Komplexní čísla

transcript

Komplexní čísla

• Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice

nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť

V reálných číslech √-1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako existující. Obvykle se značí i = √-1 a nazývá se imaginární jednotka.

• Jednotku i lze násobit libovolným reálným číslem. Vzniklé součiny se nazývají čistě imaginární čísla – např. 5i, -2i, 0.125i a podobně.

0222 xx

Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Komplexní čísla

• Imaginární čísla lze přičítat k reálným. Vznikají tak čísla komplexní, např. 3 + i, 2 – 5i, -3 + 4i, -6 – 5i a podobně.

• Množina komplexních čísel se značí C, je uzavřená vůči základním operacím (a tedy je tělesem). Libovolná odmocnina z jakéhokoliv komplexního čísla je opět komplexním číslem.

• Rovnice má řešení

• Komplexní čísla lze zobrazit v tzv. Gaussově rovině, kdy k reálné číselné ose přibude ještě jedna, která je na ni kolmá. Na té se vynášejí imaginární čísla. Každé komplexní číslo se tak zobrazí jako bod. Je zřejmé, že takto zkonstruo- vanou číselnou množinu nelze seřadit podle velikosti!

0222 xx

Gaussova rovina

• Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel

R yxyxibaz ,],[Takováto dvojice reálných čísel pak může být interpretována jako souřad-nice v rovině. Každému komplexnímu číslu tedy jednoznačně odpovídá právě jeden bod v rovině :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

iz 62iz 413

iz 310

Gaussova rovina

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

iz 62iz 413

iz 310Karl Friedrich Gauss

1777-1855

Tato dvourozměrná analogie číselné osy se nazývá Gaussova rovina. Reálná čísla se zobrazí na

vodorovné číselné ose, komplexní čísla s nenulovou imaginární složkou pak nad nebo pod ní.

Reálná a imaginární část, abs. hodnota

• Číslu a říkáme reálná část, číslu b imaginární část. Značíme

zbzaibaz Im,Re: • Každému číslu z lze přiřadit absolutní hodnotu výrazem

22: bazibaz Geometricky se jedná o vzdálenost čísla z od počátku v Gaussově rovině:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

Im z = 6

Re z = 8 iz 68

|z| = 10

Operace s komplexními čísly

Definice 22.Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Řekneme, že z1 = z2 právě tehdy, když a1 = a2 a b1 = b2.

Definice 23.Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součet jako z = z1 + z2 takto : a = a1 + a2 , b = b1 + b2 .

Definice 24.Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součin jako z = z1 . z2 takto : a = a1.a2 - b1.b2 , b = a1.b2 + a2.b1 .

Pozn.: tato definice je zřejmá, roznásobíme-li mechanicky

21212121

221121

abbaibbaa

bbiiaibbiaaa

ibaibazzz

Definice 25.Buď z = a + ib komplexní číslo. Řekneme, že číslo z = a - ib je komplexně sdružené k číslu z.

Pozn. : čísla z a z leží symetricky podle osy x. Platí z = z a vždy

Definice 26.Buďte z = a + ib komplexní číslo. Definujme jeho převrácenou hodnotu jako

Tato definice se stane zřejmou, uvědomíme-li si, že zjistit hodnotu výrazu 1/z je možné, pokud zlomek rozšíříme právě komplexně sdruženým číslem:

2222))((

ibiabiaba

ibaiba

ibaibaz

222222)())((: babiiabiabaibaibazzz R

V některé literatuře je komplexně sdružené

číslo značeno

Příklad

1Určete

14)2)(1(

)2)(2(2

Příkladi

1Určete

)2)(2(

)2)(1(

Mocniny v oboru C

• n-tá mocnina z komplexního čísla z je definována obdobně jako v R :

,10 zz

n-krát

Stejně jako v R platí:

zzzzz n

• Speciálně pro imaginární jednotku i platí :

iiiiiiiii

Goniometrický tvar komplexních čísel

• Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel

R yxyxibaz ,],[Tato čísla odpovídají bodu v rovině. Bod lze ale popsat i jinak, než sou-řadnicemi na osách – je možné použít i vzdálenost os počátku a úhel:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

[ a , b ]

Jednotková kružnice

cos xcos φ

sin xsin φ

|z| . sin φ

|z| . cos φ

)sin(cos izibaz

Buď z = a + ib komplexní číslo. Goniometrickým tvarem čísla z nazýváme zápis

Definice 27.

kde pokládáme

2,0,sin,cos zbza

Úhel φ se nazývá argument komplexního čísla. Pro převod mezi algebraickým a goniometrickým tvarem slouží vzorce

Imarcsinnebo

Rearccos

)(Im)(Re 2222

)sin(cos izibaz

1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 346 5

2 ii2i3i4

Z goniometrického tvaru komplexních čísel je zjevné, že všechna čísla se stejným |z| leží na kružnici. Speciálně všechna čísla, pro která |z| = 1 se nazývají komplexní jednotky.

Tj. na rozdíl od reálných čísel, kde rovnice |x| = a má nejvýše dvě řešení,

rovnice |z| = a v oboru komplexním má řešení

nekonečně mnoho!

Příklad

iiii 3,)1(2,3,3 Převeďte na goniometrický tvar čísla

1 2 3 4 5 6 71i

2413 22

6cos23

Příklad

1 2 3 4 5 6 71i

2413 22

11cos23

Příklad

1 2 3 4 5 6 71i

)1(2 iz

242222

4cos2)1(2

Příklad

1 2 3 4 5 6 71i

330 22

2cos33

Součin komplexních čísel v geom. tvaru

• Vezměme dvě libovolné komplexní jednotky (tj. čísla, pro která |z1| = |z2| = 1). Ta se dají vyjádřit jako

222111 sincossincos iziz vynásobme je mezi sebou :

)sincoscos(sinsinsincoscos

sinsincossinsincoscoscos

)sin(cos)sin(cos

21212121

212121

221121

součtový vzorec součtový vzorec

yxyxyx

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

)sin()cos( 2121 i

Násobíme-li dvě komplexní jednotky, vyjde opět komplexní jednotka. Argument násobku je součtem argumentů obou činitelů. Zcela obecně pak platí

)sin()cos( 21212121 nnnn izzzzzz

Lze dokázat indukcí – zkuste si

Podíl komplexních čísel v geom. tvaru

• Obdobným způsobem lze ukázat, že podíl dvou komplexních jednotek je

)sin()cos( 21212

respektive pro nejednotková komplexní čísla

)sin()cos( 21212

Při odvození těchto vzorců bychom použili rozšíření číslem komplexně sdruženým:

sincos

Součin ve jmenovateli je zde roven jedné.

Moivreova věta

• Z předchozích vzorců vychází Moivreova věta o n-té mocnině komplexního čísla:

)sin()cos( ninzznn

Věta je triviálním důsledkem vzorce pro násobení komplexních čísel v goniomet-rickém tvaru :

)sin()cos( izzzzzzn-krát

n-krát n-krát n-krát

Tato věta může mimo jiné zjednodušit výpočty typu (1 – i )15 :

15)1( i

715sin

715cos22

iii 128128)1(2

22128213

4sin213

4cos2128

Odbočka : binomický rozklad

• Pro vzorec (x + y)n lze zapsat rozklad obecně jako

yaxyayxayxayxaxa

Čísla an nazýváme binomické koeficienty a mají velký hlavní význam v kombi-natorice. Pro rozklad binomického členu stačí vědět, že je lze získat z tzv. Pas-calova trojúhelníku. Ten sestavíme následovně:

napíšeme jedničku 1

3 3 11

4 6 41 1

dvě jedničky

tři čísla

čtyři čísla

pět čísel

Odbočka : binomický rozklad

yaxyayxayxayxaxa

3 3 11

4 6 41 1

5 10 101 5

6 15 201 15

7 21 351 35

21 7 1

Aplikace Moivreovy věty

• Pomocí binomického rozvoje a Moivreovy věty lze snadno odvodit součtové vzorce pro sinus a cosinus n-násobného úhlu:

xxx22 sincos2cos

cossin22sin

2sin2cossincos 22 iiz

Moivreova věta

sinsincos2cossincos

)sin(1)sincos(2)(cos1sincos

Binomický rozvoj

22 sinsincos2cos2sin2cos iiRovnost dvou komplexních čísel

Aplikace Moivreovy věty

222 sinsincos2cos2sin2cos iiRovnost dvou komplexních čísel

Rovnost platí, pokud se rovnají reálné a imaginární části :

22 sincos2cos sincos22sin

Obdobným způsobem odvoďte vzorce pro sin(3φ), cos(3φ) sin(4φ) a cos(4φ), .

Příklad

23 sincos3cos3cos 32 sinsincos33sin

4224 sinsincos6cos4cos 33 sincos4sincos44sin

Komplexní n-tá odmocnina

• Pro každé komplexní a a přirozené n je podle definice komplexní n-tá odmocnina čísla a

azaz nn když právě

tj. hledat n-tou odmocninu čísla a znamená řešit rovnici zn = a. Předpokládejme, že a ≠ 0 (pokud ano, je řešení triviálně z = 0) a zapišme si celý problém pomocí goniometrického tvaru a Moivreovy věty:

aninzz

aizznn

)sin(cos

)sin(cos)sin(cos ianinzn

Tato rovnost je splněna právě tehdy, když

Z kknazn 2

)sin(cos)sin(cos ianinzn

Tato rovnost je splněna právě tehdy, když

Z kknazn 2

Jednoduchou úpravou dostáváme

1,,2,1,02

Číslo k nemusí probíhat všechna celá čísla, neboť výraz 2kπ / n pro jiná k než z výše uvedené množiny pouze dodá do funkcí sinus a cosinus nějaký násobek 2π navíc – a výsledky rovnice zn = a se začnou opakovat.

1,,2,1,02

n-tá komplexní odmoc-nina je nejednoznačná, existuje n variant roz-místěných pravidelně na kružnici. Reálná odmocnina má buď právě jednu variantu (n liché), nebo dvě (n su-dé).

Komplexní exponent

Buď z komplexní jednotka. Exponenciálním tvarem čísla z nazýváme zápis

Definice 28.

ieiz sincosPozn. : tento tvar nabude na zřejmosti až probereme rozvoj funkcí v nekonečné řady. Exponenciální zápis komplexních čísel má výhodu, že s mocninou lze praco-vat standardním způsobem, jak je to známo z reálného oboru.

Pozn. : Libovolné komplexní číslo lze zapsat v exponenciálním tvaru jako

iezizz sincos

Pozn. : komplexních čísel se často využívá v elektrotechnických výpočtech, imagi-nární jednotka se v nich ale značí j – jinak by se pletla s elektrickým proudem (který se rovněž značí i).

Shrnutí

• Zavedení komplexních čísel, i = √-1

• Gaussova rovina

• Reálná a imaginární část, absolutní hodnota

• Operace s komplexními čísly, číslo komplexně sdružené

• Mocniny v oboru C

• Goniometrický tvar komplexních čísel

• Součin a podíl C čísel v goniometrickém tvaru

• Moivreova věta a její použití

• n-tá odmocnina v C

• Exponenciální tvar komplexních čísel

Komplexní čísla

Documents