Mercatorova projekce

Zdeněk Halas

U3V

Regiomontanus: De Triangulis Omnimodis Libri Quinque

Ty, který chceš studovat úžasné věci, který bys rád poznal pohyb hvězd, musíš číst tyto věty o trojúhelnících... Neboť nikdo nemůže pominout vědu o trojúhelnících a získat přitom uspokojivou znalost hvězd.

De Trianguliskniha I – spíše geometrieDefinice: veličina, poměr, rovnost, kružnice, oblouk, tětivasinus definován po indickém způsobu: jako polovina délky

tětivyV20: použití sinu k řešení trojúhelníka

kniha II – rovinná trigonometriezačíná sinovou větou – V1řešení trojúhelníka ssu, suu, susS = ab sin γ /2

zbylé 3 knihy: sférická geometrie a goniom. kvůli astronomii

dopsal 1464publikováno až 1533

Navigacepotřebná mapa, která by

zachovávala směrPedro Nonius (1502 – 1578)Loxodroma

Rozdíl loxodromy

a hlavní kružnice

Navigaceúkol kartografie 16. století: najít takové

zobrazení, že se loxodroma zobrazuje na úsečku

Gerhard Kremer (1512 – 1594)polat. podoba: Gerardus Mercatornarodil se ve Flandrech1544 uvězněn, 1552 přesídlil do Německakartografie – posun z umění na věduatlas

Mercator

1568 si Mercator vytkl cíl: zobrazení odpovídající potřebám navigace:

mapa na pravoúhelné sítirovnoběžky – úsečky rovnoběžné

s rovníkem, rovné, stejně dlouhépoledníky – rovnoběžné úsečky

kolmé na rovníkkonformní – zachovává velikosti

úhlů

Všechny rovnoběžky stejně dlouhé

kolikrát je tedy „natažena“ daná rovnoběžka

Koeficient – sekans Natažení ve směru osy x tedy

jasné

Natažení ve směru osy y – konformníNetušíme

1569 vydal mapu světaNový a vylepšený popis zemí

světa, upravená pro navigátoryvelká, tištěna na 21 listech

1,37 × 2,1 metrudochovaly se pouhé tři výtiskyjeho mapa nebyla přijata hned,

zkreslení kontinentů

Mercatorova mapa

Edward Wright (1560 – 1615)1599 Certaine Errors in Navigation

máme obdélník na sféře:

máme obdélník na mapě:  oba obdélníky chceme podobné, aby byl

zachován směrtakže poměry délek příslušných stran se

sobě rovnají:

Tedy:

Integrace sekans1614 John Napier – logaritmy1620 Edmund Günter – tabulky logaritmů tangent1645 Henry Bond: Wrightova poledníková tabulka je totožná

s Günterovou!

Rekonstrukce důkazu

v 50. letech 17. stol. se důkaz stal důležitým problémem

1668 James Gregory – složitě1670 pěkný důkaz Isaac Barrowv tomto důkazu asi poprvé rozklad

na parciální zlomky:

Mercatorovo zobrazení

Navigace a matematikarozvíjející se mořeplavba – aplikace v navigaci zejména sférická trigonometrie pro navigaci jsou také potřeba přesné hodiny:

s pozorováním a astronom. výpočty to jsou spojené nádoby

zkoumá se tedy kyvadloChristian Huygens (1629 – 1695)

(viz isochronní kyvadlo)Robert Hooke (1635 – 1703)

díky logaritmům byly výpočty potřebné k navigaci lodě mnohem jednodušší – tím i spolehlivější