p13 – 1

13. Prostý ohyb

13.1. Definice

Prostý ohyb je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže– jsou splněny prutové předpoklady,– příčné průřezy se vzájemně natáčejí kolem osy ležící v příčném průřezu a následnědeformují,

– nenulové složky VVÚ jsou pouze ohybové momenty ~Moy, ~Moz,– deformace prutu jsou pro řešení statické rovnováhy prvku nepodstatné.

prostápružnost

prutovépředpoklady

Poznámka: Ze Schwedlerovy věty T = dMo/dx plyne, že má-li být posouvající síla Tnulová, musí být ~Mo = ~konst. To je přesně splněno jen při zatížení silovými dvojicemi.

Protože u prostého ohybu jsou nenulové dvě složky VVÚ ( ~Moy, ~Moz), je jeho řešení složi-tější než u ostatních typů jednoduchého namáhání. Tento typ ohybu nazýváme ohybemobecným (někdy šikmým nebo prostorovým).

Pro zjednodušení odvodíme veškeré vztahy pro tzv. základní ohyb, při němž je jen jednaze složek ohybového momentu nenulová, konkrétně pro Moy 6= 0,Moz = 0.

OBSAH další

p13 – 2

13.2. Geometrické vztahy

Z prutu uvolníme prvek jednonásobně elementární Ω1a z něj trojnásobně elementární Ω3. Prvek Ω1 se defor-muje tak, že se limitně blízké příčné průřezy ψ1, ψ2– natočí kolem přímky ležící v příčném průřezu,přičemž původní délka dx prvku Ω3 se změnío deformační posuv du,

– průřezy prutu zůstanou kolmé k deformovanéstřednici prutu, tj. nezmění se pravé úhly α, βprvků Ω1 a Ω3.

Protože příčný průřez podle prutových předpokladů zůstává i po natočení rovinný a při předpokladyprutovézvoleném základním ohybu (Moy =Mo 6= 0) se natáčí kolem přímky rovnoběžné s osou y,

jsou posuvy du nezávislé na souřadnici y a pro jejich popis postačuje rovnice přímky(řešíme v rovině (x, z)): du(z) = a1 + b1z.

Těmto deformacím odpovídají složky tenzoru přetvoření:

– délkové přetvoření ve směru střednice prutu

εx(z) =du(z)dx

= a+ bz,

– nulová úhlová přetvoření γxy = γxz = 0.V důsledku příčné kontrakce vznikají v každém bodě prutu různěvelká příčná přetvoření εy = εz = −µεx.

přetvoření

předchozí OBSAH další

p13 – 3

U prostého ohybu jsou délková přetvoření rozložena v příčném průřezu lineárně a úhlovápřetvoření jsou nulová.

V každém bodě prutu tedy vzniká obecný trojosý stav deformace, popsaný tenzorem

přetvoření ve tvaru Tε =

εx 0 00 εy 00 0 εz

. Deformace je na rozdíl od prostého tahu tenzorpřetvoření

nehomogenní po průřezu, hodnoty jsou v každém bodě různé.

13.3. Rozložení napětí v příčném průřezu

Pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) platí stejně jako propřetvoření εx lineární závislost i pro normálové napětí σx:

σx(z) = Eεx(z) = E(a+ bz).

Pro smykové napětí platí vztah τ = E2(1 + µ)γ = Gγ.

Hookůvzákon

Protože γxy = γxz = 0, je i τxy = τxz = 0.

Ostatní složky tenzoru napětí (σy, σz, τyz) jsou nulové na základě prutových předpokladů. prutovépředpokladyJediným nenulovým napětím je tedy normálové napětí σx rozložené lineárně v příčném

průřezu.

U prostého ohybu vzniká v bodech prutu jednoosá napjatost, ale na rozdíl od prostéhotahu není homogenní.

předchozí OBSAH další

p13 – 4

13.4. Závislost mezi VVÚ a napětím

Vztah pro napětí σ(z) odvodíme z podmínek statické ekviva-lence mezi soustavou elementárních plošných sil σdS~i a jejichvýslednicí ~Moy v příčném průřezu ψ prvku Ω0, které sestavímev lokálním souřadnicovém systému podle obrázku. Použitelnépodmínky statické ekvivalence pro soustavu rovnoběžných silv prostoru jsou tři:

statickáekvivalence

∫∫ψ

σdS = 0, Moy =∫∫ψ

z σdS, Moz = −∫∫ψ

y σdS = 0.

staticképodmínky

předchozí OBSAH další

p13 – 5

Dosadíme σ = E(a+ bz):

E∫∫ψ

(a+ bz)dS = 0 ⇒ a∫∫ψ

dS + b∫∫ψ

zdS = 0 ⇒ a = 0,

protože∫∫ψzdS = Uy = 0 v centrálním souřadnicovém systému.

Moy = E∫∫ψ

(a+ bz)zdS = E(a∫∫ψ

zdS + b∫∫ψ

z2dS) ⇒ b = MoyEJy

Dosazením a, b do vztahu pro napětí, dostáváme

napětí

centrální s.s.

σ = E(a+ bz) = EMoyEJy

z ⇒ σ = MoyJy

z.

Vztah však platí pouze tehdy, je-li splněna i třetí použitelná podmínka statické ekviva-lence, což je jedině v hlavním centrálním souřadnicovém systému

Moz = −E∫∫ψ

(a+ bz)ydS = −EMoyEJy

∫∫ψ

yzdS =MoyJy

Jyz = 0 ⇒ Jyz = 0

hlavní cent-rální s.s.

předchozí OBSAH další

p13 – 6

Poznámka:

V případě nenulového momentu Moz platí obdobný vztah pro napětí

σ = −MozJz

y.

Protože obě tato napětí mají směr osy x, je možné je v případě obecného ohybu alge-braicky sečíst:

σ =MoyJy

z − MozJz

y.

Všechny tyto vztahy platí jen v hlavním centrálním souřadnicovém systému. Základníohyb proto nastává tehdy, je-li nositelka ohybového momentu totožná s některou z hlav-ních centrálních os průřezu (např. osou symetrie).

předchozí OBSAH další

p13 – 7

13.5. Extrémní napětí

Pro usnadnění popisu rozložení napětí v průřezu nejprve zavedeme označení neutrálníosa pro přímku, která má tyto vlastnosti:

– leží v příčném průřezu a prochází jeho těžištěm,– ve všech jejích bodech je σ = 0, a tedy i ε = 0,– rozděluje průřez na dvě části, z nichž v jedné působí napětí kladná a v druhé záporná.

Ze vztahu pro napětí u základního ohybu (Moy 6= 0) je zřejmé, že neutrální osou je osa y,která je současně nositelkou ohybového momentu. Vzhledem k lineárnímu rozložení napětíbudou jeho extrémní absolutní hodnoty v bodech od této osy nejvzdálenějších.

σmax =MoyJy

zmax

předchozí OBSAH další

p13 – 8

Body s největší souřadnicí z jsou tedynebezpečnými body. U základního ohybuje možno zavést tzv. modul průřezuv ohybu Wo [m3], definovaný jako podílkvadratického osového momentu příčnéhoprůřezu vzhledem k neutrální ose a vzdále-nosti nejodlehlejšího bodu obrysové čáry odneutrální osy (Wo = Jy/zmax). Pak můžememaximální napětí vyjádřit:

σmax =MoyJy

zmax =MoWo

.

POZOR! Wo není aditivní veličina!!! Např. pro mezikruhový průřezho musíme určit odečtením osových kvadratických momentů, zatímcozmax = D/2 se nemění!

Wo =JyD2=πD464 −

πd464

D2

=πD3

32

1− ( dD

)4

kvadratickýmoment

U obecného ohybu je určení extrémních napětí podstatně složitější.

předchozí OBSAH další

p13 – 9

13.6. Energie napjatosti

V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napjatosti A = W .V kapitole 11.6 byl pro jednoosou napjatost odvozen vztah pro energii napjatosti trojná- energie

napjatostisobně elementárního prvku

WΩ3 = A(σdS) = ΛdSdx =12σ2

EdSdx.

Energii napjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω1 dostaneme integrací energieWΩ3(do které dosadíme napětí podle vztahu σ(z) =

MoyJy

z) přes plochu ψ: napětí

WΩ1 =∫∫ψ

12σ2

EdxdS =

12E

∫∫ψ

M2oyJ2y

z2dSdx =M2oy2EJy

dx,

protože∫∫ψz2dS = Jy. V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti daná inte-

grálem energií elementárních prvků Ω1 po délce prutu

W=

l∫0

WΩ1 =l∫0

M2oy2EJy

dx.

Pro obecný ohyb (Moy 6= 0,Moz 6= 0) je energie napjatosti dána superpozicí příspěvkůdvou základních prostých ohybů (od složek ~Moy, ~Moz): základní

ohybW = WMoy +WMoz .

Vztahy platí jen pro hlavní centrální souřadnicový systém (Jyz = 0)! hlavní s.s.

předchozí OBSAH další

p13 – 10

13.7. Vyjádření deformačních charakteristik střednicedeformačnícharakteristiky

prostý ohyb

Při ohybovém namáhání přímého prizmatického prutu se jeho střednice ohýbá a vytváříohybovou čáru. Podle prutových předpokladů příčné průřezy zůstávají rovinné a kolmék ohybové čáře. Posuvy libovolného bodu příčného průřezu tedy můžeme určit, budeme-liznát průhyby a úhly natočení v jednotlivých bodech střednice (jako průhyby označu-jeme složky posuvů kolmé ke střednici), které jsou proto základními deformačními cha-rakteristikami prostého ohybu. Určujeme je z rovnice ohybové čáry.

Jednonásobně elementární prvek Ω1 se de-formuje tak, že se dva soumezné příčné prů-řezy vzájemně natočí kolem neutrální osyo úhel dϕ. Neutrální osy v jednotlivých prů-řezech vytvářejí dohromady neutrální ro-vinu, v níž jsou napětí a přetvoření nulová.Délka trojnásobně elementárního prvku Ω3,daná úsečkou GH, se protažením a zakřive-ním prvku změní na Ĝ’H’.Pro odvození rovnice ohybové čáry bu-deme uvažovat základní ohyb takový,že ohybový moment ve směru osy y jerůzný od nuly, ve směru osy z roven nule( ~Moy 6= 0, ~Moz = 0).

prutovépředpoklady

neutrální osa

předchozí OBSAH další

p13 – 11

Prvek Ω3 se střednicí ve vzdálenosti z od neutrální osy měl předdeformací délku rdϕ (tj. stejnou jako úsečka OA, jejíž protaženíje zanedbatelné) a po deformaci (r + z)dϕ.Délkové přetvoření prvku Ω3 tedy je

εΩ3 =(r + z)dϕ− rdϕ

rdϕ=z

r

U ohybu vzniká jednoosá napjatost, a protože uvažujeme zá-kladní ohyb od složky ohybového momentu ~Moy, platí

εΩ3 =σ

E=MoyEJy

z.

přetvoření

napjatostjednoosá

napětí

Hookůvzákon

Porovnáním zr =MoyEJy

z ⇒ 1r =MoyEJy

dostáváme křivost deformované střednice 1r ,

resp. poloměr zakřivení střednice r.

Poznámka:

Analogicky pro druhý základní ohyb ~Moz dostaneme vztah 1r =MozEJz. základní

ohybPokud bude výraz

Moy(x)EJy(x)

podél střednice konstantní (dáno předpoklady prostého ohybu), ohybbude mít zdeformovaná střednice tvar části kružnice. V praxi jsou ale daleko častější pří-pady, kdy Mo(x) 6=konst. Důsledkem je, že 1r 6= konst. a ohybová čára je obecná rovinnákřivka. (O vlivu posouvající síly, která nutně vzniká při Mo(x) 6= konst., bude pojednánov kapitole 13.9.2.) vliv T

předchozí OBSAH další

p13 – 12

V matematice se pro křivost rovinné křivky znázor-ňující funkci z = z(x) odvozuje vztah

1r(x)

=±d

2zdx2

[1 + (dzdx)2]32

=±w′′

(1 + w′2)32

,

kde posuv bodu střednice ve směru osy z (průhyb)jsme označili w. Porovnáním s odvozenou křivostídostaneme diferenciální rovnici ohybové čáry

±w′′

(1 + w′2)32

=MoyEJy

.

Jedná se o obecnou, nelineární diferenciální rovnici 2. řádu, analyticky řešitelnou jen vespeciálních případech.

Pro většinu strojních součástí jsou charakteristické malé deformace. Pro úhel nato-čení ϕ < 0, 1 rad platí w′ = tg ϕ .= ϕ a w′2 < 0, 01 můžeme vůči 1 zanedbat.

Promalé deformace dostaneme obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu s pravoustranou, řešitelnou přímou integrací:

w′′ = −MoyEJy .

Záporné znaménko v rovnici je důsledkem zavedených znaménkových konvencí a orientaceos.

předchozí OBSAH další

p13 – 13

Poznámka ke znaménku v rovnici:Volba znaménka souvisí se znaménkovou konvencímomentu Moy(x) a s orientací globálního souřadni-cového systému. Veličiny E, Jy(x), w′2(x) jsou vždykladné. Kladný ohybový moment Moy(x) způsobujedeformaci střednice naznačenou na obrázku. Je zdezakreslen i průběh w′(x), tj. úhlu natočení střednice.Je zřejmé, že w′′(x) (směrnice tečny k w′(x)) je podélcelé střednice prutu záporná. Odtud vyplývá:

pro Moy(x) > 0 je w′′(x) < 0 a tedy bude-li osa +z orientována směrem dolů (nahoru),

bude ve vztahu ±w′′ = MoyEJy záporné (kladné) znaménko. V námi zavedené orientaci sou-řadnicových os platí tedy záporné znaménko.

předchozí OBSAH další

p13 – 14

13.8. Deformace příčného průřezu

Vlivem součinitele příčné kontrakce jsou přetvoření εy, εz nenulová, takže dochází ke změ-nám rozměrů příčných průřezů v důsledku deformace. Jejich určení je však obtížnější nežu prostého tahu, protože stav deformace v bodech prutu je nehomogenní. Pro praxi je deformacetato deformace obvykle nepodstatná.

13.9. Oblasti použitelnosti prostého ohybu prutů

13.9.1. Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu

a) Spojitě proměnný příčný průřez

Uvažujme prut se spojitě se měnícím příčným průřezem, ve všech průřezech je konstantníohybový moment ~Mo a hlavní osy v jednotlivých průřezech jsou navzájem rovnoběžné(prut je nešroubovitý).

V kapitole 11.10.1 je odvozeno, že v příčných průřezech vznikne proN 6= 0 smykové napětí. Podobně i pro namáhání ohybem se dá od-vodit, že proměnnost velikosti příčného průřezu podél střednice prutuzpůsobuje vznik smykových napětí v příčných průřezech.

odvození

Podobně jako u prostého tahu zde platí, že bude-li změna příčného průřezu malá, bu-dou malá i smyková napětí v poměru k napětí normálovému (τ � σ) a tuto odchylkuod prutových předpokladů můžeme považovat za nepodstatnou. Pro určování deformace prutové

předpokladya napjatosti můžeme pak použít vztahy prosté pružnosti.

předchozí OBSAH další

p13 – 15

b) Náhlé změny příčného průřezu (vruby)

Místo největší koncentrace napětí nazýváme kořen vrubu. Hodnota maximálního napětí seurčuje pomocí vztahu σmax = ασn, kde α je součinitel koncentrace napětí, σn je nominální vruby

α grafynapětí v místě vrubu, které je vypočteno ze vztahů prosté pružnosti a pevnosti.

napětí

Příklad 602

Na příkladu průběhu napětí v místě vrubu prutu,zatíženého v případě a) tahem a v případě b) ohy-bem jsou vidět odlišnosti:1. u ohybu může existovat koncentrace napětísoučasně jak v oblasti tahové, tak tlakové,

2. u ohybu má poloha vrubu vliv na koncentracinapětí (odlišný charakter koncentrace v zá-vislosti na poloze vrubu v příčném průřezuprutu),

3. koncentrace napětí v kořeni vrubu umístěného v blíz-kosti neutrální osy nemusí u ohybu překročit nomi-nální napětí na obvodu, zatímco u tahu, kde je ho-mogenní napjatost, bude napětí v kořeni vrubu vždynejvětší.

předchozí OBSAH další

p13 – 16

13.9.2. Proměnnost ohybového momentu podél střednice

Předpoklady prostého ohybu může splnit jedině prut zatížený osamělými silovými dvoji-cemi, pro nějž platí

– posouvající síla T (x) = 0,– ohybový moment Mo(x) =M = konst. v jednotlivých intervalech,Pak smyková napětí v příčných průřezech nevznikají.

V praxi je daleko častější prut zatížený osamělými silami nebo spojitým liniovým za-tížením v příčném směru, u nějž je posouvající síla nenulová a ohybový moment neníkonstantní. Pro takovýto prut se často používá tradiční název nosník. U něj vzniká slo-žitější typ napjatosti:

– od ohybových momentů ~Mo vznikají v příčných průřezech normálovánapětí σ.

– od posouvající síly ~T vznikají v příčných průřezech smyková napětí τ .

Příčné zatížení vede vždy ke vzniku smykových napětí v příčných průřezech.

Velikost a rozdělení smykových napětí v příčných průřezech s obecným tvarem obrysovékřivky a s obecnou polohou nositelky posouvající síly je možno stanovit metodami obecné

předchozí OBSAH další

p13 – 17

pružnosti nebo MKP. Na úrovni pružnosti prutů se smyková napětí určují pro 2 případy:

1. příčné průřezy alespoň s 1 osou symetrie,2. tenkostěnné příčné průřezy – profily I, U, T za předpokladu, že

– prut je prizmatický,– povrch prutu není zatížen smykovými silami.

V literatuře lze nalézt vztah pro výpočet smykového napětí,který se někdy nazývá Žuravského vzorec.

τ(x, z) =T (x)Uyψ1(z)

b(z)Jy,

kde Uyψ1(z) je statický moment plochy ψ1(z) k neutrální ose.

statickýmoment

neutrální osa

Tento vzorec je odvozen za předpokladu, že nositelka posouvající síly je osou symetriepříčného průřezu a smyková napětí jsou po jeho šířce rozložena rovnoměrně. Z něj dosta-neme vztahy pro

maximální smykové napětí

a) v obdélníkovém průřezu: τmax =32T

S

b) v kruhovém průřezu: τmax =43T

S

předchozí OBSAH další

p13 – 18

Poznámka:

Je tedy zřejmé, že v praxi někdy používaná hodnota tzv. smluvního smykového napětíτs = T/S vede ke značnému podhodnocení smykových napětí. Navíc u některých profilůnejsou všude splněny ani předpoklady Žuravského vztahu a extrémní smyková napětí jsouve skutečnosti ještě vyšší.

Pro výpočet deformačních parametrů využitím Castiglianovy věty je třeba do energie Castiglianovavětanapjatosti zahrnout i vliv posouvající síly. Pro měrnou energii napjatosti od smykových

napětí byl odvozen vztah Λ = τ2

2G . Jeho integrací přes průřez ψ dostaneme energii na- Λpjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω1, v jehož příčném průřezu působí smykovénapětí τ vyvolané posouvající silou ~T

WΩ1 =∫∫ψ

τ 2

2GdSdx =

12G

∫∫ψ

T 2U2yψ1(z)

b2(z)J2ydxdS.

Vztah upravíme, zlomek rozšíříme o plochu S a výraz (v hranaté závorce), který závisípouze na průřezových charakteristikách a pro daný tvar průřezu je konstantní, označíme β:

WΩ1 =T 2

2GS

S ∫∫ψ

U2yψ1(z)

b2(z)J2ydS

dx = βT 22GS

dx

Pro kruhový průřez je β = 32/27 = 1, 185 .= 1, 2, pro obdélníkový β = 1, 2.U prutu o délce l tedy posouvající síla přispěje k celkové energii napjatosti hodnotou Příklad 627

WT =l∫0

WΩ1 =β

2G

l∫0

T 2(x)S(x)

dx.

předchozí OBSAH další

p13 – 19

13.9.3. Zakřivení střednice prutu

U rovinného zakřiveného prutu, namáhaného základním ohybem, jsou normálová napětí základníohybv příčném průřezu rozložena podle hyperboly s neutrální osou posunutou vůči centrální

neutrální osaose, na rozdíl od prutu přímého, kde jsou rozložena podle přímky.

centrální osaPro porovnání výpočtu průběhu napětí (u prutus poloměrem křivosti R a rozměrem příč-ného průřezu v rovině střednice h) při pou-žití vztahů pro pruty zakřivené σz a pro prutypřímé σp vyneseme závislost ∆σ(R/h), kde

∆σ =σz − σpσz · 100 %.

σp

Poměr R/h charakterizuje relativní zakřivení prutu,∆σ je odchylka napětí σp od σz. Z grafu je patrné,že průběh napětí u prutů slabě zakřivených, pro něžplatí h� R (velké Rh ), je možno řešit užitím vztahupro pruty přímé. Při poměru R/h = 10 se dopustímechyby ∼ 4%, pro R/h = 5 bude chyba cca. 8%. Průběhnapětí u prutů silně zakřivených s poměrem R/h < 5je hyperbolický, extrémní hodnota napětí je vyššía musíme ji počítat pomocí vztahů pro pruty zakři-vené (ty nejsou součástí bakalářského studia PP) nebodnes častěji metodou konečných prvků.

předchozí OBSAH další

p13 – 20

13.10. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných ohybem

13.10.1. Volný prut

Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformační parametry a energii napjatosti u prutu namá-haného ohybem při splnění prutových předpokladů . U praktických výpočtů se omezíme prutové

předpokladyv tomto kurzu na základní ohyb, pro nějž platí vztahy ve zjednodušené podobě

σ(z)

σmax

w′′

W

σ(z) =MoyJy

z; σmax =MoWo; w′′ = −Moy

EJy; W =

l∫0

M2oy2EJy

dx

Při vyšetřování mezních stavů deformace je třeba znát průhyby resp. úhly natočení aspoňv některých význačných bodech střednice prutu. Pro jejich určení existuje řada metod,z nichž si uvedeme dvě:

– integrace diferenciální rovnice průhybové čáry prutu (diferenciální přístup),– Castiglianova věta (integrální přístup).

předchozí OBSAH další

p13 – 21

13.10.2. Diferenciální přístup

Diferenciální rovnice w′′(x) = −Moy(x)EJy se řeší přímou integrací. Musí být doplněna okra-jovými podmínkami. U prutů, u nichž průběh Mo(x) po celé délce vyjádříme jedinou Příklad 604

Příklad 607funkční závislostí (hladkou a spojitou), řešíme jednu diferenciální rovnici 2. řádu a potře-bujeme pro určení integračních konstant 2 okrajové podmínky.

Okrajové podmínky mohou být popsány

a) vazbovými podmínkami – známými průhyby a úhly natočení v místě vazeb prutu sezákladním tělesem,

b) symetriií deformace,

pro x = l2 → w′ = ϕ = 0 (tečna k ohybové čáře je rovno-

běžná s osou x)Pro prut na obrázku máme tedy dvě možnosti pro vyjád-ření okrajových podmínek:1. vazbové podmínky 2. symetrie deformace

x = 0 w = 0 x = 0 w = 0

x = l w = 0 x = l2 w′ = 0

c) geometrickými prutovými předpoklady (střednice zůstává během deformace spojitáa hladká). Je-li výraz Moy/EJy vyjádřen na úsecích prutu různými funkčními závis-lostmi, pak na hranicích těchto úseků formulujeme podmínky spojitosti a hladkostistřednice.

předchozí OBSAH další

p13 – 22

Např. pro x = a, kde je změna zatížení (změna prů-běhu Mo(x)), musí platit– průhyb zleva se rovná průhybu zprava (zachování spo-jitosti) ⇒ wI = wII

– natočení zleva se rovná natočení zprava (zachováníhladkosti střednice) ⇒ ϕI = ϕII

prutovépředpoklady

U prutů, u nichž je výraz Moy/EJy vyjádřen různými závislostmi v určitých částechstřednice, pak postupujeme následovně: Příklad 616

– Střednici rozdělíme na úseky, v nichž je vý-raz Moy/EJy vyjádřen jedinou závislostí. Hraniceintervalů jsou v místech změny zatížení, materiá-lových a průřezových charakteristik.

– Pro každý úsek napíšeme diferenciální rovnici.– Popíšeme vazbové okrajové podmínky, vyplývajícíz vazeb prutu se základním tělesem.

materiálovécharakteristiky

průřezovécharakteristiky

ohybová čára

– Pro všechna rozhraní mezi intervaly napíšeme pro deformovanou střednicipodmínky spojitosti (rovnost průhybů zleva a zprava) (wi(a) = wi+1(a)), Příklad 622podmínky hladkosti (rovnost natočení zleva a zprava) (ϕi(a) = ϕi+1(a))

Protože k řešení diferenciální rovnice ohybové čáry je třeba stanovit 2 integrační konstanty,musíme napsat odpovídající počet (2x počet intervalů) okrajových podmínek. Pro jejich

správné sestavení je nutné, aby funkce Mo(x)EJybyla pro všechny úseky vyjádřena v tomtéž

souřadnicovém systému.

předchozí OBSAH další

p13 – 23

13.10.3. Integrální přístup

Deformační charakteristiky pro konkrétní body střednice můžeme také určit s využitímCastiglianovy věty. Castiglianova

větaV prutu délky l se akumuluje energie napjatostiWMo

WTW = WMoy +WT =12E

l∫0

M2oy(x)

Jy(x)dx+

β

2G

l∫0

T 2(x)S(x)

dx,

která je superpozicí příspěvků od ohybu a smyku.

Při řešení posuvu působiště J síly ~FJ dosadíme energii napjatosti do Castiglianovy věty Castiglianovavětaa v obecném tvaru zderivujeme:

Příklad 625

wJ =∂W

∂FJ=

l∫0

MoyEJy

∂Moy∂FJ

dx+ βl∫0

T

GS

∂T

∂FJdx.

Přitom musíme mít na paměti, že průhyb wJ je globální veličinou (závisí na deforma-cích celého prutu). Proto složky VVÚ musí být vyjádřeny jako funkční závislosti po celédélce střednice prutu. U dlouhých štíhlých prutů (l > 10h) je příspěvek posouvající sílyzanedbatelný.

předchozí OBSAH další

p13 – 24

13.10.4. Porovnání diferenciálního a integrálního přístupu

1. diferenciální přístup:Umožňuje:

a) řešit i velké průhyby – pomocí rovnice pro velké deformace ±w′′

(1 + w′2)32=MoyEJy

velkédeformace

(pouze v určitých jednoduchých případech),b) určit v obecném místě velikost průhybu a natočení.c) určit extrémní průhyb i v případě, že neznáme polohu extrémního průhybu. Příklad 624Nevýhody: nezahrnuje vliv posouvající síly na průhyb a natočení a obvykle je ma-

tematicky složitější a pracnější.

2. integrální přístup (Castiglianova věta):a) umožňuje určit deformační charakteristiky v kterémkoli konkrétním bodě střed- Příklad 618

Příklad 621

charakteristiky

nice; pokud v něm nepůsobí odpovídající vnější zatížení, přidáme doplňkovousílu ~Fd = 0 nebo silovou dvojici ~Md = 0, s nimiž pracujeme jako se známýmvnějším zatížením,

Příklad 625b) umožňuje zahrnout vliv posouvající síly ~T na průhyb a natočení,c) ve srovnání s diferenciálním přístupem je výpočet podstatně rychlejší a snazší,d) umožňuje volit různý (optimální) souřadnicový systém v každém úseku,e) je použitelný i u zakřivených a lomených prutů.Nevýhody:a) lze ho použít pouze v lineární pružnosti (malé deformace, hookovský materiál, lineární

pružnostvazby lineární),b) řeší deformaci v konkrétním bodě, obtížně se používá při hledání extrémů.

předchozí OBSAH další

p13 – 25

13.10.5. Vázaný prut

V blízkém okolí vazeb existuje oblast, kde není prut namáhán prostým ohybem, protože senepodaří realizovat vazbu tak, aby omezovala jen posuvy a natočení střednice. Tuto oblast prutové

předpokladynemůžeme řešit pomocí vztahů pro prostý ohyb. Je-li tato oblast rozhodující z hlediskamezních stavů, je třeba použít např. MKP.

předchozí OBSAH další

p13 – 26

Postup při řešení vázaných prutů

1. Prut úplně uvolníme a v místě odstraněných vazeb zavedeme stykové výslednice. uvolnění2. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy. SR3. Určíme stupeň statické neurčitosti s = µ− ν. Mohou nastat tyto případy:

rozbora) s = 0 – prut je uložen staticky určitě – pokračujeme bodem 7.Příklad 602b) s ≥ 1 – prut je uložen staticky neurčitě – pokračujeme bodem 4.

4. Prut částečně uvolníme a sestavíme vazbové deformační podmínky, které jsou určenyčástečnéuvolnění

posuvem ev. natočením tolika bodů střednice, kolikrát je uložení staticky neurčité.5. Vazbové deformační podmínky vyjádříme pomocí silového působení s využitím Cas-tiglianovy věty. Pokud vazby omezují podélné deformace prutu, vznikne v něm nenu-lová normálová síla a z jednoduchého namáhání se stane kombinované (ohyb + tah jednoduché

namáhánínebo tlak). Deformační podmínky mohou býta) homogenní – kinematický vazbový parametr má nulovou hodnotu, Příklad 617b) nehomogenní – kinematický vazbový parametr má nenulovou hodnotu v důsledkuvýrobních nepřesností (např. nestejná výška podpor, nesouosost vazeb), Příklad 608

Příklad 613c) podmíněné – podle velikosti posuvu ev. natočení může prut zůstat buď statickyurčitý nebo se stát staticky neurčitým (např. montážní vůle způsobí nefunkčnostvazby).

6. Sestavíme soustavu rovnic, tvořenou podmínkami statické rovnováhy úplně uvolně-ného prutu a vazbovými deformačními podmínkami částečně uvolněného prutu.

7. Řešíme soustavu rovnic.8. Řešíme napjatost a deformaci stejně jako u volného prutu.

předchozí OBSAH další

p13 – 27

13.11. Příklady k procvičování látky

Řešené příklady

Příklad 601 Příklad 625 Příklad 627

Neřešené příklady

Příklad 602 Příklad 603 Příklad 604 Příklad 608 Příklad 610

Příklad 618 Příklad 622 Příklad 624 Příklad 616 Příklad 617

předchozí OBSAH následující kapitola