ÚVOD DO TEORIE MATEMATICKÉ PRUŽNOSTI

ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY A POJMY

1. Látka, která vytváří příslušné těleso je dokonale lineárně pružné, mezi napětím

a přetvořením je lineární závislost.

2. Látka hmotného tělesa je homogenní a izotropní.

Homogenita – v každém mikroobjemu je stejná látka, která vykazuje stejné

fyzikální a chemické vlastnosti.

Izotropie – vyjadřuje skutečnost, že v kterémkoliv směru vycházejícího

z daného bodu jsou stejné fyzikálně – mechanické vlastnosti.

3. Posuny a deformace tělesa od vnějšího zatížení uvažujeme velmi malé, tj.

v matematickém přepisu je lze pokládat za infinitezimální veličiny.

Základní úloha – určit množinu posunů všech bodů tělesa, tj. určit vektorové pole

posunutí.

Na teorii pružnosti navazuje a souvisí s ní:

Teorie pevnosti – všímá si přípustných mezí napětí, které předepisuje různým

druhům materiálů z hlediska jejich kvality.

Teorie plasticity – vyšetřuje tělesa, která po svém odlehčení zůstávají trvale

zdeformovaná.

Reologie – sleduje rozvoj silových a deformačních faktorů v závislosti na čase.

Přihlíží k vlivu času na změnu fyzikálně – mechanických vlastností látek.

STAV DEFORMACE

Vnější zatížení vyvodí v poddajném tělese posuny, pootočení a deformace.

Deformace elementu se v obecném případě uskutečňuje relativními změnami

délek jeho hran a změnami pravých úhlů mezi jeho stěnami, které můžeme

zkoumat ve třech vzájemně kolmých rovinách. V rovině se jedná o změny stran

elementu o stranách dx a dy a změnu pravého úhlu mezi nimi.

Posuny a pootočení jsou charakteristikami přetvoření tělesa.

Vektor posunutí v rovině má složky

v

uu

reprezentuje vektorové pole posunutí daného tělesa v rovině.

Vektor poměrné deformace v rovině T

xyyx ,,

jehož složky x

ux

y

vy

y

u

x

vxy

kde

x , y – poměrné délkové přetvoření (prodloužení) ve směru

souřadnicových os.

Stav deformace v libovolném bodu tělesa

popisuje tenzor deformace malých deformací

yxxy poměrné úhlové přetvoření v rovině xy (změna pravého úhlu)

Těmto vztahům mezi poměrnou deformací či poměrným úhlovým zkosením a

posunutími říkáme geometrické rovnice, v rovině jsou 3.

Geometrické rovnice v maticovém zápisu uT

kde

operátorová matice

xy

y

xT

0

0

y

yx

xy

x

A

2

2

Rovnice kompatibility (spojitosti deformací)

V rovině je to rovnice, které musí vyhovovat pole deformace . Platí, že

pole deformace musí být v každém bodě tělesa spojité (kompatibilní).

0

2

2

2

2

2

zyyz

yzzy

STAV NAPJATOSTI V tělese vznikají vnitřní síly jako odezva na působení sil vnějších.

Vnější síly:

1. Objemové síly – zatížení, které působí na objem určité hmoty – např. síly

gravitační, setrvačné 3 mN

2. Povrchové síly – zatížení, které působí na plochách povrchu tělesa

2 mN

Vnější osamělou sílu definujeme jako výslednici sil působících na elementární

plochu A. Vnitřní síly působí na elementárních ploškách tělesa

A

F

A

0lim 2mN

– vektor napětí v bodě P

n

kde

n – normálová složka vektoru napětí

- tečná složka vektoru napětí (tangenciální složka)

Tenzor napětí A popisuje stav napjatosti v daném bodě.

yyx

xyxA

P

F

n

A

Cauchyho statické rovnice rovnováhy Statické rovnice rovnováhy vycházejí

z podmínek spojitosti změn ve složkách

napětí.

Součtové podmínky rovnováhy

elementárního rovinného elementu

0

X

yx

yxx

0

Y

y

y

x

xy

Nebo v maticovém zápisu

0 X

Věta o vzájemnosti tečných napětí

Z momentové podmínky k těžišti elementárního elementu lze odvodit podmínky

vyjadřující větu o vzájemnosti tečných napětí.

y

x

y

dyy

yy

x

dxx

xx

xy

yx

dxx

xyxy

dyy

yxyx

02222

dydxdy

y

dydx

dxdydx

x

dxdy

yx

yxyx

xy

xyxy

022

2222

dydxdy

y

dydx

dydx

dxdydx

x

dxdy

dxdy

yx

yx

yx

xy

xyxy

0 dydxdydx yxxy yxxy

FYZIKÁLNÍ ROVNICE Do počtu rovnic se musí přidat podmínky, které vyjadřují závislost mezi

napětím a přetvořeními a jsou vázány na konkrétní fyzikálně-mechanické

vlastnosti reálných těles.

Vyjadřují vztah mezi složkami tenzoru napětí a tenzoru deformace

yxxE

1

xyyE

1

G

xy

xy

kde

E – modul pružnosti (Youngův modul) [Nm-2]

G – modul pružnosti ve smyku

12

EG

m

mEG

12

- Poissonova číslo (součinitel) a

1m - Poissonova konstanta,

resp. součinitel příčné konstrukce

DVOUROZMĚRNÝ PROBLÉM

Většina prvků má charakteristický tvar s jedním či dvěma převládajícími

rozměry.

Pruty – převládá délka nad průřezovými rozměry, jednosměrný konstrukční prvek.

Dvourozměrné konstrukční útvary se vyznačují dvěma převládajícími rozměry

oproti třetímu, kterým je obvykle tloušťka.

Střednicová plocha, která půlí vzdálenost mezi dvěmi paralelními povrchy může být:

1) Rovinná

a) nosné stěny

jsou zatíženy silami působícími výhradně ve střednicové rovině

b) desky

jsou zatíženy kolmo ke střednicové rovině

2) Zakřivená

skořepiny

y z

x

h

l1

l2

pz

y

z

x h

l1

l2

py

Stěna – střednicová rovina vyznačena

čerchovaně

Deska – střednicová rovina vyznačena

čerchovaně

Skořepina - tenkostěnný

útvar se zakřivenou

střednicovou plochou

h

p

Dvojrozměrné úlohy Dvojrozměrná úloha je v těchto případech:

1) analýza plošných konstrukcí

Zvláštnost plošných konstrukcí vyplývá z jejich tenkostěnnosti,

2) zvláštní typ symetrie prostorových konstrukcí

Zvláštnost dána symetrií tvaru a zatížení.

Proto bude charakter napjatosti a deformace u obou typů konstrukce různý.

- 2 rozměry jsou konečné,

- rozměr ve směru osy

z je nekonečný

- kterákoliv rovina rovnoběžná

se souřadnicovou rovinou x, y

je rovinou souměrnosti

y

x

z

- ∞

+ ∞

px

Vezmeme-li v úvahu stěnu, která nemá zatíženy povrchy 2

hz bude platit:

0zyzxz

Uvnitř stěny tyto složky nabývají nenulových hodnot. Protože jsou spojité i

jejich derivace, nebudou se uvedené složky napětí příliš lišit od nuly a budou

výrazně menší než zbývající složky tenzoru napětí yxyx ,, a proto mohou být

zanedbány.

Věta 1 Stav napětí při němž se tenzor napětí redukuje na 3 složky ( yxyx

,,

orientované v rovině xy) nazveme rovinnou napjatostí.

Pro plošné konstrukce je charakteristická redukce tenzoru napětí.

Pro souměrné konstrukce 2. typu je charakteristické, že pole posunutí

v nekonečném hranolu bude v důsledku symetrie ke kterékoli rovině z = konst.

popsáno funkcemi:

0,,,, wyxvvyxuu

Z toho plyne 0zyzxz

Věta 2 Stav deformace, při němž tenzor deformace se redukuje na 3 složky ( xyyx ,,

orientované v rovině xy) se nazývá rovinnou deformací.

NOSNÉ STĚNY

Lze provést výpočet 2 způsoby:

1. deformační metodou – neznámé yxu , , yxv , vypočteme integrací statických

rovnic po úpravě – používá se méně často

2. silovou metodou – považujeme za neznámou funkci napětí, kterou vypočteme

integrací Lévyho podmínky.

Lévyho podmínka – vyplývá z rovnice kompatibility (spojitosti) přetvořené

01

y

Y

x

Xyx ,

kde 2

2

2

2

yx

je Laplaceův operátor

a yx jsou normálová napětí ve směru os

jsou objemové síly (vlastní tíha, vliv teploty apod.)

YX a

Lévyho podmínka a dvě statické rovnice rovnováhy tvoří systém tří parciálních

diferenciálních rovnic pro výpočet neznámých složek napětí xyyx ,, .

Tuto soustavu lze převést na jedinou diferenciální rovnici 4. řádu pro neznámou

funkci napětí F – Airyho funkci napětí.

x

x dxXy

F

0

2

2

y

y dyYx

F

0

2

2

yx

Fyxxy

2

Po dosazení dostaneme po úpravě parciální diferenciální rovnici 4. řádu, tzv.

stěnovou rovnici.

y

Y

x

XdyYdxXF

yx

1

00

kde

4

4

22

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2y

F

yx

F

x

F

y

F

x

F

yxF

při zanedbání vnitřních sil, tedy 0YX se rovnice zredukuje na

biharmonickou rovnici:

0 F

pro složky napětí

yx

F

x

F

y

Fxyyx

2

2

2

2

2

,,

Pro řešení napjatosti stěny jsou důležité okrajové podmínky. V libovolném bodě

stěny na jejím okraji musí být splněny dvě okrajové podmínky.

Okrajové podmínky nosné stěny

Použijeme statické okrajové podmínky. Výslednicemi napětí v bodě R

hraničního povrchu budou předepsány povrchové

síly Papp yx , .

y

F

ds

d

ds

dx

yx

F

ds

dy

y

F

p yxxx

2

2

2

sincos

x

F

ds

d

ds

dx

x

F

ds

dy

yx

F

p yxyy

2

22

sincos

Integrací mezi body P a R

y

S

S

y Qdspx

F

0

x

S

S

x Qdspy

F

0

dostaneme svislou a vodorovnou složku výslednice hraničního zatížení působícího

mezi body P a R.

Na základě těchto vztahů lze formulovat l´Hermiteovu analogii.

1. Derivace funkce napětí ve směru vnější normály k hranici stěny je rovna

normálové síle na fiktivním rámu, jehož střednice má stejný tvar a přenáší

stejné zatížení jako hranice (obrys) stěny. Kladná normálová síla je tahem.

NQQy

F

x

F

n

Fxy

sincossincos

2. Funkce napětí v hraničních bodech stěny je rovna ohybovému momentu

v průřezu fiktivního rámu. Kladný ohybový moment způsobuje tah ve

„vnitřních vláknech“ rámu.

Kromě statických podmínek rovnováhy mohou být předepsány také

Geometrické okrajové podmínky:

uu , vv , kde vu, jsou předepsané posuny

0 vu v případě vetknutí stěny.

DESKY

Předpoklady řešení desek stálé tloušťky

Budeme předpokládat desku stálého průřezu, izotropní a homogenní,

tenkostěnnou.

Zatížení je kolmé ke střednicové rovině a může být

a) plošné [N/m2]

b) liniové [N/m] , resp pro momentové liniové zatížení [Nm/m]

c) bodové – síla [N] nebo moment [Nm]

Liniové a bodové zatížení je idealizace plošného zatížení, které působí na

velmi úzký pruh nebo na velmi malou plošku.

Kirchhoffovy předpoklady řešení tenkých desek

1. Normály ke střednicové rovině desky přejdou po deformaci opět v normály,

avšak zdeformované střednicové plochy. Přitom vzdálenost bodů ležících na

téže normále se deformací desky nemění.

2. Normálové napětí z je oproti zbývajícím složkám napětí působících ve

směru x a y zanedbatelné.

Musí platit podmínky pro geometrii desky:

1. Tloušťka 100/lh , kde l je rozhodující půdorysný rozměr ( při 100/lh

se jedná o membránu, která nepřenáší ohyb).

2. Je-li 10/lh je předpoklad zachování normál narušen smykovými

deformacemi a deska se zpravidla řeší s uvážením vlivu smyku a desky pro

5/lh jako tzv. tlustá deska.

Potom 10

1

100

1

l

h

Neznámou funkcí v teorii ohybu tenkých desek je funkce průhybu yxw , .

pro její řešení odvozujeme z podmínek rovnováhy tzv. deskovou rovnici

(specifická varianta Laméových rovnic). Jedná se o klasické řešení problému

deformační metodou (analogie s Navierovou teorií ohybu prutu).

Bod zyxA ,, přemístí

deformací do bodu wzvyuxA ,,

Bod zyxO ,, na střednicové

ploše se přemístí do bodu

zyxO ,, .

Ohybová plocha v řezu xz má

odchylku od osy x o úhel .

x

u

x

z

h

z

z

w

A

O

O´

A´

Natočení tečny k ohybové ploše

x

w

,

Posunutí zzu sin ,

tedy x

wzu

a obdobně y

wzv

Poměrná deformace

2

2

x

wz

x

ux

2

2

y

wz

y

vy

Úhlové zkosení

yx

wz

x

v

y

uxy

2

2

x

u

x

z

h

z

z

w

A

O

O´

A´

Rozšířený Hookův zákon:

2

2

2

2

22 11 y

w

x

wEzEyxx

2

2

2

2

22 11 x

w

y

wEzExyy

yx

wEzExyxy

2

112

(Normálová napětí a smykové napětí jsou takto vyjádřena jako funkce průhybu

a po tloušťce desky se mění lineárně se vzdáleností z od střednicové plochy).

Ohybové momenty

Zavedeme jednotkové momenty x

m a y

m , které jsou vztaženy na jednotku

šířky svislého řezu deskou

2/

2/

h

h

xx dzzm

2/

2/

h

h

yy dzzm

2/

2/

h

h

xyxy dzzm

Po dosazení dostaneme ohybové

momenty

2

2

2

2

y

w

x

wDmx

2

2

2

2

x

w

y

wDmy

kde 2

3

112

EhD

je tzv. desková tuhost

xq

xm

dxx

qq x

x

dxx

mm x

x

dyy

mm

xy

xy

xym

p

y x

dy dx

Kroutící moment yx

wDKmm yxxy

2

1

Posouvající síly

Obdobně jsou zavedeny posouvající síly

2/

2/

h

h

xzx dzq

2/

2/

h

h

yxy dzq

Z momentové podmínky v obou

směrech ke středu elementu

0222

dxdxdy

x

qdxdyq

dxdyq

dxdyy

mmdxmdydx

x

mmdym

xxx

xy

xyxyx

xx

xq

xm

dxx

qq x

x

dxx

mm x

x

dyy

mm

xy

xy

xym

p

y x

dy dx

Z toho 0

dxdy

y

mdxdy

x

mdxdyq

xyxx

y

m

x

mq

xyxx

resp. obdobně

x

m

y

mq

xyy

y

Po dosazení za momenty

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

w

x

wDw

xD

y

w

y

w

y

w

x

w

xDqx

yx

w

y

wDw

yD

x

w

x

w

x

w

y

w

yDqy 2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

Průběh napětí po tloušťce desky

xz

yzx

y

xyyx

x y

Podmínka rovnováhy

Ohybový moment a posouvající síla

dxx

mmm x

xx

dxx

qqq x

xx

Součtová podmínka rovnováhy

ve svislém směru (osa z)

0

pdxdydxdy

y

qqdydx

x

qqdxqdyq

y

yx

xyx

py

q

x

q

pdxdydydxy

qdxdy

x

q

yx

yx

0

Po dosazení za posouvající síly

pdxdy

dyqx dyqx

dymx

dymx

dxmyx

dxmyx

2 4

4

22

4

4

4

2

2

2

2

D

p

y

w

yx

w

x

w

pwy

Dwx

D

Je to tzv. desková rovnice

Kde 2 4

4

22

4

4

4

yyxx

je biharmonický operátor

p je rovnoměrné zatížení desky

D je desková tuhost

D

pw

Okrajové podmínky

a) Kloubové uložení na hraně .konstx

0 0 ,02

2

2

2

y

w

x

wmw x

Je-li přímá hrana .konstx nepoddajná, platí, že 0

y

w a křivost 0

2

2

y

w

Potom se okrajová podmínka změní na tvar 0 ,02

2

x

ww

b) Dokonalé vetknutí na hraně .konstx 0 ,0

x

ww (pootočení)

c) Volná hrana .konstx (tj. okraj rovnoběžný s osou y), hrana je nezatížená

vnějším zatížením. Na okraji mohou vzniknout průhyby a pootočení, ale

vnitřní síly v okrajovém řezu musí vymizet.

d) Podmínky v pravoúhlých rozích

V rohu desky silové složky z obou směrů x a y 1

K a 2

K (náhrada za kroutící

momenty) dávají výslednici

KKKKdxdx

Kdydy

KKA 211

21

Síla A v pravoúhlém rohu je rovna dvojnásobku kroutícího momentu

působícího v příslušném rohu desky v okrajových řezech.

Rozbor okrajových podmínek

1. Je-li podél jednoho z přilehlých okrajů deska plně vetknutá, je podél celého

vetknutého okraje, tedy i v rohu, kroutící moment K roven nule a tedy 0A .

V rozích vetknutých desek rohové síly nepůsobí.

2. Kroutící moment může mít v rohu hodnotu obecně různou od nuly a

působící rohovou sílu musí přenést opěra.

pro

stě

podep

řený

voln

ý o

kra

j

prostě podepřený

voln

ý o

kra

j

3. Podpora v rohu desky a oba volné okraje

a) Deska je v rohu bodově podepřena. Potom může

síla v rohu vzniknout, neboť se může přenést

existující podpěrou. Doplňují okrajová podmínka

pro nulový průhyb v rohu desky má potom tvar

0w

b) Deska je v rohu volná. Potom se rohová síla

nemůže přenést a doplňující okrajová podmínka má

tvar 0 KA

Dlouhá stěna

Q – vlastní tíha stěny [kN/m]

- Posuzujeme pás dlouhé stěny o šířce 1 bm

- Posuzujeme jako sloup – napětí od svislého zatížení dt

Qq

100

- Štíhlé stěny posuzujeme na vzpěrný tlak

1 bm 1 bm h

t

Q Q

q

Podepřená stěna - stěna o jednom poli

y

x

qs

h

b b

b/2 b/2 l

l

qs + qs

t – tloušťka stěny

Podepřená stěna působí jako tzv. vysoký nosník

- max. normálové napětí – přibližný výpočet od ohybu prostého nosníku

- ohybový moment vyvolá zatížení

qs – vnější zatížení

qvl – vlastní tíha stěny na 1 bm

celkové zatížení vls qqq

napětí od ohybu

průřezový modul 3

6

1htW

napětí dovxW

M

´

max. napětí y v místě podpory

reakce lqA 2

1

napětí otldovtldovytb

A,, a

(dovolené namáhání v tlaku a

v otlačení)

Dlouhé desky

- dlouhá deska přenáší zatížení hlavně v kratším směru

- únosnost lze posoudit jako nosník široký 1 bm a vysoký jako tloušťka desky t

- při prostém uložení desky je ohybový moment a napětí

- při vetknutí desky po obvodu je ohybový moment a napětí

a

1 bm

1 bm

t b

W

MqbM

8

1 2

W

MqbM

12

1 2

b

b

Obdélníkové a čtvercové desky

- Pro předběžný výpočet lze

použít rozdělení zatížení v pruzích

ve dvou kolmých směrech

- Průhyb pruhů musí být stejný

v bodu křížení, platí:

- Ohybové momenty ve směru x

a y se spočítají samostatně pro

každý pruh zvlášť

y

x

q1

q2

w2

w1 l1

l 2 q=q1+ q2

21 ww

EI

lq

EI

lq

8192

1 4

22

4

11

21 qq

24

1

4

21

8

192q

l

lq

Přenášení zatížení z desek na obvodové strany do podpor či nosníků

- Na každou stranu po

obvodu desky připadá

rovnoměrné zatížené vy-

mezené plochami dle

obrázku

45o

45o 45o

45o

30o 30o

60o

60o

30o 45o

45o

60o

vetknutí

prosté uložení

volný okraj

Roznášení soustředěných zatížení na pás desky

a

l a/3

a/3

bd

1

bd2

bd

l/6

l/6

bd1

a/3

l/6

bd

bd

2

b<

a/3

b<

l/6

Okraj desky

Z rozměrů roznášecí

šířky soustředěného

zatížení, z jeho

polohy a rozpětí

desky mezi dvěma

trámy (podporami)

se vymezí šířka pásu,

který se posoudí jako

nosník konečné šířky

a daného rozpětí.

Příklad – protihluková stěna

h

l h

h

1. Působení jako stěna – vysoký nosník

qvl vlastní tíha panelu

Ohybový moment na nosníku

2

2

6

1

8

1

htWW

M

lqM vl

2. Působení jako deska – tlak větru

qv tlak větru

2

2

6

1

8

1

thWW

M

lqM v

t

l

h

qvl

qvl

l

h t

qv

qv

kloubové uložení

Konstrukce podchodů a propustků

Stropní deska

Zatížení q:

- zatížení vozovky

- vlastní tíha zeminy

- vlastní tíha desky

Stěna podchodu

qa – spojitá reakce stropní desky

qz – tlak zeminy

Výsledné napětí v patě stěny:

- stěnové scislé napětí od

- napětí od ohybového momentu jako desky od tlaku zeminy

l A B

q

Schema podchodu

qz

qA