Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 1 -
ELEKTRICKÝ OBVOD, ZÁKLADNÍ OBVODOVÉ VELIČINY, CHARAKTERISTICKÉ HODNOTY
Elektrotechnické zařízení
Schéma Elektrický obvod Elektrotechnické zařízení
• druh technického zařízení, které využívá přeměny elektrické energie • využívá vlastností elektromagnetického pole • fyzikální přístup popisu obvodu • systémový přístup – rozdělení obvodu na samostatné konstrukční celky
Fyzikální přístup – základní veličiny:
o vektor intenzity elektrického pole ¡!E¡!E [V/m]
o vektor magnetické indukce ¡!B¡!B [T]
⇒ Maxwellovy rovnice, vlnová rovnice, rovnice kontinuity c velmi obtížné a pracné
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 2 -
• konečná rychlost šíření elektromagnetické vlny prostředím – často c – rozměry zařízení mohou být velmi důležité
• v určitých objemech je energie magnetického pole mnohem větší nežli energie elektrického pole → zjednodušení – budeme řešit samostatně pouze magnetické pole v objemu → můžeme zavést indukčnost jako veličinu charakterizující vlastnosti magnetického pole
• pokud je dominantní energie elektrického pole → kapacita • odpor je z tohoto pohledu fyzikální veličina, charakterizující poměr mezi
integrálními veličinami, popisujícími elektromagnetická pole – napětím a proudem
Systémový přístup – zařízení je sestaveno z dílčích celků, jejichž vlastnosti můžeme popisovat odděleně Jednotlivé konstrukční celky mají vstupy a výstupy, napětí a proudy jsou vstupní a výstupní (budící a buzené) veličiny odezva – výstupní veličina
Dekompozice – konstrukční celek lze pokládat za spojení jednodušších částí Součástky – nejjednodušší, dále nedělitelné části obvodu, jejichž vlastnosti mohou být popsány vztahy mezi jejich vstupními a výstupními veličinami Modely – nahrazení součástek se složitým fyzikálním popisem (tranzistory, diody, …) spojením několika jednoduchých součástek (různá složitost pro různé účely a podle stupně zanedbání méně významných vlastností součástky)
u2(t)
i2(t)
u1(t)
i1(t)
vstup výstup
výstupnísvorky
vstupnísvorky
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 3 -
Model cívky (vinutí cívky)
Příklady dvou různých modelů bipolárního tranzistoru
Zjednodušený model tranzistoru pro malý
signál a malé kmitočty Zjednodušený model tranzistoru pro vysoké
kmitočty
Obvodové schéma – elektrotechnický výkres, v němž jsou jednotlivé součástky reprezentovány smluvenými značkami, propojení svorek plnými čarami a tečkou propojení vodičů
Dva příklady realizace cívky na desce tištěných spojů (obvykle deska tištěných spojů realizuje propojení mezi svorkami obvodových
součástek a kapacity a indukčnosti spojů jsou parazitní a nechtěné)
Implementace jednoduché cívky
E
CB
E E
CB
E
uzly
L1
ibib ibibicic icic
ucuc ucucubub ubub
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 4 -
Vodivá cesta zde kombinuje implementaci tištěné cívky a propojení několika
součástek Analýza
• obvodové prvky, struktura obvodu a časové průběhy budících veličin jsou dané
• cílem je najít časové průběhy výstupních veličin Syntéza Ø daný je vztah mezi vstupními a výstupními veličinami Ø cílem je najít vhodnou obvodovou realizaci (strukturu obvodu)
Klasifikace obvodů
energetická zařízení – slouží k výrobě, rozvodu a užití elektrické energie zařízení pro přenos a zpracování informací – zdrojem elektrické energie, která zde slouží jako nosič informace je vysílač, spotřebičem, který slouží k vyhodnocení informace, je přijímač analogové – časové průběhy jsou spojitou funkcí reálného času diskrétní v čase – obvodové veličiny jsou definovány pouze v určitých časových okamžicích digitální – časové průběhy jsou vzorkovány a kvantovány (jsou definovány pouze v určitých časových okamžicích, nabývají konečného počtu hodnot), jsou reprezentovány čísly
propojeníC1, C2 a L
LC3
D1
R1
C1
C2
propojeníC3, D1 a R1
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 5 -
lineární – vztah mezi vstupními a výstupními veličinami je lineární nelineární – mezi vstupními a výstupními veličinami není pospán lineární funkcí obvody se soustředěnými parametry – konečný počet obvodových prvků, nezáleží na jejich prostorovém uspořádání obvody s rozprostřenými parametry – nekonečný počet nekonečně malých prvků, záleží na prostorovém uspořádání, konečné rychlosti šíření elektromagnetického vlnění (např. anténní koaxiální kabel u TV)
Základní veličiny a zákony Náboj
symbol: q jednotka: coulomb [C] základní částice: elektrony – záporně nabité, protony – kladně nabité
c přitažlivé a odpudivé síly elementární náboj: e
:= 1:6021 ¢ 10¡19 Ce:= 1:6021 ¢ 10¡19 C
neodstranitelná, nevytvořitelná vlastnost elementárních částic – zákon zachování náboje
Elektrický proud ¿ Co to vlastně je ? – Proud tekoucí kovovým vodičem, vakuem,
dielektrikem kondenzátoru, … ⇒ proud kondukční, konvekční / vodivý, Maxwellův
(posuvný), polarizační
Kondukční – uspořádaný pohyb nábojů i = dqdti = dqdt
symbol: i jednotka: ampér [A]
K zamyšlení: rychlost uspořádaného pohybu elektronů je pouze v řádu mm / s (v = I
neSv = I
neS), elektřina se ale šíří rychlostí blízkou rychlosti světla cc
(rychlost šíření závisí na prostorovém uspořádání vodičů, i vlastnostech izolantu mezi nimi !!!)
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 6 -
Maxwellův (posuvný) – kondenzátor: iM = "0@E@t
iM = "0@E@t
Celkový – jedna z Maxwellových rovnic – rot H = r£H = i + "o@E@t
;rot H = r£H = i + "o@E@t
; i = ¾Ei = ¾E
skalární veličina, ALE – kladná orientace je určena směrem pohybu kladně nabitých částic (opačná ke směru záporně nabitých částic) – proud teče od kladného pólu k zápornému
silové účinky na náboje: na konstantní bodový náboj QQ působí v elektrickém poli síla F e = QEF e = QE [N], EE [V/m] je vektor intenzity elektrického pole Síla, působící na bodový náboj, pohybující se v magnetickém poli rychlostí v [ms¡1]v [ms¡1]:
F m = Q [v £ B]F m = Q [v £ B] [N] 1. Kirchhoffův zákon (proudový)
nX
k=1
ik = 0
nX
k=1
ik = 0
Napětí Skalární veličina, určuje práci, která je nutná k přemístění jednotkového náboje po (libovolné) dráze z bodu A do bodu B jednotka: volt [V]
uAB =A
quAB =
A
q kde A [J] práce vykonaná silami elektrického pole q [C] přenesený náboj AB body podél určité dráhy
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 7 -
A =
I B
A(s)
F e ¢ ds = q
I B
A(s)
Ee ¢ ds = q uABA =
I B
A(s)
F e ¢ ds = q
I B
A(s)
Ee ¢ ds = q uAB
uAB(s) =
I B
A(s)
E ¢ dsuAB(s) =
I B
A(s)
E ¢ ds
u0 =
IE ¢ ds = ¡d©C
dtu0 =
IE ¢ ds = ¡d©C
dt kde © =
RSB ¢ dS© =
RSB ¢ dS je magnetický (indukční) tok vektoru magnetické indukce
B plochou S [m2].
uAB =
I B
A
EdsuAB =
I B
A
Eds
uBC =
I C
B
EdsuBC =
I C
B
Eds
uCA =
I A
C
EdsuCA =
I A
C
Eds
uAB + uBC + uCA = 0uAB + uBC + uCA = 0
2. Kirchhofův zákon (napěťový)
nX
k=1
uk = 0
nX
k=1
uk = 0
Výkon
p(t) =dA
dt=
dA
dq
dq
dt= u(t)i(t)p(t) =
dA
dt=
dA
dq
dq
dt= u(t)i(t)
E1
E2
A
B
Cu1
u2
u3
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 8 -
Odpor Parametr, který charakterizuje vlastnosti elektrického pole ve vodivém prostředí … s ohledem na energii nevratně přeměněnou na teplo (práci, …) obvodový prvek: rezistor jednotka: ohm [Ω] Ohmův zákon (pouze v lineárním prostředí!): u = Riu = Ri
Kapacita Parametr, který charakterizuje vlastnosti elektrického pole v nevodivém prostředí (dielektriku) … s ohledem na akumulovanou energii elektrického pole obvodový prvek: kondenzátor náboj: q = Cuq = Cu jednotka: Farad [F] akumulovaná energie: We(t) = 1
2Cu2(t)We(t) = 1
2Cu2(t)
Indukčnost Parametr, který charakterizuje vlastnosti magnetického pole vodičů, kterými protéká elektrický proud … s ohledem na akumulovanou energii magnetického pole obvodový prvek: induktor magnetický tok: ©c = Li©c = Li jednotka: Henry [H] akumulovaná energie: Wm(t) = 1
2Li2(t)Wm(t) = 1
2Li2(t)
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 9 -
Obvodové veličiny Deterministické – mohou být popsány matematickými funkcemi Nedeterministické (stochastické) – náhodné procesy (→ hustota rozložení pravděpodobnosti, …) Deterministické:
• spojité • nespojité
Deterministické:
• stacionární – po dobu pozorování nemění svoji velikost ani smysl – stejnosměrný proud DC
• periodické – po určité době T (perioda) opakují svojí okamžitou hodnotu, u(t + kT ) = u(t)u(t + kT ) = u(t) (specielním případem je střídavý proud AC)
• aperiodické
Periodické: • obecný • pulsující • střídavý AC
Charakteristické hodnoty Střední hodnota Definice:
IS =
1
T
Z t0+T
t0
i(t)dtIS =1
T
Z t0+T
t0
i(t)dt
Význam: Odpovídající velikost stejnosměrného proudu I, který přenese stejný
náboj, jako proud střídavý. Tato hodnota odpovídá výšce obdélníka se stejnou plochou, jako střídavý i(t) během jedné periody T.
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 10 -
Na rozdíl od např. Fourierových řad, kde má střední hodnota význam stejnosměrné složky signálu, určuje IS celkové účinky proudu bez ohledu na jeho okamžitou hodnotu.
⇒ Střední hodnotu je nezbytné počítat jinak: 1. Aritmetická střední hodnota (mean rectified value)
Isar =1
T
Z t0+T
t0
ji(t)jdtIsar =1
T
Z t0+T
t0
ji(t)jdt
2. Střední hodnota v době jedné půlperiody (čtvrtperiody, …) – výška obdélníka je stále stejná!
Is =2
T
Z T2
0i(t)dtIs =
2
T
Z T2
0i(t)dt
Is =
4
T
Z T4
0i(t)dtIs =
4
T
Z T4
0i(t)dt
Efektivní hodnota (Root Mean Square, RMS) Definice:
I =
s1
T
Z t0+T
t0
i2(t)dtI =
s1
T
Z t0+T
t0
i2(t)dt,
Měřící přístroje, které měří přímo efektivní hodnotu, bývají označeny RMS, resp. True RMS, zatímco “RMS calibrated” znamená, že přístroj měří střední hodnotu a ta je násobená hodnotou 1.11, takže se přístroj snaží ukázat efektivní hodnotu sinusovky. Význam: Hodnota stejnosměrného proudu I, kterým se za dobu jedné
periody vyvine ve stejném prostředí stejné množství tepla, jako proudem střídavým
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 11 -
Odvození:
1. Teplo, generované stejnosměrným proudem během periody T: W = RI2TW = RI2T 2. Okamžitý výkon střídavého proudu: p(t) = Ri2(t)p(t) = Ri2(t) 3. Celkové teplo, generované střídavým proudem za dobu jedné periody T může
být vyjádřena jako “součet” všech okamžitých hodnot výkonu – tedy integrací (viz obrázek) W =
R T0 Ri2(t)dtW =
R T0 Ri2(t)dt
4. Srovnáním (1) a (3) dostáváme RI2T =
Z T
0Ri2(t)dt =) I =
s1
T
Z T
0i2(t)dtRI2T =
Z T
0Ri2(t)dt =) I =
s1
T
Z T
0i2(t)dt
Činitelé… Tvaru (form factor) kt =
I
Iskt =
I
Is • Pokud máme měřící přístroj, který měří
střední hodnotu • Pro výpočet indukovaných napětí
Výkyvu Crest factor (peak-to-rms ratio)
kv =Im
Ikv =
Im
I • Každý měřící přístroj, který měří efektivní
hodnotu, resp. výkon, má maximální povolený činitel výkyvu; pokud je příliš velký, výsledek měření je chybný Důvod Ø omezený frekvenční rozsah přístroje Ø omezený dynamický rozsah přístroje
Plnění kp =
Is
Imkp =
Is
Im
∑=
∞→∆=
m
iiim
tpW1
lim
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 12 -
Příklady časových průběhů: Sin: ( ) ( )tIti m ωsin=
obdélník: ( )
)TTtI
TtIti
m
m
,2
2,0
∈−=
∈=
Trojúhelník: ( )
∈+−=
∈−=
∈=
4,044
4,0
42
4,0
4
TttTII
TttTII
TttTIti
mm
mm
m
Vypočtené hodnoty
sin obdélník trojúhelník Is
πmI2 mI
2mI
I 2mI
mI 3mI
st I
Ik = 11.122
=&π
1 15.1
32
=
IIk m
c = 2 1 3
m
sp I
Ik = π2
1 21
Výpočty Sin:
IS =1T2
Z T2
0
Im sin(!t)dt =2Im
T
·¡ cos(!t)
!
¸T2
0
=2Im
T
·¡ cos(2¼T
t)2¼T
¸T2
0
=
=Im
¼(¡ cos(¼) + cos(0)) =
2Im
¼
IS =1T2
Z T2
0
Im sin(!t)dt =2Im
T
·¡ cos(!t)
!
¸T2
0
=2Im
T
·¡ cos(2¼T
t)2¼T
¸T2
0
=
=Im
¼(¡ cos(¼) + cos(0)) =
2Im
¼
I =
s1
T
Z T
0
(Im sin(!t))2 dt =
¯¯sin2(!t) =
1 ¡ cos(2!t)
2
¯¯ =
=
sI2m
2T
Z T
0
(1 ¡ cos(2!t)) dt = Im
s1
2T
½[t]T0 ¡ 1
2![sin(2!t)]T0
¾=
= Im
s1
2T
·T ¡ 1
2 ¢ 2¼T
(sin(4¼) ¡ sin(0))
¸=
Imp2
I =
s1
T
Z T
0
(Im sin(!t))2 dt =
¯¯sin2(!t) =
1 ¡ cos(2!t)
2
¯¯ =
=
sI2m
2T
Z T
0
(1 ¡ cos(2!t)) dt = Im
s1
2T
½[t]T0 ¡ 1
2![sin(2!t)]T0
¾=
= Im
s1
2T
·T ¡ 1
2 ¢ 2¼T
(sin(4¼) ¡ sin(0))
¸=
Imp2
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 1: elektrický obvod, základní obvodové veličiny, charakteristické hodnoty
- 13 -
Trojúhelník:
Is =1T4
Z T4
0
4Im
Ttdt =
16Im
T 2
·t2
2
¸T4
0
=8Im
T 2
µT
4
¶2
=Im
2Is =
1T4
Z T4
0
4Im
Ttdt =
16Im
T 2
·t2
2
¸T4
0
=8Im
T 2
µT
4
¶2
=Im
2
I =
s1T4
Z T4
0
µ4Im
Tt
¶2
dt =
s64I2
m
T 3
·t3
3
¸T4
0
=Imp
3I =
s1T4
Z T4
0
µ4Im
Tt
¶2
dt =
s64I2
m
T 3
·t3
3
¸T4
0
=Imp
3 Pozn.: rovnice jsou odvozeny pro proud. Analogické vztahy platí i pro napětí. Odvození efektivní hodnoty vychází ze vztahu W = U2
R TW = U2
R T .
