ZÁKLADY NEBESKÉ MECHANIKY – I.

Nebeská mechanika� Obor teoretické astronomie – využívá poznatky teoretické mecha-

niky a zabývá se pohybem nebeských těles, určováním jejich drah

� Užívá zákonů klasické mechaniky (Newtonův gravitační zákon) a ve speciálních případech též relativistické mechaniky (stáčení periheluMerkura), v současnosti výzkum tzv. negravitačních efektů (tlak záření, tepelné efekty – Yarkovského efekt)

� Hlavním cílem je určování poloh nebeských těles v budoucnosti i v minulosti ze znalostí elementů dráhy

� Rozvíjí se i v současnosti – s rozvojem kosmonautiky a robotického výzkumu vesmíru

Keplerovy zákony

� Přesná pozorování planety Mars, kterávykonal Tycho Brahe v 16. stol., byla podkladem pro formulaci tří Keplero-vých zákonů (1600 – 1619)

� 1. Keplerův zákon – planety se pohybují po elipsách, málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce

� 2. Keplerův zákon – plochy opsané průvodičem za jednotku času jsou konstantní

� 3. Keplerův zákon – poměr druhých mocnin oběžných dob planet je stejný jako poměr třetích mocnin jejich velkých poloos (střednívzdálenosti od Slunce)

1. Keplerův zákon

� Tento zákon popisuje tvar drah planet

� V astronomii je důležitá rovnice elipsy v polárních souřadnicích

� Odvození na základě zachování momentu hybnosti a celkové energie v poli centrální síly

� Největší výstřednost u planet má Merkur e = 0,206, „Pluto” e = 0,248. Zeměmá výstřednost své dráhy e = 0,0167

2. Keplerův zákon

� Zákon ploch – odvození přes plošnou rychlost, moment síly a moment hybnosti

3. Keplerův zákon� Vyjadřuje souvislost mezi oběžnou dobou tělesa a jeho velkou

poloosou

� Přesné znění třetího Keplerova zákona bylo nalezeno až po objevení Newtonova gravitačního zákona, kdy empirické Keplerovyzákony Newton zdůvodnil fyzikálně

Newtonova mechanika – I.� Keplerovy zákony byly prvním krokem k exaktnímu fyzikálnímu

popisu pohybu planet, teprve gravitačním zákonem Newton dospěl k obecnému popisu vzájemného působení těles

� Klasická mechanika je založena na formulaci tří Newtonových zákonů pohybu

� 1. Zákon setrvačnosti – každé těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu pokud není nuceno tento stav změnit působením vnějších sil

Newtonova mechanika – II.

� 2. Zákon síly – změna hybnosti tělesa je přímo úměrná síle půso-bící na těleso

� 3. Zákon akce a reakce – v uzavřeném systému každá akce vyvolává stejnou reakci opačného směru

Odvození gravitačního zákona� Newtonův gravitační zákon můžeme odvodit na základě znalosti

třetího Keplerova zákona a znalosti odstředivé síly, působící na těleso od centrálního tělesa:

� Gravitační konstanta κ = 6,672.10-11 N.m2.kg-2 – rozdíl mezi gra-vitačním a tíhovým zrychlením je známo ze základního kurzu klasické mechaniky ☺

Přesné znění 3. Keplerova zákona� Třetí Keplerův zákon ve tvaru uvedeném dříve platí pouze pokud

hmotnost centrálního tělesa je mnohem větší, než obíhajícího tělesa

� Pokud jsou tělesa srovnatelné hmotnosti (dvojhvězdy, dvojpla-nety,…), je třeba vztah upravit

Problém dvou těles

Princip problému n těles� V nebeské mechanice nejčastěji řešený problém, neboť v prostoru

existuje velké množství těles, která se vzájemně ovlivňují

� Newtonovy pohybové rovnice pro těchto n těles lze obecně napsat jako:

� Problém n ≥ 3 těles je obecně analyticky neřešitelný, je ovšem možno ho řešit pomocí numerických metod – např.nejjednodušší Eulerova metoda, Runge-Kuttovy metody, vícekrokové metody…

Řešitelný problém n těles – I.� J. L. Lagrange (1772) – ukázal, že existuje řešitelný

problém tří těles v případě periodických pohybů (tzv. restringovaný problém), kde se všechna tři tělesa (jedno z nich má malou hmotnost) vrací do stejné výchozípolohy

� Existuje pět význačných bodů, ve kterých se přitažlivé a odstředivésíly působící na malé těleso vyrovnávají – tzv. librační body; L1, L2 a L3 jsou nestabilní, L4 a L5 jsou stabilní

Řešitelný problém n těles – II.� V libračních bodech L1, L2 a L3 stačí nepatrný impuls a stabilita se

poruší – těleso unikne z gravitační „pasti“

� V libračních bodech L4 a L5 potom impuls způsobí oscilace tělesa kolem těchto bodů

� V současné době je známo několik těles ve sluneční soustavě, pohy-bujících se v libračních bodech L4 a L5� Slunce – Jupiter (tzv. Trojané, Řekové)

� Slunce – Saturn (např. měsíc Tethys máv L4 a L5 měsíce Telesto a Calypso)

� Do libračních bodů Slunce – Země se umisťují satelity – např. SoHO (L1), Herschel, Planck (L2)

Rocheova mez – I.� 1850 – E. A. Roche (1820-1883) odvodil vztah, vyjadřující kritickou

vzdálenost od centrálního tělesa, za kterou je obíhající těleso roztrženo slapovým působením centrálního tělesa

Rocheova mez – II.

� Tento prostor může být vyplněn i tělesem samým, např. hvězdou – v takovém případě může docházet k „přetékání“ hmoty z jednoho tělesa na druhé – vývoj dvojhvězd, rekurentní novy, …

� Pokud je těleso malé a přiblíží se pod Rocheovu mez – rozpadá se na menší částice (viz. předchozí obrázek); tímto způsobem vznikly prstence u velkých planet sluneční soustavy

� Systém ekvipotenciálních hladin/ploch, které se dotýkají v jednom bodě – L1, tzv. Rocheova mez

Rocheova mez – III.� Diference gravitačních zrychlení ve středu satelitu a na okraji, půso-

bených hmotným tělesem je (viz. dále)

� Pro Měsíc vychází rkrit ~ 2,9 poloměrů Země. Většina přirozených satelitů u planet sluneční soustavy je vně Rocheovy meze

� Umělé družice Země bývají uvnitř prostoru vymezeného Rocheovoumezí – roztržení zabraňuje pevnost materiálu

Poruchy – rušivé gravitační síly� Pohyby planet a družic se v praxi nepočítá jako problém n těles,

ale jako problém dvou těles, s předpokladem, že na pohyb působítěleso třetí

� Vliv gravitačních poruch na pohyb planety P, kolem Slunce Spůsobený třetím tělesem M� Vzdálenost Slunce – planeta je r0, vzdálenost planeta – rušivé těleso

je r

Slapy – příliv a odliv – I.

� Úkazy vznikající v důsledku gravitačních sil dalších těles –nejvýznamnější je periodické vzdouvání mořské hladiny – příliv a odliv

� Obdobné úkazy lze pozorovat i v zemské kůře – maximálníhodnota vzdutí je ~ 0,5 m

� Ze zřejmé souvislosti oběhu Měsíce a vzniku slapů byly vytvořeny různé teorie jejich vzniku� Newtonova statická teorie – Země je považována za tuhou kouli, jejíž

povrch se vlivem slapů nemění

� Laplaceova dynamická teorie – dokonalejší teorie uvažující změnu tvaru Země a rozdělení vodních mas na zemském povrchu nenírovnoměrné

Slapy – příliv a odliv – II.� Vznik přílivu a odlivu

Slapy – příliv a odliv – III.� Stejně jako Měsíc i Slunce způsobuje slapové jevy na povrchu

Země

� Rušivých sil ale ubývá s třetí mocninou vzdálenosti a proto platí

� Je-li Měsíc v konjunkci nebo v opozici se Sluncem, slapové účinky se sčítajía příliv je nemohutnější (spring/neap tide – „vysoký“/ „hluchý“ příliv)

Slapy – příliv a odliv – IV.� V zemské kůře také nastává „příliv“

a „odliv“ – v důsledku toho slapy na vodní hladině nejsou tak velké jako v případě „tuhé zemské koule“

� Maximální vzdutí vodní hladiny � Bay of Fundy (Kanada) ~17 m

� Mont-Saint-Michel (Francie) ~ 13 m

� Na Měsíci se naopak objevují slapové jevy v důsledku gravitačního působení Země, zhruba v poměru 1:20

� Slapy způsobují zpomalování rotace Země a následkem toho vzdá-lenost Měsíce od Země roste zhruba o 3,94 cm za rok

Příklady� Umělá družice Země oběhne po přibližně kruhové dráze jednou

za 1h36m.� Vypočítejte, jaké vzdálenosti od Země družice obíhá� Do jaké vzdálenosti je nutné vypustit stacionární družici, která by

neměnila polohu nad zemským povrchem?� Jaké je v této vzdálenosti gravitační zrychlení?

[~ 577 km; ~ 35 920 km; 0,234 m.s-2]

� Měsíc, obíhající kolem Země ve střední vzdálenosti 384 400 km má hmotnost MM = 0,01277 MZ. V jaké vzdálenosti od Země bude vyrovnáno zrychlení mezi oběma tělesy?

[Ve vzdálenosti 343 096 km od Země]

Příklady – vlastní řešení� Dione, čtvrtý Saturnův měsíc, oběhne kolem Saturna ve

vzdálenosti 6,240 rS za 2,7369 dnů. Jeho hmotnost je ve srovnání s hmotností Saturna zanedbatelná. Největší Saturnův měsíc, Titan, má střední vzdálenost 20,205 rS a oběžnou dobu 15,945 dne. Určete jeho hmotnost v kg a ve hmotnostech Saturna, zrychlení na jeho povrchu a střední hustotu, víte-li, že poloměr Titanu je 2 857 km. Hmotnost Země mE = 5,974.1024 kg a poměr hmotností Saturnu a Země je mS/mE = 95,2.

[0,00021 mS = 1,19.1023 kg; 0,977 m.s-2; 1220 kg.m-3]