II I. T epelné fluktuace: line ární oscilátor

transcript

III.Tepelné fluktuace: lineární

oscilátor

KOTLÁŘSKÁ 9. BŘEZNA 2011

F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav

letní semestr 2010 - 2011

Úvodem

• Podruhé bez Planckovy konstanty• Molekulární chaos: Fluktuace a stochastická dynamika• Dvě cesty: výpočet středních hodnot přímá simulace jednotlivých realizací náhodných procesů most: ergodické chování systému v termostatu• Hlavní formální prostředek dnes: Langevinova rovnice -- prototyp stochastických diferenciálních rovnic

Poslední folie před týdnem – Kapplerův pokus

Ekvipartiční zákon

Ergodičnost

Rovnovážné systémy jsou zvláštní. Jsou na konci cesty, všechna

vnitřní napětí v systému se vyrovnají a nastane zdánlivý klid. Pod ním

však kolotá věčný molekulární chaos. Jeho nahodilost se řídí přísnými

zákony. Ať se děje co děje, globální rovnováha nakonec nesmí být

porušena.

Bližší pohled na odvození z minulé přednášky

1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti

2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )

3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:

rovnovážná střední hodnota,

pomocí distribuční funkce

Kappler počítalčasovou střední

hodnotu

ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD

hodnotu

/ 2e A

d ( )t

Ft FF ft

hodnotu

/ 2e A

d ( )t

Ft FF ft

hodnotu

1d ( ) d

t F t F F f

/ 2e A

1d ( ) d

t F t F F f

hodnotu

/ 2e A

Ergodičnost a molekulární chaos

ERGODICKÁ VĚTA

hodnotu

rovnovážná,pomocí

distribučnífunkce

• Molekulární chaos mění každý dynamický proces na stochastický• Při opakování vznikají náhodné realisace procesu• Nejčastěji se objeví "typické" realisace• Pro ně systém bloudí všemi hodnotami uvažované dynamické veličiny a to tak, že u různých hodnot pobývá zhruba podle ter

mické rozdělovací funkce• Z chaotického chování se tak vynořuje pravidelnost

ČASOVÉ STŘEDNÍ HODNOTY

TERMICKÉ STŘEDNÍ HODNOTY

1d ( ) d

t F t F F f

Tlak v plynu a jeho fluktuace

V elementární kinetické teorii se odvozuje výraz pro tlak plynu, který

vede ke stavové rovnici.Na malou plošku působí tlaková síla,

která však kolísá – podléhá fluktuacím. Ta bude hnací silou pro chaotický pohyb mesoskopických

objektů.

Tři příklady mesoskopických systémů

globální stupně volnosti• translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV• rotační

1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb

2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou

3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou

rotacem

Naše volba pro konkrétnost představy

1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb

rotacem

1) Brownova částice volný translační pohyb v jedné dimensi

NÁHODNÉ SÍLY

Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu

Odhady pro destičku 1mm x 1mmVzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C

obdobně s druhé strany

krátké silové impulsy

Síla na stojící destičku )()( tFtF

Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou21

3d ( ) 2x x

tt F t v mv n m v S p S

( ) ( )F t F t

3d ( ) 2x x

n = 2.691025

mezimol. vzdálenost= 3.3 nmnárazů za sec.= 1.301022

v = 493 m/s dusíkv = 461 m/s kyslík

( ) ( )F t F t

3d ( ) 2x x

n = 2.691025

( ) ( )F t F t

1016 nárazů/s

n = 2.691025

( ) ( )F t F t

1016 nárazů/s

3d ( ) 2x x

Střední síla na stojící destičku

0)()( pSpStFtF

n = 2.691025

( ) ( )F t F t

1016 nárazů/s

3d ( ) 2x x

Střední síla na pomalu se pohybující destičku

( ) ( ) pS pS uF t F t

( ) ( )

v u m v u v u

n m v u v u S p S nm v u nmO u

brzdná sílaxv

( ) ( )F t F t pS pS u

brzdná síla

Střední síla na pomalu se pohybující destičku u v

v u m v u v u

n m v u S p S nm v u nmO u

upSpStFtF )()(

Objevila se disipativní síla úměrná rychlosti !!Je to důsledek molekulárního chaosu (termostat nereaguje na pohyb systému)

xvbrzdná síla

v u m v u

upSpStFtF )()(

Objevila se disipativní síla úměrná rychlosti !!Je to důsledek molekulárního chaosu (termostat nereaguje na pohyb systému)

Náhodná složka síly

( ) ( ') const ( ')F t F t t t nulová střední síla

bodová korelační funkce (bílý šum)

xvbrzdná síla

( )F F F F F F F u

( ) 0F t

v u m v u

Langevinova rovnice

Jednoduchá myšlenka: Na mesoskopickou částici působí

fluktuující síla ze strany molekul termostatu.

Pro chaotický pohyb mesoskopických částic můžeme napsat pohybovou

rovnici. Vypadá jako mikroskopická, ale není – náhodná Langevinova síla je zavedena

fenomenologicky.

Langevinova rovnicePaul Langevin (1872 -- 1946) 1907 navrhl pohybovou rovnici pro

částici propojenou s termostatem

ext ( )mx x F F t

tření

vtištěná síla(nenáhodná)

NÁHODNÁ LANGEVINOVA

ext ( )mx x F F t

tření

vtištěná síla(nenáhodná)

Náhodná síla spolu s třením odrážejí účinek termostatu na systém

S ( )mx x F F t

tření

působící síla(nenáhodná)

Náhodná síla spolu s třením odrážejí účinek termostatu na systém

DVĚ ZÁKLADNÍ STRATEGIE provedeme pro

středování … LR jako stochastická DR 1D Brownovu částici

simulace … řešení LR pro konkrétní lineární oscilátor realizaci Langevinovy síly „pérové váhy“ jako náhodného procesu simulace Kapplerových dat

Langevinova rovnice I.

Původně použita na volnou Brownovu

částici. Významné pokroky v pochopení. Difusní řešení je správné v limitě dlouhých časů. Pro

krátké časy se projeví inerciální efekty

Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici

S( ) 0mx x F t F

tření NÁHODNÁ LANGEVINOVA

S( ) 0mx x F t F

tření

působící síla=0(volná částice) Kdyby

dostaneme

S ( )m x x F F t

S constF NÁHODNÁ LANGEVINOVA

S( ) 0mx x F t F

tření

dostaneme

S ( )m x x F F t

S constF NÁHODNÁ LANGEVINOVA

S( ) 0mx x F t F

tření

dostaneme

ustálený stavS ( )m x x F F t

S constF

NÁHODNÁ

LANGEVINOVA SÍLA

S( ) 0mx x F t F

tření

dostaneme

S constF

S( ) 0mx x F t F

tření

dostaneme

S constF

S( ) 0mx x F t F

tření

dostaneme

( )x x f t

dělíme m

S constF

S( ) 0mx x F t F

tření

( )x x f t

dělíme m

Původní Langevinův postup

Středovat … ale co

xx xx xx

xx xx xx xf t

( )x x f t

xx xx xx

xx xx xx xf t

Použít ekvipartičního teorému Zbavit se náhodné síly !!!

( )x x f t

( )Bk T

mxx xx xf t

xx xx xx

xx xx xx xf t

( )x x f t

( )Bk T

mxx xx xf t

Použít ekvipartičního teorému

Zbavit se náhodné síly !!!

mxx xx

xx xx xx

xx xx xx xf t

( )x x f t

( )Bk T

mxx xx xf t

Použít ekvipartičního teorému

Zbavit se náhodné síly !!!

mxx xx

( ) ( ') const ( '

( ) ( )

f t f t t t

xf t x f t

Výsledná LODR 1. řádu (nenáhodná)

eB tk T

Pokračování

Počáteční podmínka

212(1 e )B t xx x

neznámá Bk T

mxx xx xx

Obecné řešení LODR 1. řádu partikulární řešení + obecné řešení homogenní rovnice

eB tk T

Pokračování

212(1 e )B t xx x

neznámá Bk T

mxx xx xx

eB tk T

Pokračování

212(1 e )B t xx x

neznámá Bk T

mxx xx xx

Poslední integrace

2 12 (1 e )B txk T

2 /1 12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tx tk T k T

VÝSLEDEK

2 /1 12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tx tk T k T

VÝSLEDEK

difusní limita

2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

identifikace .... EINSTEINŮV VZTAH

mk T B

Pro 0t

2 2 2 212

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

mk T B

Pro 0t

2 2 2 212

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

mk T B

Pro 0t

2 2 2 212

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

mk T B

Pro 0t

2 2 2 212

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

mk T B

Pro 0t

2 2 2 212

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

2 2 212

BALISTICKÝ ROZLET

12 (1 1 )B xx t t t tk T

2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

mk T B

Pro 0t

2 2 2 212

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

2 2 212

BALISTICKÝ ROZLET

12 (1 1 )B xx t t t tk T

Pro 0t t

2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

mk T B

Pro 0t

2 2 2 212

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

t 0t Pro 0t t

2 2 212

BALISTICKÝ ROZLET

12 (1 1 )B xx t t t tk T

difusní aproximace

balistická limita

úplné řešení

difusní aproximace

balistická limita

úplné řešení

Balistický rozlet je zpočátku pomalejší, pak ovšem roste kvadraticky i nadále a od je už mnohem rychlejší.

Crossover u odpovídá první srážce

Zpozdí se zrovna o

2 Bk T

Nezávisí na , je na n

Langevinova rovnice II.

Pro lineární oscilátor je řešení pomocí

středovacích procedur také možné.My se soustředíme na přímou simulaci, abychom napodobili Kapplerovy časové průběhy.

Langevinova rovnice pro lineární oscilátor

( )mx x Ax F t

tření

vratná sílaNÁHODNÁ SÍLA

Náhodná síla spolu s třením

odrážejí účinek termostatu na systém

)(20 tfxxx

tlumený lineární oscilátorparametry empiricky dostupné

hnán vtištěnou silousíla náhodná, Gaussovský bílý šum

středování

x x x f t

x x x x

středovaný pohyb

je za chvíli utlumen

Langevinova rovnice pro lineární oscilátor – řešení

LODR 2. řádu s pravou stranou

obecné řešení= obecné ř. homog. rovnice+ partikulární řešení nehomog. rovnice

)(~)exp()exp()( 2211 txtCtCtx

sekulární rovnice02

kritická hodnota

podtlumené kmity přetlumené kmity

Kořeny charakteristické rovnice

bezrozměrný parametr

asymptoty

Langevinova rovnice – Greenova funkce

)'()',()',(dd)',(

ttttGttGt

pulsní excitace

partikulární řešení nehomog. rovnice

hledáme pomocí Greenovy funkce

)'()',()',(dd)',(

ttttGttGt

)'()',('d)(~ tfttGttxpulsní excitace

)'()',()',(dd)',(

ttttGttGt

)'()',('d)(~ tfttGttx

Ověření:

d ' d 'Lx t LGf t f f

pulsní excitace

)'()',()',(dd)',(

ttttGttGt

)'()',('d)(~ tfttGttx

Ověření:

d ' d 'Lx t LGf t f f

akustickáměření

Greenovyfunkcepodle

definices kladívkem

Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce

hledáme Greenovu funkci

A '0)',( ttttG pro kausalita

C d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt

okrajové podmínky (sešití při rovných časech)

dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´

)'()',()',(dd)',(

ttttGttGt

'pro0)',()',(dd)',(

ttttGttGt

Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce

hledáme Greenovu funkci

A '0)',( ttttG pro kausalita

C d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt

okrajové podmínky (sešití při rovných časech)

dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´

)()exp()exp(1

)( 2121

)'()',()',(dd)',(

ttttGttGt

'pro0)',()',(dd)',(

ttttGttGt

Langevinova rovnice – náhodná síla

Velikost náhodné síly ( ) ( ') 2 ( ')f t f t D t t konvenční, ale matoucí

označení

Velikost náhodné síly ( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t naše konvenční označení

Velikost náhodné síly

???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

Musíme se opřít o ekvipartiční teorém

210 B2

( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')

12 d ' ( ') přímý výpočet

x t t t G t t G t t f t f t

???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

2 2102

( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')

12 d ' ( ')

t G t t

???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

2 2102

( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')

12 d ' ( ')

t G t t

Výsledek

(připomíná Einsteinův vztah)

( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

2 2102

( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')

12 d ' ( ')

t G t t

Výsledek

(připomíná Einsteinův vztah)

( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

stejný jako pro volnou Brownovu částici

Shrnutí: výsledné formální řešení

(0) 0, (0) 0

( ) 0 0 d ' ( ') ( ')

x t t G t t f t

formální řešení

1 21 2

2 21 11,2 02 4

1( ') exp( ( ')) exp( ( ')) ( ')G t t t t t t t t

B( ) ( ') 2 ( ')k T

f t f t t tm

Numerická integrace

( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f

( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f

rovnoměrné dělení intervalu času

( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f

aproximace – věta o stř. hodnotě (Greenova funkce je plavná)

( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f

aproximace – věta o stř. hodnotě (Greenova funkce je plavná)

diskretizovaný tvar vhodný pro výpočet … rychlejší přímé num. řešení diferenciální rovnice

2 d ' ( ') d '' ( '')

d ' d '' ( ') ( '')

d ' d ''2 ( ' '') 2

f t f t t f t

t t f t f t

t t t t t

( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f

diskrétní Gaussův náhodný proces

2 d ' ( ') d '' ( '')

d ' d '' ( ') ( '')

d ' d ''2 ( ' '') 2

f t f t t f t

t t f t f t

t t t t t

( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f

1( ) exp / 2

rozdělení pravděpodobnosti

2 d ' ( ') d '' ( '')

d ' d '' ( ') ( '')

d ' d ''2 ( ' '') 2

f t f t t f t

t t f t f t

t t t t t

( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f

1( ) exp / 2

generuji na počítačirozdělení pravděpodobnosti

2 d ' ( ') d '' ( '')

d ' d '' ( ') ( '')

d ' d ''2 ( ' '') 2

f t f t t f t

t t f t f t

t t t t t

( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f

1( ) exp / 2

generuji na počítačirozdělení pravděpodobnosti

pseudonáhodnáčísla

Ukázka Kapplerových měření

vysoký tlak, přetlumený oscilátor

snížený tlak, podtlumený oscilátor

2500 bodů

txrozmazáno s oknem 2t

2500 bodů

txrozmazáno s oknem 2t

The end

Systematický popis termických fluktuací

termické fluktuace || kvantové fluktuace

současnostšum

MAKROSKOPICKÁ APARATURA

T termostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnosti

systém mesoskopický

interakce T -- S

STSTTOT

měřicí bloknení

součástí systému

vnitřS

UHH "silné slabé" molekulární chaos

mikroskopické globálnístupně volnosti

Termostat z ideálního plynu

pobecný tvar hamiltoniánu

pro (téměř) ideální plyn

srážky vedou k chaotisaci

podmínky pro dobrý termostat z ideálního plynu

doba chaotisace (srážková doba)

doba termalisace (relaxační doba)

charakteristická doba systému

TERMOSTAT:

definuje a fixuje teplotu

je robustní, nedá se vychýlit

je rychlý při návratu do rovnováhy

S termostatem pracujeme tak, jakoby po dobu zkoumaného procesu setrval v rovnováze

Dynamický systém v rovnováze s termostatem

Naše malé systémy si můžeme myslet jako "N + 1" molekulu, trochu sice větší, ale jinak zapadající do Boltzmannovy konstrukce kinetické teorie

Předpokládáme totiž

Škrtnutý člen vyvolá nevratnou dynamiku. Jsou dvě cesty:

• Počítáme střední hodnoty s rozdělovací funkcí

Tímto vnucením rovnováhy jsme rovnocenně dosáhli nevratnosti.

• Začneme dynamické výpočty pro systém S pod dynamickým vlivem T. To je možné např. za použití Langevinovy rovnice ( … Příště)

STTTOT UHHH "N + 1" molekul

)),(exp(),( qpHqpf

Ekvipartiční teorém

je obecně platný za následujících předpokladů:

• Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce)

• Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) vystupuje v celkovém hamiltoniánu jen jako aditivní kvadratická funkce, typicky

221 Ax

AxAxxAx B2

)exp(d

Tento výsledek pokrývá mimo jiné Kapplerovský výpočet. Na kinetické energii vůbec nezáleží, ani na rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tla vzduchu v "termostatu")

II I. T epelné fluktuace: line ární oscilátor

Documents