ZNAKY DĚLITELNOSTIAutor Mgr. Lenka Závrská

Anotace Digitální učební materiál je určen pro studenty prvních ročníků všech učebních oborů. Slouží k zopakování a osvojení znaků dělitelnosti, nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele. Výukový materiál obsahuje také příklady k procvičení znaků dělitelnosti a následnou kontrolu.

Očekávaný přínos Žák bude znát, kterým číslem je dané číslo dělitelné, bude umět určit nejmenší společný násobek a největší společný dělitel.

Tematická oblast Operace s reálnými číslyTéma Znaky dělitelnostiPředmět MatematikaRočník PrvníObor vzdělávání Učební oboryStupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzděláváníNázev DUM Š22_S1_05_Znaky dělitelnostiDatum 27.2.2013

SOŠ JOSEFA SOUSEDÍKA VSETÍN ZLÍNSKÝ KRAJ

2

Znaky dělitelnosti

Číslo je dělitelné:

• dvěma, má-li na místě jednotek některou z číslic 0,2,4,6,8

– 2, 8, 12, 18, 256, 1024

• třemi, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi

– 9, 15, 27, 135, 285, 768

• čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi

– 8, 48, 104, 2276, 2968, 6272, 102716

• pěti, má-li na místě jednotek 0 nebo 5

– 15, 70, 195, 1025, 2050, 165895

3

Znaky dělitelnosti

• šesti, je-li dělitelné dvěma a zároveň třemi

– 84, 114, 156, 378, 5544, 32538

• sedmi, je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný 7

– 1 778 861 (001 – 778 + 861 = 84 )

je-li rozdíl zbývající části a posledního čísla vynásobeného dvakrát dělitelný 7

– 1645 (164 – 5 · 2 = 164 – 10 = 154, 15 – 4 · 2 = 7)

• osmi, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi

– 16, 86, 184, 2920, 506032

4

Znaky dělitelnosti

• devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti

– 8, 99, 315, 1125, 5868, 61677

• deseti, má-li na místě jednotek 0

– 20, 350, 2560, 7840, 1205640

• Prvočísla

– přirozená čísla větší než jedna, která jsou dělitelná pouze číslem 1 a sebou samým

– 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19...

5

Příklady na procvičení

1. Z množiny čísel: 3, 9, 11, 15, 18, 24, 56, 61, 104, 123, 250, 284, 391, 565, 616, 905, 1040

a) Vyber všechna lichá čísla:

b) Vyber všechna čísla dělitelná trojkou:

c) Vyber všechna čísla dělitelná pětkou:

d) Vyber všechna čísla dělitelná čtverkou:

6

Řešení

1. Z množiny čísel: 3, 9, 11, 15, 18, 24, 56, 61, 104, 123, 250, 284, 391, 565, 616, 905, 1040

a) Vyber všechna lichá čísla: 3, 9, 11, 15, 61, 123, 391, 565, 905

b) Vyber všechna čísla dělitelná trojkou: 3, 9, 15, 18, 24, 123

c) Vyber všechna čísla dělitelná pětkou: 15, 250, 565, 905, 1040

d) Vyber všechna čísla dělitelná čtverkou: 24, 56, 104, 284, 616, 1040

7

Nejmenší společný násobek

• Nejmenší společný násobek daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným

násobkem všech daných čísel

• Nejmenší společný násobek zjistíme tak, že každé z čísel rozložíme na součin prvočísel.

Výsledkem je součin nejmenšího možného počtu všech prvočísel, která se vyskytují alespoň

v jednom rozkladu.

• Příklad: Urči společný násobek čísel 12 a 20.

– Číslo 12 rozložíme na součin prvočísel: 2 2 3

– Číslo 20 rozložíme na součin prvočísel 2 2 5

– Nejmenší společný součin prvočísel: 2 2 3 5 = 60

– Výsledek je tedy: n(12, 20) = 60.

8

Vyřeš příklady1. Najdi nejmenší společný násobek čísel 26 a 65.

2. Najdi nejmenší společný násobek čísel 15, 25 a 30.

9

Řešení

1. Najdi nejmenší společný násobek čísel 26 a 65.

– Číslo 26 rozložíme na součin prvočísel: 2 13

– Číslo 65 rozložíme na součin prvočísel: 5 13

– Nejmenší společný součin prvočísel: 2 5 13 = 130

– Výsledek je tedy: n(26, 65) = 130

2. Najdi nejmenší společný násobek čísel 15, 25 a 30.

– Číslo 15 rozložíme na součin prvočísel: 3 5

– Číslo 25 rozložíme na součin prvočísel: 5 5

– Číslo 30 rozložíme na součin prvočísel: 2 3 5

– Nejmenší společný součin prvočísel: 2 3 5 5

– Výsledek je tedy: n(15, 25, 30) = 150

10

Největší společný dělitel• Největší společný dělitel dvou celých čísel je největší číslo, které beze zbytku dělí obě čísla.

• Největší společný dělitel zjistíme tak, že každé z čísel rozložíme na součin prvočísel. Výsledkem je součin prvočísel, které jsou v rozkladech všech daných čísel.

• Příklad: Urči největšího společného dělitele čísel 54 a 90.– Číslo 54 rozložíme na součin prvočísel: 2 3 3 3– Číslo 54 rozložíme na součin prvočísel: 2 3 3 5– Součin prvočísel, které jsou rozkladech obou čísel: 2 3 3 = 18– Výsledek je tedy D(54, 90) = 18

11

Vyřeš příklady1. Urči největšího společného dělitele čísel 168 a 252.

2. Urči největšího společného dělitele čísel 24, 32 a 36.

12

Řešení

1. Urči největšího společného dělitele čísel 168 a 252.

– Číslo 168 rozložíme na součin prvočísel: 2 2 2 3 7

– Číslo 252 rozložíme na součin prvočísel: 2 2 3 3 7

– Součin prvočísel, které jsou rozkladech obou čísel: 2 2 3 7 = 84

– Výsledek je tedy D(168, 252) = 84

2. Urči největšího společného dělitele čísel 24, 32 a 36.

– Číslo 24 rozložíme na součin prvočísel: 2 2 2 3

– Číslo 32 rozložíme na součin prvočísel: 2 2 2 2 2

– Číslo 36 rozložíme na součin prvočísel: 2 2 3 3

– Součin prvočísel, které jsou rozkladech obou čísel: 2 2 = 4

– Výsledek je tedy D(24, 32, 36) = 4

13

Zdroje

Literatura:

1. CALDA, E. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. 1. vydání. Praha:

Prometheus, 2002. 239 s. ISBN 80-7196-253-8

2. SLOUKA, J. Prověrky z matematiky. Olomouc: FIN, 1992. 224s. ISBN 80-855-7227-3

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Lenka Závrská.