polynom proměnné x
f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0
např.: f = 2x5 – 3x2 + 5x + 1
f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0
• akxk členy
• a0 absolutní člen
• ak koeficienty
• an vedoucí koeficient
• n N0 stupeň polynomu
normovaný polynom
vedoucí koeficient an = 1
f = xn + an-1xn-1 + ……. + a0
např.: f = x3 + 4x2 – 5
konstantní polynom
nulový polynom a polynom stupně nula
f = 0
f = a0
lineární polynom
polynom stupně 1
f = a1x + a0
f = 5x + 1
kvadratický polynom
polynom stupně 2
f = a2x2 + a1x + a0
f = 3x2 + 5x + 1
kubický polynom
polynom stupně 3
f = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
f = 2x3 + 3x2 + 5x + 1
uspořádaná n-tice
f = (an, an-1, …, a0)
f = anxn + an-1xn-1 + ……. + a0
rovnost polynomů f = (an, an-1, …, a0) a g = (bn, bn-1, …, b0)
f = g ai = bi pro i = 0, 1, …, n
součet polynomů f + g
f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4
f + g =
= 2x3 + (3 + 2)x2 + (– 5 + 1)x + 2 – 4 =
= 2x3 + 5x2 – 4x – 2
rozdíl polynomů f – g
f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4
f – g =
= 2x3 + (3 – 2)x2 + (– 5 – 1)x + 2 + 4 =
= 2x3 + x2 – 6x + 6
součin polynomů f.g
f = x – 4 g = x2 – 5x + 2
f.g =
= x.(x2 – 5x + 2) – 4.(x2 – 5x + 2) =
= x3 – 5x2 + 2x – 4x2 + 20x – 8 =
= x3 – 9x2 + 22x – 8
Dělení polynomu f polynomem g
st(f) = n st(g) = m
Pak existují právě jeden polynom d a právě jeden polynom z takové, že x C platí:
f = g.d + z st(z) < st(g)
d podíl z zbytek
Dělte polynomy:
(2x3 + 3x2 – x + 2) : (x + 3) = 2x2
2x3 + 6x2
– 3x2 – x + 2
– 3x
– 3x2 – 9x
8x + 2
+ 8
8x + 24
– 22
f = g.d + z
polynom g 0 dělí polynom f právě tehdy, když zbytek z je roven nule
tedy: f = g d
polynom g je dělitelem polynomu f značíme g f
Pomocná tvrzení
1. Polynom g nultého stupně je dělitelem každého polynomu.
(2x3 + 3x2 – x + 2) : 4 = ½x3 + ¾x2 – ¼x + ½
2. Jestliže g f, f 0, pak st g st f.
f = g dst f = st g + st d
0 st g a 0 st dst g st f
Pomocná tvrzení
3. Jestliže h g a g f, pak h f.
4. Jestliže g f, pak c.g f, kde c je libovolné nenulové číslo.
Společný dělitel dvou polynomů
Polynom, který dělí dva dané polynomy se nazývá jejich společným dělitelem.
Polynom nultého stupně je dělitelem každého polynomu.
• Polynom nultého stupně je společným dělitelem libovolných dvou polynomů.
• Nesoudělné polynomynemají již žádného dalšího společného dělitele
• Každé dva polynomy mají společného dělitele.
Největší společný dělitel
• Společný dělitel d polynomů g a f se nazývá jejich největším společným dělitelem právě tehdy, když je dělitelný libovolným společným dělitelem polynomů g a f.
• Symbolicky:1. d f a d g2. e f a e g e d
Jestliže g f, pak c.g f, kde c je libovolné nenulové číslo.
• d = NSD (g, f) c.d = NSD (g, f), kde c 0
• Ten, jehož vedoucí koeficient je 1 nazveme NSD(g, f).
Euklidův algoritmus f a g jsou nenulové polynomy f : g = d1 (z1) kde st z1 < st g
g : z1 = d2 (z2) kde st z2 < st z1
z1 : z2 = d3 (z3) kde st z3 < st z2
. . .
zk-2 : zk-1 = dk (zk) kde st zk < st zk-1
zk-1 : zk = dk+1 (0)
st g > st z1 > st z2 > …. > 0
zk je poslední nenulový zbytek, tj. NSD(g, f)
Výpočet NSD
• pracujeme jenom se zbytky prováděných dělení
• je jedno, zda k výpočtu použijeme daný zbytek nebo libovolný jeho nenulový konstantní násobek
• můžeme v kterémkoli kroku kteréhokoliv dělení v Euklidově algoritmu násobit kterýkoliv z polynomů libovolným nenulovým číslem
• při praktických výpočtech se vyhneme zlomkům, které by komplikovaly výpočet
Kořeny polynomu
Kořen cC polynomu f
f = anxn + an-1x
n-1 + ……. + a1x + a0
f(c) = 0
kořen algebraické rovniceanx
n + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0 = 0
Je c = –1 kořen polynomux4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12?
(–1)4 – 2.(–1)3 – 7.(–1)2 + 8.(–1) + 12 =
= 1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0
Algebraická rovnice x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 = 0
má kořen x1 = –1
kořen polynomu stupně 1
f = a1x + a0
c = –a0/a1
f = 5x + 3
c = –3/5
5x + 3 = 0
x = –3/5
kořeny polynomu stupně 2
f = a2x2 + a1x + a0
má v C dva kořeny
např.: x2 – 2x – 3
má kořeny x1 = 3a x2 = –1
Nejjednodušší příklady
kořen nulového polynomuf = 0cC
kořen polynomu stupně nula f = a
nemá žádný kořen
Bézoutova věta
Číslo c je kořenem polynomu f = anx
n + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0
(x–c)f
Podíl d je polynom stupně n –1 s vedoucím koeficientem bn-1 = an.
f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16
Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f
(x – 2) ( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 )
( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) : (x – 2) == x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8
Podíl d je polynom stupně 5 s vedoucím koeficientem 1
Kořenový činitel
( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) = (x – 2).(x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8)
2 je kořen polynomu f,
x – 2 nazýváme kořenovým činitelem polynomu f.
Vícenásobný kořen
Číslo c se nazývá
k-násobný kořen polynomu f, jestliže
• (x–c)k dělí polynom f a
• (x–c)k+1 nedělí polynom f.
Je-li k = 1, říkáme, že kořen c je jednoduchý.
c je k-násobným kořenem polynomu f
(x–c)k f
f = (x–c)k . g
Dělení daného polynomu f polynomem x–c.
f = (x–c) . g + f(c)
• ověřování, zda c je kořen polynomu f
• zjišťování násobnosti kořene c
• výpočet zbytku po dělení polynomu f
polynomem x – c [je roven f(c)]
Hornerovo schéma
f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16
Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f
1 –6 9 8 –24 0 16
2 1 –4 1 10 –4 –8 0
ff = ( = (xx – 2).( – 2).(xx55 –– 44xx44 + + xx33 ++ 1010xx22 – 4– 4xx – 8) – 8)
Základní věta algebry.
Každý polynom f stupně n 1 má
alespoň jeden komplexní kořen
(tj. buď reálný, nebo imaginární).
D´Alembertova věta.
Počítáme-li každý k-násobný kořen za k kořenů, má polynom f stupně n 1
právě n komplexních kořenů.
Označíme-li tyto kořeny c1 … cn je možné polynom f rozložit na tvar f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn).
polynom f (st f 1) je reducibilní (rozložitelný)
právě tehdy když existují polynomy g, h (st g 1, st h 1) takové, že f = g.h.
Jinak je polynom f ireducibilní (nerozložitelný).
Polynomy g a h nazýváme faktory.
Příklady reducibilních a ireducibilních polynomů
Lineární polynom
f = a1x + a0 = a1(x-c) (kde c je kořen) ireducibilní
Kvadratický polynom
f = a2x2 + a1x + a0 = a2(x-c1)(x-c2)
reducibilní
Polynomy vyššího stupně než 2
f = anxn + an-1x
n-1 + ……. + a1x + a0
jsou vždy reducibilní:
f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn)
(podle D´Alembertovy věty)