Kinematika tuhého tělesa
Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb
Úvod
Tuhé těleso - definice
� všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti
� těleso se nedeformuje, nemění tvar
� počet stupňů volnosti tělesa v Euklidovském prostoru je i = 6°
� Typy pohybů v rovině (2D):
� posuvný� posuvný
� rotační
� obecný rovinný (ORP)
� Pohyby v prostoru (3D)
� sférický
� šroubový pohyb
� obecný prostorový
Posuvný pohyb tělesa
� definice: 2 nerovnoběžné přímky nemění svůj směr� trajektorie všech bodů jsou shodné navzájem posunuté křivky� v každém okamžiku jsou rychlosti a zrychlení všech bodů těles
navzájem stejné� existují dva pohyby: přímočarý posuvný
křivočarý posuvnýkřivočarý posuvný
posuvný křivočarý rotační
Posuvný pohyb – kinematika
� Posuvný pohyb je určen pohybem jednoho bodu
� dva body tuhého tělesa A, B
� polohový vektor bodu B je dán rovnicí (1)
� má konstantní směr i velikost,
� rychlost je dána derivací vektorové rovnice (1)
B A BAr r r= +� � �
BAr�
0BA BAv r= =�� �ɺ
�
� zrychlení je dáno derivací
B B Av r v= =� � �ɺ
B B Aa v a= =� � �ɺ
Bv�
Posuvný pohyb – kinematika
� Pokud všechny body tělesa mají v daném okamžiku pohybu shodné kinematické veličiny, pak stačí určit kinematické veličiny 1 bodu (rychlost a zrychlení)
� k výpočtu použijeme vztahy pro přímočarý resp. křivočarý pohyb
Rotační pohyb tělesa
� jedna přímka tělesa zůstává trvale v klidu = osa rotace� (otáčivý pohyb – osa otáčení)� trajektorie všech bodů jsou kružnice ležící v rovinách kolmých k ose
rotace a mají střed na této ose, soustředné kružnice� rotační pohyb je pohybem rovinným (vyšetřujeme v rovině kolmé k
ose rotace)ose rotace)
Rotační pohyb – kinematika� rotační pohyb je určen úhlem φ
� úhlová rychlost [ s-1 ]
� úhlové zrychlení [ s-2 ]
( )tϕ ϕ=
d
dt
ϕω ϕ= = ɺ
2
2
d d
d dt t
ω ϕα ω ϕ= = = =ɺ ɺɺ� úhlové zrychlení [ s ]2d dt t
α ω ϕ= = = =ɺ ɺɺ
( )2d d
2d d
ω ω ωαϕ ϕ
= =
Rotační pohyb – pohyb obecného bodu� Pohyb obecného bodu A tělesa vyjádříme v souřadnicovém
systému základního prostoru (0,x,y) s pomocí souřadnic bodu A v prostoru tělesa (0,ξ,η). Uvažujeme, že počátek obou souřadnicových systémů je shodný.
� určuje pohyb tělesa.( )tϕ ϕ=
cos sin ,
sin cos ,
x
y
ξ ϕ η ϕξ ϕ η ϕ
= −= + (1)
Rotační pohyb – pohyb obecného bodu� Rychlost obecného bodu A má složky
� Zrychlení obecného bodu
( )( )
sin cos ,
cos sin ,
x
y
v
v
ξ ϕ η ϕ ϕξ ϕ η ϕ ϕ
= − +
= −
ɺ
ɺ
� kde je úhlová rychlost � je úhlové zrychlení
( ) ( )( ) ( )
2
2
sin cos cos sin ,
cos sin sin cos .
x
y
a
a
ξ ϕ η ϕ ϕ ξ ϕ η ϕ ϕ
ξ ϕ η ϕ ϕ ξ ϕ η ϕ ϕ
= − + − −
= − − +
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
ϕ ω=ɺ
ϕ α ω= =ɺɺ ɺ
Rotační pohyb -rotace kolem pevné osyvektorové vyjádření
� Úhel pootočení, úhlová rychlost a úhlové zrychlení – jsou vektory ležící na ose rotace
e
e
e e
e
ϕ ϕω ϕ ϕα ω ϕ ω ϕ
=
= =
= = = =
� �
� � �ɺ ɺ
� � � � �ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ
� je jednotkový vektor na ose o, orientovaný tak, že při pohledu proti
� Rychlost bodu rotujícího tělesa
e je jednotkový vektor na ose o, orientovaný tak, že při pohledu proti němu se jeví narůstání úhlu v kladném smyslu (proti smysli chodu hodinových ručiček
d
d
rv r
tω= = ×
��� �
( ) ( ) ( )x y z y z z x x y
i j k
v r z y i x z j y x k
x y z
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω= × = = − + − + −
�� �
�� ��� �
Rotační pohyb – rotace kolem pevné osy
� Je-li osa otáčení totožná s osou z (rovinný případ), platí
dv�� �� � �
0 0
0
ω ω ω ω= × = = − +
�� �
� ��� �
i j k
v r y i x j
x y
� Zrychlení bodu rotujícího tělesa
� kde je tečné zrychleníje normálové zrychlení
d
d
va r v
tα ω= = × + ×
�� �� � �
α × =� � �
tr a
nv aω × =� � �
Rotační pohyb – rotace kolem pevné osy
� Složky vektoru zrychlení vyjádříme obdobně jako u rychlosti: :
d
d
va r v
tα ω= = × + ×
�� �� � �
�� �i j k
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
α α α α α α α α α α
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
= × = = − + − + −
= × = = − + − + −
�� �� �
�� �
�� �� �
t x y z y z z x x y
n x y z z y z x z x y x y
x y z
i j k
a r z y i x z j y x k
x y z
i j k
a v v y i v z j v x k
v v v
Rotační pohyb – rotace kolem pevné osy
� Je-li osa otáčení totožná s osou z (rovinný případ), platí
( ) ( )0 0
0
α α α α= × = = − +
�� �
� �� �
�� �
t z z
i j k
a r y i x j
x y
( ) ( )0 0
0
ω ω ω ω= × = = − +
�� �
� �� �
n y x
x y
i j k
a v v i v j
v v
Kinematika rotačního pohybu v maticovém vyjádření
� Rovinný případ: vyjdeme z rovnic (1) pro analytické vyjádření polohy bodu rotujícího těles
�
� kde je polohový vektor bodu v základním prostoru,
=r Tρ
=
x
yr
� je polohový vektor bodu v prostoru tělesa,
� je transformační matice rotačního pohybu�
y
ξη
=
ρ
cos sin
sin cos
ϕ ϕϕ ϕ
− =
T
Kinematika rotačního pohybu v maticovém vyjádření
� Rychlost je dána derivací polohového vektoru
�
� kde je vektor rychlosti bodu v základním prostoru,
= =v r Tρɺɺ
=
x
y
v
vv
sin cosϕ ϕ− − ɺ
� Zrychlení je dáno derivací vektoru rychlosti
�
sin cos
cos sin
ϕ ϕω
ϕ ϕ− −
= −
ɺT
a= r = Tρɺɺɺɺ
2cos sin sin cos
sin cos cos sin
ϕ ϕ ϕ ϕω α
ϕ ϕ ϕ ϕ− − −
= + − − − Tɺɺ