17
FAKULTNÍ ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC, HÁLKOVA 4 ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Matematika a já Olomouc, červen 2019 Vedoucí práce: Silvia Angelina ASSENZA Šárka Kasalová
FAKULTNÍ ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC, HÁLKOVA 4
ZÁVĚREČNÁ PRÁCE
Matematika a já
Olomouc, červen 2019
Vedoucí práce:
Silvia Angelina ASSENZA
Šárka Kasalová
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
2
Obsah
1 KOPERNÍKŮV KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ ................................................................... 5
1.1 Co to je? ........................................................................................................................5
1.2 Koperníkovy prázdniny .................................................................................................5
2 KOMBINATORIKA ................................................................................................................. 6
Variace: Tato metoda se využívá, pokud z určité množiny čísel či objektů vybíráme v určitém
pořadí. .......................................................................................................................................6
Kombinace: Využívá se, pokud z určité množiny vybíráme čísla a nezáleží nám na pořadí těchto
čísel. ..........................................................................................................................................6
Příklad: ......................................................................................................................................6
Permutace: Určuje počet kombinací, jenž můžeme vytvořit z určité množiny čísel. ....................6
2.1 Kombinační číslo ..........................................................................................................7
2.2 Pascalův trojúhelník ......................................................................................................8
Blaise Pascal .........................................................................................................................8
2.3 Fraktály ....................................................................................................................... 10
3 Matematické hry a hlavolamy ...................................................................................................13
3.1 Špejle .......................................................................................................................... 13
3.2 Cesta ........................................................................................................................... 14
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
3
Abstrakt
Svoji závěrečnou práci píši na téma kombinatorika a části matematiky, které s ní souvisí. Také se
zmiňuji o Koperníkově Korespondenčním Semináři, kde jsem se vše naučila. Práce obsahuje i
Pascalův trojúhelník a matematické hry nebo hlavolamy.
Abstract
My final thesis is about my favourite parts of math. I mention KoKoS, which is seminar, where I
learnt almost everything, what is in this work. And I explain Pascal's Triangle and some puzzles.
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
4
ÚVOD
V této práci se zabývám zajímavou matematikou. Chci psát o Koperníkově Korespondenčním
Semináři, který je hlavním důvodem, proč jsem se začala o matematiku zajímat a mít ráda. Dále
budu psát o kombinatorice, která je podle mě jedna z velmi zajímavých části této přírodní vědy.
Toto téma jsem si vybrala, protože ho mám ráda díky matematickým soustředěním, na kterých
jsem se toho spoustu naučila. Jedním z témat této práce je Pascalův trojúhelník a Fraktály. Toto
téma jsem si vybrala, protože již před začátkem práce jsem věděla, co to je a chtěla jsem se
dozvědět více. Na konci se zmíním o dvou mých oblíbených matematických hrách.
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
5
1 KOPERNÍKŮV KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ
1.1 Co to je?
Hned zezačátku chci psát o semináři, díky kterému mám ráda a zajímám se o matematiku.
Koperníkův Korespondenční Seminář, zkráceně KokoS, je matematicko- fyzikální seminář vedený
několika studenty z Gymnázia Mikuláše Koperníka v Bílovci. Byl založen v roce 1980. Jednou za
pár měsíců vychází série matematických úloh doprovázené nějakým tematickým příběhem.
Účastnit se mohou žáci pátých až devátých tříd. Za jednu sérii je vždy možné získat čtyřicet bodů.
Úspěšnými řešiteli se poté stanou ti, kteří dosáhli za celý rok alespoň osmdesáti bodů. Ti nejlepší
jsou poté hodnoceni cenami. Vždy na jaře a na podzim se pořádají Koperníkovy prázdniny,
zkráceně Kopr. Organizátoři jsou pouze studenti GMK. Každé dopoledne si několik organizátorů
připraví přednáškový blok o délce devadesáti minut. Nejde pouze o matematiku nebo fyziku, jde o
zajímavé části vědy.
1.2 Koperníkovy prázdniny
V šesté třídě jsem se rozhodla, že vyzkouším matematickou olympiádu. Vždy jsem měla ráda
matematiku, ale nikdy jsem se ničeho takového neúčastnila. Jako jedna ze čtyř dětí jsem vyhrála
první místo v okresním kole. Na začátku sedmé třídy jsem dostala dopis z Bílovce od KoKoSu.
V obálce jsem kromě dopisu našla také leták s jejich úlohami a pozvánku na matematické
soustředění. Nejprve jsem nechtěla jet, bála jsem se, že nebudu ničemu rozumět, a že celé dny
budeme jen počítat. Můj strach byl ovšem zbytečný. Koperníkovy prázdniny, zkráceně Kopr, jsou
pro mě od sedmé třídy dva týdny v roce, na které se těším nejvíce. Každé soustředění má nějaké
téma celotáborové hry. Každé dopoledne máme dva bloky přednášek, které si pro nás studenti
připraví. Odpoledne se hrají různé hry, většinou se chodí po Bílovci a řeší se šifry, nebo si
zahrajeme nějaké klasické venkovní hry. Vždy se těším na večery, hraje se celotáborová hra, která
většinou nějak souvisí s matematikou, fyzikou, nebo chemií. Poznala jsem tady spoustu mých
dobrých kamarádů.
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
6
2 KOMBINATORIKA
Kombinatorická matematika se zabývá množinami čísel. Často se využívá k určení počtu různých
kombinací. K výpočtu se využívá kombinace, variace a permutace. Pro určení, kterou z metod
použijeme, musíme vědět, zda záleží na pořadí a zda se stejná čísla mohou objevovat vícekrát.
Variace: Tato metoda se využívá, pokud z určité množiny čísel či objektů vybíráme v určitém
pořadí.
Příklad:
Na závodech je dvacet účastníků. Kolika způsoby mohou obsadit první tři místa?
Kombinace: Využívá se, pokud z určité množiny vybíráme čísla a nezáleží nám na pořadí těchto
čísel.
Příklad:
Využívá to Sportka. Náhodné losování čísel, přičemž nezáleží na pořadí, ve kterém jsou
vybrány.
Permutace: Určuje počet kombinací, jenž můžeme vytvořit z určité množiny čísel.
Příklad:
Máme tři tužky a chceme zjistit, kolika způsoby je můžeme uložit do pouzdra se třemi
místy.
Kombinatorika se využívá také pro hacking. Brute force, neboli česky hrubá síla, se využívá
k prolomení hesel. Algoritmus, který využívá metodu variace, postupně zkouší všechna možná
hesla. Zkouší všechna možná čísla, písmenka, nebo znaky a skládá je dohromady a záleží na jejich
pořadí, proto metoda variace. Takovýto úkol zvládne asi jen stroj. Představme si, že heslo má
zrovna jen pět znaků a skládá se pouze z čísel. Máme deset různých číslic a každá se může
opakovat. Využijeme vzorec pro výpočet variace s opakováním (105) vyjde nám, že jen takovéto
heslo má 100 000 možných podob.
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
7
2.1 Kombinační číslo
Kombinační číslo je zlomkový zápis
, kde n, k ∈ ∧ k ≤ n (čísla n a k náleží do přirozených
čísel včetně nuly, k musí být stejně velké nebo menší číslo než n)
! = faktoriál (4!=4 3 2 1)
Obecný vzorec:
=
( )
Příklad:
=
( ) =
=
=
= 21
Základní vlastnosti:
=
= 1
Příklad:
=
( ) =
= 1
=
= 1
= n
Příklad:
=
( ) =
= 5
=
( ) =
= 14
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
8
=
Příklad:
=
( ) =
=
=
= 120
=
( )
=
=
= 120
2.2 Pascalův trojúhelník
Blaise Pascal
Narodil se 19. června 1623 v Clermontu ve Francii. Byl to fyzik, matematik, teolog, náboženský
filozof a spisovatel. Již v deseti letech si sám dokázal odvodit několik vět Eukleidovské geometrie.
V roce 1642 vytvořil první mechanický počítací stroj, co uměl sčítat a odčítat, nazval ho Pascalina.
Věnoval se geometrii a objevil tzv. Pascalovu větu o kuželosečkách. Významně přispěl k vývoji
kombinatoriky, objevil tzv. Pascalův trojúhelník. Ve fyzikální oblasti formuloval zákon o šíření
tlaku v kapalinách, Pascalův zákon. Na Pascalově zákoně je založena celá hydraulika. Jednotka
tlaku se po něm nazývá Pascal.
Pascalův trojúhelník je geometrický útvar v podobě trojúhelníku, jehož jednotlivé řádky tvoří
kombinační čísla a přirozená čísla. Je nekonečný. Nacházejí se zde všechna čísla. Je to pomůcka při
počítání binomické věty. Binomická věta zobecňuje základní vzorce jako ( ) Jednoduchý
vzorec ( ) převede do tvaru
.
Základní vzorce a odvození Pascalova trojúhelníku z Binomické věty:
(a + b)1 a + b 1 1
(a + b)2 a
2 + 2ab + b
2 1 2 1
(a + b)3 a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3 1 3 3 1
(a + b)4 a
4 + 4a
3b + 6a
2b
2 + 4ab
3 + b
4 1 4 6 4 1
Takto budou řádky Pascalova trojúhelníku postupovat podle Binomické věty do nekonečna.
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
9
Zajímavé vlastnosti:
Pascalův trojúhelník obsahuje mnoho zajímavostí. Pokud si všimneme, jak se trojúhelník rozvíjí,
uvidíme, že každé jeho číslo je vlastně součtem dvou čísel nad ním. Takže pokud si uděláme základ
a chceme třeba osmý řádek PT, stačí pouze sčítat každé dvě čísla vedle sebe a součet napsat pod ně,
a takto budeme postupovat, dokud nedojdeme na osmý řádek.
Pokud si v PT označíme všechny sudá, nebo lichá čísla, vzniknou nám malé, postupně se zvětšující
trojúhelníky, které tvoří fraktály. To samé bude platit, i když si označíme všechny násobky čísla n.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Sudá čísla
Násobky tří
Násobky pěti
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
10
Různé násobky, lichá, sudá čísla, prvočísla atd. tvoří stále se
opakující trojúhelníky nebo poté i velmi zajímavé pravidelné
obrazce. Tvoří fraktály.
Obrázek 1 Přirozená čísla
2.3 Fraktály
Fraktál poprvé zmínil Benoît Mandelbrot v roce 1975. Latinský překlad je „fractus“, neboli rozbitý.
Ovšem útvary jako Kochova křivka, o které se zmíním později, byly známy již předtím. Fraktály
jsou geometrické objekty, které můžu zvětšovat či zmenšovat, jak chci, ale typický tvar se bude
stále opakovat. Na fraktály můžeme narazit při studii fyziky, chemie, matematiky, či biologie.
V přírodě je můžeme vidět například u kapradin, šišek, mušlí a spoustu dalších objektů. Jsou všude
kolem nás, například spirálu jsme všichni určitě viděli. Fraktály mají několik rozdělení, která se
používají při výpočtech, které určují rozvoj, sklon, atd.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Obrázek 2 Kombinační čísla
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
11
Obrázek 3, Bransleyho kapradí
Systém iterovaných funkcí (IFS) je generovaná metoda vytváření fraktálů.
Kochova křivka je jedna z prvních popsaných fraktálních křivek. Známe ji možná pod pojmem
Kochova vločka. Kochova vločka je spojením tří Kochových křivek. Vznik Kochovy vločky je
velmi jednoduchý. Dokola se opakují stejné kroky. Máme úsečku, rozdělíme ji na třetiny, do
prostřední třetiny vložíme rovnostranný trojúhelník. Tyto kroky opakujeme. Můžeme je opakovat
do nekonečna. Obvod této křivky je nekonečný, ale obsah ne, je roven
původního trojúhelníku.
Obrázek 4, Kochova vločka
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
12
Kochova vločka se může různě měnit. Jedna varianta je Cesàrův fraktál. Má sklon mezi 60 až 90
stupni.
Obrázek 5, Cesàrův fraktál
Sierpinského fraktál jeden z nejznámějších fraktálů. Vznikne tím, že z trojúhelníku vyřízneme
trojúhelník tvořený jeho středními příčkami. Tento krok opakujeme stále dokola. Nemusíme
vyřezávat pouze z trojúhelníku, můžeme vyřezávat z obdélníku, z toho vznikne tzv. Sierpinského
koberec. Dokonce nemusíme zůstávat pouze v dvourozměrné dimenzi. Například Mengerova
houba je trojrozměrný objekt založený na stejném principu.
Obrázek 6, Sierpinského trojúhelník
Mandelbrotova množina je velmi známý fraktál. Nebo spíše fraktál tvoří její okraj. Ke každému
komplexnímu číslu c přiřadíme určitou posloupnost komplexních čísel z. (Komplexní číslo je
uspořádaná dvojice, kde jedno číslo je reálné a jedno imaginární.) Mandelbrotova množina je
definována rovnicí: . Je to potvrzení teorie, že i jednoduché systémy mohou vykazovat
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
13
chaotické chování. Byla objevena Benoitem Mandelbrotem v 70. letech dvacátého století.
Obrázek 7, Mandelbrotova množina
3 Matematické hry a hlavolamy
Velmi ráda hraju matematické hry. Hodně ráda mám například špejle. Tuto, i většinu dalších her,
jsem se naučila na KoPru. Jde především o to, přijít na způsob hraní. Se spolužačkou jsme ji
několikrát hrály a vždy se mě snažila porazit, ale dokud nepřišla na způsob, jak vyhrát, bylo to
skoro nemožné. Popíšu pár her, vysvětlím pravidla a prozradím i způsob, jak vyhrát.
3.1 Špejle
Spíš než hra, jsou špejle dobrý způsob, jak se vsadit s kamarády, že vždycky vyhrajete. Vybereme
si libovolný počet špejlí. Ale je to možné hrát skoro se vším. Řekněme třicet špejlí. Dále si
zvolíme, kolik špejlí můžeme brát v jednom tahu. Například jednu až tři. Vyhrává ten, kdo bere
poslední špejli. Pokud tuto hru znají oba hráči, pak by asi oba napadlo, že chtějí hrát jako první.
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
14
Asi si říkáte, proč? Vždy to záleží na počtu špejlí a na tom, kolik můžeme maximálně brát. Pokud
máme třicet špejlí a maximální počet braní je tři, pak musíme vydělit počet špejlí čtyřmi. Vždy
dělíme číslem, které je o jedno číslo větší, než maximální počet, který můžeme brát. Třicet děleno
čtyřmi má zbytek dva, takže chceme začínat, abychom snížili počet špejlí na číslo dělitelné čtyřmi.
Poté hraje druhý hráč, řekněme, že vezme ze stolu dvě špejle, já pak doberu do čtyř. Takto budu
postupovat až do konce, než vezmu poslední špejli. Můj oponent nemá jinou šanci na výhru, než že
udělám chybu. Proto nemá cenu hrát tuto hru, pokud oba hráči znají tento postup. Pokud jste
vynalézaví, můžete si zkusit domyslet, jak hrát, abyste určitě nebrali poslední špejli.
3.2 Cesta
Představme si na šachovém poli dámu, které stojí v pravém horním rohu. Hrají dva hráči a cílem
hry je dostat dámu do levého spodního rohu. Kdo udělá poslední tah, vyhrává. Každý hráč může
v jednom tahu pohnout dámou libovolný počet políček vodorovně, nebo svisle. Pokud chci vyhrát a
znám postup, stačí, aby začínal druhý hráč. Ať pohne kamkoliv, já vždy v dalším tahu pohnu
dámou tak, aby stála na políčku, které je na ose desky.
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
15
Závěr
V této práci jsem psala o tématu, které jsem měla ráda předtím, ale teď ještě více. Jsem ráda, že
jsem si toto téma vybrala. Velmi mě zaujal Pascalův trojúhelník a kolik toho v sobě skrývá.
Naučila jsem se, co je to Binomická věta, kombinační číslo a dozvěděla jsem se o několika typech
fraktálů. Na základní škole jsem s těmito tématy nesetkala. Jednou jsme se v matematice bavili o
fraktálech, ale jen okrajově. Jsem zvědavá, jestli se těmito tématy budeme zabývat na střední škole.
Vím, že kombinatorika se probírá, ale o Pascalově trojúhelníku se moc nemluví, což je podle mě
škoda. Kdybych si měla znovu vybrat nějaké téma, neváhala bych a vybrala bych si stejně.
Prohlašuji, že na celé práci jsem pracovala samostatně a uvedla jsem použitou literaturu.
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
16
V Olomouci, červen 2019 _______________________
Fakultní základní škola Olomouc, Hálkova 4
17
podpis
Literatura a zdroje [online]. [cit. 2019-05-30]. Dostupné z: https://matematika.cz/kombinace
[online]. [cit. 2019-05-30]. Dostupné z:
http://www.spskarvina.cz/projekty/Ict2005/manual/data/matematika/VYUKA/10.kombinatorika/2.
kombinacni_cislo.pdf?fbclid=IwAR28Sl0sMwUj63c3KKivrNCa4kHFvwlIkgXqGrfMfrufCfnu1x8
Ro02CGCk
[online]. [cit. 2019-05-30]. Dostupné z: https://matematika.cz/binomicka-veta
Binomická věta
[online]. [cit. 2019-06-03]. Dostupné z:
http://www.gymklob.info/matematika/kombinatorika/04binomicka_veta.htm
[online]. [cit. 2019-06-05]. Dostupné z: http://www.fit.vutbr.cz/~tisnovpa/fract/clanky/3.htm
Obr. 1 Pascalův trojúhelník [online]. In: . [cit. 2019-05-30]. Dostupné z:
http://www.aristoteles.cz/matematika/kombinatorika/kombinacni-cisla-a-pascaluv-trojuhelnik.php
Obr. 2 Pascalův trojúhelník [online]. In: . [cit. 2019-05-30]. Dostupné z: https://www.gsos.cz/wp-
content/uploads/2016/10/Pascal%C5%AFv-troj%C3%BAheln%C3%ADk-Dominik-Lustig.pdf
Obr. 3 [online]. In: . [cit. 2019-06-05]. Dostupné z:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/76/Barnsley_fern_plotted_with_VisSim.PNG
Obr. 4 [online]. In: . [cit. 2019-06-05]. Dostupné z:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8e/KochFlake.png
Obr. 5 [online]. In: . [cit. 2019-06-05]. Dostupné z:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Koch_Curve_85degrees.svg
Obr. 6 [online]. In: . [cit. 2019-06-05]. Dostupné z:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/Sierpinski-Trigon-7.svg
Obr. 7 [online]. In: . [cit. 2019-06-10]. Dostupné z:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Mandelbrotova_množina#/media/Soubor:Mandelset_hires.png
Obr. 8 [online]. In: . [cit. 2019-06-14]. Dostupné z:
http://casopis.mensa.cz/bystrirna/draci_sachy_drakoburg.html
