+

--

-

6

Příčiny

Setrvačnost ekonomických veličin (zejm. případ ČR)

Chybná specifikace modelu (specifikační chyba se stává součástí náhodné složky)

Chyby měření

Užití zpožděných vysvětlujících proměnných

Užití údajů zprůměrovaných, vyrovnaných, intra a extrapolovaných

7

Důsledky

Odhady zůstávají nevychýlené a konzistentní

Odhady nejsou vydatné ani asymptoticky vydatné

Vychýlené odhady rozptylu modelu (sigma) a směrodatných chyb bodových odhadů (sbj)

intervaly spolehlivosti nejsou směrodatné

statistické testy ztrácejí na síle

8

Autokorelace I. řádu

Testování vztahu:

ut = ρ* ut-1+ εt , kde ρ je z intervalu <-1,1>

ρ je koeficient autokorelace

εt je normálně rozdělená náhodná složka

Vztah: náhodné složky jsou generovány stacionárním autoregresním stochastickým procesem prvního řádu (AR1)

9

Vyhodnocení koeficientu ρ

ρ > 0 … kladná autokorelace

ρ < 0 … záporná autokorelace

ρ = 0 … sériová nezávislost náhodných složek

10

Test autokorelace

Nejznámější test: Durbin-Watsonova statistika – tj. hodnota DW

Hodnoty ut nejsou známy, proto se vychází z jejich odhadu, tj. z reziduí et

Testuje se vztah: et = r* et-1+ vt,

kde r je odhad ρ

(tj. autoregresní koeficient prvního řádu)

11

Odhad regresního koeficientů prvního řádu – tj. ρ

est ρ = r ≈ 1 – (d/2)

kde d je Durbin-Watsonova statistika

resp. d ≈ 2 ( 1 – r)

12

Durbin-Watsonova statistika d

Vzorec třeba znát na zkoušku!

Statistika d má symetrické rozdělení v intervalu <0,4> se střední hodnotou 2

21

2

2

1

( ),

T

t tt

T

tt

e ed

e

13

DW statistika

d

dl

du

0 2 4

Žádná autokorelace

Kladná autokorelace

Záporná autokorelace

4-d

l

4-d

u

14

DW statistika

r = 1 … d v okolí 0 … úplná pozitivní autokorelace

r = -1 … d v okolí 4 … úplná negativní autokorelace

r = 0 … d v okolí 2 … bez autokorelace

Pozn:

v praxi se v ekonometrii vyskytuje zejména pozitivní autokorelace

15

DW statistika

- Závisí na:- n … tj. počet pozorování- k … tj. počet predeterminovaných proměnných v

modelu- hladině významnosti (hodnoty d tabelizovány pro 5 %)

16

3 další způsoby vyhodnocení autokorelace

i) k << n (tj. k ostře menší než n)

ii) výpočet d přes Tools

iii) Durbinovo h – případ zpožděné endogenní

vysvětlující proměnné

17

i) k << n

k << n – resp. příliš malé npřípad, když je d(u) v tabulkách větší než 2

počet pozorování je příliš malý

hledáme v tabulkách počet pozorování, kdy se hodnota d(u) dostane od 2

Např. k = 4, n = 9

18

ii) výpočet d

Reziduální součet čtverců - RSS

Odhad modelu; store residuals (e)

GiveWin → Tools → Algebra Editor

dif1 = (ei – ei-1)…funkce diff(e,1) (obecně: diff(var,lag))

dif2 = (ei – ei-1)2 … = dif1*dif1

dif3 = cum(dif2)… tj. horní sumace

DW = dif3/RSS = dif3/0,073

21

2

2

1

( ),

T

t tt

T

tt

e ed

e

19

iii) zpožděná endogenní proměnná v modelu

k testu autokorelace nelze užít d statistiku

model: Y = f(Y-1, X1, X2,)+uzměna počtu pozorování – n = 7 (pro eko1.xls)

významnost bodového odhadu u y-1

namísto d nutno počítat Durbinovo h

2(1 0,5 )

1jb

nh d

n s

20

Durbinovo h

standardní chyba bodového odhadu u zpožděné endogenní proměnné

DW statistika

21

Durbinovo h

h ~ N(0,1)

při dost velkém n lze užít tabulky normálního rozdělení a pracovat s kvantily

Hladina významnosti Kvantil

10 % 1,64

1 % 2,57

5 % 1,96

je-li |h| < 1,96, pak autokorelace na 5% hladině neexistuje

h > 1,96 pozitivní autokorelace; h < 1,96 negativní autokorelace

22

Durbinovo h

Testování hypotézy:H0: není autokorelace

H1: negativní autokorelace

Ověření: Tools – Tail probabilityhledat kvantil N(0,1)

výstup bez signifikace

N(0,1,2-sided) = -0.33038 [0.7411]

nelze zamítnout H0

23

Příklad 1 KUŘE

Určete, jak závisí počet prodaných kuřat na níže uvedených proměnných. K dispozici máme roční pozorování od roku 1960 do roku 1982.

Y – počet prodaných kuřat (v desítkách milionů kusů)

X2 – výše dotace do zemědělství (v miliardách Kč)

X3 – cena za kuře (Kč/kilo)

X4 – cena vepřového (Kč/kilo)

Je v modelu autokorelace?

24

Příklad 2 – Ruční výpočet DW

Eko1.xls

Odhadněte závislost maloobchodního obratu na disponibilním příjmu a cenovém indexu.

Y – maloobchodní obrat potřeb pro domácnost v mld. CZK

X1 – disponibilní příjem v mld. CZK

X2 – cenový index

Spočítejte DW statistiku.

25

Příklad 3 – Zpožděná endogenní proměnná

Eko1.xls

Odhadněte závislost maloobchodního obratu na disponibilním příjmu a cenovém indexu.

Y – maloobchodní obrat potřeb pro domácnost v mld. CZK

X1 – disponibilní příjem v mld. CZK

X2 – cenový index

Yt-1 – maloobchodní obrat potřeb pro domácnost v mld. CZK v minulém období

Spočítejte DW statistiku h.

26

Možná otázka do závěrečného testu

AutokorelacePodstata

Příčiny

Důsledky

Měření