Matematika IV - Univerzita Karlova · 2016. 4. 18. · Matematika IV Diferencní rovniceˇ...

transcript

Matematika IV

Diferencní rovniceDiferenciální rovnice

rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic

Soustavy diferenciálních rovnic

teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita

Matematika IV Program 1

Matematika IV

Diferencní rovnice

Diferenciální rovnice

Matematika IV

rešení rovnic se separovanými promennými

rešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic

Matematika IV

rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního rádu

teorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic

Matematika IV

rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádu

rešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic

Matematika IV

rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficienty

kvalitativní analýza autonomních rovnicSoustavy diferenciálních rovnic

Matematika IV

Soustavy diferenciálních rovnicteorie pro existenci a jednoznacnost rešení

teorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita

Matematika IV

Soustavy diferenciálních rovnicteorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádu

rešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita

Matematika IV

Soustavy diferenciálních rovnicteorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficienty

kvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita

Matematika IV

Soustavy diferenciálních rovnicteorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita

XII. Diferencní rovnice

Matematika IV XII. Diferencní rovnice 2

Leonardo Fibonacci (asi 1175–1250)

králíci

XII.1 Základní vlastnosti

DefiniceNecht’ k ∈ N. Lineární diferencní rovnicí k -tého rádu skonstantními koeficienty budeme rozumet rovnici

y(n+k)+p1y(n+k−1)+ · · ·+pky(n) = an, n ∈ N, (1)

kde neznámou je posloupnost {y(n)}∞n=1, pricemžp1, . . . ,pk ∈ R, pk 6= 0 jsou dána, stejne jako posloupnost{an}∞n=1.

PoznámkaPosloupnost {an}∞n=1 se nazývá pravou stranou rovnice(1).

DefiniceRešením rovnice (1) rozumíme každou posloupnost{y(n)}∞n=1 splnující (1) pro každé n ∈ N.

Pokud chceme, aby rešení rovnice (1) splnovalopodmínky

y(1) = y1, . . . , y(k) = yk , (2)

kde y1, . . . , yk ∈ R jsou dána (tzv. pocátecní podmínky),pak hovoríme o pocátecní úloze.

Veta 1 (Existence a jednoznacnost rešenídiferencní rovnice)Pocátecní úloha (1), (2) má práve jedno rešení.

DefiniceRešením rovnice (1) rozumíme každou posloupnost{y(n)}∞n=1 splnující (1) pro každé n ∈ N.Pokud chceme, aby rešení rovnice (1) splnovalopodmínky

y(1) = y1, . . . , y(k) = yk , (2)

kde y1, . . . , yk ∈ R jsou dána (tzv. pocátecní podmínky),pak hovoríme o pocátecní úloze.

Veta 1 (Existence a jednoznacnost rešenídiferencní rovnice)Pocátecní úloha (1), (2) má práve jedno rešení.

XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou

DefinicePokud an = 0 pro každé n ∈ N, pak rovnice (1) má tvar

y(n+ k)+ p1y(n+ k − 1)+ · · ·+ pky(n) = 0, n ∈ N. (3)

Tato rovnice se nazývá homogenní.

Veta 2 (Struktura množiny rešení diferencnírovnice)Množina všech rešení rovnice (3) tvorí vektorovýpodprostor dimenze k prostoru všech reálnýchposloupností.

PoznámkaBázi prostoru rešení rovnice (3) se ríká též fundamentálnísystém rešení rovnice (3).

y(n+ k)+ p1y(n+ k − 1)+ · · ·+ pky(n) = 0, n ∈ N. (3)

DefiniceCharakteristickým polynomem rovnice (1) budemerozumet polynom

λ 7→ λk + p1λk−1 + · · ·+ pk−1λ+ pk .

Veta 3 (O fundamentálním systému diferencnírovnice)Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny navzájem ruzné reálnékoreny charakteristického polynomu rovnice (1) snásobnostmi r1, . . . , rs. Necht’ ξ1, . . . , ξl jsou všechnynavzájem ruzné komplexní koreny charakteristickéhopolynomu rovnice (1) s kladnou imaginární cástí anásobnostmi q1, . . . ,ql , pricemž pro j = 1, . . . , l platíξj = µj(cos νj + i sin νj). Pak následující posloupnosti tvoríbázi prostoru rešení rovnice (3):

{λn1}, {nλn

1}, . . . {nr1−1λn1},

...{λn

s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn

s},{µn

1 cos ν1n}, {nµn1 cos ν1n}, . . . {nq1−1µn

1 cos ν1n},{µn

1 sin ν1n}, {nµn1 sin ν1n}, . . . {nq1−1µn

1 sin ν1n},...

{µnl cos νln}, {nµn

l cos νln}, . . . {nql−1µnl cos νln},

{µnl sin νln}, {nµn

l sin νln}, . . . {nql−1µnl sin νln}

{λn1}, {nλn

1}, . . . {nr1−1λn1},

...{λn

s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn

s},{µn

1 cos ν1n},{µn

1 sin ν1n},...

{λn1}, {nλn

1}, . . . {nr1−1λn1},

...{λn

s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn

s},{µn

1 cos ν1n},{µn

1 sin ν1n},...

{λn1}, {nλn

1}, . . . {nr1−1λn1},

...{λn

s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn

s},{µn

1 cos ν1n},{µn

1 sin ν1n},...

{λn1}, {nλn

1}, . . . {nr1−1λn1},

...{λn

s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn

s},{µn

1 cos ν1n},{µn

1 sin ν1n},...

{λn1}, {nλn

1}, . . . {nr1−1λn1},

...{λn

s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn

s},{µn

1 cos ν1n},{µn

1 sin ν1n},...

{λn1}, {nλn

1}, . . . {nr1−1λn1},

...{λn

s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn

s},{µn

1 cos ν1n},{µn

1 sin ν1n},...

XII.3 Rovnice s nenulovou pravou stranou

Veta 4 (Rešení diferencní rovnice s nenulovoupravou stranou)Necht’ posloupnosti{y1(n)}∞n=1, {y2(n)}∞n=1, . . . , {y k(n)}∞n=1 tvorí fundamentálnísystém rešení rovnice (3). Necht’ posloupnost {z(n)}∞n=1je rešením rovnice (1). Potom posloupnost {y(n)}∞n=1 rešírovnici (1) práve když existují konstanty c1, . . . , ck ∈ Rtakové, že

y(n) = z(n) + c1y1(n) + · · ·+ cky k(n)

pro každé n ∈ N.

Veta 5 (Rovnice se speciální pravou stranou)Necht’ posloupnost {an}∞n=1 v rovnici (1) splnuje

an = αn(P(n) cos(νn) + Q(n) sin(νn)),

kde α > 0 a P a Q jsou polynomy. Pak existuje rešenírovnice (1) ve tvaru

y(n) = αnnm(R(n) cos(νn) + S(n) sin(νn)),

kde R, S jsou vhodné polynomy stupne ne vetšího nežmax{st P, st Q} a m ∈ N ∪ {0} udává, jakou násobnostmá císlo α(cos ν + i sin ν) jakožto korencharakteristického polynomu rovnice (1).

Veta 5 (Rovnice se speciální pravou stranou)Necht’ posloupnost {an}∞n=1 v rovnici (1) splnuje

an = αn(P(n) cos(νn) + Q(n) sin(νn)),

kde α > 0 a P a Q jsou polynomy. Pak existuje rešenírovnice (1) ve tvaru

y(n) = αnnm(R(n) cos(νn) + S(n) sin(νn)),

kde R, S jsou vhodné polynomy stupne ne vetšího nežmax{st P, st Q} a m ∈ N ∪ {0} udává, jakou násobnostmá císlo α(cos ν + i sin ν) jakožto korencharakteristického polynomu rovnice (1).

XIII. Diferenciální rovnice

Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 16

Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic

trepka velká

a = 2.309, b = a/375

trepka velkáa = 2.309, b = a/375

populacní modely p′ = ap a p′ = ap − bp2

5 10 15 20

DefiniceDiferenciální rovnicí rozumíme rovnici tvaru

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0, (4)

kde F je reálná funkce n + 2 promenných.

Rešením diferenciální rovnice (4) rozumíme funkci ydefinovanou na nejakém neprázdném otevrenémintervalu I, která má v každém bode intervalu I vlastnín-tou derivaci a jejíž hodnoty spolu s hodnotami derivacísplnují rovnici (4) v každém bode intervalu I, tj. pro každéx ∈ I platí

F(x , y(x), y ′(x), . . . , y (n)(x)

DefiniceDiferenciální rovnicí rozumíme rovnici tvaru

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0, (4)

kde F je reálná funkce n + 2 promenných.Rešením diferenciální rovnice (4) rozumíme funkci ydefinovanou na nejakém neprázdném otevrenémintervalu I, která má v každém bode intervalu I vlastnín-tou derivaci a jejíž hodnoty spolu s hodnotami derivacísplnují rovnici (4) v každém bode intervalu I, tj. pro každéx ∈ I platí

F(x , y(x), y ′(x), . . . , y (n)(x)

DefiniceJe-li funkce y rešením rovnice (4) na intervalu I a funkcey rešením rovnice (4) na intervalu I, kde I ⊂ I, I 6= I ay(x) = y(x) pro všechna x ∈ I, pak ríkáme, že rešení y jeprodloužením rešení y na interval I. Obrácene, y jezúžením y na interval I.

Rešení rovnice (4), které nemá prodloužení, nazývámemaximálním rešením rovnice (4).

DefiniceJe-li funkce y rešením rovnice (4) na intervalu I a funkcey rešením rovnice (4) na intervalu I, kde I ⊂ I, I 6= I ay(x) = y(x) pro všechna x ∈ I, pak ríkáme, že rešení y jeprodloužením rešení y na interval I. Obrácene, y jezúžením y na interval I.Rešení rovnice (4), které nemá prodloužení, nazývámemaximálním rešením rovnice (4).

DefiniceRovnice tvaru

y (n) = f (x , y , y ′, . . . , y (n−1)), (5)

kde f je reálná funkce n + 1 promenných, se nazývádiferenciální rovnice (n-tého rádu) vyrešená vzhledem knejvyšší derivaci.

XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými

XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanýmipromennými

Rovnice se separovanými promennými je rovnice tvaru

y ′ = g(y)h(x), (6)

kde g a h jsou dané funkce.

Metoda rešení pro g a h spojité na svých definicníchoborech

1. Urcíme maximální otevrené intervaly obsažené vdefinicním oboru funkce h. (Tím máme vymezenymaximální intervaly, na kterých mužeme hledat rešení.)

2. Najdeme všechny nulové body funkce g. Je-li g(c) = 0,potom funkce y ≡ c na libovolném intervalu z 1. kroku jetzv. singulární (též stacionární) rešení rovnice (6).

3. Urcíme maximální otevrené intervaly, na kterých jefunkce g nenulová.

4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.

Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí

y ′(x)g(y(x))

= h(x).

Necht’ H je primitivní funkce k funkci h na intervalu I a Gje primitivní funkce k funkci 1/g na J. Potom existujekonstanta C ∈ R taková, že platí

G(y(x)) = H(x) + C

na definicním oboru rešení y , který nalezneme vnásledujícím kroku.

4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.

Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí

y ′(x)g(y(x))

= h(x).

G(y(x)) = H(x) + C

4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J.

Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí

y ′(x)g(y(x))

= h(x).

G(y(x)) = H(x) + C

4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí

y ′(x)g(y(x))

= h(x).

G(y(x)) = H(x) + C

y ′(x)g(y(x))

= h(x).

Necht’ H je primitivní funkce k funkci h na intervalu I a Gje primitivní funkce k funkci 1/g na J.

Potom existujekonstanta C ∈ R taková, že platí

G(y(x)) = H(x) + C

y ′(x)g(y(x))

= h(x).

G(y(x)) = H(x) + C

5. Nyní zafixujeme C a nalezneme maximální neprázdnéotevrené intervaly obsažené v množine

{x ∈ I; H(x) + C ∈ G(J)}.

Na každém z techto intervalu rešení musí mít tvar

y(x) = G−1(H(x) + C),

kde G−1 znací funkci inverzní k funkci G. Ta existuje,nebot’ G je na intervalu J bud’ rostoucí nebo klesající.

5. Nyní zafixujeme C a nalezneme maximální neprázdnéotevrené intervaly obsažené v množine

{x ∈ I; H(x) + C ∈ G(J)}.

Na každém z techto intervalu rešení musí mít tvar

y(x) = G−1(H(x) + C),

kde G−1 znací funkci inverzní k funkci G. Ta existuje,nebot’ G je na intervalu J bud’ rostoucí nebo klesající.

6. Z rešení nalezených v 5. kroku a singulárních rešení z2. kroku „slepíme“ všechna maximální rešení rovnice (6).

Necht’ y1 a y2 jsou rešení rovnice (6), první na intervalu(a,b) a druhé na intervalu (b, c), pricemž b ∈ Dh.Predpokládejme, že

limx→b−

y1(x) = limx→b+

y2(x) = α ∈ Dg.

Pak funkce

y(x) =

y1(x), x ∈ (a,b);α, x = b;y2(x), x ∈ (b, c);

je rešením rovnice (6) na intervalu (a, c).

6. Z rešení nalezených v 5. kroku a singulárních rešení z2. kroku „slepíme“ všechna maximální rešení rovnice (6).Necht’ y1 a y2 jsou rešení rovnice (6), první na intervalu(a,b) a druhé na intervalu (b, c), pricemž b ∈ Dh.

Predpokládejme, že

limx→b−

y1(x) = limx→b+

y2(x) = α ∈ Dg.

Pak funkce

y(x) =

y1(x), x ∈ (a,b);α, x = b;y2(x), x ∈ (b, c);

6. Z rešení nalezených v 5. kroku a singulárních rešení z2. kroku „slepíme“ všechna maximální rešení rovnice (6).Necht’ y1 a y2 jsou rešení rovnice (6), první na intervalu(a,b) a druhé na intervalu (b, c), pricemž b ∈ Dh.Predpokládejme, že

limx→b−

y1(x) = limx→b+

y2(x) = α ∈ Dg.

Pak funkce

y(x) =

y1(x), x ∈ (a,b);α, x = b;y2(x), x ∈ (b, c);

6. Z rešení nalezených v 5. kroku a singulárních rešení z2. kroku „slepíme“ všechna maximální rešení rovnice (6).Necht’ y1 a y2 jsou rešení rovnice (6), první na intervalu(a,b) a druhé na intervalu (b, c), pricemž b ∈ Dh.Predpokládejme, že

limx→b−

y1(x) = limx→b+

y2(x) = α ∈ Dg.

Pak funkce

y(x) =

y1(x), x ∈ (a,b);α, x = b;y2(x), x ∈ (b, c);

XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice

Autonomní diferenciální rovnice jsou diferenciální rovnicenezávisející explicitne na promenné x (na „case“).Autonomní diferenciální rovnice prvního rádu vyrešenávzhledem k nejvyšší derivaci je tedy rovnice tvaru

y ′ = g(y). (7)

Predpokládejme, že g je spojitá na svém definicnímoboru.

Autonomní diferenciální rovnice jsou diferenciální rovnicenezávisející explicitne na promenné x (na „case“).Autonomní diferenciální rovnice prvního rádu vyrešenávzhledem k nejvyšší derivaci je tedy rovnice tvaru

y ′ = g(y). (7)

Predpokládejme, že g je spojitá na svém definicnímoboru.

PoznámkaJe-li funkce y : (a,b)→ R rešením rovnice (7), pak takéjejí posunutí y(x) := y(x − c), x ∈ (a + c,b + c) jerešením rovnice (7) (pro libovolné c ∈ R).

Veta 6 (O monotonii rešení autonomní rovnice)Každé rešení rovnice (7), kde g je libovolná funkce, jemonotónní.

PoznámkaNecht’ y : (a,+∞)→ R je rešením rovnice (7) alimx→+∞ y(x) = A ∈ Dg. Pak g(A) = 0, tj. y(x) = A jestacionárním rešením rovnice (7).

Tvrzení 7 (O definicním oboru rešení autonomnírovnice)Necht’ a,b ∈ R∗, a < b, funkce g : (a,b)→ (0,+∞) jespojitá. Necht’ y : (A,B)→ (a,b) je maximální rešenírovnice (7) a c ∈ (a,b). Pak platí

B = +∞, práve když∫ b

c 1/g diverguje,

B ∈ R, práve když∫ b

c 1/g konverguje.

PoznámkaAnalogická tvrzení platí pro A a konvergenci

∫ ca 1/g a také

pro g zápornou.

Tvrzení 7 (O definicním oboru rešení autonomnírovnice)Necht’ a,b ∈ R∗, a < b, funkce g : (a,b)→ (0,+∞) jespojitá. Necht’ y : (A,B)→ (a,b) je maximální rešenírovnice (7) a c ∈ (a,b). Pak platí

B = +∞, práve když∫ b

c 1/g diverguje,

B ∈ R, práve když∫ b

c 1/g konverguje.

PoznámkaAnalogická tvrzení platí pro A a konvergenci

∫ ca 1/g a také

pro g zápornou.

Lemma 8 (O konvergenci integrálu)Necht’ a,b ∈ R, a < b, funkce g je spojitá a kladná na〈a,b) a má v bode b zleva kladnou limitu. Pak

∫ ba 1/g

konverguje.

Lemma 9 (O divergenci integrálu)Necht’ funkce g je spojitá na 〈a,b〉, kladná 〈a,b) ag(b) = 0. Pokud g′−(b) ∈ R, pak

∫ ba 1/g diverguje.

PoznámkaSpeciálne: je-li g trídy C1 na svém definicním oboru, paknedojde k napojení na stacionární rešení.

∫ ba 1/g

konverguje.

∫ ba 1/g

konverguje.

XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu

XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvníhorádu

Lineární diferenciální rovnicí prvního rádu rozumímerovnici tvaru

y ′ + p(x)y = q(x) (8)

kde p,q jsou funkce na daném intervalu (a,b).

V dalším budeme predpokládat, že p,q jsou spojitéfunkce. Pak každé rešení rovnice (8) je trídy C1.Zobrazení L : C1(a,b)→ C(a,b),

L(y) = y ′ + py

je lineární.

y ′ + p(x)y = q(x) (8)

kde p,q jsou funkce na daném intervalu (a,b).V dalším budeme predpokládat, že p,q jsou spojitéfunkce.

Pak každé rešení rovnice (8) je trídy C1.Zobrazení L : C1(a,b)→ C(a,b),

L(y) = y ′ + py

je lineární.

y ′ + p(x)y = q(x) (8)

kde p,q jsou funkce na daném intervalu (a,b).V dalším budeme predpokládat, že p,q jsou spojitéfunkce. Pak každé rešení rovnice (8) je trídy C1.

Zobrazení L : C1(a,b)→ C(a,b),

L(y) = y ′ + py

je lineární.

y ′ + p(x)y = q(x) (8)

kde p,q jsou funkce na daném intervalu (a,b).V dalším budeme predpokládat, že p,q jsou spojitéfunkce. Pak každé rešení rovnice (8) je trídy C1.Zobrazení L : C1(a,b)→ C(a,b),

L(y) = y ′ + py

je lineární.

Homogenní lineární diferenciální rovnicí prvního rádubudeme rozumet rovnici tvaru

y ′ + p(x)y = 0. (9)

Poznámka1. Množina všech rešení homogenní rovnice je rovnaKer L (a tedy tvorí vektorový prostor).2. Je-li yp ∈ C1(a,b) nejaké rešení nehomogenní rovnice,pak množina všech rešení nehomogenní rovnice je rovna{yp + y : y ∈ Ker L}.

Homogenní lineární diferenciální rovnicí prvního rádubudeme rozumet rovnici tvaru

y ′ + p(x)y = 0. (9)

Poznámka1. Množina všech rešení homogenní rovnice je rovnaKer L (a tedy tvorí vektorový prostor).2. Je-li yp ∈ C1(a,b) nejaké rešení nehomogenní rovnice,pak množina všech rešení nehomogenní rovnice je rovna{yp + y : y ∈ Ker L}.

Homogenní rovnice

y ′ + p(x)y = 0.

Jedná se o rovnici se separovanými promennými!Maximální rešení homogenní rovnice:

y(x) = Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,

kde P je primitivní funkce k p na intervalu (a,b).Všechna rešení homogenní rovnice tvorí vektorovýpodprostor prostoru C1(a,b) dimenze 1 (dim Ker L = 1).

Homogenní rovnice

y ′ + p(x)y = 0.

Jedná se o rovnici se separovanými promennými!

Maximální rešení homogenní rovnice:

y(x) = Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,

Homogenní rovnice

y ′ + p(x)y = 0.

y(x) = Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,

kde P je primitivní funkce k p na intervalu (a,b).

Všechna rešení homogenní rovnice tvorí vektorovýpodprostor prostoru C1(a,b) dimenze 1 (dim Ker L = 1).

Homogenní rovnice

y ′ + p(x)y = 0.

y(x) = Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,

Nehomogenní rovnice

y ′ + p(x)y = q(x)

Maximální rešení rovnice (8) jsou:

y(x) =(∫ x

q(t)eP(t) dt)

e−P(x)+Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,

kde x0 ∈ (a,b) a P je primitivní funkce k p na intervalu(a,b).

Poznámka1. Partikulární rešení lze najít metodou variacekonstanty.2. Všechna rešení lze také najít metodou integracníhofaktoru.

y ′ + p(x)y = q(x)

y(x) =(∫ x

q(t)eP(t) dt)

e−P(x)+Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,

y ′ + p(x)y = q(x)

y(x) =(∫ x

q(t)eP(t) dt)

e−P(x)+Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,

Maximální rešení rovnice (8) splnující pocátecnípodmínku y(x0) = y0:

y(x) =(∫ x

q(t)eP(t) dt)

e−P(x) + y0e−P(x), x ∈ (a,b),

kde P(x0) = 0, tj. P(x) =∫ x

x0p(t) dt .

Tvrzení 10Pro každé x0 ∈ (a,b) a každé y0 ∈ R existuje práve jednomaximální rešení y rovnice (8), které splnuje pocátecnípodmínku y(x0) = y0. Toto rešení je navíc definováno nacelém (a,b).

Maximální rešení rovnice (8) splnující pocátecnípodmínku y(x0) = y0:

y(x) =(∫ x

q(t)eP(t) dt)

e−P(x) + y0e−P(x), x ∈ (a,b),

kde P(x0) = 0, tj. P(x) =∫ x

x0p(t) dt .

Tvrzení 10Pro každé x0 ∈ (a,b) a každé y0 ∈ R existuje práve jednomaximální rešení y rovnice (8), které splnuje pocátecnípodmínku y(x0) = y0. Toto rešení je navíc definováno nacelém (a,b).

XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty

XIII.4 Lineární rovnice s konstantnímikoeficienty

DefiniceLineární diferenciální rovnicí n-tého rádu s konstantnímikoeficienty rozumíme rovnici

y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f (t), (10)

kde a0, . . . ,an−1 ∈ R a f je funkce spojitá na danémintervalu (a,b).

Homogenní rovnicí príslušnou k rovnici (10) rozumímerovnici

y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0. (11)

DefiniceLineární diferenciální rovnicí n-tého rádu s konstantnímikoeficienty rozumíme rovnici

y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f (t), (10)

kde a0, . . . ,an−1 ∈ R a f je funkce spojitá na danémintervalu (a,b).Homogenní rovnicí príslušnou k rovnici (10) rozumímerovnici

y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0. (11)

PoznámkaKaždé rešení rovnice (10) je trídy Cn((a,b)).

Zobrazení L : Cn((a,b))→ C((a,b)),

L(y) = y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y

je lineární.

PoznámkaKaždé rešení rovnice (10) je trídy Cn((a,b)).Zobrazení L : Cn((a,b))→ C((a,b)),

L(y) = y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y

je lineární.

Veta 11 (Existence a jednoznacnost rešenílineární diferenciální rovnice)Necht’ t0 ∈ (a,b) a z0, . . . , zn−1 ∈ R. Pak existuje právejedno maximální rešení y rovnice (10), které splnujepodmínky

y(t0) = z0, y ′(t0) = z1, . . . , y (n−1)(t0) = zn−1.

Toto rešení je navíc definováno na celém intervalu (a,b).

Struktura množiny rešení

Veta 12 (Struktura množiny rešení lineárnídiferenciální rovnice)

(i) Množina všech maximálních rešení rovnice (11) tvorívektorový podprostor prostoru Cn((a,b)) dimenze n.

(ii) Necht’ yp je jedno maximální rešení rovnice (10) (tzv.partikulární rešení). Pak funkce y je maximálnímrešením rovnice (10), práve když ji lze zapsat vetvaru y = yp + yh, kde yh je nejaké maximální rešenírovnice (11).

PoznámkaBáze prostoru maximálních rešení rovnice (11) senazývá fundamentální systém rešení rovnice (11).

Jsou-li funkce y1, . . . , yn lineárne nezávislá maximálnírešení rovnice (11), pak již tvorí fundamentálnísystém.Tvorí-li funkce y1, . . . , yn fundamentální systémrovnice (11) a je-li yp partikulární rešení rovnice (10),pak všechna maximální rešení rovnice (10) jsou tvaruy = yp + c1y1 + · · ·+ cnyn, kde c1, . . . , cn ∈ R.

PoznámkaBáze prostoru maximálních rešení rovnice (11) senazývá fundamentální systém rešení rovnice (11).Jsou-li funkce y1, . . . , yn lineárne nezávislá maximálnírešení rovnice (11), pak již tvorí fundamentálnísystém.

Tvorí-li funkce y1, . . . , yn fundamentální systémrovnice (11) a je-li yp partikulární rešení rovnice (10),pak všechna maximální rešení rovnice (10) jsou tvaruy = yp + c1y1 + · · ·+ cnyn, kde c1, . . . , cn ∈ R.

PoznámkaBáze prostoru maximálních rešení rovnice (11) senazývá fundamentální systém rešení rovnice (11).Jsou-li funkce y1, . . . , yn lineárne nezávislá maximálnírešení rovnice (11), pak již tvorí fundamentálnísystém.Tvorí-li funkce y1, . . . , yn fundamentální systémrovnice (11) a je-li yp partikulární rešení rovnice (10),pak všechna maximální rešení rovnice (10) jsou tvaruy = yp + c1y1 + · · ·+ cnyn, kde c1, . . . , cn ∈ R.

Fundamentální systém

DefiniceCharakteristickým polynomem rovnice (11) rozumímepolynom

χ(λ) = λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0.

Veta 13 (Tvar fundamentálního systému lineárnídiferenciální rovnice)Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny ruzné reálné korenycharakteristického polynomu χ s násobnostmi r1, . . . , rs.Necht’ α1 + β1i , . . . , αl + βl i jsou všechny navzájem ruznékoreny polynomu χ s kladnou imaginární cástí anásobnostmi q1, . . . ,ql .

χ(λ) = λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0.

Pak funkce

eλ1t , teλ1t , . . . t r1−1eλ1t ,...

eλs t , teλs t , . . . t rs−1eλs t ,eα1t cos β1t , teα1t cos β1t , . . . tq1−1eα1t cos β1t ,eα1t sin β1t , teα1t sin β1t , . . . tq1−1eα1t sin β1t ,

...eαl t cos βl t , teαl t cos βl t , . . . tql−1eαl t cos βl t ,eαl t sin βl t , teαl t sin βl t , . . . tql−1eαl t sin βl t

tvorí fundamentální systém rešení rovnice (11).

Partikulární rešení

Veta 14 (variace konstant)Necht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pokud funkce c1, . . . , cn splnují soustavurovnic

c′1y1 + · · ·+ c′nyn = 0...

c′1y (n−2)1 + · · ·+ c′ny (n−2)

c′1y (n−1)1 + · · ·+ c′ny (n−1)

na intervalu (a,b), pak funkceyp(t) = c1(t)y1(t) + · · ·+ cn(t)yn(t), t ∈ (a,b), je rešenímrovnice (10).

Partikulární rešení

Veta 14 (variace konstant)Necht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pokud funkce c1, . . . , cn splnují soustavurovnic

c′1y1 + · · ·+ c′nyn = 0...

c′1y (n−2)1 + · · ·+ c′ny (n−2)

c′1y (n−1)1 + · · ·+ c′ny (n−1)

na intervalu (a,b), pak funkceyp(t) = c1(t)y1(t) + · · ·+ cn(t)yn(t), t ∈ (a,b), je rešenímrovnice (10).

DefiniceNecht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pak matici (ci presneji maticovou funkci)

U(t) =

y1(t) y2(t) . . . yn(t)y ′1(t) y ′2(t) . . . y ′n(t)...

.... . .

y (n−1)1 (t) y (n−1)

2 (t) . . . y (n−1)n (t)

, t ∈ (a,b)

nazýváme fundamentální maticí rovnice (11).

Veta 15 (Regularita fundamentální matice)Necht’ U(t) je fundamentální maticí rovnice (11). Pakmatice U(t) je regulární pro každé t ∈ R.

DefiniceNecht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pak matici (ci presneji maticovou funkci)

U(t) =

y1(t) y2(t) . . . yn(t)y ′1(t) y ′2(t) . . . y ′n(t)...

.... . .

y (n−1)1 (t) y (n−1)

2 (t) . . . y (n−1)n (t)

, t ∈ (a,b)

nazýváme fundamentální maticí rovnice (11).

Veta 15 (Regularita fundamentální matice)Necht’ U(t) je fundamentální maticí rovnice (11). Pakmatice U(t) je regulární pro každé t ∈ R.

Dusledek 16 (existence rešení pro variacikonstant)Necht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pak existují funkce c1, . . . , cn ∈ C1((a,b))splnující (12) na intervalu (a,b).

Veta 17 (Lineární diferenciální rovnice sespeciální pravou stranou)Necht’

f (t) = eµt (P(t) cos νt + Q(t) sin νt) ,

kde µ, ν ∈ R a P,Q jsou polynomy. Potom platí: Jestližecíslo µ+ iν je korenem charakteristického polynomurovnice (11) násobnosti m, pak existuje rešení rovnice(10) tvaru

yp(t) = tmeµt (R(t) cos νt + S(t) sin νt) ,

kde R,S jsou polynomy, jejichž stupne jsou nejvýše rovnyvetšímu ze stupnu polynomu P,Q.

Poznámky o rovnicích s nekonstantními koeficienty

Nahradíme-li v rovnicích (10), (11) císla a0, . . . ,an−1

spojitými funkcemi, získáme Lineární diferenciální rovnicin-tého rádu s nekonstantními koeficienty

y (n) + an−1(t)y (n−1) + · · ·+ a1(t)y ′ + a0(t)y = f (t), (13)

a0, . . . ,an−1 ∈ C((a,b)), f ∈ C((a,b)).

PoznámkaVšechny vety, tvrzení a poznámky kapitoly XIII.4 kromevet 13 a 17 platí i pro rovnice s nekonstantními koeficienty.

Poznámky o rovnicích s nekonstantními koeficientyNahradíme-li v rovnicích (10), (11) císla a0, . . . ,an−1

a0, . . . ,an−1 ∈ C((a,b)), f ∈ C((a,b)).

Poznámky o rovnicích s nekonstantními koeficientyNahradíme-li v rovnicích (10), (11) císla a0, . . . ,an−1

a0, . . . ,an−1 ∈ C((a,b)), f ∈ C((a,b)).

XIV. Soustavydiferenciálních rovnic

Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 53

20 40 60 80 100 120 140x

XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti

XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci ajednoznacnosti

Soustavou diferenciálních rovnic (prvního rádu) rozumímesoustavu

x ′1 = f1(t , x1, x2, . . . , xn),

x ′2 = f2(t , x1, x2, . . . , xn),

x ′n = fn(t , x1, x2, . . . , xn),

kde f1, . . . , fn jsou dané funkce definované na jisténeprázdné otevrené podmnožine G ⊂ R× Rn.

DefiniceVektorová funkce je každé zobrazení x : I ⊂ R→ Rn.

Poznámkax : I → Rn je vektorová funkce, práve když existujífunkce x1, . . . , xn : I → R, které splnujíx(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) pro všechna t ∈ I.Jsou-li xi spojité, rekneme, že x je spojitá.Mají-li xi derivaci v bode t , pak definujemex ′(t) = (x ′1(t), . . . , x

′n(t)).

Mají-li xi zobecnený Riemannuv integrál od a do b,pak definujeme∫ b

a x(t)dt = (∫ b

a x1(t)dt , . . . ,∫ b

a xn(t)dt).

Poznámkax : I → Rn je vektorová funkce, práve když existujífunkce x1, . . . , xn : I → R, které splnujíx(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) pro všechna t ∈ I.

Jsou-li xi spojité, rekneme, že x je spojitá.Mají-li xi derivaci v bode t , pak definujemex ′(t) = (x ′1(t), . . . , x

′n(t)).

a x(t)dt = (∫ b

a x1(t)dt , . . . ,∫ b

a xn(t)dt).

Poznámkax : I → Rn je vektorová funkce, práve když existujífunkce x1, . . . , xn : I → R, které splnujíx(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) pro všechna t ∈ I.Jsou-li xi spojité, rekneme, že x je spojitá.

Mají-li xi derivaci v bode t , pak definujemex ′(t) = (x ′1(t), . . . , x

′n(t)).

a x(t)dt = (∫ b

a x1(t)dt , . . . ,∫ b

a xn(t)dt).

′n(t)).

a x(t)dt = (∫ b

a x1(t)dt , . . . ,∫ b

a xn(t)dt).

′n(t)).

a x(t)dt = (∫ b

a x1(t)dt , . . . ,∫ b

a xn(t)dt).

Vektorový tvar soustavy (14):

x ′(t) = f (t ,x(t)), (15)

kde x(t) = [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)] a f = [f1, f2, . . . , fn].

DefiniceRešením soustavy (14) rozumíme vektorovou funkcix = [x1, . . . , xn] definovanou na otevrenémneprázdném intervalu J ⊂ R s hodnotami v Rn

takovou, že pro každé t ∈ J existují vlastní derivacex ′1(t), . . . , x

′n(t), a platí (14).

Maximální rešení soustavy (14) je takové rešení xdefinované na intervalu J, které již nelze prodloužit,tj. je-li y rešení definované na intervalu I, J ⊂ I ay(t) = x(t) pro každé t ∈ J, pak J = I.Pocátecní úlohou pro (14) rozumíme úlohu, kdyhledáme rešení x soustavy (14) splnující navícpredem zadanou podmínku x(t0) = x0, kde[t0,x0] ∈ G (tzv. pocátecní podmínka).

Maximální rešení soustavy (14) je takové rešení xdefinované na intervalu J, které již nelze prodloužit,tj. je-li y rešení definované na intervalu I, J ⊂ I ay(t) = x(t) pro každé t ∈ J, pak J = I.

Pocátecní úlohou pro (14) rozumíme úlohu, kdyhledáme rešení x soustavy (14) splnující navícpredem zadanou podmínku x(t0) = x0, kde[t0,x0] ∈ G (tzv. pocátecní podmínka).

Maximální rešení soustavy (14) je takové rešení xdefinované na intervalu J, které již nelze prodloužit,tj. je-li y rešení definované na intervalu I, J ⊂ I ay(t) = x(t) pro každé t ∈ J, pak J = I.Pocátecní úlohou pro (14) rozumíme úlohu, kdyhledáme rešení x soustavy (14) splnující navícpredem zadanou podmínku x(t0) = x0, kde[t0,x0] ∈ G (tzv. pocátecní podmínka).

Tvrzení 18 (soustavy a rovnice n-tého rádu)Uvažujme rovnici n-tého rádu

y (n) = f (t , y , . . . , y (n−1)) (16)

a soustavux ′1 = x2,

x ′n−1 = xn,

x ′n = f (t , x1, x2, . . . , xn).

Je-li x = (x1, . . . , xn) rešení soustavy (17) na intervalu I,pak y := x1 je rešením (16) na I.

Je-li y rešení rovnice (16) na intervalu I, pakx := (y , y ′, . . . , y (n−1)) je rešením soustavy (17) na I.

Tvrzení 18 (soustavy a rovnice n-tého rádu)Uvažujme rovnici n-tého rádu

y (n) = f (t , y , . . . , y (n−1)) (16)

a soustavux ′1 = x2,

x ′n−1 = xn,

x ′n = f (t , x1, x2, . . . , xn).

Je-li x = (x1, . . . , xn) rešení soustavy (17) na intervalu I,pak y := x1 je rešením (16) na I.Je-li y rešení rovnice (16) na intervalu I, pakx := (y , y ′, . . . , y (n−1)) je rešením soustavy (17) na I.

Veta 19 (Peanova veta o existenci rešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G.

Pak pro každé [t0,x0] ∈ Gexistuje maximální rešení rovnice (15) splnujícíx(t0) = x0.

Veta 20 (Picardova o existenci a jednoznacnostirešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Necht’ navíc parciální derivace∂fi∂xj

, i , j = 1, . . . ,n jsou spojité na G. Pak pro každé[t0,x0] ∈ G existuje práve jedno maximální rešení rovnice(15) splnující x(t0) = x0.

Veta 19 (Peanova veta o existenci rešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Pak pro každé [t0,x0] ∈ Gexistuje maximální rešení rovnice (15) splnujícíx(t0) = x0.

Veta 20 (Picardova o existenci a jednoznacnostirešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G.

Necht’ navíc parciální derivace∂fi∂xj

, i , j = 1, . . . ,n jsou spojité na G.

Pak pro každé[t0,x0] ∈ G existuje práve jedno maximální rešení rovnice(15) splnující x(t0) = x0.

XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení

Lemma 21 (Bolzano–Cauchyova podmínka)Necht’ a,b ∈ R, a < b, a funkce g je definována na (a,b).

Vlastní limita limt→b− g(t) existuje, práve když g splnujeBolzano-Cauchyovu podmínku

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀s, t ∈ P−(b, δ) : |g(t)− g(s)| < ε.

Lemma 21 (Bolzano–Cauchyova podmínka)Necht’ a,b ∈ R, a < b, a funkce g je definována na (a,b).Vlastní limita limt→b− g(t) existuje, práve když g splnujeBolzano-Cauchyovu podmínku

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀s, t ∈ P−(b, δ) : |g(t)− g(s)| < ε.

Lemma 21 (Bolzano–Cauchyova podmínka)Necht’ a,b ∈ R, a < b, a funkce g je definována na (a,b).Vlastní limita limt→b− g(t) existuje, práve když g splnujeBolzano-Cauchyovu podmínku

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀s, t ∈ P−(b, δ) : |g(t)− g(s)| < ε.

Veta 22 (o opouštení kompaktu)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, K ⊂ G jekompaktní a f : G→ Rn je spojité.

Bud’ x maximálnírešení rovnice (15) definované na intervalu (α, β),t0 ∈ (α, β) a [t0,x(t0)] ∈ K . Pak existují τ1 ∈ (α, t0) aτ2 ∈ (t0, β) taková, že [τ1,x(τ1)] /∈ K a [τ2,x(τ2)] /∈ K .

Veta 22 (o opouštení kompaktu)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, K ⊂ G jekompaktní a f : G→ Rn je spojité. Bud’ x maximálnírešení rovnice (15) definované na intervalu (α, β),t0 ∈ (α, β) a [t0,x(t0)] ∈ K .

Pak existují τ1 ∈ (α, t0) aτ2 ∈ (t0, β) taková, že [τ1,x(τ1)] /∈ K a [τ2,x(τ2)] /∈ K .

Veta 22 (o opouštení kompaktu)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, K ⊂ G jekompaktní a f : G→ Rn je spojité. Bud’ x maximálnírešení rovnice (15) definované na intervalu (α, β),t0 ∈ (α, β) a [t0,x(t0)] ∈ K . Pak existují τ1 ∈ (α, t0) aτ2 ∈ (t0, β) taková, že [τ1,x(τ1)] /∈ K a [τ2,x(τ2)] /∈ K .

Lemma 23 (ekvivalence diferenciální a integrálnírovnice)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, f : G→ Rn jespojité zobrazení, (α, β) ⊂ R, t0 ∈ (α, β) a [t0,x0] ∈ G.

Bud’ x : (α, β)→ Rn spojitá vektorová funkce. Pak x jerešením rovnice (15) na (α, β) s pocátecní podmínkoux(t0) = x0, práve když pro každé t ∈ (α, β) platí

x(t) = x0 +

t0f (s,x(s)) ds.

Lemma 23 (ekvivalence diferenciální a integrálnírovnice)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, f : G→ Rn jespojité zobrazení, (α, β) ⊂ R, t0 ∈ (α, β) a [t0,x0] ∈ G.Bud’ x : (α, β)→ Rn spojitá vektorová funkce.

Pak x jerešením rovnice (15) na (α, β) s pocátecní podmínkoux(t0) = x0, práve když pro každé t ∈ (α, β) platí

x(t) = x0 +

t0f (s,x(s)) ds.

Lemma 23 (ekvivalence diferenciální a integrálnírovnice)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, f : G→ Rn jespojité zobrazení, (α, β) ⊂ R, t0 ∈ (α, β) a [t0,x0] ∈ G.Bud’ x : (α, β)→ Rn spojitá vektorová funkce. Pak x jerešením rovnice (15) na (α, β) s pocátecní podmínkoux(t0) = x0,

práve když pro každé t ∈ (α, β) platí

x(t) = x0 +

t0f (s,x(s)) ds.

Lemma 23 (ekvivalence diferenciální a integrálnírovnice)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, f : G→ Rn jespojité zobrazení, (α, β) ⊂ R, t0 ∈ (α, β) a [t0,x0] ∈ G.Bud’ x : (α, β)→ Rn spojitá vektorová funkce. Pak x jerešením rovnice (15) na (α, β) s pocátecní podmínkoux(t0) = x0, práve když pro každé t ∈ (α, β) platí

x(t) = x0 +

t0f (s,x(s)) ds.

Lemma 24 (Gronwallovo lemma)Necht’ funkce u je spojitá na intervalu 〈t0, t1), t0 ∈ R,t1 ∈ R∗. Necht’ existují císla a, α, β ∈ R, α > 0, β ≥ 0taková, že

u(t) ≤ a +

t0(αu(s) + β) ds, t ∈ 〈t0, t1).

Paku(t) ≤

)eα(t−t0), t ∈ 〈t0, t1).

Lemma 24 (Gronwallovo lemma)Necht’ funkce u je spojitá na intervalu 〈t0, t1), t0 ∈ R,t1 ∈ R∗. Necht’ existují císla a, α, β ∈ R, α > 0, β ≥ 0taková, že

u(t) ≤ a +

t0(αu(s) + β) ds, t ∈ 〈t0, t1).

Paku(t) ≤

)eα(t−t0), t ∈ 〈t0, t1).

Lemma 25 (o lipschitzovskosti)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná a zobrazeníf : G→ Rn a ∂fi

∂xj, i , j = 1, . . . ,n jsou spojitá na G.

Bud’K ⊂ G kompaktní a její rezy Kt := {x ∈ Rn : (t ,x) ∈ K}konvexní pro všechna t ∈ R. Pak existuje L > 0 takové, že

‖f (t ,x)− f (t ,y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀ (t ,x), (t ,y) ∈ K . (18)

PoznámkaJednoznacnost rešení snadno plyne z Gronwallovalemmatu a vlastnosti (18).Vlastnost (18) se nazývá lipschitzovskost.

∂xj, i , j = 1, . . . ,n jsou spojitá na G. Bud’

K ⊂ G kompaktní a její rezy Kt := {x ∈ Rn : (t ,x) ∈ K}konvexní pro všechna t ∈ R.

Pak existuje L > 0 takové, že

‖f (t ,x)− f (t ,y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀ (t ,x), (t ,y) ∈ K . (18)

K ⊂ G kompaktní a její rezy Kt := {x ∈ Rn : (t ,x) ∈ K}konvexní pro všechna t ∈ R. Pak existuje L > 0 takové, že

‖f (t ,x)− f (t ,y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀ (t ,x), (t ,y) ∈ K . (18)

K ⊂ G kompaktní a její rezy Kt := {x ∈ Rn : (t ,x) ∈ K}konvexní pro všechna t ∈ R. Pak existuje L > 0 takové, že

‖f (t ,x)− f (t ,y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀ (t ,x), (t ,y) ∈ K . (18)

Veta 26 (spojitá závislost na pocátecníchpodmínkách)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn, ∂fi

∂xjjsou spojité na G.

Necht’ [t0,x0] ∈ G a x jemaximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0. Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d). Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn

splnující∥∥y0 − x0

∥∥ < δ platí:Maximální rešení y rovnice (15) splnující pocátecnípodmínku y(t0) = y0 je definováno na intervaluobsahujícím 〈c,d〉 a ‖x(t)− y(t)‖ < ε pro všechnat ∈ 〈c,d〉.

∂xjjsou spojité na G. Necht’ [t0,x0] ∈ G a x je

maximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0.

Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d). Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn

maximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0. Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d).

Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn

maximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0. Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d). Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn

∥∥ < δ platí:

Maximální rešení y rovnice (15) splnující pocátecnípodmínku y(t0) = y0 je definováno na intervaluobsahujícím 〈c,d〉 a ‖x(t)− y(t)‖ < ε pro všechnat ∈ 〈c,d〉.

maximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0. Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d). Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn

XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic

XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálníchrovnic

Soustavou lineárních diferenciálních rovnic rozumímesoustavu tvaru

x ′1(t) = a11(t)x1(t) + · · ·+ a1n(t)xn(t) + b1(t),x ′2(t) = a21(t)x1(t) + · · ·+ a2n(t)xn(t) + b2(t),

x ′n(t) = an1(t)x1(t) + · · ·+ ann(t)xn(t) + bn(t),

kde n ∈ N, aij : (α, β)→ R, bi : (α, β)→ R, i , j ∈ {1, . . . ,n},jsou spojité funkce.

Vektorový tvar soustavy:

x ′(t) = A(t)x(t) + b(t), (19)

A(t) =

a11(t) . . . a1n(t)a21(t) . . . a2n(t)...

. . ....

an1(t) . . . ann(t)

, b(t) =

b1(t)b2(t)...

Veta 27 (o existenci a jednoznacnosti rešení)Necht’ α, β ∈ R∗, α < β, t0 ∈ (α, β) a y0 ∈ Rn. Necht’A : (α, β)→ M(n × n), b : (α, β)→ Rn jsou spojitázobrazení. Potom existuje práve jedno maximální rešeníy soustavy (19) splnující y(t0) = y0. Toto rešení je navícdefinováno na celém intervalu (α, β).

DefiniceHomogenní soustavou k soustave (19) rozumímesoustavu

x ′(t) = A(t)x(t). (20)

Zobrazení L : C1((α, β),Rn)→ C((α, β),Rn),

L(x) = x ′ − Ax

je lineární.

DefiniceHomogenní soustavou k soustave (19) rozumímesoustavu

x ′(t) = A(t)x(t). (20)

Zobrazení L : C1((α, β),Rn)→ C((α, β),Rn),

L(x) = x ′ − Ax

je lineární.

Veta 28 (struktura množiny rešení)Necht’ n ∈ N, α, β ∈ R∗, α < β, a A : (α, β)→ M(n × n) ab : (α, β)→ Rn jsou spojitá zobrazení.

(i) Množina všech maximálních rešení homogennísoustavy (20) tvorí vektorový podprostor prostoruC1((α, β),Rn) dimenze n.

(ii) Necht’ y je jedno maximální rešení soustavy (19).Pak všechna její maximální rešení jsou tvarux = y + z , kde z je rešením homogenní soustavy(20).

DefiniceBázi prostoru maximálních rešení soustavy (20)nazýváme fundamentální systém rešení soustavy (20).Je-li y1, . . . ,yn fundamentální systém soustavy (20), pakmatici

Φ(t) =(y1(t), . . . ,yn(t)

1 (t) . . . yn1 (t)

y12 (t) . . . yn

2 (t)...

. . ....

y1n (t) . . . yn

nazýváme fundamentální matice soustavy (20).

Veta 29 (regularita fundamentální matice)Necht’ Φ je fundamentální matice soustavy (20). Pakmatice Φ(t) je regulární pro každé t ∈ (α, β).

Veta 30 (variace konstant)Necht’ n ∈ N, α, β ∈ R∗, α < β, t0 ∈ (α, β) a y0 ∈ Rn.Necht’ A : (α, β)→ M(n × n) a b : (α, β)→ Rn jsou spojitázobrazení. Pak maximální rešení y rovnice (19) spocátecní podmínkou y(t0) = y0 má tvar

y(t) = Φ(t)Φ−1(t0)y0+Φ(t)∫ t

t0Φ−1(s)b(s) ds, t ∈ (α, β),

kde Φ je fundamentální matice soustavy (20).

XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty

XIV.4. Rešení lineárních soustav skonstantními koeficienty

Soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantnímikoeficienty je soustava

x ′(t) = Ax(t) + b(t),

kde A ∈ M(n × n) a b : (α, β)→ Rn je daná (spojitá)vektorová funkce. Príslušná homogenní soustava jesoustava

x ′(t) = Ax(t). (21)

Tvrzení 31 (hladkost rešení soustavy rovnic)Necht’ A ∈ M(n × n) a vektorová funkce y : R→ Rn jerešením soustavy (21). Pak y ∈ C∞(R,Rn) a pro každék ∈ N platí y (k)(t) = Aky(t) pro t ∈ R.

DefiniceMatici, jejíž prvky jsou polynomy v promenné λ,nazýváme λ-maticí.

Rádkovými úpravami λ-matice rozumíme:

prohození dvou rádku;vynásobení rádku nenulovou konstantou;prictení P(λ)-násobku jednoho rádku k jinému rádku,kde P(λ) je polynom v promenné λ.

DefiniceMatici, jejíž prvky jsou polynomy v promenné λ,nazýváme λ-maticí.Rádkovými úpravami λ-matice rozumíme:

prohození dvou rádku;

vynásobení rádku nenulovou konstantou;prictení P(λ)-násobku jednoho rádku k jinému rádku,kde P(λ) je polynom v promenné λ.

prohození dvou rádku;vynásobení rádku nenulovou konstantou;

prictení P(λ)-násobku jednoho rádku k jinému rádku,kde P(λ) je polynom v promenné λ.

Veta 32 (úprava lambda-matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak lze λ-matici λI − A prevéstkonecnou posloupností rádkových úprav na hornítrojúhelníkovou λ-matici. Výsledná λ-matice má nadiagonále nenulové polynomy, soucet jejichž stupnu je n.

XIV.5. Stabilita stacionárních bodu

Uvažujme soustavu diferenciálních rovnic

x ′(t) = f (x(t)) (22)

kde f : G→ Rn je dané zobrazení trídy C1, G ⊂ Rn

otevrená.

Necht’ a ∈ G. Je-li f (a) = 0, nazveme a stacionárnímbodem soustavy (22).Vektorová funkce x(t) = a je pak stacionárním rešenímsoustavy.

x ′(t) = f (x(t)) (22)

otevrená.Necht’ a ∈ G. Je-li f (a) = 0, nazveme a stacionárnímbodem soustavy (22).

Vektorová funkce x(t) = a je pak stacionárním rešenímsoustavy.

x ′(t) = f (x(t)) (22)

otevrená.Necht’ a ∈ G. Je-li f (a) = 0, nazveme a stacionárnímbodem soustavy (22).Vektorová funkce x(t) = a je pak stacionárním rešenímsoustavy.

Rekneme, že stacionární bod a jestabilní, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové,že pro každé maximální rešení x soustavy platí

‖x(0)− a‖ < δ ⇒ ‖x(t)− a‖ < ε ∀t > 0.

asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navícexistuje δ > 0 takové, že pro každé maximální rešeníx platí

‖x(0)− a‖ < δ ⇒ limt→+∞

‖x(t)− a‖ = 0.

nestabilní, jestliže není stabilní.

‖x(0)− a‖ < δ ⇒ ‖x(t)− a‖ < ε ∀t > 0.

‖x(0)− a‖ < δ ⇒ limt→+∞

‖x(t)− a‖ = 0.

‖x(0)− a‖ < δ ⇒ ‖x(t)− a‖ < ε ∀t > 0.

‖x(0)− a‖ < δ ⇒ limt→+∞

‖x(t)− a‖ = 0.

Veta 33 (o stabilite lineární soustavy)Bud’ A ∈ M(n × n). Pak bod a = 0 je stacionárním bodemsoustavy x ′(t) = Ax(t), a to

asymptoticky stabilním, práve když všechna vlastnícísla matice A mají zápornou reálnou cást.stabilním, pokud všechna vlastní císla matice A majínekladnou reálnou cást a císla s nulovou reálnoucástí mají násobnost 1.nestabilním, pokud existuje vlastní císlo matice A skladnou reálnou cástí.

Veta 34 (o stabilite nelineární soustavy)Necht’ a je stacionárním bodem soustavy (22).

Pokud všechna vlastní císla matice ∇f (a) majízápornou reálnou cást, je a asymptoticky stabilnímstacionárním bodem soustavy (22).Pokud existuje vlastní císlo matice ∇f (a) s kladnoureálnou cástí, je a nestabilním stacionárním bodemsoustavy (22).

Matematika IV - Univerzita Karlova · 2016. 4. 18. · Matematika IV Diferencní rovniceˇ...

Documents