ÚVOD DO MATEMATICKÉ LOGIKY

transcript

ÚVOD DOÚVOD DOMATEMATICKÉ MATEMATICKÉ

LOGIKYLOGIKY

LITERATURA

Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007

Svátek J., Dostálová L.: Logika pro humanistiku.

Aleš Čeněk, Dobrá Voda 2003

Bokr J.:, Svátek J.: Základy logiky a argumentace.

Aleš Čeněk, Plzeň 2000

Jirků P.: Logika (neformální výklad základů formální logiky). VŠE, Praha 1993

Štěpán J.: Klasická logika. Vontobia, Olomouc 1992

Štěpán J.: Logika možných světů I, II, III. Vontobia, Olomouc 1994, 1997

Peregrin J.: Logika a logiky. Academia, Praha 2004

Sochor A.: Klasická matematická logika. Karolinum,

Praha 2001

Švejdar V.: Logika – neúplnost, složitost a nutnost.

Academia, Praha 2002

Weinberger O.: Základy právní logiky. MV-Brno 1993

Knapp V., Gerloch A.: Logika v právním myšlení. Eurolex, Praha 2000

Popper K.: Logika vědeckého zkoumání. Praha 1997

abstraktní myšlení

předmětné myšlení

deskripce

Praxe – reálná materiální činnost

Logika

Teorie vědy Metodologie vědy

historie vědy filozofie vědy

Klasifikace vědT.G.Masaryk – Konkrétní logika

Teoretické Aplikovanépraktické

Abstraktní Konkrétní užitné . . . . . .Aritmetika Geometrie

Zeměměřičství

Logika

Co je metodologie?

teorie metod (poznání, vědeckého poznání)

nikoliv: popis metody

teorie „jedné˝ metody

METODA = způsob jak získávat poznatky

NIKOLIV: návod

Základ metodologie:

LOGIKA:

- zpřesňuje- zajišťuje jednoznačnost- zajišťuje transparentnost- zajišťuje rozumovou evidenci

Předmět logiky:

správné usuzování

Usuzování:získávání jedněch poznatků z

jiných (výchozích) „jen˝ pomocí „myšlení˝

Zájem logiky:

správné a přesné konstrukce pojmů, správnou výstavbu výroků a tvrzení, spojování

jednoduchých výroků a tvrzení ve složitější, zjišťování obecných podmínek správného

usuzování atd.

Vzpomínka na množiny 1

Množina = libovolný soubor objektů, předmětů nebo jevů splňující dvě podmínky:

a) existuje efektivní procedura umožňující o libovolném předmětu jednoznačně rozhodnout, zda do daného souboru patří či nikoliv

b) lze vždy efektivně rozlišit jeden objekt od jiného, patřícího do téhož souboru

Prvek množiny =

objekt, předmět či jev, který do daného souboru (množiny) patří

Podmnožina

Množina M2 je podmnožinou množiny M1 tehdy a jedině tehdy, jestliže každý prvek množiny M2

je současně prvkem množiny M1

Tento vztah značíme:M2 M1

Ekvivalence množin

Je-li množina M2 podmnožinou M1 a současně M1 je podmnožinou M2, jsou množiny M2 a M1

ekvivalentní

Tento vztah značíme

α) Každá množina je sama svou podmnožinou

β ) Prázdná množina je podmnožinou každé množiny

Obor úvahy:

množina, u níž je vždy ji nutno vymezit „s dostatečnou přesností˝ co do ní patří. To

znamená, musí vždy a v každém případě (na daném stupni poznání) být k dispozici

efektivní postup, umožňující rozhodnout o každé věci, problému atd., zda do našeho

„oboru úvahy˝ patří či nikoliv.

obecná jména vlastní jména

General Name Individual Name

Obecná jména jsou zpravidla jména skupin předmětů, objektů, jevů atd., určených nějakou skutečností (kvalitou, tvarem, obecnou vlastností). Na tyto skupiny předmětů budeme mít při našem zjednodušeném přístupu jednu jedinou podmínku.

U každého libovolného předmětu či objektu musí existovat za každých okolností finitní (konečná) procedura, umožňující jednoznačně rozhodnout zda daný objekt (předmět) do daného „oboru úvahy˝ patří či nikoliv.

Vlastní jméno:

Název prvku (objektu), oboru úvahy, který je označován vlastním jménem, a který budeme nazývat denotátem (designátem) vlastního

jména

Dva navzájem různé objekty (prvky oboru úvahy) nemohou mít nikdy jedno a

totéž vlastní jméno

(z1) Každé vlastní jméno může mít nejvýše jeden denotát (designát)

(z2) Každý denotát (designát) může mít více vlastních jmen

Smysl nelze definovat, jen „ilustrovat˝ na

dostatečném množství příkladů

„význam˝ získáme spojením denotátu (designátu)

vlastního jména a jeho smyslu

Smysl = Sens = Sinn, Význam = Meaning =

Bedeutung

Vlastní jméno

označení(denotace) vyjádření

koncept

Denotát(designát) význam Smysl

„Porozumět˝ vlastnímu jménu znamená znát

alespoň jeden jeho smysl

Abychom (elementárně) porozuměli jazyku,

nemusíme v zásadě vědět nic o denotátech

(designátech) vlastních jmen, která

obsahuje, stačí znát pouze jejich smysl

(u každého jména aspoň jeden)

Obecná jména označují celé soubory objektů či

předmětů

V případě, že soubor objektů (prvků),

označených obecným jménem, je konečný,

lze jej vymezit uvedením úplného výčtu

jmen (vlastních), označujících jednotlivé

objekty (prvky), které lze pod daný obecný

pojem zařadit

Pojmenovat určitou vlastnost názvem,

předpokládá existenci přesného objektivního

vymezení toho, co pod toto jméno můžeme

zahrnout

Vždy musí existovat procedura (operace,

soubor operací), umožňující přesně označenou

či pojmenovanou vlastnost jednoznačně

identifikovat

Jako názvy vlastností (event. vztahů) budeme

používat pouze takových, které na daném

oboru úvahu vymezují nějakou (libovolnou)

neprázdnou podmnožinu

Individuální konstanta

(v1) Za individuální „konstanty˝ budeme považovat vlastní jména, jejichž denotát (designát) reálně existuje. Budeme je symbolicky značit

písmeny „a˝, „b˝, „c˝, ... „a1˝, „b1˝, „c1˝, ... „an˝, „bn˝, „cn˝

(v2) Individuální proměnná je proměnná jejímž oborem proměnnosti jsou všechny individuální konstanty

k označení použijeme symbolů „x˝, „y˝, „z˝... „xn˝, „yn˝, „zn˝

(v3) Za výrok lze považovat výraz, který individuální konstantně (přesněji jejímu denotátu, designátu) připisuje nějakou vlastnost, nebo popírá, že ji

daná individuální konstanta (její denotát, designát) má

Symbolicky pak lze vyjádřit výrok s použitím

symbolů „aP˝, „Pa˝. Tento způsob zápisu pak

budeme označovat jako „standardní˝

Výrok, který konstatuje, že jedné individuální

konstantě náleží právě jedna vlastnost (nebo jí

nenáleží), budeme nazývat „elementárním

výrokem˝

(v4) Nahradíme-li v elementárním výroku

individuální konstantu za individuální

proměnnou, k jejímuž oboru proměnnosti

daná individuální konstanta patří, získáme

elementární výrokovou formu

(v5) Výroková proměnná je proměnná, jejímž oborem proměnnosti je množina

všech výroků a výrokových forem.

K symbolickému zápisu výrokových proměnných budeme používat symbolů:

p,q,r, s, p1, q1, r1, s1, ...pn, qn, rn, sn

JAZYKY

přirozenéčeština, angličtina

pseudo-přirozenéesperanto

umělé(formalizované)

přirozené - napřed „jazyk˝, pak pravidla

komunikace

pseudo-přirozené - napřed pravidla, pak jazyk

umělé – přesnost

jednoznačnost

přesná pravidla ale! v přirozeném jazyce

jazyk „objekt˝ o něm „uvažujeme˝

„metajazyk˝

v něm uvažujeme o jazyku „objektu˝

K formalizovanému jazyku můžeme přistupovat přibližně ve třech

základních rovinách: syntaktické, sémantické a pragmatické

SYNTAX

V syntaktické rovině chápeme jazyk jako soubor symbolů a pravidel, jak z těchto

symbolů tvořit složitější výrazy

Na symboly máme ze syntaktického hlediska dva základní požadavky:

1) Jeden a tentýž symbol musíme zaznamenat vždy jedním a tímtéž grafickým způsobem

2) Grafický záznam symbolů musí být volen tak, aby symboly byly od sebe vždy dobře rozlišitelné

V sémantické rovině klademe důraz na denotáty (designáty), smysl, význam

symbolů a výrazů, které se ve formalizovaném jazyce vyskytují

„extenzionální sémantika˝

„intenzionální sémantika˝

„slovník˝

vypíšeme seznam všech symbolů

„primitivními symboly˝

Primitivní symboly budeme považovat za dále nedělitelné, a to ve dvojím smyslu:

1) V jazyce nelze nikdy používat jejich částí

2) Každá konečná lineární posloupnost těchto symbolů může být nahlížena jako posloupnost pouze jedním jediným způsobem

Libovolnou konečnou posloupnost

primitivních symbolů budeme nazývat

formulí našeho jazyka

Důkazem se nazývá konečná posloupnost správně utvořených formulí tehdy a jedině tehdy, jestliže každá správně utvořená formule v této posloupnosti je:

(i) axiomem, nebo

(ii) vyplývá podle některého z pravidel nebo podle více pravidel odvozování z axiomů nebo ze správně utvořených formulí, které ji v posloupnosti předcházejí

Teorémem v axiomatickém systému je

každá správně utvořená formule, k níž

existuje důkaz

Požadavek efektivnosti, který musí splňovat:

■ zadání primitivních symbolů - musí být efektivní v tom smyslu, že musí existovat metoda, která umožní konečným počtem kroků rozhodnout o každém symbolu, zda mezi primitivní symboly patří nebo ne

■ vymezení správně utvořené formule - musí být efektivní v tom smyslu, že o každé formuli lze konečným počtem jeho aplikací rozhodnout, zda je správně utvořená či nikoliv

■ zadání axiomů - musí být efektivní v tom smyslu, že o každé formuli lze na

jeho základě rozhodnout, zda je axiomem či nikoliv

Zpravidla bývají axiomy explicitně vyjmenovány (vypsány), proto se

požaduje, aby jich byl vždy konečný a velmi malý počet

■ pravidla odvozování - musí být efektivní v tom smyslu, že lze na základě jejich zadání vždy rozhodnout, zda nějaká formule, jako závěr, vyplývá z jiných formulí, jako premis

Primitivními symboly jazyka „Lo˝ budou:

1)p, q, r, s, ... pn, qn, rn, sn,

2) ‑, , , , ,

3) , ,

Formule Lo

Libovolná konečná posloupnost symbolů jazyka Lo je

formulí Lo

SUF Lo

■ kterýkoliv ze symbolů skupiny 1), stojící sám o sobě, je SUF Lo

_■ je-li „p˝ SUF Lo, pak i „p˝ je SUF Lo

■ jsou-li „p˝ a „q˝ SUF, pak i (p q), (p q), (p q) a (p q) jsou SUF

■ nic jiného, než to, co bylo uvedeno v bodech 1, - 3, této definice, již není SUF

Logické spojky:

Symbol „-˝ označuje negaci

Symboly , , , označují postupně spojky nazvané „konjunkce˝ „disjunkce˝„implikace˝ a „ekvivalence˝. Ve všech případech jde o logické spojky (funktory) binární

„negace˝

v přirozeném jazyce odpovídající vyjádření slovy „ne˝,

„neplatí˝, „není pravda, že˝

konjunkce

českou spojkou „a˝

disjunkce

vyjádřit spojkou „nebo˝

implikace

výrazem „z p plyne q˝

ekvivalence

„tehdy a jedině tehdy, když ˝

Tabulka č. 1

pp ff11 ff22 ff33 ff44

00 00 11 11

11 00 11 00 11

pp qq FF11 FF22 FF33 FF44 FF55 FF66 FF77 FF88 FF99 FF10 FF1111 FF12 FF13

FF1144

FF1155

FF1166

00 00 00 00 00 00 11 00 00 00 11 11 11 00 11 11 11 11

00 11 00 00 00 11 00 00 11 11 00 00 11 11 00 11 11 11

11 00 00 00 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 11 00 11 11

11 11 00 11 00 00 00 11 11 00 11 00 00 11 11 11 00 11

Tabulka č. 2

(i) Každá SUF je sama svou podformulí

(ii) Máme-li nějakou SUF „C˝, která má tvar B, pak obsahuje právě dvě podformule „C˝ a „B˝

(iii) Máme-li nějakou SUF výr. logiky „C˝, která má některý z následujících tvarů: A B, A B, A B a A B, pak má právě tyto podformule „A˝, „B˝ a „C˝

(iv) Nic jiného než to, co bylo uvedeno v bodech (i) - (iii) tohoto vymezení, není již podformulí SUF výrokové logiky

p q (p q)0 0 00 1 01 0 01 1 1

p q (p q)0 0 00 1 11 0 11 1 1

p q (p q)0 0 10 1 11 0 01 1 1

p q p q 0 0 10 1 01 0 01 1 1

p q (p q) (p q)0 0 0 1 00 1 1 0 01 0 1 0 01 1 1 1 1

p q r p q r q)

0 0 0 1 0 00 0 1 1 1 10 1 0 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 0 1 01 0 1 0 1 11 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1

Takovou SUF, která nabývá výsledného

ohodnocení „1˝ pro všechny distribuce hodnot

výrokovým proměnným, které obsahuje,

nazýváme „vždy pravdivou formulí výrokové

logiky

Formule, které nabývají hodnoty „0˝ pro

všechny distribuce hodnot svým proměnným,

budeme označovat jako „vždy nepravdivé˝

Symbol „0˝, „1˝ budeme dále nazývat

pravdivostními hodnotami

n(i) Pr = 2 ,

kde „Pr˝ označuje počet řádků, a „n˝ počet

navzájem různých výrokových proměnných

Počet „n-arních˝ logických spojek lze stanovit podle vztahu

Pf = 2

kde „Pf je počet „n-arních˝ log. spojek a „n˝ je

počet navzájem různých výrokových proměnných

n(2 ))

( zi ) Každou obecně „n-ární˝ logickou spojku lze

vyjádřit pomocí závorek a vhodně volené, konečné

posloupnosti unárních a binárních log. spojek

Způsob „uzávorkování˝ podformulí a jejich

„spojování˝ pomocí negace a binárních spojek pak

označujeme termínem „struktura SUF˝

Za „elementární˝ formuli budeme označovat formuli, která již žádnou

logickou strukturu nemá

Každou SUF, která má strukturu, lze rozložit na její podformule

Logickou spojku (funktor), spojující dvě největší podformule, dané SUF,

budeme nazývat „hlavní log. spojkou (funktorem) formule˝

FUNKČNÍ ÚPLNOST

Všechny binární (a tím i unární) log. spojky lze

vyjádřit nezávisle na sobě pomocí následujících

dvojic spojek , , a ,

Systém log. spojek, kterými lze vyjádřit

všechny binární (a unární) log. spojky

budeme nazývat funkčně úplným

systémem (spojek) výrokové logiky

Dvojice log. spojek -, F3, -, F4 a -, F13

tvoří funkčně úplné systémy výrokové logiky

Každá z logických spojek F5 a F15 sama o

sobě tvoří funkčně úplný systém výrokové

logiky. Každý z těchto systémů je

minimálním funkčně úplným systémem

výrokové logiky.

„Vždy pravdivé formule˝

nazýváme je

„tautologie˝ a jejich množina je spočetně

nekonečná a budeme ji značit symbolem T

Zákon vyloučení třetího:

buď platí výrok nebo

jeho negace, symbolicky:

(1) p p

„Zákon nepřípustnosti sporu˝

Říká nám, že současně nemůže platit výrok

a jeho negace, symbolicky

(2) ( p p )

Zákon „dvojité negace˝

Negujeme-li již jednou negovaný výrok, je pravdivostní hodnota takto vzniklého

výroku stejná jako původního výroku symbolicky

=(3) ( p p)

Komutativní zákon pro konjunkci

dovoluje zaměnit ve formuli, kde jedinou binární spojkou je konjunkce, pořadí

podformulí

( p q) ( q p)

Komutativní zákon pro disjunkci

( p q ) ( q p )

Asociativní zákon pro konjunkci

Umožňuje nám ve formulích, kde jedinými binárními spojkami jsou

konjunkce, nepřihlížet k uzávorkování

p (q r ) ( p q ) r

Asociativní zákon pro disjunkci

p q r ) ( p q ) r

Distributivní zákon pro konjunkci vzhledem k disjunkci

p ( q r ) ( p q ) ( p r )

Distributivní zákonpro disjunkci vzhledem ke konjunkci

p ( q r ) ( p q) ( p r )

De Morganovy zákony pro disjunkci a konjunkci

( p q ) ( p q )

(p q ) ( p q )

( p q ) ( p q )

„Tranzitivita˝ implikace

plyne-li z výroku „p˝ výrok „q˝ a současně z výroku „q˝ plyne výrok „r˝, pak výrok „r˝ plyne rovněž (přímo) z

výroku „p˝

p q) (q r) p r)

(p q) ( q r ) (p r )

„Transpozice pro implikaci˝

obrátíme-li pořadí podformulí v implikaci a současně obě podformule

negujeme, výsledná pravdivostní hodnota formule se nemění

(pq) (q p)

AXIOMATIZACE

Základní charakteristiky

Pravidla odvozování

Teorem

Důkaz

Axiom je „vždy pravdivou˝ SUF

Platí, že

A T , kde A značí množinu všech (zvolených) axiomů

Pravidla odvozování

Jsou to pravidla, která nám zaručují, že v případě, kdy jsou pravdivé (platné)

výchozí formule (nazýváme je premisami), pak jsou pravdivé i

formule, které z nich získáme pomocí těchto pravidel odvozování.

Odvozené formule nazýváme závěry nebo konkluze

Pravidlo „dosazení˝

Dosadíme-li za libovolnou výrokovou proměnnou ve vždy pravdivé formuli

výr. logiky jinou výr. proměnnou nebo SUF výr. logiky, a to vždy na všech místech jejího výskytu současně,

získáme opět vždy pravdivou formuli výr. logiky.

Pravidlo „odloučení˝„Modus ponens˝

Máme-li nějakou SUF tvaru (A B), která je vždy pravdivá, a je-li současně

pravdivá i formule „A˝, pak je nutně pravdivá i formule „B˝

Symbolicky můžeme toto pravidlo zapsat:

(A B), A

Jiná „verze˝

(A B), A

Pravidlo zvané „Modus tolens˝

( A B ), B A

Každý teorém musí být tautologií

kde T je množina všech teorémů

Pojem struktury formule

Strukturou formule rozumíme uspořádanou posloupnost symbolů

skupin 2) a 3) našeho zadání symbolů jazyka, která vyhovuje podmínce, že všechny podformule jsou SUF a jsou

spojeny ve vyšší formule log. spojkami podle vymezení formule bodu 2)

Formuli, která neobsahuje žádnou binární

(nebo vyšší) výrokovou spojku, nazýváme

elementární formulí

(ax. 1)

(1) p ( q p )

(2) p q r p q ) ( p r )

(3) ( p q ) ( p q )

(4) ( p q ) ( q p )

(5) ( p q ) ( q p ) (p q )

(6) p q ( q p )

(7) ( p q ) ( p p )

(8) ( p ( p q )

(9) p q ) p

(10) ( p q p q ) )

(11) p r ) ( q r) ( p q ) r

(12) ( p (q q ) p

(13) ( p p)q

(14) p p

Dva axiomatické systémy jsou navzájem ekvivalentní, mají-li stejné soubory teorémů, které v nich lze odvodit

Budeme značit soubor teorémů „Cnq (ax. t), kde „t˝ značí číslo daného

axiomatického systému

Cnq (ax 1) Cnq (ax 2)

1) ( p / q / r) ) / (( p1 / ( p1 / p1 ) ) / (( s / q) / (p / s) / (p / s) )

( A / ( B / C ) ),AC

„Nezávislost˝ axiomů

Libovolný axiom „A˝ nějakého axiomatického systému „S˝ je nezávislý, není-li teorémem v

axiomatickém systému, který získáme ze systému S vynecháním axiomu A, a po připojení jeho negace, tedy formule „ Ā˝, k takto zúženému axiomatickému

systému získáme opět bezesporný axiomatický systém

„Bezespornost˝

Libovolný systém axiomů (teorie) je bezesporný, jestliže v něm není

odvoditelná nějaká formule a současně její negace

Systém je absolutně bezesporný, jestliže v něm existuje nějaká správně

utvořená formule, která není teorémem

Úplnost

Systém je úplný v absolutním smyslu, jestliže pro libovolnou formuli B platí, že

je buď teorémem nebo že po jejím připojení k danému systému jako

teorému se tento systém stane sporným v absolutním smyslu

Systém je úplný, jestliže každý jeho teorém

je tautalogií a každá tautalogie (vztahující

se k danému systému nebo teorii) je v

daném systému teorémem

(i) T T

V predikátové logice

elementární výrok „Pa˝

výroková forma „Px˝

Jazyk „L1“

1) a, b, c,... an, bn, cn,

2) x, y, z, ... xn, yn, zn,

3) P, Q, R, S, ... Pn, Qn, Rn, Sn

4) , , , ,

5) V, ,

6) , , ,

Libovolnou konečnou posloupnost symbolů skupiny 1) - 6) budeme považovat za formuli

(1)Výrazy „Pa˝ a „Px˝ jsou SUF predikátové logiky

(2) Je-li nějaký výraz „A˝ SUF, pak i výraz „Ā˝ je SUF

(3) Jsou-li výrazy „A˝ a „B˝ SUF predikátové logiky pak i výrazy „A B˝, „A B˝, A B, A B, jsou SUF

(4) Je-li nějaký výraz A SUF pak i výrazy „V A“ a „ A˝ a jsou SUF

(5) Nic jiného než to co bylo uvedeno v tomto vymezení za 1) - 4) již není SUF predikátové logiky

Nyní si nazveme jednotlivé symboly

Symboly skupiny 1) jsou individuální konstantySymboly skupiny 2) jsou individuální proměnnéSymboly skupiny 3) jsou konstanty (názvy) predikátůSymboly skupiny 4) jsou nám již známé logické spojkySymboly skupiny 5) nazveme postupně obecný (velký) kvantifikátor, existenční (malý) kvantifikátor Obecný kvantifikátor můžeme vyjádřit slovy „pro všechny ... ... platí, že ...˝Existenční kvantifikátor můžeme vyjádřit slovy: „existuje takové ... ... , že…˝Skupinu symbolů 6) pak tvoří naše známé pomocné symboly, závorky

Proměnnou

stojící bezprostředně u znaku kvantifikátoru,

stejně jako proměnnou, stojící

bezprostředně u ní, budeme nazývat

kvantifikovanou proměnnou

Formule, která stojí bezprostředně za

poslední kvantifikovanou proměnnou, se

označuje termínem

„pole působnosti kvantifikátoru˝

Kvantifikovaná proměnná, která se nachází v

poli působnosti kvantifikátoru, se nazývá

„vázanou˝ proměnnou

Proměnná, která není vázanou, se nazývá

„volnou˝

Formule, která neobsahuje žádnou volnou

proměnnou, se nazývá

„uzavřenou formulí˝

Formule, která obsahuje aspoň jednu volnou

proměnnou se nazývá

„otevřenou formulí˝

a) V...( Vx ( A B) ( VxA Vx B ) )b) V...( VxAx Ax )c) V... VxyA VyxAd) V... ( Vxy VxA ) y/x tj. za y

dosadíme na všech místech jejího výskytu xe) V... ( A VxA )f) V... Vx ( A B ) ( xA xB ) )g) V...( Ax xAx )h) V...( xyA yxA )i) V...( xA xyA )j) V...( xA A )

Místo Vx Vy … Vxn Vyn budeme psát Vx,y … xn,xn

Místo x y … xn yn budeme psát x, y … xn, yn

pravidlo dodání „obecného kvantifikátoru˝

vzájemný vztah mezi kvantifikátory

VxPx xPx

VxPx Pa

Pa xPx

De Morganovy zákony pro kvantifikátory

_ _ i) Vx Px x Px iii) x Px Vx Px

_ _ ii) Vx Px x Px iv) x Px Vx Px

Formule bude splnitelná

existuje-li aspoň jedno

udělení hodnot jejím podformulím, při němž

nabývá výsledného ohodnocení „1˝

Formule je vyvratitelná

existuje-li alespoň jedno udílení (distribuce)

hodnot jejím podformulím, při němž nabývá

výsledného ohodnocení „0˝

čtyři typy základních soudů

obecné kladné „A˝

obecné záporné „E˝

částečné kladné „I˝

částečné záporné „0˝

obecný kladný „VxPx˝

obecný záporný „VxPx˝

částečný kladný „xPx˝

částečný záporný „xPx˝

kontrárnost protiva

A E kontradikce

podřízenost podřízenost

subalternost protikladnost subalternost

I Opodprotiva

subkontrárnost

Hypotéza

Musí akceptovat obecně dosažený stupeň poznání v dané oblasti. Nemůže být v rozporu s vědecky

prokázanou a potvrzenou strukturou daného oboru a jeho základními

principy. (Pokud svým zaměřením nesměřuje k jejímu popření.)

Každé pravdivé tvrzení, které je v teorii obsaženo, musí být vyvoditelné ze

základních principů nebo tvrzení. Jestliže najdeme takové tvrzení, které je

evidentně pravdivé a nelze je vyvodit ze základních tvrzení (axiomů, teorémů,

postulátů), pak je daná teorie neúplná.

Teorie je aktuálně bezesporná, jestliže neobsahuje dvě nebo více vzájemně se

vylučujících tvrzení. Obsahuje-li alespoň dvě sporná tvrzení, tj. výrok a jeho

negaci, označujeme takovouto teorii za

spornou - inkonzistentní

O teorii říkáme, že je potenciálně bezesporná,

nelze-li z tvrzení, která obsahuje, vyvodit

(pomocí přípustných prostředků) spor, tj.

nějaké tvrzení současně s jeho negací

Klasickou ukázkou definice je(1) p q = dfp q

výraz = df značí „je definičně rovno˝

výraz, stojící (nalevo od) před tímto symbolem, nazýváme

„definiendum˝

výraz stojící za (napravo od) tímto symbolem nazýváme

„definiens˝

Požadavky na správnou definici

(a) V definiendu se může vyskytovat pouze jeden symbol první skupiny, a

to v nejmenším možném počtu výskytu

(b) V definiens se může vyskytovat více symbolů první skupiny, ale pouze ty, které byly zadány jako „primitivní ˝, nebo byly již dříve

zavedeny správnou definicí

(a´) V definiendu správné definice se může vyskytovat pouze jediný odborný termín, a to v nejjednodušším možném

kontextu

(b´) V definiens se mohou vyskytovat pouze ty odborné termíny, které byly zadány jako primitivní, nebo byly již

dříve zavedeny správnou definicí

(i) Správná definice musí být v každém případě souměrná, tj. rozsah

definienda musí být stejný jako rozsah definiens

V případě, že rozsah definiens je větší než definienda, nazýváme takovouto

definici „širokou˝

Je-li rozsah definiens menší než rozsah definienda, pak takovou definici

nazýváme „úzkou˝

(ii) Je nepřípustné, aby se v definies vyskytovaly nepřesné, neurčité,

metaforické, dvou- či víceznačné nebo nesrozumitelné pojmy

(iii) Definice musí vyjadřovat podstatné znaky definovaného pojmu

(iv) Definiens nesmí obsahovat pojmy vyjadřující negativní znaky, není-li pojem

obsažený v definiendu negativní

(v) V definiens nesmí být použity termíny, které byly předtím zavedeny pomocí pojmu, který je uveden v definiendu

(vi) Definiens správné definice má objasňovat význam a smysl pojmů a

nikoliv jen lexikální význam slova, který tento pojem vyjadřuje

(a) Definiendum a definiens tvoří úplnou alternativu

(b) Definiens vylučuje všechny prvky této alternativy s výjimkou těch, které jsou

obsaženy v defiendu

(c) Pojem nebo pojmy, které jsou uvedeny v definiens, nesmí být samy před tím zavedeny negativní definicí

„klasická definice˝

čtverec je čtyřúhelník pravoúhlý a rovnostranný

druh = rod + druhový rozdíl

definice „ostenzí“

rekurentní definice

definice genetické

definice korektivní

definice kontextuální

definici abstrakcí

Definice syntetické

Zavádíme jimi nový pojem nebo nový symbol pro již známý (nebo dříve definovaný) pojem nebo termín

V analytické definici

zpravidla u pojmu, který je v definiendu zavádíme v definiens další podstatné charakteristiky rozšiřující

jeho dosavadní význam

Konjunktivní a disjunktivní normální formy

Konjunkci výrokových proměnných (eventuálně výrokových proměnných s negačním pruhem) budeme nazývat

elementární konjunkcí.

Disjunkci výrokových proměnných (eventuálně výrokových proměnných s negačním pruhem) budeme nazývat

elementární disjunkcí.

Disjunktivní normální formou libovolné formule bude formule, která bude

disjunkcí elementárních konjunkcí a která bude mít stejnou pravdivostní hodnotu

jako daná formule.

Konjunktivní normální formou libovolné formule bude formule, která bude

konjunkcí elementárních disjunkcí a která bude mít stejnou pravdivostní hodnotu

jako daná formule.

Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky existuje formule, která je

s ní ekvivalentní a je disjunktivní normální formou (konjunktivní normální

formou).

Úplnou disjunktivní normální formou budeme nazývat formuli, která je disjunkcí

elementárních konjunkcí, jež jsou stejného řádu, který se rovná počtu navzájem různých

proměnných, jež se ve formuli vyskytují, a v žádné elementární konjunkci se nevyskytují

současně proměnná a tatáž proměnná s negací a přitom jsou v každé elementární konjunkci zastoupeny všechny proměnné, které se ve

formuli vyskytují.

Úplnou konjunktivní normální formou budeme nazývat formuli, která je konjunkcí

elementárních disjunkcí, jež jsou stejného řádu, který se rovná počtu navzájem různých

proměnných, jež se ve formuli vyskytují, a v žádné elementární disjunkci se nevyskytuje

současně proměnná a tatáž proměnná s negací a přitom jsou v každé elementární disjunkci zastoupeny všechny proměnné, které se ve

formuli vyskytují.

Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky, která není formulí vždy nepravdivou, existuje právě jedna úplná

disjunktivní normální forma.

Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky, která není formulí vždy

pravdivou, existuje právě jedna úplná konjunktivní normální forma.

(1) (pq) (qp) komutativní

(2) ((pq) r) (p(qr)) asociativní

(3) (pq) (qp)

(4) ((pq) r) (p(qr))

(5) (p(qr)) (pq)(pr)

(6) p(qr)) (pq) (pr)

(7) (pq) (pq)

(8) (pq) (pq)

(9) (pq) (pq)

(10) (pq) (pq)

(11) (pp) p

(12) (pp) p

(13) (p) p

(14) (p λ ) p

(15) T =

(16) F = λ

(17) (pp) λ

(18) (pp)

(19) (λ p) p

(20) (λ p) λ

(21) ( p)

(22) ( p) p

Výskyt kvantifikátoru „Vα“ nebo „α“ v libovolné formuli se nazývá „počátečním“, jestliže stojí na

počátku této formule, (t.j. nevyskytují se před ním žádné jiné

symboly této formule, včetně závorek), nebo jestli mu předcházejí

ze symbolů uvažované formule pouze znaky kvantifikátorů „Vα“ a „„α“, samozřejmě každý se svojí

kvantifikovanou proměnnou.

Výskyt kvantifikátoru „Vα“ nebo „α“ v libovolné formuli se nazývá „neúčinným“, jestliže se v jejich

„poli působnosti“ nevyskytuje žádný volný výskyt kvantifikované

proměnné, která stojí u daného kvantifikátoru. (T.j. žádný volný

výskyt proměnné „α“.) V opačném případě se takový to výskyt

kvantifikátoru „Vα“ nebo „α“ (t.j. když se v jeho poli působnosti

vyskytuje „α“ jako volná proměnná) nazývá „neprázdným“.

Def. 1.

Jestliže ve formuli „A“ jsou všechny výskyty kvantifikátoru „neprázdné“ a „počáteční“, pak říkáme, že tato

formule se nachází v „prenexní normální formě“.

„α1, α2, ... αn M“

Tvrzení 1. Ke každé formuli „A“ naší formulace predikátové logiky existuje konečná posloupnost operací, jejichž pomocí můžeme danou formuli přepracovat na formuli „A´ “, v níž budou všechny kvantifikátory počátečními. Přitom formule „A´“ je jednoznačně určená, je-li dána formule„A“.

Tvrzení 2. Ke každé formuli „A“ systému predikátové logiky lze najít odpovídající formuli „B“,která je v prenexní normální formě.

Tvrzení 3. Je-li formule „B“ prenexní normální formou

formule „A“, pak platí „/_ AB“.

Def. 2 Říkáme, že formule je ve Skolemově normální formě,jestliže je v prenexní formě, neobsahuje žádné volné individuální proměnné a její prefix má tvar: α1, α2, ..., αm, Vβ1, Vβ2,.... Vβn, kde „m ≥1“ a „n = 0“

Tvrzení 5. Jestliže „C“ je Skolemova normální forma formule „A“, pak platí „/_ A“, tehdy a jedině tehdy, jestli platí „/_C“.

Def. 5.Budeme říkat, že formule „A“ je

obecně „platná“, je-li „platná“ v libovolné neprázdné oblasti.

Def. 6.

Budeme říkat, že formule „A“ je „obecně splnitelná“, je-li

„splnitelná“ na nějaké neprázdné oblasti.

a) Formule „A“ je platná na nějaké neprázdné oblasti, tehdy a jedině tehdy, není-li na této oblasti splnitelná formule „Ā“.

a´) Formule „A“ je obecně platná pouze tehdy, není-li formule „Ā“ obecně splnitelná.

b) Formule „A“ je splnitelná na nějaké oblasti pouze tehdy, není-li na této oblasti formule „Ā“ platná.

b´) Formule „A“ je obecně splnitelná pouze tehdy, není-li formule „Ā“ obecně platná.

ÚVOD DO MATEMATICKÉ LOGIKY

Documents