PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG2*A

PŘÍMKOVÉ PLOCHY

= plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy.

Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp.

plochami.

Je-li např. určena třemi křivkami k1, k2, k3, pak je množinou všech

přímek, které dané tři křivky protínají.

Je-li např. určena dvěma křivkami k1, k2 a jednou plochou k,

pak je přímková plocha množinou všech přímek, které protínají

dané křivky a dotýkají se dané plochy.

Řídící křivkou může být také přímka a to i nevlastní. Pokud je řídící přímka nevlastní, pak říkáme, že je dána řídící rovinou.

Např.: plochy, které jsou dané řídící rovinou a alespoň jednou řídící přímkou, nazýváme konoidy. Je-li řídící přímka kolmá (kosá) k řídící rovině je to konoid přímý (šikmý).

Přímkové plochy rozdělujeme na rozvinutelné a zborcené.

k

k

k

1

2

3p

k

k

k

1

2

p

ROZVINUTELNÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY

= přímková plocha, která má všechny tvořící přímky torzální, je rozvinutelná.

Rozvinutelné plochy jsou plocha válcová, plocha kuželová, plocha tečen prostorové křivky a rovina. Rovinu v tomto textu neuvažujeme.

k

V

k

k

Nejznámější plochou tečen prostorové křivky je plocha tečen šroubovice.

Tato plocha je rozvinutelnou šroubovou plochou. Řez této plochy rovinou kolmou k ose šroubovice je kruhová evolventa (křivka, která vzniká při pohybu bodu přímky při kotálení po kružnici).

O

z=o

yx

o

o

y

1

2

1,2

b

Rozvinutelnou plochu můžeme určit pouze dvěma křivkami.

Chceme-li sestrojit rozvinutelnou plochu, která je určena dvěma křivkami, pak z libovolného bodu jedné křivky promítneme druhou křivku (pomocí kuželové plochy). Tečnou t ve zvoleném bodě A ke křivce k, vedeme tečnou rovinu ke kuželové ploše. Přímka p, ve které se dotkne tečná rovina kuželové plochy, protne křivku k´ v bodě A´. Tečna v bodě A´ ke křivce k´ pak leží v již určené tečné rovině. Přímka p je přímkou na přímkové rozvinutelné ploše. Volbou dalších bodů na křivkách dostaneme další přímky hledané rozvinutelné přímkové plochy.

Pokud zadané řídící křivky k, k´ leží v rovinách r, r´, celá konstrukce se značně zjednoduší. Zvolíme si bod A na křivce k,v tomto bodě sestrojíme tečnu t k dané křivce k. Tato tečna tprotne průsečnici rovin v bodě R. Z bodu R pak vedeme tečnu t´(t´1, t´2) ke druhé křivce k´, dotykový bod označíme A´ (A´1, A´2).Přímka p = AA´ (p1 = AA´1, p2 = AA´2) je přímkou hledané rozvinutelné přímkové plochy.

Takové přímkové plochy se označují jako přechodové přímkové plochy.

r

r

k

k´A

t

´

Rt´

t´

1

2

A´

A´

1

2p

p

1

2

Příklad: Sestrojte přechodovou plochu mezi dvěma potrubími s kruhovým průřezem.

y1,2

o2

o2

o1o

1

´

´

y1,2

o2

o2

o1

o1

´

´

T

t

1 t´

T´

p

n

1

2r

r

T´

T

p

p

1

1

1

1

1

2

2

2

Příklad: Sestrojte přechodovou plochu „násypku“ mezi potrubími. Jedno má kruhový a druhé čtvercový průřez.

y

o

o

1,2

2

1

y

o

o

1,2

2

1

T

t

t´

T´

T

T´

1

1

1

1

2

2

ROZVINUTÍ (KOMPLANACE) ROZVINUTELNÝCH PLOCH DO ROVINY

Rozvinutelné plochy jsou jako jediné plochy rozvinutelné do roviny. Základem rozvinutí plochy je fakt, že se při rozvinutí z E3 do E2 musí zachovat délky oblouků křivek na ploše.

Ke komplanaci ploch se používají tyto metody: metoda normálního řezu a metoda triangulace.

A) METODA NORMÁLNÍHO ŘEZU

Normální řez je řez plochy rovinou, která je kolmá k površkám plochy. Tento řez se pak po rozvinutí zobrazí do úsečky, která je kolmá k površkám plochy.

Při rozvinutí válcové plochy pak postupujeme tak, že si zvolíme rovinu kolmou k površkám plochy. Určíme křivku, která je řezem plochy touto rovinou. Délku této křivky zjistíme pomocí rektifikace.

Určujeme-li další křivku na této ploše např. její podstavu, pak můžeme určit libovolnou površku plochy a na ní určit vzdálenost průsečíku površky s normálním řezem a průsečíkem površky s křivkou. Tuto vzdálenost pak nanášíme na obraz površkyv rozvinutí (zobrazí se jako kolmice k úsečce normálního řezu). Tím získáme bod na hledané rozvinuté křivce. Poté si volíme další površky, abychom mohli vykreslit křivku.

Na rotačním válci je normálním řezem jeho podstava.

Příklad: Rozviňte plášť kosého válce.

y1,2

Zvolíme libovolnou rovinu r, která je kolmá k površkám válce, tedy je kolmá k nárysně. Řezem válce takovou rovinou je elipsa e, v nárysu se zobrazí jako úsečka. Po rozvinutí se elipsa řezu zobrazí jako úsečka. Délku této úsečky e0

zjistíme rozvinutím této elipsy. Elipsu (resp. kruhovou podstavu) si rozdělíme na dvanáct úseků 1´2´, 2´3´, atd. (resp. 12, 23, atd.). Otočením řezu do jedné z průměten zjistíme skutečnou velikost řezu.

Skutečnou délku křivky řezu zjistíme rozvinutím elipsy. Skutečnou délku jednotlivých úseků 1020, 2030, atd. nanášíme na zvolenou přímku. Tím získáme délku obvodu elipsy. V bodech 10, 20, atd., pak sestrojíme kolmice k e0. Na tyto kolmice nanášíme skutečnou délku úseček 1´1, 2´2, atd., kterou zjistíme přímo z nárysu plochy 11´ = 121´2 .

1´2´

3´4´

5´6´

7´

1

2

34

5

6

71

1

11

1

1

1

1 2 3 4 5 6 72 2 2 2 2 2 2

2´ 3´ 4´

5´

6´

0 0 0

0

0

1´ 20́ 30́ 40́ 50́ 60́ 7´0 0

12

3

4

56 7

00

0

0

0

0 0

y1,2

n

p1

2r

r

e

e

e

1

2

0

1´

2´

3´

4´

5´

6´

7´

B) METODA TRIANGULACE

Při této metodě vlastně nahrazujeme plášť plochy plochou, která má trojúhelníkové stěny.

Pokud rozvíjíme kuželovou plochu, pak jeden vrchol trojúhelníka je vždy vrchol kuželové plochy.

Tvořící křivka, u kruhové kuželové plochy je to kružnice, se rozvine do kruhového oblouku. K dourčení rozvinutého pláště plochy musíme znát skutečnou délku površek.

V Mongeově promítání můžeme délku površek určit tak, že je otočíme kolem přímky kolmé k půdorysně jdoucím vrcholem plochy do roviny rovnoběžné s nárysnou.

Příklad: Rozviňte plášť kosého kruhového kužele.

V

V

y1,2

1

2

Podstavnou kružnici si rozdělíme pomocí dvanáctiúhelníku na dvanáct úseků 12, 23, atd. Nyní budeme postupně sestrojovat jednotlivé trojúhelníky 1V2, 2V3, atd. Skutečnou velikost stran jednotlivých trojúhelníků určíme pomocí otočení kolem kolmice k půdorysně procházející vrcholem V do roviny rovnoběžné s nárysnou. K úplně přesnému určení délek úseků 12, 23, atd. na kružnici by bylo nutné tyto oblouky zrektifikovat.

V

V

y

1

2

34

5

6

7

8

910

11

12

1 2 34

5 6 7

V

12 12

3 11

4 10

5 9

68

77

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

1,2

1

11

1

1

1

1

11

1

1

1

1

2 2 2

2

2 2 2

2

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY

Zborcenými přímkovými plochami nazýváme takové přímkové plochy, které obsahují regulární přímky. Tyto plochy se hojně používají ve stavební praxi, pro svou jednoduchou konstrukci, výborné statické vlastnosti a malou spotřebu materiálu.

Zborcené plochy jsou zadány třemi řídícími křivkami k1, k2, k3, příp. řídícími plochami. K vytvoření tvořících přímek zborcené plochy si zvolíme na jedné křivce bod A. Tímto bodem Aa zbývajícími křivkami jsou určeny kuželové plochy. Tyto kuželové plochy se protínají právě v tvořících přímkách p1, p2 zborcené plochy.

A

kkk1

2 3

p1

p2

ZBORCENÉ KVADRIKY

= jednodílný hyperboloid a hyperbolický paraboloid

Jednodílný hyperboloid

Zvolíme-li si tři mimoběžné přímky IIa, IIb, IIc, které nejsou rovnoběžné se stejnou rovinou, jako tvořící přímky přímkové plochy, pak všechny jejich příčky (Ia, Ib, Ic, …) určují jeden reguluszborceného jednodílného hyperboloidu. Příčky tří mimoběžných přímek z tohoto prvního regulutvoří druhý regulus jednodílného hyperboloidu.

Každá přímka z jednoho regulu protíná všechny přímky druhého regulu s výjimkou přímky, která je s ní rovnoběžná.

a b c

a

II I

II

bII

cII

Hyperbolický paraboloid (sedlová plocha)

- vzniká pohybem paraboly po hyperbole nebo hyperboly

po parabole.

Hyperbolický paraboloid vzniká mimo jiné zobrazením jednodílného

hyperboloidu pomocí středové kolineace. Z toho vidíme, že na

hyperbolickém paraboloidu existují také dva reguly přímek jako

u jednodílného hyperboloidu. V každém regulu je však také jedna

nevlastní přímka.

Zvolíme-li tři mimoběžky, z nichž jedna bude nevlastní, pak příčky zbývajících dvou vlastních mimoběžek protínají nevlastní přímku a jsou tedy rovnoběžné s rovinou, která je určena nevlastní přímkou. Tuto rovinu označujeme jako řídící rovinu hyperbolického paraboloidu. Takovéto řídící roviny má hyperbolický paraboloid dvě (protože má dva reguly přímek).

Pokud si zvolíme dvě přímky z každého regulu, pak takové přímky určují tzv. zborcený čtyřúhelník hyperbolického paraboloidu. Tímto čtyřúhelníkem je tato plocha přesně určena.

UŽITÍ:

Nejčastěji se používá k zastřešování objektů s nepravidelnými půdorysy, příp. rozlehlých staveb.

Například pokud chceme zkonstruovat střechu u objektu s nepravidelným půdorysem. Aby střecha budila estetický dojem, musí být její hřeben rovnoběžný s půdorysem střechy. Toho docílíme tak, že střecha bude tvořena třemi rovinnými trojúhelníky a čtvrtou část střechy bude tvořit hyperbolický paraboloid.

hyperbolický paraboloid

rovinné trojúhelníky

K zastřešení pomocí hyperbolického paraboloidu se používá také tzv. Aymondova báň.

Tato plocha se sestrojuje nad čtvercovým

půdorysem ABCD a je tvořena osmi shodnými

hyperbolickými paraboloidy, které jsou určeny

zborcenými čtyřúhelníky. Vrcholy jednoho z nich

jsou ASVW, kde S je střed strany AB, V je vrchol

báně a W leží na kolmici ze středu AD nad

bodem V. Část báně je pouze ta část

hyperbolického paraboloidu, která leží nad

trojúhelníkem ASV. Ostatních sedm částí získáme

souměrností podle rovin souměrnosti čtverce procházející

vrcholem Aymondovy báně.

A B

CD

V

S

W

V

SA =D

W

1 1 1

1

11

1

2 2 2

2

2

1,2y

DALŠÍ ZBORCENÉ PLOCHY

A) Konoidy

Tvořícími křivkami konoidu jsou křivka a dvě přímky, z nichž jedna je nevlastní. Tuto

nevlastní přímku nahrazujeme rovinou, která je určena danou nevlastní přímkou.

Tvořící přímky = přímky, které jsou rovnoběžné s rovinou a protínají dané křivky.

Přímý šroubový konoid – určen šroubovicí, přímkou a rovinou. Přímka a rovina

jsou na sebe kolmé, proto je nazýván přímým konoidem.

Přímý parabolický konoid – určen parabolou, přímkou a rovinou. Řídící přímka je kolmá k rovině.

Přímý kruhový konoid – určen kruhovým obloukem, přímkou a rovinou.

užívá se stejně jako přímý parabolický konoid na střechách továrních hal k dostatečnému osvětlení interiéru, nebo jako opěrná zeď tam, kde vznikají velké tlaky, které tato plocha může dobře rozložit (vodní nádrže, …)

Plückerův konoid (přímý eliptický konoid) – řídící křivka je eliptický řez válcové plochy, řídící přímka je povrchová přímka této válcové plochy a řídící rovina je kolmá k řídící přímce.

Eliptický konoid – určen eliptickým obloukem, přímkou a rovinou.

užívá se např. v křížové klenbě, kde však vystupují dva eliptické konoidy

Šikmý kulový konoid – tvořící přímky se dotýkají kulové plochy, protínají přímku a jsou rovnoběžné s rovinou (rovina a přímka nejsou k sobě kolmé)

B) Cylindroidy

Tyto plochy jsou určeny dvěma řídícími křivkami a jednou řídící rovinou (nevlastní přímkou).

Frézierův cylindroid – určen dvěma eliptickými oblouky a rovinou. Máme-li rotační válcovou plochu a na ní dva eliptické řezy, pak jeden z řezů posuneme směrem kolmým k ose válcové plochy. Řídící rovina je rovnoběžná s osou válce a směrem posunutí řezu.

- k určení klenby nad schodištěm

C) Konusoidy

Konusoidy jsou určeny dvěma křivkami a jednou vlastní přímkou.

Štramberská trúba (helmice) – určený kružnicí (nebo elipsou, nebo parabolou) a dvěma vlastními mimoběžnými kolmými přímkami. Řídící přímky jsou rovnoběžné s řídící křivkou.

- střecha nad kruhovým (eliptickým) půdorysem

• Montpelliérský oblouk – určen kruhovým obloukem a dvěma vlastními přímkami. Jedna z přímek prochází středem kruhového oblouku kolmo k jeho rovině a druhá je rovnoběžná s rovinou kruhového oblouku.

- klenba při přechodu válců do hranolů

Marseilleský oblouk – určen dvěma kruhovými oblouky, které jsou rovnoběžné a přímkou, která prochází středem jednoho oblouku kolmo k rovinám oblouků.

Plocha šikmého průchodu – určena dvěma shodnými kruhovými oblouky, které leží v rovnoběžných rovinách, a přímkou, která je kolmá k rovinám oblouků a prochází středem úsečky spojující středy kruhových oblouků.