Kinematika tuhého tělesa

Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

Úvod

Tuhé těleso - definice

� všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti

� těleso se nedeformuje, nemění tvar

� počet stupňů volnosti tělesa v Euklidovském prostoru je i = 6°

� Typy pohybů v rovině (2D):

� posuvný� posuvný

� rotační

� obecný rovinný (ORP)

� Pohyby v prostoru (3D)

� sférický

� šroubový pohyb

� obecný prostorový

Posuvný pohyb tělesa

� definice: 2 nerovnoběžné přímky nemění svůj směr� trajektorie všech bodů jsou shodné navzájem posunuté křivky� v každém okamžiku jsou rychlosti a zrychlení všech bodů těles

navzájem stejné� existují dva pohyby: přímočarý posuvný

křivočarý posuvnýkřivočarý posuvný

posuvný křivočarý rotační

Posuvný pohyb – kinematika

� Posuvný pohyb je určen pohybem jednoho bodu

� dva body tuhého tělesa A, B

� polohový vektor bodu B je dán rovnicí (1)

� má konstantní směr i velikost,

� rychlost je dána derivací vektorové rovnice (1)

B A BAr r r= +� � �

BAr�

0BA BAv r= =�� �ɺ

�

� zrychlení je dáno derivací

B B Av r v= =� � �ɺ

B B Aa v a= =� � �ɺ

Bv�

Posuvný pohyb – kinematika

� Pokud všechny body tělesa mají v daném okamžiku pohybu shodné kinematické veličiny, pak stačí určit kinematické veličiny 1 bodu (rychlost a zrychlení)

� k výpočtu použijeme vztahy pro přímočarý resp. křivočarý pohyb

Rotační pohyb tělesa

� jedna přímka tělesa zůstává trvale v klidu = osa rotace� (otáčivý pohyb – osa otáčení)� trajektorie všech bodů jsou kružnice ležící v rovinách kolmých k ose

rotace a mají střed na této ose, soustředné kružnice� rotační pohyb je pohybem rovinným (vyšetřujeme v rovině kolmé k

ose rotace)ose rotace)

Rotační pohyb – kinematika� rotační pohyb je určen úhlem φ

� úhlová rychlost [ s-1 ]

� úhlové zrychlení [ s-2 ]

( )tϕ ϕ=

d

dt

ϕω ϕ= = ɺ

2

2

d d

d dt t

ω ϕα ω ϕ= = = =ɺ ɺɺ� úhlové zrychlení [ s ]2d dt t

α ω ϕ= = = =ɺ ɺɺ

( )2d d

2d d

ω ω ωαϕ ϕ

= =

Rotační pohyb – pohyb obecného bodu� Pohyb obecného bodu A tělesa vyjádříme v souřadnicovém

systému základního prostoru (0,x,y) s pomocí souřadnic bodu A v prostoru tělesa (0,ξ,η). Uvažujeme, že počátek obou souřadnicových systémů je shodný.

� určuje pohyb tělesa.( )tϕ ϕ=

cos sin ,

sin cos ,

x

y

ξ ϕ η ϕξ ϕ η ϕ

= −= + (1)

Rotační pohyb – pohyb obecného bodu� Rychlost obecného bodu A má složky

� Zrychlení obecného bodu

( )( )

sin cos ,

cos sin ,

x

y

v

v

ξ ϕ η ϕ ϕξ ϕ η ϕ ϕ

= − +

= −

ɺ

ɺ

� kde je úhlová rychlost � je úhlové zrychlení

( ) ( )( ) ( )

2

2

sin cos cos sin ,

cos sin sin cos .

x

y

a

a

ξ ϕ η ϕ ϕ ξ ϕ η ϕ ϕ

ξ ϕ η ϕ ϕ ξ ϕ η ϕ ϕ

= − + − −

= − − +

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

ϕ ω=ɺ

ϕ α ω= =ɺɺ ɺ

Rotační pohyb -rotace kolem pevné osyvektorové vyjádření

� Úhel pootočení, úhlová rychlost a úhlové zrychlení – jsou vektory ležící na ose rotace

e

e

e e

e

ϕ ϕω ϕ ϕα ω ϕ ω ϕ

=

= =

= = = =

� �

� � �ɺ ɺ

� � � � �ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

� je jednotkový vektor na ose o, orientovaný tak, že při pohledu proti

� Rychlost bodu rotujícího tělesa

e je jednotkový vektor na ose o, orientovaný tak, že při pohledu proti němu se jeví narůstání úhlu v kladném smyslu (proti smysli chodu hodinových ručiček

d

d

rv r

tω= = ×

��� �

( ) ( ) ( )x y z y z z x x y

i j k

v r z y i x z j y x k

x y z

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω= × = = − + − + −

�� �

�� ��� �

Rotační pohyb – rotace kolem pevné osy

� Je-li osa otáčení totožná s osou z (rovinný případ), platí

dv�� �� � �

0 0

0

ω ω ω ω= × = = − +

�� �

� ��� �

i j k

v r y i x j

x y

� Zrychlení bodu rotujícího tělesa

� kde je tečné zrychleníje normálové zrychlení

d

d

va r v

tα ω= = × + ×

�� �� � �

α × =� � �

tr a

nv aω × =� � �

Rotační pohyb – rotace kolem pevné osy

� Složky vektoru zrychlení vyjádříme obdobně jako u rychlosti: :

d

d

va r v

tα ω= = × + ×

�� �� � �

�� �i j k

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

α α α α α α α α α α

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

= × = = − + − + −

= × = = − + − + −

�� �� �

�� �

�� �� �

t x y z y z z x x y

n x y z z y z x z x y x y

x y z

i j k

a r z y i x z j y x k

x y z

i j k

a v v y i v z j v x k

v v v

Rotační pohyb – rotace kolem pevné osy

� Je-li osa otáčení totožná s osou z (rovinný případ), platí

( ) ( )0 0

0

α α α α= × = = − +

�� �

� �� �

�� �

t z z

i j k

a r y i x j

x y

( ) ( )0 0

0

ω ω ω ω= × = = − +

�� �

� �� �

n y x

x y

i j k

a v v i v j

v v

Kinematika rotačního pohybu v maticovém vyjádření

� Rovinný případ: vyjdeme z rovnic (1) pro analytické vyjádření polohy bodu rotujícího těles

�

� kde je polohový vektor bodu v základním prostoru,

=r Tρ

=

x

yr

� je polohový vektor bodu v prostoru tělesa,

� je transformační matice rotačního pohybu�

y

ξη

=

ρ

cos sin

sin cos

ϕ ϕϕ ϕ

− =

T

Kinematika rotačního pohybu v maticovém vyjádření

� Rychlost je dána derivací polohového vektoru

�

� kde je vektor rychlosti bodu v základním prostoru,

= =v r Tρɺɺ

=

x

y

v

vv

sin cosϕ ϕ− − ɺ

� Zrychlení je dáno derivací vektoru rychlosti

�

sin cos

cos sin

ϕ ϕω

ϕ ϕ− −

= −

ɺT

a= r = Tρɺɺɺɺ

2cos sin sin cos

sin cos cos sin

ϕ ϕ ϕ ϕω α

ϕ ϕ ϕ ϕ− − −

= + − − − Tɺɺ