STAROVĚKÝ EGYPT

Prameny

• nápisy na kamenech

• papyry – Rhind ův pyrus (XV. dynastie, kolem 1560 p ř. Kr., opis

staršího spisu období 1853 až 1809 p ř. Kr.) – Moskevký papyrus (XIII. dynastie, asi 1797 až 163 4 př. Kr.,

opis staršího spisu z XII. dynastie) – Káhúnské papyry (XII. dynastie, asi 1994 až 1797 př. Kr.) – Dřevěné tabulky (XII. dynastie) – Kožený svitek (XV. dynastie, asi 1634 až 1526 p ř. Kr.) – Berlínský papyrus (XII. dynastie) – Papyrus Anastasi I (XIX. dynastie, asi 1292 až 11 86 př. Kr.)

• projevy egyptské civilizace (stavby, organizace společnosti,...)

Démotické písmo ze 3. stol. p ř. Kr. a jeho hieroglyfický p řepis

RHINDŮV (LONDÝNSKÝ) PAPYRUS

• nejrozsáhlejší a nejvýznamn ější matematický text ze starého Egypta

• opsán kolem roku 1560 p ř. Kr. písa řem Ahmosem z materiálu pocházejícího z doby vlády Amenemheta I II. (asi 1853 až 1809)

• nalezen v Thébách (oblast dnešního Luxoru) v pol. 1 9. stol.

• při výrob ě slepen ze 14 list ů, po nálezu roz říznut na dv ě části: 319 x 33 cm, 206 x 33 cm

• 1858 jej koupil Alexander Henry Rhind (1833 – 1863)

• dnes uložen v Britském muzeu v Londýn ě

• 87 úloh s návody a řešeními, tabulka 2/n

Část Rhindova papyru

Skupiny úloh v Rhindov ě papyru:

• úlohy na výpo čet objemu sýpek

• úlohy na výpo čet obsah ů polí

• úlohy týkající se pyramid

• úlohy na objemy tekutin a d ělení chleb ů

• úlohy týkající se krmiva pro zví řata

Existence samostatných matematických textů svědčí o tom, že již v době XII. dynastie (asi 1994 – 1797 př. Kr.) byla ve starém Egyptě matematika konstituována jako samostatná disciplína zahrnující počítání s přirozenými čísly a zlomky, hledání neznámého množství, výpočty obsahů rovinných útvarů a objemů těles, výpočty velikostí úhlů, délek atd.

Začátek Rhindova papyru

MOSKEVSKÝ (GOLENIŠČEVŮV) PAPYRUS

• 1893 jej získal egyptolog V. S. Goleniš čev (1856 – 1947)

• 1912 věnován Puškinov ě muzeu krásných um ění v Moskv ě

• papyrus, který byl po odstran ění původního textu použit znovu (p ůvodní text znatelný, ale ne čitelný)

• nový text opisem staršího textu z XII. dynastie, op sán patrn ě v dob ě XIII. dynastie (asi 1797 až 1634)

• 25 příkladů

• bez tematického uspo řádání (snad u čební pom ůcka či test znalostí)

Rossetská deska

• nalezena 1799 u Rossety nedaleko Alexandrie napoleonskými vojsky bojujícími v Egypt ě

• 114 x 72 x 30 cm, 762 kg

• dnes v Britském muzeu

• umožnila dešifrování egyptských hieroglyf ů

• popsána popsána t řemi písmy: - egyptské hieroglyfy - egyptské démotické p. - kónická řečtina (Helénské období, cca 323 – 31 př. n. l.)

Kožený svitek

– nalezen spolu s Rhindovým papyrem, dnes v Britském muzeu

– z doby XV. dynastie, 44 x 26 xm, tabulka 26 sou čtů kmenných zlomk ů

ARITMETIKA

ZÁPIS ČÍSEL

NEPOZIČNÍ DESÍTKOVÁ SOUSTAVA

Egyptské hieroglyfy (3. tisíciletí p ř. Kr.):

1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

měřicí hůl

kraví pouta

měřicí provazec

květ lotosu

ukazovák

pulec

klečící postava (bůh vzduchu

a prostoru)

Zápis čísel pomocí hieroglyf ů

���� Příklad:

���� Příklad:

Sčítání a od čítání

Násobení:

Postupné zdvojnásobování a se čtení vhodných násobk ů:

���� Příklad:

krát

\

\

\

_______________________________

���� Příklad:

krát

\ 1 15

2 30

\ 4 60

\ 8 120 ––––––––––– 195

\

\

\

_______________________________

���� Příklad:

děleno

1 80

\ 10 800

2 160

\ 4 320 ––––––––––––– 1 120

\

\ _______________________________

ZLOMKY A SMÍŠENÁ ČÍSLA

Tabulka 2/ n - začátek (Káhúnský papyrus)

• Problémy vedoucí na aritmetickou posloupnost ���� Příklad: Je t řeba rozd ělit 10 m ěřic je čmene mezi 10 muž ů

tak, aby m ěl druhý o 1/8 více než první, t řetí o 1/8 více než druhý atd.

Představa aritmetické posloupnosti

Součet: 10a = 10 ⇒⇒⇒⇒ a = 1; d = 1/16 • Problémy vedoucí na geometickou posloupnost ���� Příklad: Je 7 dom ů, v každém dom ě 7 koček, každá ko čka

sežere 7 myší, každá myš sežere 7 klas ů pšenice, z každého klasu by bylo 7 m ěřic zrna. Kolik je všeho dohromady?

GEOMETRIE • Obsah čtverce, obdélníka, trojúhelníka, lichob ěžníka • Obsah čtyřúhelníka

• Obsah kruhu

• Objem krychle, kvádru, válce (obilnice) • Objem čtyřbokého komolého jehlanu se čtvercovou podstavou V dnešní symbolice:

OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Egypt, 2. pol. 2. tisíciletí p ř. Kr. Obdélník

• základní tvar pole

• co je t řeba zjistit:

� množství zasévaného obilí � rozloha kvůli dani Ramses II. (1279 – 1213 p ř. Kr.) rozdělil půdu mezi Egypťany tak, že každý obdržel pole čtyřúhelníkového tvaru a stejného obsahu. Z jeho výnosu odváděl každoročně faraónovi daně. Jestliže někomu byla část pole odplavena při nilských záplavách, bylo jeho povinností oznámit to faraónovi, který poslal zeměměřiče, aby škodu zjistili a podle zbylé výměry i správně určili novou daň.

(Hérodotos, 5. stol. p ř. Kr.)

Pruhová míra

obsah pole = počet vyoraných pruhů x délka pruhu

Další míry: čtvereční královský loket secat-johet = 10 000 čtverečních královských loktů (100 vyoraných pruhů)

Trojúhelník Obsah trojúhelníka ==== součin poloviny základny a výšky

převod na rovnoplochý obdélník

Lichob ěžník Obsah trojúhelníka ==== součin poloviny základny a výšky

převod na rovnoplochý obdélník

Obecný čtyřúhelník Přibližný vzorec:

Kruh

Kruh

V dnešní symbolice pro kruh o průměru d:

( ) ( )2 221 8 64

9 9 81S d d d d= − ⋅ = ⋅ = ⋅

Slovní popis

Rhindův papyrus (1560 př. Kr.), příklad č. 50:

Metoda výpočtu [obsahu] kruhové plochy

Jaký je obsah plochy? Odečti 1/9 z toho, je to 1, zbytek je 8. Počítej s 8 osmkrát, vyjde 64. Toto je obsah v ploše: 64 secat-johet.

Srovnání s naším vzorcem:

2 21 64 264, tj. 3,1605.

4 81 81d dπ π⋅ = ⋅ = =&

( ) ( )2 221 8 64

9 9 81S d d d d= − ⋅ = ⋅ = ⋅

Odhad obsahu kruhu:

2 218 68 256 16− = =

čtverečků o straně 1

18 d⋅

– to odpovídá čtverci o straně

( )16 8 118 9 9

d d d d⋅ = ⋅ = − ⋅

(výklad odpovídá hojnému využívání čtvercové sítě při projektování egyptských staveb, soch, reliéfů, malířské výzdoby apod.)

OBJEMY A POVRCHY TĚLES

Krychle, kvádr, hranol

Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem byli egyptští počtáři schopni počítat i objem kvádru.

Válec

Objem válce byl ve starém Egyptě počítán obvyklým způsobem jako součin obsahu základny a výšky, přičemž obsah kruhové základny byl počítán tak, jak jsme viděli výše. Formulace úloh byla i zde praktická – hledal se například objem obilnice či studny kruhového průřezu.

Jehlan

Rhindův papyrus obsahuje několik úloh, v nichž je počítán například sklon stěny pyramidy o čtvercové základně, kde je známa délka strany základny a výška, či výška pyramidy s danou čtvercovou základnou a se známým sklonem stěny.

Jehlan

Moskevský papyrus obsahuje velice zajímavou úlohu na výpočet objemu pravidelné komolé pyramidy, tedy pravidelného kolmého komolého jehlanu . Slovní popis řešení této úlohy můžeme v dnešní symbolice vyjádřit vzorcem, který je zcela správný:

( )2 2

3hV a ab b= ⋅ + + ,

kde a je délka strany dolní čtvercové základny, b je délka strany horní čtvercové základny a h je výška pyramidy.

Možný postup:

(((( )))) hbaba31

hb2

ba21

4h2

ba31

4hbV 222

2 ⋅⋅⋅⋅++++++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

– didakticky názorné, z historického hlediska problematické: nemáme žádný doklad o tom, že by Egypťané používali matematickou symboliku a prováděli algebraické úpravy (i když někteří badatelé provádění algebraických úprav připouštějí)

Jiné možné odvození: Uvažujme tři takovéto komolé jehlany, první ponechejme celý a druhé dva si představme rozložené na výše uvedená tělesa. K prvnímu komolému jehlanu přidejme čtyři trojboké hranoly (na obrázku modře) odebrané od druhého jehlanu a osm jehlanů odebraných od druhého a třetího jehlanu (na obrázku červeně).

Dohromady: hranol s podstavnou hranou a a výškou h

Z druhého komolého jehlanu zbude hranol s podstavnou hranou b a výškou h, který má objem 2b h . Třetí komolý jehlan s odebranými „rohy“ přeskládáme tak, že vznikne kvádr s délkami stran a, b, h:

Tato tři tělesa mají dohromady objem ( )2 2h a ab b⋅ + + , objem jednoho komolého

jehlanu je proto

( )2 2

3hV a ab b= ⋅ + +

Ve výše uvedených úvahách jsme využívali poznatek, že

objem jehlanu (v tomto případě pravoúhlého) je roven jedné t řetině hranolu se stejnou podstavou a výškou.

Je pravděpodobné, že tento poznatek staří Egypťané znali – ať již na základě měření či úvah o „rozřezávání“ hranolu. ¨

Snadno si představíme, že krychli lze rozdělit na tři shodné jehlany:

U kvádru je to o něco složitější; nelze jej rozložit na tři shodné jehlany, je však možné jej rozdělit na tři pravoúhlé jehlany, které mají stejný objem (mezi délkami stran podstavy a výškou jsou vždy všechny tři hodnoty a, b, c).

Podle dochovaných pramenů byl poznatek, že objem pyramidy závisí pouze na obsahu podstavy a na výšce, zformulován až ve starém Řecku. Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat:

Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat:

Důkaz vzorce pro objem jehlanu se dochoval v 12. knize Eukleidových Základů napsaných kolem roku 300 př. n. l. Pomocí exhaustivní metody Eukleides nejprve dokázal, že dva jehlany se shodnými základnami a výškami mají stejný objem; v důsledku toho pak platí obdobné tvrzení pro jehlany o shodných mnohoúhelníkových základnách a výškách.