Př. Určete první 4 členy posloupnosti a znázorněte graficky :
a)
743
633
523
413
3
4
3
2
1
a
a
a
a
nan b)
64)4(
27)3(
8)2(
1)1(
)(
34
33
32
31
3
a
a
a
a
n c) 2,1)11*6,0(
0)11*6,0(
2,1)11*6,0(
0)11*6,0(
)11*6,0(
44
33
22
11
41
a
a
a
a
nn
d)
1
1
2
1
n
n e)
12
4
n
nfn
f) 152 2 nn
Př. U dané posloupnosti určete uvedené neznámé členy :
28210*3
1325*3
,,23
10
5
105
a
a
aana) b)
1100011100
,,1
2
2100
1002
kb
b
bbn
k
k
c)
d)
e)
f)
142
13101
315
320
,,6
,,21
,,12
,,1
kn
nn
k
k
bbnb
aana
ddnn
ccn
n
Př.Vypočítejte, kolikátý člen posloupnosti určené uvedeným vztahem má danou hodnotu :
a) (5n-1), 19
5n-1 = 19
5n = 19 + 1
5n = 20
n = 4 ………….. Čtvrtý člen posloupnosti
b) (7-3n) , -41
7-3n=-41 … 7+41 = 3n … 48 = 3n … 16 = n … šestnáctý člen posloupnosti
Posloupnosti, řadyPosloupnost je každá funkce daná nějakým předpisem, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel n=1,2,3,…
Zapisujeme : nnnn aaaaaa ,.......,,, 3211
0,5
7
14,53
4,214
3
11,
1
43
60,2
2
1
2
2
nn
n
n
n
nn
n
c)
d)
e)
f)
g)
Př. Určete , od kterého členu počínaje splňuje daná posloupnost uvedenou rovnici :
25,3
134
854
8,54
n
n
n
ana nna)
Od 4.členu
b)
15
22
2215
83015
30158
635
8
6,35
8
n
n
n
n
n
ana nn
n je vždy 1 a více, tedy od 1.členu
c)
d)
e)
f)
g)
h) 2,53
4
1,2
1
4
3
5,2
4,2
36,25
2,32
2
3
2
5
2
nn
n
n
n
nn
nn
n
nn
nn
anna
aa
anna
aa
ana
an
na
Př. Určete vztah n-tý člen posloupnosti :
a) 1,2,3,4,5,…
b) 2,4,6,8,….
c) 1,3,5,7,…..
d) 1, ½ , 1/3 , ¼ , …
nan *1
nan *2
Př. Určete vztah pro n-tý člen posloupnosti :
a) -6, -6, -6, -6, ….
b) -3, 3, -3, 3, -3, 3,….
c) -4, -8, -12, -16, ….
d) 2, 5, 8, 11, 14,………..
Př. Vypočítejte prvních 5 členů posloupnosti dané rekurentně :
a)
3121
2111
1101
0111
1,1
45
34
23
12
11
aa
aa
aa
aa
aaa nn b)
3
13
13
13
1
,3
1
45
34
23
12
11
aa
aa
aa
aa
aaa nn
c)
d)
e)
f)
g)
h) na
aaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
naaa
aaa
n
nn
nnn
nnn
nnn
nn
nn
1221
1221
1221
1221
11
11
,3
2,2
1
12,1,2
5,0,16,0
,1,2
22
1,44
35,1
Př. Je dáno :
a) , určete a5 , a63,0,
3
171 aaa nn
7,23*9,0
9,03*3,0
3*3
1
5
6
7667
a
a
aaaa
b) 4,2 51 aaa nn Určete a2 , a4
5,02
1
2
12
2
2
22
4
2
22
32
43
54
11
aa
aa
aa
aaaa nnnn
c)
d) 8,34
1,0,
2
1
41
6512
aana
aaaaa
nn
nnnUrčete a1,a7
Určete a2,a5
Posloupnost je rostoucí, právě když pro všechna nN platí
an+1 > an , tj. an+1 - an > 0
Posloupnost je klesající, právě když pro všechna nN platí
an+1 < an , tj. an+1 - an < 0
Př. Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí nebo klesající :
a)
25,24
9
22
12*5
333,13
4
21
11*5
2
15
2
1
a
a
n
n
……………. rostoucí
b)
14
12
5
23
34
6
5
4
3
2
15
8
6
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Aritmetická posloupnostPř. : V továrně dokončí každou hodinu montáž 3 automobilů. Na začátku směny bylo ve skladu (po předchozí směně) 5 neodvezených automobilů. Kolik hotových automobilů bude na skladě na konci směny (po 8 hodinách), pokud v jejím průběhu žádný hotový automobil neodvezou? Příklad řeš jako rekurentní posloupnost. Budeme sledovat počet automobilů po hodinách:a1 = 5 (na začátku směny)
Př. 2: V zemské troposféře platí, že s rostoucí výškou klesá teplota. Vzrůst nadmořské výšky o 1 km znamená pokles teploty o 6,5°C. Urči teplotu v nadmořské výšce 5 km, pokud je při hladině moře 25°C. Příklad řeš jako rekurentně zadanou posloupnost.Postupujeme podobně jako v předchozím příkladě, postupně počítáme teploty v jednotlivýchvýškách:
U obou předchozích posloupností platí, že rozdíl mezi dvěma sousedními členy v posloupnosti je konstantní (v prvním případě jsme pořád přičítali stejné číslo, ve druhém případě jsme stále stejné číslo odečítali).
Př. V předchozích příkladech určete diferenci :
Př. Načrtněte grafy aritmetických posloupností z příkladů 1 a 2. Jaký typ funkce jeanalogií aritmetické posloupnosti?
V obou případech leží všechny body grafu v přímce , takže aritmetická posloupnost je speciálnípřípad lineární funkce.
Př. Určete prvních 5 členů aritmetické posloupnosti a znázorněte graficky :
a)
110
011
112
213
1,3
45
34
23
12
1
daa
daa
daa
daa
da b)
c)
d)
e)
f) 4
1,5.7
5.2,6
2,2.3
1,3
1
1
1
1
da
da
da
da
Př. Určete prvních pět členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno :
a)
3.61.12.5
2.51.11.4
9.11.13
1.131.4
1.4,3
45
34
21
23
32
daa
daa
daa
aad
aa b)
c)
d)
e) 12,8
1,2
5.3,4
5.0,2.0
54
21
43
32
aa
aa
aa
aa
Př. V aritmetické posloupnosti je dáno :
a)
5.2963*)1100(2
1*)1(
5.323*)112(2
1*)1(
3,2
1
112
112
1
dnaa
dnaa
da Určete a12 , a100
b)
c)
d)6
1,3
2,54
1,2
1
1
1
da
da
da Určete a17 , a25
Určete a20 , a34
Určete a25 , a100
Př. Určete první 4 členy posloupnosti, je-li dáno :
a)
10)4(*)14(22*)1(
14)4(*)13(22*)1(
18)4(*)12(22*)1(
22)4(*)17(2*)1(
*)1(*)1(
4,2
14
13
12
71
11
7
dnaa
dnaa
dnaa
dnaa
dnaadnaa
da
nn
b) a10=5,d=-2
c) a12=10,d=-2
d) a8=-1,d=-3
Př. V aritmetické posloupnosti je dáno :
a)
2)5
1(*)188(4*)188(
1)5
1(*)1833(4
*)1833(*)(5
1,4
188
33
1833
18
daa
a
daadsraa
da
sr
Určete a33, a8
b) a22= -2/3 , d=1 určete a40 , a15
c) a21= 2 , d= -1/8 určete a37 , a13
d) a19=-1/4 , d=2 určete a28 , a12
Př. V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, je-li :
a) a14=3 , a23 = 21
b) a7=21 , a13 = 15
c) a11=9 , a19 = 33
d) a9=6 , a16 = -8
Př. V aritmetické posloupnosti je dáno :
a) a6=9 , a17 = 20 , určete s200
20700
)2034(*100
*2
200
203
1*1994
*)1200(
4
1*59
*)16(
1
1111
11920
*)617(
200
200
2001200
200
200
1200
1
1
16
617
s
s
aas
a
a
daa
a
a
daa
d
d
d
daa
b) a1=4 , a21 = 14 , určete s35
c) a1=6 , a15 = 27 , určete s25
d) a1=2 , a16 = 12 , určete s70
e) a1=-3 , a40 = 36 , určete s10
f) a8=10 , a21 = 23 , určete s100
g) a9=18 , a21 = 42 , určete s200
h) a4=7 , a12 = 23 , určete s50
i) a10=-65 , a20 = -135 , určete s40