Date post: | 03-Jan-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | quinlan-powell |
View: | 34 times |
Download: | 4 times |
II.Tepelné fluktuace: Brownův
pohyb
KOTLÁŘSKÁ 3. BŘEZNA 2010
F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav
letní semestr 2009 - 2010
Úvodem
• Dnes: Důležitá otázka bez Planckovy konstanty• Přímé pozorování molekulárního chaosu•Jedna třetina Einsteinova zázračného roku 1905• Odvoláme se na kinetickou teorii ideálního plynu a zobecníme trochu• Ne jen rovnovážné vlastnosti, ale také jejich fluktuace a stochastická dynamika
3
Makrosvět, mesosvět, mikrosvět
Na přelomu 19. a 20 století bylo ještě běžné mluvit o „atomové hypotéze“
Atomy a molekuly platily za nepozorovatelné.
Teprve začátkem 20. století bylo toto cliché prolomeno několika
experimenty s mesoskopickými objekty.
Ty vedly k Nobelovým cenám.
4
Mesoskopický prostředník
odráží vlastnosti mikrosvěta – až do atomární úrovně
5
rozlišovací mez prostého oka
makrosvět
mesosvět
mikrosvět
Logaritmická škála velikosti objektů
vidět atomy
přirozená délka (sáh)
opt. mikroskop
6
Z
D
mesoskopické
lidské měřítko
Vidět atomy – dnešní možnosti
AFM (Atomic Force Microscope)
atomárních rozměrů
7
Z
D
mesoskopické
lidské měřítko
Vidět atomy – dnešní možnosti
AFM (Atomic Force Microscope)
atomárních rozměrů
moderní použití ideje
mesoskopického prostředníka
8
Z
D
lidské měřítko
Vidět atomy – dnešní možnosti
AFM (Atomic Force Microscope)
atomárních rozměrů
moderní použití ideje
mesoskopického prostředníka
pohyb
mesoskopické
prohnutí
makroskopické
zobrazení
9
rozlišovací mez prostého oka
makrosvět
mesosvět
mikrosvět
Obraz mikrosvěta v "moderní " fysice
přirozená délka (sáh)
opt. mikroskop
"blechy blech"
Mikrosvět není zmenšenina makrosvěta
planetární model atomu je spíše metafora
(1) molekulární chaos
(2) kvantové úkazy
10
rozlišovací mez prostého oka
makrosvět
mesosvět
mikrosvět
Obraz mikrosvěta v "moderní " fysice
přirozená délka (sáh)
opt. mikroskop
"blechy blech"
Mikrosvět není zmenšenina makrosvěta
planetární model atomu je spíše metafora
(1) molekulární chaos
(2) kvantové úkazy
11
rozlišovací mez prostého oka
makrosvět
mesosvět
mikrosvět
Obraz mikrosvěta v "moderní " fysice
přirozená délka (sáh)
opt. mikroskop
"blechy blech"
Mikrosvět není zmenšenina makrosvěta
planetární model atomu je spíše metafora
(1) molekulární chaos
(2) kvantové úkazy
12
rozlišovací mez prostého oka
makrosvět
mesosvět
mikrosvět
Souběh stupnic
klasický světkvantový svět
?rozlišovací mez prostého oka
přirozená délka (sáh)
opt. mikroskop
termodynam
ikam
olekulární chaos
?
"blechy blech"
Mikrosvět není zmenšenina makrosvěta
planetární model atomu je spíše metafora
(1) molekulární chaos
(2) kvantové úkazy
13
Dva případy použití
1. R. Millikan měřil elementární náboj na kapičkách oleje vzášejících se ve vzduchu. Elektrická síla a gravitační síla na kapičku byly srovnatelné
2. J. Perrin měřil Avogadrovu konstantu: pozoroval koloidní suspense. Koloidní částice byly viditelné mikroskopem, ale podléhaly vlivu molekulárního chaosu.• Barometrická formule• Brownův pohyb 2D
Mesoskopický objekt -- prostředník Základní myšlenka:
prostředník -- mesoskopický objekt může zároveň vykazovat • některé vlastnosti společné s makrosvětem, být pozorován a ovlivňován• některé vlastnosti společné s mikrosvětem, na které tím dosáhneme
MY makrosvět prostředník mikrosvět OBJEKT
Dva případy použití
m mikroe akr o mg E
Myšlenka byla ale Einsteinova.
Dva případy použití
1. R. Millikan měřil elementární náboj na kapičkách oleje vzášejících se ve vzduchu. Elektrická síla a gravitační síla na kapičku byly srovnatelné
14
1. R. Millikan měřil elementární náboj na kapičkách oleje vzášejících se ve vzduchu. Elektrická síla a gravitační síla na kapičku byly srovnatelné
1. R. Millikan měřil elementární náboj na kapičkách oleje vznášejících se ve vzduchu. Elektrická síla a gravitační síla na kapičku byly srovnatelné
Mesoskopický objekt -- prostředníkZákladní myšlenka:
prostředník -- mesoskopický objekt může zároveň vykazovat • některé vlastnosti společné s makrosvětem, být pozorován a ovlivňován• některé vlastnosti společné s mikrosvětem, na které tím dosáhneme
MY makrosvět prostředník mikrosvět OBJEKT
Dva výchozí případy použití
m mikroe akr o mg E
15
1. R. Millikan měřil elementární náboj na kapičkách oleje vzášejících se ve vzduchu. Elektrická síla a gravitační síla na kapičku byly srovnatelné
1. R. Millikan měřil elementární náboj na kapičkách oleje vzášejících se ve vzduchu. Elektrická síla a gravitační síla na kapičku byly srovnatelné
2. J. Perrin měřil Avogadrovu konstantu: pozoroval koloidní suspense. Koloidní částice byly viditelné mikroskopem, ale podléhaly vlivu molekulárního chaosu. Dvojí pokusy zviditelnily termický pohyb ("atomy")• Barometrická formule pro koloidní roztoky• Brownův pohyb 2D
Mesoskopický objekt -- prostředníkZákladní myšlenka:
prostředník -- mesoskopický objekt může zároveň vykazovat • některé vlastnosti společné s makrosvětem, být pozorován a ovlivňován• některé vlastnosti společné s mikrosvětem, na které tím dosáhneme
MY makrosvět prostředník mikrosvět OBJEKT
Dva výchozí případy použití
m mikroe akr o mg E
Myšlenka byla ale Einsteinova.
16
Koloidy a jejich kinetika
Koloidní částice mají často správnou velikost, aby stály právě
na pomezí makrosvěta a mikrosvěta
17
Co jsou koloidy
prostředí plyn kapalina pevná látka
část i ce
plynpěna
vroucí vodapěna
pěnová guma
kapalinamlha
kumulusemulze
mléko vlhká půda
pevná látka
aerosoldýmy, cirrus
sol/gellatex
solrubínové sklo
PŘÍKLADY KOLOIDNÍCH SOUSTAV
(dvousložkové) dispersní soustavy
částice jedné složky rozptýleny (dispergovány) v prostředí druhé složky1 nm 1 mv e l i k o s t č á s t i c
atomy, molekuly makromolekuly koloidní částice makroskop. částice
r o z t o k y k o l o i d n í s o u s t a v y hrubé disperse
18
Co jsou koloidy
prostředí plyn kapalina pevná látka
část i ce
plynpěna
vroucí vodapěna
pěnová guma
kapalinamlha
kumulusemulze
mléko vlhká půda
pevná látka
aerosoldýmy, cirrus
sol/gellatex
solrubínové sklo
PŘÍKLADY KOLOIDNÍCH SOUSTAV
(dvousložkové) dispersní soustavy
částice jedné složky rozptýleny (dispergovány) v prostředí druhé složky1 nm 1 mv e l i k o s t č á s t i c
atomy, molekuly makromolekuly koloidní částice makroskop. částice
r o z t o k y k o l o i d n í s o u s t a v y hrubé disperse rozmezí jsou neurčitá
19
Co jsou koloidy
p r o s t ř e d í
plyn kapalina pevná látka
část i ce
plynpěna
vroucí vodapěna
pěnová guma
kapalinamlha
kumulusemulze
mléko vlhká půda
pevná látkaaerosol
dýmy, cirrussol/gel
latexsol
rubínové sklo
PŘÍKLADY KOLOIDNÍCH SOUSTAV
(dvousložkové) dispersní soustavy
částice jedné složky rozptýleny (dispergovány) v prostředí druhé složky1 nm 1 mv e l i k o s t č á s t i c
atomy, molekuly makromolekuly koloidní částice makroskop. částice
r o z t o k y k o l o i d n í s o u s t a v y hrubé disperse rozmezí jsou neurčitá
20
Co jsou koloidy
p r o s t ř e d í
plyn kapalina pevná látka
část i ce
plynpěna
vroucí vodapěna
pěnová guma
kapalinamlha
kumulusemulze
mléko vlhká půda
pevná látkaaerosol
dýmy, cirrussol/gel
latexsol
rubínové sklo
PŘÍKLADY KOLOIDNÍCH SOUSTAV
(dvousložkové) dispersní soustavy
částice jedné složky rozptýleny (dispergovány) v prostředí druhé složky1 nm 1 mv e l i k o s t č á s t i c
atomy, molekuly makromolekuly koloidní částice makroskop. částice
r o z t o k y k o l o i d n í s o u s t a v y hrubé disperse rozmezí jsou neurčitá
Perrinůvsystém
21
Barometrická formule
Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli
Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže
212
( ( )) /( , ) e Bmv U k T
w
r
r v
( ) / /
... vzt( ) ( ) / lak
( ) e K B
K
mgz k T
U mgz
n h
r
neznámá!!!
B AR k N
1 m
22
Barometrická formule
Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli
Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže
212
( ( )) /( , ) e Bmv U k T
w
r
r v
( ) / /
... vzt( ) ( ) / lak
( ) e K B
K
mgz k T
U mgz
n h
r
neznámá!!!
B AR k N
1 m
… o tom za chvíli mnohem více
23
Barometrická formule
Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli
Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže
( ) / /
... vzt( ) ( ) / lak
( ) e K B
K
mgz k T
U mgz
n h
r
neznámá!!!1 m
212
3
( ( )) /
( ) /
( , ) e
( ) d ( , ) barometrická formule e
B
B
mv U k T
U k T
w
w w
r
r
r v
r v r v
B AR k N
24
Barometrická formule
Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli
Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže
( )/ /
... vzt( ) ( ) / ak l
( ) e
K
K Bmgz k T
U mgz
w z
r
1 m
212
( ( )) /( , ) e Bmv U k T
w
r
r v B AR k N
25
Barometrická formule
Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli
Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže
( )/ /
... vzt( ) ( ) / ak l
( ) e
K
K Bmgz k T
U mgz
w z
r
neznámá!!!1 m
212
( ( )) /( , ) e Bmv U k T
w
r
r v B AR k N
26
Barometrická formule
Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým rozdělením pro plyny ve vnějším poli
Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže
( )/ /
... vzt( ) ( ) / ak l
( ) e
K
K Bmgz k T
U mgz
w z
r
neznámá!!!1 m
212
( ( )) /( , ) e Bmv U k T
w
r
r v B AR k N
27
Barometrická formule – jiné použití
3 ( ) /
/
barometrická ( ) d ( , ) e
( ) e
formuleB
B
U k T
gz k Tm
w w
w z
rr v r v
1. Únik vodíku ze Zemské atmosféry
2. Řídká atmosféra Martova
3. Sedimentace těžkých komponent (zlata, platiny, ...) v roztavených slitinách
4. Hmotnost koloidních částic velká, proto rozdělení nerovnoměrné již na 0,1 mm výšky
28
Brownův pohyb
Jev, který byl pokládán spíše za kuriositu, ale který byl nakonec jedním z pilířů "nové" fysiky
před 100 lety
29
Brownův pohyb
Známé obrázky pocházejí také až od Perrina
Polohy částic zaznamenány vždy po
30 sec.
Spojnice jsou jen vodítko pro oko
30
Brownův pohyb
Známé obrázky pocházejí také až od Perrina
Polohy částic zaznamenány vždy po
30 sec.
Spojnice jsou jen vodítko pro oko
Skutečné trajektorie mají "fraktální" podobu a
nejsou diferencovatelné. Proto předmětem
zkoumání není rychlost, ale poloha Brownovy
částice
31
Brownův pohyb
Známé obrázky pocházejí také až od Perrina
Polohy částic zaznamenány vždy po
30 sec.
Spojnice jsou jen vodítko pro oko
KVIZ
V čem je zásadní
rozdíl mezibarometricko
u formulía
Brownovým pohybem
???
32
Brownův pohyb
Známé obrázky pocházejí také až od Perrina
Polohy částic zaznamenány vždy po
30 sec.
Spojnice jsou jen vodítko pro oko
barometrická formulese týká
středních hodnot
Brownův pohybfluktuací,
tedy odchylek od středních
hodnot
33
Robert Brown (1773 – 1858)
Významný britský botanik – probádal floru Australie 1805Pozoroval jev později nazvaný Brownův molekulární pohyb 1827
Zavedl pojem buněčného jádra 1831Oblíbené bludy
Brown byl objevitel (Jan Ingenhousz 1765)Brown pozoroval pohyby pylových zrn (pohybovaly se částice uvnitř vakuol)
Brown svým mikroskopem nemohl nic vidět (pokusy byly opakovány)
34
Robert Brown (1773 – 1858)
Významný britský botanik – probádal floru Australie 1805Pozoroval jev později nazvaný Brownův molekulární pohyb 1827
Zavedl pojem buněčného jádra 1831Oblíbené bludy
Brown byl objevitel (Jan Ingenhousz 1765)Brown pozoroval pohyby pylových zrn (pohybovaly se částice uvnitř vakuol)
Brown svým mikroskopem nemohl nic vidět (pokusy byly opakovány)
35
36http://www.fzu.cz/departments/theory/seminars/presentations/sem-present-051220.pdf
37
38
39
Brownův pohyb
Od roku 1827 do začátku 20. století
Brownův pohyb
mnohokrát pozorovaná a popisovaná kuriosita
bez vysvětlení.
40
Od Boltzmanna k Einsteinovi
Kinetická teorie se postupně rodila od poloviny XIX. století a byla dovršena
prací L. Boltzmanna. Nikoho však nenapadlo aplikovat ji na popis
Brownova pohybu. Až A. Einsteina
41
od Boltzmanna k Einsteinovi
1896
42
od Boltzmanna k Einsteinovi
1896NAVÁZAL NA CLAUSIA, MAXWELLA• molekulární chaos i v ideálním plynu• teplota ~ kinet. energie molekul
NOVÉ OBJEVY• entropie a pravděpodobnost• nevratnost … růst entropie
PROBLÉMY• Umkehreinwand Loschmidt• Wiederkehreinwand Zermelo, Poincaré• Atomy nebyly pozorovatelné Mach, Ostwald
43
od Boltzmanna k Einsteinovi
1896NAVÁZAL NA CLAUSIA, MAXWELLA• molekulární chaos i v ideálním plynu• teplota ~ kinet. energie molekul
NOVÉ OBJEVY• entropie a pravděpodobnost• nevratnost … růst entropie
PROBLÉMY• Umkehreinwand Loschmidt• Wiederkehreinwand Zermelo, Poincaré• Atomy nebyly pozorovatelné Mach, Ostwald
neuvážil roli Brownova pohybu
44
od Boltzmanna k Einsteinovi
1896NAVÁZAL NA CLAUSIA, MAXWELLA• molekulární chaos i v ideálním plynu• teplota ~ kinet. energie molekul
NOVÉ OBJEVY• entropie a pravděpodobnost• nevratnost … růst entropie
PROBLÉMY• Umkehreinwand Loschmidt• Wiederkehreinwand Zermelo, Poincaré• Atomy nebyly pozorovatelné Mach, Ostwald
neuvážil roli Brownova pohybu
Boltzmann měl správnou intuici o molekulárním chaosu,ale ve své době byl ojedinělý se svým názorem … kapituloval jen chvíli před vítězstvím svých idejí
45
od Boltzmanna k Einsteinovi
Ann. Phys.
1896
46
Einsteinova práce o Brownově pohybu
Nyní společně prostudujeme podrobnosti Einsteinovy úvahyo podstatě Brownova pohybu
47
od Boltzmanna k Einsteinovi
Ann. Phys.
1905
1896
48
Úvod Einsteinova článku
Ann. Phys.
19051
2
3
4
ZKRÁCENÝ PŘEKLAD
Podle molekulárně kinetické teorie částice mikroskopem viditelné a suspendované v kapalině mohou vykonávat v důsledku termických pohybů molekul pohyby snadno prokazatelné pod mikroskopem
Tyto pohyby by mohly být totožné s tzv. „Brownovým molekulárním pohybem“, ale pro definitivní úsdek má autor nedostatečné údaje.
Kdyby se tyto pohyby a jejich očekávané zákonitosti skutečně daly pozorovat, pak termodynamika není přesně platná již v mikroskopické oblasti a přesné určení skutečné velikosti atomů je možné.
Opačný výsledek by byl závažným argumentem proti kinetickému pojetí tepla.
49
K obsahu Einsteinovy práce
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
ANIMACE
50
K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
ANIMACE
… Z termodynamického hlediska není důvod, aby koloidní částice působily koloidnim tlakem. ….
51
K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak
ANIMACE
… Z termodynamického hlediska není důvod, aby koloidní částice působily koloidnim tlakem. ….
Z hlediska molekulárně kinetické teorie tepla docházíme však k jinému pojetí. Podle této teorie se odlišuje rozpuštěná molekula od suspendovaného tělíska právě jen velikostí, a nevidím, proč by určitému počtu suspendovaných tělísek neměl odpovídat týž osmotický tlak, jako stejnému počtu rozpuštěných molekul. …
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
52
K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak
ANIMACE
stavová rovnice rozpuštěné složky
V
polopropustná membrána
parciální … osmotický tlak
množství látky v molech
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
53
K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak
ANIMACE
stavová rovnice rozpuštěné složky stavová rovnice koloidní složky
V
polopropustná membrána
parciální … osmotický tlak
množství látky v molech
AA
hustota částic
Avogadrova konstanta
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
počet částic
54
K obsahu Einsteinovy práce: koloidní osmotický tlak
ANIMACE
stavová rovnice rozpuštěné složky stavová rovnice koloidní složky
V
polopropustná membrána
parciální … osmotický tlak
množství látky v molech
AA
hustota částic
Avogadrova konstanta
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
počet částic
typicky: buněčné membrány
55
K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah
Odvození probíhá ve třech krocích, které postupně propojí makroskopické vztahy s
účinkem molekulárního chaosu 1. rovnováha objemových a povrchových sil na elem. objem makroskopická část
síla na koloid. tělísko
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
ANIMACE
56
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah
1. rovnováha objemových a povrchových sil na elem. objem makroskopická část
2. rovnováha toků Poiseuillův vs. difusní mesoskopická část
r
VN
NRT
pA
Stokesova formule Fickův zákon
57
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah
1. rovnováha objemových a povrchových sil na elem. objem makroskopická část
2. rovnováha toků Poiseuillův vs. difusní mesoskopická část
3. uzavřeno započtením molekulárního chaosu
r
VN
NRT
pA
ANIMACE
Stokesova formule Fickův zákon
A
VN
NRT
pA
stavová rovnice koloidu
58
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah
1. rovnováha objemových a povrchových sil na elem. objem makroskopická část
2. rovnováha toků Poiseuillův vs. difusní mesoskopická část
3. uzavřeno započtením molekulárního chaosu
VÝSLEDEK
r
VN
NRT
pA
ANIMACE
Stokesova formule Fickův zákon
A
VN
NRT
pA
stavová rovnice koloidu
rNRT
D61
A
kB
difusní konstanta
dynamická viskosita
59
K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah
Tři interpretace:
Most mezi rovnovážnými fluktuacemi a odezvou na vnější sílu ( fluktuačně – disipační teorém )
Most mezi makro a mikrosvětem prostřednictvím Avogadrovy konstanty
Most mezi třením a stochastickými silami … později
rNRT
D61
A
kB
difusní konstanta
dynamická viskosita
ANIMACE
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
60
K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah
Tři interpretace:
Most mezi rovnovážnými fluktuacemi a odezvou na vnější sílu ( fluktuačně – disipační teorém )
Most mezi makro a mikrosvětem prostřednictvím Avogadrovy konstanty
Most mezi třením a stochastickými silami … později
difusní konstanta
pohyblivost
BD k T B
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
61
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah
Tři interpretace:
Most mezi rovnovážnými fluktuacemi a odezvou na vnější sílu ( fluktuačně – disipační teorém )
Most mezi makro a mikrosvětem prostřednictvím Avogadrovy konstanty
Most mezi třením a stochastickými silami … později
difusní konstanta
pohyblivost
BD k T B
DIFF
DRIFT
proudová hustota
část cd
i
dJ D
xJ B K
62
K obsahu Einsteinovy práce: Einsteinův vztah
Tři interpretace:
Most mezi rovnovážnými fluktuacemi a odezvou na vnější sílu ( fluktuačně – disipační teorém )
Most mezi makro a mikrosvětem prostřednictvím Avogadrovy konstanty
Most mezi třením a stochastickými silami … později
difusní konstanta MĚŘENA
pohyblivost -- ZNÁMAA
RD T B
N
plynová konst. -- ZNÁMA
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktika
63
K obsahu Einsteinovy práce: evoluce Brownovy částice
! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1. Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2. Formule pro difusní konstantu … Einsteinův vztah
3. Formule pro evoluci Brownovy částice
4. Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty … dnes úloha do praktikaOdplouvání Brownovy částice od výchozí polohy
interpretováno jako difuse
Difusní rovnice ... parciální diferenciální rovnice pro vývoj koncentrace částic
Z ní lze odvodit (škálovací úvahou, bez explicitního řešení) formuli
t D
2 2x Dt
64
K obsahu Einsteinovy práce: evoluce Brownovy částice
Difusní rovnice
t D
0t t2 2x Dt
Odplouvání Brownovy částice od výchozí polohy
interpretováno jako difuse
Perrin se spolupracovníky provedl opětovaná měření a z nich vypočetl difusní konstantu. Pomocí Einsteinovy formule určil
23 1
CODATA
10 mol
7,3 6,8 6,45 7
6,0221415(10
,15 7,7
)
AN
M
M
M
Difuse se chápe jako postupné vyměňování poloh solutu a solventu díky náhodným termálním pohybům
My se tomu budeme věnovat pomocí Langevinovy rovniceVztah v rámečku odpovídá rozměrové úvaze
3 3 2 1DIFF
d: / : /
dD j L L T L L L T
x
roztékání kapky koloidu
65
K obsahu Einsteinovy práce: evoluce Brownovy částice
Difusní rovnice
t D
0t t2 2x Dt
Odplouvání Brownovy částice od výchozí polohy
interpretováno jako difuse
Perrin se spolupracovníky provedl opětovaná měření a z nich vypočetl difusní konstantu. Pomocí Einsteinovy formule určil
23 1
CODATA
10 mol
7,3 6,8 6,45 7
6,0221415(10
,15 7,7
)
AN
M
M
M
66
Perrinovy pokusy
2 2x Dt
Dvě metody výpočtu střední hodnoty
střední vlastnosti mnoha částic v plynu opakované pokusy s jediným objektem
stavová rovnice, barometrická formule Brownovy částice
středování pomocí distribuční funkce ensemblové středování
( , ) d d ( , ) ( , )A a r p r p f r p a r p 1
nn
X XN
mnoho trajektorií přesunutých individuální trajektorie do téhož počátku tří koloidních částic
67
Obecnější pohled na termické fluktuace
Termické fluktuace jsou universální. Má proto smysl podívat se na ně z obecného
hlediska.
Obecný nástroj při této práci je ekvipartiční zákon.
Pak (příště) se zaměříme na Kapplerův pokus.
Ten začal éru studia vlivu termických fluktuaci na přesnost mechanismů a
měřicích přístrojů.
68
Systematický popis termických fluktuací
(klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace
69
Systematický popis termických fluktuací
(klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace
70
Systematický popis termických fluktuací
(klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace
současnost: zároveňšum
noise
71
Systematický popis termických fluktuací
MAKROSKOPICKÁ APARATURA
S
T termostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnosti
systém mesoskopický
interakce T -- Směřicí bloknení
součástí systému
TOT T S STH H H U
(klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace
72
Systematický popis termických fluktuací
MAKROSKOPICKÁ APARATURA
S
T termostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnosti
systém mesoskopický
interakce T -- Směřicí bloknení
součástí systému
?ST
vnitřS
TTTT
U
HHH
UHH
TOT T S STH H H U
(klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace
73
Systematický popis termických fluktuací
MAKROSKOPICKÁ APARATURA
S
T termostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnosti
systém mesoskopický
interakce T -- Směřicí bloknení
součástí systému
?ST
vnitřS
TTTT
U
HHH
UHH "silné slabé" molekulární chaos
TOT T S STH H H U
(klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace
74
Systematický popis termických fluktuací
MAKROSKOPICKÁ APARATURA
S
Ttermostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnostisystém mesoskopický
interakce T -- Směřicí bloknení
součástí systému
?ST
vnitřS
TTTT
U
HHH
UHH TOT T S STH H H U
"silné slabé" molekulární chaos
?ST
vnitřS
TTTT
U
HHH
UHH Interakce jsou natolik slabé, že zanedbáme jejich příspěvek k celkové energii
Jejich účinek nahradíme hypotézou termické rovnováhy pro termostat
(klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace
75
Systematický popis termických fluktuací
MAKROSKOPICKÁ APARATURA
S
T termostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnosti
systém mesoskopický
interakce T -- Směřicí bloknení
součástí systému
"silné slabé" molekulární chaos
HH
UHHH
T
STSTTOT
mikroskopické globálnístupně volnosti
?ST
vnitřS
TTTT
U
HHH
UHH
(klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace
76
Systematický popis termických fluktuací
MAKROSKOPICKÁ APARATURA
S
T termostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnosti
systém mesoskopický
interakce T -- Směřicí bloknení
součástí systému
molekulární chaos
HH
UHHH
T
STSTTOT
mikroskopické globálnístupně volnosti
(klasické) termické fluktuace || kvantové fluktuace
77
Tři příklady mesoskopických systémů
globální stupně volnosti• translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV• rotační
1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb
2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou
3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou
2
2rotaceH
m
p
221
2
2Ax
m
pH
221
2
2A
IL
H
78
Tři příklady mesoskopických systémů
globální stupně volnosti• translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV• rotační
1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb
2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou
3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou
2
rotace2
Hm
p
221
2
2Ax
m
pH
221
2
2A
IL
H
79
Tři příklady mesoskopických systémů
globální stupně volnosti• translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV• rotační
1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb
2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou
3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou
2
rotace2
Hm
p
221
2
2Ax
m
pH
221
2
2A
IL
H
Hamiltoniány kvadratické v globálních kanonických proměnných
80
Termostat z ideálního plynu
UVm
UHH
21
2
2 C
TTTT
pobecný tvar hamiltoniánu
pro (téměř) ideální plyn
srážky vedou k chaotisaci
podmínky pro dobrý termostat z ideálního plynu
Sa
v v
81
Termostat z ideálního plynu
UVm
UHH
21
2
2 C
TTTT
pobecný tvar hamiltoniánu
pro (téměř) ideální plyn
srážky vedou k chaotisaci
podmínky pro dobrý termostat z ideálního plynu
Sa
v v
chaotisace termalisace charakt.doba(srážková d.) (relaxační d.) systému
DOBA
82
Termostat z ideálního plynu
UVm
UHH
21
2
2 C
TTTT
pobecný tvar hamiltoniánu
pro (téměř) ideální plyn
srážky vedou k chaotisaci
podmínky pro dobrý termostat z ideálního plynu
Sa
v v
chaotisace termalisace charakt.doba(srážková d.) (relaxační d.) systému
DOBA
ideální plyn termostat
83
Termostat z ideálního plynu
UVm
UHH
21
2
2 C
TTTT
pobecný tvar hamiltoniánu
pro (téměř) ideální plyn
srážky vedou k chaotisaci
podmínky pro dobrý termostat z ideálního plynu
Sa
v v
chaotisace termalisace charakt.doba(srážková d.) (relaxační d.) systému
TERMOSTAT:
definuje a fixuje teplotu
je robustní, nedá se vychýlit
je rychlý při návratu do rovnováhy
S termostatem pracujeme tak, jakoby po dobu zkoumaného procesu setrval v rovnováze
DOBA
ideální plyn termostat
84
Termostat v rovnováze
Chování termostatu v rovnováze …
distribuční funkce pro každý nezávislý stupeň volnosti zvlášť
hustota pravděpodobnosti
tedy má význam pravděpodobnosti.
Speciální případ ... barometrická formule zobecňující Boltzmannovo rozdělení
Potenciál stěn chaotisace tzv. biliárovým efektem vypuštěn.
Stejné částice typu Q (se stejným hamiltoniánem) mají společnou distribuční funkci
TkqpHqpf B/1)),,(exp(),(
qpqpf dd),(
2
2( , ) exp exp ( )( ) ( )mf p q V q p
počet "částic"
( , ) exp( ( , ))
d d ( , ) ...
Q Q
Q Q
f p q H p q
p q f p q N
85
Systém v rovnováze s termostatem
Naše malé systémy si můžeme myslet jako "N + 1" molekulu, trochu sice větší, ale jinak zapadající do Boltzmannovy konstrukce kinetické teorie
Předpokládáme totiž
Škrtnutý člen vyvolá nevratnou dynamiku. Dvě cesty
Prostřednictvím skrytých chaotisačních interakcí se termický chaos přenese z T i na dynamický systém S.
Počítáme střední hodnoty proměnných systému s rozdělovací funkcí
Tímto vnucením rovnováhy jsme rovnocenně dosáhli nevratnosti.
Začneme dynamické výpočty pro systém S pod dynamickým vlivem T. To je možné např. za použití Langevinovy rovnice ( … Příště)
STTTOT UHHH "N + 1" molekul
( , ) exp( ( , ))S Sf p q H p q
86
Systém v rovnováze s termostatem
Naše malé systémy si můžeme myslet jako "N + 1" molekulu, trochu sice větší, ale jinak zapadající do Boltzmannovy konstrukce kinetické teorie
Předpokládáme totiž
Škrtnutý člen vyvolá nevratnou dynamiku. Dvě cesty
Prostřednictvím skrytých chaotisačních interakcí se termický chaos přenese z T i na dynamický systém S.
Počítáme střední hodnoty proměnných systému s rozdělovací funkcí
Tímto vnucením rovnováhy jsme rovnocenně dosáhli nevratnosti.
Začneme dynamické výpočty pro systém S pod dynamickým vlivem T. To je možné např. za použití Langevinovy rovnice ( … Příště)
STTTOT UHHH "N + 1" molekul
( , ) exp( ( , ))S Sf p q H p q
87
Ekvipartiční teorém
Ekvipartiční teorém obecně platný za dvou předpokladů:
1. Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce)
2. Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) … v celkovém hamiltoniánu
aditivní kvadratická funkce, typicky
Ekvipartiční teorém
221 Ax
2 21 12 2
212
21 1B2 2
d exp( )
d exp( )
x Ax Ax
x AxAx k T
Pokrývá mimo jiné Kapplerovský výpočet. Nezáleží na: kinetické energii, rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tlak vzduchu)
Podobně pro kinetickou energii
nezávisle na hmotnosti částice. Střední kvadratické rychlosti se ovšem liší!!
2 1B
22 21/ 2 mvp m k T
88
Ekvipartiční teorém
Ekvipartiční teorém obecně platný za dvou předpokladů:
1. Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce)
2. Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) … v celkovém hamiltoniánu
aditivní kvadratická funkce, typicky
Ekvipartiční teorém
221 Ax
2 21 12 2
212
21 1B2 2
d exp( )
d exp( )
x Ax Ax
x AxAx k T
Nezáleží na: kinetické energii, rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tlak vzduchu)
Podobně pro kinetickou energii
nezávisle na hmotnosti částice. Střední kvadratické rychlosti se ovšem liší!!
2 1B
22 21/ 2 mvp m k T
89
Ekvipartiční teorém
Ekvipartiční teorém obecně platný za dvou předpokladů:
1. Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce)
2. Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) … v celkovém hamiltoniánu
aditivní kvadratická funkce, typicky
Ekvipartiční teorém
221 Ax
2 21 12 2
212
21 1B2 2
d exp( )
d exp( )
x Ax Ax
x AxAx k T
Nezáleží na: kinetické energii, rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tlak vzduchu)
Podobně pro kinetickou energii
nezávisle na hmotnosti částice. Střední kvadratické rychlosti se ovšem liší!!
2 1B
22 21/ 2 mvp m k T
90
Kapplerův experiment
první přesné stanovení NA
91
Příště dynamický popis Kapplerova zrcátka pomocí Langevinovy rovnice
... stochastická diferenciální rovnice
The end