polynom proměnné x

f =  anxn  + an-1xn-1 +  ……. + a0

např.: f = 2x5 – 3x2 + 5x + 1

f =  anxn  + an-1xn-1 +  ……. + a0

• akxk  členy

• a0 absolutní člen

• ak koeficienty

• an vedoucí koeficient

• n N0 stupeň polynomu

normovaný polynom

vedoucí koeficient an = 1

f =  xn  + an-1xn-1 +  ……. + a0  

např.: f =  x3  +  4x2 – 5

konstantní polynom

nulový polynom a polynom stupně nula

f = 0

f = a0

lineární polynom

polynom stupně 1

f = a1x + a0

f = 5x + 1

kvadratický polynom

polynom stupně 2

f = a2x2 + a1x + a0

f = 3x2 + 5x + 1

kubický polynom

polynom stupně 3

f = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

f = 2x3 + 3x2 + 5x + 1

uspořádaná n-tice

f = (an, an-1, …, a0)

f =  anxn  + an-1xn-1 +  ……. + a0

rovnost polynomů f = (an, an-1, …, a0) a g = (bn, bn-1, …, b0)

f = g  ai = bi pro i = 0, 1, …, n

součet polynomů f + g

f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4

f + g =

= 2x3 + (3 + 2)x2 + (– 5 + 1)x + 2 – 4 =

= 2x3 + 5x2 – 4x – 2

rozdíl polynomů f – g

f = 2x3 + 3x2 – 5x + 2 g = 2x2 + x – 4

f – g =

= 2x3 + (3 – 2)x2 + (– 5 – 1)x + 2 + 4 =

= 2x3 + x2 – 6x + 6

součin polynomů f.g

f  = x – 4 g  = x2 – 5x + 2

f.g =

= x.(x2 – 5x + 2) – 4.(x2 – 5x + 2) =

= x3 – 5x2 + 2x – 4x2 + 20x – 8 =

= x3 – 9x2 + 22x – 8

Dělení polynomu f polynomem g

st(f) = n st(g) = m

Pak existují právě jeden polynom d a právě jeden polynom z takové, že x C platí:

f = g.d + z st(z) < st(g)

d podíl z  zbytek

Dělte polynomy:

(2x3 + 3x2 – x + 2) : (x + 3) = 2x2

2x3 + 6x2

– 3x2 – x + 2

– 3x

– 3x2 – 9x

8x + 2

+ 8

8x + 24

– 22

f = g.d + z

polynom g  0 dělí polynom f právě tehdy, když zbytek z je roven nule

tedy: f = g d

polynom g je dělitelem polynomu f značíme g  f

Pomocná tvrzení

1. Polynom g nultého stupně je dělitelem každého polynomu.

(2x3 + 3x2 – x + 2) : 4 = ½x3 + ¾x2 – ¼x + ½

2. Jestliže g  f, f 0, pak st g  st f.

f = g dst f = st g + st d

0 st g a 0 st dst g  st f

Pomocná tvrzení

3. Jestliže h  g a g  f, pak h  f.

4. Jestliže g  f, pak c.g  f, kde c je libovolné nenulové číslo.

Společný dělitel dvou polynomů

Polynom, který dělí dva dané polynomy se nazývá jejich společným dělitelem.

Polynom nultého stupně je dělitelem každého polynomu.

• Polynom nultého stupně je společným dělitelem libovolných dvou polynomů.

• Nesoudělné polynomynemají již žádného dalšího společného dělitele

• Každé dva polynomy mají společného dělitele.

Největší společný dělitel

• Společný dělitel d polynomů g a f se nazývá jejich největším společným dělitelem právě tehdy, když je dělitelný libovolným společným dělitelem polynomů g a f.

• Symbolicky:1. d  f a d  g2. e  f a e  g e  d

Jestliže g  f, pak c.g  f, kde c je libovolné nenulové číslo.

• d = NSD (g, f) c.d = NSD (g, f), kde c  0

• Ten, jehož vedoucí koeficient je 1 nazveme NSD(g, f).

Euklidův algoritmus f a g jsou nenulové polynomy f : g = d1 (z1) kde st z1 < st g

g : z1 = d2 (z2) kde st z2 < st z1

z1 : z2 = d3 (z3) kde st z3 < st z2

. . .

zk-2 : zk-1 = dk (zk) kde st zk < st zk-1

zk-1 : zk = dk+1 (0)

st g > st z1 > st z2 > …. > 0

zk je poslední nenulový zbytek, tj. NSD(g, f)

Výpočet NSD

• pracujeme jenom se zbytky prováděných dělení

• je jedno, zda k výpočtu použijeme daný zbytek nebo libovolný jeho nenulový konstantní násobek

• můžeme v kterémkoli kroku kteréhokoliv dělení v Euklidově algoritmu násobit kterýkoliv z polynomů libovolným nenulovým číslem

• při praktických výpočtech se vyhneme zlomkům, které by komplikovaly výpočet

Kořeny polynomu

Kořen cC polynomu f

f = anxn + an-1x

n-1 + ……. + a1x + a0

f(c) = 0

kořen algebraické rovniceanx

n + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0 = 0

Je c = –1 kořen polynomux4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12?

(–1)4 – 2.(–1)3 – 7.(–1)2 + 8.(–1) + 12 =

= 1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0

Algebraická rovnice x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 = 0

má kořen x1 = –1

kořen polynomu stupně 1

f = a1x + a0

c = –a0/a1

f = 5x + 3

c = –3/5

5x + 3 = 0

x = –3/5

kořeny polynomu stupně 2

f = a2x2 + a1x + a0

má v C dva kořeny

např.: x2 – 2x – 3

má kořeny x1 = 3a x2 = –1

Nejjednodušší příklady

kořen nulového polynomuf = 0cC

kořen polynomu stupně nula f = a

nemá žádný kořen

Bézoutova věta

Číslo c je kořenem polynomu f = anx

n + an-1xn-1 + ……. + a1x + a0

(x–c)f

Podíl d je polynom stupně n –1 s vedoucím koeficientem bn-1 = an.

f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16

Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f

(x – 2) ( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 )

( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) : (x – 2) == x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8

Podíl d je polynom stupně 5 s vedoucím koeficientem 1

Kořenový činitel

( x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16 ) = (x – 2).(x5 – 4x4 + x3 + 10x2 – 4x – 8)

2 je kořen polynomu f,

x – 2 nazýváme kořenovým činitelem polynomu f.

Vícenásobný kořen

Číslo c se nazývá

k-násobný kořen polynomu f, jestliže

• (x–c)k dělí polynom f a

• (x–c)k+1 nedělí polynom f.

Je-li k = 1, říkáme, že kořen c je jednoduchý.

c je k-násobným kořenem polynomu f

(x–c)k f

f = (x–c)k . g

Dělení daného polynomu f polynomem x–c.

f = (x–c) . g + f(c)

• ověřování, zda c je kořen polynomu f

• zjišťování násobnosti kořene c

• výpočet zbytku po dělení polynomu f

polynomem x – c [je roven f(c)]

Hornerovo schéma

f = x6 – 6x5 + 9x4 + 8x3 – 24x2 + 16

Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu f

1 –6 9 8 –24 0 16

2 1 –4 1 10 –4 –8 0

ff = ( = (xx – 2).( – 2).(xx55 –– 44xx44 + + xx33 ++ 1010xx22 – 4– 4xx – 8) – 8)

Základní věta algebry.

Každý polynom f stupně n 1 má

alespoň jeden komplexní kořen

(tj. buď reálný, nebo imaginární).

D´Alembertova věta.

Počítáme-li každý k-násobný kořen za k kořenů, má polynom f stupně n 1

právě n komplexních kořenů.

Označíme-li tyto kořeny c1 … cn je možné polynom f rozložit na tvar f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn).

polynom f (st f 1) je reducibilní (rozložitelný)

právě tehdy když existují polynomy g, h (st g 1, st h 1) takové, že f = g.h.

Jinak je polynom f ireducibilní (nerozložitelný).

Polynomy g a h nazýváme faktory.

Příklady reducibilních a ireducibilních polynomů

Lineární polynom

f = a1x + a0 = a1(x-c) (kde c je kořen) ireducibilní

Kvadratický polynom

f = a2x2 + a1x + a0 = a2(x-c1)(x-c2)

reducibilní

Polynomy vyššího stupně než 2

f = anxn + an-1x

n-1 + ……. + a1x + a0

jsou vždy reducibilní:

f = an(x – c1)(x – c2) … (x – cn)

(podle D´Alembertovy věty)