59. ročník MO Soustředění řešitelůKategorie A

Dualita

Sloup 2008

jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme dnes večer hovořit?

Seznámíme se s principem duality,

který nám umožní nalézat překvapivé souvislosti v některých matematických disciplínách.

Budeme se zabývat především:

pravidelnými tělesy,

Booleovou algebrou

a projektivní geometrií.

Pravidelná tělesa

Jaká tělesa nazýváme platónská?

Definice:• Povrch těchto těles se skládá

z navzájem shodných pravidelných n-úhelníků.

• V každém vrcholu tělesa se stýká stejný počet těchto n-úhelníků.

Co nám říká Eulerova věta?

Nechť je dáno libovolné „jednoduché“ těleso.Počet jeho vrcholů označme V,počet jeho stěn označme S,a počet jeho hran označme H.

Tato tři čísla spolu souvisejí vztahem, který se nazývá Eulerova věta.

V + S = H + 2

Představme si, že stavíme model platónského tělesa, kde se v každém vrcholu stýká pět rovnostranných trojúhelníků.

Složíme ho z S „rozpojených“ trojúhelníků (S je neznámé):

atd .

Kolik mají tyto trojúhelníky vrcholů? Kolik vrcholů těchto trojúhelníků se při lepení modelu spojí do jednoho vrcholu tělesa? Jak vyjádříme počet vrcholů V?

Kolik mají tyto trojúhelníky stran? Kolik stran těchto trojúhelníků se při lepení modelu spojí do jedné hrany tělesa? Jak vyjádříme počet hran H?

Jak konstruovat platónská tělesa?

Počet vrcholů V a počet hran H jsme vyjádřili těmito vztahy:

Toto těleso se nazývá pravidelný dvacetistěn.Má 20 stěn, 12 vrcholů a 30 hran.

Co dostaneme dosazením do Eulerovy věty?

5

3SV

2

3SH

2 HSV

20S

125

.3

SV 30

2

.3

SH

22

3

5

3

SS

S

20.15.10.6 SSS

Přehled platónských těles

Že existuje pouze pět platónských těles věděl již Eukleides.

Název tělesa V S H

pravidelný čtyřstěn 4 4 6

pravidelný šestistěn (krychle) 8 6 12

pravidelný osmistěn 6 8 12

pravidelný dvanáctistěn 20 12 30

pravidelný dvacetistěn 12 20 30

Jak k tělesu sestrojíme duální těleso?

Středy stěn původního tělesa budou vrcholy duálního tělesa.

Jestliže mají dvě stěny původního tělesa společnou hranu, pak odpovídající vrcholy duálního tělesa také spojíme hranou.

Booleova algebra

Začněme definicí

Algebraickou strukturu (A, +, . , , 0, 1) budeme nazývat Booleovou algebrou právě tehdy, platí-li pro libovolné její prvky tyto axiomy:

a+b = b+a a.b = b.a

(a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c)

(a+b).c = (a.c)+(b.c) (a.b)+c = (a+c).(b+c)

a+0 = a a.1 = a

a+(a) = 1 a.(a) = 0

Modely Booleovy algebry

Struktura

( A , + , . , , 0 , 1 )

má například tyto modely:

množinový model

( Pot(N) , , , ´ , , N )

logický model

( F , , , , N , P )

Důkazy duálních vět

Věta: (a) a.a = a

Důkaz:a = a.1 = a.(a+(a)) = (a.a)+(a.(a)) = (a.a)+0 = a.a

Duální věta: (a) a+a = a

Důkaz:a = a+0 = a+(a.(a)) = (a+a).(a+(a)) = (a+a).1 = a+a

Další věty Booleovy algebry

(a) a.0 = 0 a+1 = 1

(a) ( a) = a

1 = 0 0 = 1

(a) (b) (a+b) = (a) . (b) (a.b) = (a) + (b)

atd.

Pokuste se o jejich důkazy!

Jaká je jejich interpretace v obou modelech?

Projektivní geometrie

Vytvořme si nejprve představu projektivní roviny

Upřesnili jsme tedy tyto pojmy:

• vlastní a nevlastní body,• přímky procházející daným nevlastním bodem,• nevlastní přímka,• kuželosečka.

Udělejme ještě úmluvu o incidenci.

Základní incidenční axiomy

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.Dvě různé přímky mají společný právě jeden bod.

Jak to zapsat formulemi? (A) (B) A ≠ B (!p) A inc p B inc p

(a) (b) a ≠ b (!P) a inc P b inc P

Další axiomy projektivní roviny se dají sdružit do podobných dvojic!

Jak tedy budeme aplikovat princip duality v projektivní rovině?

Pól a polára u kuželosečky

Bod A je pólem přímky a, přímka a je polárou bodu A (vzhledem ke kuželosečce). S

A

aJaké vlastnosti mají dvojice pólu a jeho poláry?

pol_polara.fig

Pascalova věta

Průsečíky protilehlých stran šestiúhelníku kuželosečce vepsaného leží na jedné přímce.

Pascalova_veta.fig

Dokážete pomocí Pascalovy věty sestrojit tečnu v daném bodě kuželosečky?

Dokážete zformulovat k Pascalově větě duální větu (tzv. Brianchonovu větu)?

Děkuji vám za pozornost.