Zpracování neurčitostiFuzzy přístupy

RNDr. Jiří Dvořák, CSc.dvorak@uai.fme.vutbr.cz

Fuzzy množinyFuzzy množina A v univerzu U :

U … klasická množina … funkce příslušnosti (charakteristická funkce)

… stupeň příslušnosti prvku x k fuzzy množině A

Prázdná fuzzy množina

),( AUA

A

1;0: UA

)(xA

0)( x

Fuzzy čísla

Fuzzy číslo A je fuzzy množina na universu reálných čísel, která je určena čtveřicí bodů

( a(1), a(2), a(3), a(4) ) a po částech souvislou funkcí příslušnosti s následujícími vlastnostmi: a(1) a(2) a(3) a(4)

je rovna nule pro x a(1) a x a(4) je rovna jedné pro a(2) x a(3) je rostoucí na a(1), a(2) a klesající na a(3), a(4)

Speciální případy fuzzy čísel

Lichoběžníkové fuzzy číslo: A = ( a(1), a(2), a(3), a(4) )

Trojúhelníkové fuzzy číslo: A = ( a(1), a(2), a(3) )

0,1,,minmax

)4()3(

)4(

)1()2(

)1(

aa

ax

aa

axxA

0,,minmax

)3()2(

)3(

)1()2(

)1(

aa

ax

aa

axxA

A(x)

1

0a(3) a(4)a(2)a(1)

x

A(x)

1

0a(3)a(2)a(1)

x

Základní operace s fuzzy množinami

Nechť , .

Doplněk fuzzy množiny A:

Sjednocení fuzzy množin A a B:

Průnik fuzzy množin A a B:

),( AUA ),( BUB

),( AUA )(1)( xx AA

),( BAUBA )(),(max)( xxx BABA

),( BAUBA )(),(min)( xxx BABA

Kartézský součin a fuzzy relace

Nechť , .

Kartézský součin fuzzy množin A a B:

Fuzzy relace:

jsou klasické množiny

Kartézský součin fuzzy množin je zvláštním případem fuzzy relace.

),( AUA ),( BVB

),( BAVUBA )(),(min),( yxyx BABA

),...( 21 RnUUUR

nUUU ,...,, 21

1,0...: 21 nR UUU

Cylindrické rozšíření a silná kompoziceNechť m < n, , .

Cylindrické rozšíření fuzzy relace R na :

Cyl(R) = R*

Nechť ,

Silná kompozice relací R a S

niii m ...1 21 ),...(21 Riii m

UUUR

nUUU ...21

),...,,(),...,,(21

* 21 miiiRnR xxxxxx

),( RVUR ),( SWVS

),( SRWUSR

),(),,(minsup),( zyyxzx SRVy

SR

Lingvistická proměnnáLingvistická (slovní, jazyková) proměnná je taková proměnná, jejíž

hodnotami jsou slova. Významy těchto slov jsou reprezentovány jako fuzzy množiny v nějakém univerzu.

Strukturovaná lingvistická proměnná:

X … jméno proměnné, T … množina termů (tj. slovních hodnot proměnné), U … univerzum (neprázdná klasická množina), G … množina syntaktických pravidel pro generování hodnot z T M … množina sémantických pravidel interpretujících hodnoty z T jako fuzzy množiny s univerzem U.

Nestrukturovaná lingvistická proměnná:

T … konečná množina fuzzy množin s univerzem U.

),,,,( MGUTXX

),,( UTXX

Vícehodnotová logikaMnožina logických (pravdivostních) hodnot

C = 0 představuje pravdu a 1 nepravdu.

Logická proměnná je proměnná nabývající hodnot z množiny C. Nechť W je konečná množina logických proměnných.

Množina logických spojek L = {, , , }

(disjunkce, konjunkce, odvážná konjunkce, implikace).Formule je konečný řetězec, definovaný těmito pravidly:

Je-li C, pak je formule. Je-li W, pak je formule.Jestliže a jsou formule a L, pak ( ) je formule.

Interpretace formule je dosazení logických konstant za logické proměnné.

Pravdivostní ohodnocení

Nechť Q je množina všech formulí a (Q) množina všech jejich interpretací. Pravdivostním ohodnocením nazveme zobrazení V: (Q)  C, splňující následující požadavky:

V() =

Operace negace je definována takto: = 0

Pro pravdivostní ohodnocení negace pak dostaneme:

)(),(max)( VVV

1)()(,0max)&( VVV

)()(1,1min)( VVV

)(),(min)( VVV

)(1)(1,1min)0()( VVVV

Příklady implikací

Lukasiewiczova:

Kleene-Dienesova:

Zadehova:

Gödelova:

)(),(1max)( VVV

)(),(min),(1max)( VVVV

jinak)(

)()( pro1)(

V

VVV

)()(1,1min)( VVV

Kompoziční pravidlo usuzování

Uvažujme pravidlo

IF X = A THEN Y = B

Nechť , . Pak toto pravidlo můžeme chápat jako fuzzy relaci

Ve fuzzy systémech se charakteristická funkce této relace často definuje vztahem

a relace se nepřesně označuje názvem Mamdaniho implikace.

),( AUA ),( BVB

),( RVUR

)(),(min),( yxyx BAR

Kompoziční pravidlo usuzování

Pravidlo fuzzy modus ponens:

Nechť . Pak fuzzy množina může být určena takto:

Je-li univerzum U konečná množina, můžeme operátor sup nahradit operátorem max.

BYBYAXAX

THENIF,

),( AUA ),( BVB

),(),(minsup)( yxxy RAUx

B

Báze fuzzy pravidel

Předpokládejme , že znalostní báze je tvořena m pravidly tvaru

IF X1 = Ai1 AND X2 = Ai2 AND … AND Xn = Ain THEN Y = B

kde , .

Těmto pravidlům odpovídají fuzzy relace

Podmínku na levé straně i-tého pravidla můžeme vyjádřit ve tvaru

X = Ai , kde ,

Báze fuzzy pravidel může být reprezentována relací

),(ijAjij UA ),(

iBi VB

),...( 21 iRni VUUUR

),...,,( 21 nXXXX iniii AAAA ...21

i

m

i

RR 1

Zodpovězení dotazu

Nechť nyní je položen dotaz

X1 = A01 AND X2 = A02 AND … AND Xn = A0n

Odpovědí systému je fuzzy množina

Při použití Mamdaniho interpretace relací Ri můžeme tento vztah

převést do tvaru umožňujícího efektivnější výpočet:

),(00 BVB

),(max),(minminsup)(

,...,1,...,1 00yxy

ij Rmi

jAnjU

B xx

)(),(minsupmin),(minmax)(00 ,...,1,...,1

jAjAUxnj

Bmi

B xxyyijj

jj

i

Příklad tvorby odpovědi

Systém LMPS

LMPS (Linguistic Model Processing System) je systém pro slovní modelování funkcí a relací.

Slovní model je formule, ve které jsou nahrazeny logické proměnné charakteristickými funkcemi fuzzy množin, které sémanticky interpretují slovní hodnoty lingvistických proměnných.

Systém LMPS rozlišuje dva typy slovních proměnných:• slovní proměnná s reálným univerzem • slovní proměnná s univerzem slovních hodnot V systému LMPS se používají tři typy slovních modelů: • CCD-model (vhodný pro relace, které nejsou funkcemi) • CIC-model • CI&-model

CCD-model

CCD-model je tvořen CC-prohlášeními, která jsou propojena spojkou disjunkce.

CC-prohlášení má tvar

X1 je A1 a X2 je A2 a … a Xn je An a Y = B

kde Xj a Y jsou lingvistické proměnné a Aj a B jsou jejich slovní hodnoty.

CC-prohlášení je vlastně sémantickou interpretací IF-THEN pravidla při použití Mamdaniho „implikace“.

CCD-model interpretuje pravdu tak, že pravdivé je to, co tvrdí alespoň jedno prohlášení.

Model není citlivý na spory mezi prohlášeními a nebere v úvahu redundantní informace.

Modely CIC a CI&

CIC-model a CI&-model jsou tvořeny CI-prohlášeními tvaru

X1 je A1 a X2 je A2 a … a Xn je An pak Y = BCI-prohlášení je sémantickou interpretací IF-THEN pravidla při

použití Lukasiewiczovy implikace. V CIC-modelu jsou prohlášení propojena pomocí konjunkce, kdežto

v CI&-modelu je k tomuto účelu použita odvážná konjunkce.V těchto modelech se za pravdivé považuje to, co není v rozporu

s žádným prohlášením. Oba modely jsou citlivé na spory (absolutní spor v prohlášeních

vede k úplné ztrátě informace) a berou v úvahu redundantní informace.

Vlastnosti CIC-modelu redundantní informace obecně zhoršují, kdežto u CI&-modelu je tomu naopak (pokud tyto informace nejsou vzájemně sporné).

Zpracování dotazu v systému LMPS

Systému LMPS jsou zadávány dotazy tvaru

Jaká je hodnota Y, jestliže X1 je H1 a X2 je H2 a … a Xn je Hn ?

Každé CC-prohlášení je nahrazeno formulí

a každé CI-prohlášení je nahrazeno formulí

pro každé y V, kde pro reálné univerzum

a pro univerzum slovních hodnot

Tyto formule spojeny logickými spojkami , resp. , resp. &.

Pravdivostní ohodnocení výsledné formule určuje stupeň příslušnosti hodnoty y k fuzzy množině, která je odpovědí na zadaný dotaz.

)(...21 yn

)(...21 yn

)(),(minmax xxjj

j

AHUx

j

)()( yy B

jj

jjj AH

AH

li-je0

li-je1

By

Byy

li-je0

li-je1)(

Defuzzifikace

Defuzzifikace je proces, v němž nějaké fuzzy množině přiřazujeme ostrou hodnotu, která ji v jistém smyslu nejlépe reprezentuje.

Nejčastěji používané metody defuzzifikace: • Metoda těžiště (COA, center of area):

• Metoda maxima:

Pokud je takových bodů více, může se použít některá z následujících metod.

• Metoda prvého maxima (FOM, first of maxima).• Metoda průměrného maxima (MOM, mean of maxima).

V B

V B

dyy

dyyyy

)(

)(

0

0

0

)(maxarg00 yy B

Vy

Defuzzifikace v systému LMPS

Defuzzifikace odpovědi v systému LMPS probíhá následovně. Pokud charakteristická funkce odpovědi nabývá svého

maxima v jediném prvku univerza V, pak tento prvek představuje nejpravdivější možnou odpověď na zadaný dotaz.

Je-li takových prvků více, pak v případě reálného univerza je vybrán ten prvek, který leží nejblíže těžišti plochy, shora ohraničené charakteristickou funkcí odpovědi.