橋梁
Bridge the Gap
單元摘要 / Unit Summary
土木工程的學生們設計並建造一個能夠承受最大重量的橋樑。在準備這個專題
的過程中，學生們建構不同的結構；研究三角形和四邊形的性質，從實際的田
野活動中了解不同的類型的橋樑，並檢視世界上著名的橋樑，最後進行設計，
並替橋樑做強度測試。
課程引導問題 / Curriculum-Framing Questions
Essential Question: 核心問題
數學如何幫助我瞭解世界？
Unit Questions: 單元問題
為什麼幾何學在建築結構中很重要？
幾何學如何幫助世界上的建築更好？
有哪些因素影響橋樑的強度？
Content Questions: 具體問題
幾何學中的三角測量是什麼？
邊長如何決定三角形或四邊形的形狀？
有哪些基本的橋樑類型？
教學流程 / Instructional Procedures
前引
在這個單元中，運用到 Seeing Reason 和 Visual Ranking 這兩個工具。在計畫教學前，檢視這兩項工具，了解它們，並學習如何和學
生一起使用它們
準備(1 天)
開始上課，問學生最基本問題：數學如何幫助我瞭解世界？將學生分成小組並讓他們討論基本問題，紀錄下他們第一時間的想法。告訴學生
他們下個學習單元是橋樑的單元，在此單元中，他們將探索數學，尤其是幾何學在設計與建造橋樑和結構中的重要性。
利用以下義大利麵條塔的任務作為此單元的開始。這樣做的目的是為了重現造橋者會遇到的挑戰，並介紹造橋單元。
讓小組從完成以下任務中，初步了解此單元的學習：
以生義大利麵為材，設計並建造一個塔形結構，這個塔能夠支撐住一個離地或離桌面 30 公分的罐頭。
o 塔形結構的基底不能比罐頭的直徑寬。
o 可以隨意將義大利麵切成任何長度。
o 義大利麵只能被貼在頂端或底部。
o 罐頭必須開口朝上以放入砝碼。
o 這個結構必須要盡可能的支撐最大重量。
在倒塌前，請學生紀錄麵條的使用量、膠帶使用量以及這個結構所能承載的最大重量。
當結構開始搖晃時，請學生停止加入砝碼。
評量計畫
學習目標
學習資源
讓學生在另一張表單上描繪出他們設計的塔形結構，並且說明它的優點及弱點，同時，讓他們分辨塔中不同的幾何結構，以上完成
後，讓小組互相比較所建造的結構，並寫下兩處認為應該改進的地方。
每組所需的材料：
o 75 根生義大利麵條
o 膠帶
o 罐頭
o 石頭/彈珠/砝碼之類的
讓小組們進行討論，什麼方法可行，什麼方法不可行，討論以下單元問題：為什麼在建築結構中幾何很重要？你們在這個活動中學習到什麼？
探索多邊形的屬性 (2 天)
在準備接下來的活動之前，要求學生思考他們在前一個活動結束後所討論的問題：為什麼在建築結構中幾何這麼重要？經由這個活動你學到
什麼？如果他們還沒準備好，引導他們，讓他們瞭解，有些多邊形的幾何結構比其他的堅固。告訴他們在接下來的幾天中，他們將會了解到
更多有關多邊形的性質。
詢問學生以下有關內容的問題：
什麼是三角測量？三角形或四邊形的邊長有怎樣的特質？引導學生思考這些問題。告訴他們在今天與明天的課程中將會探索這些問題。學生
將花一節課學習三角形，一節課學習四邊形，了解多邊形的邊長組成方式。
三角形課程：學生將探討下列問題：假設你有三種不同長度的邊長，要用來當作三角形的邊長。是否無論這三個長度是多少，都可以利用它
們建構出完整的三角形？你能不能夠用同樣的邊長建構出兩種以上不同的三角形？讓學生們使用吸管和細繩嘗試了解不同邊長的組合，他們
可以運用擲骰子的方式來決定三角形不同的邊長。他們必須要將結果描繪、記錄下來。
每組所需的材料：
不同長度的吸管，有 1 英吋、2 英吋、3 英吋、4 英吋、5 英吋與 6 英吋
每組三顆骰子
細繩
剪刀
當他們完成這個問題，讓他們檢視他們的成品，並使用吸管去了解：在設計與建築中，你常見到哪些三角形邊長的組合？
回到課程一開始有關內容的問題，詢問他們，是否對於這個問題有更進一步的思考：邊長能否決定三角形的形狀？什麼是三角測量？
四邊形課程：在課程開始時，先回顧昨天的課程，告訴學生今天要討論的有關內容的問題：邊長是否能決定四邊形的形狀？請學生做推論。
學生們使用這堂課所學去探討以下問題：假如有四種不同的邊長，要用來當作四邊形的邊長。是否無論這四個長度是多少，都可以利用它們
建構出完整的四邊形？你能不能夠用同樣的邊長建構出兩種以上不同的四邊形？讓學生們使用吸管和細繩嘗試了解不同邊長的組合，他們可
以經由擲骰子的方式來決定四邊形不同的邊長。他們必須要將結果描繪、記錄下來。請他們比較昨天三角形課程得出的結果，並詢問他們結
果有什麼相似和不同之處？
每組所需的材料：
不同長度的吸管，有 1 英吋、2 英吋、3 英吋、4 英吋、5 英吋與 6 英吋
每組四顆骰子
細繩
剪刀
當他們完成這個問題，讓他們檢視他們的成品，並使用吸管去了解：什麼樣的邊長組合可以創造出我們在建築或設計上常見的四邊形？這些
四邊形和昨天你所了解的三角形比較起來如何？
結構尋寶活動 (2 天)
學生探索不同結構，並使用簡報的方式向全班分享他們的發現。帶領學生閱讀完結構尋寶活動 (DOC 59.0KB) 的講義，並討論關於作業的
細節，簡單來說，學生們要能在預定的網站中找到許多類型的建築結構和橋樑。八個組別分別被分派不同的主題：樑橋和桁架橋、懸索橋、
拱橋、懸臂橋、摩天大樓、機場、他們的學校、體育館。報告內容需要包含：
結構的定義
結構的特性
使用的多邊形類型
邊長的組合及結構的優點與缺點
幾何學如何成為結構中的一部分
這些可以幫助學張回答下列基本問題及單元問題：幾何學如何幫助世界上的建築更好？
數學如何幫助我瞭解世界？
學生們可以製作簡報，向班上同學講解所作的有關結構的研究，使用固定的學生報告範例 (PDF 898KB) ，表達以上內容。學生必需運用他
們在尋寶的過程中學到的定義或遇到的新事物、想法的視覺圖片進行展示，例如：桁架系統、水平穩定、拱度曲線(在各種各樣的網站中都可
以找得到，他們可以用來查看不同結構的特色)
為了讓學生們能夠在即將到來的橋樑實驗中能夠利用這些新資訊，要求他們在每個小組報告時作筆記，在一張記錄表中記下在學生報告時提
到的新的詞彙及定義，將這張記錄表當作共同筆記以便在接下來的課程單元中都能夠利用它。如果有些重要的術語及概念沒有在報告中提到，
在相關的主題報告時介紹這些詞彙或概念，這將能夠幫助學生建構他們 Seeing Reason 的因果圖。
簡單橋樑實驗 (2 天)
為了研究與內容相關的問題：什麼樣的因素會影響橋的強度？學生們使用義大利麵條設計並測試樑橋及栱橋，了解哪兩種結構可以承受最大
的重量。
測試樑橋與拱橋
簡言之，學生利用積木與紙板建造一個樑橋與拱橋以了解哪兩種的結構設計能承載最大重量。
每組需要：
2-4 塊積木
紙板
砝碼
實驗步驟大綱 (DOC 36.KB)
重新設計義大利麵塔
讓學生用生義大利麵條設計並建構一個塔形結構，使這個塔能夠支撐離地板或離桌面 30 公分的罐頭。這個工作需要學生運用他們目前所學
習到的三角形及結構強度等概念，並且讓他們有機會重新設計他們第一天所建築的塔，試著在結構的設計或強度上，發揮新的想法。
學生應依下列說明重新設計他們的塔：
以生義大利麵為材，設計並建造一個塔形結構，這個塔能夠支撐住一個離地或離桌面 30 公分的罐頭。
o 塔形結構的基底不能比罐頭的直徑寬。
o 可以隨意將義大利麵切成任何長度。
o 義大利麵只能被貼在頂端或底部。
o 罐頭必須開口朝上以放入砝碼。
o 這個結構必須要盡可能的支撐最大重量。
在倒塌前，請學生紀錄麵條的使用量、膠帶使用量以及這個結構所能承載的最大重量。
當它開始晃動時，請學生停止加入砝碼。
讓學生在另一張表單上描繪出他們設計的塔形結構，並且說明它的優點及弱點，同時，要求學生比較他們先前的設計，寫下他們做
了什麼改進。
完成後，請學生比較自己與他人的設計並寫下兩項他們要如何改善自己的結構。請他們反思下列問題：
o 重新設計的重要性？
o 先前的設計如何使未來的設計更好？
每組所需的材料：
75 根生義大利麵條
膠帶
罐頭
石頭/彈珠/砝碼之類的
討論強壯及脆弱的塔的特色，讓學生分辨並討論他們對於形狀的了解，這些形狀又如何影響他們所建造的塔。
利用 Seeing Reason 來研究影響橋樑強度的因素 (2 天)
在下一個階段，使用 Seeing Reason 工具去分辨影響橋樑強度的因素。在讓學生自己使用前，先照著以下步驟向班級介紹 Seeing Reason
工具。
讓學生分組並讓他們使用 Seeing Reason 回應單元問題：有哪些因素影響橋樑的強度？學生需要有在先前的工作中獲得的數據來支撐推論
之間的聯繫，例如下面的連結圖。鼓勵他們使用工具中的對於成分之間的描述，去解釋他們的想法以及各個因子間的關係。這個活動作為期
中演示評分指引，同時能夠確認建造橋樑任務的準備是否足夠。使用期中展演評量評分指引 (DOC 38.5KB) 來確認學生們的準備程度。
檢視 Seeing Reason 活動
以下的 Seeing Reason space 展示一個團隊在這個專案的投入，你所看到的圖是有它的功能性的，你可以滾動滑鼠去閱讀各個元素之間的
關係，也可以雙擊每個元素圖示和箭頭，閱讀註解。
專題名稱: 橋樑 (按此登入工作區來建置專題)
提示: 有哪些因素會影響橋樑的強度？
*如果學生需要更多實驗，要求學生們複習他們的筆記和先前課程所做的工作：多邊形活動、結構尋寶活動、橋樑實驗、橋樑的設計和強度
之間的關係，討論強壯和脆弱的橋樑的特色，要求他們重新評估他們的關係圖，並調整其中的元素、關係、描述，以符合實際需求。
建造橋樑任務
提供學生下列的案例：
你的土木工程公司被聘僱設計並建造一個橋樑，這個橋樑將取代你居住城市中的某一個老舊的橋樑。你的工作是在市政
會開會前，設計、建造一個橋樑模型，而且要提出一份文書說明來介紹你的橋樑。第一項任務，每個團隊需要決定公司
的名字。
你的模型會經過強度的測試，而且必需符合下列要求：
1. 你只能使用義大利麵條和膠帶去建造你的橋樑
2. 這個橋樑必需至少有 30 公分長
3. 至少要有 5 公分寬的路基和 10 公分的高度
4. 除非這個橋只有一個塔或是能夠支撐整個結構，橋樑的支撐結構之間的距離應該要大於 10 公分。
你交給市政會的作品必需提供明確而且有力的證據來解釋你的設計選擇、橋樑模型的藍圖，也需要其它有力文件，例如：
概念網頁、圖表和照片。
發下這份報告的簡報評分指引 (DOC 46.5KB) 給學生，幫助他們理解這個專案的目標，回顧並回答所有他們可能會有
的問題，要求當學生做專案時必需參考評分指引來進行。
準備橋樑設計的相關因素的排序
前往下一個活動前，在 Visual Ranking 教師工作坊建立一個專題。
建立一個專題名稱：設計橋樑
將每家工程公司加入專題中
描述這個專題，必須包含以下問題：在設計橋樑時，什麼是最重要的因素？
在課堂上請學生討論他們認為什麼是影響橋樑建構最重要的因素。可能的因素應包含：橋樑的長度、橋樑的重量、樑的數量、桁架
橋、使用的形狀類型、穩固性或三角測量
填上 8-10 個課堂上討論出來最常見的因素。
利用 Visual Ranking 對設計你的橋樑中最重要的因素進行排序 (1 天)
使用在 Try the Tool 中的展示空間介紹 Visual Ranking 這個工具，向學生展示如何進行評等與比較，以及如何利用評論功能對不同的項
目進行描述，並解釋它們的優點，指出相關係數(同意或不同意的程度)的意義。係數 1.0 代表完全同意；而-1.0 代表完全不同意。
讓學生登入他們的虛擬排名空間，提示他們應如何作評比：什麼是設計你的橋時最重要的因素？讓每個土木工程團隊在評比時記住
這點，然後用評論功能解釋各個項目的優點。當學生們整理他們的清單時，聆聽他們的討論並提出問題，讓小組進行協商、作出決
定，然後表達他們的想法。
當小組們結束評比及下註解，請他們比較自己和其它小組的評比，閱讀其它組對於每個因素的優點的評論。讓學生討論他們對於排
名的認知的相同與不同。引導每個組別指出和他們的排名最相似以及最不相似的組別，然後互相討論他們的評比和排序的理由。有
些小組在與其它小組學習後，也許會想要修改他們的想法。
專題名稱: 設計橋樑 (按此登入工作區來建置專題)
提示: 在設計你的橋樑中，什麼是最重要的因素？
告知及說服他人
當小組結束評比及討論，讓小組們經由回答下列問題反思整個過程：
1. 你們是如何捍衛你們小組自己的觀點？困難嗎？為什麼？
2. 當在自己小組內協商時，遇到什麼最大的阻礙？當土木工程小組嘗試將事情完成時最常遇到什麼阻礙？
3. 不同小組之間有什麼需要競爭的相似情況？
和一個更大的團體小組討論同樣的問題，使用投影機及連線電腦展示這些評比表，討論這些主題，請學生思考：是否有哪個因素持續地出現
在評比表的最上方？或是持續出現在最下方？這些因素和建造一個模型橋時所做的決定有什麼樣的關聯？
請學生反思，建造橋樑時必須考慮的最重要以及最不重要的因素，並將這些記錄在日誌中。在進入這個專案的設計階段前，閱讀這些項目來
評估學生的理解程度。
決定橋樑類型、設計及製作藍圖 (1 - 2 天)
讓學生畫出他們依據規格所選擇橋的支撐結構的側視圖、上視圖、以及正視圖，他們的圖中必須包含數字及刻度，記錄他們要使用麵條的數
量、所需要的長度、以及膠帶的數量。這將成為這個小組的模型藍圖，接著，再次檢視這些藍圖，提供他們一些必要的建議。
建造橋樑 (5 - 6 天)
給學生五天或更多時間去建造他們的橋樑模型，時間分配取決於學生所要建造橋樑的類型。當學生們建造橋樑時，巡迴在各組之間並提出問
題問學生，記錄各組的進度、概念理解、及解決問題或分析的思考能力。
對市政會的期末簡報(1 - 2 天)
運用簡報評分指引來評估期末報告、設計藍圖和作品，在每間公司的展示流程中，測試結構在被壓垮前所能承受的最大的重量是其中一部分。
必須在橋中間放置罐頭並增加重量，直到它開始搖晃為止。
在總結這個單元時，要求學生以書寫的方式回答基本問題與單元問題，例如：數學如何幫助我理解世界？幾何學如何幫助我們建設更好的世
界？為什麼在建築結構中幾何學是重要的？在他們回答問題時，鼓勵學生利用這個機會，展現他們學到有關結構和強度的相關知識。
先備能力 / Prerequisite Skills
測量
繪製比例模型
熟悉多媒體簡報軟體
因材施教 / Differentiated Instruction
特殊需求學生
依照學生的個別化教育方案做修正
提供視覺化教具或範例(此單元計畫中的文件、照片及範例等均可用)
提交一份任務大綱及專題時程表(包含重要事件)
選擇最適合與此學生一起工作的小組
當有需要時提供額外的時間以完成個別的任務
資優學生
讓他們控制造橋預算，擔任公司中的會計師角色，研究材料的開銷；決定每段長度木材(麵條)的花費、支撐(膠帶)的花費、多少材
料已經被用掉以及被浪費的程度；使用電腦中的表格功能持續記錄已花費的開銷及估計的初始預算。
非母語者
提供視覺化教具或範例(此單元計畫中的文件、照片及範例等均可用)
運用來自學生文化的結構範例，將這個單元與學生的先驗知識做連結。
利用這些不同的幾何形狀來組合桌子(使用標上邊長的三角形圖形，展示這些組合是否能夠構成三角形)
致谢 / Credits
本單元由參與英特爾教育計畫活動的教師在教學時所建構，再由教學團隊衍生出此範例。
注意： PDF 文件中的超級鏈接可單獨下載和打印
設計成效卓著的教學單元計畫: 橋梁
學生評量計畫
評量計畫
評量時程
專題開始前 專題進行中 專題完成後
基本問題
反思
義大利麵
塔的預備
活動
非正式的觀
察
回饋
義大利麵塔
的後續活動
Seeing
Reason
圖
期中展示
評量指引
Visual
Ranking
內容
反思
簡報評分
指引
反思
同時使用正式和非正式的方法來確認學生的理解度。非正式：關注並小心地傾聽學生的想法、提出試探性問題－像是：你怎麼知道這個東
西有用？－回顧草稿，在學生進行專案時給予他們回饋，讓學生和同組組員檢查自己的工作。正式：經由期中展演評分指引 (DOC 38.5KB)
評估學生的對於造橋專案的了解和準備程度，必要時，重複教導學生相關觀念；在他們開始工作前，提供學生簡報評分指引 (DOC
46.5KB) ，並解釋專案的目標；評估學生們最後的成果展示，用簡報評分指引 (DOC 46.5KB) 評估他們的模型橋；問學生基本和單元
問題，了解他們的學習狀況。
設計成效卓著的教學單元計畫: 橋梁
學習目標
學科課程綱要與標準 / Targeted Content Standards and Benchmarks
全國數學教師協會的課程綱要：
6-8 年級的幾何學能力指標
6-8 年級的學生應該：
使用定義，精確的地描述、分類並且了解二維及三維間物體的關係。
了解相似物體的角度、邊長、周長、面積、體積之間的關係。
根據指定屬性，如邊長或角度，畫出幾何圖形。
使用二維的表現方法具體化並解決諸如表面積跟體積等三維物體的問題。
利用幾何模型來解釋數字與代數的關係；
在課堂外，像是在藝術、科學與日常生活中，辨認和應用有關幾何學的概念與關係。
6-8 年級的問題解決能力指標
6-8 年級的教學課程應使學生能夠：
解決在數學和其他領域的問題
透過問題解決建立新的數學知識觀
應用不同的適當策略來解決問題
監督並且反思解決數學問題的歷程
6-8 年級的連結能力指標
在 6-8 年級的教學計劃應該讓所有學生做到：
認識並使用數學概念之間的連結
了解數學概念之間是如何相互連結，形成一個連貫的整體
認識並能夠將課本所教的數學概念應用在課本以外
學習目標 / Student Objectives
學生將可以：
學習到三角測量
瞭解邊長決定三角型的形狀(邊邊邊三角形全等定理)，只要兩邊之和大於第三邊長。 (這就是所謂的三角不等式：a + b > c ，
可構成一個三角形)
瞭解對四邊形而言，不同的邊長可以決定不同的形狀
瞭解任四邊形中，任意三邊的邊長之和大於第四邊
瞭解三角形是穩定的形體，在壓力下能保持形狀；而四邊形可以擺動成許多種不安穩的形狀，在壓力下會變形
檢視結構的優點與缺點
製作模型、評估特性，並納入自己設計的考量
比較不同組件的優缺點
學習有關橋樑的類型以及它們的結構設計
提供和原理原則相關的證明來說明他們的想法或選擇
利用測量及比例量度繪製精確的模型
設計成效卓著的教學單元計畫: 橋梁
學習資源
教材及資源 / Materials and Resources
印刷教材
有關結構和橋樑的書籍或雜誌(選擇性的)
供應品
義大利麵條
膠帶
每組分配一個罐頭(直徑大約 4 或 10 公分且高約 5 或 12 公分)
給每組一些增加重量的小東西，像是大理石、小石頭、漁墜
吸管
細繩
尺
網路資源
Bridge from Fact Monster
http://www.factmonster.com/ce6/sci/A0808901.html*
這個入口網站提供一些關於橋樑的基本資訊。
Bridge Basics: A Spotter's Guide to Bridge Design
http://pghbridges.com/basics.htm*
Bridge Building Information from Brantacan
www.brantacan.co.uk/bridges.htm*
橋樑結構中的幾何
www.faculty.fairfield.edu/jmac/rs/bridges.htm*
Bridge Pros
http://bridgepros.com/*
這個橋樑網站詳細的介紹橋樑的工程、歷史及建設
不可錯過的部份：從過去到現在及未來的橋樑計劃
http://bridgepros.com/projects/index.html*
Super Bridge from PBS NOVA Online
www.pbs.org/wgbh/nova/bridge/*
學習四種主要橋樑的種類，然後將不同的橋樑和不同的地方作配對，測試你對橋樑的了解。
Building Big: All About Bridges from a Related PBS Website:
www.pbs.org/wgbh/buildingbig/bridge/index.html*
這個網站包含一個力學實驗室，在這裡學生們可以探索不同的力量、負重、
材料及形狀。
建設一個虛擬的橋樑，運用你所學的技巧來評判哪座橋樑最適合其位置。
1. 橋樑建築物 www.brad.ac.uk/acad/civeng/marketing/civeng/game2.htm*
閱讀線索並跟隨基本步驟研究進行可行性研究，來建設適合的橋樑。
另一個虛擬橋樑活動可以在下面找到：
2. 橋樑建築師 Bridge Builder
www.pbs.org/teachersource/mathline/concepts/architecture/activity3.shtm*
在 PBS's 的教師資源中。
設計並建造一個虛擬的桁架橋
www.jhu.edu/~virtlab/bridge/truss.htm*
使用在 Bridge
Designer 的程式來設計桁架，每當在程式裡描繪完桁架，按下"Calculate"鈕來確認你的設計。另一個按
鈕將會產生完整的受力圖示，
包含每個元件在支撐結點上受到的壓力或張力產生的力量交互作用。
義大利麵條橋樑：11th Annual Spaghetti Bridge Contest
http://www.jhu.edu/news_info/news/audio-video/spaghetti.html*
約翰霍普金斯大學的義大利麵條橋樑圖片
其他資源
表格組合 List kits
設備
影片
錄影帶
CD 或 DVD 資源
田野考查地點
專家
科技 - 硬體
電腦
印表機
投影機
網際網路連線
科技 – 軟體
簡報軟體
文書處理軟體
網際網路瀏覽器
