Matematika 1 - ČVUT FSvmat.fsv.cvut.cz/Ivana/p1ver1.pdf · Uvod ´Opakovan´ı Posloupnosti...

Uvod Opakovanı Posloupnosti Prıklady

Matematika 1

Ivana PultarovaKatedra matematiky, Fakulta stavebnı CVUT v Praze

streda 10-11:40poslucharna D-1122

Uvod

Opakovanı

Posloupnosti

Prıklady


Harmonogram. Diferencialnı pocet funkcı jedne realne promenne - posloupnosti,funkce, jejich vlastnosti, spojitost, derivace, extremy, linearnı algebra - vektorovyprostor, matice, soustavy rovnic, analyticka geometrie v prostoru.

LiteraturaI F. Bubenık, O. Zindulka, Matematika 1. Skriptum CVUT, 2005.I J. Charvat, V. Kelar, Z. Sibrava, Matematika 1. Prıklady. Skriptum CVUT, 2005.

Zapocet a zkouska.I Priblizne v 5., 9. a 13. tydnu testy na pocıtacıch (prıstupove udaje, ... B255).I Kalkulacky nejsou povoleny. Opravy nejsou mozne.I 1. a 2. test je z diferencialnıho poctu, 3. test je z linearnı algebry.I Doba 30 minut. V kazdem testu 4 prıklady, maximalne 24 bodu.I Pro zıskanı zapoctu je nutne absolvovat vsechny 3 testy a zıskat z nich celkem

alespon 24 bodu. Pri zisku 10 - 23 b. spec. test (70 %).I Spatna odpoved je za -1 bod, nezskrtnuta 0 bodu.I Cvicne testy na webu katedry https://amos.fsv.cvut.cz.I Body z testu se zapocıtavajı ke zkousce: 0 - 10 bodu.I Zkouska z MA1 je pısemna a ev. i ustnı. Pısemka ma dve casti: diferencialnı pocet

a linearnı algebra + analyticka geometrie. Nahledy. Ustnı zkouska - znamka A.

Web. http://mat.fsv.cvut.cz - vsechny informace, ukazky testu, . . .


Konzultace ! Pondelı 15 - 16 hod. nebo jindy dle dohody.

Repetitorium.

101XM11 -streda 18:00-19:40, C219, Dr. Kelar, od 29.9., zapis na 1. cvicenı,(utery, 14:00-15:40, B-368, Dr. Borık)

Vyberove predmety.

Matematika 2Matematika 3Pruznost a Pevnost(Matlab)Matematika 4 v magisterskem studiu

Volitelna prednaska.

Kapitoly ze soucasne matematiky, 101XKSM.Vecernı doba, ruzna temata, jen Z, bez pozadavku. Aktuality na webu katedry.

Souteze.

Vycichlova soutez v matematice, geometrii a informatice - kveten, cerven.Rektorysova soutez v aplikovana matematice - listopad.


Vyroky.

Vyrok je veta, u ktere lze posuzovat jejı pravdivost.Pravdivostnı hodnota ”pravda” nebo ”nepravda”, 1 nebo 0.Prıklad.”V tomto dome je sedm oken.”, ”Vsechny zidle v teto mıstnosti jsou obsazene.”,”At uz je patek.”, ”Neriskuj!”, . . .

V matematice: ”Pro kazde realne cıslo r existuje cele cıslo n takove, ze r < n.” nebo”Pro vsechna prvocısla platı: je-li p prvocıslo, je p + 1 take prvocıslo.”

Kvantifikatory univerzalnı ∀ a existencnı ∃. Slozenı vyroku pomocıalternativy (∨), konjunkce (∧), implikace (⇒), ekvivalence (⇔) nebo negace (¬).

A B A ∨ B A ∧ B A⇒ B A⇔ B ¬A1 1 1 1 1 1 01 0 1 0 0 0 00 1 1 0 1 0 10 0 0 0 1 1 1

Prıklady.1. Rozdıl mezi ∀x ∈ R ∃y ∈ R : x < y a ∃y ∈ R ∀x ∈ R : x < y .

2. Negace vyroku ∀n ∈ N ∃p ∈ N : (p > n ∧ p je prvocıslo) je vyrok∃n ∈ N ∀p ∈ N : (p ≤ n ∨ p nenı prvocıslo).

3. Co se tvrdı o mnozine realnych cısel M? ∀ε > 0 ∃x ∈ M, x 6= 5 : |x − 5| < ε.


Mnoziny.

Prvek x je v mnozine A x ∈ APrunik mnozin x ∈ A ∩ B ⇐⇒ {x ∈ A ∧ x ∈ B}Sjednocenı mnozin x ∈ A ∪ B ⇐⇒ {x ∈ A ∨ x ∈ B}Rozdıl mnozin x ∈ A \ B ⇐⇒ {x ∈ A ∧ x /∈ B}Podmnozina A ⊂ B ⇐⇒ {x ∈ A⇒ x ∈ B}Kartezsky soucin dvou mnozin A a B je mnozina vsech usporadanych dvojic [x , y ],kde x ∈ A, y ∈ B.

Binarnı relace je kazda podmnozina kartezskeho soucinu.

Binarnı relace se nazyva zobrazenı, jestlize pro kazde jejı dve dvojice [x1, y1], [x2, y2]platı x1 = x2 ⇒ y1 = y2. Vzory a obrazy.

Zobrazenı se nazyva proste, jestlize pro kazde jeho dve dvojice [x1, y1], [x2, y2] platıy1 = y2 ⇒ x1 = x2.

Prıklady.1. Kartezsky soucin {1, 2} a {1, 8, 9} je {[1, 1], [1, 8], [1, 9], [2, 1], [2, 8], [2, 9]}.Binarnı relace je napr. {[1, 1], [1, 8], [1, 9], [2, 1]}.Zobrazenı (ne proste) je napr. {[1, 1], [2, 1]}.2. Kartezsky soucin (0, 2) a (−5, 5) je {[x , y ]; x ∈ (0, 2), y ∈ (−5, 5)}.Binarnı relace je napr. . . . .Zobrazenı (proste) je napr. {[x , y ]; x ∈ (0, 2), y = x2}..


Mnoziny cısel. Usporadanı.

Prirozena cısla 1, 2, 3, . . . , oznacujeme N .Cela cısla 0, 1,−1, 2,−2, . . . oznacujeme Z.Racionalnı cısla oznacujeme Q.Realna cısla oznacujeme R.Pomocı symbolu i , pro ktery i2 = −1, definujeme komplexnı cısla C.

Rozsırena cıselna osa. Mnozinu R∗ = R∪ {∞} ∪ {−∞} nazveme rozsırenoucıselnou osou. Pro symboly∞ a −∞ budeme definovat∀x ∈ R : −∞ < x <∞,|∞| = | −∞| =∞,∀x ∈ R∗, x > −∞ : x +∞ =∞+ x =∞,∀x ∈ R∗, x <∞ : x + (−∞) = x −∞ = −∞+ x = −∞,∀x ∈ R∗, x > 0 : x · ∞ =∞ · x =∞, x · (−∞) = (−∞) · x = −∞,∀x ∈ R∗, x < 0 : x · ∞ =∞ · x = −∞, x · (−∞) = (−∞) · x =∞,∀x ∈ R : x

∞ = x−∞ = 0.

Neurcite vyrazy∞−∞, 0 · ∞, 00 , ∞∞ .


Usporadanı R∗.

Necht A ⊂ R.

z ∈ R∗ je hornı zavora mnoziny A . . . ∀x ∈ A : x ≤ z.

Mnozina A je shora omezena, jestlize existuje hornı zavora z ∈ R mnoziny A.V opacnem prıpade je A shora neomezena.

(Podobne dolnı zavora, zdola omezena.)

Mnozina je omezena, je-li omezena shora i zdola.

Nejmensı hornı zavora mnoziny se nazyva supremum mnoziny a nejvetsı dolnı zavoramnoziny se nazyva infimum mnoziny.

Je zrejme, ze kazda podmnozina mnoziny R ma supremum i infimum.

Jestlize supremum mnoziny je soucasne prvkem teto mnoziny, nazyvame jejmaximem. Jestlize infimum mnoziny je soucasne prvkem teto mnoziny, nazyvame jejminimem.

Prıklady. A = {1, 2, 8}, B = (1, 3〉 ∪ 〈4, 5〉, C = { 1n }∞n=1, D = {n · (−1)n}∞n=1.


Opakovanı - ve skriptech na str. 136 - 148.

Grafy elementarnıch funkcı - ve skriptech na str. 94 - 99.


Definice. Posloupnost je zobrazenı N do R (ev. C). Oznacuje se

a1, a2, a3, . . . nebo {an}∞n=1.

Naprıklad

{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . },{

1n

}∞n=1

,

{n − 1

n

}∞n=1

, {(−1)n}∞n=1, {n cos(nπ)}∞n=1.

Definice. Posloupnost je

a) rostoucı, jestlize an < an+1 pro kazde n ∈ N,

b) klesajıcı, jestlize an > an+1 pro kazde n ∈ N,

c) nerostoucı, jestlize an ≥ an+1 pro kazde n ∈ N,

d) neklesajıcı, jestlize an ≤ an+1 pro kazde n ∈ N,

e) omezena zdola, jestlize existuje s ∈ R tak, ze an ≥ s pro kazde n ∈ N,

f) omezena shora, jestlize existuje s ∈ R tak, ze an ≤ s pro kazde n ∈ N,

f) omezena, jestlize existuje s ∈ R tak, ze −s ≤ an ≤ s pro kazde n ∈ N.

Neklesajıcı a nerostoucı posloupnosti se nazyvajı monotonnı. Klesajıcı a rostoucıposloupnosti se nazyvajı ryze monotonnı.


0 10 20 30 40 50 60 70−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

n

n

Posloupnosti

limn→∞

10n, lim

n→∞8

n − 2n

, limn→∞

3(−1)n, limn→∞

n10

cos(n

10π), lim

n→∞

n10


0 2 4 6 8 10

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

L=2

an = 2 + 1/n

O(L)

Definice. Necht x ∈ R. Okolı bodu x je kazdy interval (x − ε, x + ε), kde ε > 0.Neuplne okolı bodu x je sjednocenı intervalu (x − ε, x) ∪ (x , x + ε), kde ε > 0. Leveokolı bodu x je interval (x − ε, x〉, kde ε > 0.Okolı bodu∞ je kazdy interval (s,∞) pro s ∈ R.

Definice. Posloupnost {an}∞n=1 ma vlastnı (konecnou) limitu L ∈ R, jestlize prokazde okolı O(L) bodu L existuje prirozene cıslo n0 takove, ze pro vsechna prirozenacısla n vetsı nez n0 platı

an ∈ O(L).

Tuto skutecnost znacımelim

n→∞an = L.

Ekvivalentne lze definici vlastnı limity napsat i jinak, napr:∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ n > n0 : |an − L| < ε.

Prıklady.

limn→∞

1n, lim

n→∞

n − 1n

, limn→∞

(−1)n, limn→∞

n cos(nπ), limn→∞

n1000

.


0 10 20 30 40 50 60 70 80−2

0

2

4

6

L = ∞

an = n1 / 2 − 3

O(L)

Definice. Posloupnost ma nevlastnı (nekonecnou) limitu L =∞, jestlize pro kazdecıslo K ∈ R existuje prirozene cıslo n0 takove, ze pro vsechna prirozena cısla n vetsınez n0 platı

an > K .

Znacımelim

n→∞an =∞.

Definice. Posloupnost, ktera ma vlastnı limitu nazyvame konvergentnı, ostatnıposloupnosti (ty, ktere nemajı limitu nebo majı limitu nevlastnı) jsou divergentnı.

Definice. Necht nk , k = 1, 2, 3, . . . je libovolna rostoucı posloupnost prirozenych cısel.Pak {ank }∞k=1 se nazyva posloupnost vybrana z {an}∞n=1.


Veta. Kazda posloupnost ma nejvyse jednu limitu.

Veta. Jestlize ma posloupnost limitu, pak kazda z nı vybrana posloupnost ma takelimitu, a ta je totozna s limitou puvodnı posloupnosti.

Veta. Kazda konvergentnı posloupnost je omezena.

Veta. Kazda monotonnı posloupnost ma limitu (vlastnı nebo nevlastnı).

Veta. Jestlize limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b a c ∈ R, potom

a) limn→∞(an + bn) = a + b;

b) limn→∞(anbn) = ab;

c) limn→∞(an/bn) = a/b, jestlize b 6= 0 a jestlize vsechny nulove cleny {bn}∞n=1nahradıme libovolnymi nenulovymi cısly;

d) limn→∞ |an| = |a|;e) limn→∞ can = ca;

f) limn→∞ c + an = c + a.

Uvedene vztahy lze pouzıt i v prıpade, ze nektera z limit je nekonecno a soucasnevsechny uvedene vyrazy majı smysl (tj. nejsou typu∞−∞, 0 · ∞ nebo ∞∞ ).


Naprıklad

limn→∞

3n+ n2 = lim

n→∞

3n+ lim

n→∞n2 = 0 +∞ =∞.

Nektere vyrazy ovsem neumoznujı ihned urcit vysledek,

limn→∞

3n − n2 = limn→∞

3n − limn→∞

n2 =∞−∞?

ale

limn→∞

3n−n2(=∞−∞) = limn→∞

n(3−n) = limn→∞

n · limn→∞

(3−n) =∞· (−∞) = −∞,

Pozor tedy na neurcite vyrazy ∞−∞, ∞∞ , 0 .∞, 1∞, ∞0.

Naprıklad ∞∞ . . .

limn→∞

nn2, lim

n→∞

nn, lim

n→∞

n2

n,

ale jejich hodnoty jsou 0, 1 a∞ !!!


Prıklady - dva hlavnı triky !!!

limn→∞

n2 − 100n + 75n2 + n − 3

= limn→∞

1− 100n + 7

n2

5 + 1n −

3n2

=1− 0 + 05 + 0− 0

=15

limn→∞

√n −

√n − 1 = lim

n→∞(√

n −√

n − 1)√

n +√

n − 1√

n +√

n − 1=

= limn→∞

n − (n − 1)√

n +√

n − 1= lim

n→∞

1√

n +√

n − 1=

1∞

= 0


0 5 10 15 20 25 30−1

−0.5

0

0.5

1

n

a n, bn, c

na

n=sin(n)/n

bn=1/n

cn=−1/n

Veta.

a) (Princip sevrene posloupnosti.) Jestlize pro vsechna n ∈ N platı cn ≤ an ≤ bn ajestlize limn→∞ cn = limn→∞ bn = L, potom limita posloupnosti an existuje a platı

limn→∞

an = L.

b) Jestlize pro vsechna n ∈ N platı an ≤ bn a jestlize limn→∞ an =∞, potom limitaposloupnosti {bn}∞n=1 existuje a platı

limn→∞

bn =∞.


Prıklady.

1)lim

n→∞n√

n + 3n = 3,

protoze

3 =n√3n ≤ n

√n + 3n ≤ n

√3n + 3n =

n√2 · 3n =n√2 n√3n =

n√2 · 3

alim

n→∞3 = 3, lim

n→∞n√2 · 3 = 3.

2)

limn→∞

(n +

ln n√

n + ln n

)3≥ lim

n→∞(n)3 =∞.


Zajımavou posloupnostı je

an =

(1 +

1n

)n.

(Vyraz je typu ”1∞”, tedy neurcity!, nebot ”1∞ = 10∞ log 1 = 10∞·0”.)

Da se dokazat, ze limita teto posloupnosti existuje a je konecna, oznacuje se Eulerovocıslo e, (zaklad prirozeneho logaritmu).

Cıslo e je iracionalnı a jeho hodnota je priblizne 2, 718.

Lze odvodit, ze pro α ∈ R je

limn→∞

(1 +

α

n

)n= eα.

(Leonhard Euler, 1707 - 1783)


Aritmeticka posloupnost ma vlastnost

an+1 = an + d ,

d je konstanta. Soucet prvnıch n clenu aritmeticke poslounosti je

Sn = (a1 + an)n2.

Geometricka posloupnost ma vlastnost

an+1 = an · q,

kde q je konstanta. Soucet prvnıch n clenu geometricke posloupnosti je

Sn =a1(1− qn)

1− q.

Vsimneme si, ze soucet vsech nekonecne mnoha clenu geometricke posloupnosti je

limn→∞

a1(1− qn)

1− q.

Pro |q| < 1 je

S∞ = limn→∞

Sn = limn→∞

a1(1− qn)

1− q=

a1

1− q.


Na zaver uvedeme uzitecnou vetu.

Veta. Necht ma posloupnost {an}∞n=1 vlastnost

an+1 ≥ can > 0

pro nejake c > 1 a pro n ∈ N . Potom

limn→∞

an =∞.

S pomocı teto vety zkuste urcit, ktere posloupnosti konvergujı k nekonecnu rychleji:

nk , (konst.k ∈ N ), an, (konst.a > 1), n!, nn.


1)

limn→∞

nn + 1

,

2)

limn→∞

n3 − n4n3 + 2

,

3)lim

n→∞n√

2n + 3n + 4n,

4)lim

n→∞(n −

√n2 − 3n),

5)

limn→∞

(1 +

32n

)n,

6)

limn→∞

sin(πn

4

),

7)lim

n→∞sin(π

4n!),

(. . . mnoho dalsıch prıkladu je ve sbırce uloh.)


1)

limn→∞

nn + 1

= limn→∞

11 + 1

n

= 1,

2)

limn→∞

n3 − n4n3 + 2

,

3)lim

n→∞n√

2n + 3n + 4n,

4)lim

n→∞(n −

√n2 − 3n),

5)

limn→∞

(1 +

32n

)n,

6)

limn→∞

sin(πn

4

),

7)lim

n→∞sin(π

4n!),



1)

limn→∞

nn + 1

= limn→∞

11 + 1

n

= 1,

2)

limn→∞

n3 − n7n3 + 2

= limn→∞

1− 1n2

7 + 2n3

=17,

3)lim

n→∞n√

2n + 3n + 4n,

4)lim

n→∞(n −

√n2 − 3n),

5)

limn→∞

(1 +

32n

)n,

6)

limn→∞

sin(πn

4

),

7)lim

n→∞sin(π

4n!),



1)

limn→∞

nn + 1

= limn→∞

11 + 1

n

= 1,

2)

limn→∞

n3 − n7n3 + 2

= limn→∞

1− 1n2

7 + 2n3

=17,

3)

limn→∞

n√

2n + 3n + 4n = limn→∞

4 n

√12n

+3n

4n+ 1 = 4,

4)lim

n→∞(n −

√n2 − 3n),

5)

limn→∞

(1 +

32n

)n,

6)

limn→∞

sin(πn

4

),

7)lim

n→∞sin(π

4n!),



1)

limn→∞

nn + 1

= limn→∞

11 + 1

n

= 1,

2)

limn→∞

n3 − n7n3 + 2

= limn→∞

1− 1n2

7 + 2n3

=17,

3)

limn→∞

n√

2n + 3n + 4n = limn→∞

4 n

√12n

+3n

4n+ 1 = 4,

4)

limn→∞

(n −√

n2 − 3n) = limn→∞

n2 − (n2 − 3n)

n +√

n2 − 3n= lim

n→∞

3

1 +√

1− 3n

=32,

5)

limn→∞

(1 +

32n

)n,

6)

limn→∞

sin(πn

4

),

7)lim

n→∞sin(π

4n!),



1)

limn→∞

nn + 1

= limn→∞

11 + 1

n

= 1,

2)

limn→∞

n3 − n7n3 + 2

= limn→∞

1− 1n2

7 + 2n3

=17,

3)

limn→∞

n√

2n + 3n + 4n = limn→∞

4 n

√12n

+3n

4n+ 1 = 4,

4)

limn→∞

(n −√

n2 − 3n) = limn→∞

n2 − (n2 − 3n)

n +√

n2 − 3n= lim

n→∞

3

1 +√

1− 3n

=32,

5)

limn→∞

(1 +

32n

)n= e

32 ,

6)

limn→∞

sin(πn

4

),

7)lim

n→∞sin(π

4n!),



1)

limn→∞

nn + 1

= limn→∞

11 + 1

n

= 1,

2)

limn→∞

n3 − n7n3 + 2

= limn→∞

1− 1n2

7 + 2n3

=17,

3)

limn→∞

n√

2n + 3n + 4n = limn→∞

4 n

√12n

+3n

4n+ 1 = 4,

4)

limn→∞

(n −√

n2 − 3n) = limn→∞

n2 − (n2 − 3n)

n +√

n2 − 3n= lim

n→∞

3

1 +√

1− 3n

=32,

5)

limn→∞

(1 +

32n

)n= e

32 ,

6)

limn→∞

sin(πn

4

)neexistuje,

7)lim

n→∞sin(π

4n!),



1)

limn→∞

nn + 1

= limn→∞

11 + 1

n

= 1,

2)

limn→∞

n3 − n7n3 + 2

= limn→∞

1− 1n2

7 + 2n3

=17,

3)

limn→∞

n√

2n + 3n + 4n = limn→∞

4 n

√12n

+3n

4n+ 1 = 4,

4)

limn→∞

(n −√

n2 − 3n) = limn→∞

n2 − (n2 − 3n)

n +√

n2 − 3n= lim

n→∞

3

1 +√

1− 3n

=32,

5)

limn→∞

(1 +

32n

)n= e

32 ,

6)

limn→∞

sin(πn

4

)neexistuje,

7)lim

n→∞sin(π

4n!)= 0,


Date post:	03-Mar-2019
Category:	Documents
Upload:	nguyenkhuong
View:	235 times
Download:	1 times

Matematika 1 - ČVUT FSvmat.fsv.cvut.cz/Ivana/p1ver1.pdf · Uvod ´Opakovan´ı Posloupnosti...

Documents