Dělitelnost součtu, rozdílu a součinu

Co platí pro dělitelnost součtu dvou čísel, jsou-li oba sčítance dělitelné týmž číslem?

Dělitelnost součtu

Je-li každý sčítanec dělitelný daným číslem, je tímto číslem dělitelný i jejich součet.

Dělitelnosti součtu

Rozhodněte, zda platí:

a) Není-li daným číslem dělitelný právě jeden z několika sčítanců, pak není tímto číslem dělitelný ani jejich součet.

b) Není-li daným číslem dělitelný žádný z několika sčítanců, pak není tímto číslem dělitelný ani jejich součet.

Neplatná tvrzení vysvětlete na příkladech.

Dělitelnosti součtu

Rozhodněte, zda platí:

a) Není-li daným číslem dělitelný právě jeden z několika sčítanců, pak není tímto číslem dělitelný ani jejich součet. Platí

b) Není-li daným číslem dělitelný žádný z několika sčítanců, pak není tímto číslem dělitelný ani jejich součet. Neplatí.

Např.: 4 + 3 = 7; součet je dělitelný sedmi, přestože žádný ze sčítanců není dělitelný sedmi.

Cvičení – 21/3

Vysvětlete, proč jsou následující součty násobky pěti:

a) 10 + 12 + 85 + 103

b) 11 + 22 + 33 + 44 + 55

Dělitelnost rozdílu

Co platí pro dělitelnost rozdílu dvou čísel, je-li menšenec i menšitel dělitelný týmž číslem?

Dělitelnost rozdílu

Jsou-li dvě čísla dělitelná daným číslem, je tímto číslem dělitelný i jejich rozdíl.

Cvičení – 22/6

Vhodným rozkladem na součet nebo rozdíl zdůvodněte, že platí:

a) 403 je dělitelné 13

b) 5 511 je dělitelné 11

c) 693 je dělitelné 7

d) 171 je dělitelné 19

Cvičení – 22/6 – řešení

Vhodným rozkladem na součet nebo rozdíl zdůvodněte, že platí:

a) 403 je dělitelné 13 → (390 + 13)

b) 5 511 je dělitelné 11 → (5500 + 11)

c) 693 je dělitelné 7 → (700 – 7)

d) 171 je dělitelné 19 → (190 – 19)

Cvičení – 22/6

Vhodným rozkladem na součet nebo rozdíl zdůvodněte, že platí:

e) 389 není dělitelné 13

f) 111 není dělitelné 11

g) 778 není dělitelné 7

h) 1 299 není dělitelné 13

Cvičení – 22/6

Vhodným rozkladem na součet nebo rozdíl zdůvodněte, že platí:

e) 389 není dělitelné 13 → (390 – 1)

f) 111 není dělitelné 11 → (110 + 1)

g) 778 není dělitelné 7 → (777 + 1)

h) 1 299 není dělitelné 13 → (1300 – 1)

Dělitelnost součinu

Co platí pro dělitelnost součinu?

Dělitelnost součinu

Co platí pro dělitelnost součinu?

Je-li v součinu několika čísel aspoň jeden z činitelů dělitelný daným číslem, je tímto číslem dělitelný i celý součin.

Znaky dělitelnosti

● Dvěma● Třemi● Čtyřmi● Pěti● Šesti● Osmi● Devíti● Desíti

Znaky dělitelnosti

● Dvěma – sudé číslo● Třemi● Čtyřmi● Pěti – číslo končí nulou nebo pětkou● Šesti● Osmi● Devíti● Desíti – číslo končí nulou

Znaky dělitelnosti

● Dvěma – sudé číslo● Třemi – ciferný součet dělitelný třemi● Čtyřmi● Pěti – číslo končí nulou nebo pětkou● Šesti● Osmi● Devíti – ciferný součet dělitelný devíti● Desíti – číslo končí nulou

Zdůvodnění dělitelnosti třemi a devíti

Obecné číslo např. AB CDE lze zapsat jako

E + 10 ∙ D + 100 ∙ C + 1 000 ∙ B + 10 000 ∙ A

(E+D+C+B+A) + 9 D + 99 C + 999 B + 9 999 A

Znaky dělitelnosti

● Dvěma – sudé číslo● Třemi – ciferný součet dělitelný třemi● Čtyřmi – poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi● Pěti – číslo končí nulou nebo pětkou● Šesti● Osmi – poslední trojčíslí je dělitelné osmi● Devíti – ciferný součet dělitelný devíti● Desíti – číslo končí nulou

Zdůvodnění dělitelnosti čtyřmi a osmi

Každá celá stovka je dělitelná 4, protože

100 : 4 = 25.

Každá celá tisícovka je dělitelná 8, protože

1000 : 8 = 125.

Znaky dělitelnosti

● Dvěma – sudé číslo● Třemi – ciferný součet dělitelný třemi● Čtyřmi – poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi● Pěti – číslo končí nulou nebo pětkou● Šesti – sudé číslo dělitelné třemi● Osmi – poslední trojčíslí je dělitelné osmi● Devíti – ciferný součet dělitelný devíti● Desíti – číslo končí nulou

Cvičení

28/1 – Dvě z napsaných čísel jsou dělitelná čtyřmi. Najděte je.

712, 730, 735, 842, 981, 1 802, 2 600

29/5 – Rozhodněte, zda jsou následující čísla dělitelná osmi:

3 979, 28 018, 28 020, 5 080, 5 030 120, 5 030 126, 12 356 008

Cvičení

28/1 – Dvě z napsaných čísel jsou dělitelná čtyřmi. Najděte je.

712, 730, 735, 842, 981, 1 802, 2 600

29/5 – Rozhodněte, zda jsou následující čísla dělitelná osmi:

3 979, 28 018, 28 020, 5 080, 5 030 120, 5 030 126, 12 356 008

Cvičení – 32/3

Z daných čísel vyberte ta, která jsou dělitelná devíti:

76, 98, 108, 715, 6 503, 7 245

Cvičení – 32/3 – řešení

Z daných čísel vyberte ta, která jsou dělitelná devíti:

76, 98, 108, 715, 6 503, 7 245

76 → 7 + 6 = 13 (ciferný součet není dělitelný 9)

98 → 9 + 8 = 17 (ciferný součet není dělitelný 9)

108 → 1 + 0 + 8 = 9

715 → 7 + 1 + 5 = 13 (není dělitelný 9)

6 503 → 6 + 5 + 0 + 3 = 14 (není dělitelný 9)

7 245 → 7 + 2 + 4 + 5 = 18