Міністерство освіти та науки УкраїниНаціональна металургійна академія України

ТТееооррііяя ттаа ммееттооддииккааннааввччаанннняя ммааттееммааттииккии,,ффііззииккии,, ііннффооррммааттииккии

Збірник наукових працьВипуск 4

Том 1

Кривий РігВидавничий відділ НМетАУ

2004

2

УДК 371

Теорія та методика навчання математики, фізики, інфо-рматики: Збірник наукових праць. Випуск 4: В 3-х томах. –Кривий Ріг: Видавничий відділ НМетАУ, 2004. – Т. 1: Теорія таметодика навчання математики. – 338 с.

Збірник містить статті з різних аспектів дидактики матема-тики і проблем її викладання в вузі та школі. Значну увагу при-ділено проблемам розвитку методичних систем навчання мате-матики та застосування засобів нових інформаційних технологійнавчання математики у шкільній та вузівській практиці.

Для студентів вищих навчальних закладів, аспірантів, нау-кових та педагогічних працівників.

Редакційна колегія:В.М. Соловйов, доктор фізико-математичних наук, професорЄ.Я. Глушко, доктор фізико-математичних наук, професорО.І. Олейніков, доктор фізико-математичних наук, професорМ.І.Жалдак, доктор педагогічних наук, професорО.В. Сергеєв, доктор педагогічних наук, професорВ.І. Клочко, доктор педагогічних наук, професорЮ.О. Дорошенко, доктор технічних наук, професорО.Д. Учитель, доктор технічних наук, професорІ.О. Теплицький, відповідальний редакторС.О. Семеріков, відповідальний секретар

Рецензенти:Г.Ю. Маклаков – д-р техн. наук, професор кафедри кібернетики

та обчислювальної техніки Севастопольського національ-ного технічного університету, науковий керівник лабора-торії біокібернетики, дійсний член Міжнародної академіїбіоенерготехнологій

А.Ю. Ків – д-р фіз.-мат. наук, професор, завідувач кафедри тео-ретичної фізики Південноукраїнського державного педаго-гічного університету (м. Одеса)

ISBN 966-8506-094-1

3

СИСТЕМА ОТКРЫТОГО ДОСТУПА ПО РАЗДЕЛУ«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

КУРСА ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИ

В.Н. Беловодский1, С.П.Муравьёв2

1 г. Донецк, Донецкий национальный технический университет2 г. Донецк, Донецкий государственный институт искусственного

интеллектаbelovodskiy@cs.dgtu.donetsk.ua

Усиливающийся в последние годы уровень компьютернойдоступности стимулирует всё более широкое его вовлечение впознавательный процесс. В рамках данной тенденции нами напротяжении ряда лет ведётся разработка электронных методиче-ских пособий по различным разделам математики [1]. Данныйпрограммный продукт реализует один из таких разделов.

В содержательном плане он включает основные темы, пре-дусмотренные учебной программой [2] (уравнения первого по-рядка, случаи понижения порядка, линейные уравнения и систе-мы с постоянными коэффициентами). На ознакомительномуровне включены также разделы по устойчивости решений иэлементам качественного анализа динамических систем. Приизложении акцент сделан на наглядность формы представленияматериала. Для усиления этого аспекта ряд иллюстраций вос-производится в динамическом режиме с примитивной (play –stop) панелью управления, активно используется цветовая гамма.Краткое изложение теоретического материала сопровождаетсядемонстрационными примерами и упражнениями для самостоя-тельного решения. С целью усиления обучающего эффекта ониснабжены указаниями или подсказками, а также соответствую-щим решением, которое в пошаговом режиме может быть про-смотрено по желанию пользователя.

Контроль усвоения материала может быть осуществлён сиспользованием тестов, включённых в конце каждой части. Тестпредставляет собой группу контрольных вопросов с перечнемвозможных ответов. Результат тестирования выводится в видепроцента правильных ответов, на основании чего пользовательможет внести коррективы в процесс своего обучения.

4

В техническом плане программа реализована следующимобразом.

Архитектура выбрана в виде клиент-сервер. Построениеприложения проводится по варианту сервера приложений, чтопозволяет возложить на клиента выполнение только операцийвизуализации и ввода данных, а всю прикладную логику реали-зовать на сервере. При этом решено использовать трехуровне-вую структуру, разделив компонент прикладной логики и ком-понент управления данными. В итоге получается структурапредставленная на рис. 1.

Компонентхранения базы

данных

Компонентприкладнойлогики

Компонентвизуализацииприкладнойзадачи

Рис. 1. Структура приложения

Реализация компонента хранения базы данных проводитсяна основе СУБД MySQL. Преимущества использования даннойСУБД следующие:

– скорость обработки запросов;– возможность работы с большими объемами данных;– невысокие системные требования;– отсутствие «лишних» возможностей;– бесплатное распространение;– кроссплатформенность.

5

Прикладная логика программы реализуется на языке PHP,который:

– имеет встроенные средства для работы сMySQL;– является кроссплатформенным;– распространяется бесплатно;– является интерпретируемым языком;– интегрируется со многими современными Интернет сер-

верами.В качестве Интернет сервера используется Apache Web

Server, который также является кроссплатформенным и оченьустойчивым как с точки зрения безопасности, так и с точки зре-ния стабильности в работе.

Клиентским приложением при данной архитектуре являетсябраузер, т.к. PHP выдает результаты обработки данных в видеHTML страниц. Выдаваемый на уровне PHP HTML код оптими-зируется под IE 5.0. Это делается по следующим причинам:

– использование браузера в качестве клиента позволяетизбежать установок особого ПО на клиентских местах;

– большинство пользовательских компьютеров оснащеныОС Windows 98/2000/XP, для которых IE 5+ является не-отъемлемой частью;

– в случае перехода пользователя на другую ОС, передел-ки кода будут минимальными;

– привычность Web – интерфейса для пользователей Ин-тернет.

Итак, структуру, приведенную на рис. 1, можно уточнить,приведя конкретную реализацию:

MySQL

Apache + PHP

IE 5.0+

Рис. 2. Поуровневая реализация

6

Схема потоков данных представлена на рис. 3.

обработка

пользовательского

запросов

,формирование

SQ

LзапросакБД

К лавиатура ,мышь запрос данных

Дисплей

База данных

результатызапроса

обработкаполученных

данных,представление

ихвудобномдля

пользователявиде

S Q L запрос

Данные

Рис. 3. Схема потоков данных

В настоящее время система находится в стадии разработки,ориентировочный срок её завершения – июнь месяц этого года.После этого она будет включена во внутривузовскую сеть Дон-НТУ и доступна для открытого пользования. Структура, объём иособенности технической реализации позволят её использоватькак в дистанционном обучающем режиме, так и в режиме ауди-торных занятий.

Литература1. Беловодский В.Н., Климко Г.Т. Компьютер в лекционной

аудитории. // Теорія та методика навчання математики, фізики,інформатики: Збірник наукових праць в 3-х томах. – Кривий Ріг,2003. – Т.1: Теорія та методика навчання математики. – С. 17-20.

2. Носенко Ю.Л., Пак В.В. Навчальна програма з вищої ма-тематики для технічних, технологічних, економічних та природ-ничих спеціальностей вищих закладів освіти. – К. : Міністерствоосвіти України, 1999. – 45 с.

7

ПРОБЛЕМАТИКА ВИВЧЕННЯМАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН СТУДЕНТАМИ

ЕКОНОМІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ

О.В. Бехм. Кривий Ріг, Криворізький економічний інститут Київського

національного економічного університету

Основою математичної підготовки спеціаліста економічногонапрямку є загальний курс вищої математики, в якому із курсутеорії ймовірностей і математичної статистики згідно навчальноїпрограми викладаються ті питання, знання яких є необхідниммінімумом для засвоєння матеріалу наступних курсів.

Методи економіко-математичного моделювання, можливостізастосування яких суттєво збільшилися завдяки сучасному про-грамному забезпеченню ПЕОМ, являють собою один із найбільшдинамічно прогресуючих розділів прикладної економічної науки.

Сучасний економіст повинен добре розбиратися в економі-ко-математичних методах, вміти їх практично застосовувати длямоделювання реальних економічних ситуацій. Це дозволяє кра-ще засвоїти теоретичні питання сучасної економіки, сприяє під-вищенню рівня кваліфікації і загальної професійної культуриспеціаліста [1].

Прямі експерименти з економікою, як відомо з історії, дужедорого коштують (колективізація, індустріалізація, гіперінфля-ція, тощо). Разом з тим неможливо безпосередньо передбачитисередньо- та довготермінові наслідки окремих рішень. Це можназробити лише на підставі концептуальних моделей розвитку еко-номіки, що спираються на минулий досвід, які, в свою чергу,становлять основу математичних моделей.

Стосовно математичних моделей, то формування їх є доситьтривалим процесом, який потребує знань і праці, але ще важчестворити модель, досить адекватну реальній ситуації. Отже, дляопрацювання правильних економічних рішень необхідно аналі-зувати весь минулий досвід, результати, що отримані на підставізастосування концептуальних і математичних моделей, що єнайбільш адекватними для даної економічної ситуації.

Тому при підготовці спеціалістів економічного напрямку по-

8

винні систематично робитися викладки методів економіко-математичного моделювання, які широко використовуються врізних областях економіки, при прийнятті управлінських рішеньв фінансовій сфері в силу розробленості математичного апарату іможливості практичної реалізації [2].

Одним із основних розділів економіко-математичного моде-лювання, що входять до навчальних програм вищих навчальнихзакладів економічного профілю, є використання марковськихпроцесів, які представляють собою спеціальний вигляд імовірні-сних моделей різних процесів, що відбуваються в фінансово-економічних системах. Важливість вивчення цього розділу пояс-нюється також тим, що марковські процеси лежать в основі тео-рії масового обслуговування, яка в свою чергу представляєтьсянеобхідною складовою математичної освіти спеціалістів еконо-мічного напрямку.

Більше уваги також слід надавати методам та моделям коре-ляційно-регресійного аналізу. Регресійний і кореляційний аналіззнаходить широке застосування при дослідженні залежностей івзаємозв’язків між явищами в економіці, при прогнозуванні тарозв’язку задач в бізнес – плануванні. В даний час більшістьоб’єктивно існуючих залежностей між фінансово-економічнимиявищами досліджені та вивчені теоретично. Значно важніше кі-лькісно виміряти тісноту причинно-наслідкових зв’язків в еко-номіці та фінансах, зрозуміти природу досліджуваних процесів[3]. Це дозволяє впливати на виявлені фактори, втручатися у від-повідний економічний процес з метою отримання потрібних ре-зультатів. У зв’язку з цим до апарату кореляційно-регресійногоаналізу в ході своїх досліджень звертаються як економісти-практики, так і науковці.

Аналізуючи вищесказане, можна зробити висновок, що ви-користання економіко-математичних методів, як студентами принаписанні курсових чи дипломних робіт, так і фахівцями еконо-мічного профілю в своїй професійній роботі дає їм значну пере-вагу при отриманні результату, який розрахований на основі пе-вних даних про ресурси та з дотриманням технологічних умовфункціонування виробництва.

9

Література1. Вітлінський В.В. Моделювання економіки. – К.: КНЕУ,

2003.2. Лабскер Л.Г. Вероятностное моделирование в финансово-

экономической области. –М.: Альпина, 2002.3. Леоненко М.М. та ін. Теоретико-ймовірнісні та статистич-

ні методи в актуарній математиці. – К.: Інформтехніка, 1995.

10

ПРИКЛАДНА СПРЯМОВАНІСТЬ КУРСУ МАТЕМАТИКИ,ЩО ВИВЧАЄТЬСЯ НА ПЕДАГОГІЧНОМУ ФАКУЛЬТЕТІ

Л.С. Білецька, В.Ю. Ковальчук, Л.П. Силюга, Н.І. Стасівм. Дрогобич, Дрогобицький державний педагогічний університет

імені Івана Франкаyvp@drohobych.net

Одна із основних тенденцій вдосконалення математичноїосвіти визначається тим, що в школі повинно здійснюватисязнайомство з тими поняттями, які складають основу для побудо-ви моделей явищ навколишнього світу. Це реалізовується першза все через можливість побудови курсу математики з викорис-танням теоретико-множинних, логічних, функціональних і алго-ритмічних понять. При цьому долається розрив між алгеброю ігеометрією з однієї сторони і елементарною і вищою математи-кою з другої сторони.

Перехід школи на новий зміст математики переконливо по-казав, що якість знань молодших школярів перш за все залежитьвід рівня математичної та методичної підготовки вчителя. Дляправильного розгляду математичних понять вчитель повиненодержати глибокі знання з теорії множин, математичної логіки,теорії алгебраїчних операцій і структур, повинен бути ознайом-лений з розвитком поняття числа, теорією подільності, основни-ми геометричними перетвореннями. У зв’язку з цим значеннявищеназваних розділів математики у професійній підготовцівчителя початкових класів є важливим у наш час. У даній систе-мі підготовки вчителя необхідно дати йому більш конкретні уяв-лення про місце і рівень висвітлення основних понять математи-ки в початковій школі. Основну роль у вирішенні цієї проблемиповинен відіграти курс математики: тут існує можливість ви-вчення будь-якого математичного поняття на науковій основі ташляхів його реалізації в школі. Програма цього предмету пропо-нує ознайомлення майбутнього вчителя з теоретико-множинними поняттями (множина, операції над множинами, їхвластивості), логічними поняттями (висловлювання, предикат,операції над висловлюваннями та предикатами), глибоке ви-вчення поняття відношення і побудови вчення про число (нату-

11

ральне, раціональне і дійсне), величини, функції, рівняння, нері-вності. У результаті вивчення цього курсу майбутній вчительповинен оволодіти системою основних понять сучасної матема-тики, що є теоретичною базою для навчання учнів. Оволодівшицими знаннями, він вивчає шляхи їх формування у молодшихшколярів.

На практичних заняттях під час вивчення певної теми з курсуматематики студент повинен розуміти і вміти:

– пояснити теоретичні основи розв’язання різних видів вправз учнями,

– складати аналогічні вправи,– відшукувати і порівнювати різні способи їх розв’язання,– встановлювати перспективу вивчення того чи іншого пи-

тання,– характеризувати освітні і розвивальні функції математич-

них вправ.Покажемо прикладну спрямованість деяких розділів матема-

тики, які вивчаються на педагогічному факультеті, у подальшомувикладанні математики у початкових класах.

У курсі математики початкового навчання в силу можливос-тей засвоєння учнями алгебраїчного та геометричного матеріалупри формуванні знань про натуральне число, геометричні фігурипроходить поєднання уявлень і понять на основі положень теоріїмножин та відношень.

Поняття множини – одне з основних математичних понять,які використовуються в курсі математики початкового навчанняОстаннім часом порушується питання про те, щоб всю сучаснуматематику побудувати на основі цього поняття. Адже з цим по-няттям доводиться зустрічатися під час вивчення будь – якогопитання математики (множина цифр, парних чисел, знаків дій,всіх точок площини тощо). Зокрема, поняття числа формуєтьсяна основі виявлення властивостей множин, які не залежать відприроди предметів, з яких складаються ці множини. На множин-ній основі формуються і поняття про арифметичні дії над нату-ральними числами. Зокрема, це стосується основних операційнад множинами: об’єднання, переріз, доповнення, декартовийдобуток множин. Покажемо це.

1. Сума. Нехай дано дві скінченні множини А і В, які не ма-

12

ють спільних елементів, причому множина А складається з аелементів, а множина В – з b елементів. Сумою чисел а і b нази-вається число с, яке являє собою кількість елементів об’єднаннямножин А і В. За цим правилом розв’язуються більшість задачпочаткового курсу математики. Наприклад: На новорічній ялинціу школі було 80 ялинкових прикрас круглої форми і 112 прикрасподовгастої форми. Скільки всього іграшок було на ялинці?

Якщо множини А і В мають спільні елементи, то число еле-ментів їх об’єднання дорівнює сумі чисел елементів множин А іВ мінус число елементів їх перерізу. Саме за цим правилом по-будований принцип розв’язування наступної задачі: У класі 30учнів. 10 учнів вміють і малювати, і співати. 15 учнів вміютьлише гарно малювати. Скільки учнів вміють лише співати?

2. Різниця. Нехай дано скінчену множину А, яка складаєтьсяз а елементів, а В – її власна підмножина, яка складається з bелементів. Різницею чисел а і b називається число с, яке являєсобою кількість елементів доповнення підмножини В до множи-ни А. За цим правилом розв’язуються більшість задач на відні-мання початкового курсу математики. Наприклад: В автопарку500 автобусів і легкових автомашин. З них 275 легкових. Скількив автопарку автобусів?

3. Добуток. Нехай дано дві скінченні множини А і В, причо-му множина А складається з а елементів, а множина В – з b еле-ментів. Добутком чисел а і b називається число с, яке являє со-бою кількість елементів декартового добутку множин А і В. Зацим правилом розв’язується, наприклад, наступна задача: В на-бір канцтоварів входять книжка і блокнот. Скільки різних набо-рів можна утворити, якщо мати 15 різних книг і 7 різних блокно-тів?

4. Частка. Є дві різні задачі, які приводять до операції ділен-ня:

а) Множину А, що містить а елементів, треба розкласти напідмножини, які попарно не перетинаються і містять по b елеме-нтів кожна. Знайти кількість цих підмножин. На основі даногоправила розв’язується наступна задача: У кошику було 6 яблук.Оленка розклала їх на тарілки, на кожну по 2 яблука. Скількитарілок взяла Оленка?

б) Множину А, що містить а елементів, треба розкласти на b

13

рівнопотужних підмножин, які попарно не перетинаються. Скі-льки елементів містить кожна підмножина? На основі даногоправила розв’язується наступна задача: У кошику було 6 яблук.Оленка розклала їх на 3 тарілки порівну. По скільки яблук поло-жила Оленка на кожну тарілку?

В основі вивчення геометричного матеріалу лежить теорети-ко-множинний підхід до формування понять “геометрична фігу-ра”, “елементи фігури”, “операції над фігурами”. Одні з геомет-ричних фігур визначаються як множина точок, які задовольня-ють характерні властивості (коло, круг), інші – як переріз абооб‘єднання раніше визначених фігур (многокутник), треті – і цимі іншим способом (відрізок, ламана, кут). Ось яке означення від-різка дається в шкільному посібнику “Геометрія”: “Множина, щоскладається з двох різних точок прямої і всіх точок, що лежатьміж ними, називається відрізком”. Вчителю початкових класівпотрібно бачити у цьому означенні характерні властивості відрі-зка, а саме, що відрізок являє собою не порожню множину; щокінці відрізка належать цій множині, і, що відрізку належать усіточки, що знаходяться між його кінцями.

Однією з переваг введення в курс математики поняття від-ношення являється те, що при цьому виявляється єдність і ціліс-ність розділів шкільного курсу математики. Дане поняття вво-диться як відношення на множинах:

– живих істот і предметів (вище, нижче, повільніше, швидше,лівіше, правіше, старший, молодший, ширший, вужчий, важчий,легший, бути братом, сестрою, батьками, онуками);

– чисел (рівне, більше, менше, більше на ..., менше на ..., бі-льше у ... разів, менше у ... разів, подільність, кратність, безпосе-редньо слідує за ...);

– геометричних фігур (довший, коротший, лежить на, лежитьміж, лежить поза, лежить під, мати рівні сторони, мати однаковукількість вершин, мати одинакові площі).

Відношення різницевого та кратного порівняння становлятьоснову умов більшості простих текстових задач. Застосування упроцесі їх розв’язування графічного задання даних відношень єважливим засобом розвитку абстрактного мислення.

Важливе місце у теорії відношень займає встановлення їхвластивостей. Так, наприклад, відношення “мати однакову кіль-

14

кість вершин” на множині многокутників є відношенням еквіва-лентності, оскільки воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.Класи еквівалентності в даному випадку мають назву: трикут-ник, чотирикутник і т.д. А відношення “довше – коротше” намножині відрізків є відношенням строгого порядку, оскільки во-но анти рефлексивне, антисиметричне і транзитивне. Дані від-ношення упорядковують множину відрізків.

Особливе місце займає вивчення відповідностей між числамиі геометричними фігурами. На основі встановлення взаємно од-нозначної відповідності між множиною дійсних чисел і множи-ною точок прямої формуються вимірювальні навички, ілюстру-ються дії над числами, прийоми додавання і віднімання.

З метою активізації пізнавальної діяльності студентів, фор-мування в них любові до математики у навчальний курс введеніцікаві вправи різного характеру, пов’язані з тематикою занять(історичні, стародавні задачі, математичні софізми і курйози, за-дачі-вірші, математичні головоломки, ребуси, жарти, загадки,математичні казки). Також пропонуються вправи творчого хара-ктеру, зокрема на самостійне складання геометричних завдань ітекстових задач, пошук варіантів їх скороченого запису, якийдозволив би різні модифікації у зв’язку з побудовою задач, обер-нених до даної. Значна увага приділяється розробці ділових ігорз використанням матеріалів, які активізують розвиток пізнаваль-них інтересів учнів під час вивчення математики. У процесі ви-конання системи завдань, підібраних таким чином, математичнаі методична діяльність студентів відбувається у тісному взаємо-зв’язку.

Організація вивчення математики на педагогічному факуль-теті, що базується на загальних основах математики, має не тіль-ки важливе значення для забезпечення високого професійногорівня вчителя, але і утворює базу для поглиблення і розширенняйого математичних знань в майбутньому навчанні і самоосвіті.Таким чином проблема удосконалення підготовки вчителів поча-ткових класів до викладання математики залишається актуаль-ною і вимагає її постійного розв’язання.

15

ЩОДО ПРОГРАМИ З КУРСУМАТЕМАТИЧНОГОАНАЛІЗУ ДЛЯ ПЕДАГОГІЧНИХ УНІВЕРСИТЕТІВ

М.М. Білоцький1, Л.І. Дюженкова1, Г.О.Михалін2

1 м. Київ, Національний педагогічний університетімені М.П. Драгоманова

2 м. Біла Церква,Міжрегіональна Академія управління персона-лом, Білоцерківська філія

Відповідно до галузевих стандартів вищої освіти “Освітньо-професійна програма підготовки бакалавра” (затверджено нака-зом Міністерства освіти і науки України від 02 жовтня 2002 ро-ку, № 546), кафедрою математичного аналізу Національного пе-дагогічного університету імені М.П. Драгоманова розробленіпрограми всіх основних математичних дисциплін, вивчення якихзабезпечує кафедра.

Коротко зупинимося на характеристиці програми з курсуматематичного аналізу для спеціальності «Математика».

Структура програми така: пояснювальна записка, детальнийзміст програми з кожного розділу (блоку), література (основна тадодаткова), методичні вказівки, тематичний план практичнихзанять.

У пояснювальній записці формулюються основні завдання,що ставляться перед викладачем при читанні відповідного мате-ріалу для забезпечення професійної спрямованості курсу, длярозвитку логічного мислення студентів, вироблення у них необ-хідних умінь та навичок. При викладанні деяких тем можливірізні підходи, і право вибору надається лектору.

До кожного розділу програми наведено основні поняття, те-ореми та формули, які вивчаються у цьому розділі, та основнівміння, які треба виробити у студента при вивченні відповідногоматеріалу.

Методичні вказівки містять посилання на зв’язок матеріалу,що вивчається, з відповідним матеріалом шкільного курсу мате-матики та з іншими предметами вузівських курсів.

У програмі вказано основну та додаткову літературу, прицьому сам поділ носить рекомендаційний характер (нижче зазна-чено деякі основні підручники та посібники, які й охоплюють

16

зміст програми).Тематичний план практичних занять містить задачі для кон-

тролю обов’язкового рівня знань до кожної теми [7, 8].Програма з математичного аналізу визначає обсяг знань, не-

обхідних для фахової підготовки вчителя математики середньоїшколи. Вивчення курсу математичного аналізу має за мету ґрун-товну математичну підготовку спеціалістів та наукове обґрунту-вання ряду питань, перше уявлення про які одержано в шкільно-му курсі математики (поняття функції, границі, неперервності,похідної, інтеграла).

Вивчення матеріалу передбачає відображення ролі науковихметодів у пізнанні навколишнього світу. Саме тому велика увагамає приділятися задачам теорії і практики, які приводять до ос-новних понять математичного аналізу, а також висвітленню ві-домостей з історії розвитку математики.

Основу програми складають питання, які прийнято називатикласичним математичним аналізом. Проте включення окремихпитань сучасного математичного аналізу або, як його ще нази-вають, функціонального аналізу, дозволить студентам одержатиуявлення про розвиток та сучасний стан математичної науки.

Значне місце у навчальному процесі слід відвести самостій-ній роботі студентів по кожному з розділів курсу: опрацюванняпевного теоретичного матеріалу, розв’язування задач, написаннярозрахункових робіт тощо. Планування самостійної роботи тапідбір відповідного матеріалу проводиться лектором і затвер-джується кафедрою.

Рекомендується особливу увагу звернути на глибоке ви-вчення тих питань, які пов’язані з шкільним курсом математики.При цьому доцільно не тільки зупинятися на тому, як те чи іншепитання розглядається в школі, а й вказати на логічні прогалини,причини їх виникнення та можливі шляхи усунення засобамиматематичного аналізу. Такий підхід дасть змогу формувати нелише математичну, а й методичну культуру майбутнього вчите-ля. Крім того, необхідно звернути увагу на можливість застосу-вання методів та прийомів математичного аналізу дорозв’язування рівнянь і нерівностей, доведення тотожностей таінших задач шкільного курсу математики.

При викладанні курсу значне місце має бути відведено ви-

17

світленню вкладу українських математиків у розвиток математи-ки як науки, вузівської та шкільної математики.

Для розвитку комп’ютерної грамотності при викладанні кур-су бажано використовувати алгоритмічний підхід і мову блок-схем (там, де це доцільно) та, по можливості, реалізувати їх наперсональних комп’ютерах.

Програма визначає обсяг знань в цілому. Послідовність ви-вчення тем, методичні шляхи та організаційні форми навчанняздійснюються лектором за узгодженням з кафедрою та враху-ванням міжпредметних зв’язків iз суміжними навчальними дис-циплінами.

Програма передбачає можливість вивчення курсу з різнимступенем повноти. Окремі питання відносяться до питань підви-щеної складності, а тому вони не є обов’язковими для вивчення.

Це дозволить не тільки варіювати обсяг матеріалу, ступітьйого поглиблення та розширення, а й організувати диференційо-ваний підхід до студентів у реалізації їхніх математичних здіб-ностей.

Всі питання програми можна розглядати там, де вони вказанівперше, або в наступних розділах, чи, навіть, в інших математи-чних дисциплінах, зокрема в комплексному аналізі.

Програма передбачає деякі важливі факти курсу аналізу роз-глядати в два етапи. На першому етапі виклад матеріалу має но-сити пропедевтичний рівень, а потім можна знову повернутисядо цього матеріалу, вивчаючи його на глибшому рівні. Це стосу-ється, зокрема, вивчення теорії рядів. Елементарну теорію чис-лових та функціональних рядів можна викласти зразу після ви-вчення границі послідовності, а питання диференціювання таінтегрування функціональних (зокрема, степеневих) рядів можнаподати у відповідних розділах. Такий підхід визначає роль рядівяк основного апарату дослідження функцій (ряди – один із спо-собів аналітичного представлення функцій). Тому користуючисьрозвиненнями функцій у степеневі ряди, можна раніше вивчативластивості елементарних функцій, обчислювати їхні наближенізначення, чи інтеграли від таких функцій, а також деякі границіфункцій.

Таке саме зауваження стосується і методики викладання те-орії рядів Фур’є. Спочатку можна дати елементарну теорію ря-

18

дів, необхідну для розв’язування практичних задач, а потім зновуповернутися до цієї теми при вивченні нормованих просторів.

У вступі до аналізу слід дати коротку історичну довідку ви-никнення і розвитку математичного аналізу, з’ясувати йогопредмет (функція) та основний метод (граничний перехід).

Теорію дійсного числа можна ввести аксіоматично, вибрав-ши найпростіший варіант аксіоми неперервності, а саме: якщоA≤B в тому розумінні, що a≤b ∀ a∈ A і ∀ b∈ B, то існує число c та-ке, що A≤c≤B. Підкреслити, що пізніше цю аксіому можна замі-нити еквівалентними твердженнями (наприклад, аксіомами Кан-тора і Архімеда, або теоремою Вейєрштрасса про існування суп-ремуму для обмеженої зверху множини).

Поняття функції, границі та неперервності є фундаменталь-ними поняттями математики і є основою для вивчення всіх на-ступних розділів курсу математичного аналізу.

Вводити поняття границі та неперервності функції слід зпростих прикладів та геометричних ілюстрацій, які ґрунтуютьсяна інтуїтивному уявленні про поведінку функції в достатньо ма-лому околі точки x0.

Поняття похідної має формуватися на основі задач, які при-водять до нього. Крім класичних задач (про дотичну до кривої,про миттєву швидкість, про продуктивність праці), які, крім то-го, дають змогу з’ясувати геометричний, механічний та економі-чний зміст похідної, можна навести й інші задачі, в яких дово-диться знаходити швидкість зміни деякої функції, пов’язаної зграницею спеціального вигляду. Саме різноманітністю задачможна підкреслити загальність поняття похідної та необхідністьйого введення для довільної функції.

Доцільно звернути увагу на алгоритмічність означення похі-дної, можливість складання такого алгоритму і використанняйого для знаходження похідних.

Необхідно виробити уявлення про те, що не всяка функція(навіть неперервна) є диференційовною (тобто має скінченнупохідну) у кожній точці області визначення. На простих геомет-ричних ілюстраціях слід показати, що графік диференційовноїфункції у відповідній точці має дотичну, не паралельну осі OY, ав точках неіснування похідної графік неперервної функції маєзлами.

19

При проведенні повного дослідження функції, треба підкре-слити роль диференціального числення у вивченні властивостейфункцій, вказавши на значне розширення змісту шкільного кур-су математики з питань повного дослідження функцій та побудо-ви їхніх графіків. Зокрема, цей матеріал може бути темою інди-відуальної розрахунково-графічної роботи.

Продемонструвати широке застосування математики дорозв’язування задач з різних галузей науки (застосування похід-ної до розв’язування прикладних задач, зокрема задач на екстре-мум, наближених обчислень тощо).

У розділі “Інтегральне числення” звернути увагу на те, щоінтегрування є оберненою операцією до диференціювання, і томувиводить із класу об’єктів, на якому пряма операція була за-мкненою. Тому треба навести приклади функцій, неінтегровниху скінченному вигляді.

Розглядаючи основні методи інтегрування, звернути увагуна те, в яких випадках зручно використовувати ці методи. Ви-вчаючи певні класи інтегровних функцій, зауважити, що одну йту саму функцію (наприклад, 22 ax + ) можна інтегрувати, ви-користовуючи різні підстановки або частинами. Можна виділитиалгоритм розкладання раціональної функції на елементарні дро-би та навести його блок-схему.

Вивчаючи визначений інтеграл, звернути увагу на важли-вість формули Ньютона-Лейбніца, підкресливши при цьому об-меженість її застосування на практиці. У зв’язку з цим виникаєпроблема наближеного обчислення інтегралів, зокрема за допо-могою степеневих рядів (цим можна пояснити важливість ви-вчення теорії рядів у попередніх розділах).

Слід підкреслити основну ідею застосування визначеного ін-теграла, що ґрунтується на складанні відповідної інтегральноїсуми та відшуканні її границі.

Для кожного застосування можна сформулювати відповідніалгоритми та навести для них блок-схеми.

Поняття метричного простору є простим узагальненням про-стору Rn. Матеріал цього розділу дає змогу із загальних позиційпоглянути на поняття і факти математичного аналізу, розглянутіу попередніх розділах. Основна ідея, яку доцільно тут виділити,полягає в тому, що суть основних понять математичного аналізу

20

не зміниться при переході до об’єктів більш загальної природи.Відповідні означення і твердження не стають складнішими, анавпаки, більш прозорими. Саме тут можна показати, що абстра-ктність математики надає їй силу та універсалізм.

З точки зору методичної доцільності виклад матеріалу кращепроводити для довільного та конкретних метричних просторів,повторюючи при цьому матеріал, який вже вивчався.

За освітньо-професійною програмою на курс“Математичний аналіз” відводиться 703 години. Передбачаєтьсяпроведення колоквіуму, двох контрольних та однієї розрахунко-вої роботи.

Література1. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. Ч. 1–3. – К.: Ви-

ща школа, 1990, 1991, 1992. – 384, 366, 360 с.2. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. Ч. 1. – К.: Либідь,

1993. – 320 с.3. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. Ч. 2 – К.: Либідь,

1994. – 304 с.4. Михалін Г.О. Вступ до аналізу у метричних просторах та

диференціальне числення функцій кількох змінних. – К.:НПУ ім.М. П. Драгоманова, 1999. – 196 с.

5. Михалін Г.О. Елементи теорії інтеграла та міри. – К.: НПУім.М. П. Драгоманова, 2000. – 265 с.

6. Шкіль М.І. Математичний аналіз. Ч. 1–2. – К.: Вища школа,1994, 1995. – 424, 430 с.

7. Дюженкова Л.І., Колесник Т.В., Лященко М.Я., Миха-лін Г.О., Шкіль М.І. Математичний аналіз у задачах і при-кладах. Ч. 1. – К.: Вища школа, 2002. – 462 с.

8. Дюженкова Л.І., Колесник Т.В., Лященко М.Я., Миха-лін Г.О., Шкіль М.І. Математичний аналіз у задачах і при-кладах. Ч. 2. – К.: Вища школа, 2003. – 470 с.

21

ЛОГІЧНА СТРУКТУРА КУРСУ “МАТЕМАТИЧНЕПРОГРАМУВАННЯ” ТА ЙОГО ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОКІЗ КУРСОМ “ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ”

Д.Є. Бобилєвм. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний

університетbob@kpi.dp.ua

В поданій статті зроблена спроба узагальнити досвід викла-дання курсів “Дослідження операцій” (ДО) та “Математичнепрограмування” (МП) для спеціальностей “Менеджмент зовніш-ньоекономічної діяльності” та “Менеджмент організацій” в Ін-ституті ділового адміністрування (м. Кривий Ріг).

Після аналізу значної кількості програм, підручників, навча-льних посібників та методичних вказівок із курсів ДО та МП [1–9] можна зробити висновок, що більшість авторів ігнорують за-тверджені МОН України програми і підмінюють зміст курсу ДОчастиною змісту курсу МП. Це можна звичайно пояснити тим,що МП є складною для розуміння і засвоєння дисципліною.Особливо для студентів зі слабкою математичною підготовкою.А таких зараз більшість в приватних навчальних закладах. Черезбрак часу викладач не встигає викласти матеріал курсу МП(54 год.) і вимушений перенести частину матеріалу в курс ДО(81 год.). Цього не можна уникнути, оскільки більшість тем ДОпотребує методів, що вивчаються в курсі МП. Але це забираєзначну частину часу, що виділений саме на вивчення ДО. Томустуденти засвоюють лише деякі уявлення про коло питань, щомають детально вивчатися в курсі ДО.

Цієї проблеми можна уникнути, якщо правильно розподіли-ти матеріал МП та ДО. Ефективного розподілу можна досягти,якщо чітко окреслити логічну структура курсу МП (рис. 1) тайого взаємозв’язок з курсом ДО.

Визначивши структуру курсу МП, можна прослідкувати, якіметоди найбільш часто зустрічаються в курсі ДО (рис. 2). І, ви-ходячи з цього, оптимально спланувати роботу. Наприклад, теми“Динамічне програмування”, “Нелінійне програмування” можнаподати лише у вигляді двох оглядових лекцій (4 год.) в курсі

22

МП, освітивши лише основні моменти теорії та її застосування, адетально пояснити застосування цієї теорії в курсі ДО. Це обу-мовлено також тим, що без прикладів з економічним змістом цітеми студентам важко зрозуміти, а описання цих прикладів заби-рає велику кількість часу.

Математичне програмування

Лінійнепрограмування

Цілочисловепрограмування

Нелінійнепрограмування

Динамічнепрограмування

Стохастичнепрограмування

Основитеоріїігр

симплекс-метод метод Гоморі метод множниківЛагранжа

двоїсті задачі угорський метод градієнтні методи

транспортна за-дача

метод розгалужень імеж

метод штрафнихфункцій

двоїстий симп-лекс-метод

Рис. 1. Логічна структура курсу МП

Більшу увагу в курсі МП, на мій погляд, слід приділитидвоїстій парі задач. Підкріпивши вивчення цієї теми великою

23

кількістю задач на дослідження з економічним змістом. На цеварто витратити 4 г лекцій та 4 г. практичних занять.

Дослідження операцій Математичне програму-вання

Оптимальний розподіл ре-сурсів метод Гоморі

Задачі управління запасами симплекс-метод

Задачі масового обслугову-вання двоїсті задачі

Задачі упорядкування та ко-ординації транспортна задача

Задачі та моделі заміни двоїстий симплекс-методЗадачі з умовами невизначе-

ності та конфлікту угорський метод

Багатокритеріальні задачі вменеджменті метод розгалужень і меж

Динамічне програмуванняОснови теорії ігор

Нелінійне програмування

Рис. 2. Взаємозв’язок тем курсів МП та ДО

Більшість авторів [2, 3, 7, 9] наводять лише алгоритм побу-дови двоїстої задачі та їх класифікацію, без детального пояснен-ня де цей потужний апарат можна використати на практиці, спо-діваючись, що студентам це буде пояснено під час вивчення кур-су ДО або іншого курсу з економіко-математичного циклу. Алена жаль слабка математична підготовка викладачів цих дисцип-лін не дозволяє їм в повній мірі показати дієвість цього матема-тичного апарату.

На основі поданої логічної структури курсу МП та його вза-ємозв’язку з курсом ДО нами були розроблені робочі програми зновим розподілом годин (таблиці 1, 2). Апробація проводилисьпротягом 2002-2003 н.р.

24

Таблиця 1Розподіл годин (МП)

у тому числі№ Назва теми

Всьо-го,годин лекцій

практ.занять

самост.робота

1. Вступ 1 1 – –2. Лінійне програмування 12 4 4 43. Двоїстість у лінійному про-грамуванні 10 4 4 2

4. Транспортна задача 8 2 4 25. Цілочислове програмування 6 1 3 26. Нелінійне програмування 4 2 – 27. Динамічне програмування 4 2 – 28. Стохастичне програмування 5 1 2 29. Основи теорії ігор 4 1 1 2

Всього: 54 18 18 18

Таблиця 2Розподіл годин (ДО)

у тому числі№ Назва теми Всього,

годин лекцій практ.занятьсамост.робота

1. Вступ 1 1 – –2. Методи економіко-математичного моделювання 3 1 – 2

3. Задачі та моделі оптимально-го розподілу ресурсів 16 4 4 8

4. Оптимізаційні задачі управ-ління запасами 9 2 2 5

5. Задачі масового обслугову-вання 15 2 3 10

6. Задачі упорядкування та ко-ординації. Сітьове плануван-ня

9 2 2 5

7. Задачі та моделі заміни 9 2 2 58. Задачі з умовами невизначе-ності та конфлікту 10 2 3 5

25

у тому числі№ Назва теми Всього,

годин лекцій практ.занятьсамост.робота

9. Багатокритеріальні задачі вменеджменті 9 2 2 5

Всього: 81 18 18 45

Цілком очевидно, що і цієї кількості аудиторних годин булонедостатньо для детального ознайомлення з виділеними темами.Але тут вже буде відігравати роль самостійна робота студентівефективність якої залежить від того наскільки пророблений на-вчально-методичний комплекс цих дисциплін. Наприклад, змістлекцій не треба перевантажувати складними математичними до-веденнями. Адже студентам перш за все необхідно дати інстру-мент за допомогою якого вони зможуть досліджувати математи-чні моделі економічних ситуацій. Щоб донести до студентівструктуру цих курсів необхідно на початку занять роздати їм ка-ртки в яких перераховуються всі теми та форми їх подання.

Під час вивчення теми “Оптимальний розподіл ресурсів” ку-рсу МП, де студенти ще раз зустрічаються з методами динаміч-ного програмування, варто спочатку описати найбільш простуекономічну ситуацію яка містить всього дві технологічні лінії інезначну кількість дискретних значень кількості ресурсу [5].Розв’язувати задачу треба без згадування методів динамічногопрограмування, тобто звичайним переборним методом оформле-ним у вигляді таблиці. А вже потім наголосити на тому, що цеодна із простіших модифікацій методу динамічного програму-вання і дати студентам алгоритм цього методу. Аналогічно і ви-кладення інших тем, що базуються на матеріалі, який лише огля-дово був представлений в курсі МП треба планувати таким чи-ном, щоб починати з якоїсь задачі з економічними змістом а по-тім вже переходити до розгляду алгоритмів методів, що не булирозглянуті в курсі МП.

Отже, якщо перерозподілити час на вивчення деяких темМП та ДО (наприклад, зменшити кількість годин на вивченнятем: “Нелінійне програмування”, “Динамічне програмування”, азбільшити – на теми “Двоїсті задачі”, “Цілочислове програму-вання”), можна досягти більш ефективного вивчення обох кур-

26

сів. Звичайно, це стосується тієї ситуації, коли на спеціальностіпослідовно викладаються обидва курси.

Література1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах

и задачах. –М.: Высшая шк., 1993. – 336 с.2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы мо-

делирования экономических систем. – М.: Финансы и стати-стика, 2002. – 368 с.

3. Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування: На-вч. посіб. – К.: Либідь, 2001.

4. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій: Підручник. – К.: ВІ-ПОЛ, 2000.

5. Збірник завдань по виробничим ситуаціям з використаннямметодів оптимізації. Частина І / Укл. А.Ф. Щербак, Н.Г. Гло-ба. – Кривий Ріг: КЕІ КНЕУ, 2002.

6. Конюховский П. Математические методы исследования опе-раций в экономике. – СПб: Питер, 2000.

7. Методичні вказівки до самостійної роботи студентів тарозв’язування задач з дисципліни “Дослідження операцій тадискретний аналіз” / Укл. А.Ф. Щербак, Н.Г. Глоба. – КривийРіг: КЕІ КНЕУ, 2001.

8. Романанюк Т.П. та ін. Математичне програмування /Т.П. Романанюк, Т.А. Терещенко, Г.В. Присенко, І.М. Горо-дкова. – К.: ІЗМН, 1996.

9. Ульянченко О.В. Дослідження операцій в економіці: Підруч-ник для студентів вузів. – Харків: Гриф, 2002. –580 с.

27

ДИДАКТИЧНЕ ЗНАЧЕННЯ АЛГОРИТМІВ У НАВЧАННІРОЗВ’ЯЗУВАННЯ СТЕРЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ

Н.В. Богатинська, Л.О. Черних, Г.М. Білоусовам. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний

університет

У процесі навчання математики задачі відіграють надзви-чайну роль. Важко знайти інший матеріал, більш придатний длярозвитку мислення і уяви учнів, ніж математичні задачі.

У дослідженнях дидактів, психологів, методистів останнімчасом переконливо підкреслюється, що уміння розв’язувати за-дачі не знаходяться у прямій залежності від кількостірозв’язаних задач. Традиційно успіх визначається лише кількіс-тю задач і вправ, виконаних учнем. Проте, як показує досвід,учень може за допомогою вчителя порозв’язувати значну кіль-кість математичних задач, але якщо у нього не сформований за-гальний підхід до аналізу задачі, пошуку способу її розв’язання,не сформовані уміння вилучати з кожної розв’язаної задачі інфо-рмацію, корисну для розв’язання іншої задачі, не розвинені ал-горитмічні прийоми мислення, то учень виявляється безпорад-ним, розв’язуючи задачу самостійно.

Аналіз результатів вступних екзаменів з математики до різ-них вузів країни переконливо свідчить про те, що однією з голо-вних причин труднощів, на які натрапляють учні під часрозв’язування задач, є те, що вони часто не знають тих операцій(дій), які необхідно виконати, щоб розв’язати задачу, або не во-лодіють цими операціями, оскільки вони у них не сформовані.Якщо систему операцій (дій), необхідних для розв’язання деяко-го класу чи типу задач, назвати методом (способом) розв’язання,то можна сказати, що учні тому незадовільно розв’язують задачі,що не знають основних методів (способів) їх розв’язання, незнають, як і в якій послідовності треба діяти, щоб знайтирозв’язання задачі. У шкільній практиці вчитель часто турбуєть-ся лише про те, щоб дати учням знання про зміст матеріалу, якийвивчається, і значно менше про те, щоб дати йому знання проспособи оперування цим змістом, не звертає уваги не операції, зяких складається розв’язання задачі.

28

Особливі утруднення, як правило, викликають геометричнізадачі, зокрема стереометричні. І це невипадково, адже в шкіль-ній геометрії значно менше уваги приділяють навчанню учнівзагальним методам, прийомам розв’язання задач.

Стереометричні задачі мають свої специфічні особливості:просторові фігури не можна зобразити не рисунку без спотво-рень, і в цьому полягає трудність сприймання та розв’язання сте-реометричної задачі. У зв’язку з цим учням необхідно, по-перше,правильно зобразити просторову фігуру з врахуванням її власти-востей і властивостей паралельної проекції; по-друге, правильноуявити просторову фігуру за її умовним зображенням.

При навчанні геометрії виникають різні труднощі. Одна знайголовніших – відсутність алгоритмів; практично кожна зада-ча і кожна теорема розв’язуються і доводяться як нові.

Будь-який алгоритм завжди є конкретним вираженням у по-слідовності дій (операцій) деякого методу розв’язання певноготипу задач. Так, багато хто з абітурієнтів не розв’язує стереомет-ричну задачу на обчислення тому, що у них не сформована про-грама (алгоритм) виконання стереометричного рисунка пошире-ного виду фігур. Типовими є такі помилки: невірно будують кутміж прямою і площиною, лінійний кут двогранного кута, висотупохилої призми і неправильної піраміди, зображення різних ви-дів призм (особливо похилих) і неправильних пірамід, зрізанихпірамід, тіл обертання, комбінацій просторових фігур.

Відомо, що учні вірно зображають, наприклад, висоту пра-вильного тетраедра, проведену до його основи, але допускаютьпомилки, пов’язані із зображенням висоти, проведеної з вершиниоснови на бічну грань. Розв’язуючи задачу “У паралелепіпедіABCDA1B1C1D1, усі грані якого рівні ромби з рівними гостримикутами при вершині A, побудуйте перпендикуляри з вершини A1

на площину ABC і з вершини D на площину ABB1”, учні безпо-милково будують висоту A1O (хоча, як правило, відсутні обґрун-тування), але не помічають тієї ж задачі, будуючи перпендикулярз вершини D на площину ABB1 (рис. 1).

Неможливо, звичайно, вказати такий загальний метод (алго-ритм), за допомогою якого можна б було розв’язувати всі сте-реометричні задачі. Проте можна виділити певні типи задач напобудову, доведення, обчислення, дослідження, розв’язання яких

29

базуються на застосуванні відповідних алгоритмів, часто повто-рюваних прийомів міркувань. Зрозуміло, що алгоритми самі пособі ніяких задач не розв’язують; задачі розв’язуються в процесівиконання послідовності дій (операцій), які визначаються алго-ритмом або відповідають деякому алгоритму.

Рис. 1.

Навчання учнів застосуванню алгоритмів при розв’язуваннігеометричних задач є найважливішим завданням методики. Ви-користання алгоритмічного підходу у навчальному процесі нетільки не зменшує ініціативи учня, творчого пошуку, інтуїції, анавпаки сприяє розвитку важливих якостей мислення, допомагаєне тільки управлінню, а й самоуправлінню мисленням прирозв’язуванні типових задач. Формування в учнів певних алго-ритмічних прийомів розумової діяльності звільняє їх інтелектуа-льні сили для розв’язування нових, найбільш складних задач,зокрема і творчого характеру. Будь-яку звичайну задачу, алго-ритм розв’язання якої відомий, можна зробити творчою, якщо вкласі створити атмосферу пошуку, роздумів, коли учні знаходятьдекілька способів розв’язання однієї і тієї ж задачі; важливо за-дачу подати так, щоб кожний етап її розв’язання спонукав учнівобмірковувати свої дії. Так, наприклад, задача “Основою трикут-ної піраміди ABCD є прямокутний трикутник BCD, у якогоBC=7 см, BD=10 см, ∠ CBD=90°. Ребро BA перпендикулярне доплощини основи і його довжина дорівнює 6 см. Знайти об’ємпіраміди” (рис. 2а) при такому формулюванні фактично є усноюі для її розв’язання від учня вимагається лише механічне засто-сування формули об’єму піраміди.

Якщо цю ж задачу сформулювати по іншому: “Основоютрикутної піраміди ABCD є прямокутний трикутник BCD з кате-

30

тами 7 см і 10 см, ∠ CBD=90°. Довжина ребра BA дорівнює 6 см.Одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне до площини ос-нови. Знайти об’єм піраміди”, то під час її розв’язування, першніж застосувати алгоритм попередньої задачі, учень повинен до-слідити, яке з бічних ребер (AB, AC чи AD) буде перпендикуляр-не до площини основи піраміди.

Можна цю ж задачу запропонувати ще і в такому варіанті:“Всі плоскі кути при вершині B трикутної піраміди ABCD – пря-мі, а довжини її бічних ребер BA=6 см, BC=7 см, BD=10 см.Знайти об’єм піраміди” (рис. 2б).

Рис. 2.

Задача, сформульована у такому варіанті, повторює попере-дню, проте для її розв’язання від учня вимагається, крім знанняформули об’єму піраміди, уміння застосовувати відомий алго-ритм у новій незвичній ситуації розташування просторовихоб’єктів. Не кожний учень наважиться, здогадається“перевернути” дану в умові піраміду і прийняти за основу одну збічних граней. Варіації неістотних ознак поняття (різноманітнірозташування зображень просторових фігур на площині) під часнавчання учнів розв’язуванню задач сприяють оволодінню зага-льними методами розв’язання однотипних задач.

Стереотипність мислення, сковування ініціативи учнів, різ-номанітні обмеження у кожному конкретному випадку не даютьбагатьом з них можливості побачити розв’язання задачі в неста-ндартній ситуації. Будь-який алгоритм учень повинен застосову-вати творчо, з глибоким розумінням кожного кроку. При алгори-тмічному підході до розв’язування задач необхідно організову-вати його діяльність так, щоб сконцентрувати увагу на матема-тичній суті задачі, на обміркуванні кожного етапу алгоритму.

31

Допоможуть цьому певний набір задач і доцільна методика орга-нізації роботи з ними.

Вірно поставлене навчання алгоритмам в процесірозв’язування геометричних задач неодмінно передбачає на-вчання самостійному відкриттю, побудові, формулюванню алго-ритмів, а це, як правило, процеси творчого характеру. Навчанняалгоритмам може бути чудовим засобом виховання творчого ми-слення.

Навчання алгоритмам повинно розглядатись не тільки як за-сіб ефективного навчання розв’язуванню геометричних задач, а іяк спосіб формування деяких специфічних прийомів математич-ної діяльності учнів (уміння відкрити загальний методрозв’язання нового типу задач, підвести задачу під відомий алго-ритм, представити результати розв’язання в зручній для сприй-мання формі і т.д.).

В процесі навчання учнів розв’язуванню задач на основі ал-горитмічного підходу учні повинні знати, що вчитель при цьомучекає від них:

1) різних способів розв’язання задачі;2) аналізу виконаних операцій;3) узагальнення аналогічних ситуацій і виводу закономірно-стей;

4) встановлення зв’язків розв’язуваної задачі з ранішерозв’язаними.

Організоване у такий спосіб навчання учнів геометрії можезабезпечити високий рівень їх знань, умінь і навичок.

Література:1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для

9-10 классов с углубленным изучением математики. – М.:Просвещение, 1984. – 480 с.

2. Бевз Г.П. Методика розв’язування стереометричних задач. –К.: Рад. школа, 1988. – 191 с.

3. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геомет-рических задач. – К.: Рад. школа, 1989. – 158 с.

4. Ланда Л.Н. Алгоритмизация в обучении. – М.: Просвещение,1966. – 523 с.

32

ЗАСТОСУВАННЯ ЗАДАЧ ФІЗИЧНОГО ЗМІСТУУ НАВЧАННІ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

М.В. Босовськийм. Черкаси, Черкаський національний університет

ім. Б. Хмельницькогоbosovskyy@ukr.net

Глибокі зв’язки, існуючі між фізикою і математикою як нау-ками, неминуче повинні знайти адекватне віддзеркалення взв’язках між відповідними навчальним дисциплінами. В данийчас ні у кого не викликає сумніву той факт, що тільки при опти-мальному функціонуванні міжпредметних зв’язків можливе реа-льне підвищення якості знань тих, хто навчається. Проте на цьо-му шляху є певні труднощі.

Зокрема, вони виникають через те, що існує значний розривміж шкільними курсами фізики і математики. Як показує досвід,першокурсники-математики побоюються задач з фізичним зміс-том, оскільки не впевнено володіють фізичними поняттями і фа-ктами, які вони вивчали у школі. Проте фактичний матеріал кур-су фізики та притаманні їй способи пізнання можуть послужитиформуванню і розвитку математичних знань, навичок і вмінь,зокрема тих що стосуються діяльності моделювання [2].

На нашу думку, одним із шляхів вирішення цієї проблеми євикористання дидактично виважених наборів задач з фізичнимзмістом. Наприклад, при вивченні теорії границь в курсі матема-тичного аналізу можна використати задачі таких розділів фізики,як теорія відносності, оптика, електричне поле та ін. Пропоную-чи такі задачі студентам I курсу математичного факультету, важ-ливо щоразу підкреслювати, що такі задачі є доступними дляних.

Незвичною, можливо є ситуація, що описується в задачі. Ви-кладач може сказати студентам: “Не побоюйтесь. Утрудненняможуть виникнути лише під час побудови математичної моделізадачі. Коли ж модель отримана, її дослідження здійснювати-меться на основі тих фактів, які ви щойно вивчили в курсі мате-матичного аналізу.” Отже, пропонуючи студентам задачу з фізи-чним змістом, важливо супроводжувати розв’язування комента-

33

рями, вказівками, підказками (принаймні під час розв’язуваннякількох перших задач набору). Також доцільно включати певнівказівки математичного змісту безпосередньо у формулюваннязадачі. Виділення іншим шрифтом, жирністю, підкреслюваннямтаких частин тексту умови задачі виконує роль візуальних акце-нтів. Через це саме ця частина умови задачі найбільше впадає увічі, на неї студент зверне увагу в першу чергу. Тим самим усу-ватиметься бар’єр упередженого ставлення до задач з фізичнимзмістом. Покажемо це на прикладах.

Задача 1. Релятивістський коефіцієнт у теорії відносності [1]

виражається формулою2

2

11c

v−=Γ , де v – швидкість тіла чи

системи, c–швидкість світла у вакуумі.Розгляньте даний вираз як функцію відносної швидкості

Vc

v = і знайдіть границю цієї функції при V→0.

Під час обговорення результату слід зазначити, що всі осно-вні формули теорії відносності переходять при малих відноснихшвидкостях у відомі положення і формули класичної фізики.Щоб цей висновок підтвердити, із студентами можна розглянутиінші задачі теорії відносності.

Задача 2. Відомо [1], що електрон і позитрон (антиелектрон),зустрівшись і маючи однакову відносну швидкість V, перетво-

рюються в кванти світла, що має довжину хвилі 2

0

1 Vcm

h −=λ ,

де h=6,62·10–34 Дж·с – постійна Планка, m0=9,1·10–31 кг. Розгля-нувши λ як функцію відносної швидкості V, довести, що при гра-ничному переході при V→0 (при зустрічі повільної електронно-позитронної пари) з зникненням електрона і позитрона, утво-ряться кванти світла з комптоновською довжиною хвилі

cm

hk

0

=λ . Знайдіть чисельне значення λk і виразіть її значення

числом стандартного виду.Задача 3. Повна енергія тіла виражається формулою Ейнш-

тейна E=mc2, де m=m0Г [1]. Початкове значення енергії спокоювиражається формулою: E0=m0c

2.Визначте приріст ∆E=E–E0 повної енергії тіла і, розглядаючи

34

його як функцію відносної швидкості, знайдіть границю функціїпри V→0.

Розв’язавши цю задачу, можна зрозуміти, як отримуєтьсявираз для кінетичної енергії .

∆E=mc2–m0c2= =−

−2

02

20

1cm

V

cm =

−

−1

1

12

20

Vcm

= ( )2

2

20 11

1V

V

cm −−−

.

Помноживши і розділивши отриманий вираз на 211 V−+ ,

одержимо2

2

2

20

1111 V

mv

V

vmE

−+=

−+Γ=∆ ; кінV

Evm

E ==∆→ 2

lim2

0

0.

Висновок: приріст повної енергії тіла є кінетична енергія да-ного тіла.

Задача 4. Оптична сила лінзи визначається [1] за формулою

+

−=

211

2 111

RRn

nD , де n2 – абсолютний показник заломлення

речовини лінзи, n1 — абсолютний показник заломлення середо-вища, у якому знаходиться лінза, R1 – радіус кривизни однієї зісферичних поверхонь лінзи, а R2 – радіус кривизни іншої сфери-чної поверхні лінзи.

а) Вираз для D розгляньте як функцію від R2 і знайдіть гра-ницю цієї функції при R2→∞.

Розв’язуючи задачу при R2→∞, ми одержуємо плоско-опуклу лінзу. Лінза стала простішою, а отже і формула для її оп-

тичної сили спрощується: ( )

−=

∞→1

1lim

1

2

1

22 n

n

RRf

R.

б) Встановивши, що оптична сила плоско-опуклої лінзи ви-

значається формулою

−= 1

1

1

2

1 n

n

RD , розгляньте цей вираз як

функцію f(R1), знайдіть границю при R1→∞ і зробіть висновок.У результаті розв’язування отримаємо висновок: у цьому

випадку матимемо плоско-паралельну пластинку, а вона не зби-рає (не розсіює) пучок світла, тобто оптична сила дорівнює ну-лю.

35

Важливо відзначити, що в процесі вивчення теорії границьпри розв’язуванні задач з фізичним змістом учителю математикидається можливість, використавши відомі граничні переходи

→→= 0;0 h

c

vV , показати застосування одного з найважли-

віших наукових принципів – принципу відповідності до формултеорії відносності і квантової механіки. Цей принцип, що вира-жає діалектику процесу пізнання, як найважливіший критерійістинності нових формул, переконує студентів у їхній справед-ливості. Варто враховувати, що більшість з цих формул даютьсяв школі без висновку і без доведення [1].

Викладач математики, раціонально і в міру вводячи в курсматематичного аналізу задачі з фізичним змістом, допомагаєстудентам бачити застосування математичних знань, вчить зазвичними позначеннями величин х, у бачити конкретні фізичнізмінні і сталі.

Література1. Гончаренко С.У. Фізика 10. – К.: Освіта, 2002. – 319 с.2. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К.: Зоді-

ак-Еко, 2000. – 510 с.

36

ПОСТАНОВКА ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ«СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА

ОДНОМЕРНОГО СЛУЧАЙНОГОМАССИВА»В КУРСЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Л.В. Васильеваг. Краматорск, Донбасская государственная машиностроитель-

ная академияvas_milla@hotmail.com

При работе со случайными величинами студентом должнобыть приобретено умение обработки одномерного статистиче-ского массива: построение гистограммы, нахождение числовыххарактеристик и получение практических выводов, исходя ихвида гистограммы и значений характеристик. Поскольку обра-ботка статистических данных сопряжена с громоздкими и трудо-ёмкими вычислениями, необходимо использовать какой-либоматематический пакет. В данном случае студентам предлагаетсяMathCad – один из распространенных пакетов, содержащих «ма-тематику» в объеме инженерного ВУЗа и предоставляющийпользователю обширный набор инструментов для реализациичисленных методов решения математических задач на компью-тере.

Краткие теоретические сведения.Большинство контролируемых параметров изделий относят-

ся к нормально распределенным случайным величинам: размерыдеталей, вес отливок, процентное содержание химических эле-ментов в сплавах, электроемкость и сопротивление электротех-нических изделий и т.д.

При исправном оборудовании и правильно отрегулирован-ном технологическом процессе распределение контролируемогопараметра должно быть нормальным, а его среднее значениедолжно совпадать со значением, заданным в технической доку-ментации. Возможные отклонения от этого требования и пред-полагаемые причины этих отклонений перечислены в табл. 1.

37

Таблица 1№п/п Нарушение Причина

1 Распределение контролируемогопараметра близко к нормальному,но выборочное среднее не совпа-дает со значением, заданным тех-нической документацией.

Неправильно отрегули-рован технологическийпроцесс. Требуется ре-гулировка.

2 Распределение контролируемогопараметра одномодально, но силь-но отличается от нормального.

Серьезные неисправно-сти в оборудовании.Требуется ремонт.

3 Распределение многомодально. Некачественная выбор-ка, данные взяты из раз-ных генеральных сово-купностей. Повторитьвыборку.

Чтобы установить, имеет ли место одно из перечисленныхнарушений, производят статистический контроль интересующе-го параметра. Для этого производят n случайных его измеренийx1, x2, ..., xn (выборка объема n). По выборке находят следующиечисловые характеристики:

– математическое ожидание:

∑=i

ixn

x1*

, (1)

– дисперсию:

( )∑ −=i

i xxn

D2** 1

, (2)

– среднеквадратическое отклонение:** D=σ , (3)

– асимметрию:

( ) ( )∑ −⋅=i

i xxn

Sk3*

3*

11

σ, (4)

– эксцесс:

( ) ( )∑ −−⋅=i

i xxn

Ex 311 4*

4*σ. (5)

38

Одномодальность или многомодальность выборочного рас-пределения определяют по виду гистограммы. Близость законараспределения к нормальному определяют по значениям асим-

метрии и эксцесса. Сравнение выборочного среднего*

x со зна-чением контролируемого параметра, заданного в техническойдокументации, позволяют установить, правильно ли отрегулиро-ван технологический процесс.

Цель лабораторной работы.Должны быть приобретены следующие умения: строить гис-

тограммы; вычислять вероятности попадания случайной величи-ны в заданный промежуток; вычислять вероятность отклоненияслучайной величины от математического ожидания не более, чемна заданную величину.

Должны быть усвоены следующие понятия: объем выборки,математическое ожидание, размах выборки, среднеквадратиче-ское отклонение, асимметрия, эксцесс, теоретическая и эмпири-ческая плотность нормального распределения.

Работа рассчитана на 4 часа.Задание к лабораторной работе. Используя данные из своего

индивидуального задания:1) создать файл исходных данных под собственным именем

(например, fio_2.dat).2) на основании файла lab2.mcd cоздать файл отчета по ла-

бораторной работе – fio_2.mcd.3) для своей выборки получить следующие данные: объем

выборки n, математическое ожидание mean, размах выборкиR=xmin–xmax, среднеквадратическое отклонение σ, асимметриюSk, эксцесс Ex. По значениям асимметрии и эксцесса и виду гис-тограммы сделать заключение, значительно ли отличается рас-пределение случайной величины от нормального.

4) построить гистограмму, выбрав число частичных интер-валов равным 10. Отметить, удовлетворяет ли гистограммапредъявляемым к ней требованиям. Если не удовлетворяет,уменьшить, насколько это допустимо, число частичных интерва-лов.

5) найти вероятность попадания случайной величины в за-данный промежуток.

39

6) считая, что технологический процесс отрегулирован пра-вильно, а допуск составляет 10% от значения контролируемогопараметра, найти выпуск годной продукции в%.

Пример выполнения лабораторной работы в средеMathCad.1) Средствами редактора Блокнот создаем файл данных

dan.dat.2) В MathCad загружаем файл lab2.mcd через пункт меню

File – Open. Сохраняем этот файл под именем fio_2.mcd.3) Рассчитываем следующие значения: объем выборки n, ма-

тематическое ожидание mean, размах выборки R=xmin–xmax,среднеквадратическое отклонение σ, асимметрию Sk, эксцесс Ex.ORIGIN := 1i := 1 .. 80ξi := READ("d:\1\dan.dat")xmax := max(ξ) xmin := min(ξ) xmax = 3.75 xmin = 0.09ξ := sort(ξ) n := length(ξ) n = 80 R := xmax – xminmean := mean(ξ) mean = 2.03

disp := var(ξ)·1n

n

−disp = 0.574

σ := disp σ = 0.758

µ3 := ( )∑=

−⋅

n

1i

3

i meanξn

1 µ4 := ( )∑=

−⋅n

1i

4

i meanξn

1

Sk :=33µ

σSk = –0.173

Ex :=

44µ

σ–3 Ex = –0.288

По значениям асимметрии и эксцесса и виду гистограммыделаем заключение, значительно ли отличается распределениеслучайной величины от нормального.

4) Строим гистограмму, задав число частичных интерваловравным 10.

m := 10 h :=m

Rh = 0.366

j := 1 .. m k := 1 .. m – 1

40

xj := xmin +

2

h ·(2·j – 1)

f := hist(x, ξ)Высота столбцов равна количеству точек, попавших в соот-

ветствующий частичный интервал. Данная гистограмма требо-ваниям, предъявляемым к гистограммам, не удовлетворяет (объ-яснить).

Уменьшаем число частичных интервалов до 7 и строим но-вую гистограмму.

41

Ответьте на вопрос: удовлетворяет ли данная гистограмматребованиям, предъявляемым к гистограммам? Можно ли ещеуменьшить число частичных интервалов?

5) Вероятность попадания случайной величины в промежу-ток (a, b) рассчитывается по формуле P(a<X<b) = F(b) – F(a), гдеF(x) – функция распределения случайной величины.

Значения функции распределения находим с помощьювстроенной функции pnorm(x, mean, σ).

pnorm(3.2, mean, σ) – pnorm(2.1, mean, σ) = 0.402P(2,1<X<3,2) = F(3,2) – F(2,1) = 0,402.

6) Так как технологический процесс отрегулирован правиль-но, то выборочное среднее x можно принять за значение пара-метра, заданного в технической документации. Десятипроцент-ное отклонение находим по формуле .03,21,01,0 ⋅=⋅= xδ Затем

вычисляется вероятность ( )

=<−σδδ FxxP 2 .

δ 0.1 mean. δ 0.203=

2 pnormδσ

mean, σ,. 0.02=

Получаем ответ: выход годной продукции при заданном до-пуске x1,0 составляет 2% от всей продукции.

42

ПРИКЛАДНА СПРЯМОВАНІСТЬ НАВЧАННЯМАТЕМАТИКИ ПРИ ФОРМУВАННІ

СТАТИСТИЧНИХ УЯВЛЕНЬ

Т.І. Війчукм. Київ, Інститут педагогіки АПН України

serglad@ukr.net

У сучасних умовах освіченій людині необхідно мати уявупро основні методи аналізу даних та статистичних закономірнос-тей, про їх роль і місце в науці, техніці, організації виробництва.

Проблема формування у школярів статистичних уявлень, недивлячись на свою актуальність, залишається мало вивченою іпотребує більшої уваги, зокрема, введення у шкільний курс ма-тематики елементів імовірнісно-статистичних знань.

Основи статистичного мислення, статистичного підходу доаналізу явищ реальної дійсності, елементарна статистична інтуї-ція не тільки потрібні людині в сучасному світі, але і доступні нарівні середньої освіти, тому вивчення елементів теорії ймовірно-стей та статистики необхідне і можливе в рамках шкільного на-вчання математики.

Намічені у нашій країні тенденції економічних перетвореньдозволяють стверджувати, що в недалекому майбутньому суспі-льству будуть потрібні організатори і учасники виробництва но-вого типу, якими повинні стати більшість випускників шкіл. Цюнеобхідну для їх діяльності статистичну культуру треба вихову-вати з ранніх років. Не випадково у розвинутих країнах цій про-блемі приділяють значну увагу: з елементами теорії ймовірнос-тей і статистики учні знайомляться вже з перших шкільних роківі на протязі всього навчання засвоюють імовірнісно-статистичніпідходи до аналізу поширених ситуацій, що зустрічаються у по-всякденному житті. Теорія ймовірностей та математична статис-тика розглядаються методистами всіх країн як розділи приклад-ної математики з характерними для неї прийомами та методами.

Завдання, які ставить перед випускником середньої школижиття, переважно пов’язані з необхідністю аналізу впливу випа-дкових факторів і прийняття рішень в ситуаціях, що мають імо-вірнісну основу. Тому певний запас імовірнісно-статистичних

43

знань є невід’ємною умовою творчої роботи у багатьох областях.Ці знання необхідні і в школі при вивченні різних предметів,адже більшість закономірностей, що там розглядаються є статис-тичними і потребують для глибокого пояснення застосуваннястатистичних ідей і відповідного понятійного апарату.

Свої перші уявлення про випадкові величини діти отриму-ють із спостережень за ними у навколишньому житті. При цьомуважливі характерні риси спостережуваних явищ стають чіткіши-ми в ході збору статистичних відомостей і наочного їх представ-лення. Уміння реєструвати статистичні відомості і представлятиїх у вигляді простих таблиць, діаграм вже само по собі характе-ризує наявність у школяра певного статистичного досвіду. Уньому знаходять відображення перші, ще не до кінця осмисленіуявлення про неоднорідність та мінливість реальних явищ, провипадкові, достовірні або неможливі результати спостережень,про конкретні види статистичних сукупностей, їх особливості ізагальні властивості. Ці вміння дають можливість формуватиправильні уявлення не лише про явища з яскраво вираженою ви-падковістю, але і про такі явища, природа яких неочевидна іприкрита багатьма факторами, що ускладнюють сприйняття.

Біологія і фізика, хімія і географія дають численні приклади,що свідчать про статистичні закономірності, які зустрічаютьсяпри вивченні явищ природи. При вивченні цих дисциплін ученьповинен отримати уявлення про техніку здійснення експеримен-ту та обробку його результатів, тут він буде мати справу із ста-тистичним застосуванням теорії ймовірностей. Вивчаючи питан-ня спадковості, учень знайомиться з імовірнісно-статистичнимизаконами Менделя та імовірнісними процесами, моделюючимипроцес спадковості. У фізиці та хімії статистичні уявлення віді-грають виключно важливу роль у зв’язку з вивченням молекуля-рної будови матерії. Глибоке сучасне розуміння хімічних проце-сів, а також обробка результатів експерименту неможливі безширокого та повноцінного використання теоретико-імовірніснихта статистичних методів.

В наші дні людина постійно зустрічається з статистичноютермінологією у політичних і наукових текстах, широко викори-стовує її у повсякденній мові. Вона звучить у завтрашньому про-гнозі погоди, коло мова йде про імовірність дощу, у виступах

44

політика, коли він оцінює шанси або аналізує дані, у розмовіекономіста, організатора виробництва, вченого.

Значно поширились різноманітні лотереї, азартні ігри, беру-чи участь в яких важливо правильно оцінити шанси отримативиграш, притримуватися оптимальної стратегії або, навпаки,оцінивши свої шанси, відмовитись від гри. Всі питання,пов’язані з виграшними стратегіями, справедливими і несправе-дливими умовами випадкових ігор, викликають велике зацікав-лення навіть у слабких учнів. Крім того, ігрова фабула задачі даєможливість організувати захопливий експеримент передрозв’язком її у класі, у бесіді з учнями обговорити їх оцінки ша-нсів, поглибити і розвинути імовірнісну інтуїцію у потрібномунапрямку.

Таким чином, поява у шкільній програмі імовірнісно-статистичної лінії, яка зорієнтована на формування статистичнихуявлень учнів та їх ознайомлення з імовірнісною природою бі-льшості явищ навколишньої дійсності, буде сприяти підсиленнюїї загальнокультурного потенціалу і прикладної спрямованостінавчання математики, виникненню нових, глибоко обґрунтова-них міжпредметних зв’язків.

45

СУТНІСТЬ ПЕДАГОГІЧНОЇ ПІДТРИМКИ ТАЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ ПРИ ВИКЛАДАННІ МАТЕМАТИКИ

Т.І. Дейніченком. Харків, Харківський державний педагогічний університет

ім. Г.С.Сковороди

Залучення дитини до процесу навчання, спілкування, соціа-льного життя викликає в неї появу ряду проблем, складних ситу-ацій, утруднень, причиною яких є, з одного боку, необхідністьадаптації учня в певному соціумі (соціалізація), з іншого боку, –потреба в збереженні індивідуальності, неповторності особисті,її суб’єктивного досвіду (індивідуалізація).

Вирішенню проблеми усунення протиріччя між соціальним ііндивідуальним, ефективного впровадження особистісно-орієнтованого навчання сприяє, як свідчать результати сучаснихдосліджень (О. Газман, Т. Анохіна, С. Юсфін, Н. Михайлова,Т. Строкова та інші), забезпечення педагогічної підтримки учняв його індивідуальному розвитку, саморозвитку. Слід відзначи-ти, що ця ідея не є новою для педагогічної науки, адже її вислов-лювали ще К. Ушинський, А. Макаренко, А. Мудрик, Ш. Амо-нашвілі та інші. Але своєї цілісності ця концептуальна ідея набу-ла у працях О. Газмана та його послідовників.

Разом з тим, вивчення масової практики свідчить, що вчите-ля в багатьох випадках реагують на проблеми, які виникають удитини тоді, коли вони проявляються в явному вигляді (неадек-ватна поведінка, погіршення успішності в навчанні тощо). Прицьому реакція вчителя в основному має характер втручання,“швидкої допомоги”. Так, за даними нашого дослідження тільки8% опитаних учителів вважають, що допомога учням повиннапрогнозуватися й бути превентивною, в той же час 70% учителіввідповіли, що вони допомагають учневі після виявлення необ-хідності допомоги (“швидка допомога”), 22% здійснюють допо-могу за запитом учня. В результаті такого становища тільки 6%учнів 7-8-х класів звертаються за допомогою до вчителя. Ці данісвідчать про те, що проблема педагогічної підтримки учнів у су-часній школі майже не вирішується.

У сучасній психолого-педагогічній літературі єдиного під-

46

ходу до визначення поняття “педагогічна підтримка” не існує.Так, її розглядають як:

• особливу сферу діяльності школи (О. Газман);• позицію педагога (Е. Бондаревська);• специфічну психолого-педагогічну і моральну взаємодію:

вільне спілкування, товариські відносини дорослого та дитини,акт спілкування й взаємодії, внутрішній настрій педагога й дити-ни на сумісну роботу; діяльність на рівні “особистість–особис-тість” (Н. Крилова);

• принцип педагогічної діяльності (Н. Михайлова, С. Юс-фін);

• метод і форму виховання, технологію освіти (Т. Строко-ва, Н. Крилова).

Спираючись на дослідження О. Газмана і виходячи з особ-ливостей процесу навчання, ми визначаємо педагогічну підтрим-ку як превентивну і оперативну допомогу дітям у розв’язанніїхніх індивідуальних проблем, пов’язаних з успішним просуван-ням у навчанні, прийнятті шкільних правил; спілкуванням, само-визначенням. Разом із тим, ми поділяємо точку зору тих учених(О. Газман, Т. Анохіна, Н. Михайлова, С. Юсфін та ін.), які привирішенні даної проблеми виокремлюють такий важливий ас-пект, що визначає успішне просування в навчанні, як стан здо-ров’я. А це, у свою чергу, потребує врахування фізичної праце-здатності учнів при вирішенні означеної проблеми.

Сутність педагогічної підтримки становить допомога уч-неві в подоланні перешкод, утруднень, спираючись на йогосуб’єктний досвід і володіння засобами виявлення й розв’язаннясвоїх проблем. Сутність поняття педагогічної підтримки, як ін-новаційної концептуальної ідеї, безпосередньо пов’язана з пошу-ком можливості практичної реалізації особистісно орієнтованихпідходів в освіті. Як невід’ємна частина цих підходів, ідея педа-гогічної підтримки сприяє їх розвитку і містить у собі реальнуможливість збільшення суб’єктного потенціалу дитини (Н. Ми-хайлова, С. Поляков, Т. Строкова та інші).

Виходячи з визначення сутності поняття педагогічної під-тримки, можна виділити її предмет. Предмет педагогічної під-тримки, таким чином, становить процес спільного з дитиноювизначення її власних інтересів, цілей, можливостей і шляхів по-

47

долання перешкод (проблем), що заважають їй зберегти своюлюдську гідність і самостійно досягти бажаних результатів у на-вчанні, самовихованні, спілкуванні, здоровому образі життя(О. Газман, Т. Анохіна).

Визначенню змісту педагогічної підтримки сприяє семанти-чний аналіз поняття “підтримка”, на основі якого можна ствер-джувати, що педагогічний зміст поняття “підтримка” полягаєу допомозі дитині стати впевненій у собі; підтримати й розвива-ти те позитивне, що є в особистості, її суб’єктність (здатністьщодо перетворюючого відношення до особистісної життєдіяль-ності) й індивідуальність, прагнення до самостійності, самороз-витку, саморуху тощо; запобігти тому, що заважає розвитку ди-тини.

О. Газман, Т. Анохіна та інші дослідники відмічають, щосутність педагогічної підтримки розкривається передусім черездефініції “проблема”, “захист”, “самостійність”. При цьому про-блему дитини вчені вбачають у негативному домінуючому станіособистості в даний момент, пов’язаному в першу чергу з немо-жливістю з’ясування причини, що викликала такий стан.

Аналіз психолого-педагогічної літератури дозволяє виділитиосновні принципи здійснення педагогічної підтримки:

1. Принцип “загальності”: потреба в допомозі і підтримцііснує об’єктивно і закономірно, тому кожен учень потребує сис-тематичної й індивідуальної допомоги.

2. Принцип “суб’єктності й індивідуальності”: педагогіч-на підтримка спрямована на розвиток суб’єктності й індивідуа-льності.

3. Принцип “проблемності”: педагогічна підтримка слу-жить розв’язку проблеми дитини.

4. Принцип “пріоритету захисту прав та інтересів дити-ни”: педагогічна підтримка – це діяльність, що спрямована навідстоювання інтересів і прав дитини, яка враховує, що дитинамає право на помилку.

5. Принцип “адресності й дозованості допомоги”: допо-мога здійснюється адресно і тоді, коли власних зусиль дитини недосить для розв’язання проблеми.

6. Принцип “співробітництва й договору між дитиною ідорослим” передбачає:

48

• з боку дитини: пріоритет в розв’язанні проблеми нале-жить самій дитині, тобто проблема в цілому розв’язується самоюдитиною за опосередкованою участю дорослого; існує згода ди-тини на допомогу й підтримку;

• з боку дорослого: доброзичливість, безоцінюваність, осо-бливий такт учителя, створення умов для виникнення у дитинивідчуття самостійності в досягненні успіху, ненав’язливість до-помоги; дотримання конфіденційності.

7. Принцип “систематичності підтримки”: в системішколи повинно бути закладено механізм, що дозволяє швидко йефективно реагувати на проблеми дітей, прогнозувати їх виник-нення.

8. Принцип “диференційованого підходу при наданні під-тримки”: поступове збільшення або зменшення дози допомоги.Варіювання дози забезпечує розвиток самостійності, вольовихзусиль, пізнавальних процесів дитини тощо.

Розв’язання проблеми дитини – це результат спільної діяль-ності дитини і дорослого. Виділяють наступні етапи цієї діяльно-сті (Т. Анохіна, Н. Михайлова, С. Юсфін): діагностичний, по-шуковий, проектний (договірний), діяльнісний, рефлексивний.

Поняття “педагогічна підтримка” тісно пов’язане з поняттям“допомога”. Вони взаємозамінювані, синонімічні, хоча і не то-тожні за змістом: надаючи учневі допомогу, вчитель підтримуєйого. При цьому підтримку вчитель може здійснювати опосеред-ковано, в той час як допомога може бути надана учневі тільки впроцесі безпосереднього спілкування.

Якщо учень вчиться в “зоні свого найближчого розвитку”, тонеобхідність у систематичній допомозі з боку вчителя існує зав-жди, але щоб допомога була оптимальною з точки зору концепціїпедагогічної підтримки, вона повинна бути диференційованою,дозованою і адекватною тим труднощам, що виникають у дити-ни.

Диференціація допомоги ґрунтується на положенні Л. Ви-готського про “зону найближчого розвитку”, а це висуває певнівимоги до завдань, які надаються учням: вони повинні вимагатирозумових зусиль, що розвивають мислення, і водночас бути підсилу учням при відповідному керівництві з боку вчителя.

Якщо розглядати навчальний процес як певну сукупність

49

дискретних кроків (етапів), що детермінуються конкретним уро-ком, заняттям, то здійснення підтримки на кожному етапі ми івизначаємо як дозовану, необхідну для подолання утруднення,що є у дитини на конкретному занятті; сукупність дозованої під-тримки дозволяє здійснити адекватну допомогу учням, що і за-безпечує в цілому їх навчання в “зоні найближчого розвитку”.

Рівень розумових здібностей і підготовленість учня до на-вчальної діяльності потребує використання відповідної педагогі-чної допомоги. З урахуванням досліджень (О. Газман, Т. Строко-ва та інші) ми виділили п’ять видів такої допомоги: заміщення,заклик до наслідування, співробітництво, ініціювання, випе-редження.

Педагогічна підтримка може здійснюватися в різних формахі носити різний характер: бути безпосередньою або опосередко-ваною, превентивною або оперативною, мати форми індивідуа-льної або групової роботи. При цьому шляхи її здійснення ви-значаються індивідуальними проблемами дитини: декого требапідтримати емоційно, іншого – психологічно або морально; деякіучні потребують допомоги в самоорганізації, в розв’язанні про-блеми спілкування з іншими людьми (Т. Строкова, С.Юсфін).

Педагогічна допомога може здійснюватися на різних етапахпроцесу навчання: мотиваційно-цільовому, змістовому, діяльніс-ному, контрольно-оцінювальному, що потребує визначення від-повідних прийомів її надання (див. таблицю).

Таким чином, головною умовою здійснення педагогічноїпідтримки у навчанні є вивчення індивідуальних особливостейкожної дитини для надання “адресної” допомоги, що потребує(Т. Зуєва, Н.Михайлова):

• виявлення проблеми дитини, причин, що її породжуютьта перешкод на шляху її подолання;

• цілеспрямованого формування в учнів потреб в самоана-лізі та проектуванні власних дій: учити дитину аналізувати осо-бистісну ситуацію, знаходити шляхи подолання негативних нас-лідків;

• слідкування за динамікою розвитку дитини, проведеннядиференціації проблем, що впливають на успіх у навчанні;

• створення мікрогруп учнів зі схожими проблемами та ви-бір відповідних методик їх підтримки.

50

Слабка во-ля, невпев-неність всвоїх силах

9

+

+!

+

+

+!

+

Низькийрівень ін-тересу допредмету

8

+

+!

+!

Низькийрівень фі-зичноїпрацезда-тності

7

+

+!

+

+

+

Недостатнійрівень роз-витку само-стійності ми-слення, на-вичок навча-льної праці

6

+!

+!

+!

+!

+!

+

Недостатній рівень роз-витку нави-чок аналізу,синтезу,узагальнен-

ня

5

+

+

+

+

+

+

+

+

Характер утруднень учнів у навчанні

Наявністьпрогалинв знаннях

4

+

+

+

+

+

Прийоми надання педагогічної підтримки

3

Надання алгоритму доведення теореми, розв’язку (виконан-ня) задач різних типів.Пояснення ходу виконання подібного завдання

Тимчасове полегшення завдання

Наведення аналогічної задачі, розв’язаної раніше

Запис умови (крім словесної) у вигляді таблиці, матриці, по-значокНадання карток-консультацій, таблиць-порад з прийомів ана-лізу розв’язання задач, плану пошуку розв’язку задачі

Надання зразків опису розв’язання задач за схемами прямогоі оберненого розбору розв’язання

Указівка способу перевірки правильності розв’язку задачі

Указівка теореми, правила, формули, на основі яких викону-ється завдання

Указівка причинно-наслідкових зв’язків, необхідних для ви-конання завдання

Попередження про найбільш типові помилки, неправильніпідходи тощо

Підбір цікавих задач, завдань з урахуванням інтересів до ін-ших предметів

Підбір завдань, що мають практичне значення для учня

Вид підтри-мки

2

Заклик донаслідування

Заклик до на-слідування +ініціювання

Випереджен-ня

№

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

51

9

+

+!

+

+

+!

+

+!

+

+

8

+

+

+

+

+

+

+

+

7

+!

+

+

+

+

6

+

+

+

+

+!

+

+

+

+

+

+

5

+

+!

+

+

+

+!

+

+

4

+!

+!

+

+

+

+

+

+

+

3

Розбиття складної задачі на ряд елементарних

Указівка типу задачі, правила, на яке спирається дане завдан-няДоповнення до завдання у вигляді креслення, схеми, малюн-ка, креслення без позначок, креслення з позначками, з вико-наною додатковою побудовою або рекомендацією до її вико-нання тощо

Називання відповіді, результату заздалегідь

Указівка помилки в кресленні, у розрахунках, у постановціалгоритму роботи, в установленні залежностей

Надання алгоритму початкових дій

Використання технічних засобів навчання (ПК)

Організація спілкування між учнями

Наведення на пошук розв’язання за допомогою асоціації

Пропозиція виконати допоміжне завдання, що наштовхує нарозв’язок основного питання, задачі

Наведення питань, що наштовхує на відповідь

Підбір завдань, що містять елементи історизму

Створення емоційного тонусу пізнавальної діяльності

Довіра до пізнавальних можливостей учнів (керований абовільний вибір завдань)

Заохочення досягнення учня

2

Часткове замі-щення + ініці-ювання

Ініціювання

1

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

52

Аналіз та узагальнення матеріалів наукових досліджень зпитань педагогічної підтримки в системі роботи вчителя, власніспостереження дозволяють зробити висновки, що:

• проблема педагогічної підтримки учнів у сучасній школіще далека від свого остаточного вирішення;

• педагогічна підтримка учня виражає, насамперед, сут-ність гуманістичної позиції вчителя у відношенні до дитини ісприяє її індивідуальному розвитку й саморозвитку, що є основ-ною метою особистісно орієнтованого навчання;

• зміст поняття “педагогічна підтримка” визначається намияк допомога вчителя, що передбачає певну систему засобів,спрямовану на вирішення проблем дитини, пов’язаних з навчан-ням, спілкуванням, фізичною працездатністю, самовизначенняму навчальній діяльності;

• педагогічна підтримка починається з виявлення“проблемного поля” дитини, тобто особистісно значимої для неїпроблеми, при цьому сумісна діяльність вчителя й учня зрозв’язання проблеми дитини проводиться за діагностичним,пошуковим, договірним, діяльнісним і рефлексивним етапами;

• вимогами до педагога (вчителя), який здійснює педагогі-чну підтримку є: віра в дитину, постійна увага до кожної дитини,стимулювання учнів до самостійних дій, розвинена емпатія, за-безпечення дитині умов для її самовизначення й самореалізації.

53

МЕТОДИКА ИЗЛОЖЕНИЯ СВЯЗИ НОРМАЛЬНОГОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ЛОКАЛЬНОЙ И ИНТЕГРАЛЬНОЙ

ТЕОРЕМАМИ ЛАПЛАСА

В.М. Дрибан, Г.Г. Пенинаг. Донецк, Донецкий государственный университет экономики и

торговли им.М. Туган-Барановскогоresource@donduet.edu.ua

В учебниках и учебных пособиях по теории вероятностейдля нематематических специальностей, как правило, не излагает-ся вопрос о связи биномиального распределения с нормальным.Между тем рассмотрение этого вопроса имеет принципиальноезначение для понимания диалектической взаимосвязи необходи-мости и случайности, для понимания того, что математическиезаконы теории вероятностей являются следствием объективныхреальных закономерностей, существующих в массовых случай-ных явлениях.

Вопрос о связи нормального распределения с локальной иинтегральной теоремами Лапласа можно изложить концентриро-ванно, акцентируя внимание на следующие моменты.

1. При рассмотрении нормированного нормального распре-деления обращаем внимание на то, что его плотность вероятно-

сти ( ) 2

2

2

1 x

exf−

=π

есть ни что иное, как функция φ(x), которая

фигурировала в локальной теореме Лапласа. Таким образом,плотность вероятности нормального распределения с парамет-рами a и σ можно записать в виде:

( )

−=

σϕ

σax

xf1

.

2. Рассмотрим функцию распределения нормированногонормального распределения. Как известно, эта функция равна

( ) ( ) dxedxxfxFx xx

∫∫∞−

−

∞−

== 20

2

2

1

π.

Следует обратить внимание студентов, что в выражении дляF0(x) не надо путать x как предел интегрирования с x как пере-менной интегрирования. Нетрудно показать, что функция F0(x)

54

связана с функцией Лапласа

( ) dtexФx t

∫−

=0

2

2

2

1

π,

фигурировавшей в интегральной теореме Лапласа, простым со-отношением:

F0(x)=Ф(x)+0,5.Действительно,

( ) ( )

.2

1

2

1

2

1

0

2

0

22

0

220

222

22

dtedtedte

dtedxexФxF

t

x

tx t

x

tx x

∫∫∫

∫∫

∞−

−−

∞−

−

−

∞−

−

=

+=

=

+=−

ππ

π

Применяя свойство плотности вероятности к нормирован-ному нормальному распределению, получим:

12

12

2

=∫+∞

∞−

−dte

t

π.

Так как подынтегральная функция четная и отрезок интег-рирования симметричен относительно t=0, то

5,02

1 0

2

2

=∫∞−

−dte

t

π.

Итак,F0(x)–Ф(x)=0,5, т.е. F0(x)=Ф(x)+0,5.

3. Обращаем внимание студентов на то, что интегральнаятеорема Лапласа формально получается из соотношения для ве-роятности попадания в данный интервал нормально распреде-ленной случайной величины при α=k1, β=k2.

Действительно, для биномиального распределения матема-тическое ожидание, как известно, равно a=np, среднее квадрати-

ческое отклонение равно npq=σ . Подставив эти значения ввышеуказанную формулу, получим интегральную теорему Лап-ласа:

( )

−−

−=<<npq

npkФnpq

npkФkXkP 1221 ,

справедливую при достаточно больших n.

55

Можно ли проведенные выкладки рассматривать как доказа-тельство интегральной теоремы Лапласа? Да, но при одном ус-ловии: если мы имеем право считать, что при достаточно боль-ших n число появлений события в независимых испытаниях,распределенное по биномиальному закону, можно приблизи-тельно считать также нормально распределенным. И это на са-мом деле так. Оказывается, что нормальное распределение явля-ется предельным для биномиального при n→∞.

Действительно, пусть X – число появления события A в n не-зависимых испытаниях. Обозначим через Xi число появленийсобытия A в одном испытании с номером i (i=1, 2, ..., n). Тогда

X=X1+X2+...+Xn.Поскольку испытания независимы, то X есть сумма незави-

симых случайных величин. Так как каждая Xi может принятьлишь значения 0 или 1, то при больших n влияние каждой из Xi

на всю сумму незначительно. Следовательно, к случайной вели-чине X применим известный вывод из центральной предельнойтеоремы. Итак, биномиальное распределение при больших nможно приближенно заменить нормальным с параметрамиa=np и npq=σ .

Следствием интегральной теоремы Лапласа является форму-

ла вероятности отклонения относительной частотыn

m от посто-

янной вероятности p в независимых испытаниях при достаточнобольших n:

≈

≤−

pq

nФpn

mP εε 2 .

Теперь понятно, почему это соотношение может быть полу-чено из формулы вероятности заданного отклонения нормальнораспределенной случайной величины:

( ) 2P X a Ф εεσ − < =

. (1)

Действительно, относительная частотаn

m есть случайная

величина X, причем числитель m – число появлений события в nнезависимых испытаниях. Поэтому M(m)=np, D(m)=npq. По из-

56

вестным свойствам математического ожидания и дисперсии най-дем:

pn

np

n

mM ==

,

n

pq

n

npq

n

mD ==

2;

n

pq

n

m =

σ .

Подставив значение σ в (1) и учитывая, что для непрерывныхслучайных величин P(|X–a|<ε)=P(|X–a|≤ε), получим: при доста-точно больших n

( )

≈

≤−=≤−

pq

nФpn

mPaXP εεε 2 .

Надо обратить внимание студентов на следующее обстоя-тельство: нормальное распределение является предельным длямногих других законов распределения при достаточно частовстречающихся условиях. В этом состоит главная его особен-ность. Возможность приближенной замены одного распределе-ния другим основана на следующих соображениях. Вычислениевероятности на практике не является самоцелью. Вероятностьтого или иного события на практике обычно нужна для того,чтобы в соответствии с ней выбрать дальнейший план действий:принять или не принять какую-то гипотезу, удовлетвориться лирезультатом, учитывать ли тот или иной фактор и т.п. В такогорода “психологическом” выборе небольшие различия между ве-роятностями не будут играть особой роли.

Предложенная методика рассмотрения связи нормальногораспределения с локальной и интегральной теоремами Лапласареализована в [1].

Литература1. Дрибан В.М., Пенина Г.Г. Теория вероятностей: Учебное по-собие. – Донецк: ДонГУЭТ, 2003. – 519 с.

57

МАТЕМАТИЧНІ ВМІННЯ НА УРОКАХБІОЛОГІЇ ТА УКРАЇНСЬКОЇ МОВИ

Л.М. Єжель, К.М. Козінам. Кривий Ріг, Середня школа №99

school99@mail.ru

І. Математика на уроках біологіїПеред загальноосвітньою школою стоять важливі завдання –

підвищити пізнавальну активність учнів, виробити в них уміннятворчо розв’язувати навчальні завдання, систематично поповню-вати свої знання, застосовувати знання на практиці. Це можназдійснювати на уроках біології завдяки такому прийому, якрозв’язання задач і вправ біологічного змісту.

Розв’язування задач дає можливість організовувати пізнава-льну діяльність учнів на творчому рівні, тому що аналіз задачі,пошуки шляхів її розв’язування і саме розв’язання – усе це твор-чі процеси; виховувати в учнів інтерес до змісту виучуваногоматеріалу і до навчального матеріалу з біології в цілому; пере-творювати знання учнів у стійкі переконання, формувати науко-вий світогляд; тісніше встановлювати міжпредметні зв’язки міжосновами наук, що вивчаються в школі, в першу чергу між при-родничо-математичними; виробляти в учнів систему вмінь і на-вичок самостійної пізнавальної діяльності. Наприклад, задача напрості математичні дії, але з біологічними висновками: евкаліптиростуть незвичайно. З насіння через 7 років виростає дерево в 19метрів висотою. Підрахуйте річний приріст евкаліпта. Повільночи швидко росте евкаліпт? Або ж при вивчені теми “Клас молю-ски” можна запропонувати слідуючи задачу: двостулкові молюс-ки-перлівниці пересуваються дуже повільно: 20-30 см/год. Ви-значте, скільки часу потрібно перлівниці, щоб подолати шлях у 5км.

Задачі і вправи можна застосовувати під час пояснення но-вого матеріалу, закріплення знань, як завдання додому, при пе-ревірці знань, проведенні самостійних і контрольних робіт, по-вторенні навчального матеріалу, на факультативних і гуртковихзаняттях.

Під час пояснення нового матеріалу задачі допомагають

58

проілюструвати основні теоретичні положення, показати засто-сування їх на практиці. На це не треба багато часу, а після розра-хунків можна зробити висновки біологічного характеру. Напри-клад, при вивченні теми “Обмін речовин” можна використатитаку задачу: підрахуйте, яку кількість кисню (в літрах) потребуєорганізм для виконання роботи в 3096 кДж, якщо окислення 1 гглюкози виділяється 17,2 кДж енергії. Учням треба визначитимолекулярну масу реагуючих речовин, визначити кількість кис-ню, необхідну для одержання зазначеної кількості енергії. Цедопоможе їм відповісти на питання: якій кількості глибоких вди-хів і видихів відповідає така кількість кисню у людей з різноюжиттєвою ємністю легень усього 5% кисню із всього повітря, щопроходить через легені. Вчитель може показати, що відбуваєтьсяв організмі людини, як проявляється закон збереження енергії,підвести учнів до самостійних висновків.

Для кращого запам’ятовування кількісних показників добрезастосовувати задачі на визначення відсотку кількості видів рос-лин чи тварин.

Задачі на закріплення знань учні повинні розв’язувати та ро-бити з них висновки більш самостійно.

Для домашніх завдань задачі добираються такі, що вимага-ють більше часу для розв’язання, потребують для довідок підру-чник або іншу літературу.

Підготовка учнів до активної практичної діяльності передба-чає виробити в них уміння використовувати всю систему знань ускладних взаємозв’язках між явищами та закономірностями вприроді.

Важливе значення мають задачі і вправи на виробничу тема-тику. Це дає змогу пов’язати знання з застосуванням в сільсько-му господарстві, медицині, у побуті. Задачі, пов’язані з розраху-нками кількості насіння для сівби, добрив, кормів, складання ра-ціонів, виховують ініціативу, творчий підхід до справи.

Вчитель біології має звертати увагу учнів на найбільш раці-ональні прийоми розв’язування задач. Використовувати знання –це означає застосовувати їх з користю.

Задачі і вправи, зміст яких виходить за межі шкільної про-грами, добре використовувати на заняттях факультативу та в по-закласній роботі.

59

Краще навчаються учні, знаходять рішення задач, коли ко-ментуються вголос, пояснюються дії, обґрунтовують рішення. Уразі потреби учні або вчитель вносять зміни і доповнення.

Для закріплення і узагальнення можна використовувати ма-люнки, форзаци в підручниках і будувати графіки та порівняльнітаблиці.

ІІ.Міжпредметні зв’язки математики та української мовиВажко найти більш далекі один від одного предмети, ніж

українська мова та математика, але ще важче знайти більш бли-зькі предмети шкільного курсу, ніж ... українська мова та мате-матика. І в цьому разом з учнями ми переконуємося кожен день.

Відомо, що математика покликана розвивати логічне мис-лення, а мова домагає виразити це мислення у словах. Прослід-куємо за мовою учнів і помітимо, що вона не однакова: одні дітивиражають свої думки чітко, зрозуміло, обґрунтовано, інші –розпливчасто, не завжди зрозуміло. Ось і перший зв’язок мате-матики та мови – навчити дітей мислити логічно та вміти вира-зити таке мислення в словах. Як на уроках математики, так і науроках мови вчителі намагаються розвивати відчуття, сприйнят-тя й уявлення.

Для цього на уроках української мови ми пропонуємо гру“Чомучка”. Під час закріплення нової теми один учень виходитьдо дошки, а інші – задають йому питання з теми. Учень повинендати логічні відповіді, а учні – почати своє запитання зі слова“чому”. Ця гра допомагає розвивати в учнів логічне мислення,пам’ять, вміння виражати свої думки.

Але найближчими стають математика та українська мова підчас вивчення теми “Числівник” у 6 класі. Саме на таких урокахможна перевірити, як учнів вміють робити розрахунки, запропо-нувавши їм ряд завдань:

1. Вірно записати числівники:19; 87; 123; 4651; 88963; 1/6; 0,0027; 1247348.2. Записати вирази словами:а) 2674 – 89 в) 24785 + 199 д) 0,254 – 0,131б) 1/6 + 5/6 г) 10084 · 25 є) 0,5678 – 0,56343. Зробити розрахунок і записати вираз словами:а) 276 – 87 в) 6442 – 1286 д) 1/25 + 17/25б) 25 · 3 г) 15 · 6

60

Можна наводити багато прикладів таких завдань, але для то-го, щоб учні з захопленням їх виконували, треба знайти цікавівиди уроків, на яких пропонуються ці завдання. Ми пропонуємосвоїм учням уроки-конкурси: КВК, “Щасливий випадок”,“Брейн-ринг”, “Що? Де? Коли?”, “Поле чудес” тощо. З зацікав-ленням діти готуються до уроку екскурсії в “Музей числівника”,з задоволенням відправляються у мандрівку “Країною числівни-ка”. Відвідали спочатку область Кількісних, зупинившись у міс-тах Цілих Чисел, Дробових Чисел та завітавши до міста Збірнихчисел. На такому уроці учні закріплюють матеріал з математикипро цілі та дробові числа.

Взагалі, не тільки під час вивчення числівника слід зверта-тися до чисел, їх написання та відмінювання. На кожному уроцінеобхідно нагадувати учням правопис числівника, підтримуючитісний зв’язок з математикою.

61

ДЕЯКІ ОСОБЛИВОСТІ ВИВЧЕННЯ СТОХАСТИКИ

Т.М. Задорожням. Ірпінь, Національна академія державної податкової служби

України

В сучасних умовах швидкої зміни соціально-економічногосередовища перед освітніми закладами I та II рівня акредитаціїпостало завдання підготовки таких спеціалістів, які б користува-лися попитом на ринку праці, тобто кваліфікованих і конкурент-носпроможних. Саме тому в Національній доктрині освітиУкраїни визначено пріоритетні освітні цілі, що полягають у фо-рмуванні покоління молоді, що буде:

- захищеним і мобільним на ринку праці;- здатним робити особистісний, духовно-світоглядний

вибір;- володіти необхідними знаннями, навичками, компетен-

тністю для інтеграції в суспільство на різних рівнях;- спроможним до навчання впродовж життя.Адже жодна система освіти не може дати запасу знань на все

трудове життя. Можуть бути закладені лише основи знань і ви-роблена здатність до самоосвіти, здатність сприймати та викори-стовувати сучасні інформаційні технології, вміння при необхід-ності впродовж всього життя вдосконалювати свої професійнінавички або оволодівати новими.

Для досягнення освітніх цілей необхідно підсилити прикла-дну спрямованість математичних знань взагалі і стохастичнихзокрема та розширити використання міжпредметних зв’язків міжфундаментальними та спеціальними дисциплінами. Особливо цеактуально для студентів економічних спеціальностей, які маютьрозглядати стохастику як інструмент для вивчення в майбутньо-му нових фахових дисциплін. Адже саме повноцінне вивченняелементів стохастики дозволить в майбутньому ґрунтовно ово-лодіти: методиками вивчення та оцінювання результатів діяль-ності підприємств, організацій, комерційних банків; методамиоцінки фінансового стану, фінансового планування; методологі-єю економіко-статистичного аналізу державних фінансів та про-цесу оподаткування.

62

Сучасне розуміння міжпредметних зв’язків та проблем при-кладної спрямованості математики взагалі і стохастики зокремабули предметом обговорення на міжнародних конференціях тарозглядалися у роботах М. Білецького, Я. Бродського, М. Бори-сенко, О. Дубинчук, М. Жалдака, І. Звєрєва, В. Ільченко, Д. Ки-рюхіної, І. Козловської, Н. Лошкарьової, В. Максимової, Ю. Ма-льованого, О. Сергеєва, З. Слєпкань, А. Усової, В. Швеця та ін.Висновки дослідників вказують на те, що позитивного результа-ту можна досягти лише за умови досягнення раціонального спів-відношення між фундаментальними та фаховими дисциплінами.Між ними має існувати гармонія, підкріплена завданнями, щомають професійну спрямованість. Адже відомо, що недостатнєзнання фундаментальних дисциплін стає суттєвою перешкодоюдля реалізації творчого потенціалу майбутніх економістів.

Для органічного поєднання фундаментальних та фаховихдисциплін необхідним є професійне спрямування змісту всьогонавчально-виховного процесу уже з першого курсу підготовкимолодших спеціалістів. Тому структура курсу математики взага-лі і розділу стохастики зокрема повинна забезпечувати можли-вість акцентування основних ідей, а більша частина часу і увагимає приділятися основним методам і фактам, заради яких вивча-ється цей курс.

Однією з основних цілей вивчення стохастики є формуванняособливого типу мислення та озброєння методами дослідженняявищ і процесів, що мають випадковий характер. Адже еконо-міст працюватиме з реальними об’єктами і кінцева мета його ро-боти – це не стільки встановлення закономірностей процесу, щовивчається, скільки використання отриманих знань для управ-ління ним, його прогнозування.

Тому вважаємо, що у процесі вивчення теорії ймовірностейта математичної статистики велике значення має розв’язуваннязадач, наповнених практичним змістом, задач, що торкаютьсяреальних проблем, які виникають при вивченні спеціальних дис-циплін. Наведемо приклади таких задач.

Задача 1.Два банки (А і В) мають такі прогнози щодо прибутку на на-

ступний рік (табл. 1):

63

Таблиця 1.А В

Прибуток, $ Ймовірність Прибуток, $ Ймовірність0 0,1 100 0,2

200 0,1 500 0,21000 0,2 2000 0,252000 0,5 4000 0,310000 0,1 8000 0,05Підрахувати економічний ризик (стандартну похибку) для

вкладників у банки А і В.Задача 2.Роздрібний торговець продає певний товар. Він купує його

за ціною 5 грн. за одиницю, а продає за 8 грн. Товар псуєтьсяшвидко. Якщо його не продати відразу, то він продажу не підля-гає. Якщо це трапляється, то торговець повинен покрити витрати5 грн. за одиницю продукції за рахунок власних коштів.

Статистичними дослідженнями за 200 днів встановлено, щоденний попит на товар має 4 різні варіанти (табл. 2)

Таблиця 2.Денний попит (х) Кількість днів спостереження Р(х)

21 20 0,122 60 0,323 100 0,524 20 0,1

ВСЬОГО 200 1Торговець намагається вирішити, який щоденний запас то-

вару потрібно мати, щоб отримати максимальний прибуток.Задача 3.Страхова компанія розділяє застрахованих за класами ризи-

ку: І клас – малий ризик, ІІ клас – середній, ІІІ клас – великийризик. Серед клієнтів: 50% – першого класу ризику, 30% – дру-гого і 20% – третього. Ймовірність необхідності виплати страхо-вої винагороди для ризику першого класу дорівнює 0,01, другого– 0,03, третього – 0,08. Яка ймовірність того, що: а) застрахова-ний отримає грошову винагороду за період страхування; б) лю-дина, що отримала грошову винагороду, відноситься до першоїгрупи ризику.

Наведені та аналогічні їм задачі певним чином розглядати-

64

муться і під час вивчення професійно спрямованих дисциплін:страхової справи, фінансового аналізу, макро- і мікроекономікита ін.

Рис. 1.

При вивченні тем математичної статистики корисно відпра-цювати всі прийоми обробки дослідних даних на одному й томуж наборі матеріалу. Аналіз даних, що проводиться при вивченніматематичної статистики, дозволить, з одного боку, зекономитичас, розглядаючи теми “Вибірка у соціологічному дослідженні”,“Аналіз документів, спостереження та експеримент у соціології”,“Соціологічне опитування”, “Статистичні методи обробки в со-ціології” та інші при вивченні соціології.

Протягом останніх років спостерігається тенденція до ско-рочення кількості годин аудиторних занять з математики, а від-

Елементи теорії ймовірностей та ма-тематичної статистики

в курсі матема-тики

в курсах іншихпредметів

інформатика

фінансовийаналіз

соціологія

страхування

65

повідно і годин, що виділялися на вивчення стохастики. Призбереженні попереднього обсягу матеріалу, який скорочувативже просто неможливо, особливо гостро постає проблема відбо-ру лекційного матеріалу, побудови практичних занять та органі-зації самостійної роботи студентів.

Один із шляхів вирішення цієї проблеми ми бачимо в транс-формації міжпредметних зв’язків. Ознайомлюючись з різнимипоняттями, методами при вивченні фундаментальних дисциплін,розширюємо відомості про них, відпрацьовуємо методи, вивча-ючи фахові дисципліни. Певної “економії” часу нам вдалося до-сягнути за рахунок комп’ютеризації навчального процесу тапроведення бінарних занять з теорії ймовірностей та математич-ної статистики й інших дисциплін (рис. 1).

Високий рівень проведення бінарних занять та розширеннявикористання міжпредметних зв’язків можливе лише за умовидосягнення високого рівня взаєморозуміння між викладачамиматематичних та спеціальних кафедр.

Дослідна робота засвідчила високу ефективність таких за-нять з погляду усвідомлення студентами стохастичної природисвищ і процесів в навколишньому світі та формування їх науко-вого світогляду.

Література1. Білецький М.М. Повторення і міжпредметні зв’язки в

процесі вивчення математики в середніх навчальних закладах. //Матеріали VIII Міжнародної наукової конференції ім. М. Крав-чука (16–19 травня 2002 р., Київ). – К.: НТУУ КПІ, 2000. –С. 470.

2.Максимова В.Н. Межпредметные связи в процессе обуче-ния. –М.: Просвещение, 1988. – 190 с.

3. Павленко Т.В. К вопросу об оптимальном подходе к из-ложению курса математической статистики в техническом вузе //Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики:Збірник наукових праць. – Випуск 3. – В 3-х томах. – Кривий Ріг:Видавничий відділ НМетНУ, 2003. – Т. 1: Теорія та методиканавчання математики. – С. 225.

4. Національна Доктрина розвитку освіти України у ХХІстолітті: Проект // Освіта. – 2001. –№№60–62. – 24–31 жовтня.

66

5. Нічуговська Л.І. Математичне моделювання в системіекономічної освіти: Монографія. – Полтава: РВВ ПУСКУ, 2003.– 289 с.

6. Нічуговська Л.І. Прикладні аспекти математики: лінійнафункція та її економічне застосування // Математика в школі. –2003. –№ 8. – С. 43–47.

7.Швець В. О. Міжпредметні зв’язки математики і фізикисьогодні // Тези Міжнародної конференції “Асимптотичні мето-ди в теорії диференціальних рівнянь”. – К.: НПУ ім. М. П. Дра-гоманова, 2002. – С. 96.

67

ПРОФЕСІЙНО-ПЕДАГОГІЧНА СПРЯМОВАНІСТЬМАТЕМАТИЧНОЇ ПІДГОТОВКИ

МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ МАТЕМАТИКИ

В.Я. Ілляшенком. Луцьк, Волинський державний університет

імені Лесі Українкиsvit@lab.univer.lutsk.ua

Проблема професійно-педагогічної спрямованості матема-тичної підготовки вчителя в університетах стає сьогодні актуа-льною. Це пов’язане передусім із зміною ситуації в шкільнійосвіті, виникненням, крім загальноосвітніх, великої кількостіспеціальних шкіл.

При розгляді цієї проблеми необхідно виходити з сучасногорозуміння професіоналізму вчителя математики, його професій-ної майстерності. В останні десятиліття була створена ціла наукапро майстерність професійної діяльності – акмеологія. В рамкахцієї науки були виділені загальні ознаки професіоналізму в різ-них професіях:

– володіння спеціальними знаннями про цілі, зміст, об’єктиі засоби праці;

– володіння спеціальними вміннями на підготовчому, ви-конавському, підсумковому етапах діяльності;

– оволодіння спеціальними властивостями особистості, якідозволяють здійснювати процес і одержувати шукані ре-зультати [1].

У відповідності з цим поглядом у професіоналізмі вчителяматематики можна виділити три аспекти:

- змістовний (наявність спеціальних математичних знань);- технологічний (володіння методами навчання математи-

ки);- особистісний (володіння деякими рисами особистості).Математична підготовка вчителя математики була предме-

том неодноразового розгляду такими вченими, як Л.С. Понтря-гін, І.М. Яглом, А.М. Колмогоров, О.В. Погорєлов, М.І.Шкіль таін.

Головна мета професійної підготовки вчителя математики –

68

виховання його як людини математичної, педагогічної, методич-ної і загальнонаціональної культури, що складає багаторівневий,складно структурований і одночасно цілісний, нероздільний про-стір його професійної культури.

Сучасний вчитель повинен знати національні, історичні тра-диції народу, особливості середовища, в якому виховуються ді-ти, бути підготовленим до наукової розробки стратегії освіти вконкретних умовах, до вибору і реалізації нової педагогічноїконцепції і системи.

Розробкою професіограми вчителя займались В.А. Сласте-нін, колектив вчених під керівництвом І.А. Зязюна [4], колективвикладачів педуніверситету імені М.П. Драгоманова та ін.

В стратегії навчання математики необхідно враховувати всітри аспекти професіоналізму вчителя математики [2, 6–8].

Найбільшу увагу вчених привернув змістовний аспект про-фесіоналізму вчителя математики.

Більшість з них визнає, що математична освіта у педвузахмає специфічні особливості і повинна докорінно відрізнятись,наприклад, від освіти в класичних університетах. Необхідна фу-ндаментальна математична підготовка вчителя, яка забезпечуєйому математичні знання в межах, що далеко виходять за рамкишкільного курсу математики, універсальність у володінні нимрізних математичних навчальних предметів у школі.

У математичній освіті майбутнього вчителя математики ва-жливе місце займають курси “Числові системи”, “Основи геоме-трії”, “Теорія зображень”, “Елементарна математика” та інші, якіне вивчаються в університетах. В той же час ряд університетсь-ких математичних курсів, які важливі, як прикладні, але далеківід шкільного курсу, в педвузах не вивчаються або вивчаютьсязовсім з іншою метою.

Велике значення для математичної освіти вчителя мають та-кі алгебраїчні поняття, як кільця, поля, векторні простори та ін-ші. Створюється можливість ефективного повторення всіх цихпитань в курсі “Числові системи”, де будуть переплітатись осно-вні алгебраїчні, порядкові і топологічні структури. В той же часцей курс буде основою безпосередньої професійної діяльностівчителя в школі, адже головна лінія математики в школі – ви-вчення чисел. Після того, як будуть вивчені основні курси алгеб-

69

ри і теорії чисел, геометрії і математичного аналізу, студент по-винен подивитись на шкільну математику з нових позицій, усві-домити її нестрогість в окремих місцях, виявити пробіли в шкі-льних доведеннях.

У викладанні в педвузі загальних математичних курсів ви-рішальне значення має вивчення основних понять математики,різних тонких доведень, особливих випадків [5]. Тому різні до-ведення і детальні викладки потрібні у педвузі лише постільки,оскільки вони служать розумінню цих питань та їх застосуван-ню.

Змістовний аспект професіоналізму висуває на перший планідею зв’язку конкретного математичного курсу і відповідногошкільного предмету. Реалізація цього зв’язку забезпечує цілесп-рямованість курсу, розуміння студентами перспективи його ви-вчення, а значить, сприяє свідомому засвоєнню курсу [2].

В умовах інтенсивного розвитку науки і техніки ґрунтовнафундаментальна підготовка набуває ще більшого значення, ви-значає принципові підходи до професійної освіти педагогів. Алене можна погодитись з постійним намаганням в останні рокизмінювати навчальні плани і збільшувати номенклатуру фунда-ментальних навчальних дисциплін, що веде до перевантаженнястудентів, обмеження їх самостійної роботи і зниження якостізнань не лише з психолого-педагогічних дисциплін, але і з самихфундаментальних наук.

Технологічний аспект професіоналізму вчителя математикивимагає його спеціальної методичної підготовки. Проте цей ас-пект є невід’ємною частиною і математичної підготовки. Мате-матичні дисципліни повинні забезпечити студенту не тільки ши-рокий кругозір в математиці, певний рівень математичної куль-тури, але й знайомство з методами викладання шкільного курсуматематики. У методичній підготовці майбутнього вчителя засо-бами математичних дисциплін можуть застосовуватись різніприйоми: мотиваційне забезпечення навчальної діяльності, про-педевтика, всебічний виклад матеріалу (в тому числі шкільні ва-ріанти); навчання застосуванню принципів дидактики; проблем-ність у навчанні; самостійні завдання по підготовці матеріалівдля використання на уроках, заняттях, математичних гуртках,факультативах, в класах з різною спеціалізацією; ділові ігри; під-

70

готовка фрагментів уроків з певних тем шкільної програми; за-вдання по переробці фрагмента теорії у фрагмент навчальногопредмету в школі; відбір задач.

Технологічний аспект математичної підготовки вчителя по-винен мати неперервний характер, тобто всі математичні курсиповинні брати участь в процесі неперервного досягнення студен-тами педагогічної діяльності. Це дозволяє перевести студентіввідразу, з перших днів навчання у вузі з позиції школяра на по-зицію вчителя, що надає цьому аспекту виражений творчий ха-рактер, сприяє виробленню у студентів власних елементів техно-логій. Методична культура вчителя математики розглядається якорганічна єдність методичної компетентності (знання: методичнаосвіченість і методичний кругозір) та методичного професіоналі-зму (діяльність: методичне мислення і методичний досвід) [7].

В роботі [6] на основі сучасних психологічних теорій нау-чіння і дидактичних систем розглядається методика організації іуправління трьома провідними видами навчально-пізнавальноїдіяльності учнів при вивченні курсу математики:

1) формування математичних понять;2) навчання доведенням математичних тверджень;3) навчання розв’язуванню задач.Педагогічна практика студентів показує, що основні труд-

нощі в роботі вони відчувають при відшуканні способіврозв’язання задач і доведення теорем. У зв’язку з цим потрібнорозробляти спеціальний загально-методичний курс теоретичнихоснов навчання математики, оснований на сучасній методології.

Важливим видом професійної підготовки вчителя математи-ки є історико-методична підготовка, яка дозволяє формуватиуявлення про динаміку впровадження досягнень математики якнауки в шкільну освіту. Практично всі видатні вчені математикибрали участь в долі вітчизняної шкільної математичної освіти.Досить навести кілька прикладів.

М.П. Кравчук викладав математику в школі, був організато-ром першої Всеукраїнської олімпіади юних математиків. Відомійого методичні роботи для вчителів. А.М. Колмогоров, будучивидатним математиком ХХ століття, очолив реформу математи-чної освіти 60-70-х рр. Видатний геометр О.В. Погорєлов ство-рив шкільні підручники з геометрії, якими користуються в наш

71

час.Характеризуючи вчених-математиків, які внесли вклад у

розвиток шкільної математичної освіти, коротко аналізуються їхматематичні досягнення, які не входять в програму фундамента-льних математичних курсів. Це в свою чергу сприяє формуван-ню математичної культури майбутнього вчителя.

Історико-методична підготовка вчителя математики збагачуєйого знаннями про історію математичної освіти та історію мето-дики викладання математики.

Крім технологічного аспекту, для продуктивної професійноїдіяльності істотне значення має особистісний аспект.

Які ж важливі якості особистості, що дають можливість до-сягнути ефективності у професійній праці?

Це інтелектуальні (мислення), моральні (поведінка), емоцій-ні (почуття), вольові (здатність до самоуправління), організатор-ські (механізм діяльності) [1, 4].

На роль вивчення математичних курсів у формуванні мате-матичного мислення вказувало багато вчених. Але роль матема-тики полягає і в тому, що формування математичних структурмислення дозволяє розвивати не тільки математичні здібності,але й розум людини, її особистість в цілому. Математичному ми-сленню характерні всі якості наукового мислення (логічність,здатність до узагальнення, гнучкість, раціональність та ін.), томуз допомогою математики студенти знайомляться з методамирозв’язання проблем, які виходять за межі математики (аналогія,порівняння, узагальнення, аналіз, синтез та ін.).

Особистісний аспект навчання математиці полягає в йогоморальній стороні. Вивчення математики, її структур виробляє влюдині потребу подолати опір між нашими уявленнями та їх на-уковим обґрунтуванням, що сприяє не тільки чіткості, логічностімислення, але і виховує такі морально-етичні і вольові якості, якохайність, аргументованість, принциповість, уміння сприйматиіншу думку, відданість істині, наполегливість в досягненні мети,працелюбність і чесність. Духовний розвиток особистості прохо-дить шляхом впливу вивчення математики не тільки на розумлюдини, а й на емоційну сферу.

На виховний аспект вивчення математики наголошувало ба-гато видатних вчених-математиків, педагогів, зокрема, О.Я. Хін-

72

чин, Б.В. Гнєденко, А.М. Колмогоров, І.М. Тесленко та ін.При викладанні математики необхідно використовувати всі

можливості для того, щоб навчити студентів – майбутніх вчите-лів, бачити естетичні моменти, внутрішню гармонію в математи-чному змісті самої дисципліни, розуміти єдність істини і краси.

Багатий естетичний потенціал мають багато розділів вузів-ської і шкільної математики, але не менш важлива інша естетика– процесуальна, пов’язана з подачею матеріалу, його записом,зображенням, його сприйманням і розумінням [8].

Ми поділяємо точку зору багатьох вчених, що математика вшколі – загальнокультурний гуманітарний предмет, який дозво-ляє суб’єкту правильно орієнтуватись в навколишньому світі і“розум в порядок приводить” [3].

Математика – наука про математичні моделі. Моделі в мате-матиці описуються специфічною мовою (терміни, позначення,символи, графіки, графи, алгоритми і т.д.). Значить, потрібно ви-вчати математичну мову, щоб можна було працювати з будь-якими математичними моделями. Але навчальний предмет, оріє-нтований на вивчення якої-небудь мови, вважають предметомгуманітарним. Особливо важливо при цьому підкреслити, щоосновне призначення математичної мови – здатність організаціїдіяльності (тоді як основне призначення звичайної мови – слу-жити засобом спілкування), а це в наш час дуже важливо длякультурної людини.

Саме така думка повинна бути однією з провідних у профе-сійній підготовці вчителя математики.

Математика сприяє гуманітаризації загальної освіти. І потрі-бно не зменшувати її складову в шкільних навчальних планах, апосилювати той гуманітарний потенціал математики, який за-кладений в ній. Гуманітаризацію загальної освіти в цілому, нанашу думку, потрібно розуміти як пошук рівноваги між техно-кратичною і гуманітарною освітою [10].

Математична освіта не є особистою справою людини. Це пи-тання державної ваги, і, значить, суспільство повинно піклува-тись і заохочувати якісну освіту.

Вивести математичну освіту на передові рубежі можна, тіль-ки зберігши кращі традиції вітчизняної школи і тільки спільнимизусиллями математиків, педагогів, вчителів.

73

Література1. Дергач А.А., Кузьмина Н.В. Акмеология: пути достиже-

ния вершин профессионализма. Российская академияуправления. –М., 1993.

2. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая на-правленность специальной подготовки учителя матема-тики в педагогическом институте. Автореф. дисс. ... док-тора пед. наук. –М., 1986.

3. Мордкович А.Г. Математика в школе – новые задачи,новые концепции, новые учебники. // Модернизацияшкольного математического образования и проблемыподготовки учителя математики университетов и педаго-гических вузов. – Спб: РГПУ им. А.И.Герцена, 2002. –С. 3-12.

4. Основы педагогического мастерства. Под ред. И.А. Зя-зюна. – К.: Вища школа, 1987.

5. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в пе-дагогическом институте. –М.: Просвещение, 1989.

6. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обуче-ния математике. – К.: Рад. школа, 1983.

7. Стефанова Н.Л. Теоретические основы развития системыметодологической подготовки учителя математики в пе-дагогическом вузе: Автореф. дисс. ... д-ра пед. наук. –СПб, 1996.

8. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. –М., 1999.9. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков матема-

тики // Повышение эфективного обучения математике вшколе. Кн. для учителя. Сост. Г.Д. Глейзер. – М.: Про-свещение, 1989.

10. Ілляшенко В.Я. Технологія гуманітаризації шкільної ма-тематичної освіти як одна з сучасних педагогічних тех-нологій // Педагогічний пошук. Науково-методичний ві-сник. –№ 2 (26). – Луцьк, 2000. – С. 18-20.

74

ДИДАКТИЧНІ ІГРИ НА УРОКАХМАТЕМАТИКИ

С.І. Кашина, Г.Н. Середам. Кривий Ріг, Середня школа №99

school99@mail.ru

Прийшов час, коли гасло “Кожній школі – комп’ютернийклас” не є утопічним. Здається, вже ні для кого не секрет, щокомп’ютер використовують не тільки на уроках.

Місце і зміст шкільного предмету “Інформатика” значноюмірою залежить від рівня інформації навчального процесу, роз-робленості нових інформаційних технологій навчання та їх ви-користання при вивченні різних навчальних предметів, змістово-го наповнення інших навчальних предметів, в тому числі такихяк словесність, література.

Проблеми інформатизації тісно пов’язані також і з пробле-мами гуманізації навчального процесу, які повинні передбачатирозширення і поглиблення теоретичної бази знань, надавати ре-зультатам навчання практичної значущості, творчого спряму-вання, розкривати творчий потенціал учнів і вчителів. А це мож-ливо лише в умовах широкого впровадження та системного ви-користання нових інформаційних технологій навчання.

Впровадження нових інформаційних технологій відкриваютьширокі перспективи і при вивчення дисциплін гуманітарногоциклу – рідної та іноземної мови, літератур, художньої культури.Це дає змогу на уроках створювати новий тип ставлення до пі-знання, наприклад, інтерес до способу здобування знань колитрадиційно вважалося достатнім сформувати інтерес до змістунавчання. І курс інформатики надає нам великі можливості дляформування, підтримки та розвитку інтересів до способів здобу-вання, а також для закріплення знань.

Інтерес учнів до знань також стимулює використання ігро-вих моментів. Так, ми працюємо над розробкою дидактичнихігор, які об’єднують в собі риси як ігрової, так і навчальної дія-льності (література доби Відродження). Ця гра проводиться задопомогою комп’ютера. Гравець обирає відповідь, яку він вва-жає правильною і одержує номер пункту, в який йому необхідноперейти. У вищезазначеному пункті учень дізнається, чи вірно

75

він відповів на запитання, одержує коротку інформацію стосовноцієї теми (навіть якщо дав вірну відповідь), інструктаж про пода-льші дії. Правильні відповіді дають можливість швидко рухатисьпо країнам доби Відродження, а невірні повертають гравця напочатковий етап. Комп’ютерний варіант дозволяє грати всім уч-ням класу.

Однією з форм контролю, яка використовується при підсум-ковому оцінюванні знань учнів, може бути тестування, що про-водиться на комп’ютерах за допомогою програми “Тести”.

Можливості комп’ютера можна використовувати також ввипереджувальній пошуково-дослідницькій роботі, яка прово-диться під час підготовки до уроків ділових ігор у старших кла-сах.

Зацікавити учнів математикою, показати її могутність і кра-су, розкрити закономірність її дій – завдання кожного вчителяпочаткових класів.

Молодшим школярам властиво довільне поводження, ігровадіяльність, наочно-образний характер мислення, практичне від-ношення до виконання завдань (спрямованість уваги на резуль-тат, а не на спосіб дій). Приймаючи в увагу ці особливості дітеймолодшого шкільного віку, доцільно в роботі з ними на урокахсистематично застосовувати елементи гри. Практика показує, щоновий матеріал, викладений в ігровій формі, з наступним прове-денням практичної роботи чи бесіди, дають набагато кращі ре-зультати, чим традиційна форма проведення уроку.

Дидактична гра є цінним засобом виховання розумової акти-вності дітей, вона активізує психічні процеси, викликає в учнівжвавий інтерес до пізнання невідомого.

У процесі проведення ігор на уроках у багатьох учнів під-вищується інтерес до навчальної діяльності. Навіть пасивні науроках учні виявляють інтерес спочатку до гри, а потім і до на-вчального матеріалу та до самої математики. Гра дає можливістьучителю тактовно і непомітно допомогти слабкому учню, дляякого підбирається завдання простіше – у грі цього ніхто не по-мітить. Завдяки цьому учні, що зазнають труднощів у навчанні,поступово засвоюють матеріал уроку.

У грі діти охоче переборюють значних труднощів, тренуютьсвої сили. Вона допомагає зробити будь-який матеріал захоплю-

76

ючим, викликає в учнів глибоке задоволення, створює радіснийробочий настрій, полегшує процес засвоєння знань. Ігри на уро-ках математики поглиблюють і розширюють знання і практичнінавички дітей; розвивають математичне і логічне мислення, кмі-тливість; виявляють найбільш обдарованих і здатних учнів,сприяють їх подальшому розвитку; залучають до цікавих занять;виховують інтерес до математики, наполегливість у подоланнітруднощів; працездатність, організованість і колективізм.

Вчитель в ігровій формі учить школярів бачити цікаве і ди-вуватися простому спостереженню, радуватися умінням і досяг-ненням своїм і своїми друзями, повніше реалізовувати підготов-ку до практичної діяльності. При використанні на уроках мате-матики ігрового матеріалу необхідно дотримувати основних ви-мог:

1. Ігрове завдання за змістом повинне збігатися з пізнаваль-ним, тобто ігровою є лише форма його постановки.

2. Математичний зміст гри повинен бути посильним для ко-жного учня, тільки тоді в ній будуть брати участь усі діти.

3. Учитель повинен знати:– які математичні уміння і навички повинні формуватися

під час гри в дітей;– яке виховне завдання реалізується ігровою формою (ви-

ховання вольових якостей, почуттів довіри, взаємодопо-моги, дружби, уміння інтереси колективу ставити вищесвоїх);

– як за мінімально короткий час ознайомити учнів із пра-вилами і завданням гри;

4. Необхідно чітко визначити час гри, можливі зміни під часїї проведення.

5. Підсумок гри підводить учитель, і він повинен бути спра-ведливим.

Дидактична гра на уроках математики може проводитися увигляді математичних розваг, ігор-подорожей, змагань. Але, го-ловне, гра корисна лише тоді, коли сприяє розумінню математи-чної суті завдання, придбанню дітьми знань. При підборі ігорнеобхідно пам’ятати про те, що вони повинні сприяти повноцін-ному всебічному розвитку психіки дітей, їхніх пізнавальних зді-бностей, мови, досвіду спілкування з однолітками і дорослими,

77

допомагати дитині опанувати уміннями аналізувати, порівнюва-ти, абстрагувати, узагальнювати. У процесі проведення ігор ін-телектуальна діяльність учня повинна бути пов’язана з його дія-ми стосовно навколишніх предметів, для успішного навчанняматематиці в процесі гри необхідно застосовувати як предмети,що оточують школяра, так і моделі досліджуваного матеріалу чипредметні картинки, а також і таблиці.

За характером пізнавальної діяльності математичні ігри мо-жна розбити на групи:1. Ігри, що вимагають від дітей виконавської діяльності.2. Ігри, що вимагають відтворюючої діяльності.3. Ігри, у яких запрограмована перетворююча діяльність дітей.4. Ігри, у які включені елементи пошуку і творчості. Це задачі,

загадки, ребуси, уроки-подорожі.Перед проведенням гри треба доступно викласти сюжет,

розподілити ролі, поставити перед учнями пізнавальну задачу,підготувати необхідне устаткування, зробити потрібні записи надошці.

Доцільно диференціювати ігрові моменти по труднощам за-вдань, за самостійністю їхнього виконання, коли поступово до-помога вчителя стає менше. Це дає можливість не допустити від-ставання учнів, запобігти труднощів, підтримати невстигаючого,поступово переводячи його від колективних форм роботи до са-мостійних – частково і цілком.

Пропонуємо деякі назви ігор: “Визнач закономірність”,“Математичний футбол”, “Допитливі космонавти”, “Космічнаподорож”, “По хвилях математичного океану”, “Математика всірниковій коробці”, “Математична скринька”, “Математичнийструмочок”, “Сторінками українських казок”; різноманітні мате-матичні газети: “Хрестики–нулики”, “Відрізок і число”,“Математична скарбничка”, “Усезнайка”, “Юний математик”.

78

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫИСПОЛЬЗОВАНИЯРАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА»СТУДЕНТАМИ ДНЕВНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

М.А. Кислова, А.А. Горшкова, С.Ф.Максименког. Кривой Рог, Криворожский металлургический факультетНациональной металлургической академии Украины

В последние несколько лет на Криворожском металлургиче-ском факультете НМетАУ при изучении различных дисциплиниспользуют модульную систему обучения. Суть её в следующем:весь курс данной дисциплины разбивается на части, каждая изкоторых включает в себя лекции, практические или семинарскиезанятия, самостоятельную работу студентов и контроль знаний.По каждой части выставляется итоговая (модульная) оценка. Вконце семестра становится возможным выставление семестровой(итоговой) оценки по итогам всех модулей, которые входили втекущий семестр.

На наш взгляд, данная схема оказалась очень действенной ипри изучении курса «Высшая математика». После двух лет рабо-ты по модульной системе обучения можно сделать такие выво-ды:

1) использование модульной системы в процессе изучениякурса «Высшая математика» полностью оправдано, так как дан-ная дисциплина дает возможность подбора огромного количест-ва дифференцированных заданий и вопросов для различных ви-дов контроля;

2) положительным моментом является также увеличениедоли самостоятельной работы студентов;

3) повышается заинтересованность студентов в улучшениирезультатов своей работы.

Как уже отмечалось выше, введение модульной системыподразумевает подбор заданий и вопросов для контроля успе-ваемости. Нами используются различные виды контроля. Этомогут быть и устные теоретические опросы, и письменные мате-матические диктанты; итоговые коллоквиумы, текущие кон-трольные работы, семестровые домашние задания. Варьирование

79

различными видами контроля знаний позволяет поддерживатьпостоянный интерес студентов к высшей математике. Например,на одном и том же занятии различным по уровню успеваемостигруппам студентов можно предложить различные виды работ.Так, хорошо успевающим студентам выдаются письменные за-дания творческого характера; студентам-«хорошистам» – зада-ния типового характера с различными наборами начальных ус-ловий и возможностью классифицировать полученные результа-ты. Студентам, плохо усвоившим данный материал, предостав-ляется возможность закрепить его с помощью математическогодиктанта или устного опроса. Каждый студент на таком занятииполучает оценку.

Рассмотрим некоторые из видов контроля.На каждом лекционном занятии 10 минут отводится на ма-

тематический диктант по теме, рассмотренной на предыдущейлекции. Такие диктанты имеют 4 варианта, в каждом из которыхпо 3-5 заданий (вопросов) в зависимости от темы. Например,изучение темы «Дифференциальные уравнения: основные поня-тия и определения» может быть закреплено таким математиче-ским диктантом:

1 вопрос:Вариант 1. Дифференциальным называется уравнение, ко-

торое…Вариант 2. Дифференциальным уравнением в частных про-

изводных является…Вариант 3. Обыкновенным дифференциальным уравнением

называется уравнение, которое…Вариант 4. Порядком дифференциального уравнения назы-

вается…2 вопрос:Вариант 1. Интегральной кривой называется…Вариант 2. Уравнением в явной форме есть уравнение…Вариант 3. Уравнением в неявной форме называют уравне-

ние…Вариант 4. Системой обыкновенных дифференциальных

уравнений называется…3 вопрос:Вариант 1. Общее решение дифференциального уравнения

80

есть…Вариант 2. Общим интегралом дифференциального уравне-

ния есть…Вариант 3. Уравнение вида y′ = f(x, y) называется…Вариант 4. Уравнение вида F(x, y, y′)=0 называется…4 вопрос:Вариант 1. Начальным условием называется…Вариант 2. Общим решением дифференциального уравне-

ния первого порядка называется…Вариант 3. Частным решением дифференциального уравне-

ния первого порядка называется…Вариант 4. Задачей Коши называется…Кроме того, хорошо зарекомендовала себя такая форма ра-

боты: некоторые темы, не очень громоздкие и сложные для вос-приятия, предлагаются студентам для самостоятельной прора-ботки. Для подготовки дается 7-10 дней. В назначенный день налекционном занятии лекторами становятся студенты, наиболеекачественно подготовившие эту тему. Остальные оценивают ееосвещение и, при необходимости, вносят дополнения. Студенты,не подготовившие доклад, получают оценку «неудовлетвори-тельно» и конспектируют излагаемый материал. Такой подходдает возможность каждому студенту проявить индивидуальныетворческие и личностные особенности, вырабатывать ораторскиеспособности, чувство уверенности в себе и своих силах.

Для раздела «Дифференциальные уравнения» такими тема-ми могут быть:

1. Линейные дифференциальные уравнения первого поряд-ка и методы их решения.

2. Решение линейных однородных уравнений второго по-рядка с постоянными коэффициентами.

Проверка практических навыков осуществляется с помощьютекущих самостоятельных и контрольных работ. Каждая темараздела заканчивается письменной работой, в которую включа-ются упражнения, касающиеся самых важных положений.

Если при изучении раздела у студентов возникают трудно-сти, то проводятся коллоквиумы, которые позволяют не толькопроверить уровень знаний, но и найти пути его повышения.

В начале каждого семестра студентам выдается список тео-

81

ретических вопросов, которые выносятся на экзамен. Для прове-дения коллоквиума из этого списка выбирается определенноеколичество вопросов, которые студент должен подготовить дляосвещения. Подготовка может проводиться как по конспектулекций, так и с помощью дополнительных источников. Таковы-ми являются любые учебники по курсу высшей математики,список которых предлагается студентам на первом занятии.Кроме того, преподавателями нашего института подготовленыметодические указания к изучению каждого раздела высшей ма-тематики, которые содержат краткий теоретический материал,типовые расчеты и задания для самостоятельной работы.

В конце семестра преподавателем берутся во внимание всеоценки, полученные студентом по каждому разделу, и выставля-ется, если это возможно, итоговая оценка.

82

ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇЯК ЗАСІБ ОСУЧАСНЕННЯ ЗМІСТУ КУРСУ РЯДІВ

В.І. Клочком. Вінниця, Вінницький національний технічний університет

klochko@vstu.vinnitca.ua

Одним із основних математичних засобів електро- і радіоін-женера є гармонійний аналіз. Оволодіння елементами теорії ря-дів Фур’є та інтеграла Фур’є зумовлює оволодіння студентамивсього циклу інженерних дисциплін.

Методика вивчення основ гармонійного аналізу розгляда-лась у багатьох публікаціях [1, 2]. Проте автори висвітлювалилише окремі питання. Так, не розглядалось застосуваннякомп’ютерної математики під час вивчення елементарної теоріїперіодичних функцій, дій з гармоніками, зокрема не завжди роз-глядається сутність рівності Парсеваля, як правило, не розгляда-ється застосування рядів та інтеграла Фур’є до розв’язання ди-ференціальних рівнянь. У зв’язку з розвитком обчислювальнихзасобів сформувався новий напрям: цифрова обробка сигналів.Цей напрям має широке застосування і в радіотехніці, економіч-ної кібернетики та інших галузях науки і техніки. Одним із най-більш важливих математичних засобів цифрової обробки сигна-лів є дискретне перетворення Фур’є. Звичайно, проблеми мето-дики вивчення рядів Фур’є неможливо розглянути в одній публі-кації.

У зв’язку з такими обставинами нами запропонована новаметодика викладу рядів Фур’є, у якій, на нашу думку, даєтьсявідповідь на поставлені вище питання.

На заняттях розглядається поняття скалярного добутку двохфункцій за формулою, підкреслюється, що властивості скалярно-го добутку векторів цілком переносяться на скалярний добутокдвох функцій. Розглядається поняття базису, подаються рядомФур’є періодичні функції з періодом 2π і функції з довільнимперіодом.

За допомогою систем комп’ютерної математики студентизнайомляться із ортогональними системами функцій. Наводятьсяприклади ортогональних систем. Так, система многочленів Ле-

83

жандра степені n Pn(t)

],...)1[(!2

1)(

),...,13(2

1)(,)(,1)(

2

2210

n

n

n

nn tdt

d

ntP

ttPttPtP

−⋅⋅

=

−===

ортогональних при t∈ [–1, 1], в математичній системі MathCADпозначається Leg(n, t). Скориставшись відповідними функціямиматематичної системи MathCAD, студенти будують також рядиФур’є-Чебишева за ортогональною на відрізку [–1, 1] системоюмногочленів Чебишева Tcheb(n, t).

Для порівняння аналізуються графіки функції та частковихсум тригонометричного ряду, рядів Фур’є-Лежандра і Фур’є-Чебишева. В окремих випадках часткові суми з однаковою кіль-кістю членів тригонометричного ряду точніше наближують фун-кцію, ніж відповідні часткові суми ряду, побудованого за систе-мою многочленів.

За традиційною методикою вивчення рядів Фур’є, за бракомчасу, студенти навчаються подавати рядом Фур’є парні і непарніфункції, розглядаються приклади щодо подання рядом Фур’єдовільних функцій, подання рядів Фур’є в комплексній формі, атакож виконують розрахунково-графічні роботи. Не завжди роз-глядається представлення абсолютно інтегрованих функцій інте-гралом Фур’є, приклади на перетворення Фур’є та обчисленняспектральної щільності для абсолютно і не абсолютно інтегрова-них функцій.

Застосування сучасних систем комп’ютерної математики(СКМ) Mathematica, MathCAD, Mathlab і ін., спеціалізованої про-грами NUMERI, дозволяє зосередити увагу студентів на понят-тях та логіці методів рідів Фур’є, алгоритмах, звільнивши їх відгроміздких обчислень. Слід також зауважити, що на прикладітема рядів Фур’є студенти переконуються в тому, що без теоре-тичних основ, які вивчаються за традиційними методиками, не-можливе глибоке оволодіння предметом.

Вивчення рядів Фур’є починається з введення поняття гар-моніки, найпростішого, але, в той же час, і дуже важливого класуперіодичних функцій. В застосуваннях часто розглядають функ-ції, які зображуються сумами гармонік. Важливо те, що при до-даванні гармонік з однаковими частотами отримують гармоніку

84

з тією ж частотою. Розглядаються дії над гармоніками.Важливо звернути увагу студентів на різні структури рядів

Фур’є функції f(t). В залежності від способу продовження функ-ції на проміжок [–π, 0] отримаємо ряди різної складності. Най-простішим випадком ряду Фур’є є ряди, одержані при парномуабо непарному продовженні функції. Для порівняння наводятьсяграфіки часткових сум.

Аналіз графіків дає підстави зробити висновок про те, що упорівнянні з рядом за косинусами – перші десять гармонік рядіву певному розумінні “краще” наближують функцію, наведену нарис. 1.

0 1 2 30

1

1.7

0

s1 t( )

s2 t( )

s5 t( )

π0 t

Рис. 1.

Виклад починається з уведення поняття скалярного добуткуфункцій f(x) і g(x) для x∈ (a, b):

( ) ( ) ( ) ( )∫=⋅b

a

dxxgxfxgxf

Далі вводиться поняття ортонормованої системи функцій{gk(t)}, t∈ [a, b].

Важливу роль в дослідженні радіотехнічних сигналів віді-грає система ортонормованих функцій Уолша Wal(k,t). Студентибудують графіки декількох перших функцій: w0(x)=1,w1(x)=sign(sin(2πx)), w2(x)= sign(sin(4πx)), w3(x)=w1(x)*w2(x),w4(x)=sign(sin(8πx)), w5(x)= w0(x)*w2(x), w6(x)=w2(x)*w1(x),w7(x)=w2(x)*w1(x)*w0(x), w8(x)=sign(sin(16πx)) та перевіряютьвластивість ортонормованості. Звичайно студенти повинні розу-міти, що обчислення дають можливість висунути припущення і

85

не є доведенням.Критерієм оптимального розвинення сигналу за ортогональ-

ним базисом можна використати інтегральний показник. На його

основі отримується рівність Парсеваля ( ) ( )∫ ∑ ∫∞

=

=b

a n

b

a

nn dxxgcdxxf1

222

та доводиться, що коефіцієнти Фур’є мають важливу властивіс-тю: при зростанні номерів коефіцієнтів Фур’є, вони за абсолют-ним значення спадають.

За браком часу на занятті не з’ясовується фізичний зміст фо-рмули Парсеваля, який полягає в тому, що енергія, яка розподі-

лена в часі ( )[ ]

∫−

π

ππdttf 2

2

1(пропорційне потужності сигналу)

еквівалентна енергії, яка розподілена за частотою

( )

++ ∑

∞

=1

2220

2

1

4 kkk ba

a, (a2

0/4 – число, пропорційне потужності ста-

лої складової сигналу; a2k/2 – число, пропорційне потужності га-

рмоніки akcos(kωt), відповідно b2k/2 – гармоніки bksin(kωt), сума

потужностей гармонічних складових цього сигналу). Оскількикоефіцієнти ряду ak і bk→0 при k→∞, то основна енергія сигналуf(t) припадає на початкові частоти. Діапазон частот, на якомувипромінюється приблизно 90% енергії сигналу, в техніці нази-вають шириною спектру сигналу. Рівність Персеваля і дозволяєвизначити цей діапазон. Відповідні обчислення легко викону-ються за допомогою СКМ.

Приклад. Знайти ширину спектру сигналу

<<−

+<<−+=

,2)12(,0

,1)(2kt2k,2

)12()(

πππππ

kttk

tktf k = 0, ± 1, ± 2, …

Для цього сигналу аk=0, bk=1/k, тому ∑∞

=1

*2

1

kkb = ∑

∞

=12

1*

2

1

k k.

∫ =−π πππ

2

0

22

124

)(

2

1dt

t ≈0.822467. Сума перших п’яти членів ряду

дорівнює 0.732 і відрізняється від інтеграла (або від числа π2/12)на 11%, а сума перших десяти – на 5.7%. Отже, більше, ніж 90%енергії цього сигналу переноситься на частотах 1–10.

86

Проте у більшості практичних задач фізики, техніки частішевикористовують тригонометричні многочлени. На заняттях задопомогою засобів СКМ студенти порівняно легко, на основідібраного критерію, будують наближення сигналу та візуальнопорівнюють якість наближення.

Приклад. Для функції f(t), t∈ [0, 3π] знайти тригонометрич-ний многочлен T(t)=α+βcos t+γcos 2t, t∈ R, який мінімізує нормуG(α, β, γ):

G α β, γ,( )0

3 π⋅

tα β cos t( )⋅+ γ cos 2 t⋅( )⋅+ f t( )−( )2⌠⌡

d

Розв’язок системи має вигляд:

α1

3

0

3π⋅

tf t( )⌠⌡

d

π⋅ β

2

3

0

3 π⋅tf t( ) cos t( )⋅

⌠⌡

d

π⋅ γ

2

3

0

3π⋅tf t( ) cos 2 t⋅( )⋅

⌠⌡

d

π⋅

На прикладі функції f(t):=t, t∈ [0, 3π] оцінимо якість набли-ження тригонометричними многочленами f1(t) і f2(t).

f1(t)=4.712+2sin(t)-sin(2t)+0.667sin(3t)-0.5sin(4t)+0.4sin(5t),f2(t)=4.712-0.424cos(t).

0 50

5

1010

0

f t( )

f1 t( )

f2 t( )

3 π⋅0 t

Рис. 2.

Значення показника точності наближення функції f(t) триго-нометричними многочленами f1(t) і f2(t) такі: G(4.712,2,-1,0.667,-0.5,0.4)=9.21, G(4.712,-0.424,0)=8.302. Тобто, якість на-ближення многочленом f2(t) вища, ніж многочленом f1(t). Графік

87

на рис. 2 ілюструє одержані результати обчислень.Важливе значення як в теорії рядів Фур’є, так в застосуван-

нях має поведінка часткових сум. Виявляється, графіки частко-вих сум Sn(x) при n→∞: в околі точки розриву коливатись з до-сить великою амплітудою. Така поведінка рядів Фур’є призво-дить до помилок при їх застосуванні у тому випадку, якщо кое-фіцієнти Фур’є спадають не швидше, ніж n-3. З метою пригнічен-ня таких збурень використовуються “вікна даних”.

Приклад. Розвинути в тригонометричний ряд Фур’є функ-цію f(t)=t, t∈ [1, 5].

Остаточно ряд Фур’є набуває вигляду:

51

sin2

122

)12(cos4

3)(11

<<

+−

−

+= ∑∑∞

=

∞

=

t

k

tk

k

tk

tfkk

ππ

π

π

Проаналізуємо поведінку часткових сум ряду Фур’є. Побу-дувавши графіки часткової суми та функції f(t) на періоді та воколі точки розриву. Так, в околі точки розриву проявляєтьсяявище Гіббса, яке полягає в тому, що графіки часткових сум Sn(x)в околі точки розриву коливаються і не мають тенденції до зме-ншення амплітуди коливання. Графіки часткових сум Sn(x) рядуФур’є наведено на рисунках 3 і 4.

5.2

0.827

s4 t( )

f t( )

51 t

3

0

s3 t( )

f t( )

1.21 t

Рис. 3. Рис. 4.

Зокрема, переконуємося в тому, що в околі точок непере-рвності функції f(x) абсолютна величина різниці між значеннямифункції та часткової суми Sn(x) прямує до нуля при n→∞:|f(x)–Sn(x)| → 0. Крім того, швидкість прямування до нуля у точ-ках х віддалених від точки розриву тим більша, чим далі знахо-диться х від точки розриву. По іншому ведуть себе часткові суми

88

в околі точок розриву х0. У відповідності до теореми Діріхле

( ) ( ) ( ),

2

00 000

++−= xfxfxSn

проте існують такі послідовності { х′n}→x0–0, {x′′ n}→x0+0(рис. 3), що

).(lim)(lim nnnnnnxSxS ′′≠′

∞→∞→

В околі точки розриву скінчена сума членів ряду Фур’є бі-льша за відповідні значення функції (рис. 4). Коли кількість чле-нів часткової суми ряду зростає (m=10, m=100, m=1000, таблиця1), ця особливість не зникає, а зміщується ближче до точки роз-риву (порівняти графіки на рис. 3 і 4, а також відносні відхилен-ня, наведені в таблиці 1). Тобто розриви функції породжуютьосциляції часткових сум ряду Фур’є.

Ця ситуація обґрунтовується таким чином. Часткова сумаряду Фур’є, наприклад, функції f(t)=t, 1<t≤5 має вигляд

∑=

−+=n

kn k

tktS

1

))1(5.0sin(*43)(

ππ

У сумі зробимо заміну t=1+4u/π, тоді

∑=

−+=n

kn k

tktS

1

))1(5.0sin(*43)(

ππ

=3+4∑=

−n

k k

ku

1

)2sin(

π=

=3– ∑∫=

n

k

u

dxkx1 0

)2cos(8

π=3– ∫∑

=

u n

k

dxkx0 1

)2cos(8

π=

=3– ∫+u

dxx

xnnx

0 sin

)1cos()sin(.

Дослідимо на екстремум часткову суму Sn(t). Знаходимокритичні точки.

))1(25.0sin(

))1)(1(25.0cos())1(25.0sin(2)(

−−+−−=′

t

tntntSn π

ππ.

n

mt

41+= , m=1, 2, …, n–1,

1

)12(21

+++=

n

lt , l=1,2,…, n..

Екстремуми розміщені таким чином: між двома послідовни-ми максимумами знаходиться мінімум. Із збільшенням n точкиекстремуму наближаються до кінців проміжку. Обчислимо зна-чення часткових сум в екстремальних точках.

89

При t=1.4 часткова сума S10(1.4)=1.588, тобто перевищуєзначення функції f(1.4) майже на 14%. В першій точці мінімумуt=17/11 часткова сума S10(1.545)=1.421, тобто менша за відповід-ні значення функції f(1.545) майже на 8%.

В таблиці 1 відображено динаміку змінювання похибки призаміні значень функції частковими сумами її ряду Фур’є (m=10,m=100, m=1000). При збільшенні кількості членів часткової сумипохибка залишається великою, проте вона зміщується до кінцявідрізка.

Таблиця 1m=10 m=100 m=1000s3 h( ) f h( )−

f h( )100⋅

199.77

199.54

199.31

199.08

198.851

198.621

198.391

198.161

197.932

197.702

197.473

197.243

197.014

196.785

196.555

196.326

s3 h( ) f h( )−f h( )

100⋅

197.97

195.941

193.913

191.885

189.859

187.833

185.809

183.787

181.767

179.748

177.732

175.717

173.705

171.696

169.689

167.685

s3 h( ) f h( )−f h( )

100⋅

179.999

160.167

140.664

121.648

103.268

85.663

68.964

53.286

38.73

25.38

13.305

2.555

6.84

14.864

21.524

26.843

Досить рідко розглядається застосування рядів Фур’є та ін-тегральних зображень функції, і, зокрема, інтегралу Фур’є дорозв’язування диференціальних рівнянь. Використання СКМспрощує перетворення і дозволяє студентам звільнити час дляаналізу розв’язку, що сприяє розвитку їхньої активності, само-стійності, підвищенню інтересу до вивчення дисципліни.

Приклад 4. Записати розв’язок диференціального рівняння

90

2x

y x( )d

d

2y x( )+ 4 sin 3 x⋅( )⋅ , y(0)=1, y'(0)=–1

у вигляді тригонометричного многочлена. Диференціальне рів-няння розв’язується наближеним методом, реалізованим у сис-темі комп’ютерної математики MathCAD, за допомогою функціїOdesolve.

На рис. 5 наведено графік розв’язку рівняння. Він має пері-одичний характер. Тому апроксимуємо тригонометричним мно-гочленом.

0 5 102

1

0

1

21.202

1.202−

y x( )

100 x

0 5 102

0

21.484

1.537−

y x( )

s x( )

100 x

Рис. 5. Рис. 6.

Обчислюємо коефіцієнти Фур’є:

a0

0

10

x

y x( )

m∑=

:= a n( )

0

10

x

2y x( )

mcos n x⋅ 2⋅

πm

⋅

⋅∑=

:= b n( )

0

10

x

2y x( )

msin n x⋅ 2⋅

πm

⋅

⋅∑=

:=

Отже, тригонометричний многочлен має вигляд

s x( )a0

21

m

2

n

a n( ) cos n 2⋅ x⋅πm

⋅

⋅ b n( ) sin n 2⋅ x⋅πm

⋅+

∑

=

+:=

Для порівняння на рис. 6 наведено графік наближеного чи-сельного розв’язку, одержаного методом високої точності, таграфік часткової суми s(x), яка апроксимує цей розв’язок.

У випадку необхідності, можна апроксимувати ділянки чи-сельного розв’язку рівняння, коли висувається припущення що-до усталеної періодичності розв’язку на цій ділянці.

Приклад. Записати часткову суму ряду Фур’є, яка апрокси-мує розв’язок диференціального рівняння

91

102

tx t( )d

d

2⋅ 1

tx t( )d

d⋅+ 11 x t( )⋅+ 5 cos

1

3t⋅

⋅ x(0)=0, x'(0)=1

на ділянці можливої періодичності. За допомогою функціїOdesolve. математичної комп’ютерної системи MathCAD одер-жано чисельний розв’язок, графік якого наведено на рис. 7. Мо-жна зробити припущення, що з моменту t=50 c і до t=150 cрозв’язок є періодичною функцією.

Обчисливши коефіцієнти

a0

0

150

t

x t( )

m∑=

:=

,

a n( )

0

150

t

2xt( )

mcos n t⋅ 2⋅

πm

⋅

⋅∑=

:=

,

b n( )

0

150

t

2x t( )

msin n t⋅ 2⋅

πm

⋅

⋅∑=

:=

,запишемо часткову суму

s t( )a0

21

m

2

n

a n( ) cos n 2⋅ t⋅πm

⋅

⋅ b n( ) sin n 2⋅ t⋅πm

⋅+

∑

=

+:=

.

0 50 100 1502

1

0

1

21.373

1.065−

x t( )

1500 t

50 100 1501

0.5

0

0.5

10.574

0.56−

x t( )

s t( )

15050 t

Рис. 7. Рис. 8.

Аналіз графіків розв’язку x(t) і часткової суми s(t) (рис. 8)дає підстави зробити попереднє припущення про досить високуточність наближення розв’язку частковою сумою дискретногоряду Фур’є. Для остаточного висновку необхідні додаткові до-слідження.

Таким чином, використання СКМ дозволяє викладачеві при-вести зміст не лише окремих розділів курсу математики, а й кур-су в цілому до сучасних вимог, підвищити інтенсивність занять,розвивавати творчі здібності студентів.

92

Література1. Овчинников П.Ф., Ивахненко Т.Н., Литвин О.В. Новый

способ изложения рядов, интеграла, преобразований Фурье. /Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики:Зб. наук. праць: В 3-х т. – Кривий Ріг: Вид. відділ НацМетАУ,2002. – т.1. – С. 225-231.

2. Войцеховський О.А., Дубова Н.Б. З досвіду використаннясистеми MathCAD при вивченні теми “Ряди Фур’є” / Зб. наук.праць / Меліт. держ. пед. ун-т – Вип. 1. – Мелітополь, 2001. –С. 159-161.

3. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. –К.: Либідь, 1996.

93

МЕТОДИЧНА ПРОПЕДЕВТИКАВ ПРОЦЕСІ НАВЧАННЯМАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН

У ВУЗАХ ПЕДАГОГІЧНОГО ПРОФІЛЮ

О.М. Коломієцьм. Черкаси, Черкаський національний університет

ім. Б. Хмельницького

Підготовка у педагогічному вузі майбутнього вчителя мате-матики передбачає формування та розвиток математичних знань,навичок та умінь, методичних знань, навичок та умінь, розвитокінтелектуальних здібностей, становлення особистості студента.

Вважаємо, що досягти такої підготовки можна тільки при уз-годженому викладанні предметів з математики та методики на-вчання математики. Так, на заняттях з вищої математики студентнасамперед повинен отримати математичні знання, набути нави-чок та умінь застосовувати їх на практиці, розвивати логічне таалгоритмічне мислення, просторову уяву тощо. Однак у вузі пе-дагогічного профілю під час проведення занять з різних матема-тичних дисциплін доцільно ставити завдання формувати первин-ні методичні знання, навички та уміння студента. Для цього піс-ля вивчення певної теми можна студентам дати завдання: роз-крийте місце і роль даної теми в шкільному курсі математики;порівняйте подання даної теми в різних шкільних підручниках,підручниках для студентів; виділіть поняття, факти та способидіяльності даної теми у курсі вищої математики, позначте ті зних, які вивчаються в школі; виділіть, по можливості, основнітипи задач, запишіть алгоритми чи схеми їх розв’язування, під-беріть задачі на їх застосування (використайте шкільні підруч-ники, задачники для вузів, журнали “Математика в школі”, мате-ріали олімпіад тощо); складіть бібліографічний список за даноютемою.

Такі завдання доцільно виконувати в окремих зошитах, якістали б корисними у подальшому навчанні – на заняттях з мето-дики навчання математики, у період педагогічної практики.

З іншого боку, викладач може цілеспрямовано демонструва-ти студентам зразки схем професійної діяльності, зокрема, вико-нуючи пошук алгоритмів, евристичних схем розв’язування та їх

94

застосування (у процесі спілкування певним чином зі студента-ми, організовуючи їх діяльність) викладач показуватиме можливіеталони методичних прийомів.

Особливого підходу вимагатиме впровадження рівневої ди-ференціації навчання, яка повинна пронизувати навчальний про-цес не тільки у школі, але й у вузі. Так, методичну пропедевтикутакож можна здійснювати диференційовано. Наприклад, на са-мостійну роботу з певної теми курсу аналітичної геометрії силь-нішим студентам доцільно поставити такі завдання: опираючисьна підручники з аналітичної геометрії, конспекти лекцій виділітьосновні типи задач з теми; складіть схеми їх розв’язування; виді-літь з них ті, які вивчаються в класах з поглибленим вивченнямматематики; самостійно сформулюйте задачі трьох рівнів склад-ності до певної схеми розв’язування задач; підберіть питання зтеми, які можна було б винести на факультативне вивчення вшколі.

Слабким студентам викладач може запропонувати готовісхеми розв’язування задач, при цьому кожному студентові доці-льно дати такі завдання: складіть систему запитань, відповідаю-чи на які, можна розв’язати вказаний тип задач; підберіть з зада-чника задачі вказаного типу; виділіть основні типи задач з даноїтеми за підручником з геометрії для загальноосвітніх школі;складіть самостійно аналогічні задачі та розв’яжіть їх.

На наступному занятті подальша робота може відбуватися увигляді взаємонавчання. Студентам можна запропонувати обмі-нятися підібраними ними задачами, обговорити створені схемирозв’язування певного типу задач. Сильнішим студентам доціль-но дати завдання перевірити виконання завдань слабкими студе-нтами. В цей час викладач зможе перевірити роботу сильнішихстудентів, розв’язувати з ними складніші задачі.

На нашу думку, такий підхід до навчання студентів у вузахпедагогічного профілю не тільки виконуватиме пропедевтичнуфункцію курсу методики навчання математики, а й покращитьматематичну підготовку студента, активізує його самостійну дія-льність тощо.

95

ПОВЫШЕНИЕ РОЛИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ

УЧИТЕЛЕЙМАТЕМАТИКИ

Л.Р. Корольскаяг. Кривой Рог, Криворожский государственный педагогический

университет

Современная математическая подготовка учащихся среднейобщеобразовательной школы характеризуется наличием в нейэлементов теории вероятностей и математической статистики.Актуальность этого новшества не вызывает сомнений. В первуюочередь потому, что современная экономическая жизнь, постро-енная на законах рыночной экономики, во многом определяетсявероятностно-статистическими событиями, и потому необходи-мо осуществлять соответствующую подготовку подрастающегопоколения.

Несомненно, что преподавание основ теории вероятностей иматематической статистики должно быть приоритетным дляучителей математики. И, как следствие, это должно быть преду-смотрено в учебных планах специальности «Математика и осно-вы информатики». Действительно, в учебных планах предусмот-рено изучение названной дисциплины в объёме 120 часов (лек-ций – 35; практических занятий – 52; самостоятельная работа –33). Указанный объём часов может быть взят за основу. Однако,на наш взгляд, требует пересмотра учебно-методическая литера-тура, имеющаяся на данный момент времени. Суть проблемы втом, что курс теории вероятностей и математической статистикиявляется традиционным в учебных планах механико-математических факультетов университетов (сейчас их принятоназывать классическими) и физико-математических факультетовпединститутов (ныне – педуниверситетов). Изучение его опира-лось на учебные пособия, разработанные для университетовклассического образования. Основной особенностью этой лите-ратуры является то, что она рассчитана на читателя с очень глу-бокой общей математической подготовкой, владеющего, напри-мер, абстрактной теорией меры, мерой и интегралом Лебега, ин-

96

тегралом Пуассона и т.п. В некоторых случаях изложение теоре-тических основ теории вероятностей и математической стати-стики осуществляется на чисто интуитивном уровне, с использо-ванием понятий, лежащих вне поля зрения математики. Харак-терно для них то, что изложение материала осуществляется наформальном языке со слабым привлечением практического ма-териала из сферы экономики и др.

Наш опыт преподавания курса теории вероятностей и мате-матической статистики для студентов специальностей «Матема-тика и основы информатики», «Физика и основы информатики»,«Информатика и основы экономики» позволяет сделать некото-рые выводы.

1. Для математических специальностей педвузов по теориивероятностей и математической статистике необходимо создатьучебные пособия комплексного характера. То есть, перед каж-дым новым разделом теории вероятностей и математическойстатистики необходимо давать общие математические понятия иметоды, необходимые для изучения данного раздела.

2. Объяснение основных понятий и теоретических выкла-док по теории вероятностей и математической статистики долж-но носить подробный характер, чтобы будущий учитель матема-тики мог применить этот материал в школе.

3. Учебный материал должен быть детально насыщен раз-нообразными практическими примерами из экономики, экологиии т.п., что имеет отношение к общеобразовательной школе.

4. Должны быть предусмотрены курсовые работы по тео-рии вероятностей и математической статистики (8–10% от обще-го числа курсовых работ, выполняемых в настоящее время поматематическому анализу, геометрии, алгебре).

5. По нашему глубокому убеждению в курсе должны бытьпредусмотрены вопросы по методике преподавания основ тео-рии вероятностей и математической статистики в общеобразова-тельной школе. При распределении студентов IV–V курсов напедагогическую практику необходимо давать соответствующеезадание по преподаванию основ теории вероятностей в школе.

6. Необходима разработка системы межпредметных связейфундаментальных математических дисциплин и курса теориивероятностей и математической статистики.

97

Преподавание курса теории вероятностей и особенно разде-ла «Математическая статистика» должно быть увязано с изуче-нием комбинаторики. При этом необходимо учитывать и исполь-зовать подготовку по информатике будущих учителей математи-ки. Решение задач по математической статистике должно осуще-ствляться с применением компьютеров.

В настоящее время кафедра математики Криворожского пе-дагогического университета проводит работу по указанным на-правлениям. Апробация некоторых предварительных результа-тов нашла понимание и поддержку при преподавании основ тео-рии вероятностей на курсах последипломного образования учи-телей школ города. Учтены также пожелания учителей.

Кроме указанных аспектов, которые касаются повышенияэффективности процесса преподавания теории вероятностей иматематической статистики, не менее важным является ее ис-пользование для изучения основных статистических параметровсовершенного учебного процесса, который характеризуетсябольшим объемом самостоятельной работы студентов. К этомувиду научно-исследовательской работы могут быть привлеченыстуденты.

98

ТРАНЗИТИВНАЯ РОЛЬ ТЕОРЕМЫЛАГРАНЖАВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ И ИНТЕГРАЛЬНОМ

ИСЧИСЛЕНИИ

В.В. Корольскийг. Кривой Рог, Криворожский государственный педагогический

университет

Переход от интегрального к дифференциальному исчисле-нию традиционно осуществляется посредством введения поня-тия первообразной функции F(x) для некоторой функцииf(x),которая является производной функции F(x). Затем, как из-вестно, вводится понятие неопределённого интеграла и далеевыполняется переход к определённому интегралу. Такая методи-ка осуществления связи между базовыми понятиями основныхразделов математического анализа требует значительных затратвремени, что весьма актуально в современных условиях работыучебных заведений, когда значительная часть программного ма-териала отводится на самостоятельное изучение студентами. Всвязи с этим определённый интерес представляет поиск новыхметодов для изучения математических дисциплин. В контексте ксказанному мы и рассматриваем известную теорему Лагранжакак транзитивное звено для более естественного перехода отдифференциального исчисления к изучению интегрального ис-числения.

Обратимся к условиям теоремы Лагранжа: если функция f(x)непрерывна на промежутке [a, b] и дифференцируема во всехточках х∈ ]a, b[, то выполняется равенство:

)()()( ξf

ab

afbf ′=−−

, ξ∈ ]a, b[ (1)

Ясно, что, если f(x) удовлетворяет условиям теоремы Ла-гранжа на [a, b], то это будет сохраняться и для ],[],[ 1 baxx ii ⊂∀ + .То есть

)()()(

1

1i

ii

ii fxx

xfxf ξ′=−−

+

+ , ξ∈ ]xi, xi + 1[ (2)

Согласно равенства (2) записываем

99

[ ]

[ ] [ ]

).()()]()([lim

)]()(...)()()()([lim

))((lim)()(lim

))(()()(

11201

01

01

01

01

afbfafbf

xfxfxfxfxfxf

xxfxfxf

xxfxfxf

n

nnn

n

iiin

n

iiin

n

iiii

n

iii

−=−=

=−++−+−⇒

⇒−′=−⇒

⇒−′=−

∞→

−∞→

=+∞→

=+∞→

=+

=+

∑∑

∑∑

ξ

ξ

Таким образом,

∑=

+∞→−=−′

n

iiiin

afbfxxf0

1 )()())((lim ξ (3)

Учитывая общность рассуждений относительно ∀ f(x),

х∈ [a, b] и, полагая, что ∑=

+∞→−

n

iiiin

xxf0

1 ))((lim ξ существует, полу-

чаем:

∫ −=′b

a

afbfdxxf )()()( (4)

Равенство (4) даёт наглядное представление о связи междуфункцией f(x) и её производной. При этом нет необходимостирассматривать вопрос о существовании интеграла – это обуслов-лено условиями теоремы Лагранжа. Далее предположим, чтопромежуток интегрирования имеет переменный верхний предел.Тогда из равенства (4) получаем:

f(x) = )())((lim0

1 afxxfn

iiin

+−′∑=

+∞→ξ (5)

Полагая, что при n→∞ max ∆xi→0, приходим к понятию не-определённого интеграла

∫∑ ′=∆′=

→∆dxxfxf i

n

iixi

)()(lim0

0maxξ (6)

То есть

∫ +=′ Cxfdxxf )()( , (7)

где С – неопределённая постоянная, если не определён промежу-ток интегрирования [a, b].

Примечание: Естественно, что для более удобного использо-вания формул (4) и (7) целесообразно ввести в них общеприня-

100

тые обозначения: F(x) – функция; f(x) – производная функцииF(x).

Что меняется в методике изучения интегрального исчисле-ния? Изменяется порядок введения понятий определённого инеопределенного интегралов. Какие мы получаем при этом ди-дактические преимущества? Их несколько:

1) чётко прослеживается связь между производной и самойфункцией, то есть видно, что интегрирование это обратная опе-рация дифференцирования;

2) получение формулы (4) в процессе определения интегра-ла позволяет использовать её непосредственно к изучениюсвойств интеграла;

3) неопределённый интеграл рассматривается как средствоотработки техники вычислений определённых интегралов, кото-рые являются главным объектом интегрального исчисления и вомногом определяют основные цели и задачи всего курса диффе-ренциально-интегрального исчисления.

101

К МЕТОДАМ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙЗНАЧЕНИЙ РАДИКАЛОВ

В.В. Корольскийг. Кривой Рог, Криворожский государственный педагогический

университет

Вычисление значений радикалов имеет важное значение прирешении прикладных задач. Кроме того, вычисление радикаловможет быть использовано в вычислительной практике при под-готовке учителей математики и информатики. Нами были рас-смотрены возможности применения одной из основных теоремдифференциального исчисления (теорема Лагранжа) для вычис-ления приближенных значений функций [1]. Особенно это важнодля тех функций, аналитическое задание которых не содержитвычислительных операций (ln x, ax, arctg x и т.п.). При опреде-лённых условиях теорема Лагранжа позволяет устранить этотпробел.

Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагран-жа на промежутке [a, b], то она будет удовлетворять этим усло-виям на любом элементарном промежутке [xi, xi + 1] ⊂ [a, b]:

[x0, x1] U [x1, x2] U … U [xn-1, xn] = [a, b], где x0 = a, xn = b.Следовательно, для ∀ х ∈ [xi, xi + 1] имеет место приближён-

ное равенствоf(x) ≅ f(xi) + f´( ix )(xi + 1 – xi) (1)

где f´( ix ) =ii

ii

xx

xfxf

−−

+

+

1

1 )()(, ix ∈ ]xi, xi + 1[.

Вычисление по формуле (1) можно сделать достаточно про-стым, если соответствующим образом подобрать узлы и шаг ин-терполирования. Для вычисления радикалов k x вычислитель-ная схема, полученная при помощь формулы (1) имеет вид:

k x ≅ [ knx 1− + )(

)1(

1

1−−−−

nkk

k

xxnn

h], (2)

где хn-1 = (n–1)khk; х∈ [(n–1)khk; nkhk]; h – шаг интерполирования;

102

n = E [ k xh

1] + 1.

Путем несложных преобразований формула (2) представимав виде (3).

k x ≅ h[(n – 1)+ ))1(()1(

1 k

kkkn

h

x

nn−−

−−]. (3)

Рассмотрим два случая:1. При h = 0,1получаем формулу (3) в виде

k x ≅ 0,1[(n–1)+ ))1(10()1(

1 kk

kknx

nn−−

−−], (4)

где n = E [ k x10 ] + 1;х∈ [(n–1)k0,1k; nk0,1k].2. При h = 0,2формула (3) приобретает вид (5)

k x = 0,2 [(n–1)+ ))1(5()1(

1 kk

kknx

nn−−

−−], (5)

где n = E [ k x5 ] + 1;х∈ [(n–1)k0,2k; nk0,2k].Для примера покажем вычисление по формуле (5) значение

радикалов: 1) 2 ; 2) 61,3

1. Имеем k = 2, n = E [ 25 ] + 1 = 8, х = 2∈ [1,96; 2,25].Ис-пользуя указанные величины, получаем:

2 ≅ 0,2[7 +15

1(50 – 49)] ≅ 1,4133.

Для сравнения: табличное значение 2 ≅ 1,4142.То естьотносительная погрешность вычисления 2 по формуле (5) со-ставляет 0,06%

2. Имеем k = 2, n = E [ 61,35 ]+1 = 10,х = 3,61∈ [3,24; 4,0].

61,3 ≅ 0,2[9+19

1(25·3,61–81)] ≅ 1,9018.

Погрешность относительно точного значения корня 1,9 со-ставляет 0,09%.Относительная погрешность с шагом интерпо-ляции h=0,1 значительно меньше, чем при вычислениях с h = 0,2

103

(см. табл.). Если вычислять 61,3 при h = 1, то δ = 0.

Таблицах

х 2 7 8 9 10

x 1,4138 2,6453 2,8281 3 3,1619

Табличное

значение x1,4142 2,6458 2,8284 3 3,1622

Погрешностьδ, %

0,029

...

0,018 0,013 0 0,012

Формулы вычисления k x имеют наиболее простой вид ко-гда k = 2.Например, если взять h = 0,1,то получаем формулу

x ≅ [ 1−nx + )(12

101−−

− nxxn

], (6)

где n = E[ x10 ] + 1; х∈ [2

10

1

−n

;2

10

n

].

Пример. Вычислить 11.

Решение. Имеем: n = E [ 1110 ] + 1 = 34;

х∈ [2

10

33

;2

10

34

] = [10,89; 11,56].

Применяя формулу (6), получаем

11 ≅ [ 89,10 + )89,1011(67

10 − ] ≅ 3,3 + 0,01642≅ 3,3164.

Значение 11 из четырехзначных таблиц Брадиса равно3,3164.Относительная ошибка вычисления 11 по формуле (6)составляет всего лишь 0,006 %.

Рассмотренные примеры показывает, что предлагаемый ме-тод вычисления приближённых значений радикалов универсалени может быть рекомендован для выполнения лабораторных ра-бот по методам вычислений с помощью компьютеров. Он позво-ляет обеспечить разнообразие вариантов индивидуальных зада-ний

104

Литература1. Корольский В.В. Приложения теоремы Лагранжа к прибли-

жённым вычислениям функций // Теорія та методика навчан-ня математики, фізики, інформатики: Збірник науковихпраць: Кривий Ріг В 3-х томах. – Кривий Ріг: Видавничийвідділ НацМетАУ, 2002.– Т 3. – С. 163–166.

105

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННОГОПРОЕКТИРОВАНИЯ (САПР) ДЛЯ ОБУЧЕНИЯВ КУРСАХ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

И ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Н.А. Котляр, Т.В. Тыщукг. Кривой Рог, Криворожский металлургический факультетНациональной металлургической академии Украины

В современных условиях выпускники вузов должны владетьне только предметной областью приобретаемой специальности,но и новейшим инструментарием инженера.

Использование компьютера и формирование умений и навы-ков работы с наиболее распространенными программами науровне пользователя является важной задачей образования.

Развитие вычислительной техники и компьютерных техно-логий привели к появлению средств генерации графических изо-бражений и автоматизированного выполнения чертежных работ– компьютерной графики.

Компьютерная графика в техническом черчении – это сово-купность средств и методов связи конструктора с компьютеромпри разработке конструкторской документации.

Базой создания геометрических моделей технического объ-екта в существующих графических компьютерных системах яв-ляется начертательная геометрия и инженерная графика. Любаяавтоматизированная система компьютерной графики являетсясовременным средством создания изображения с гораздо боль-шими возможностями, чем традиционные чертежные инстру-менты.

Однако, для пользования системами компьютерной графикинеобходимо овладеть положениями начертательной геометрии ииметь навыки разработки конструкторской документации. Привзаимодействии разработчика конструкторской документации скомпьютером различают три уровня работы: пассивный, илибездиалоговый; интерактивный, или диалоговый; и смешанный –пассивно-интерактивный.

Одним из важнейших компонентов современного производ-ства есть система автоматизированного проектирования (САПР).

106

Компьютерная графика, будучи подсистемой САПР, решаетнаиболее трудоемкую и важную задачу САПР: автоматизацияразработки и выполнения конструкторской документации. Онаобеспечивает создание, сохранение, обработку моделей геомет-рических объектов и их графическое изображение с помощьюкомпьютера. Использование компьютера в конструкторской дея-тельности значительно облегчает подготовку конструкторских идругих графических документов, освобождая конструктора отвыполнения рутинных и трудоемких графических операций. Приэтом сокращаются сроки выполнения графических документов иулучшается их качество.

В диалоге с компьютером могут создаваться чертежи как сиспользованием неделимых графических объектов, т.е. точек,отрезков, кругов, дуг и т.п., так и фрагментов ранее построенныхграфических изображений, например, стандартных изделий, ти-повых конструкций и их частей. Задавая значения параметров,можно изменять размеры и геометрическую форму элементов,обеспечивая многовариантность графических изображений ичертежей.

Другой подход к автоматизации конструкторской деятельно-сти заключается в создании трехмерных геометрических моде-лей изделий и полученных на их основе изображений на плоско-сти. Именно в этом направлении идет развитие современныхсистем компьютерной графики.

В современных условиях эффективными инструментамиСАПР в разработке конструкторской документации являютсясистемы КОМПАС и AUTOCAD. Опыт их использования пока-зал, что в учебном процессе необходимо использовать профес-сиональные средства широкого назначения, не требующиесверхмощного аппаратного обеспечения, длительного и дорого-стоящего обучения. Они выбираются на основе системного ана-лиза и конкурсного отбора с учетом необходимых производствувозможностей, стоимости оснащения. Остро ощущается потреб-ность в таких программно-методических комплексах, которыеобеспечивают активное профессиональное освоение студентамиинформационных технологий и автоматизированных средствконструкторско-технологической подготовки производства. Из-менение содержания и форм инженерного образования обеспе-

107

чит ускорение адаптации выпускников вузов к профессиональ-ной деятельности в условиях современного производства. Разви-тие инженерного образования на основе профессиональныхСАПР обеспечит возможность создания наукоемкой конкурент-носпособной продукции, быстрой и гибкой подготовки ее произ-водства, повысит шансы получивших такое образование на ин-тересную творческую работу.

Программные продукты под маркой КОМПАС давно при-меняются в учебном процессе во многих технических академиях,институтах, техникумах и училищах. Учебные заведения исполь-зуют профессиональную версию КОМПАС со всеми приклад-ными модулями.

Развитие систем КОМПАС LТ идет по трем основным на-правлениям:

1. Поддержка среднего образования – изучение системКОМПАС в курсах «Информатика» и «Черчение».

2.Поддержка высшего и среднего специального образования– использование КОМПАС LТ в курсах «Инженерная графика»,«Начертательная геометрия», «Черчение», «Детали машин»,«Подъемно-транспортные механизмы», «Технология машино-строения» и т.п.

3. Помощь конструкторам-любителям, помощь специали-стам старшего поколения в освоении систем КОМПАС.

Компания АСКОН выпустила диск с учебной версией сис-темы КОМПАС. На компакт-диске находится не только самасистема КОМПАС-ГРАФИК LТ, но и целый ряд специальныхупражнений как для самостоятельного изучения, так и для ис-пользования в рамках учебного процесса.

Первые курсы институтов, университетов, технических учи-лищ – это большой объем работ по черчению и начертательнойгеометрии. И уже с первых дней обучения по этим дисциплинамможно использовать все возможности системы КОМПАС-3П LТ.

На первом «компакте» содержалось свыше 1000чертежей испециальных заданий, которые помогали студентам получитьначальные знания по использованию компьютера в проектно-конструкторских работах. С выходом новых профессиональныхверсий КОМПАС параллельно выходили LТ-версии. Так появи-лись диски с КОМПАС-3D LT 5.11R02 и КОМПАС-3D LT

108

5.11R03.В названии программного обеспечения есть аббревиатура

«3D», которая указывает, что система имеет функции трехмерно-го моделирования.

С ростом возможностей аппаратного и программного обес-печения проектирование и расчет конструкций все больше сме-щаются от плоского черчения к трехмерному моделированию.Поэтому, чем раньше будущие инженеры познакомятся с этимпроцессом, тем лучше.

Начиная с третьего курса, студенты инженерных специаль-ностей каждый семестр выполняют довольно крупные курсовыеработы по таким дисциплинам, как «Детали машин», «Подъем-но-транспортные механизмы», «Теория механизмов и машин», атакже и специальные проекты по своей будущей профессии.Обычного функционала, содержащегося в КОМПАС-3D LT, уженедостаточно для полноценной работы над проектами. Поэтомукомпания АСКОН сделала еще один существенный шаг навстре-чу пользователям. Для студентов средних и старших курсов вы-пущено несколько дисков, на которых находится не только сис-тема, но и специально разработанный модуль КОМПАС-МЕНЕДЖЕР LT, а также прикладные библиотеки для КОМПАС-LT.

Чтобы исключить рутинные действия, студенты могут вос-пользоваться прикладными библиотеками для КОМПАС LT. Вэтих библиотеках содержатся готовые изображения крепежа,шариковых и роликовых подшипников, условные графическиеобозначения электрорадиоэлементов для вычерчивания электри-ческих схем, фрагменты с габаритными чертежами электродви-гателей и многое другое.

Благодаря введенным новшествам, студенты уже на этапевыполнения курсовых и дипломных работ могут изучить основ-ные принципы создания и управления архивом электронных до-кументов. Весь проект можно создавать и хранить не только встандартных папках на жестком диске, но и в специальнойструктуре КОМПАС-МЕНЕДЖЕР LT. Будущий инженер-проектировщик узнает об атрибутах документов, учится легкоосуществлять поиск не-обходимого документа или целого про-екта в базе данных.

109

Если провести анализ возможности применения программКОМПАС и AUTOCAD в процессе обучения, то по уровнюсложности можно распределить их (по нарастающей) следую-щим образом:

1. КОМПАС – это КОМПлекс Автоматизированных Системдля решения широкого круга задач проектирования, конструиро-вания, подготовки производства в различных областях машино-строения. Разработан специалистами фирмы АО “АСКОН” (С.-Петербург, Москва и Коломна). Обладает свойствами, которыепозволили ему стать популярным у пользователей: простота иэффективность, поддержка отечественных стандартов и ориен-тация на привычную технологию работы конструктора; доста-точно узкая специализация; конструкторский интерфейс, позво-ляющий системам быть эффективным и удобным рабочим инст-рументом и в то же время настолько простым, чтобы обучениенеподготовленного пользователя занимало не больше недели.

К достоинствам программы КОМПАС можно отнести сле-дующее:

- программа легка в освоении и использовании;- хорошо развиваются навыки точного черчения;- легкость и удобство управления программой, возможно-

сти редактирования ошибок, наглядный результат работы повы-шают чувство успешности у студентов;

- студенты получают возможность пользоваться этим ин-струментом в своей будущей учебной и профессиональной дея-тельности;

- программа – конкурент AUTOCAD на рынке стран СНГ;- наличие хороших методических пособий и разработок по

применению программы в обучении.Недостатком программы КОМПАС являются ограничения

учебной версии.2.Программа AUTOCAD более сложная для изучения.Таким образом, САПР КОМПАС является необходимым ин-

струментом при подготовке инженерных кадров нового поколе-ния.

110

МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К РЕШЕНИЮСИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

С.Н. Латынин1, И.В. Латынина2

1 г. Донецк, Донецкий экономико-гуманитарный институт2 г. Донецк, Донецкий институт социального образования

«Тригонометрические неравенства» – это один из разделовтригонометрии, который меньше всего раскрыт в обучающейлитературе. Изначально считается, что тригонометрические не-равенства и их системы не являются «легкими» и решение ихвсегда вызывает определенные трудности у учащихся [1, 2]. Так,например, в «Сборнике задач по математике» под ред.М.И. Ска-нави [1] в разделе неравенств они отнесены к самой труднойгруппе В. На наш взгляд, решать неравенства не сложнее, чемтригонометрические уравнения или алгебраические неравенства[3, 4].

Мы рассмотрим на примере, как можно сформировать ус-тойчивые навыки быстрого решения систем тригонометрическихнеравенств. Естественно, что решение таких задач предполагаетналичие определенных знаний из тригонометрии: знание свойствосновных тригонометрических функций, умение решать про-стейшие тригонометрические неравенства, знать и применятьформулы тригонометрических преобразований. Одна из целейразработки методики решения задач, на наш взгляд, – довестипоследовательность основных действий учащихся при решениисистем неравенств (от простейших до самых сложных) до «авто-матизма». Т.е. мы не ставим своей задачей использование твор-ческих способностей школьников, а требуем, чтобы у них былиопределенные математические знания и умение их применять.

Рассмотрим, например, схемы решения неравенства:

02

13cos2cos <

+xx . (1)

Это неравенство распадается на две системы неравенств:

−>

<

223cos

,02cos

x

xи

−<

>

.223cos

,02cos

x

x(2)

Каждое из простейших неравенств систем (2) решается в от-

111

дельности одним из двух способов: при помощи единичногокруга или графиков тригонометрических функций, см. [3]. Полу-чим системы неравенств для углов

⋅+<<⋅+−

⋅+<<⋅+

.3

2

43

2

4

,4

3

4

22

11

kxk

kxk

ππππ

ππππ

⋅+<<⋅+

⋅+<<⋅+−

.3

2

12

5

3

2

4

,44

22

11

kxk

kxk

ππππ

ππππ

(3)

Так как cos 2x – периодическая функция с периодом π, аcos 3x – периодическая функция с периодом 3

2π , то решениесистем неравенств (3) будем искать в промежутке [0; 2π) – этонаименьший промежуток, в который целое число раз укладыва-

ются периоды π и π3

2.

Откладывая на координатной прямой множества углов,удовлетворяющие (3) при различных k1 и k2, получим, что в про-межуток [0; 2π) полностью или частично попадают углы приk1=0, 1 и k2=0, 1, 2, 3для первой системы и k1=0, 1, 2,k2=0, 1, 2для второй. Объединение пересечения множеств этих углов длякаждой из систем даст общее решение неравенства (1) (с учетомобщего наименьшего периода, равного 2π):

x∈

⋅+⋅+ kk ππππ

24

3;2

12

5 ∪

⋅+⋅+ kk ππππ

212

19;2

4

5 ∪

∪

⋅+⋅+ kk ππππ

212

13;2

12

11.

Решить неравенство (1) на промежутке [0; 2π) можно вторымспособом, найдя точки из этого промежутка, удовлетворяющие

равенствам cos 2x=0 и2

13cos −=x . Эти точки

4π

,12

5π,

4

3π,

12

11π,

12

13π,

4

5π,

12

19π и4

7π разбивают [0; 2π) на промежутки

постоянного знака. Дальше методом пробных точек находитсяобщее решение (5), см., например, [5].

Оба способа одинаковы по сложности, но первый способ, нанаш взгляд, более последователен и нагляден при анализе имен-но тригонометрических неравенств (3), хотя и немного длиннее.

112

Наш опыт показывает, что в обучении именно при таком подхо-де наиболее глубоко усваиваются действия с простейшими три-гонометрическими неравенствами, а также закрепляются навыкиработы с множествами углов. Отметим также, что второй способхорошо работает при решении обычных неравенств, где методпробных точек не так «утомителен».

В заключение отметим, что тригонометрические неравенстваи их системы также являются задачами, используемыми для раз-вития творческих способностей учащихся, но только после тогокак у них будут сформированы определенные навыки и уменияпоследовательных действий в развязывании обычных задач.

Литература1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы:

Учебн. пособ. под ред.М.И. Сканави. –М.: Высш.шк., 1992.2. Шарыгин Н.Ф. Сборник задач по математике с решения-

ми: Учебн. пособ. для 11кл. –М.: ООО «Изд. Астрель», 2001.3. Латынин С.Н, Латынина И.В. Тригонометрические нера-

венства. Практическое руководство для школьников и абитури-ентов. – Донецк: ДЭГИ, 2001.

4. Латынин С.Н., Латынина И.В. Некоторые особенности ипроблемы активизации самостоятельной работы абитуриентовпри изучении курса «Тригонометрия»// Теорія та методика на-вчання математики, фізики, інформатики: Зб. наук. праць. – Кр.Ріг: Вид. від. НацМетАУ, 2002.– Т.1. – С. 191-195.

5. Горнштейн П.И., Поляк Н.Н., Тульчинський В.К. Решениеконкурсных задач по математике из сборника под редакциейМ.И. Сканави. – К.: РИА “Текст”;МП “ОКО”, 1992.

113

НОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СУММИ РЯДОВ ВИДА ∑j

jj xa

С.Н. Латынин1, И.В. Латынина2

1 г. Донецк, Донецкий экономико-гуманитарный институт2 г. Донецк, Донецкий институт социального образования

В главах 4 и 5 [1] помещены некоторые конечные суммы иряды, содержащие элементарные функции. Несмотря на то, чтоони достаточно систематизированы, но не удобны при постанов-ках некоторых практических задач (см., например, [2]) и требуютлибо усовершенствования, либо дополнения новыми преобразо-ваниями. Так, нами были получены преобразования конечныхсумм

( ) ( ) ×−

=−+ +

−−

= =∑∏ 1

1

1 1 1

!n

nl

j

n

i

j

x

nxinj

( ) ( ) ( )

−−

+−+−× ∑ ∏

=

+−

=−−

−+−n

p

pn

jnp

pnll

x

xjl

pnxx

1

1

11

1

1!1

1(1)

и ( ) ( )( )( ) ( )∏∑∑ ∑∏

=

−

=

−−

=

−−

= =

+ −−

−−−

−=−+n

j

l

n

lll

n

nl

j

n

i

nj jlnx

x

xx

xxxinj

n 1

1

1

121

1

1

1 1 !

1

21211

1

!

1. (2)

Только при помощи этих преобразований можно получитьпреобразования конечных сумм вида:

( ) =

−+∑ ∑ ∏

−

=

−

= =

1

1

1

1 1!

11

l

j

jl

n

n

i

xijn

( )

−+

−−

− ∑ ∏−

= =

1

1 1!

11

2121

l

n

n

i

l

ilnx

x

x

x, (3)

где x – любое число, и рядов:

( ) =

−+∑ ∑ ∏

∞

+=

∞

= =1 1 1!

11

lj

j

n

n

i

xijn

( )

−+

− ∑ ∏−

= =

+ 1

1 1

1

!

11

21

2 l

n

n

i

l

ilnx

x, (4)

где x<1.Преобразования (3) и (4) могут быть использованы, напри-

мер, в макроскопической теории распространения света в дву-мерно-периодических структурах при построении самосогласо-ванной системы уравнений для дипольных моментов атомов [2].Это позволило бы: 1) рассчитать законы дисперсии объемных

114

светоэкситонов в поверхностных слоях кристаллов; 2) построитьтензор диэлектрической проницаемости ограниченных кристал-лов; 3) решить задачу отражения и преломления волн в окрест-ности частот экситонного поглощения, связавши амплитуды ос-новных и дополнительных световых волн не определяя предва-рительно дополнительных граничных условий [3].

В заключение отметим, что задача преподавателя – научитьстудента, будущего специалиста, при решении практических за-дач творческому мышлению и анализу: от частного к общему, отобщего к частному и т.д., разрабатывать рекуррентные формулыи получать, например, новые преобразования сумм и рядов.

Литература1.Прудников А.П., Брычков Ю.А.,Маричев О.И. Интегралы

и ряды. –М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.2. Латинін С.М. До питання про існування рівноважних гра-

ней у кубічних кристалах. // УФЖ. – 2001.– 46,№9. – С. 932–936.

3. Агранович В.М., Гинзбург В.Л. Кристаллооптика, учетпространственной дисперсии и теория экситонов. – М.: Наука,1986.

115

ФУНКЦІЇ, ЗАДАНІДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

Д.М. Лилам. Черкаси, Черкаський національний університет

ім. Б.Хмельницькогоlila_d_m@mail.ru

Об’єкт М є моделлю об’єкта А відносно деякої системи S ха-рактеристик, якщоМ будується для імітації А за цими характери-стиками [1]. Якщо модель будується саме для вивчення вказаниххарактеристик засобами математики, то її називають математич-ною дослідницькою моделлю. Це може бути число, геометрич-ний образ, функція, система рівнянь тощо, але у будь-якому ви-падку модель повинна задовольняти вимогам адекватності, прос-тоти і оптимальності.

Найважливішою вимогою до математичної моделі є вимогаїї адекватності реальному об’єкту (процесу, явищу і т.д.) відно-сно вибраної системи характеристик. Під цим зазвичай розумі-ють: 1) правильний якісний опис об’єкта за вибраними характе-ристиками (після вивчення моделі робимо правильний висновокпро специфіку поведінки реального об’єкта – затухання його ко-ливань, можливість резонансних станів тощо); 2) правильнийкількісний опис об’єкта з деяким ступенем точності за вибрани-ми характеристиками. Тут слід мати на увазі те, що, по-перше, єобласті дослідження, які ще не підготовлені для застосуваннярозвинених кількісних методів, по-друге, навіть там, де застосу-вання математики апробовано, модель може виявитися кількіснонеадекватною через складність досліджуваного об’єкта, по-третє, вимогу критерію практики не можна розуміти буквально –це не виключно прямий експеримент, тобто не кожна модельможе бути безпосередньо перевірена дослідно [2], тим більше вплані кількісних оцінок. Тому розуміння на якісному рівні того,що відбувається в даній системі, які фактори проявляють суттє-вий вплив на досліджувані характеристики, порівняння цих якіс-них висновків з тим, що випливає з прикладного змісту задачі, –додаткове джерело для контролю моделі.

Таким чином, постають запитання: як може бути здійснений

116

попередній контроль характеру залежностей в системі характе-ристик, що вивчаються певною моделлю, без їх кількісного опи-су? Як навчити цьому при дослідженні певних математичнихмоделей?Відповіді на ці запитання намагатимемося дати для такзваних диференціальних моделей, тобто таких, які використову-ють засоби теорії диференціальних рівнянь, зауваживши відразу,що при її викладі, зокрема майбутнім учителям математики, зде-більшого зберігається формалізм: акцент на інтегруванні в квад-ратурах замість приділення достатньої уваги питанням,пов’язаним з побудовою рівнянь, методам наближеного і чисе-льного розв’язування, поняттям якісного дослідження розв’язків[3–4]. Також додамо, що наступний матеріал доречно розглядатина практичних заняттях при вивченні звичайних диференціаль-них рівнянь першого порядку після опрацювання змісту теореміснування і єдиності розв’язків, понять теорії особливих точок таособливих розв’язків.

Виявляється, що судити про характер і властивості функціїза її диференціальними властивостями, тобто за властивостями їїпохідних, записаних у вигляді рівностей, часто можна, провівшитак званий якісний аналіз відповідного диференціального рів-няння, що ґрунтується на геометричній теорії диференціальнихрівнянь. З огляду на актуальність даної проблеми в математич-ному моделюванні реальних процесів та в плані методики реалі-зації прикладної спрямованості вивчення диференціальних рів-нянь, насамперед у педагогічних та інших вищих навчальних за-кладах, зробимо спробу показати певні аналогії та продемонст-рувати деякі підходи до дослідження функцій, заданих звичай-ними диференціальними рівняннями першого порядку,розв’язаними відносно похідної. Ці елементи якісного аналізуможуть слугувати тоді, коли: 1) рівняння не інтегрується в квад-ратурах; 2) не інтегрується в елементарних функціях; 3) загаль-ний розв’язок (інтеграл) не може бути досліджений за звичноюсхемою через складність аналітичного виразу,що його подає.

У навчальній, методичній, науково-популярній літературі здиференціальних рівнянь висвітлення даної проблематики здійс-нюється або ж фрагментарно, або ж якщо і досить повно [5–8],то відповідний матеріал не повністю систематизовано до вигля-ду, придатного для використання на практиці.

117

Отож, поставимо задачу дати повну схему дослідження фун-кцій, заданих диференціальним рівнянням

y'=f(x, y): (1)1) область визначення D. Вона співпадає з областю існуваннярозв’язків рівняння (1), тобто ( ) 4321 \ DDDDD ∪∪= , де D1 –область визначення функції f, D2 – область визначення функції1/f (виникає потреба розгляду “перевернутого” рівняння x'=1/f,якщо в деякій точці (x0, y0) функція f перетворюється на нескін-ченність), D3 – множина точок площини (x, y), в яких f (або 1/f)може бути доозначена за неперервністю, D4 – множина особли-вих точок, тобто точок з невизначеним нахилом інтегральнихкривих (ІК). Наприклад, для рівняння y'=x/(y–1) =D 2 { })1,0(\ ;2) “парність” (“непарність”). Визначається симетричністю по-ля напрямів: а) відносно осі y, якщо виконується умова f(–x, y)=–f(x, y); б) відносно осі x, якщо f(x, –y)=–f(x, y); в) відносно поча-тку координат, якщо f(–x, –y)=f(x, y); г) відносно прямої y=x, як-що f(y, x)=1/f(x, y);3) періодичність. Якщо рівняння не змінює вигляду при заміні xна x+T, де ∈T , то воно задає періодичні з періодом T функції.При цьому рівняння y'=f(y) має періодичні розв’язки з довільнимперіодом C;4) очевидні розв’язки, особливі розв’язки. До очевидних, як пра-вило, відносимо ті розв’язки рівняння (1), які можуть бути втра-чені при перетворенні його у випадку інтегровності в квадрату-рах. Для рівняння y'=ln y, наприклад, таким є розв’язок y=1. Він

може втрачатися при відокремленні зміннихy

dydx

ln= , ln y≠0.

Особливі розв’язки рівняння (1) є обвідними інших ІК рівняння,тобто в кожній своїй точці дотикаються до однієї з цих кривих.Такі розв’язки можуть бути і серед очевидних розв’язків. Інші жзнаходяться тільки в множині розв’язків рівняння ∞=′

yf

( ( ) ∞=′xf1 ) за умови, що порушують єдиність (не можуть бути

одержані із загального інтеграла Ф(x, y, C)=0 даного рівнянняпри числових, у тому числі й невласних ±∞, значеннях довільноїсталої C, хоча і задовольняють рівняння (1)). Особливих

118

розв’язків не мають рівняння y=P(x, y) та),(

),(

yxQ

yxPy =′ , де P, Q –

многочлени;5) ізокліни. Сім’я ізоклін рівняння (1) визначається рівняннямf(x, y)=k, де k – дійсний параметр. З цього рівняння: а) при k→0одержуємо умову горизонтальності дотичних до ІК. Якщо вонамає місце тільки тоді, коли x→∞, y=y0≠∞, то пряма y=y0 – гори-зонтальна асимптота ІК (якщо не є обвідною); б) при k→∞ –умову вертикальності. Якщо вона має місце тільки тоді, колиy→∞, x=x0≠∞, то пряма x=x0 – вертикальна асимптота; в) приx→∞, y→∞ – коефіцієнти k0, b0 у рівнянні похилої асимптоти ІКy=k0x+b0, де ∈00,bk , причому, ),(lim

,0 yxfkyx ∞→

= , якщо ця грани-

ця скінчена. Якщо ж при обчисленні останньої границіз’являється невизначеність, одержуємо необхідну умову існу-вання похилої асимптоти з кутовим коефіцієнтом k0, що визнача-ється як корінь рівняння k=f(x, kx+b), x→∞. Другий коефіцієнт b0

в обох випадках шукаємо, розв’язуючи рівняння k0=f(x, k0x+b),x→∞; г) при x=0 та y=0 – напрям поля на координатних осях;6) області монотонності, екстремалі (лінії екстремумів).а) Якщо в деякій області f>0 (f<0), то ІК тут зростають (спада-ють); б) якщо f=0 або 1/f=0 (нульові ізокліни), то маємо геомет-ричне місце критичних точок, причому, коли в кожній його точці

0>⋅′+′=′=′′ ffffy yx (<0) (або ( ) ( ) ( ) 0111 >⋅′+′=′′ fffx xy

(<0) у системі координат yOx), то воно задає лінію мінімумів(максимумів);7) області опуклості (увігнутості), лінії точок перегину.а) Умова 0>⋅′+′ fff yx (<0) визначає області увігнутості (опук-лості) ІК; б) при 0=⋅′+′ fff yx (=∞) маємо рівняння ліній точокперегину ІК за умови зміни знаку другої похідної при переходічерез це геометричне місце точок.

Пропонована схема дослідження функцій, заданих звичай-ними диференціальними рівняннями першого порядку,розв’язаними відносно похідної, дає можливість досить повновивчити поведінку їх ІК, а, значить, – оцінити на якісному рівнімодельовану такими рівняннями ситуацію.

119

Література1. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная ма-

тематика: предмет, логика, особенности подходов. – К.:Наукова думка, 1976.

2. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. – М.: Наука,1979.

3. Олейник О.А. Роль теории дифференциальных уравнений вматематике и ее приложениях // Соросовский образователь-ный журнал. – 1996.–№ 4. – С. 114–121.

4. Спиридонов Ф.Ф., Тушкина Т.М., Смирнов В.В. Анализ по-ведения решений некоторых классов дифференциальныхуравнений // Научно-образовательный журнал АлтГТУ. –2002.– Вып. 4.

5. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложени-ях. –М.: Наука, 1987.

6. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновен-ным дифференциальным уравнениям. – Минск: Вышэйшаяшкола, 1987.

7. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Дифе-ренціальні рівняння у прикладах і задачах.−К.: Вища школа,1994.

8. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальныеуравнения. Качественная теория с приложениями: Пер. сангл. –М.:Мир, 1986.

120

ОСОБЛИВОСТІ У ВИКЛАДАННІ ГЕОМЕТРІЇСТУДЕНТАМ-ФІЗИКАМ

У ПЕДАГОГІЧНИХ УНІВЕРСИТЕТАХ

Т.В. Ломаєвам. Київ, Національний педагогічний університет

імені М.П. Драгомановаyan_a@ukr.net

В програму з математики сучасної загальноосвітньої школи,з метою своєчасного забезпечення курсу фізики необхідним ма-тематичним апаратом, введено декілька тем, пов’язаних з елеме-нтами математичного аналізу, сучасної геометрії, теорії ймовір-ностей тощо. Тому актуальним постає питання при підвищеннярівня математичної підготовки майбутніх фахівців з фізики.

Математична освіченість майбутнього вчителя фізики вклю-чає в себе обізнаність з новітніми галузями математики, їхзв’язком з питаннями сучасної фізики. Яскравим прикладом та-кого зв’язку є відношення геометрії проективного простору тагеометрії Лобачевського як абстрактних теорій до реального фі-зичного простору, а саме – до теорії відносності. Розглянемо за-стосування псевдоевклідової геометрії до деяких питань теоріївідносності.

Власні перетворення, які залишають інваріантною кожну здвох фундаментальних точок неевклідової геометрії, визнача-ються в афінних координатах наступними рівняннями:

x=c11x'+c21y'+p,y=c21x'+c22y'+q,

0221

211 ≠− cc .

Розглянемо тільки центрально-афінні перетворення, які пе-реводять початок координат сам у себе. Одержані таким чиномперетворення, взагалі кажучи, є перетвореннями подібності. як-що ж ми хочемо одержати загальні перетворення, то повинні по-класти визначники рівними +1 або –1. Такі власні проективніперетворення з визначником +1 назвемо обертанням, вони ви-значаються рівняннями:

x=c11x'+c21y',y=c21x'+c22y', (1)

121

1221

211 =−cc .

Ці перетворення в теорії відносності називаються перетво-реннями Лоренца, вони визначаються таким видом рівнянь (1):

'1

'1

122

yu

ux

ux

−+

−= ,

'1

1'

1 22y

ux

u

uy

−+

−= .

При вивченні евклідової геометрії та проективного міровиз-начення найбільш істотні властивості геометрії особливо ясно ілегко виявляються в закономірностях, які керують відповіднимизагальними перетвореннями. При їх дослідженні ми приходимодо розгляду фундаментального образу, який при всіх цих рухахпереходить сам в себе. Виходячи з теорії цього фундаментально-го образу, ми одержуємо можливість вивчати найпростішим чи-ном всі властивості відповідного міровизначення.

Тепер можливо перенести відповідні міркування також і навипадок розглянутого тут чотирьохвимірного многовиду, якийна відміну від тривимірного фізичного простору x, y, z назива-ється миром. Далі, довільний рух матеріальної точки P зображу-ється трьома рівняннями виду x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). В трьохви-мірному многовиді ці рівняння визначають деяку криву, яку на-зивають мировою лінією або траєкторією матеріальної точки P.Усяка точка цієї лінії зображує деяке положення матеріальноїточки P в просторі і в часі. І здійснене за допомогою цієї лініїоб’єднання цих положень і дає розглядуваний рух.

Припишемо миру певну геометрію, або, говорячи точніше,певну структуру простору та часу. Але при цьому виявляється,що ми приходимо до зовсім різних структур в залежності від то-го, виходимо ми з класичної механіки або електродинаміки. Від-правною точкою класичної механіки є ньютонові диференціальнірівняння, в той час, коли в основі електродинаміки лежать рів-няння Максвелла. Тепер будемо шукати ті проективні перетво-рення, які кожну з обох систем рівнянь залишають незмінноюаналогічно тому, як ми визначаємо проективні перетворення, прияких відстані між довільними двома точками та кути між двомадовільними прямими залишаються незмінними.

Відомо, що ньютонові диференціальні рівняння залишають-

122

ся інваріантними при перетвореннях, що визначаються такоюсистемою рівнянь:

+±=+++++=+++++=

+++++=

,'

,''''

,''''

,''''

45

3534333231

2524232221

1514131211

ctt

ctczcycxcz

ctczcycxcy

ctczcycxcx

в яких дев’ять коефіцієнтів cij (i, j=1, 2, 3) утворюють ортогона-льну матрицю з визначником +1 або –1. Ця група складається зпідстановок таких трьох типів:

1) з евклідових перетворень фізичного тривимірного прос-тору x, y, z;

2) з перетворень, які одержуються, якщо відраховувати відіншого моменту часу;

3) з перетворень, які виникають при введенні нової системикоординат x, y, z, яка відносно старої системи координат x', y', z'переміщується з постійною швидкістю. Розглядувана групазветься групою Галілея-Ньютона класичної механіки. В ній має-мо 16 коефіцієнтів, з яких перші дев’ять зв’язані шістьма (неза-лежними) умовами, тому група залежить від десяти незалежнихпараметрів.

Цілком аналогічно можна говорити про групу проективнихперетворень, при яких інваріантами залишаються рівняння Мак-свелла. Ця група має слідуючий вигляд:

,''''

,''''

,''''

,''''

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

ctczc

cy

c

cx

c

ct

ctcczcycxcz

ctcczcycxcy

ctcczcycxcx

++++=

+⋅+++=+⋅+++=

+⋅+++=

причому перші 16 коефіцієнтів cij (i, j=1, 2, 3, 4) зв’язані слідую-чими десятьма співвідношеннями:

≠

==−++

,,0

,,144332211 cc

cccccccccc

ij

ij

jijijiji

(c –швидкість світла).Отже, в цій групі, яка відома під назвою “групи Лоренца” ,

фігурують 20 коефіцієнтів, зв’язаних десятьма (незалежними)

123

співвідношеннями, отже, ця група, як і група Лоренца, залежитьвід десятьох параметрів.

Обидві ці групи визначимо геометрично слідуючим чином:розширимо афінний многовид змінних x, y, z, t до проективногомноговиду шляхом приєднання нескінченно віддалених елемен-тів. А саме: при підстановках групи Галілея-Ньютона деякий пе-вний квадратичний образ переходить сам в себе, причому цейобраз складається з нескінченно віддаленого простору з гіпер-площиною t=0 та гіперциліндром x2+y2+z2=0. Цілком аналогічнопри перетвореннях групи Лоренца інваріантною залишаєтьсядеяка нульова поверхня, яка вирізана нульовим гіперконусом

x2+y2+z2–c2t2=0з нескінченно віддаленого простору. Згідно теорії квадратичнихобразів в чотиривимірному многовиді фундаментальний образгрупи Галілея-Ньютона повинен розглядатися як подвійно виро-джений, а фундаментальний образ групи Лоренца, навпаки, якоднократне вироджений (внаслідок цього виродження фундаме-нтальні образи переходять самі в себе ще при перетворенні поді-бності, які ми не приймаємо до уваги, оскільки вони не залиша-ють інваріантними покладені в основу рівняння).

Для наочності відкинемо координату z і будемо розглядативідповідні твердження лише для випадку трьох вимірів x, y, t. Зкожної точки простору виходить конус ізотропних прямих з ве-ршиною в початку координат. Всі ці конуси паралельні між со-бою. Оскільки швидкість світла є надзвичайно велике число(c=3·1010 см/сек), то цей конус надзвичайно тісно притискаєтьсядо площини XOY. Якщо б ми надавали c все більші і більші зна-чення, то конус все більш тісніше притискався до цієї площини іпри c→∞ перетворився б в неї. При цьому граничному переходіфундаментальний образ групи Лоренца перетворився б в фунда-ментальний образ групи Галілея-Ньютона. Саме в цьому випадкугрупи Лоренца ми зможемо цей образ (якщо ввести одноріднікоординати: x=x1:x5, y=x2:x5, z=x3:x5, t=x4:x5) представити у ви-гляді наступних двох рівнянь

024

23

22

21 =−++ cxxxx ,

x5=0.В однорідних координатах у просторі u1:u2:u3:u4:u5 одержимо

замість цих рівнянь тільки одне рівняння:

124

01 2

42

23

22

21 =−++ u

cuuu .

Але якщо будемо необмежено збільшувати c, то одержимо02

322

21 =++ uuu , а це якраз є рівнянням фундаментального образуГалілея-Ньютона в однорідних просторових координатах. Отже,між групою Галілея-Ньютона і групою Лоренца існує такий жезв’язок, який має місце між евклідовою та неевклідовою геомет-рією.

Ці відношення між обома групами мають важливий фізич-ний наслідок. За класичною механікою світ повинен мати струк-туру групи Галілея-Ньютона, а за електродинамічною теорією –структуру групи Лоренца. Дійсно, якщо б перевага була відданагрупі Галілея-Ньютона, то довелося б втиснути теорію електро-динаміки в рамки цієї по суті зовсім чужої для неї групи, що, якпоказав експериментально Майкельсон, неможливо. Якщо ж від-дати перевагу групі Лоренца, то, хоча нам і доведеться внести взакони класичної механіки деякі зміни для того, щоб ці законизробити інваріантними відносно групи Лоренца, але, так як групаЛоренца перетворюється в групу Галілея-Ньютона при нескін-ченно великій швидкості світла, ці зміни будуть мати значеннятільки для тих явищ, при яких зустрічаються швидкості того жпорядку, як і швидкість світла. Внаслідок цього в переважнійбільшості явищ фізики і особливо в астрономії ми можемо при-пускати справедливими закони класичної механіки, не боячисьзробити відчутної помилки.

Враховуючи вище викладені думки, зрозуміло, яким важли-вим є обізнаність вчителя фізики з суттєвими моментами неевк-лідових геометрій та інваріантами груп перетворень, що визна-чають ці геометрії. Адже в евклідовій геометрії ми досі не може-мо наочно розглядати ті чудові метричні співвідношення, якімають місце відносно ізотропних елементів, оскільки останні єуявними елементами.

Література1. Смогоржевський О.С. Про геометрію Лобачевського. – К.:

Рад шк., 1960. – 168 с.2. Клейн Ф. Неевклідова геометрія. –М.: ОНТИ, 1959. – 224 с.

125

НЕКОТОРЫЕМЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ

ЕГО ПРИКЛАДНЫХ АСПЕКТОВ

С.Ф.Максименко,М.А. Кисловаг. Кривой Рог, Криворожский металлургический факультетНациональной металлургической академии Украины

Идеи укрупнения дидактических единиц обучения, усилениямежпредметных связей, а также формирования у студентовпрактических навыков обработки результатов эксперимента мо-гут быть реализованы при изложении курса «Теория вероятно-стей и математическая статистика».

Например, такие теоретические вопросы математическойстатистики как:

− задачи математической статистики;− статистические (вариационные) распределения выборок;− полигон, гистограмма, кумулята;− числовые характеристики выборки;− статистические оценки параметров генеральной совокуп-

ности;− статистические гипотезы;− теоретические и статистические частоты;− проверка статистических гипотез;

можно излагать в аспекте обработки экспериментальных данных.При этом целесообразно к каждому пункту задания дать

теоретические сведения, необходимые рабочие формулы и пояс-нения к ним, после чего провести сравнительный анализ. В кон-це соответствующего раздела студентам предлагаются кон-трольные вопросы и индивидуальные задания.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть требуется изучитьсовокупность однородных объектов относительно качественногоили количественного признака Х, характеризующего эти объек-ты.

1. В силу невозможности сплошного обследования всей со-вокупности изучению подвергают ограниченное число объектов– выборку. Получаем совокупность результатов наблюдений.

126

2. Строим вариационный ряд и геометрическое изображение(полигон, гистограмма, кумулята). При этом важно обратитьвнимание студентов, что согласно закону больших чисел вариа-ционный ряд результатов наблюдений будет статистическиманалогом закона распределения рассматриваемого признака;контур полигона или гистограммы приближается к кривой рас-пределения; кумулята – аналог интегральной функции распреде-ления.

3. Вычисленные по выборке числовые характеристики (вы-борочная средняя, выборочная дисперсия) являются хорошимиоценками числовых характеристик генеральной совокупности.

4. Проанализировав полученные результаты и вспомнивособенности каждого вида закона распределения случайной ве-личины, студенты могут высказать предположение (гипотезу) овиде закона распределения в изучаемом явлении.

В этом случае студентам поможет сравнительная таблицаосновных видов законов распределения случайной величины,образец которой мы приводим:

№п/п Вид закона, его

применение

Функция, распреде-ление, график кри-

вой

Параметры

закона Числовые ха-рактеристикиОсобенности.

1. Равномерный. Ис-пользуется, когдатолько известно,что случайная ве-личина принимаетзначение на неко-тором интервале,но ничего неиз-вестно о характерераспределения ве-личины.

0,

1( ) , [ , ]

0,

x a

f x x a bb a

x b

<= ∈ −

>

a; b( )

2

a bM x

+=

2( )( )

12

b aD x

−=

( )2 3

b ax

−σ =

2. Экспоненциаль-ный.Применяется втеории надежно-сти (работа радио-

0, 0( )

, 0x

xf x

e x−λ

<= λ ≥

λ 1( )M x =

λ

2

1( )D x =

λ

127

№п/п Вид закона, его

применение

Функция, распреде-ление, график кри-

вой

Параметры

закона Числовые ха-

рактеристикиОсобенности.

аппаратуры,средств автомати-ки, период «выжи-гания» при экс-плуатации любыхмашин и т.п.).

1( )xσ =

λособенность:

1( ) ( )M x x= σ =

λ

3. Нормальный.Применяется втеории ошибокпри контроле ка-чества продукции,в теории стрельбыи т.д. Закон рас-пределения суммынезависимых слу-чайных величиндостаточно быстроприближается кнормальному.

2

2

( )

21( ) e

2

x a

f x−−σ=

σ π

а, σ2

( )

( )

M x a

D x

== σ

особенностьПравило 3σ:С вероятно-стью близкойк единице,можно утвер-ждать, что

Эта же таблица оказывает помощь при решении вопроса обоценке параметров распределения. Например, если нужно оце-нить параметры а и b равномерного распределения, мы пользу-

емся зависимостями ( )2

a bM x

+= ,2( )

( )12

b aD x

−= , и тем, что

оценкой математического ожидания М(х) является выборочнаясредняя bX , а оценкой дисперсии – исправленная выборочная

дисперсия 2 ( )1 b

nS D x

n=

−.

128

Решив систему уравнений

%

%( )2

2

12 1

b

b

a bX

a b nD

n

+ =

+= −

%

%, находим

оценки параметров %a и b% .В этой статье мы рассмотрели методику решения одной из

типичных задач математической статистики, а именно: оценка наосновании использования результатов наблюдений неизвестнойфункции распределения.

Дальнейшие этапы обработки экспериментальных данныхпредусматривают решение других, важных по своим практиче-ским применениям задач математической статистики. В частно-сти:

1) оценка на основании опытных данных неизвестных пара-метров распределения;

2) статистическая проверка гипотез.Наш опыт показывает, что при таком подходе к изложению

материала студенты лучше его усваивают, активнее работают назанятиях, приобретают практические навыки, которые им пона-добятся при изучении специальных дисциплин.

129

ОМЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА«ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА» В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ

Л.В.Мигунова, С.Д. Светличнаяг. Харьков, Академия пожарной безопасности Украины

fd@apbu.edu.ua

Задачей курса «Высшая математика» являются развитие ло-гического мышления, свободного пользования технической ли-тературой, умение применять математику в прикладных задачах.Решению этих вопросов во многом помогает сам стиль изложе-ния материала, связь различных его разделов, демонстрация воз-можностей математики.

Остановимся на использовании комплексных чисел. Ужесамо определение комплексного числа как пары действительныхчисел позволяет использовать векторный аппарат для введениятригонометрической формы, а применение второго замечатель-ного предела – показательной формы записи комплексного числаи сравнительно простого перехода к определению элементарныхфункций. Полезно сравнить метод выражения тригонометриче-ских функций кратных дуг со школьным приемом. В свою оче-редь, возможность замены вектора на плоскости комплекснымчислом открывает переход к изучению четырехмерного про-странства (движение точки в пространстве) путем определениядвумерного комплексного вектора. Недаром созданная в середи-не 19 века теория функции комплексной переменной стала мощ-ным орудием математического исследования ряда вопросов гид-родинамики, теории упругости, теоретической электроники ирадиотехники.

Не забывая о преемственности разделов математики, приразложении тригонометрических функций в степенной ряд вос-пользоваться формулой eix=cos x+isin x и, конечно, определитьряды с комплексными переменными, их абсолютную сходи-мость.

Важным разделом в интенсивной подготовке являются рядыФурье и преобразования Фурье. Введя понятия скалярного про-изведения для комплекснозначных функций как обобщения ска-лярного произведения n–мерных векторов и ортогональности

130

функций, можно показать разложение в ряд периодическойфункции с периодом 2π по ортогональной системе показатель-ных функций { } ∞

=1ninxe , а затем заменой переменной перейти к

произвольному периоду.Такой прием упрощает изложение теории тригонометриче-

ской функции комплексной переменной, снижает практическуютрудоемкость. Переход к интегралу Фурье связан с построениеминтегральной суммы, ранее используемой в интегральном ис-числении. Преобразования Фурье можно сравнить с физическиманалогом амплитудно-частотных преобразований, а, демонстри-руя метод Фурье, показать решение уравнения теплопроводно-сти в практической формулировке для конечного и бесконечногостержней.

Преобразования Фурье целесообразно использовать для пе-рехода к преобразованию Лапласа. Помимо традиционного при-менения методов операционного исчисления к решению диффе-ренциальных уравнений и их систем, необходимо обязательноприменить операционное исчисление к решению уравнения теп-лопроводности для полубесконечного стержня.

Такой подход воспитывает математическую культуру, раз-вивает логическое мышление и позволяет накопленную матема-тическую информацию переносить на изучение инженерныхдисциплин.

131

ВИЩАМАТЕМАТИКА В ТЕХНІЧНОМУНАВЧАЛЬНОМУ ЗАКЛАДІ: ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯСКЛАДНИХ ТА НЕЯВНО ЗАДАНИХ ФУНКЦІЙ

В.В.Михайленкоα, В.Б. Крижанівськийβм.Житомир,Житомирський державний технологічний

університетα kvm_mvv@ziet.zhitomir.uaβ slavik@ziet.zhitomir.ua

Вивчення математики в вищих технічних навчальних закла-дах створює основу для засвоєння спеціальних дисциплін. Але,як показує педагогічний досвід, задача ефективного використан-ня математичних знань студентами є не тільки дуже важливою, ай дуже важкою, оскільки не відповідає розумовим можливостямбільшості студентів технічного ВНЗ. В результаті виходить, щосистема знань студентів має міжпредметні розриви і являє собоюнабір слабко пов’язаних знань, які студенти не вміють викорис-товувати на практиці для здобування нових знань. Знання, отри-мані на попередніх етапах, зокрема з математики, не мають ефе-ктивного застосування на наступних етапах навчання. Постаєзадача відшукання нових, нетрадиційних підходів до викладенняматеріалу, які сприяють встановленню міжпредметних зв’язківвузівських курсів, систематизації знань і навичок з різних дис-циплін, розвитку у них умінь комплексного використання фун-даментальних знань.

Традиційно, головний акцент при вивченні математики ро-биться на явно задані функції одного або кількох аргументів. Алев інженерній практиці досить часто доводиться зустрічатися зскладними та неявно заданими функціями. Диференціюванняподібних функцій сприймається студентами, головним чином, якпросте маніпулювання математичними символами. В зв’язку зцим втрачається інтерес до вивчення матеріалу і він засвоюєтьсястудентами досить важко.

Для виходу з цього положення можна використати один з ві-домих підходів, який одержав назву метод структурних схем(МСС) [1, 2]. Цей метод призначений для зручного опису та до-слідження взаємозв’язків в складних системах автоматичного

132

керування. Оскільки складні функції також являються складни-ми системами, то цілком природно маніпулювати ними за допо-могою цього апарату.

Незначне корегування програми та методики викладаннявищої математики приводить до збільшення зацікавленості сту-дентів вивченням цього розділу і, загалом, до підвищення успі-шності.

Приклад використання МСС для диференціювання наступ-ної функції:

y'=exy+xexy(y+xy').Вводимо проміжні змінні:z=xy, w=ez, y=xw.Записуємо рівняння в абстрактній формі:z=f(x, y), w=f(z), y=f(x, w).Будуємо структурну схему:

Визначаємо коефіцієнти передачі частинних зв’язків:k1=y, k2=ez=w, k3=x, k4=x, k5=w.Виражаємо результуючий коефіцієнт через коефіцієнти пе-

редачі зворотних зв’язків:

432

5321

1 kkk

kkkkK

−+= .

Підставимо в одержаний результат коефіцієнти передачі ча-стинних зв’язків:

wxx

wywxK

−+=

1⇒

xy

xy

ex

xyey

21

)1(

−+=′ .

Наведений приклад ілюструє простоту використання даногопідходу. Крім цього, стає наочним зв’язок цього розділу матема-тики з теорією графів, що також має неабияке методологічнезначення.

Отже, пріоритетною задачею та метою курсу математики

2

x

z w

y

1 34

5

133

має бути формування у студентів фундаментальних математич-них понять та чітких уявлень про фундаментальні математичнітеорії. Саме орієнтація змісту курсу навколо фундаментальнихматематичних теорій дозволяє реалізувати цілісність математич-ної підготовки. Разом з цим методи, форми та засоби навчання,поряд з традиційними, повинні містити такі, які адекватні майбу-тній професійній діяльності студентів.

Лiтература:1. Шур А.Б. Дифференцирование сложных и неявно заданныхфункций для инженерных и иных приложений: Учеб. посо-бие. –Алчевск: ДГМИ, 2002. – 50 с.

2. Шур А.Б. Метод структурных схем и его нетрадиционныеприложения. Учеб. пособие. –Алчевск: ДГМИ, 1993. – 88 с.

134

ПРО ФАХОФОРМУЮЧИЙ ЗМІСТЗАГАЛЬНОМАТЕМАТИЧНОЇ ОСВІТИ

БАКАЛАВРІВ ІНФОРМАТИКИ

І.О.Михайловам. Луганськ, Луганський національний педагогічний університет

імені Тараса Шевченкаmikhajlova@rambler.ru

Одним з визначальних принципів систематизації змісту за-гальноматематичної освіти будь-якого фахового напрямку єпринцип змістовної актуалізації її фахоорієнтованої, фахормую-чої частини [1–5]. Елементом такої актуалізації у фаховому на-прямку “ Інформатика” є дисципліна “Математичні теорії дискре-тних систем” , впровадження якої анонсовано в [6]. В умовах пе-реходу до кредитно-модульної системи організації навчальногопроцесу цю дисципліну слід розглядати як домен змістових мо-дулів дидактичної математичної теорії [4]. Змістовими модулямипри цьому стають розділи програмно-методичного комплексу,запропонованого в [6]. Продовженням роботи [4], що виконуєть-ся за програмою НДР “Генезис та систематизація змісту матема-тичної освіти” (держ. реєстр. N00103U00026), є описання згада-них змістових модулів. В описанні обґрунтовується радикальнепоглиблення фундаменталізації фахової складової змісту освітибакалаврів інформатики. Необхідність такого поглиблення ви-пливає з аналізу навчальних планів, за якими ведеться підготовкафахівців з інформатики на кожному з освітньо-професійних рів-нів. Очевидною є рецептуризація змісту освіти, зведення її дооволодіння програмними продуктами, що знаходяться в спожив-чому обігу в різних сферах використання комп’ютерних техно-логій. Штучне узгодження освітньо-кваліфікаційних характерис-тик із змістом освіти, що формується в такий спосіб, веде до кри-зи невідповідності освітньо-професійних рівнів змістові освіти.Як наслідок – втрата конкурентноспроможності в сфері продуку-вання наукоємних технологій та системних програмних продук-тів.

Фундаменталізація змісту освіти бакалаврів інформатики наоснові її математизації – єдиний шлях подолання згаданої кризи

135

невідповідності. Разом з цим необхідно враховувати специфікуяк предметної області теоретичної та практичної інформатикитак і тенденції розвитку суміжних областей математики. Непри-пустимим є зведення змісту загальної математичної освіти дотрадиційних розділів класичної “вищої математики” епохи інду-стріальних технологій. Сучасні концепції розвитку математикидозволяють сформувати зміст загальної фаховоорієнтованої ма-тематичної освіти, узгоджений з тенденціями розвитку інформа-ційних технологій. Комплекс змістових модулів “Математичнітеорії дискретних систем” дозволяє подолати недоліки традицій-ної системи формування загальної математичної освіти бакалав-рів інформатики, вирішуючи такі дві основні проблеми:

1) проблема вибору адекватної математичної концепції;2) проблема ефективної актуалізації фундаментальної скла-

дової у формуванні змісту фахової освіти.Перша з цих проблем розв’язується за допомогою змістового

модуля “Алгоритми та дискретно-математичні моделі їхреалізації”. В стислому вигляді його зміст зводиться до питань –

Концептуалізація коструктивізму в математиці та по-няття алгоритму. Зв’язок з теоретико-множинною, формаліс-тичною та іншими загальноматематичними концепціями. Ма-шини Тьюрінга та Поста. Нормальні алгоритми Маркова. Скін-ченні автомати. Ефективна обчислюваність та теза Черча-Тьюрінга. Класи конструктивних функцій та їх нумерація. Уні-версальні програми. Проблема розв'язності. Рекурсивні та реку-рсивно перелічувані множини. Теореми про рекурсію. Поведінкаавтоматів та методи її аналізу. Інфінітезимальні об’єкти та їхавтоматна реалізація.

Вибір конструктивноматематичної концепції є об’єктивнозумовленим і дозволяє долати не лише методологічні проблеми всфері формування фоховоорієнтованої загально математичноїосвіти, а й проблеми технології організації навчального процесу,що виникають в умовах детермінізації його форм та методів реа-лізації.

На проблему ефективної актуалізації орієнтовано три зміс-тових модулі, в яких реалізовано основні аспекти класифікаціїпредметної області математики та її застосувань в межах конс-труктивістської концепції. Перший з цих модулів – змістовий

136

модуль “Алгебраїчні моделі дискретних систем”. Його основ-на мета – висвітлення концепції алгебраїзації фундаментальноїскладової, що об’єктивно сформувалась протягом останніх деся-тиліть. В межах алгебраїчної концепції реалізуються найважли-віші розділи як теоретичної так і прикладної, практичної інфор-матики. Стислий перелік основних питань якнайкраще це під-тверджує:

Модулі над кільцями, лінійні автомати, динамічні системи.Аффінні автомати. Автомати в категоріях та в многовидах.Вільні автомати. Каскадні поєднання автоматів та вінцеві до-бутки. Терема Крона-Роудза. Інформаційні простори та базиданих. Динамічна алгебра Халмоша. Циліндричні та реляційнібази даних. Елементи теорії Галуа баз даних.

Тополого-геометричний аспект математичної реалізаціїпредметної області інформатики реалізовано змістовим модулем“Реляційно-геометричні моделі дискретних систем”, основ-ними питаннями якого є –

Діофантові арифметичні простори та їх перетворення. Ко-лінеації та кореляції. Лінійні системи над кільцями. Дискретнеперетворення Фур'є. Цілочисельні квадратичні форми. Діаграминад групами, карти. Реляційні системи, ланцюги та перерізи вреляційних системах. Матричне зображення реляційних алгебр.Інваріанти матричних реляційних алгебр.Скінченні проективніпростори, простори інцидентності, блок-схеми.

Синтетичний підхід до математичної класифікації предмет-ної області інформатики реалізується змістовим модулем“Математичні методи синтезу, аналізу та верифікації дис-кретних систем”:

Функціональні елементи та схеми. Задача синтезу та ме-тоди її розв'язання. Координатизації, параметризації, схеми ко-дування та криптосистеми. Тести, діагностичні тести, тестиперевірки. Задачі розпізнавання.

Ізольоване впровадження комплексу “Математичні теоріїдискретних систем” не може, зрозуміло, розв’язати проблемуфундаменталізації освіти бакалаврів інформатики. Необхідним є,зокрема, перегляд змісту загальної математичної освіти на забез-печення розглядуваного фахоформуючого комплексу. Очевид-ною є необхідність посилення алгебраїчної та дискретно-

137

математичної складових цього змісту. Вже зараз стає зрозумі-лим, що подальший прогрес в розвитку інформаційних техноло-гій унеможливлюється примітивізацією моделювання системпереробки інформації у вигляді так званих “дигітальних” систем.Така примітивізація позбавляє можливості використовувати усюпотужність сучасних методів алгебри, дискретної математики,алгебраїчної комбінаторики. Програмою НДР “Генезис та систе-матизація змісту математичної освіти” , що виконується лабора-торією теоретичних та прикладних проблем математики ЛНПУ,передбачається розробка нової концепції формування змісту за-гальної математичної освіти у фаховому напрямку“ Інформатика” за участю і в співробітництві з кафедрами інфор-матики інших вузів.

Література1. Pratsiovytyi M.V., Usenko V.M. Problems of forming of

Content of the Mathematical Education // International GnedenkoConference (Kyiv, June 3-7, 2002). Abstracts - Kyiv, 2002. - p.124.

2. Працьовитий М.В., Усенко В.М. Про методологічні про-блеми формування змісту математичної освіти // Міжн. матем.конф., присв. 100 р. від початку роботи Д.О. Граве (1863-1939) вКиїв. ун-ті. (Київ, 17-22 червня 2002). – Ін-т матем. НАН Украї-ни, Київ. нац. ун-т. ім. Т.Шевченка. –К., 2002. –С. 116.

3. Працьовитий М.В., Усенко В.М., Хмель В.П. Дидактич-ний процес як технологія формування змісту освіти // Міжн. ма-тем. конф., присв. 100 р. від початку роботи Д.О. Граве (1863-1939) в Київ. ун-ті. (Київ, 17-22 червня 2002). – Ін-т матем. НАНУкраїни, Київ. нац. ун-т. ім. Т.Шевченка. –К., 2002. –С. 117.

4. Працьовитий М.В., Усенко В.М. Генезис та систематиза-ція змісту математичної освіти // Алгебраїчні методи дискретноїматематики. (Теорія та методологія). Всеукраїнська конф. (Лу-ганськ, 23-27 вересня 2002 р.). –Луганськ, 2002. –С. 113.

5. Працьовитий М.В., Усенко В.М. Математика як методо-логія синтезу дескриптивних систем. // Готується до друку.

6. Михайлова І.О. Про систематизацію змісту загальнома-тематичної освіти на спеціальності “ Інформатика” . // Сучаснітехнології в науці та освіті: Збірник наукових праць. Т.1. – Кри-вий Ріг: Видавничий відділ КДПУ, 2003. – т. 1. –С. 33–34.

138

ДОСВІД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬЗА ДОПОМОГОЮ КОМП’ЮТЕРА

К.Ф.Мищенко, Л.І. Бондаренком. Кривий Ріг, Криворізький технікум економіки та управління

В сучасних умовах викладання математики в вищих навча-льних закладах І та ІІ рівня акредитації виникає потреба перейтивід традиційних методів викладання до сучасних інноваційнихтехнологій в системі особистісно-зорієнтованої освіти.

Пошук нових методів і засобів навчання, адекватних потре-бам сьогоднішнього дня – одне з найактуальніших завдань су-часності. Практично використавши можливості традиційних ме-тодів, викладачі звертають увагу на нові інформаційні техноло-гії, особливу увагу приділяючи тим з них, що дозволяють врахо-вувати індивідуальні особливості тих, кого навчають, стимулю-ють їх самостійність і активність, сприяють розвитку творчихздібностей. В навчанні стала проявлятись тенденція до зсуву ак-центу від навчання мистецтва запам’ятовування до навчання ми-стецтва мислення.

У нашому технікумі приділяється велика увага використан-ню комп’ютерів при викладанні інших предметів при тіснійспівпраці з викладачами інформатики. Комп’ютер звільняє сту-дента від рутинних дій, дозволяє у декілька разів збільшити кі-лькість розв’язаних задач з даної теми. Вирішення цих питаньпотребує від викладачів-предметників високої професійної під-готовки.

На уроках математики за традиційною схемою студент оде-ржує необхідні теоретичні знання для розв’язування практичнихзадач. Цим вирішується завдання формування необхідних умінь інавичок з даної теми. Після того, як у студента сформовані вмін-ня та навички, доцільно використати комп’ютер. Комп’ютернапідтримка вивчення теми дає значний педагогічний ефект, поле-гшуючи, розширюючи і поглиблюючи вивчення і розуміння ма-тематики.

В курсі вищої математики в технікумі дуже скорочені ауди-торні години на вивчення курсу. Значна кількість годин відво-диться на самостійне вивчення матеріалу. Наприклад, на вивчен-

139

ня теми “Розв’язування системи n лінійних рівнянь з n невідо-мими” відводиться 6 годин. Викладачу потрібно навчити студен-тів розв’язувати системи лінійних рівнянь наступними методами:методом Гауса, методом Крамера та громіздким матричним ме-тодом.

На аудиторних заняттях викладач навчає розв’язувати сис-теми 3 лінійних рівнянь з 3 невідомими. У випадках, коли n≥4,обчислення вручну займають багато часу та потребують надмір-ної уваги для попередження помилок. Для розв’язування цієїпроблеми викладач застосовує комп’ютер. Нами була взята про-грама MatJV, що знаходиться на компакті-додатку до збірникапраць. Вона дає змогу оптимально використати час длярозв’язування.

ПрограмаMatJV має простий інтерфейс.

Для роботи з нею не потрібні специфічні знання. За допомо-гою цієї програми можна одержати покрокове рішення системи nлінійних рівнянь з n невідомими методом Гауса, за правиломКрамера при n≤3, обчислити визначник не вище 3-го порядку таобчислити складні вирази. При цьому можна використовувати якцілі, так і дробові коефіцієнти при невідомих (режими відповід-но: Числа/Дроби), а також цілі та дробові вільні члени. Покро-кове рішення задачі можна скопіювати в буфер обміну, а потімвставити із буферу обміну в будь-який текстовий документ і роз-друкувати на папір.

Розглянемо приклади:а) користуючись методом Гауса, розв’язати систему рів-

140

нянь

−=+++−=+++

=+++=+++

.343

,3232

,125

,251132

4321

4321

4221

4321

хххххххххххххххх

В програмі МatJV в верхній частині вікна слід набрати кое-фіцієнти при невідомих та вільні члени через коми для кожногорівняння:

Задати режим: Числа.Задати команду: Решить → метод Гаусса.В нижній частині вікна з’явиться покрокове рішення (читати

спочатку прямий хід, а потім обернений):Прямой ход Обратный ход

2,00 , 3,00 , 11,00 , 5,00 , | 2,000,00, -0,50 , -0,50 , -0,50 , | 0,002,00 , 1,00 , 3,00 , 2,00 , | -3,001,00 , 1,00 , 3,00 , 4,00 , | -3,00

2,00 , 3,00 , 11,00 , 5,00 , | 2,000,00, -0,50 , -0,50 , -0,50 , | 0,000,00, -2,00, -8,00 , -3,00 , | -5,001,00 , 1,00 , 3,00 , 4,00 , | -3,00

2,00 , 3,00 , 11,00 , 5,00 , | 2,000,00, -0,50 , -0,50 , -0,50 , | 0,00

2,00, 3,00 , 11,00 , 5,00 , | 2,000,00, -0,50, -0,50, -0,50 , | 0,000,00, 0,00, -6,00 , 0,00 , | -6,000,00, 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

2,00, 3,00 , 11,00 , 5,00 , | 2,000,00, -0,50, -0,50, 0,00 , | -0,500,00, 0,00, -6,00 , 0,00 , | -6,000,00, 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

2,00, 3,00 , 11,00 , 0,00 , | 7,000,00, -0,50, -0,50, 0,00 , | -0,50

141

0,00, -2,00, -8,00 , -3,00 , | -5,000,00, -0,50 , -2,50 , 1,50 , | -4,00

2,00 , 3,00 , 11,00 , 5,00 , | 2,000,00, -0,50 , -0,50 , -0,50 , | 0,000,00, 0,00 , -6,00 , -1,00 , | -5,000,00, -0,50 , -2,50 , 1,50 , | -4,00

2,00 , 3,00 , 11,00 , 5,00 , | 2,000,00, -0,50 , -0,50 , -0,50 , | 0,000,00, 0,00 , -6,00 , -1,00 , | -5,000,00 , 0,00 , -2,00 , 2,00 , | -4,00

2,00 , 3,00 , 11,00 , 5,00 , | 2,000,00, -0,50 , -0,50 , -0,50 , | 0,000,00, 0,00 , -6,00 , -1,00 , | -5,000,00 , 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

0,00, 0,00, -6,00 , 0,00 , | -6,000,00, 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

2,00, 3,00 , 11,00 , 0,00 , | 7,000,00, -0,50 , 0,00 , 0,00 , | 0,000,00, 0,00, -6,00 , 0,00 , | -6,000,00, 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

2,00, 3,00 , 0,00 , 0,00 , | -4,000,00, -0,50 , 0,00 , 0,00 , | 0,000,00, 0,00, -6,00 , 0,00 , | -6,000,00, 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

2,00, 0,00 , 0,00 , 0,00 , | -4,000,00, -0,50 , 0,00 , 0,00 , | 0,000,00, 0,00, -6,00 , 0,00 , | -6,000,00, 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

Единичная матрица Ответ1,00 , 0,00 , 0,00 , 0,00 , | -2,000,00 , -0,50 , 0,00 , 0,00 , | 0,000,00 , 0,00 , -6,00 , 0,00 , | -6,000,00 , 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

1,00 , 0,00 , 0,00 , 0,00 , | -2,000,00 , 1,00 , 0,00 , 0,00 , | 0,000,00 , 0,00 , -6,00 , 0,00 , | -6,000,00 , 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

1,00 , 0,00 , 0,00 , 0,00 , | -2,000,00 , 1,00 , 0,00 , 0,00 , | 0,000,00 , 0,00 , 1,00 , 0,00 , | 1,000,00 , 0,00 , 0,00 , 2,33 , | -2,33

1,00 , 0,00 , 0,00 , 0,00 , | -2,000,00 , 1,00 , 0,00 , 0,00 , | 0,000,00 , 0,00 , 1,00 , 0,00 , | 1,000,00 , 0,00 , 0,00 , 1,00 , | -1,00

X[ 1 ]= -2,0000X[ 2 ]= 0,0000X[ 3 ]= 1,0000X[ 4 ]= -1,0000

б) користуючись правилом Крамера, розв’язати систему рі-внянь

=++=++=++

.1132

,132

,523

321

321

321

ххххххххх

В програмі МatJV в верхній частині вікна слід набрати кое-фіцієнти при невідомих та вільні члени через коми для кожного

142

рівняння:3,2,1,52,3,1,12,1,3,11Задати режим: ЧислаЗадати команду: Решить → Правило КрамераВ нижній частині вікна з’явиться покрокове рішення:Результат:Det=3,00 , 2,00 , 1,00 ,2,00 , 3,00 , 1,00 ,2,00 , 1,00 , 3,00 ,=3,00*3,00*3,00+2,00*1,00*1,00+2,00*1,00*1,00-

2,00*3,00*1,00-2,00*2,00*3,00-3,00*1,00*1,00 = 12,00

Delta1=5,00 , 2,00 , 1,00 ,1,00 , 3,00 , 1,00 ,11,00 , 1,00 , 3,00 ,=5,00*3,00*3,00+11,00*1,00*1,00+1,00*1,00*1,00-

11,00*3,00*1,00-1,00*2,00*3,00-5,00*1,00*1,00 = 24,00

Delta2=3,00 , 5,00 , 1,00 ,2,00 , 1,00 , 1,00 ,2,00 , 11,00 , 3,00 ,=3,00*1,00*3,00+2,00*1,00*1,00+2,00*11,00*1,00-

2,00*1,00*1,00-2,00*5,00*3,00-3,00*11,00*1,00 = -24,00

Delta3=3,00 , 2,00 , 5,00 ,2,00 , 3,00 , 1,00 ,2,00 , 1,00 , 11,00 ,=3,00*3,00*11,00+2,00*1,00*1,00+2,00*1,00*5,00-

2,00*3,00*5,00-2,00*2,00*11,00-3,00*1,00*1,00 = 36,00

X[1]=Delta1/Det= 2,000X[2]=Delta2/Det= -2,000X[3]=Delta3/Det= 3,000

Студенти можуть користуватись даною програмою як науроках математики, так і в позаурочний час.

143

ПРОБЛЕМАМЕТОДУПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ АЛГЕБРАЇЧНИХ ЗАДАЧ

М.М. Накм. Київ, Національний педагогічний університет

ім.М.П. Драгоманова

Знання методів розв’язування алгебраїчних задач, вмінняправильного вибору методу і ефективного його використання єважливим елементом математичної освіти взагалі та фахової під-готовки вчителів математики зокрема. Алгебра, як найбільш фо-рмалізована область математики, проявляє узагальнюючий тасистематизуючий вплив на інші розділи шкільного та вузівськихматематичних курсів.

Навчання учнів найбільш раціональним методамрозв’язування задач є однією із важливих проблем навчання ма-тематики в школі. Вчитель тільки тоді може справитись із цимзавданням, якщо сам бездоганно володіє різними методами іспособами розв’язування задач, вміє дати їм порівняльний аналізта виявити переваги того чи іншого методу.

В свій час проблемами місця і значення методів та способіврозв’язування задач плідно займалися: Г.Д. Балк, М.Б. Балк,Г.П. Бевз, Ю.М. Колягін, І.А. Кушнір, М.Я. Ігнатенко, Д. Пойя,К.А. Славська, З.І. Слєпкань, Л.М. Фрідман, Т.М. Хмара та ін.Але на сьогодні проблема методу і способу розв’язання в алгебріще недостатньо вирішується на рівні сучасних вимог. Як в шкі-льному, так і вузівському (педагогічного ВНЗ) курсах алгебрислабо використовується системний підхід до вивчення методів таспособів розв’язування алгебраїчних задач.

На сьогодні навчання алгебри відбувається за програмами,що базуються на різних підручниках. Це приводить до істотноїрізниці в знаннях і уміннях учнів, що особливо проявляється навступних іспитах у вищі навчальні заклади. Частина учнів не во-лодіє різноманітними методами та способами розв’язування за-дач. Не маючи достатньої підготовки, учні не розуміють деякихметодів і не вміють їх ефективно використовувати.

Влітку 2003 р. в журналі “Математика в школі” була надру-кована нова програма з математики для загальноосвітніх навча-

144

льних закладів [1]. Ця програма є цілісною системою формуван-ня особистості, вона спирається на методи розвиваючого на-вчання і відповідні їм сучасні технології навчання. Але і в ній (врозділі “Алгебра” ) виділено окремою темою тільки метод мате-матичного моделювання; інші ж методи, як стандартні так і не-стандартні [2], подані неявно.

З метою вивчення стану проблеми було проведено анкету-вання біля 500 випускників середніх шкіл. Тільки 75% опитанихзмогли назвати один-три методи розв’язування алгебраїчних за-дач; 25% респондентів не змогли назвати жодного методу чиспособу. Є відповіді (до 15%), які свідчать про те, що учні нерозрізняють понять “метод” і “спосіб” , не розуміють поняття“алгоритм методу” [3].

Проаналізуємо сучасні уявлення про методи та способирозв’язування задач, класифікаційні ознаки методів та їх зміст,спираючись у першу чергу на роботи відомих методистів. Зазна-чимо, що математичні методи, в тому числі і методирозв’язування алгебраїчних задач, пов’язані з загально-науковими, які виникли історично.

В посібнику [4], присвяченому методиці розв’язування за-дач, точного означення методу розв’язання задач не подано, аознаки методу та способу розв’язування задач подані описово, наконкретних прикладах. Зазначено, що одна і та ж сама задачаможе бути розв’язана кількома методами чи способами. В такихвипадках говорять про різні способи її розв’язування. Відрізня-тися ці способи можуть або деталями, або істотно. У першомувипадку говорять про різні способи, в другому – про різні методирозв’язування задач.

Л.М. Фрідман вказує, що метод розв’язування задачі – це де-який план розв’язання, але не тільки даної конкретної задачі, а йусіх задач того виду, до якого ми відносимо дану задачу [5]. То-му метод, на відміну від плану, містить в собі не тільки опис усіхнеобхідних перетворень умов задачі для її розв’язання, а й вказі-вку усіх логічних умов застосовуваності кожного з перетворень,та головне, вказівку усіх ознак того виду задач, розв’язання якихможе бути знайдено цим методом. В кожному планірозв’язування деякої задачі міститься (неявно) деякий метод чиспосіб розв’язання, частинним випадком якого є цей план, але

145

цей метод явно не виражений, він прихований.З.І. Слєпкань [6] під методом розв’язування задач (як і дове-

дення теорем) розуміє сукупність прийомів розумової діяльностіабо логічних дій та операцій, за допомогою яких розв’язуєтьсявеликий клас задач. Поняття способу розв’язування задачі даєть-ся як вужче поняття. Це сукупність прийомів розумової діяльно-сті або логічних і математичних дій та операцій, які використо-вуються у разі розв’язування окремої задачі або невеликої суку-пності задач певного виду.

Ще одне означення з короткого тлумачного словника украї-нської мови: метод – це шлях, спосіб теоретичного дослідженняабо практичного здійснення чогось. Інше означення з великоїрадянської енциклопедії: метод (від грецького – шлях дослі-дження або пізнання, теорія, вчення) – сукупність прийомів абооперацій практичного чи теоретичного засвоєння дійсності, під-порядкованих розв’язуванню конкретної задачі.

Пошуком універсального методу розв’язування будь-якихзадач (тобто методу, яким би було можливо розв’язати будь-якуматематичну задачу) займався в свій час ще Р. Декарт [7]. Слі-дом за Декартом тією ж проблемою про знаходження загальногометоду розв’язування задач займався і Г. Лейбніц. Але, як відо-мо, такого методу не вдалося знайти і досі. Про складністьрозв’язування без існування загального методу розв’язуваннядля всіх задач писав в своїй роботі і А.А. Столяр [8]. Він зазна-чав, що складність пояснюється відсутністю (і неможливістю)загального методу, оволодіння яким гарантувало б здатністьрозв’язати будь-яку задачу. Алгоритми маються лише длярозв’язання задач окремих класів (або типів). Для задач іншихкласів немає (неможливі або поки невідомі) загальних методіврозв’язання. Наприклад, для тригонометричних, показникових талогарифмічних рівнянь.

Спроба розробити загальний підхід (але не метод), загальнуметодику навчання розв’язуванню задач була розпочата Д. Пойа[9]. В своїй роботі він подав рекомендації, які сприяють форму-ванню структури міркування в пошуках розв’язання задачі, пра-вильно орієнтують на цей пошук. За допомогою цих рекоменда-цій підвищується імовірність успішного розв’язання та зменшу-ється час, який затрачується на його пошук. Але ця книга розча-

146

рує тих, хто в загальному методі шукає ключ до розв’язаннябудь-яких задач. Якщо і будуть виконані всі рекомендаціїД. Пойа, це не означає, що з’явиться можливість розв’язати якузавгодно задачу.

Ще один підхід до формування поняття методурозв’язування задач запропоновано в роботі Є.І. Лященко [10].Розв’язуючи однотипні, або як називає автор конкретно-практичні задачі, учні наближаються до методу знаходженняпрактичного (математичного) результату. З методомрозв’язування конкретно-практичних задач пов’язані відповіднійому:

– математичні дії або вміння;– навчально-пізнавальні дії або вміння.Між цими діями існує певний визначений зв’язок і підпо-

рядкування. Щоб розкрити конкретний метод розв’язування за-дач, необхідно розкрити сукупність дій та зв’язків між ними.

Слід зазначити, що метод конкретно-практичних задач є посуті запропонованим у 19 ст. С.І. Шохор-Троцьким методом до-цільних задач [11]. Ще одне зауваження стосується різниці міжметодами розв’язування задач і методами навчання розв’язаннязадач. Методи розв’язування – це способи дій тих, хто розв’язуєзадачі; методи навчання розв’язання – способи дій учителя, якийнавчає учнів розв’язувати задачі [12]. Часто ці поняття або ото-тожнюють, або замінюють одне одним, що не сприяє активномуі свідомому засвоєнню навчального матеріалу. Відповідно, учи-тель повинен орієнтуватися як у методах розв’язування задач,так і у методах навчання розв’язання цих же задач.

Отже, метод взагалі – це сукупність дій та порядок їх вико-нання, спрямованих для досягнення певної мети. Методрозв’язування алгебраїчних задач – сукупність математичних ілогічних дій та порядок їх виконання, призначених длярозв’язання великого класу задач.

За період навчання учень розв’язує багато математичних за-дач, які можна класифікувати по-різному: 1) задачі-формули ітекстові задачі; 2) арифметичні, алгебраїчні, геометричні;3) прості, складені; 4) задачі на обчислення, на доведення, на до-слідження, на побудову; 5) стандартні, нестандартні, задачі ізспецифічними способами розв’язання тощо. При цьому застосо-

147

вується немало як загальних методів, так і часткових методів таприйомів їх розв’язування.

Серед загальних методів та прийомів розв’язування задачможна назвати наступні: аналітичний, синтетичний, аналітико-синтетичний, метод спроб, прийом зведення до ранішерозв’язаних, метод моделювання та ін.

У реальній розумовій діяльності аналіз і синтез нерозривнопов’язані [6]. Аналіз – міркування від того, що треба знайти абодовести, до того, що дано або встановлено раніше. Синтез – мір-кування, що проводиться у зворотному напрямі. У процесірозв’язання задачі за допомогою аналізу через синтез, елементизадачі вичленовуються, зіставляються з іншими елементами івключаються у нові зв’язки, що й дає можливість розв’язати за-дачу. Аналіз через синтез інколи називають “прийомом пере-осмислення елементів задачі” . С.Л. Рубінштейн вважав, що ос-новною формою мислення, яка здійснює “переформулювання”задачі, є аналіз через синтез, коли “об’єкт у процесі мисленнявключається у все нові зв’язки і в силу цього виступає у все но-вих якостях, які фіксуються у нових поняттях…” .

Кожен з методів має свої недоліки. При розв’язуванні задачсинтетичним методом не завжди зрозуміло, з чого починатирозв’язання або доведення. З іншої сторони, при аналітичномуметоді іноді можливо отримати декілька розв’язків і доведетьсяробити перевірку. Навчання учнів даним методам важливе тому,що вони виступають і як особливі форми мислення. У навчанніаналітичному або синтетичному методам слід добре підбиратизавдання, оскільки в кожному з них необхідне обґрунтуванняконкретного методу. Так, при розв’язуванні нерівностей, як пра-вило, використовується аналітичний метод, в цьому випадку ви-користання синтезу є незручним.

Аналітичний та синтетичний методи використовуються длярозв’язування задач як окремо, так і разом. Разом вони склада-ють єдиний аналітико-синтетичний метод. При розв’язуванніскладної задачі вона за допомогою аналізу розбивається на рядбільш простих задач, а потім за допомогою синтезу відбуваєтьсяз’єднання розв’язань цих задач в єдине ціле. Тобто, прокладаєть-ся шлях “з обох боків” – і від умови задачі, і від вимоги, поки незійдуться ці шляхи і не буде встановлено неперервного зв’язку

148

між тим, що дано в задачі, і тим, що треба знайти. Аналітико-синтетичний процес міркувань значно зменшує ймовірність ме-ханічних, формальних дій учня, бо можна заздалегідь і свідомопланувати свою розумову діяльність над теоремою чи задачею.Опанування аналітико-синтетичним методом має велике значен-ня не тільки для навчальної, а й для майбутньої діяльності учня,оскільки така логічна схема міркувань досить поширена в життє-вій практиці [13]. У реальному розумовому процесі всі види ана-літико-синтетичного методу взаємопов’язані і взаємодіють. За-значимо, що аналітико-синтетичний метод застосовують у при-родному зв’язку та органічному поєднанні з усією сукупністюінших методів.

Також широко поширені методи індукції та дедукції. Індук-ція і дедукція – форми умовиводу, за допомогою яких мисленнярухається від відомого до невідомого [13]. Методом неповноїіндукції розв’язуються арифметичні задачі, зокрема роблятьсявисновки, що збільшення “на кілька одиниць” відбувається задопомогою дії додавання, а “у кілька разів” – дії множення і т.д.Індуктивним методом учні користуються для засвоєння ряду ал-горитмів.

Наступним методом розв’язування задач є метод спроб, ос-новою якого є виявлення всіх логічних можливостей і вибір зних таких, котрі задовольняють умову задачі. Якщо логічнихможливостей, що відповідають умові задачі, кінцеве число, томоже виявитися можливим перебрати їх всі і в ході цього пере-бору виділити цілком задовольняючі умови. За допомогою цьогометоду розв’язуються, зокрема, елементарні задачі теоретико-числового змісту. Методом спроб з великим успіхом можна ко-ристуватися і для розв’язання багатьох логічних задач. Розвит-ком зазначеного методу служать деякі інші, наприклад, методирозв’язування в цілих чи раціональних числах невизначених рів-нянь і, зокрема, добре відомий метод розсіювання.

Ще один загальний прийом розв’язування задач – прийомзведення. Суть навчання даному методу полягає в тому, щоб на-вчити учнів бачити в даній задачі раніше розв’язану та зведеннюрозв’язуваної задачі за допомогою послідовних перетворень донеї. У цьому випадку відбувається дія за аналогією (аналогія –часткова схожість, деяка подібність у певному розумінні між

149

предметами або явищами).Якщо потрібно розв’язати рівняння, то звичайно складають

таку скінчену послідовність рівнянь, еквівалентних даному,останньою ланкою якої є найпростіше, стандартне рівняння.Аналогічно діють і при розв’язанні різного виду нерівностей,систем рівнянь та систем нерівностей.

Наприклад: знайдіть похідну f(x)=cos 2x•sin x+sin 2x•cos x.Загальновідомо, що cos 2x•sin x+sin 2x•cos x=sin(2x+x), тоді заформулою додавання f(x)=sin(2x+x) => f(x)=sin 3x. З отриманоїрівності знайти похідну дуже просто.

Вивченню прийому зведення в шкільному курсі сприяє тема“Розкладання многочленів на множники” , яка вивчається в сьо-мому класі. Але ще раніше використання цього прийому можнапродемонструвати при розв’язуванні текстових задач, коли вихі-дна задача зводиться до декількох простих задач.

В шкільному курсі алгебри даний прийом широко викорис-товується в тригонометрії (при розв’язанні рівнянь та нерівнос-тей). Так, на самому початку вивчення цієї теми учні засвоюютьосновні тригонометричні тотожності, потім формули додавання,зведення, суми і різниці. Далі виробляються вміння та навичкирозв’язування простіших тригонометричних рівнянь. Після цьогопереходять до більш складних виразів, але тепер формуютьсянавички по зведенню їх до простіших.

Розв’язування задач на доведення також в своїй основі маєприйом зведення: доводжуване твердження зводиться до ранішедоведених теорем та раніше введених аксіом і означень даноїтеми.

Взагалі, розв’язання більшості задач починається з того, щоз’ясовують, чи не можна її звести до простішої задачі, розгляну-тої раніше. Але не варто захоплюватися цим прийомом, оскількиє небезпека і надалі мислити “за шаблоном” .

Наступний метод – це моделювання. Цей метод має своєюосновою моделювання (математичне і предметне). Для моделю-вання залучаються різні математичні об'єкти: числові формули,числові таблиці, символьні формули, функції, рівняння алгебраї-чні чи диференціальні, нерівності, системи рівнянь та нерівнос-тей, геометричні фігури, різноманітні графосхеми, діаграмиВенна, графи і т. д.

150

Математичне моделювання знаходить застосування прирозв’язанні багатьох текстових (сюжетних) задач. Вже саме рів-няння, складене за умовою задачі, є її алгебраїчною (аналітич-ною) моделлю. Також цей метод широко застосовується при ви-вченні початків диференціального та інтегрального числення тапри розв’язуванні геометричних задач.

Моделювання в основному використовується прирозв’язуванні неалгоритмічних задач для подолання труднощів,які виникають в ході розв’язання. Коли для розв’язання даноїзадачі неможливо знайти відповідний метод чи спосіб, тоді дляданої задачі будують її модель, за допомогою якої шукаютьрозв’язок.

Для побудови будь-якої моделі необхідно виділити з задачівсі її елементи, всі її відношення, встановити шукане та вимоги.Якраз в цьому і полягає аналіз задачі. А якщо при цьому вибративдалу форму моделі, то тим самим можна просунутись врозв’язанні, бо саме розв’язання задачі і є побудова ланцюга мо-делей даної задачі.

Математичне моделювання дуже широко застосовується длявивчення реального світу, тому створення в учнів уявлення пройого суть, підведення їх до опанування кожного з етапіврозв’язання повинно стати предметом турботи вчителя матема-тики [14].

З графічним методом розв’язування задач учнів знайомлятьу 8-9 класах, розв’язуючи рівняння виду f(x)=0. Суть графічногометоду полягає в тому, що шукані розв’язки знаходяться або наперетині графіка з осями координат, або на перетині двох графі-ків. Графічний метод є незамінним як допоміжний, при набли-жених обчисленнях.

Метод доведення від супротивного базується на логічномузаконі виключеного третього: з двох супротивних тверджень од-не завжди правильне, друге – неправильне, а третього бути неможе. На основі цього закону доводять, що протилежне задано-му твердження хибне, тоді доводжуване твердження є істинним(правильним) [6].

Зрозуміло, що переліком охоплено не всі методирозв’язування математичних задач, які використовуються в зага-льноосвітній школі. Наприклад, учні відомого вчителя-

151

математика Р.Г. Хазанкіна різні ідеї з методами і способамирозв’язування задач систематизують і виписують разом з ілюст-руючими їх задачами. В арсеналі його учнів таких ідей та мето-дів розв’язування задач більше семидесяти. Учні київського вчи-теля І.А. Кушніра набір таких ідей, методів та прийомів назива-ють “джентльменським набором” [15].

Отже, проблема методу при розв’язуванні алгебраїчних за-дач включає в себе наступні складові:

– визначення методу як шляху дослідження;– встановлення складових методу;– аналіз методів розв’язування алгебраїчних задач як систе-

ми;– обґрунтування критеріїв засвоєння поняття методу;– визначення критерію вибору найраціональнішого методу

для розв’язання даної задачі.

Література1. Бевз В., Мерзляк А., Слєпкань З. Програма з математики для

загальноосвітніх навчальних закладів, 5–11 класи // Матема-тика в школі, 2003. –№6. – с. 1-14.

2. Нак М.М. Використання нестандартних методів та способівпри розв’язуванні алгебраїчних задач. // В зб. Дидактика ма-тематики: проблеми і дослідження. –Донецьк: ТЕАН, 2003. –В. 19. –С. 150-156.

3. Нак М.М. Методи розв’язування алгебраїчних задач в сучас-ній загальноосвітній школі: точка зору учнів // Вісник ЧДПУ,серія “Педагогічні науки” . – Чернігів, 2003. – В. 19. – С. 70-72.

4. Бевз Г.П. Методика розв’язування алгебраїчних задач у 6-8класах. Посібник для вчителів. – К.: Рад. школа, 1975. –240 с.

5. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьныхучебных задач. –М.: “Педагогика” , 1977. – 208 с.

6. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підруч. длястуд. мат. спеціальностей пед. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512 с.

7. Декарт Р. Міркування про метод, щоб правильно спрямову-вати свій розум і відшукувати істину в науках. / В. Андруш-

152

ко, С. Гатальська (пер. з фр.). –К.: Тандем, 2001. – 101 с.8. Столяр А. А. Педагогика математики. Курс лекций. –Минск:

Вышейшая школа, 1969. – 368 с.9. Пойа Д. Как решать задачу. Пер. с англ. – М.: Учпедгиз,

1961. – 207с.10. Лященко Е.И. Методические аспекты проблемы учебной за-

дачи. // В сб. Методика преподавания математики в среднейшколе. –Свердловск, 1984. –С. 3-11.

11. Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики. – СПб., 1903. –316 с.

12. Бевз Г.П. Методи навчання математики. – Х.: Вид. група“Основа” , 2003. – 96 с.

13. Власенко О.І. Методика викладання математики: Загальніпитання. –К.: Вища школа, 1974. – 208 с.

14. Шапиро И. М. Использование задач с практическим содер-жанием в преподавании математики: Кн. для учителя. – М.:Просвещение, 1990. – 96 с.

15. Самовол П.І. Методична система роботи із здібними та обда-рованими з математики учнями в середній школі.: Дис. …канд. пед. наук: 13.00.02. – К.: УДПУ ім. М.П. Драгоманова.– 1995. – 221 с.

153

ДЕЯКІ ШЛЯХИ ПОДОЛАННЯ НЕГАТИВІВНАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ СТУДЕНТІВ

ПРИ ВИКЛАДАННІ ЇМ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Л.В. Новікова, К.К. Коновалова,М.І. Горбатовм. Дніпропетровськ, Національний гірничий університет

pek57@mail.ru

Постановка проблемиБільшість студентів при навчанні їх вищої математики де-

монструє:1. Відсутність системних знань з шкільної математики.2. Сприйняття математики хаотичною множиною понять, що

відірвані від повсякденного життя і непотрібні для майбут-ньої роботи.

3. Точку зору, що знання математики – це знання її формул.4. Низький рівень швидкості математичної перетворювальної

діяльності.5. Низький рівень розвитку математичної мови та теоретич-

ного мислення, у зв’язку з чим перевага надається репродук-тивному стилю засвоєння навчального матеріалу.

6. Неспроможність користуватись вербальними орієнтирамипри виконанні математичної діяльності.

7. Прихильність до використання наочно-дійового та конкре-тного-образного видів мислення, із-за чого виникає проти-річчя між вербальним способом викладання знань та вжесформованими в школі способами їх сприйняття, засвою-вання, зберігання та відтворювання.

8. Відсутність знань про те, як правильно навчатись.Перелічені вище головні негативні особливості навчальної

діяльності студентів ставлять перед викладачами курсу “Вищоїматематики” складну психолого-педагогічну задачу: “Як органі-зувати навчальний процес таким чином, щоб “хвора” студентсь-ка більшість все ж таки засвоїла математику на своєму рівні пі-знавального розвитку і була мотивована цей рівень підвищува-ти?”

154

Психолого-педагогічне підґрунтя розробки деяких шля-хів розв’язання означеної проблеми.

Звернемось до педагогічної психології. В термінах цієї наукиозначена проблема звучить так: “Як під час навчання створюватиумови для формування когнітивних структур особистості?” , аперелічені негативні характеристики треба розуміти, як відобра-ження низького рівня сформованості когнітивних структур убільшості студентів.

Під поняттям “когнітивні структури” розуміється відобра-жена у свідомості людини концептуальна структура знань просвіт в цілому і про конкретну предметну галузь, зокрема. Іншимисловами, “когнітивна структура” – це певна поняттєва система,свідомо сприйнята особистістю в її феноменальному образі світу[1, с. 51].

Життєвий досвід людини, а в нього входять і мережі понят-тєвих систем, зберігається в семантичній пам’яті. Вона має осо-бисту структуру і зберігає в собі інформацію за притаманнимитільки їй принципами. В семантичній пам’яті (вид довготривалоїпам’яті) зберігаються поняття, їх атрибути (ознаки), властивості,зв’язки між поняттями.

Ефективному зберіганню будь-якої інформації в семантич-ній пам’яті, як дослідили психологи, сприяють:

1) подання інформації у вигляді логічних схем [2];2) попереднє ознайомлення суб’єктів навчання з «випере-

джаючими організаторами», в яких вже зафіксовані основнізмістовні відношення між поняттями [3];

3) загальна орієнтація суб’єкта навчання в навчальномуматеріалі, у зв’язках його родо-видо-типових об’єктів [4].

Когнітивний досвід людини, тобто її ресурси до зберігання,упорядкування та трансформації інформації, забезпечують пси-хічні механізми [5, с. 148]. Формою індивідуального когнітивно-го досвіду виступає, так званий, «ментальний простір», а в ког-нітивній психології для характеристики індивідуальної базизнань особистості його називають «знаннєвий простір». Остан-ній має властивості, які проявляють себе в особливостях інтелек-туальної діяльності, тобто навчанні і в особливостях взаєморо-зуміння [6].

Способи кодування знань – дійовий, образний та символіч-

155

ний, як способи суб’єктивного уявлення світу, у різних людейпроявляються по різному, залежно від того, якому виду мислен-ня суб’єкт надає переваги. Здатність до поняттєвого відображен-ня – найвища стадія інтелектуального розвитку і вона виступаєрезультатом інтеграції предметно-практичних, образно-просторових та словесно-мовленевих компонентів. Це положен-ня знайшло доведення в теорії П.Я. Гальперіна про поетапне фо-рмування понять та розумових дій.

Знання, що накопичуються в ментальному просторі, психо-логи підрозділяють на три види: декларативні, процедурні таопераційні, а разом з ними і відповідні види семантичноїпам’яті. Так, декларативна пам’ять зберігає семантичну мере-жу взаємопов’язаних понять, що мають різну активаційну силу;процедурна – правила виконання певних дій з поняттями, опе-ративна – інформацію, що актуалізується в конкретній діяльніс-ній ситуації [7]. Якого виду не були б знання, в них завжди пред-ставленні основні пізнавальні парадигми: «річ – її властивості,ознаки – співвідношення», «ієрархічна» та «системна».

В експериментально-генетичній психології досліджено, щорозумінню і засвоєнню навчального матеріалу сприяють графі-чні і знакові форми презентації знань. На увазі мається моде-лювання змістовних відношень понять та дій – перетвореньнад ними, завдяки якому виникають найбільш сприятливі умовидля формування і розгортання мислительної діяльності суб’єктанавчання. Моделі навчального матеріалу стають зовнішнімиматеріальними опорами для оперування у внутрішньому планіі прискорюють процес усвідомлення необхідних знань [8, с. 35].

Організація навчання за принципами генетичної психологіїпередбачає, що викладач:

1) зробить попередній логіко-психологічний аналіз навчаль-ного матеріалу;

2) виділить в ньому головні поняття, що розкривають зміс-товні відношення об’єктів навчального матеріалу;

3) розробить наочні моделі змістовних відношень;4) відобразить навчальну інформацію в інформаційному те-

заурусі. Останній повинен містити в собі вже упорядковані де-кларативні, процедурні та оперативні знання.

Теорія тезаурусного підходу до навчання широко розкрита в

156

наукових працях провідних вчених психологів України та зару-біжжя. Вже сформульовані основні принципи розробки тезауру-сів – своєрідної форми фіксації наукових знань і доведено, щотезаурусний спосіб навчання сприяє процесу набуття суб’єктаминавчання експертних знань і оволодіння ними наукових підхо-дів до сприйняття, засвоєння та відтворення наукової інформації[9, 10].

Зміст підходів до подолання негативів навчальної діяль-ності студентів при навчанні їх вищої математики.

Враховуючи той факт, що навчальний матеріал не містить всобі «рецептів» до його засвоєння, а засвоїти студентам необхід-но систему знань, тобто декларативні, процедурні та оперативні,ми розробили (на основі логіко-психолгічного аналізу курсу ви-щої математики) наочні моделі навчального матеріалу. Головназ них має назву «Карта», допоміжні – «Сходи», а ті, що деталі-зують «Карту» і «Сходи» являють собою логічні блок-схеми[11, 12].

Всі моделі навчального матеріалу відображують головні змі-стовні відношення його понять: «Карта» – родових, «Сходи» –видових, блок-схеми – типових в даному виді.

Попереднє ознайомлення студентів (за допомогою моде-лей) з номенклатурою об’єктів навчального матеріалу, їх родо-видо-типовими зв’язками, особливостями розвитку навчальногоматеріалу від простішого до складного, маршрутом його викла-дення привчає студентів до загального орієнтування в навчаль-ному матеріалі; висвітлює їм різноманіття напрямків, в яких не-обхідно буде прикласти інтелектуальні зусилля, відмінні від зви-чних – репродуктивних; ставить перед ними дуже інтимне пи-тання: «Чи спроможний я навчатися»?

Як показало опитування, приблизно третя частина студентівпідтримує ідею попереднього ознайомлення їх з улаштуваннямнавчального матеріалу, особливостями його засвоєння. Останнідві третини не відчувають великої користі для себе в пропонова-ному підході до навчання. Але цей, не дуже втішний факт, урів-новажується попитом студентів до формування та використанняпри навчанні так званого «Особистого довідника студента». Вньому зафіксовані номенклатура об’єктів навчального матеріалу,

157

основні змістовні відношення між ними в певних розділах, а та-кож операційна складова предметних знань у вигляді алгоритмівдій в тих чи інших стандартних обставинах [13, 14].

Користуючись довідником, студенти свідомо з притаманни-ми їм швидкостями мислительної діяльності засвоюють навчаль-ний матеріал і набувають умінь і навичок наукового пізнання,яке здійснюється за схемою (спрощеною): означення поняття,його властивості і ознаки, де і як пристосувати.

«Особистий довідник студента» суттєво сприяє поповненнюстудентами індивідуальної бази знань, розширенню їх «знаннє-вого простору» бо структура зафіксованої в ньому інформаціївідповідає структурі семантичної пам’яті.

ВисновкиТрадиційне навчання вищої математики в меншій мірі здат-

не мотивувати навчальну діяльність студентів ніж сучасні підхо-ди до навчання, які розроблені в педагогічній психології на ос-нові ґрунтовних досліджень семантичної пам’яті, її структури тапринципів функціонування. Викладач сьогодення повинен, ви-рішуючи проблему подолання негативів навчальної діяльностістудентів, враховувати психологічні закони формування когні-тивних структур особистості і чітко собі усвідомлювати, що самевід нього в значній мірі залежить «кінцевий продукт» його педа-гогічної діяльності – прогресивно змінені когнітивні структурибільшості студентів, які дозволяють студентам оволодіти експер-тними знаннями, наблизитись до експертного мислення.

Література1. Носенко Е.Н., Заярна І.М. Формування когнітивних структур

особистості як проблема психології навчання: Монографія.-Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2002. –204 с.

2. Bover G.H., Blak J.B. & Tunner T. Skripts in memory for theCognitivе Psуchology. – 1979. –№11. – Р. 177–220.

3. Ausubel D.P. Human memory: Theory & practice. – Boston: Al-lyn and Bacon. – 1990. – 320 p.

4. Ляудис В.Я. Память в процессе развития. –М.: Изд-во МГУ.– 1976.

5. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследо-

158

вания. – Томск–Москва: Изд-во Томск. ун-та, изд-во “Барс” .– 1997. – 392 с.

6. Величковский Б.М., Капица М.С. Психологические пробле-мы изучения интеллекта. – В кн.: Интеллектуальные процес-сы и их моделирование. –М.: Наука, 1987. –С. 120-141.

7. Носенко Е.Н., Заярна І.М. Структурно-динамічні характерис-тики експертного знання і шляхи встановлення рівня освіче-ності в процесі навчання. // Зб. наук. праць Ін-ту психологіїім. Г.С. Костюка АПН України. – Вип. 20. – 2000. – С. 108-114.

8. Максименко С.Д. Основи генетичної психології: Навчальнийпосібник. –К.: НПЦ Перспектива, 1998. – 220 с.

9. Носенко Э.Л. О развивающем потенциале тизауросного под-хода к формированию когнитивных структур личности. // Вкн.: Шляхи розвитку особистості під час навчання. – К.: Ін-тут психол. ім. Г.С. Костюка АПН України, 1993.

10. Носенко Е.Л. Професійно-орієнтований дидактичний тезау-рус як новий тип підручників для навчання іноземній (англ.)мові для спеціальний цілей // Вісник Міжнародної асоціаціївикладачів англ. мови як іноземної (укр. відділення). – Вип.13. –Т. 1. – Київ. – 1998. –С. 18-23.

11. Konovalova К. Optimization of teaching mathematics in a tech-nical higher school. 3-rd International Conference on Quality,Reliability and Maintenance. Professional Engineering PublishingLimited, Bury St Edmund and London, LLK, 2000, p. 311-314.

12. Коновалова Е.К. Зрительные и словесные ориентиры приобучении высшей математике студентов технического вуза.// 31-th International Symposium “Engineering Education 2001” .–С. Петербург, Россия. – 2002.

13. Konovalova K. “Personal student’s guide” on teaching andstudying. 30-th International Symposium “Engineering Education2001” . – Klagenfurt, Austria. – 2001

14. Коновалова К.К., Горбатов М.І. Особистий довідник студен-та з вищої математики (частина друга) – Дніпропетровськ:НГА України, 2002. – 21 с.

159

ШЛЯХИ ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІВИВЧЕННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ У ВУЗАХ

Ю.І. Овсієнком. Полтава, Полтавська державна аграрна академія

Ovsienko1977@rambler.ru

Вища школа – рушійна сила суспільного та соціального про-гресу. Відповідно до закону України “Про освіту” та державноїнаціональної програми “Освіта” сучасний процес становленнямає методологічною основою такі провідні принципи: фундаме-нтальність, варіативність та альтернативність, гуманізація та гу-манітаризація навчально-виховного процесу [1]. Вихід науки ітехніки на світовий рівень, відродження та зміцнення науковогопотенціалу нації, конкурентоспроможність всіх видів продукції,в тому числі й інтелектуальної, вимагає високого відповідногорівня математичної підготовки молоді. Адже саме математикарозвиває інтелектуальні можливості особистості, даючи конкре-тні знання для цілеспрямованого становлення майбутнього спе-ціаліста; формує вміння логічно мислити, розкриває принципиструктурності, системності, співвідношення часткового і загаль-ного, має досить вагоме значення для формування у студентівмасштабності мислення; виховує графічну та інформаційнукультуру, розвиває просторову уяву та абстрактне мислення[2, 3].

У вищій школі математика допомагає формуванню багато-гранної професійно-компетентної особистості, яка забезпечуєзагальноосвітню, загальнокультурну, професійну та наукову під-готовку фахівця.

Вища математична освіта сучасного спеціаліста включає ви-вчення загального курсу математики і спеціальних математичнихкурсів (методи оптимізації, статистичний аналіз, економіко-математичні методи, математичне програмування і т.д.). Загаль-ний курс вищої математики є фундаментом математичної освітиспеціаліста.

Процес навчання у вузі має деякі суттєві відмінності від ана-логічного процесу в середній школі. Зокрема, змінюється спосібподачі навчального матеріалу і перевірки засвоєного.

160

Для засвоєння матеріалу курсу вищої математики передба-чаються наступні традиційні види навчальної роботи: лекційні тапрактичні заняття, консультації, виконання індивідуальних за-вдань та контрольних робіт, підготовка до заліків та екзаменів.

Постає проблема “вирівнювання знань” студентів і, на осно-ві цього, опанування нових розділів вищої математики, які частоє логічним продовженням шкільного курсу математики. Для під-вищення його ефективності можливе введення диференціації яку шкільній системі освіти, так і створення на базі вузів навчаль-них комплексів. Однією із складових таких комплексів є підго-товчі відділення, що сприяють професійній орієнтації школярів,забезпечують необхідними знаннями вступників до вищих на-вчальних закладів, дають можливість участі у олімпіадах, конку-рсних заходах. При тісній та плідній співпраці комплексів“школа – вуз” , випускні екзамени, призові місця у олімпіадах таконкурсах є пільговими або, навіть, вступними до відповіднихвищих навчальних закладів освіти [5]. Підготовка ведеться заузгодженими програмами, що передбачають поглиблене вивчен-ня предметів, які виносяться на вступні іспити.

Такі навчальні комплекси не лише готують абітурієнтів довступу у той чи інший вуз, а й змінюють пояснювально-інформативний тип навчання математиці на розвиваючий, само-стійний та творчий процес. Учні привчаються до пошуку, аналізута обробки інформації, використання математичних методів,розвивають цікавість та формують схильність до самоосвіти [4].Прикладом такого роду навчальних комплексів є підготовче від-ділення Запорізького державного університету та Недільний ма-тематичний клас “Біном” на базі Кременчуцького інституту еко-номіки і нових технологій.

Одним із способів “підтягування знань” є самостійна роботастудентів над вивченням, закріпленням, перевіркою та контро-лем навчального матеріалу. Окрім традиційного (робота з літера-турою), широкого вжитку набувають комп’ютерні технології, щовиступають синтезом вищої математики та інформатики це пи-тання розробляють: М.І. Жалдак, Н.І. Ляшенко, Т.В. Ткаченко,О.В. Бабич, О.П. Губачов, Т.В. Константинова та інші.

Використання комп’ютерної техніки при вивченні вищої ма-тематики у вузах викликає все більший інтерес у процесі підго-

161

товки студентів, оскільки має ряд переваг.Інтенсифікація навчального процесу, коли комп’ютер висту-

пає об’єднуючим ланцюгом всіх форм навчально-пізнавальноїдіяльності: аудиторних, контрольних, самостійних робіт.

Активізація аналітичної діяльності – не лише відтворенняінформації, а й оперування нею. Засвоєння складних абстрактнихтеоретичних понять, шляхом їх моделювання.

Демократизація методики викладання – послабленнясуб’єктивного фактору, зняття емоційного та психологічногонавантаження при спілкуванні з ЕОМ.

Контролюючі комп’ютерні програми, які досить часто ма-ють вигляд тестів, схем, є доступними для розуміння студентів.Швидкість у обробці та оцінці відповідей дає змогу безпосеред-ньо аналізувати помилки та недоліки, використовуючи підказки,посилання.

Унаочнення теоретичного матеріалу, який містить не лишезвичний текст з поясненнями, формулами, графіками та ілюстра-ціями, а й має схеми, діаграми, алгоритми розв’язання типовихзадач (електронні таблиці Exсel).

Можливість копіювання, збереження та відтворення інфо-рмації дає змогу використовувати окремо-взяті алгоритмирозв’язування попередніх (раніше засвоєних) задач як компонентабо синтез у рішенні задач наступних.

Застосування спеціалізованих систем комп’ютерної мате-матики (Maple, Matlab, MathCAD, Derive) [3].

Розширення можливостей самостійного навчання із враху-ванням індивідуальних, психологічних та фізіологічних особли-востей студентів. Розвиток інформаційних телекомунікаційнихмереж дає новий імпульс системам дистанційного навчання, за-безпечуючи доступ до бібліотек всього світу [2, с. 52].

Неоціненним є доступність до довідкової інформації, інстру-кцій, демонстрацій, обчислювальних операцій. Комп’ютерні за-соби мультимедіа дозволяє використовувати практичні можли-вості відео- і аудіоінформації.

Враховуючи можливості реалізації програм на ЕОМ та гра-фічної їх інтерпретації, студент може, змінюючи певні парамет-ри в умові, безпосередньо прослідковувати їх вплив на результа-ти обрахунків, кількість розв’язків задачі. Це дозволяє відчути

162

себе у ролі дослідника, експериментатора, спонукаючи до новихпошуків. Можливість оформлення відповідей та розв’язків у ви-гляді діаграм, таблиць, схем із використанням кольорових таграфічних ефектів перетворює точну дисципліну у більш наочну,живу, образну.

Застосування комп’ютерної техніки не зменшує ролі викла-дача, а, навпаки, лише вміння так змоделювати пізнавальнийпроцес студентів, організувати комп’ютерні експерименти і на-вчальний процес, щоб студенти самостійно робили “відкриття” ,будували власні когнітивні моделі.

Навчання приносить користь, коли учень сам прагне навчи-тися і оволодіти новими знаннями та навичками, відчути потребуу наступній практичній роботі.

Наступним кроком “поліпшення знань” студентів з вищоїматематики є заохочення та формування інтересу до самогопредмету вивчення. Емоційний фактор є рушійним при само-стійній роботі студентів. Позитивний настрій створюється нелише при усвідомленні необхідності набуття певної системизнань, а й при формуванні інтересу до самого предмету, його пе-рспективності, тісного зв’язку з майбутньою обраною професі-єю. Матеріал для вивчення підбирається таким чином, щоб сту-денти бачили можливість його застосування не лише на схема-тичних моделях життєвих процесів, а й на прикладних задачах.Студента необхідно переконати у тому, що математика – розділнауки, без якого неможлива ніяка інша її галузь; її поняття, уяв-лення і символи виступають тією мовою, якою говорять, пишутьі думають інші науки. Вона пояснює закономірності складнихявищ, зводячи їх до простих елементарних явищ природи, вонапередбачає і прогнозує з великою точністю хід подій. Математи-ка є не стільки засобом для розуміння законів природи, скількизасобом мислення.

Нами розглянуто лише деякі способи підвищення ефектив-ності навчання вищої математики у вузі. Питання застосуванняметодів навчання, які забезпечують набуття студентами творчихумінь, розвиток їхньої пізнавальної самостійності, індивідуаль-них творчих здібностей, потребує подальшого розгляду.

163

Література:1. Закон України. Про внесення змін і доповнень до Закону

Української РСР “Про освіту” . –К.: Генеза, 1996. – 36 с.2. Слєпкань З.І. Наукові засади педагогічного процесу у вищій

школі. –К.: Зодіак–ЕКО, 1999.3. Подошвелев Ю. Об’єктивність використання систем

комп’ютерної математики в навчальному процесі // Імідж су-часного педагога. – 2003. –№1. –С. 38-41.

4. Постельняк Н.Г. Концепция организационной и учебно-методической работы воскресного математического класса //Регіональні Перспективи. – 2001. –№1. –С. 35-37.

5. Толок В., Волкова Т., Звьодочкіна О. Диференційований під-хід при вивченні математики на підготовчих відділенняхшкіл комплексу ЗДУ // Імідж сучасного педагога. – 2003. –№5-6. –С. 128-131.

164

ПРО ДЕЯКІ ПРОБЛЕМИ ВИКЛАДАННЯМАТЕМАТИКИУ ВИЩИХ ТЕХНІЧНИХ ЗАКЛАДАХ

В СУЧАСНИХ УМОВАХ

Є.І. Орлюкм.Житомир,Житомирський військовий інститут

радіоелектроніки ім. С.П. Корольоваorlyuk@ipst.edu.ua

Розмірковуючи про проблеми методики викладання матема-тики у вищих технічних закладах, мимоволі виникає питання – ачи можна сказати щось нове в цій царині людської діяльності?Хіба за останні, принаймні п’ятдесят років не все сказано про те,як найефективніше доносити живий дух математики до тих, хтосидить на студентській лаві?

Така думка дійсно може виникати, але ж як усяка проблемаоптимального керування, задача правильного вибору методич-них прийомів та заходів з метою надання допомоги тим, хто на-вчається, повністю зрозуміти та засвоїти навчальний матеріал,залежить, в першу чергу, від вхідних даних – в даному випадкувід рівня математичної підготовки тих, хто першого вересня впе-рше відчиняє двері аудиторій.

Якщо цей рівень змінюється, то й методика викладання неповинна залишатися незмінною. Сьогодні можна констатуватифакт – середній рівень математичної підготовки випускниківнаших шкіл дійсно змінюється, але на жаль, в сторону зниження.В чому причина такого явища?

В жовтні 2001 року російські вчені, що зібралися в Матема-тичному інституті РАН імені В.А.Стеклова, обговорювали стансправ в освіті і казали, перш за все, про зниження якості викла-дання математики. В сучасній школі фундаментальні дисциплінивідходять на другий план, їх відтісняють так звані комунікативніпредмети, на кшталт “Основи безпеки життєдіяльності” . Акаде-мік В.І. Арнольд, знайомий з новою американською програмоюосвіти, навів приклад, що тепер у США вирішили вимагати відшколярів вміти ділити 111 на 3, не використовуючи комп’ютер. Іце не жарти! Раніше більшість штатівських школярів не вміливиконувати цю дію ні в умі, ні на папері. “Здається, – сказав Ар-

165

нольд, – що і в Росії збираються звести викладання математикидо такого рівня!”

Ситуація в Україні, звичайно, нічим суттєво не відрізняєтьсявід російської.

А значить для того, щоб в стінах вищого навчального закла-ду якось залатати прогалини шкільної освіти, необхідно для цьо-го виділити певний час, якого в навчальній програмі не передба-чено. А тому виникає потреба деякої її корекції. Погано, якщостудент під час навчання у вищому навчальному закладі неотримає деяких конкретних знань по математиці, що безпосере-дньо необхідні йому для його праці за спеціальністю, якщо вінне вивчить необхідні йому методи та теореми. Але все це можнавиправити, якщо він отримує при цьому необхідну математичнукультуру, міцний фундамент математичних знань та здатністьсамостійно поповнювати свою освіту.

Ще один момент нашого сьогодення, що суттєво впливає назміст та методику викладання математики – це комп’ютеризаціяпроцесу навчання і використання сучасних програмних засобів.

Викладання математики завжди супроводжувалося викорис-танням певних обчислювальних засобів. Але як швидко вонизмінюються з часом! Ще в 1975 році, коли в Радянському Союзібула прийнята нова – на той час – програма з курсу вищої мате-матики для інженерно-технічних спеціальностей вищих навчаль-них закладів, то одним з пунктів її змісту було – “обчислення задопомогою найпростіших засобів (обчислювальна лінійка)” . Іпершою лабораторною роботою, яка планувалася в курсі, буларобота – “Дії на обчислювальній лінійці” .

Але вже на початку 80-х років в навчальному процесі почи-нають широко використовуватися мікрокалькулятори, і не тількияк засіб обчислення, але й як пристрої, що допомагають розібра-тися з якісними математичними питаннями. Відповідно в тема-тичному плані дисципліни “Вища математика” з’являється ціланизка лабораторних робіт, які виконуються з використанням са-ме програмованих мікрокалькуляторів.

Та недовгим був і цей період – прийшла ера ПЕОМ із’являються програмні засоби для виконання на комп’ютері різ-номанітних математичних та технічних розрахунків, які надаютьможливість користувачу працювати з формулами, числами, гра-

166

фіками та текстами. Бурний розвиток програмних засобів ПЕОМпривів до створення різноманітних високоякісних математичнихпакетів, таких як MathCAD, Derive, MATLAB та інших. Звільня-ючи курсанта чи студента від рутинних обчислень, ці пакети до-зволяють розв’язувати змістовні задачі та спілкуватися зкомп’ютером на рівні математичних понять, ідей, загальних під-ходів. Це особливо важливо для розвитку творчого, критичногомислення, так як той, хто працює в цьому середовищі, може все-бічно досліджувати поставлену математичну проблему, робитиузагальнення, використовуючи широкий набір засобів для реалі-зації графічних, аналітичних та числових методів розв’язку ма-тематичних задач. Більше того, перекладаючи громіздкі обчис-лення на комп’ютер, на практичних заняттях можна розглядатицікаві приклади, які звичайно не включаються в навчальний курсчерез складність.

Але за всіма цими позитивними моментами постають питан-ня – де , на якому етапі вивчення вищої математики, треба почи-нати використовувати ці чудові програмні засоби, як їх требавикористовувати, в якому об’ємі?

Це дуже серйозні дидактичні питання, від відповідей на якізалежить сама структура курсу вищої математики та підхід дометодики його викладання.

В різних вузах накопичується певний досвід впровадженнякомп’ютерних технологій при навчанні математики, відбуваєтьсяпошук найефективніших форм та методів використання програ-мних продуктів.

Хочеться поділитися певним досвідом використання мате-матичного пакету MathCAD 2000 при викладанні вищої матема-тики в Житомирському військовому інституті радіоелектронікиім. С.П. Корольова, обґрунтувати ті відповіді, які дає колективкафедри на поставлені вище питання.

Пакет MathCAD був вибраний для використання в навчаль-ному процесі тому, що однією з позитивних його якостей є прос-тота у вивченні та використанні. Але головним є те, що вMathCAD застосовано унікальний метод візуалізації даних, сутьякого полягає в тому, що формули в документі виглядають таксамо, як на папері, що дуже спрощує роботу користувача.

Щоб працювати з деяким програмним продуктом треба,

167

перш за все, вміти взагалі працювати з комп’ютером, а тому буловирішено, що наші курсанти та студенти – а в інституті навча-ються не тільки курсанти, але й студенти за контрактом – впершезустрінуться з комп’ютером на заняттях з вищої математики вкінці першого семестру вже після того, як вони достатню кіль-кість годин відпрацюють за комп’ютером на кафедрі інформати-ки.

Але володіючи певними навичками роботи за комп’ютером,треба вміти працювати саме з даним математичним пакетом. Хтоповинен навчати цьому курсанта? Кафедра інформатики чи ка-федра математики? Ми вважаємо, що це повинні робити самематематики.

Тому найперша лабораторна робота в нашому лабораторно-му практикумі на ПЕОМ – це “Знайомство з пакетом MathCAD” .(Пригадуєте першу лабораторну роботу 75–го року?) Напередо-дні цього заняття кожний курсант отримує ґрунтовні методичнірекомендації з вказівками щодо роботи в цьому середовищі збагатьма прикладами, які якраз і охоплюють тематику наступнихлабораторних робіт першого семестру. Інтенсивна індивідуальнапраця з цими методичними вказівками за комп’ютером під кері-вництвом двох викладачів протягом 90-то хвилин дає можли-вість опанувати правилами роботи з документом в MathCAD таознайомитися з можливостями цього пакету.

І ось вже після цього заняття ми можемо переходити до го-ловної задачі – використанню MathCAD як засобу поглибленняматематичних знань. В який спосіб? Це визначається відповіддюна питання – яку мету ми ставимо, впроваджуючи комп’ютер внавчальний процес? Наш головний тезис – грамотне застосуван-ня математичних пакетів в навчальному процесі забезпечує під-вищення фундаментальності математичної освіти.

А яке ж воно повинно бути – грамотне застосування? І яквпливає впровадження комп’ютера на тематичний план дисцип-ліни, на вибір тих питань, що повинні розглядатися на, скажемотак, традиційних практичних заняттях?

Комп’ютер за якусь мить видає результат добутку двох мат-риць – то що, не потрібно майбутнього інженера на практичномузанятті навчати як виконується це множення?

Варто тільки правильно ввести позначення біля осей коор-

168

динат та клацнути мишею зовні прямокутної рамки – із’являється графік потрібної функції. То може і не варто витра-чати так багато часу в курсі вищої математики на дослідженняфункцій?

Ми вважаємо, що використовувати математичні пакети по-трібно для того, щоб поглиблювати знання тих, хто навчається,підіймати рівень їх розуміння математичних понять на вищийщабель. Саме так – поглиблювати та підіймати. Тобто вже пови-нні бути у хлопців та дівчат розуміння математичних понять танавички роботи з ними, що одержані на лекціях та практичнихзаняттях.

Не можна давати обчислювати добуток матриць на ПЕОМ,якщо першокурсник не вивчив, як це треба виконувати на папері;не можна починати обчислювати границі функцій в середовищіMathCAD, якщо не було жодного практичного заняття по ви-вченню прийомів та методів знаходження цих границь; не можнаставити завдання будувати траєкторію системи диференціальнихрівнянь та досліджувати характер точки спокою, якщо попере-дньо не було добре засвоєно саме поняття стійкості розв’язку.

А тому наші лабораторні практикуми на ПЕОМ і стоять всамому кінці кожного семестру, щоб на них творчо розвинутивсе те, що вже було накопичено на, так званих, традиційних за-няттях.

Як показує досвід, саме така система, на наш погляд, дійснозабезпечує підвищення фундаментальності математичної освіти.Так, на занятті “Побудова графіків функцій” курсанти не тількивчаться отримувати графіки функцій в декартовій, полярній сис-темі координат та функцій, заданих параметрично, але й міняю-чи масштаб на осях, мають можливість детально вивчати поведі-нку графіка функції на певному інтервалі.

На лабораторній роботі “Дії над матрицями. Обчислення ви-значників” курсанти не просто знайомляться з тим, як викону-ються відповідні операції в MathCAD, але й при роботі з конкре-тними визначниками, роблячи розрахунки, отримують підтвер-дження всіх тих властивостей визначника, які були вивчені ра-ніше.

Скільки додаткової інформації отримує курсант на лабора-торній роботі “Розклад функцій в ряд Фур’є” , коли він не просто

169

відшукає цей ряд, але й побачить графіки часткових сум для різ-ної кількості доданків на фоні графіка функції, що розкладаєтьсяв ряд!

Шукати композицію законів розподілу випадкових величинне дуже просто. Але розібравшись в алгоритмі цього процесу,приємно бачити як швидко це можна зробити, використовуючиMathCAD.

І такі приклади можна наводити по кожній лабораторній ро-боті, бо кожна з них містить елементи творчого осмислення ра-ніше засвоєних математичних понять, для якого пакет MathCADдає великі можливості.

Цей програмний пакет використовується нами також і припроведенні лекцій, в першу чергу для полегшення сприйманняважких математичних понять. Чого тільки варта демонстрація налекції в курсі аналітичної геометрії різноманітних поверхонь, щорозглядаються в просторі з різних точок!

Видатному французькому математику Симеону Пуассонуналежить блискуча фраза – “Життя прекрасне двома речами –можливістю вивчати математику та можливістю викладати її” .

А тому різноманітні методичні прийоми та методи дадутьмаксимальний ефект тільки тоді, коли і викладачі, і ті, хто навча-ється, будуть відчувати радість від своєї праці.

170

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРАПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ВЫПУКЛОСТИ

И ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ

В.И. Павлищев, В.Е. Ткаченког. Днепропетровск, Национальный горный университет

В учебной литературе для технических вузов доказательствовторого достаточного условия экстремума и признака выпукло-сти графика проводится в основном с использованием теоремыЛагранжа [3, 4]. Существует также второй способ доказательствауказанных признаков с использованием формулы Тейлора [1, 2].Суть данного метода в следующем. Пусть y=f(x) дважды диффе-ренцируемая функция на (а, b). Формула Тейлора для f(x) приn=1 имеет вид

y=f(x0)+f(x0)(x–x0)+2

1f''(z)(x–x0)

2, (1)

где z=x0+θ(x–x0), θ∈ (0, 1), x, x0∈ (a, b).Уравнение касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке

x0, есть прямаяyкас=f(x0)+f'(x0)(x–x0), (2)Из равенств (1) и (2) следует

y–yкас=2

1f''(z)(x–x0)

2, (3)

где z∈ (a, b).Из условия (3) получаются необходимые и достаточные ус-

ловия выпуклости (вогнутости) графика функции:Теорема: Если функция y=f(x) имеет на интервале (а, b) ко-

нечную неотрицательную (неположительную) вторую производ-ную, то график функции y=f(x) вогнутый (выпуклый).

Так как в окрестности экстремальной точки график диффе-ренцируемой функции выпуклый или вогнутый, то второе доста-точное условие (y'(x0)=0, y''(x0)≠0) и третье достаточное условие(y'(x0)=y''(x0)=y(n)(x0)=0, y(n+1)(x0)≠0) рекомендуем формулироватькак следствие рассмотренной выше теоремы.

Следствие. Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируемана интервале (а, b) и для x=x0 f'(x0)=0.

Тогда

171

1) при f''(x0)<0 (или f''(x0)=0 и f''(x0)<0 в окрестности точкиx0) точке x0 соответствует max;

2) при f''(x0)>0 (или f''(x0)=0 и f''(x0)>0 в окрестности точкиx0) точке x0 соответствует min;

3) если f''(x0)=0 и f''(x) изменяет знак при переходе черезточку x0, то точке x0 соответствует точка перегиба.

Указанная методика изложения материала успешно апроби-рована авторами. Применение ее позволяет компактно и нагляд-но изложить материал и, соответственно, экономить лекционноевремя. Отмечается заинтересованность студентов к данному из-ложению по сравнению с общепринятым.

Литература1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.

Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука,1980. – 432 с.

2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математи-ческий анализ. –М.: Наука, 1979. – 720 с.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшейматематики. –М., 1986. – 576 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное ис-числения. Том 1. –М.: Наука, 1978. – 456 с.

172

ВИХОВАННЯ УВАГИ НА УРОКАХМАТЕМАТИКИ

Л.І. Петрушинам. Кривий Ріг, Середня школа №99

school99@mail.ru

Важлива умова ефективності навчально-виховного процесу– вміння вчителя організувати на уроці увагу дітей. К.Д. Ушин-ський вважав увагу основною умовою успішного навчання.“Увага – ті єдині двері нашої душі, через які усе із зовнішньогосвіту, що тільки входить у свідомість, неодмінно проходить: от-же, цих дверей не може проминути жодне слово навчання, інак-ше воно не попадає в душу дитини. Зрозуміло, що привчити ди-тину держати ці двері відчиненими є справа великої важливості,на успіху якої ґрунтується успіх цього навчання” , – писав вели-кий педагог.

Уважно слухаючи пояснення на уроці, учень легко сприй-має, усвідомлює, запам’ятовує зміст нового матеріалу і тим са-мим полегшує свою подальшу роботу з виконання відповіднихзавдань. Немає жодної сторони розумової діяльності, яка здійс-нювала б без достатнього вольового напруження у вигляді дові-льної уваги.

“Увага!” Дужу часто з цим словом звертається учитель досвоїх учнів, спонукаючи їх зосередитися на тому, що він гово-рить й показує, що цілеспрямовано організувати їхню діяльність.Але одного звертання для цього не завжди буває достатньо.

Тому поряд з розв’язуванням на уроці різних виховних за-вдань потрібно надавати великого значення вихованню довіль-ної уваги учнів. Звичайно, це вимагає чіткої організації уроку,підготовкою до нього, ретельним продумуванням його змісту,методів та форм роботи. Важливо включати в урок спеціальнівправи та завдання для усної лічби, які спрямовані на формуван-ня уваги.

Дуже важливо організувати увагу учнів на початку уроку, цеобумовлює увесь його подальший хід.

З метою мобілізації уваги учнів на початку уроку прово-диться усна лічба з елементами гри. Наприклад, у першому класіпропонується гра “Будь уважним” . На набірному полотні виста-

173

влено 7–8 різних предметних малюнків. Протягом 10 с учні роз-дивляються і запам’ятовують їх. Учитель закриває предметнімалюнки і пропонує дітям їх назвати.

Гра має декілька варіантів. можна, наприклад, запропонува-ти назвати малюнки послідовно; можна поміняти місцями 2–3 ізапитати, що змінилося на набірному полотні; можна забрати щеодин малюнок і поцікавитися, що зникло.

Можна замінити предметні малюнки геометричними фігу-рами.

- Які фігури зображені на малюнку?- Скільки їх?- Якого кольору?- У якій послідовності вони зображені?- Скільки трикутників? Квадратів? Прямокутників?Часто під час письмового множення та ділення, при обчис-

ленні виразів на порядок виконання дії учні допускають помилкиу розв’язанні через свою неуважність. Пропускають операції(4500 : 9 = 5), плутають арифметичні дії (340 · 8 = 348), роблятьпомилки під час списування з дошки, підручника. Попереджен-ню цих помилок сприяють такі завдання: запам’ятати протягом 5с числовий ряд:

5 12 41 3 6 8 32 19Записати з пам’яті найбільше і найменше числа, знайти їх

суму.Або, впродовж 5 с запам’ятати числовий ряд:2 7 1 3 5 8 4Знайти суму усіх чисел.На закріплення знань таблиці множення можна запропону-

вати такі завдання.1. На дошці записати добутки:2 · 9 6 · 4 4 · 103 · 6 2 · 4 · 3 5 · 4 · 22 · 3 · 3 3 · (2 · 2 · 2) 2 · 2 · 10(3 · 3) · 2 (2 · 2) · (3 · 2) 8 · 56 · (1 · 3) 6 · (2 · 2) (2 · 5) · (2 · 2)Що ви помітили у кожному стовпчику?(У кожному стовпчику записані добутки чисел. У першому

174

стовпчику добуток дорівнює 18, у другому – 24, у третьому –40).

2. Знайдіть рівності, не виконуючи обчислень:9 · 5 (2 · 2) · (3 · 2)7 · 8 (2 · 3) · (3 · 3)6 · 9 7 · (2 · 2 · 2)4 · 6 3 · 3 · 5Під час вивчення у ІV класі теми “Нумерація багатоцифро-

вих чисел” доцільно використовувати такі ігри та вправи:1. Стовпчики чисел:1) 236070 2) 35999 3) 1100 4) 10010

236679 35909 999999 9999236000 35090 400099 100001

- Чим схожі числа першого та другого стовпчиків?- У чому їхня відмінність?- Назвіть “сусідів” кожного числа у третьому та четве-

ртому стовчику.2. На дошці записано число 672.Які нові числа можуть дістати, якщо поміняти місцями циф-

ри? (276, 762, 267, 726, 672, 627).3. На дошці записаний вираз:6 + 4 · 10 : 5 – 3Розставте дужки так, щоб його значення було найбільшим.Цікавим видом роботи на уроках математики, який сприяє

розвитку логічного мислення, уваги дітей, є робота з шифрогра-мами.

1. Користуючись цифровим позначенням літер українськогоалфавіту, прочитайте слова:

6, 11, 3, 1, 18 (диван) 16, 12, 23, 19 (літо)17, 1, 17, 1 (мама) 15, 21, 1, 14 (край)2. Зі слова “буряк” зробити слово “заєць” . Аналогічно зі

слово “літо” зробити слово “зима” .Б У Р Я К Л І Т О+ - - - + · · · ·8 22 13 6 16 · · · ·З А Є Ц Ь ЗИМА

Учні полюбляють вправи, у яких їм доводиться міркувати,порівнювати, спостерігати, зіставляти, робити висновки, а це

175

сприяє виробленню стійкої уваги, що, звичайно, не може невпливати, на організацію самого уроку, на засвоєння знань, наформування умінь та навичок.

176

НЕОБХІДНІСТЬ ВПРОВАДЖЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВТЕОРІЇ ГРАФІВ ПРИ ПОГЛИБЛЕНОМУ ВИВЧЕННІ

УШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ

В.М. Попов, Т.В. Поліщук, Т.Л. Годованюкм. Умань, Уманський державний педагогічний університет

імені Павла Тичиниusttu@um.ck.ua

Одним із найважливіших завдань сучасної школи є розвитоктворчої активності школярів. Аналіз робіт з даної проблеми по-казує, що до розв’язання питання про підвищення творчої актив-ності учнів у навчальному процесі педагоги, психологи та мето-дисти підходять з різних сторін. Деякі з них стверджують, щопри поглибленому вивченні математики для підвищення творчоїактивності варто широко впроваджувати питання, які у“звичайних” школах вивчаються мало, або зовсім не вивчаються.Одним із таких питань в шкільному курсі математики є елементитеорії графів.

Зародившись при розв’язуванні головоломок і цікавих задач,теорія графів нині стала потужним засобом розв’язування задачширокого спектру. В теоретико-графових термінах формулюєть-ся значна кількість задач, пов’язаних з дискретними об’єктами.Завдяки наочності графів можна виявляти приховані відношен-ня, фіксувати їх, відкидати невідповідні випадки, звужуючи об-ласть повного перебору. Цими факторами пояснюється широкезастосування графів у сучасній науці і техніці. Їх використову-ють у економіці, соціології, комбінаториці, хімії, педагогіці, біо-логії, медицині тощо.

Аналіз вітчизняного і зарубіжного досвіду вивчення та вико-ристання теорії графів у середній школі дає можливість виділититакі напрями:

1. Графи, як об’єкт вивчення.Дослідники даного напряму вивчають питання впровадження

окремих розділів теорії графів, розробляють методику їх вивчен-ня (Ж. Папі, О. Оре, Н.А. Волкова, Л.Ю. Березіна, М.Л. Барбо-лін). В основному в цих дослідженнях розглядаються питаннявивчення елементів теорії графів на факультативних заняттях в

177

старших класах середньої школи, і дослідники розходяться лишев питанні про зміст навчального матеріалу, який пропонуєтьсядля вивчення.

Роботи Ж. Папі і Ф. Папі свідчать про те, що елементи теоріїграфів є доступними для учнів початкової школи.

2. Графи, як засіб моделювання навчального матеріалу.Дослідники цього напряму використовують можливості мо-

делювання навчального матеріалу за допомогою графів для удо-сконалення способів та методів його викладання (В.Ф. Волгіна,О.І. Глобін). В роботах методистів побудова графових моделейвикористовується як засіб навчання розв’язування комбінатор-них, логічних, текстових задач.

Особливо цікавим є питання про використання графових мо-делей для розв’язування текстових задач. Шкільна практика сві-дчить про те, що хоч метод рівнянь під час розв’язування тексто-вих задач вводиться в п’ятому класі і використовується протягомвсього наступного вивчення курсу шкільної математики, резуль-тати вступних екзаменів до вузів незаперечно доводять, що зна-чна частина випускників недостатньо володіє цим методом.

Розв’язуючи текстову задачу, учні повинні вміти:1) з’ясувати залежність між шуканою величиною і даними в

задачі числами;2) виконати обчислення.Звичайно виконання обчислень не є складним для учнів, а от

з’ясування залежності між величинами є досить важкою спра-вою. Чому? Тому що, як вважають методисти, учні мало трену-ються в цьому і вони пропонують розв’язувати багато тренува-льних задач (якнайменше обчислень) на з’ясування залежностіміж величинами.

Ще один шлях пропонує О. І. Глобін, який розглядає засто-сування графового моделювання для того щоб навчити учніврозв’язувати текстові задачі. Основна дидактична мета побудовиграфової моделі текстової задачі полягає у навчанні учнів за до-помогою графового моделювання добувати із об’єкта пізнаннясистему математичних відношень і зображати їх в зручному длясприйняття вигляді, сприяти формуванню в учнів цілеспрямова-но проводити пошук розв’язку задач на основі аналізу її струк-турних особливостей. Це означає, що процес побудови графової

178

моделі виступає не як самоціль, а як допоміжний засіб, який до-помагає навчити учнів розв’язувати текстові задачі!

3. Граф-схеми, як засіб структурування матеріалу.Дослідники даного напряму використовують можливості

моделювання структури різних дидактичних і методичнихоб’єктів за допомогою графових моделей і на цих моделях ви-вчають властивості даних об’єктів, а також шукають шляхи удо-сконалення процесу навчання (В.Ф. Волгіна, І.Б. Моргунов). На-приклад, В.Ф. Волгіна пропонує використовуючи граф-схемиописувати доведення і розв’язування геометричних задач. Маю-чи таку граф-схему учень може самостійно прослідкувати весьпроцес доведення і виділити незрозумілі моменти.

Питання розглянутих напрямів так і не знайшли широкоговпровадження в шкільну практику. Це було зумовлено тим, щоне вистачало часу на уроках математики, не існувало ефективнихзасобів для їх вивчення в позаурочний час. Тому вивчення цихпитань залишалося лише фрагментарним.

Між іншим, жоден із згаданих дослідників не намагавсяоб’єднати всі ці напрями, а ми пропонуємо це зробити. За нашоюконцепцією при поглибленому вивченні математики у восьмомукласі вводяться основні поняття елементів теорії графів, а удев’ятому класі вони розширюються і поглиблюються. В процесіподальшого вивчення математики при розв’язуванні: 1) комбіна-торних задач, 2) текстових задач, 3) логічних задач, 4) системлінійних рівнянь, 5) задачі економічного змісту, ми повторюємоелементи теорії графів і застосовуємо цю теорію як допоміжнийзасіб при розв’язуванні задач.

Таке широке впровадження елементів теорії графів дозволяє:1) розвивати творчу активність учнів та формувати в них по-

требу постійно розширювати і поглиблювати свої знання;2) розширити математичну культуру учнів і продемонстру-

вати наявність нетрадиційних підходів до розв’язування цілогоспектру математичних задач. Наприклад, розв’язуючи системилінійних рівнянь, крім стандартних методів (додавання, підста-новки, метод Гауса, метод Крамера) ми вчимо учнів розв’язуватисистеми за допомогою графів;

3) володіти учням елементами теорії графів на досить висо-кому рівні;

179

4) вдосконалювати прийоми розумової діяльності учнів ірозвивати в них дослідницький, творчий підхід до постановки ірозв’язування задач з різних сфер людської діяльності.

Серед подальшого дослідження даної проблеми варто виді-лити такі напрями:

1) відбір змістової частини теорії графів для вивчення вшколах з поглибленим вивченням математики;

2) розробка методичних рекомендацій до розв’язування за-дач за допомогою теорії графів;

3) диференціація навчального матеріалу з урахуванням рівнянавчально-пізнавальних можливостей школярів.

Таким чином, ми вважаємо за необхідність широко впрова-джувати елементи теорії графів при поглибленому вивченні кур-су математики в сучасній школі.

180

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОВЕРКИЗНАНИЙ У СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА»

Ю.Ф. Рева1,М.А. Кислова2

1 г. Кривой Рог, Криворожский филиал Института экономики иновых технологий

2 г. Кривой Рог, Криворожский металлургический факультетНациональной металлургической академии Украины

В процессе преподавания курса «Высшая математика» про-верку качества состояния знаний студентов целесообразно про-водить в ходе всего учебного процесса. По своим целям кон-троль знаний студентов подразделяется на текущий, тематиче-ский и итоговый. Основными формами проверки знаний по кур-су высшей математики является устный опрос и письменные са-мостоятельные и контрольные работы.

Целью тематического контроля является выявление уровнязнаний студентов по каждой теме курса в целом. Для такого кон-троля используются письменные контрольные работы, содержа-щие задания, выполнение которых позволяет студентам глубжеизучить теоретический материал и приобрести навыки его прак-тического применения.

Целью итоговой проверки знаний является выявление уров-ня знаний студентов за семестр. Такая проверка знаний прово-дится в форме экзамена или зачета.

Мы считаем, что особое внимание следует уделять контролюзнаний студентов заочного отделения как неотъемлемой и важ-ной части всего учебного процесса. При этом следует комбини-ровать и использовать все методы контроля: традиционно –входной, текущий, итоговый, непрерывный, периодический ит.п.

При осуществлении контроля мы руководствуемся такимиосновными педагогическими требованиями:

1) четкое формирование критериев оценивания;2) объективность и надежность проверки и оценивания;3) индивидуальный и дифференцированный характер;4) научное обоснование полученных результатов;

181

5) систематичность и непрерывность требований;6) своевременность, разнообразие, гибкость;7) конкретность терминов выполнения.Организация учебной работы студентов заочного отделения

должна начинаться с ознакомления их преподавателем с требо-ваниями, своевременное выполнение которых позволит успешносдать экзамен или зачет. Следует отметить, что на студентовоказывает большое положительное психологическое влияниефакт возможности получения зачета без опроса и большинствостудентов проявляют заинтересованность к такой организацииконтроля знаний, умений, навыков.

Как показывает практика, при таком подходе студенты при-кладывают максимум усилий для своевременного выполнениятребований преподавателя по усвоению курса высшей математи-ки.

Учебная деятельность студентов заочного отделения пред-ставлена такими видами работ:

– лекционные занятия;– практические занятия;– самостоятельная работа студентов;– контроль знаний.Так как аудиторная нагрузка для студентов-заочников срав-

нительно небольшая, то значительно возрастает доля самостоя-тельной работы студентов. Как следствие, возникает необходи-мость в использовании других форм и видов контроля, нежелидля студентов дневного отделения.

Преподавателями нашего института при изучении курса«Высшая математика» студентами заочного отделения предла-гаются следующие виды контроля:

– семестровая домашняя контрольная работа;– аудиторная контрольная работа;– зачет или экзамен.Выполнение рекомендованных контрольных работ дает воз-

можность проверить и оценить, как каждый студент-заочник ус-воил курс высшей математики. При этом система оценок привыполнении этих работ рассматривается в двух аспектах: какоценка всех видов учебной деятельности студента заочного от-деления и как оценка усвоения знаний, умений, навыков отдель-

182

ных разделов курса «Высшая математика».Такой подход предусматривает:- оценку каждого шага учебной деятельности студентов и

в то же время создание условий для развития самостоя-тельности;

- непрерывную систематическую работу студентов по всемвидам учебных занятий;

- выявление уровня успеваемости студентов в рамкахгруппы, потока, курса, специальности;

- выставление итоговой оценки по результатам работы всеместре.

Первая форма организации контроля предусматривает вы-полнение работ студентом дома на протяжении семестра. Этиработы имеют 30 вариантов (номер варианта, который решаетстудент, соответствует порядковому номеру студента в журналегруппы). Таким образом, каждый студент группы получает длярешения отдельный вариант, что сводит к минимуму возмож-ность «списывания» решенных заданий.

Такие контрольные работы разработаны для каждого разделадисциплины «Высшая математика». Любая из контрольных ра-бот включает в себя задания по каждой теме раздела.

Так, например, один из вариантов контрольной работы поразделу «Дифференциальные уравнения» имеет вид:

Задание 1. Найти общие интегралы или общие решениядифференциальных уравнений. При наличии начальных условийрешить задачу Коши:

1) 0sin

sin =−x

dyxtgydx ;

2)x

yyyx ln=′ ;

3) xe

eyy

x

x

=+

+′1

;

4) 1)0(,sin)1(1

3 32

3

2

=+=+

+′ yxxyx

xyy ;

5) .02coscos

122

=

++

+ dyy

xy

xdx

xy

y

x.

183

Задание 2. Найти общие или частные решения дифференци-альных уравнений высших порядков, допускающих понижениепорядка:

1) y''=sin2 x+xsin 2x;2) (y'')3–2y''–x=0;3) 2yy''+y2–(y')2=0, y(0)=1, y'(0)=1;

4) )1(1

−=−′

−′′ xxx

yy , y(0)=0, y'(0)=0;

Задание 3. Найти общие или частные решения дифференци-альных уравнений высших порядков:

1) y''+2y'–3y=0;2) y''+6y'+9y=0;3) y''+2y=0; y'(0)=y(0)=1;4) y''+y=2cos x–4(x+4)sin x;5) y''–12y'+36y=14e6x;6) y''–3y'+2y=x3, y'(0)=0, y(0)=1;Задание 4. Решить систему линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами:

+=′+=′

.33

,85

yxy

yxx

Задание 5. Решить уравнение методом вариации произволь-ных постоянных:

x

eyyy

x

cos22

−

=+′+′′ .

Как видно, в данную контрольную работу включены заданияпо темам:

1) дифференциальные уравнения первого порядка: уравне-ния с разделяющимися переменными, однородные, линейные,уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах;

2) дифференциальные уравнения высших порядков: урав-нения, допускающие понижение порядка, линейные однородныес постоянными коэффициентами, линейные неоднородные с по-стоянными коэффициентами и специальной правой частью;

3) системы линейных дифференциальных уравнений;4) линейные неоднородные уравнения, решаемые методом

вариации произвольных постоянных.При решении каждого задания студент должен указать тип

184

уравнения и способ его решения. Кроме того, после получениярешения необходимо произвести проверку.

Решение менее 2/3 всех заданий такой контрольной работыоценивается как неудовлетворительное. Работы, в которых ре-шения или неверны, или необоснованны, не могут быть засчита-ны.

Студенты, которые не справились с семестровым домашнимзаданием, должны писать аудиторные контрольные работы.

При такой организации работы задания, которые выдаютсястудентам, значительно меньшие по объему, чем семестроваяконтрольная работа. Длительность такой аудиторной контроль-ной работы два аудиторных часа. Она дает возможность прове-рить, как студент усвоил материал, с которым не справился всеместровом задании. Такие работы в этом случае имеют инди-видуальный характер.

Например, студенту, который не справился с примерами потеме «Дифференциальные уравнения высших порядков, допус-кающие понижение порядка», предлагается решить аудиторнотакие задания:

1) y''=x–x2ln x;

2)x

xy1

2cos +=′′ ;

3) y''+ln y''–x=0;4) x2y''+xy'=1;5) yy''=(y')2.Студенты, которые успешно справились с одним из видов

проверочных работ, получают допуск к экзамену или зачету.При внедрении такой системы проверки знаний необходимо,

по нашему мнению, решить ряд задач, связанных с необходимо-стью создания мотивации и заинтересованности студентов в по-вышении знаний и умений, а также реализацию всех этапов те-кущего и семестрового контроля успеваемости студентов.

Мы считаем, что такой системный подход к проверке знанийпозволит активизировать учебный процесс, обучить студентовсистематически усваивать комплекс знаний и умений, получае-мых при изучении курса высшей математики, глубже изучитьтеоретический материал и приобрести навыки его практическогоприменения.

185

О ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ В ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКЕ

Л.Ф. Ринейскаяг. Кривой Рог, Криворожский металлургический факультетНациональной металлургической академии Украины

Овладение основами высшей математики неразрывно связа-но с серьезным пониманием путей применения этого аппарата.Ведь знания без применения по настоящему знаниями не явля-ются, так как они с трудом усваиваются и легко забываются.

При обучении математике будущих инженеров перед препо-давателем всегда встает вопрос: «Чему, прежде всего, следуетучить студента?» – не забывая при этом, что время, отведенноена изучение курса математики, невелико.

Конечно же, можно в принципе вместо самой математикиучить ее приложениям, учитывая то, что за последние годы курсматематики приобрел большую прикладную направленность. Ноэто будет уже не математика, и человек, изучивший такой спе-циализированный курс, будет бессилен в тех ситуациях, которыетребуют рассмотрения абстрактных математических моделей.

При преподавании математики всегда следует помнить, чтонельзя, не научив самой математике, обучить ее приложениям.Обучение решению прикладных задач не является основной за-дачей содержания курса математики, но это всегда делалось ибудет делаться, потому что это нужно и полезно.

С этой целью нами составлено пособие по прикладным зада-чам по высшей математике. Задачи этого пособия отражают тес-ную связь математики с предметами специальных кафедр вуза,они повышают заинтересованность студентов в овладении мате-матическим аппаратом.

На практических занятиях мы стараемся рассмотреть такиезадачи прикладного характера, в которых студенты могли бынаучиться по данным условиям естественнонаучного и техниче-ского содержания подбирать соответствующий математическийаппарат.

Так, например, при повторении курса математики среднейшколы на первых занятиях среди прочих предлагаем такую зада-чу.

186

Задача 1. Определить, какими должны быть диаметр цилин-дрической заготовки D и детали d, если известны масса заготов-ки тз, масса детали тд и припуск на обработку f.

Решение. Известно, что з з

д д

m V

т V= , где Vз и Vд – объем заго-

товки и детали соответственно. В то же время D – d = f. Исполь-зуем формулу для вычисления объема цилиндра

( )( )

2

2

4

4

з

д

D lm

т d l

π=

π, где l – длина заготовки и детали (высота ци-

линдра).Получаем систему уравнений для определения неизвестных

диаметров

2

2з

д

mD

d m

D d f

=

− =

. Решая систему уравнений, получим

2

1 д

з

fD

m

m

=−

(решение 1

1 д

з

fD

m

m

=+

невозможно, так как в

этом случае объем снятой стружки окажется больше объема за-

готовки), и 2д

з д

f md D f

т т= − =

−.

Вот, к примеру, задачи различных разделов математики.Задача 2. На одном из холодильников мелкосортного стана

применен в качестве привода кулачковый механизм, к которомупредъявлено требование безударного движения толкателя. Мож-но ли в этом механизме применить кулачок, очерченный поулитке r = 2acosΘ+α?

Задача 3. Стол подъемной тележки представляет собой кон-соль длиной а, ее загруженная часть имеет длину b. Для прида-ния жесткости консоли используются две опоры (рис. 1). Опре-делить расстояние между точками крепления консоли и двухопор, если известно, что наибольшая жесткость достигается то-гда, когда угол между опорами будет наибольшим.

187

Рис. 1.

Задача 4. Разливочный ковш цилиндрической формы накло-нен так, что обозначилась половина его дна. Вычислить, сколькопри этом вылилось стали, если радиус ковша равен 1 м, а высотаего равна 3 м.

Задача 5. Какую работу затрачивает подъемный кран приизвлечении железобетонной надолбы со дна отстойника глуби-ной в 5 м, если надолба имеет форму правильного тетраэдра сребром 1 м, а плотность железобетона 2500 кг/м3?

Задача 6. Кирпичная стена (k = 0,0015) имеет 30 см толщи-ны. Найти, как зависит температура от расстояния точки от на-ружного края стены, если температура равна 20о на внутренней и0о на внешней поверхности стены. Найти также количество теп-лоты, которое 1 м2 стены отдает наружу в течение суток.

Большинство рассматриваемых задач заимствованы из руко-водств и задачников по высшей математике и техническим дис-циплинам [1–5]. Преподаватель может отбирать те задачи, кото-рые наиболее близки к профилю специальности студентов фа-культета. На практических занятиях по решению прикладныхзадач существенно меняется роль преподавателя. Он становитсякоординатором учебного процесса, осуществляет непрерывныйконтроль и ведет учет работы каждого студента. Потому все за-дачи прикладного характера подготовлены с методическими ука-заниями к их выполнению.

С этой целью даются консультации (первая и вторая), кото-рые может использовать студент при затруднении в решении, атакже для промежуточного самоконтроля – студент может све-рить свое решение с «промежуточными результатами», которыепомещены в «консультациях».

В первой консультации к решению примеров и задач обычноставится вопрос, наводящий на правильное решение, или обра-

188

щается внимание студента на особенность решения данногопримера или задачи (создается таким образом проблемная си-туация сравнительно более высокого уровня).

Во второй консультации, к которой обращается студент, ес-ли первая не помогла, студенту оказывается более существеннаяпомощь: здесь уже подсказывается конкретный прием решенияданного примера или задачи, или нужная формула, а иногда, втрудных задачах, дается подсказка к ходу решения задачи (про-блемная ситуация расчленяется на более легкие, доступные).

Таким образом, в двух консультациях создаются проблем-ные ситуации двух уровней трудности, что способствует инди-видуализации обучения. Студент может получить помощь в лю-бой нужный момент, не обращаясь к преподавателю, со своимтемпом, в меру своих сил и способностей, независимо от других.

Хотелось бы еще раз отметить, что подготовлено более 100задач прикладного характера, имеющих естественное технологи-ческое содержание: любая из них может возникнуть в реальномпроизводственном процессе или при его подготовке.

Литература1.Журавлев А.Н. Допуски и технические измерения. – М.:

Высшая школа, 1981.2. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для на-

чинающих физиков и техников. –М.: Наука, 1982.3. Колмогоров А.Н. О профессии математика. – М.: Сов.

наука, 1954.4. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее

изучении. –М.: Наука, 1977.5. Ноздрин И.Н., Степаненко И.М., Костюк Л.К. Прикладные

задачи по высшей математике. –К.: Вища школа, 1976.

189

ПРО РОЗШИРЕННЯ ЗМІСТУ ВУЗІВСЬКОГО КУРСУЗ ТЕОРІЇ РЯДІВ

Ю.К. Рудавський, П.П. Костробій,М.А. Сухорольський,О.А.Микитюк

м. Львів, Національний університет “Львівська політехніка”ponedilok@polynet.lviv.ua

Виклад вузівського курсу з теорії числових та функціональ-них рядів ґрунтується на понятті класичної суми ряду - як грани-ці збіжної у розумінні Коші послідовності часткової суми ряду.При викладі теорії функціональних рядів розглядаються, як пра-вило, степеневі та тригонометричні ряди. Однак ряди за систе-мами степеневих і тригонометричних функцій не є найкращимзасобом наближення функцій. Зокрема, тригонометричний ряд,що відповідає періодичній абсолютно інтегровній функції, неможна диференціювати, а функцію аналітичну на дійсній осі незавжди можна розвинути у степеневий ряд.

У межах теорії збіжних послідовностей (в розумінні Кошіабо в середньому) ефективним є розвинення функцій за систе-мами спеціальних функцій. Однак виклад відповідного матема-тичного апарату вимагає значного розширення курсу. Альтерна-тивним до такого підходу є поєднання методів класичної теоріїрядів та методів узагальненого підсумовування рядів.

Пропонується у межах традиційного курсу теорії рядів роз-глянути поняття послідовності узагальнених часткових сум рядуі узагальненої суми ряду, які органічно поєднуються з відповід-ними поняттями класичної теорії рядів (послідовності частковихсум ряду і суми ряду), а також ілюструвати узагальнене підсумо-вування розбіжних у класичному розумінні рядів.

1. Основні поняття. Нехай

( )xuk

k∑∞

=1

(1)

– функціональний ряд, члени якого є функціями дійсної змінноїx∈ D1. Розглянемо послідовність часткових сум ряду (1)

( ) ( )∞

==

=∑

11 n

n

kkn xuxS (2)

190

Означення 1. Скінченна границя послідовності частковихсум (2) у точці x∈ D1 називається сумою або класичною сумоюряду (1) у цій точці, ( ) ( )xSxSnn

=∞→

lim .

Множина всіх точок збіжності ряду (1) називається обла-стю збіжності ряду (1), D⊂ D1.

Розглянемо також послідовність узагальнених часткових сумряду (1)

( ) ( )∞

==

∗

=∑

11 n

n

kknk xuxS

nϕ , (3)

де { } nknnk ,1,,1, =∞=ϕ , - двопараметрична числова послідов-ність (трикутна таблиця чисел), що визначає узагальнений методпідсумовування (вагу членів ряду в послідовності узагальненихчасткових сум).

Наприклад, метод підсумовування середніми

+−=

11

n

knkϕ , метод Рісса

+−=

−2

12

11

m

nk n

kϕ , метод Че-

заро

=+

−+m

nm

mknm

nk C

Cϕ , метод

=+

kkn

kn

nk C

Cϕ .

Означення 2 [2]. Скінченна границя послідовності узагальне-них часткових сум (3) називається узагальненою сумою ряду (1),

( ) ( )xSxSnn

∗∗

∞→=lim , x∈ D*⊂ D1, а узагальнений метод {φnk} назива-

ється регулярним, якщо S*(x)=S(x) для всіх x∈ D і D⊂ D*.Приклад 1. Методом середніх знайдемо узагальнену суму

ряду

( ) ( )0,cos2

1

1

≠≤≤−=+ ∗∞

=∑ xxxSkxk

ππ . (4)

Класична часткова сума цього ряду -

( ) ( )( )2sin2

21sincos

2

1

1 x

xnkxxS

n

kn

+=+= ∑=

. Очевидно, класична сума ря-

ду (4) не існує. Знайдемо узагальнену суму цього ряду [3],

191

( ) ∑=

∗ =

+−+=

n

kn kx

n

kxS

1

cos1

12

1

( ) ( ) ( )0 0

1 1 1sin

1 2 1 sin 2 2

n n

mm m

S x m xn n x= =

= = + = + + ∑ ∑

( ) ( )[ ( )2

0

1cos cos 1

4 1 sin 2

n

m

mx m xn x =

= − + =+∑

( ) ( ) [ ( ) ] =+−+

= xnxn

1cos12sin14

12 ( )

( )[ ]( )

2

2sin

21sin

12

1

++ x

xn

n. За

означенням маємо ( ) ( ) 0lim* == ∗

∞→xSxS nn

(–π≤x≤π, x≠0).

2. Методи підсумовування, залежні від неперервного ар-гумента. Існує клас узагальнених методів підсумовування рядів,відповідні послідовності яких залежать від неперервного аргу-мента [3]. Розглядаються послідовності ( ){ } ∞

=1kk rϕ , де {r} - число-ва множина з граничною точкою r0. Такими, наприклад, є метод

Рімана ( )

=

2sin

εεεϕ

k

kk при ε→0, метод Пуассона {φk(r)=rk}

при r→1–0, метод ( ){ }2kk rr =ϕ при r→1–0. Тоді узагальненою

сумою ряду (1), підсумовуваного цими методами, є границя кла-

сичної суми ряду ( ) ( ) ( )xurxS kk

kr ∑∞

=

=1

ϕ (r≠r0),

( ) ( )xSxS rrr 0

lim→

∗ = . (5)

Покажемо, що такий підхід до визначення узагальненої сумиряду не суперечить означенню 2. Формулу (5) можна записати у

вигляді ( ) ( ) ( )xurxS k

n

kknr

∑=

∞→→

∗ =1

limlim0

ϕε

. Вибираючи тут відповідну

числову послідовність ( ){ } ∞== 1nnrr з граничною точкою r0 і вво-

дячи узагальнену часткову суму ( ) ( )( ) ( )xunrxS k

n

kkn ∑

=

∗ =1

ϕ , одер-

жимо формулу ( ) ( )xSxSnn

∗∗

∞→=lim .

192

Приклад 2. Методом Пуассона знайдемо узагальнену суму

числового ряду ( ) ∗∞

=

=−∑ Sk

k

0

1 . Для цього ряду згідно з формулою

(5) одержимо ( )r

rSk

kk

r +=−=∑

∞

= 1

11

0

. Переходячи тут до границі,

матимемо2

1

1

1limlim

0101

* =+

==−→−→ r

SSrrr

.

Приклад 3. Відшукання узагальненої суми ряду (4) методомПуассона. Використовуючи формулу (5), знайдемо

( )

( )

1 0 1

21 0

1lim cos

2

1 1lim 0 , 0

2 1 2 cos

k

r r

r

S x r kx

rx x

r x rπ π

∞∗

→ − =

→ −

= + =

−= = − ≤ ≤ ≠

− +

∑

3. Методи Ейлерівського типу підсумовування рядів. Признаходженні узагальнених сум рядів ефективними є методи під-сумовування, які грунтуються на перегрупуванні членів вихідно-го ряду. До цього класу методів також можуть бути віднесені

розвинення функції ( ) m

mm zazf ∑

∞

=

=0

, аналітичної в деякій компле-

ксній області, за повною системою поліномів [1]

( )∞

==

=∑

00 k

mm

k

mkmk zabzP ,

( ) ( )zPdzf kk

k∑∞

=

=0

, (6)

де bkm, am - коефіцієнти.Підставивши вирази поліномів Pk(z) у формулу (6),

( ) ( ) ∑ ∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

= =

∞

=

===00 00 m mk

kmkm

mk

k

m

mmkmkk

kk bdzazabdzPdzf , одержи-

мо вирази членів послідовності відповідного узагальненого ме-

тоду підсумовування

=∑

=

n

mkkmknk bdϕ , які узгоджуються з озна-

ченням 2.Проілюструємо підсумовування степеневого ряду методом

193

Ейлера. Формула (6) узагальненого підсумовування за Ейлером

степеневого ряду ∑∞

=0k

kk za приймає вигляд

( ) ∑∑=

∞

=

∗

++=

n

k

k

kkn

n

n

s

zaC

s

s

szS

00 11

1, (7)

де s - параметр.

Приклад 4. Знайдемо узагальнену суму ряду ∑∞

=0k

kz . Цей ряд

збігається в області |z|<1 і його класична сума дорівнює

( )z

zS−

=1

1. Підставивши ak=1 у формулу (7) і просумувавши

внутрішню суму, одержимо

( )0 0

1

1 1

n knkn

n k

s zS z C

s s s

∞∗

= =

= = + + ∑ ∑

0

11

1 1

n n

n

s z

s s s

∞

=

= + + + ∑ ∑

∞

=

++

+=

011

1

n

n

s

zs

s.

Якщо прийняти, що s – дійсне додатне число, то одержанийряд збігається у крузі |z+s|<s+1 і його узагальнена сума дорівнює

( )zs

zs

szS

−=

++−

+=

−∗

1

1

11

1

11

. Таким чином, перетворення Ей-

лера ряду k

kk za∑

∞

=0

(узагальнена сума) є продовженням цього ряду

за межі його круга збіжності (на круг |z+s|<s+1).

Література1. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 2. –М.:

Наука, 1968. – 624 с.2. Рівняння математичної фізики. Узагальнені розв’язки крайо-

вих задач / Рудавський Ю.К., Костробій П.П., СухорольськийМ.А., Зашкільняк І.М., Колісник В.М., Микитюк О.А., МусійР.С. –Львів: Нац. ун-т “Львівська політехніка” , 2002. – 226 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегральногоисчисления. Т. 3. -М.: Наука, 1969. – 656 с.

194

ОСНОВИ ТЕХНОЛОГІЇОСОБИСТІСНО-ОРІЄНТОВАНОГО ВИКЛАДАННЯ

ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

І.Б. Рудьм. Ірпінь, Національна академія державної податкової служби

Україниlusind@rambler.ru

Термін “педагогічна технологія” , “технологія навчання”з’явився на сторінках педагогічних видань західних країн на по-чатку 60-років, в цей же час там почали функціонувати різніустанови з розробки педагогічних технологій [1, 2].

На початку 70-років і далі під цим терміном стали розумітитеорію і практику побудови навчального процесу у відповідностіз визначеними цілями та задачами (Н.Ф. Тализіна, Т.А. Ільїна,В.П. Беспалько).

С.О. Сисоєва визначає педагогічну технологію як процесстворення адекватної до потреб і можливостей особистості і сус-пільства теоретично обґрунтованої навчально-виховної системисоціалізації, особистісного і професійного розвитку і саморозви-тку людини в освітній установі, яка, внаслідок упорядкованихпрофесійних дій педагога при оптимальності ресурсів і зусильвсіх учасників освітнього процесу, гарантовано забезпечує ефек-тивну реалізацію свідомо визначеної мети та можливість опти-мального відтворення процесу на рівні, який відповідає рівнюпедагогічної майстерності педагога [3].

На основі аналізу психолого-педагогічної літератури та ви-кладеного вище визначимось із власним трактуванням поняття“технологія навчання” . Технологія навчання – це системне, цілі-сне конструювання (проектування) процесу підготовки спеціалі-стів на основі визначеної послідовності дидактичних цілей танауково організована, розгорнута в часі процедура навчання(втілення проекту в життя), за якою професорсько-викладацькимскладом і тими, хто навчається, реалізується весь комплекс взає-мозв’язків між цілями, змістом, формами, засобами навчання,система контролю, оцінки і коригування педагогічної діяльності.

На нашу думку, технологія навчання базується на наступних

195

принципах:- опори на певну наукову концепцію підготовки спеціалістів;- цілеполагання щодо навчання, розвитку особистості спеціа-

ліста за етапами в цілому та діагностики якості підготовки;- системності (логічність, цілісність, взаємозв’язок усіх скла-

дових);- ступеневості (реалізація на різних ієрархічних рівнях та лан-

ках підготовки спеціаліста);- ефективності (досягнення показників якості спеціалістів, ви-

значених освітньо-професійною програмою).Вже зараз можна стверджувати, що виникнення самого тер-

міну “технологія навчання” і розробка цієї проблеми – закономі-рний наслідок розвитку педагогічної науки та практики, прогре-су техніки, вимогливої необхідності підготовки фахівців на но-вих світоглядних та праксеологічних засадах [5].

Підготовка фахівців економічного профілю передбачає ово-лодіння ґрунтовними знаннями з вищої математики і уміннямизастосовувати їх у майбутній практичній діяльності. Адже в су-часній мікро- й макроекономіці широко використовуються моде-лювання, статистико-ймовірнісні методи, формально-логічнийапарат вищої математики. Математична підготовка студентів даєїм змогу оцінювати, контролювати та прогнозувати процеси, щовідбуваються в певній економічній сфері, успішно засвоюватифундаментальні, професійно-орієнтовані дисципліни, які забез-печують основи економічних знань і закладають фундамент дляподальшого вивчення спеціальних економічних дисциплін. Крімтого, вища математика формує світогляд студента, культуру йогопраці, економічне та математичне мислення.

Досвід викладання вищої математики в нашому навчальномузакладі, вхідний контроль математичної підготовки студентів,результати екзаменаційних сесій свідчать про неоднорідністьрівня їх знань, умінь та навичок. Так, мають місце суттєві недо-ліки як в теоретичній, так і особливо в практичній математичнійпідготовці. Найбільш виразно це проявляється при розв’язаннірізноманітних задач та прикладів. Тут має місце незнання ком-плексного підходу до розв’язання задачі, з’ясування зв’язків міжїї складовими, логіки знаходження правильного рішення на ос-нові розчленування операційного змісту задачі на етапи (складо-

196

ві) з ґрунтовним аналізом кожного з них. В той же час,розв’язання задач у вищому навчальному закладі економічногопрофілю має надзвичайне значення і сприяє ефективному досяг-ненню низки важливих навчальних цілей: активізується розумо-ва діяльність, досягається більш глибоке засвоєння економічноїтеорії та практики, виробляються уміння і навики до самостійно-го аналізу соціально-економічних процесів, розширюється світо-гляд, набуваються навики оволодіння методами і прийомамипошуку рішень більш складних наукових та прикладних задач всфері майбутньої професійної діяльності.

Диференціація рівнів інтелектуальних здібностей і матема-тичної підготовки студентів спонукають до пошуку шляхів такоїорганізаційно-методичної структури і змісту навчального проце-су, яка б сприяла його найбільшої ефективності. Позитивне ви-рішення цієї проблеми може бути досягнуто на засадах особисті-сно-орієнтованого навчання та викладання навчальних дисцип-лін.

Основним принципом особистісно-орієнтованого навчання,викладання навчальних дисциплін є визнання індивідуальностітого, хто навчається, створення необхідних та достатніх умовдля його розвитку. З цього принципу можна визначити і метуособистісно-орієнтованого навчання:

- найбільш повне досягнення розвитку тих здібностей осо-бистості, які потрібні їй та суспільству;

- визначення вихідного (початкового) стану розвитку тадосвіду особистості;

- включення особистості в навчально-соціальну цінніснудіяльність;

- забезпечення можливостей ефективного саморозвитку тасамоосвіти;

- трансформація основної мети навчання в систему взає-мопов’язаних цілей, що відображають динаміку особис-тості в процесі навчання;

- обґрунтування цілей навчання для кожної дисципліни зурахуванням особистісних якостей, потреб і можливос-тей кожного, хто навчається;

- здійснення діагностико-кваліметричних процедур.Під технологією особистісно-орієнтованого викладання ви-

197

щої математики у вищому навчальному закладі економічногопрофілю будемо розуміти конструювання (проектування) на ос-нові відповідної послідовності цілей, всебічного вивчення інди-відуально-психологічних особливостей студентів навчальної ди-сципліни “Вища математика” з урахуванням можливостей, по-треб тих, хто навчається, та науково організований процес ово-лодіння дисципліною за рівневою системою, пріоритету особис-тості як суб’єкту пізнання та навчання, всебічного організаційно-методичного і матеріального забезпечення навчальних занять,діагностики навчально-пізнавальної діяльності студентів, кори-гування педагогічної діяльності.

З урахуванням проведених теоретичних узагальнень ми зу-пинимося на розробці та реалізації технології особистісно-орієнтованого викладання вищої математики. Така робота вклю-чає послідовне виконання наступного:

1) конструювання навчального процесу з вивчення вищоїматематики;

2) всебічне вивчення індивідуально-психологічних особли-востей студентів;

3) організація та методика проведення навчальних занять;4) діагностика (контроль) результатів навчально-пізнавальної діяльності студентів;

5) коригування педагогічної діяльності.Конструювання навчального процесу з вивчення вищої ма-

тематики включає: визначення мети і задач, які мають вирішува-тись, зміна методології структури та змісту навчальної програмиі тематичного плану; розробка пакетів конструкцій особистісно-орієнтованих математичних завдань; вибір організаційних формзанять – фронтальні, парні, ланкові, бригадні, кооперовано-групові, диференційовано-групові, індивідуальні та індивідуалі-зовані, індивідуалізовано-групові тощо; підготовка літературнихджерел, дидактичних матеріалів; розробка методик і засобів кон-тролю знань, умінь та навичок студентів; всебічна підготовканавчально-матеріального забезпечення; складання плану прове-дення заняття та його методичної спрямованості; проведення(при необхідності) інструкторсько-методичних, пробних та від-критих занять.

З метою запровадження технології особистісно-

198

орієнтованого викладання вищої математики була здійсненаструктуризація змісту курсу вищої математики для вищих закла-дів освіти економічного профілю та посилена його практична іприкладна спрямованість. Зазначена структуризація реалізованау двох ієрархічних рівнях: рівні навчальної дисципліни та рівнімодуля.

На першому рівні навчальна дисципліна була поділена на 7модулів. В основу такого поділу було покладено принцип їх від-носної самостійності та завершеності. Таким модулями визначе-ні:

- метод координат; векторна алгебра; аналітична геометріяна площині та в просторі;

- елементи лінійної алгебри;- диференціальне числення функції однієї змінної;- диференціальне числення функції багатьох змінних;- інтегральне числення;- диференціальні рівняння;- ряди.Кожний модуль розроблено та здійснено на наступних орга-

нізаційно-методичних засадах:- поділ на теоретичну та практичну складові;- розробка пакетів особистісно-орієнтованих завдань;- проведення лекцій, практичних занять, самостійної робо-

ти;- проведення контрольних робіт, здійснення контролю рів-

ня засвоєння знань написання рефератів;- розробка вимог до вихідних знань та вмінь студента піс-

ля засвоєння модуля (чітко встановлюється рівень знаньта умінь, яким повинен володіти студент);

- здійснення вхідного рівня знань напередодні кожного за-няття (колоквіум);

- розробки структурної декомпозиції модуля;- коригування педагогічної діяльності.До кожного модуля розроблено структурну декомпозицію. В

ній відображаються тематика, кількість годин, категорії засвоєн-ня навчального матеріалу, елементи бази знань та рівні засвоєн-ня.

На другому рівні (рівні модуля) з визначеного навчального

199

матеріалу була сконструйована система навчальних занять.На цьому етапі розроблено пакети особистісно-орієнтованих

математичних завдань на теоретичну (лекції) та практичну(практичні заняття) складові курсу вищої математики, які адек-ватно відповідають індивідуальним особливостям та інтелектуа-льним здібностям студентів у відповідності з визначеними рів-нями засвоєння навчального матеріалу.

З метою більш об’єктивного та якісного врахування особис-тісних показників інтелектуальних здібностей студентів пропо-нується така рівнева система оцінки засвоєння навчального ма-теріалу (як теоретичного, так і практичного) з вищої математики:

1 рівень – репродуктивний першого порядку;2 рівень – репродуктивний другого порядку;3 рівень – евристичний;4 рівень – творчий першого порядку;5 рівень – творчий другого порядку.Така 5-рівнева система оцінки засвоєння навчального мате-

ріалу з вищої математики була покладена в основу структурноїдекомпозиції навчальної дисципліни. Вона розширює діапазоноцінки і в той же час є адаптованою до існування в вищих навча-льних закладах оцінки знань, умінь та навичок у відповідності довимог державних стандартів освіти.

У відповідності з визначеними рівнями засвоєння знань сту-дентам та врахування їх працездатності автором дослідженняпропонується відповідна 5-рівнева типологізація студентів прививченні вищої математики:

1 типологічна група – студенти, які за своїм інтелектуаль-ними здібностями та працездатністю навчаються на рів-ні задовільного виконання програмних вимог.

2 типологічна група – студенти, які за своїми інтелектуа-льними здібностями та працездатністю навчаються нарівні з перевищенням задовільних програмних вимог.

3 типологічна група – студенти, які за своїми інтелектуа-льними здібностями та працездатністю навчаються нарівні виконання програмних вимог на “добре” .

4 типологічна група – студенти, які за своїми інтелектуа-льними здібностями та працездатністю навчаються нарівні відмінного виконання програмних вимог.

200

5 типологічна група – студенти, які за своїми інтелектуа-льними здібностями та працездатністю навчаються нарівні вище відмінного виконання програмних вимог.

На підставі запропонованих рівнів засвоєння знань та типо-логічних груп студентів, які вивчають вищу математику в вищихнавчальних закладах економічного профілю, розроблено пакетиособистісно-орієнтованих завдань для засвоєння теоретичного тапрактичного матеріалу на кожну з форм занять (практичні занят-тя, самостійна робота). Навчальний матеріал у відповідності зможливими рівнями його засвоєння студентами трансформуєть-ся в рівень складності. Такі пакети розроблені на кожне заняття.

Типова структура викладацького пакету особистісно-орієнтованих завдань для засвоєння теоретичного матеріалу (за-стосовується на самостійній роботі після кожної проведеної лек-ції) має наступну структуру: тема; цільова установка; вид заняттята його номер; час; навчальні питання; основні поняття; загальніметодичні рекомендації та методичні рекомендації щодо засобівособистісно-орієнтованого викладання; загальна література; за-вдання для кожного з 5 рівнів засвоєння та відповідна літерату-ра; що має студент засвоїти відповідно до кожного рівня; формиконтролю; питання самоконтролю для кожного рівня; підсумкизаняття.

Студентам на заняття видається студентський пакет особис-тісно-орієнтованих завдань для засвоєння теоретичного матеріа-лу (застосовується на самостійній роботі після кожної проведе-ної лекції). Він є складовою викладацького і включає: тема; ці-льова установка; вид заняття та його номер; час; навчальні пи-тання; завдання для кожного з 5 рівнів засвоєння та відповідналітература; що має студент засвоїти відповідно до кожного рівняпитання самоконтролю для кожного рівня.

Діагностика (контроль) результатів навчально-пізнавальноїдіяльності студентів здійснюється за різними формами. Напри-клад, Л.П. Одерій визначає до 40 таких форм [4]. В процесі осо-бистісно-орієнтованого викладання вищої математики нами ви-користовуватимуться такі основні форми контролю, як іспит,заліки, усне опитування, співбесіда, письмові контрольні роботи,реферати, колоквіуми, спостереження. За часом в навчальномупроцесі з викладання вищої математики застосовуються:

201

- поточний контроль – допомагає здійснювати особистіс-но-орієнтований підхід до студентів у відповідності до їхінтелектуальних здібностей, мотивує навчання;

- рубіжний контроль – перевірка знань студентів перед пе-реходом до вивчення наступного розділу курсу;

- тематичний контроль – оцінка результатів засвоєння пев-ного навчального модулю;

- підсумковий контроль – іспит по курсу.В ході застосування різних форм контролю надзвичайно ва-

жливим, на думку автора, є врахування трьох основних критері-їв: надійність, валідність та об’єктивність.

Важливою складовою технології особистісно-орієнтованоговикладання вищої математики є коригування педагогічної діяль-ності за результатами усіх форм контролю. До основних елемен-тів, які мають коригуватись, слід віднести наступні:

- рівень цілеполягання;- система потреб і мотивів діяльності суб’єктів навчально-

го процесу;- модель педагогічної та процесуальної діяльності (ефек-

тивність навчально-методичної роботи);- уміння викладача конструювати навчальні завдання у

відповідності з інтелектуальними та психофізіологічнимиможливостями студентів;

- співвідношення реального характеру вплив викладача настудентів із загальногуманістичними та демократичнимипринципами взаємодії (суб’єкт-суб’єктні відносини);

- подолання стресових і конфліктних ситуацій (ступіньприв’язаності до реальних умов викладання вищої мате-матики);

- подолання стереотипів і тенденцій до жорсткої алгорит-мізації викладацької діяльності (індивідуальна системазасобів педагогічної дії);

- система педагогічного контролю;- комплексність засобів педагогічного впливу; ступінь і

повнота навчально-методичного забезпечення пізнаваль-ної діяльності студентів.

Таким чином, складовими технології особистісно-орієнтованого викладання вищої математик є: конструювання

202

пакетів навчальних завдань на різні види занять з вивчення тео-ретичного та практичного матеріалу (для викладачів та студен-тів); вивчення індивідуально-психологічних особливостей сту-дентів і, в першу чергу, їх інтелектуальних здібностей та праце-здатності; організація та методика проведення різних видів на-вчальних занять з особистісно-орієнтованим спрямуванням і ви-користанням засобів спілкування та діалогізації; діагностика(контроль) результатів навчально-пізнавальної діяльності студе-нтів; коригування педагогічної діяльності суб’єктів навчальногопроцесу за результатами усіх форм контролю.

Література1. Борисова Н.В. Технологичность образовательного процесса

как показатель его качества // Среднее профессиональное об-разование. – 1998. –№3. –С. 17-20.

2. Ильина Т.А. Понятие «педагогическая технология» в совре-менной буржуазной педагогике. – Советская педагогика. –1971. –№9.

3. Кларин М.В. Педагогическая технология в учебном процесе.–М.: Знание, 1989. – 75 с.

4. Основи системи контролю якості навчання: Навч. посібник /Одерий Л.П. –К.: ІСДО, 1995. – 132 с. (рос. мовою)

5. Сисоєва С.О. Технологізація освітньої діяльності в умовахнеперервної професійної освіти / Неперервна професійнаосвіта: проблеми, пошуки, перспективи: Монографія / За ред.І.Я. Зязюна. –Київ: Віпол, 2000. – 363 с.

203

ФАХОВА СПРЯМОВАНІСТЬМАТЕМАТИЧНОЇ ПІДГОТОВКИ БАКАЛАВРІВ

З ЕКОНОМІКИ І МЕНЕДЖМЕНТУ

Н.М. Самарукм. Хмельницький, Хмельницький інститут економіки і

підприємництва

Соціально-економічні проблеми сучасного суспільства ви-магають глибокого аналізу і прийняття оптимальних рішень наоснові математичних моделей проблемних ситуацій у різних га-лузях як виробництва, так і невиробничої сфери, провіднимиспеціалістами яких є економісти і менеджери, бухгалтери і ауди-тори, маркетологи, працівники банків та інших комерційнихслужб, підготовку яких здійснюють різні навчальні заклади від-повідного профілю.

Навчальними планами підготовки майбутніх економістів пе-редбачено комплекс дисциплін, основною задачею яких є фор-мування знань та практичних навичок моделювання та аналізупроблемних ситуацій. До таких дисциплін відносяться “Теоріяймовірностей та математична статистика”, “Теорія економічногоризику”, “Математичні методи дослідження операцій”, “Теоріяприйняття рішень”, “Математична економіка”, “Економетрія” таінші, успішне засвоєння програмного матеріалу яких можливелише за умови достатньої математичної підготовки студентів,яку вони отримують при вивченні курсу вищої математики.

Згідно навчального плану № 330 підготовки бакалаврів еко-номіки, впровадженого Міністерством освіти і науки України від06.06.2002 року, на вивчення дисципліни “Вища математика”передбачено 140 аудиторних годин, що менше на 40 годин порі-вняно з навчальними планами 2000–2001 навчальних років.

Згідно типової програми математична підготовка фахівцівекономічних спеціальностей передбачає:

- ознайомлення студентів із математичним апаратом, не-обхідним для розв’язання практичних і теоретичних задач;

- формування вміння грамотно застосовувати знання звищої математики при розв’язуванні економічних задач;

- формування вміння будувати математичні моделі еконо-

204

мічних ситуацій і аналізувати їх засобами математики;- сприяння розвитку логічного, абстрактного мислення;- формування відповідного рівня математичної культури,

необхідного для засвоєння фахових дисциплін;- вміння самостійно працювати з математичною літерату-

рою, довідниками, таблицями.Останніми роками спостерігається тенденція зменшення за-

цікавленості студентів у вивченні вищої математики. Причинамицього є: слабкий рівень шкільної підготовки; зменшення кількос-ті аудиторних годин на вивчення вищої математики; недостатнєвикористання математичних методів випускаючими кафедрами уфахових дисциплінах, в курсових і дипломних роботах.

У світлі тих вимог, які ставляться до випускників вищих на-вчальних закладів, математична освіта зводиться до необхідностіпосилення прикладної спрямованості курсу вищої математики ідо підвищення рівня фундаментальної математичної підготовки.В умовах, коли обмежена кількість аудиторних годин, підви-щення рівня математичної підготовки можливе лише за рахунокінтенсифікації процесу викладання математики. Якщо студентусвідомлює, що він вивчає предмет безпосередньо потрібний длямайбутньої справи, то це є дійовим стимулом навчання.

Зрозуміло, що вивчення вищої математики студентами еко-номічних спеціальностей повинно базуватися на розгляді мате-матичних моделей конкретних економічних процесів та явищ. Цепов’язано з тим, що сучасний курс економіки − це економіка,заснована на математиці. Це точні графіки, рівняння, математич-ні моделі.

З’ясування принципів розробки методичної системи профе-сійно-орієнтованого навчання вищої математики студентів еко-номічних спеціальностей є сьогодні актуальним.

Серед багатьох проблем, які виникають у зв’язку з профілі-зацією курсу математики, слід виділити такі:

- наближення змісту математичної освіти студента до по-треб організації виробництва;

- застосування міжпредметних зв’язків між курсами вищоїматематики і фаховими дисциплінами з метою інтеграції знань;

- створення підручників, які б відповідали новим вимогам;- впровадження нових педагогічних технологій;

205

- удосконалення методів викладання і підвищення актив-ності студентів у процесі навчання;

- підвищення математичної кваліфікації викладачів профі-люючих кафедр.

Викладання математики з врахуванням питань профілізації єважливим засобом розширення і поглиблення знань студентів,активізації інтересу до предмету. Викладачі математики повиннітак будувати процес викладання, щоб студент постійно відчував,що вивчаючи математику, він наближається до більш глибокогорозуміння своєї майбутньої спеціальності.

Бажано під час вивчення більшості розділів розкривати еко-номічний зміст математичних понять, вивчення розділів завер-шувати застосуванням пройденого матеріалу в задачах економі-ки. На практичних заняттях розв’язувати задачі економічногозмісту, на прикладі яких демонструється ефективність математи-чних методів дослідження. Задачі, які пов’язані з профілізацієюкурсу математики повинні бути доступними для розуміння, матиекономічну направленість.

Розглянемо деякі задачі, пов’язані із використанням окремихрозділів вищої математики.

Так, наприклад, при вивченні теми “Пряма на площині” зрозділу “Аналітична геометрія” можна використати задачу провартість перевезення вантажу, яка описується рівнянням прямої зкутовим коефіцієнтом y=kx+b, де у – загальна вартість переве-зення вантажу на відстань х, k – тариф перевезення вантажу наодиницю відстані, b – витрати при перевезенні вантажу, що незалежать від відстані x.

При вивченні теми “Диференціальне числення функції однієїзмінної” слід вказати на економічний зміст похідної. Нехай V(x),D(x), P(x) витрати, дохід та прибуток відповідно. Маргінальнавартість (гранично можлива вартість в умовах постійного від-творення виробництва продукції) знаходиться як V'(x). Аналогіч-но похідні D'(x), P'(x) дорівнюють маргінальності доходу та при-бутку.

В економічних дослідженнях для аналізу попиту і спожи-вання широко використовується поняття еластичності функції.Еластичність попиту y відносно ціни x − це коефіцієнт, що на-ближено показує, на скільки відсотків зміниться попит, якщо

206

ціна змінилася на 1%. Еластичність попиту y виражають форму-

лою: yy

xE ′⋅= .

Вивчення теми “Границя функції” можна ілюструвати такимприкладом. Нехай дехто поклав один долар до банку, який спла-чує 4% річних. Якщо проценти прості, то за кожний рік сумавкладу зростає на 4% від первісного капіталу. Кожний долар че-рез 25 років “виросте” і перетвориться на 2 долари. А якщо банксплачує складні відсотки, то долар буде рости швидше, бо післякожного нарахування процентів капітал трохи збільшується інаступного разу процент нараховується від загальної суми. Чимчастіше роблять перерахунок і додавання прибутку до основногокапіталу, тим швидше росте вклад. Коли нараховувати щорокускладні проценти, долар за 25 років перетвориться в

66,225

11

25

≈

+ долара. Коли нараховувати кожні півроку скла-

дні проценти, то приріст вкладу за кожні 6 місяців становить 2%,

долар за 25 років перетвориться 69,250

11

50

≈

+ долара.

Може здатися, що при досить частому нарахуванні процен-тів за 25 років долар перетвориться в досить відчутну суму. На-справді нічого подібного не відбудеться. Через 25 років один до-

лар виросте до величиниn

n

+ 11 , де n – число нарахувань при-

бутку. При n, що прямує до нескінченості, цей вираз прямує до

границі 718,21

1lim ≈=

+

∞→e

n

n

n, що лише на 3 центи більше за

суму, яка б вийшла, якби прибуток нараховували раз на півроку.З наведених прикладів можна зробити висновок, що курс

вищої математики, який викладається студентам економічнихспеціальностей, можна доповнити значною кількістю простихекономіко-математичних моделей. Викладач повинен не лишестисло подати майбутнім економістам і менеджерам увесь кла-сичний курс вищої математики, а роз’яснити і той апарат, якийзадіяно в математичній економіці, і показати на прикладах еко-

207

номічних моделей, де та як будуть використовуватися в подаль-шому теорія і методи вищої математики.

Література1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для еко-

номістів: Вища математика. – К.: Національна академія управ-ління, 1997. – 397 с.

2. Капітанець С.В. Деякі аспекти методики викладання ви-щої математики у вищих військових учбових закладах з ураху-ванням специфіки останніх // Матеріали міжвузівської науково-теоретичної конференції “Проблеми сучасної інженерної техно-логії”. – Хмельницький, Академія ПВУ, 2000. – с. 74-77.

3. Мартиненко М.А., Нестеренко Н.В., Новаковська Л.Г.Профілізація курсу математики – важливий засіб активізації на-вчального процесу // Проблеми освіти, частина 1: Наук.-метод.зб. – К.: ІЗМН, 1999. Вип. 18. – С. 73-75.

4. Математична хрестоматія. За ред. Кованцова М.І. – К.:Радянська школа, 1977. – 215 с.

5. Освітньо-кваліфікаційна програма підготовки бакалавра,спеціаліста і магістра напрямку 0501 – “Економіка і підприємни-цтво”. – Київ, 2002.

6. Палант Ю.О., Носач О.К., Пуханова Л.С. Професійно-орієнтоване навчання вищої математики студентів економічнихспеціальностей // Проблеми освіти, частина 1: Наук.-метод. зб. –К.: ІЗМН, 1999. – Вип. 18. – С. 76-79.

7. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальнийкурс: Збірник задач та вправ. 2-е вид. доп. і доопр. – Х.: Рубікон,1999. – 320 с.

208

ВИКОРИСТАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ ІСТОРИЗМУВ КУРСІ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Л.І. Сорокам. Луцьк, Волинський державний університет

імені Лесі Українки

Основна мета використання історичного матеріалу у викла-данні теорії ймовірностей полягає в наступному:

1) підвищення інтересу студентів до дисципліни, поглиблен-ня засвоєння ними фактичного матеріалу, розуміння місця теоріїймовірностей серед інших математичних дисциплін в процесіісторичного становлення науки;

2) розширення розумового кругозору студентів, підвищенняїх загальної культури.

На математичному факультеті ВДУ є курс історії математи-ки, який викладається на V курсі. Проте цей курс читається післятого, як прочитані основні математичні курси і, крім того, дета-льно висвітлити історію всіх галузей математики практично не-можливо. Тому при вивченні конкретних математичних дисцип-лін виникає необхідність в історичному аспекті викладання.

Знайомство з історією теорії ймовірностей починається длястудентів математичного факультету з першої лекції, де висвіт-люються основні етапи розвитку науки. При виділенні етапівпритримуємось класифікації, запропонованої в [1].

Проте історичний матеріал вступної лекції служить лишесхемою і вимагає подальшої деталізації, оскільки теоретичні по-ложення науки ще не відомі студентам і вони не в змозі оцінитиосновні результати великих вчених; крім того, обмеження в часіне дозволяє висвітлити деякі цікаві факти з історії. Тому в про-цесі викладу теоретичного матеріалу постійно звертаємось дофактів з історії науки, тісно переплітаючи їх з систематичнимвикладом всього матеріалу програми. Лише таке переплетіннясприяє досягненню вище згаданої мети.

Використання історичних фактів здійснюємо по таких на-прямах:

1) Знайомство з еволюційним шляхом становлення основ-них теоретичних положень науки (понятійний апарат, теореми).

209

Обов’язковий історичний екскурс при вивченні граничних тео-рем в схемі Бернуллі, поняття випадкової величини, таких нарі-жних результатів теорії ймовірності, як закон великих чисел,центральна гранична теорема.

Так при вивченні закону великих чисел прослідковуєтьсяланцюжок від знаменитої теореми Я. Бернуллі про зближенняпри збільшенні числа спостережень ймовірності події А з відно-сною частотою її появи до узагальнення цього результату С. Пу-ассоном (1837 р.). Далі суттєвий крок в цьому напрямі зробивП.Л. Чебишов (“Про середні величини”, 1867 р.). Наступнийкрок – посилений закон великих чисел – зв’язаний з іменамиЕ. Бореля (1909 р.) і А.М. Колмогорова (1930 р.).

2) Короткий виклад змісту тих праць з теорії ймовірностей,які акумулювали ідеї, що мали величезний вплив на весь наступ-ний розвиток науки. Першою в цьому списку стоїть роботаЯ. Бернуллі “Мистецтво передбачення” (1713 р.), саме в цій пра-ці сформульована і доведена згадана вище теорема Бернуллі.Сюди відносяться “Аналітична теорія ймовірностей” (1812, 1814,1820 рр.) П. Лапласа, “Основні поняття теорії ймовірностей”(1935 р.) А.М. Колмогорова. В останній запропоновано аксіома-тику, яка стала загальноприйнятою – а ще в 1900 році Д. Гіль-берт відніс створення аксіоматики теорії ймовірностей до однієїз нерозв’язних проблем.

3) Специфіка теорії ймовірностей – тісний зв’язок з суспі-льною практикою, рушієм розвитку теорії ймовірностей були нетак внутрішні проблеми науки, як зовнішні чинники і практичнізадачі. Так, наприклад, стимулом до розвитку теорії ймовірнос-тей в XIX столітті послужили проблеми створення єдиної теоріїпомилок спостережень (астрономія, фізика, геодезія), теорії стрі-льби, демографії. Звідси в процесі викладання основ науки вини-кає необхідність у висвітленні відповідного історичного періодув аспекті тих його проблем, що спонукали розширення арсеналупонять і методів дослідження теорії ймовірностей.

Теорія ймовірностей дозволяє застосовувати історичні фактина практичних заняттях, причому не в розріз з основною метоюзаняття. Мається на увазі розв’язування історичних задач, які щерозв’язували відомі вчені. Таке розв’язування служить ілюстра-цією теоретичних положень, які розглядаються на практичному

210

занятті і несе певне історичне навантаження.Таких задач є дуже багато. Наприклад, задачі Шевальє де

Мере, запропоновані Паскалю про тактику гри в кості і про роз-поділ ставок при незакінченій грі (класичне означення ймовірно-сті, алгебра подій), задача Банаха (схема Бернуллі), задача Бюф-фона і задача Буняковського з першого підручника по теоріїймовірностей в Росії (геометрична ймовірність, тощо).

211

ДЕЯКІ МЕТОДИ АКТИВІЗАЦІЇ ПІЗНАВАЛЬНОЇДІЯЛЬНОСТІ СТУДЕНТІВ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ

ФАКУЛЬТЕТІВ ПРИ ВИКЛАДАННІКУРСУ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

О.В. Стара, О.Р. Гарбичм. Дрогобич, Дрогобицький державний педагогічний університет

імені Івана Франкаnvts_kameniar@drohobych.net

На сучасному етапі реформування системи освіти в Україніодним із головних завдань теорії і практики навчання є побудоваі впровадження на різних етапах освітнього процесу методичнихсистем, які б забезпечували умови для всебічного розвитку уч-нів. Освіта “є засобом відтворення й нарощування інтелектуаль-ного, духовного потенціалу народу дієвим чинником модерніза-ції суспільства, зміцнення авторитету держави на міжнароднійарені” [1].

Навчання у вищій школі слід розглядати як ланку єдиногопроцесу освіти людини, який відбувається протягом усього жит-тя, і завдяки чому людина здобуває спроможність змінювати се-бе, пристосовуватися до суспільно мінливих умов, оскільки саметут відбувається становлення особистості й закладається фунда-мент для її самореалізації у подальшій життєдіяльності.

Курс математичного аналізу в університеті має невичерпніможливості для всебічного розвитку особистості, формуваннялогічного мислення та розвитку інтелекту студентів. Зараз, якніколи, Україні потрібно піднести її творчий та інтелектуальнийпотенціал. Інтелектуальний розвиток, талант, творча обдарова-ність стають сьогодні запорукою інтенсивного розвитку країни ісприятливим фактором національного престижу.

Математичний аналіз – один із основних математичнихкурсів, які читаються на фізико-математичних факультетах, ос-новним об’єктом якого є функція, а основним методом їх ви-вчення – теорія границь. До основних понять математичногоаналізу можна віднести і поняття дійсного числа, теорія якогозастосовується при доведенні існування степеня з ірраціональ-ним показником та визначення числа e (до речі, це число в курсі

212

середньої школи ніяк не визначається, хоч і використовуєтьсяпоняття натурального логарифму).

Вивчення математичного аналізу переслідує дві головні ме-ти:

1) показати на змістовних задачах із різних областей знаньможливість використання його ідей;

2) навчити прийомам і методам диференціального і інтегра-льного числень.

При читанні лекцій з математичного аналізу слід враховува-ти педагогічну направленість університету, пов’язану з підготов-кою висококваліфікованих вчителів математики і фізики серед-ньої школи. Підбирати задачі, які б закріплювали і поглиблюва-ли матеріал математичного аналізу, та мали б пряме відношеннядо курсу математики середньої школи.

Так, наприклад, рівняння37x+12- 31-6x =2

можна розв’язати стандартним шкільним способом, однак задачадопускає значно простіший розв’язок. Легко бачити, що ліва ча-стина рівняння зростаюча функція в області визначення, томурівняння має тільки один очевидний розв’язок x=1.

Нікому не прийде в голову розв’язувати рівняння3 3 94x-1+ x+1+ x-6=6

піднесенням до кубу обох частин даного рівняння (до речі сказа-ти, що це полегшує задачу). Зауваживши, що ліва частина рів-няння зростаюча функція, легко побачити єдиний розв’язок x=7.

За допомогою поняття опуклої функції можна доводити не-рівності, які іноді не піддаються елементарним методам дове-дення.

Доведемо нерівність n 1 n a nbab ,

n 1+ +Ј

+де а і b –додатні чис-

ла.Скористаємося теоремою Ієнсена: Якщо функція f(x) опукла

вниз на (a, b), то для ∀ x1, x2 ∈ (a, b) і a1, a2 ∈ [0, 1] має місце не-рівність

f(α1x1+α2x2)≤α1f(x1)+α2f(x2)

Функція f(x)=ln x опукла вниз, бо ( ) 0x

1xf

2<−=′′ .

213

Маємо1

n n+1a+nb a n 1 n

ln =ln + b lna+ lnb=ln (ab )n+1 n+1 n+1 n+1 n+1

≥

Звідсиnn+1 a+nb

ab .n+1

≤

На прикладі: розв’язати нерівність (4x–x2–3)log2(cos2πx+1)≥1проілюструємо використання обмеженості функції. Зауваживши,що

1≤cos2πx+1≤2, x∈ R,маємо

0≤log2(cos2πx+1)≤1.У той же час

4x–x2–3≤1, x∈ R.Отже,

(4x–x2–3)log2(cos2πx+1)≤1.Це означає, що кожний множник лівої частини даної нерів-

ності дорівнює одиниці і для знаходження матимемо систему2

22

4x-x -3=1,

log (cos πx+1)=1,

розв’язком якої є x=2.Вказані властивості функції (монотонність, обмеженість, ви-

пуклість) досить часто застосовуються до розв’язання задач зпараметрами, без яких не обходиться жоден вступний екзамен зматематики у ВНЗ.

При викладанні математичного аналізу повинна переважатиприкладна спрямованість теорії, необхідність показу реальнихджерел математичних понять. Найефективнішими у цьому планіє так звані екстремальні задачі. Визначний російський математикП.Л. Чебишев (1812–1894) підкреслював важливість тих методівнауки, які дозволяють розв’язувати задачу, загальну для всієїпрактичної діяльності людей: як розпоряджатися своїми кошта-ми для досягнення найбільшої вигоди. Особливу увагу слід ак-центувати на новітні досягнення математики, застосування їх врізних областях природознавства, техніки, соціальних науках таекономіки.

214

На лекціях важливо виховувати не тільки звичку до логічнихвисновків, а і математичну інтуїцію, яка дозволяє передбачитикінцевий результат і приблизні міркування для його отримання.“Розвиткові математики сприяють скоріше ті, хто відзначаєтьсяне стільки строгістю своїх доведень, скільки інтуїцією”, – писаввідомий німецький математик Ф. Клейн. Поєднання високоготеоретичного рівня лекцій з доступністю в розумінні – великамайстерність лектора.

Глибокому розумінню курсу і оволодіння його методами до-помагають відомості про розвиток і зміст основних ідей і понятьсучасної математики. Історія розвитку вітчизняної математикимає не тільки освітнє, а й виховне значення. Вона збуджує інте-рес до математики, знайомить з роллю математики у науково-технічному прогресі, із життям і творчістю видатних вітчизнянихматематиків, виховує любов і повагу до науки, високі моральніякості, почуття патріотизму.

При вивченні математичного аналізу, просліджуючи розви-ток методів інтегрування функцій, ми зустрічаємося з ім’ям сла-ветного українського математика М.В. Остроградського. Відо-мим є його метод інтегрування раціональних функцій (виділенняраціональної частини). Він першим визначив правило замінизмінних у кратних інтегралах, вивів формулу перетворенняоб’ємного інтеграла у поверхневий, яка ввійшла в аналіз під на-звою “формула Остроградського”. Надалі ця формула ним уза-гальнюється на випадок довільного числа змінних. І, взагалі,майже всі основні результати у теорії кратних інтегралів нале-жать М.В. Остроградському.

До курсу слід включати складні і оригінальні задачі, якісприяють розвитку математичної культури студентів і розвива-ють їх творчі здібності. Напружена робота над розв’язаннямскладних задач приносить більшу користь, ніж розв’язання деся-тків однотипних задач за відомими алгоритмами. Відсутністьустановлених традицій при розв’язанні нестандартних задач ви-кликає завжди певні труднощі. Тому чим більше студент будезнайомитися з нетрадиційними методами розв’язання задач, тимбільше буде розвивати кмітливість, розширювати кругозір, по-требу знаходження нових шляхів у розв’язанні задач, а, отже, іпотребу вивчення нової математичної літератури.

215

Так, наприклад, перераховуючи основні методи інтегруван-ня, слід підкреслювати, що вони не вичерпують всі можливі ме-тоди знаходження первісних. Часто при відшуканні первіснихможна користуватися штучними прийомами, знаходження якихдосягається практикою. Знайомство з такими штучними метода-ми розвиває у студентів творчу думку. Це можна показати нанаступних прикладах:

Задача 1. Визначити всі функції f: R→[1, +∞], що мають по-хідну f' на R і задовольняють умові

∫∫ =∈∀x

1

f(x)

1

u

f(u)

ududue:Rx

2

[3].

Після диференціювання обох частин рівності, одержимо:

f(x)

x(x)fe (x)f 2

=′ ,

звідкиx=′(x)f(x)fe (x)f 2

.Проінтегрувавши обидві частини останньої рівності, мати-

мемо:

,2

C

2

x)d(f(x)e

2

1 22(x)f 2

+=∫ або Cxe 2(x)f 2

+= .

Отже,

0cR,x,C)ln(xf(x) 2 ≥∈+= .

Задача 2. Обчислити інтеграл

∫ +

π

02

dxxcos1

sinxx[4].

Підстановка x=π–t приводить до рівності

∫ ∫ +−=

+

π

0

π

022

dttcos1

t)sint(πdx

xcos1

xsinx,

або

∫ ∫∫ +−

+=

+

π

0

π

02

π

022

dxxcos1

sinxxdx

xcos1

sinxdx

xcos1

xsinx π ,

звідки

216

4

πx)arctg(cos

2

πdx

xcos1

sinx

2

πdx

xcos1

sinxx 2π

0

π

02

π

02

=−=+

=+ ∫∫

Задача 3. Обчислити інтеграл Пуассона

∫ +−=π

0

2 )dxr2rcosxln(1J(r) . [5].

При |r|≠1 підінтегральна функція неперервна і тому інтеграліснує. Обчислимо його за допомогою деякого штучного прийо-му.

Розглянемо інтеграл

∫ ++=−π

0

2 )dxr2rcosxln(1r)J(

і покладемо в ньому x=π–t, будемо мати

J(r))dtrt2rcos-ln(1t)-)d(πrt)-2rcos(πln(1r)J(π

0

20

π

2 =+=++=− ∫∫Отже, маємо

∫ +++=+=π

0

22 )dtrx2rcos)(1rx2rcos-ln(1J(-r)J(r)2J(r) ,

або

∫ +=π

0

42 )dxr2xcos2r-ln(12J(r)

Покладаючи2

tx = (t змінюється від 0 до 2π), одержимо

∫∫ +++=2π

π

42π

0

42 )dtrtcos2r-ln(12

1)dtrtcos2r-ln(1

2

12J(r) .

В останньому інтегралі замість t підставимо 2π–t і матимемо

),J(r)dtrcost2rln(1

)dtrtcos2r-ln(12

1)dtrtcos2r-ln(1

2

12J(r)

2π

0

42

π

0

42π

0

42

=+−=

=+++=

∫

∫∫

217

тобто 2J(r)=J(r2), звідки )J(r2

1J(r) 2= . Далі, замінюючи r на r2,

одержимо загальну формулу:

)J(r2

1J(r) 2n

n= .

Якщо |r|<1, то 0rlim 2n

n=

∞→і J(r)=0.

Якщо |r|>1, то інтеграл J(r) можна легко обчислити.Дійсно,

)r

1cosx

r

12(1rr2rcosx1

222 +−=+−

і

)r

1cosx

r

12ln(12ln(r))r2rcosxln(1

22 +−+=+− .

Тоді

2ln(r)π

)dxr

1cosx

r

2ln(12ln(r)dx)dxr2rcosxln(1

π

0

π

02

π

0

2

=

=+−+=+− ∫ ∫∫

Засвоєння математичного аналізу неможливе без системногорозв’язання задач, що допомагає студентам зрозуміти теоретич-ний матеріал, одержати інтуїтивне уявлення про математичніабстракції, привчає студентів до самостійного продумування те-орії, виробляє смак до одержання самого результату розв’язанняскладних задач.

Студентів потрібно вчити не тільки основним методамрозв’язання задач математичного аналізу, а і знайомити з при-йомами конструювання математичних об’єктів. Прикладамитаких задач можуть бути:

1) Побудувати функцію, яка в одній точці має усувний роз-рив, у другій – розрив другого роду, а в усіх інших точках непе-рервна.

2) Побудувати такі дві функції, кожна з яких розривна в то-чці x=1, а їх добуток є неперервною функцією в цій точці.

3) Побудувати функцію рівномірно неперервну на проміж-ках [a, b] і (b, c], яка не є рівномірно неперервною на [a, c].

4) Чи існує послідовність, часткові границі якої належать

218

множині1

,n Nn

∈

?

5) Чи існує послідовність, часткові границі якої належатьінтервалу (a, b)?

6) Підібрати декілька нерівностей, які доводяться за допо-могою опуклих функцій.

7) Знайти всі неперервні на R функції, які задовольняютьрівняння

f(x+a)=f(x)+b,де a, b ∈ R.

Ефективним засобом формування творчої особистості є за-лучення студентів до наукової роботи. Досить високо цінуєтьсяорганізація наукових семінарів для розвитку студентської науко-вої роботи, на яких студенти реферативно доповідають деякістатті з математичних журналів, знайомлять слухачів ізрозв’язками цікавих задач і тощо. Робота студента на семінарі –це засіб розвитку його здібностей. Велику роль у цьому відігра-ють проведення “Тижня науки”, “Дня відкритих дверей”, на якихорганізовуються зустрічі з провідними вченими країни, прове-дення наукових конференцій.

Література1. Національна доктрина розвитку освіти України в ХХІ

столітті // Педагогічна газета, липень 2001 року, стор. 4.2. Дороговцев А.Я. Математический анализ. Справочное

пособие. – К.: Вища школа, 1985. – 528 с.3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегра-

льного исчисления. –М.: Физматгиз, 1962. – Ч. ІІ. – 316 с.4. Садовий В.А., Подколзин А.С. Задачи студенческих оли-

мпиад по математике. –М.: Наука, 1978. – 207 с.

219

ОРГАНIЗАЦIЯ НАВЧАЛЬНОГО ПРОЦЕСУПРИ ВИВЧЕННІ КУРСУ “ВИЩАМАТЕМАТИКА”

I.М. Суліма, I.I. Ковтун, I.А. Нiкiтiнам. Київ, Нацiональний аграрний унiверситет

ira@otblesk.com

Перебудова вищої освіти в нашій державі триває. Більшістьвищих навчальних закладів перейшла на триступеневу системунавчання: бакалавр, спеціаліст, магістр. Така організація освітипов’язана з тим, що потрібно пiдготувати таких спецiалiстiв, якiб користувалися попитом на ринку працi, були конкурентносп-роможними. В сучасних умовах спеціаліст має бути здатним нетільки володіти потрібними технологіями, але і вміти оновлюва-ти свої знання, оволодівати новітніми технологіями. Це стосу-ється будь-якого сучасного фахівця.

Перед вищою школою стоїть задача поліпшення теоретичноїта практичної підготовки майбутніх фахівців на сучасному нау-ковому рівні, підвищення ефективності якості навчання. Необ-хідно забезпечити перехід до підготовки спеціалістів широкогопрофілю на базі фундаментальної, загальнонаукової, професійноїта практичної підготовки. Треба посилити міждисциплінарнізв’язки та математизацію загальнонаукових і спеціальних дис-циплін. З одного боку, треба наповнювати математичні курсиконкретним змістом науково-технічних задач спеціальних дис-циплін, з другого, використовувати математичні методи в курсахспеціальних дисциплін.

В останній час виникла необхідність подальшої перебудовиорганізації вищої освіти. Кваліфікація “спеціаліст”, притаманнанашій освіті, у вищих навчальних закладах, наприклад, ЗахідноїЄвропи, відсутня. Тому у Національному аграрному університетірозробляють двуступеневу систему навчання: бакалавр – 4 рокинавчання та магістр – 6 років навчання.

Традиційна вища школа давала глибокі і цілісні знання звищої математики всім, хто бажав їх отримати. Це наступна ор-ганізація навчання: читаються лекції, проводяться практичні талабораторні заняття, є декілька контрольних робіт. В кінці семе-стру проводиться іспит, і студент отримує відповідну оцінку.

220

При цьому не враховується, чи працює студент систематично, чиглибокі у нього знання. Набуті знання можуть бути нестійкими –“предмет здав, собі мало що залишив”.

Нова організація навчання потребує розробки нових техно-логiй органiзацiї навчального процесу. З’явилася нагальна по-треба вiдмовитися вiд традицiйних пасивних форм проведеннязанять i перейти до нестандартних методiв iндивiдуального на-вчання. Акцент ставиться на самостійну роботу студента. В по-дальшому повинні перейти від здачі іспитів у семестрах до наби-рання так званих кредитів.

Індивідуальна самостійна робота зі студентами під контро-лем і за допомогою з боку викладача дозволяє розвивати у сту-дентів діалектичне мислення, сприяє розумінню сутності явищ вусій їх повноті.

На кафедрі вищої математики НАУ такий перехід не пови-нен бути важким. Навчальний процес органiзовано так, що сту-дент самостiйно обирає спосіб вивчення необхідного матеріалу,враховуючи свої здібності і свої базові знання з елементарноїматематики. Він привчається мислити самостійно, що проявля-ється не тiльки в умiннi розв’язувати новi проблеми, але i в здат-ностi побачити цi проблеми самостiйно.

Закладаючи основи знань i розвиваючи здатнiсть до само-освiти, до сприйняття нових iнформацiйних технологiй, ми за-кладаємо основи вмiння оволодiвати i новими знаннями, і (припотребі) новими спеціальностями.

Відомо, що математика для майбутнього інженера єiнструментом для вивчення нових спецiальних дисциплiн на базiматематичного апарату, інструментом для обробки експеримен-тальних даних i для складання математичної моделі досліджува-ного процесу. Високий рiвень фундаментальної пiдготовки – за-порука успiху в оволодiннi методами самостiйного пошуку iпiдбору спецiальних знань для їх реалiзацiї у практичнiйдiяльностi iнженера.

Отже, організації самостійної роботи студента потрібно при-діляти особливу увагу. Привчити студентів працювати система-тично – одна із головних умов успіхів у навчанні при здобуваннітвердих знань.

Крім бажання самостійно працювати, потрібно створити не-

221

обхідні умови для навчання. Одним із пріоритетів є забезпеченнянавчальною і методичною літературою.

На жаль, кількість годин для вивченні вищої математикискорочується. Тому методична забезпеченість курсу вищої мате-матики відіграє суттєву роль.

На кафедрі вищої математики НАУ в 1993–1996 роках вида-но українською мовою цикл лекцій з основних розділів курсу. Цілекції стали основою для навчальних посібників з вищої матема-тики, рекомендованих Міністерством освіти та науки для студе-нтів вищих аграрних навчальних закладів України [1, 2]. Вийшовдруком і “Збірник задач. Вища математика” (рекомендованийМіністерством освіти та науки для вищих навчальних закладів),який містить задачі зі всіх розділів вищої математики, що вхо-дять у програму з вищої математики для інженерних спеціально-стей вищих аграрних навчальних закладів [3]. Тим самим кафед-ра вищої математики НАУ повністю забезпечила своїх студентівнеобхідною навчальною літературою.

Крім цього, розроблено цикл методичних розробок для ви-конання студентами індивідуальних завдань та типових розраху-нків, які студент повинен обов’язково виконати протягом семес-тру. Типовий розрахунок містить перелік прикладів і практичнихзадач з використанням конкретного математичного апарату. Пе-редбачено подальший захист типового розрахунку з опитуван-ням по теорії та розв’язуванням аналогічних задач.

Зважаючи на те, що не всі студенти в середній школі отри-мали знання з математики, які необхідні їм для подальшого на-вчання, опубліковано “Довідник з елементарної математики” таматематичні вказівки з основних розділів елементарної матема-тики, що дає змогу студентам самостійно ліквідувати прогалиниу знаннях, згадати при цьому основні теоретичні положення зкурсу елементарної математики, розібрати їх застосування длярозв’язку конкретних прикладів і задач [4].

Викладачі кафедри, крім методичних розробок, запропону-вали студентам навчально-методичні посібники, наприклад, зтаких розділів, як “Диференціальні рівняння та системи” і“Ряди”. Ці посібники є розробками практичних занять. Вони міс-тять необхідний теоретичний матеріал і достатню кількість дета-льно розв’язаних прикладів. Це дає змогу студенту повторити

222

необхідні теоретичні положення, які вони дістали на лекціях, ірозібрати самостійно, як розв’язано той чи інший приклад. При-клади для самостійної роботи дозволяють перевірити власнізнання і навички.

Застосування запропонованої системи організації навчання,самостійної роботи студентів і контролю їх знань допомагаєякiсно пiдготувати спецiалiстiв, здатних сприймати новiiнформацiйнi технологiї, з одного боку, з іншого боку, пiдвищуєрiвень навчально-методичної роботи викладача.

У студентському колективі створюється обстановка напру-женої творчої роботи по оволодінню знаннями, атмосфера прин-ципових взаємних вимог. З’являється можливість акцентуватиувагу на поглибленні вивчення окремих розділів курсу, практич-не застосування математичного апарату з урахуванням профілюпідготовки майбутніх спеціалістів. Переглядаються робочі про-грами, окремі розділи виділяються для самостійного вивченнястудентами, що стає можливим завдяки високому рівню методи-чного забезпечення курсу вищої математики. Розвивається зма-гання між студентами в процесі навчання, підвищується відпові-дальність за результати праці, з’являється стимул для системати-чної роботи, усвідомлюється роль кожного студента в навчаль-ному процесі.

Запропонована методика може бути використана для управ-ління навчальною діяльністю студентів при вивченні курсу ви-щої математики, оптимізації та інтенсифікації навчального про-цесу.

Література1. Суліма І.М., Ковтун І.І., Радчик І.А. Вища математика. Части-на перша. Лінійна та векторна алгебра. Аналітична геометрія.–К.: Видавництво НАУ, 2003.

2. Суліма І.М., Ковтун І.І., Яковенко В.М. Вища математика.Частина друга. Вступ до математичного аналізу. Диференціа-льне та інтегральне числення функцій однієї змінної. – К.:Видавництво НАУ, 2003.

3. Суліма І.М., Ковтун І.І., Батечко Н.Г., Нікітіна І.А., Яковен-ко В.М. Вища математика. Збірник задач. – К.: ВидавництвоНАУ, 2003.

223

4. Суліма І.М., Нікітіна І.А., Якимів Р.Я. Довідник з математикидля абітурієнтів НАУ. – К.: Видавництво НАУ, 2003.

224

СЕМІОТИЧНИЙ КОМПОНЕНТМАТЕМАТИЧНОЇ ПІДГОТОВКИ СТУДЕНТІВ

Н.А. Тарасенковам. Черкаси, Черкаський національний університет

ім. Б. Хмельницькогоntaras@list.ru

В умовах реформування системи освіти в Україні, поступо-вого входження нашої держави до європейського освітньогопростору залишаються актуальними проблеми забезпечення яко-сті фундаментальної математичної підготовки у вищих навчаль-них закладах та створення сприятливих умов для особистісногостановлення студентської молоді.

Істотне значення для навчання математики і розвитку студе-нтів має не тільки предметний зміст, його сутність та логічна ор-ганізація, але й ті форми, в яких цей зміст матеріалізується, на-буває реальності буття. Розуміння абстрактного математичногозмісту та оперування ним неможливе без певної семіотичної дія-льності, оскільки зміст зберігається в деякій оболонці, а його пе-ретворення пов’язане з певними змінами цієї оболонки. Лишетоді, коли зміст і форма математичних абстракцій виступає длястудентів у діалектичному поєднанні, можна говорити про сві-доме засвоєння змісту. Так званий формалізм у знаннях студен-тів є проявом спаювання змісту й форми, що є антиподом їх діа-лектичного поєднання.

За наявності таких спайок в особистому досвіді студентіввони стають безпорадними у ситуаціях, що хоч трошки відріз-няються від стандартних. Аналіз змісту та оперування ним стаєнеможливим, оскільки зміст не ідентифікується за його зміненоюоболонкою. При цьому виникають помилки, утруднення, невда-чі, а значить, студенти опиняються в стані особистісних поразок.Їх накопичення в досвіді студентів спричиняє утворення певноїустановки стосовно неспроможності вивчати математику на на-лежному рівні, що здебільшого веде до відмови від активної на-вчально-пізнавальної діяльності. Під тиском зовнішніх обставинтакі студенти частіше за все лише імітують учіння. Все це, без-перечно, негативно впливає на хід і результати навчання. За та-

225

ких умов про формування позитивної, мажорної Я-концепції якоднієї з рушійних сил особистісного становлення [6] тих, хтонавчається, не може бути й мови.

Інша справа, коли певний математичний зміст дозволяє за-гортати його у різні оболонки й студенти навчаються оперуватикожною з них, заміняти оболонки одна на одну, не пошкоджую-чи зміст, розрізняти відмінності змісту навіть за схожими оболо-нками тощо. Саме в цьому ми вбачаємо нові можливості для збі-льшення кількості «ступенів свободи» особистості студентів прививченні математики та підвищення результативності навчання.У цьому полягає сутність принципу максимізації різноманітностіособистості студентів. Цей принцип є новим для теорії і методи-ки навчання математики. Його привносить семіотичний підхід доосвіти.

Науковими засадами семіотичного підходу до математичноїосвіти виступають:- дані філософії про природу пізнання й активності людини тароль у них знаків і символів (Г.О. Арсентьєва; І.В. Бичко та ін.;В.А. Бугров; Є.К. Войшвілло; Г.В.Ф. Гегель; Д.П. Горський;І.А. Джидарьян; Н.Г. Джинчарадзе; Г.А. Заіченко та ін.;Е.В. Ільєнков; М.С. Каган; В.О. Карпунін; П.В. Копнін,О.М. Коршунов і В.В. Мантатов; П.В. Кретов; І.С. Нарський;І. Пригожин; Б. Рассел; Г.С. Сковорода; А.П. Шептулін;Е.Г.Юдін);

- відомості про природу психіки людини та особливості її розви-тку в онтогенезі (Л.С. Виготський; Л.В. Занков; О.В. Запоро-жець; Г.С. Костюк; О.М. Леонтьєв; С.Д. Максименко; С.Л. Ру-бінштейн; В.В. Рубцов; П.Р. Чамата; Д.Б. Ельконін);

- теорія діяльності (Л.С. Виготський; О.М. Леонтьєв; С.Л. Рубі-нштейн; В.А. Семиченко та ін.);

- психологія мислення та особливості його розвитку в процесінавчання (Дж. Андерсон; П.П. Блонський; Дж. Брунер;О.В. Брушлінський; Л.С. Виготський; П.Я. Гальперін; В.В. Да-видов; Е. Де Боно; Д.Н. Завалишина; Л.В. Занков; В.П. Зінчен-ко; З.І. Калмикова; А.О. Люблінська; Н.О. Менчинська;В.Ф. Паламарчук; Ю.А. Петров; Ж. Пиаже; Я.О. Пономарьов;В.Н. Пушкін; С.Л. Рубінштейн; Г.О. та Н.В. Шулдик,С.О. Явоненко)

226

- надбання семіотики (М.М. Бахтін; Ф. Де Соссюр; Е. Кассирер;О.Ф. Лосєв; Ю.М. Лотман; В.В. Мантатов; Ч.У. Моррис;Ч.С. Пірс; В.М. Розін; Ю.С. Степанов; Б.О. Успенський;Г.П.Щедровицький),

- психолінгвістики (І.О. Зимня; Г. Клаус; О.О. Леонтьєв;В.В. Налімов; О.М. П’ятигорський; О.М.Шахнарович та ін.);

- науково-теоретичні положення семіотичного напряму психо-логії (Л.С. Виготський; М.В. Гамезо, Б.Ф. Ломов і В.Ф. Руба-хін; Г.О. Глотова; Т.М. Дридзе; Ж. Піаже; Н.Г. Салміна;Т.С. Яценко);

- сучасні дані щодо семіотичних аспектів дидактики (А.О. Веря-єв; В.М. Кларін і В.М. Петров; О.С. Лобанов; Є.О. Петрова);

- підходи, що пропонують філософія, психологія й дидактика довирішення проблем розуміння у навчанні (В.А. Бугров;Г.Г. Граник та ін.; Л.П. Доблаєв; А.О. Залевська; В.В. Знаков;Л.Я. Зоріна; Н.В. Ігнатенко; Н.В. Карпенко; А.Б. Коваленко;Є.Т. Коробов та І.В. Распопов; Т.Ю. Крушинська; М.В. Ричик;М.М. Розенберг та ін.; В.Ф. Сетьков; А.М. Сохор; Н.В. Чепелє-ва).Найзагальнішим поняттям у психології є поняття діяльності.

Аналогічний статус у семіотиці має поняття семіозису. Згідно зозначенням Ч.Морриса [3, 130], «семіозис (або знаковий процес)розглядається як п’ятичленне відношення, – V, W, X, Y, Z, – вякому V викликає у W схильність до визначеної реакції (X) напевний вид об’єкта (Y) при певних умовах (Z). У випадках, деіснує це відношення, V є знак, W – інтерпретатор, X – інтерпре-танта, Y – значення (означування, сигніфікація), а Z – контекст, вякому зустрічається знак». У результаті, знакова ситуація вини-кає там, де мають місце наступні відношення (перші три з нихуведено Ч. Моррисом): «знак – знак» (синтактика); «знак – по-няття» (семантика); «знак – людина» (прагматика); «знак –об’єкт» (сигматика); «людина – людина» (використання знакадля комунікативного процесу). Останнє відношення вважаєтьсяпровідним (У. Еко, Л.С. Виготський, А.О. Веряєв).

Однак, не тільки окремі знаки чи їх певні комбінації можутьнести дані про деякий зміст. У сучасних роботах із семіотики, щоспираються на концепцію М.М. Бахтіна [1], підкреслюється, щобільш ємним у порівнянні з поняттям «знак» є поняття «вислов-

227

лення», в якому деяка послідовність окремих знаків набуває ви-гляду зв’язного тексту. Як зазначає А.О. Веряєв [2], і знак, і ви-словлення несуть відомості, але у висловленні відображається нетільки знаковість, але й процесуальна сторона інформаційноївзаємодії – акти комунікації.

О.М. П’ятигорський підкреслює [4, 32], що людина живе у«світі вибору», а вибір спричинює появу знаковості. Знаковістьвиникає у процесі стиснення можливостей, вибору однієї реалі-зації з множинності. Отже, семіозис постійно супроводжує опра-цювання повідомлень людиною.

У навчальній діяльності знаково-символьні засоби фіксаціїзмісту (ЗСЗ) виконують заміщувальну, пізнавальну та комуніка-тивну функції [5], за їх допомогою утворюється інформаційнаоснова такої діяльності студента, як учіння.

Реалізація семіотичного підходу до математичної освітипов’язана із таким розглядом проблем методики навчання, голо-вний наголос в якому ставиться на зв’язку цілей, змісту, методів,засобів та організаційних форм навчання зі структурою й функ-ціонуванням знакових систем у тих, хто навчається, і який спів-відносить семіозис студентів з освітнім процесом. З позицій цьо-го підходу, навчання математики студентів необхідно будуватияк цілеспрямований процес формування у них функціонуючихсеміотичних систем.

При вивченні математики використовуються різні ЗСЗ [7]:серед вербальних засобів – об’єктні тексти, термінологія, симво-ліка, математичні речення, навчальні тексти, тексти задач, текстизапитань, піктограми (чи записи з елементами піктографії); середневербальних ЗСЗ – зображення геометричних фігур, змістово-графічні інтерпретації інших математичних понять і фактів, таб-лиці, діаграми, схеми, графіки, аналітичні конфігурації, реальніпредмети, макети й конструкції, художньо-образні ілюстрації,засоби пластики.

Семіотичні особливості окремих ЗСЗ та їх комбінованого йсистемного використання, а також специфіка діяльності замі-щення, кодування (декодування й перекодування), схематизації,моделювання (метамоделювання й складеного моделювання)визначають умови, в яких функціонуватиме семіозис студентів.Його гармонійне, безконфліктне протікання має безпосередній

228

вплив на хід і результати процесу навчання математики [7].Семіотичний компонент математичної підготовки студентів

пов’язаний із розвитком семіотичної функції їх психіки (узагаль-неної здатності сприймати умовності та оперувати ними), збага-ченням їх семіотичного досвіду, зокрема, формуванням і розвит-ком певних семіотичних умінь. До їх переліку можна включитинаступні уміння:- навести приклад поняття;- навести контрприклад до поняття;- навести приклад ситуації, де можна застосувати певний мате-матичний факт (теорему, формулу);

- навести приклад ситуації, де не можна застосувати певний ма-тематичний факт (теорему, формулу);

- навести приклад ситуації, де можна застосувати певний спосібдіяльності (правило, алгоритм);

- навести приклад ситуації, де не можна застосувати певнийспосіб діяльності (правило, алгоритм тощо);

- співвідносити поняття, факт чи спосіб діяльності з відповіднимнауковим математичним терміном;

- співвідносити поняття, факт чи спосіб діяльності з відповідноюсимволікою;

- співвідносити поняття, факт чи спосіб діяльності з відповідни-ми графічними замісниками;

- вичерпувати математичні відомості з навчального тексту;- вичерпувати математичні відомості з математичних речень

(виразів, рівнянь, нерівностей тощо);- вичерпувати математичні відомості з геометричних змістово-графічних інтерпретацій;

- вичерпувати математичні відомості з алгебраїчних змістово-графічних інтерпретацій;

- вичерпувати математичні відомості зі схем, таблиць, діаграм;- вичерпувати математичні відомості з навчальних ілюстрацій;- вичерпувати математичні відомості з аналітичних конфігура-цій;

- формулювати по-іншому означення поняття;- формулювати по-іншому теорему, аксіому, властивість тощо;- формулювати по-іншому правило, алгоритм, евристичну схе-му;

229

- відшукувати помилки;- формулювати запитання;- створювати план за навчальним текстом;- дотримуватися плану під час відповіді на теоретичні питання;- розв’язувати задачу за готовим планом;- створювати план за готовим розв’язанням задачі;- створювати аналітичні конфігурації;- позиціювати текстовий і графічний матеріал;- виявляти модельне відношення у тексті, що описує реальність;- створювати модель за умовою задачі;- співвідносити готову модель з умовою задачі.

Серед рівнів оволодіння студентами діяльністю зі знаково-символьними засобами (ДЗСЗ) можна виділити чотири різнови-ди: стихійно-репродуктивний, репродуктивний, реконструктив-но-варіативний, творчий.

Стихійно-репродуктивний рівень характеризується тим,що студент стихійно переносить із життя й попереднього на-вчання готові зразки ДЗСЗ в умови нової навчальної ситуації.

Репродуктивному рівню властиве свідоме запозичення іздосвіду викладача й інших студентів готових зразків ДЗСЗ і ви-користання їх без внесення змін та доповнень.

Реконструктивно-варіативний рівень оволодіння діяльні-стю зі знаково-символьними засобами полягає в тому, що сту-дент переносить засвоєні способи виконання ДЗСЗ в умови новоїнавчальної ситуації, вносячи окремі зміни у власну діяльність узалежності від особливостей конкретної ситуації, свідомо комбі-нує відомі йому способи виконання ДЗСЗ.

Творчий рівень характеризується тим, що учень спонтанностворює нові прийоми виконання ДЗСЗ.

Виявити рівень сформованості умінь студентів здійснюватиДЗСЗ можна під час виконання, наприклад, письмової самостій-ної роботи, у ході якої студентам дозволяється користуватисядопомогою (підказками) трьох рівнів деталізації. Допомога най-вищого рівня деталізації здійснюється через надання студентамзразка виконання завдання, аналогічного до того, яке міститься усамостійній роботі. Якщо студенту потрібна саме така допомога,це означає, що його уміння виконувати відповідну діяльністьсформоване на репродуктивному рівні. Якщо студент задоволь-

230

няється менш детальною підказкою (у вигляді основних орієнти-рів виконання діяльності, плану розв’язування задачі тощо) йдалі діє самостійно, це свідчить про те, що його уміння сформо-ване на реконструктивно-варіативному рівні. Якщо студенту непотрібні детальні підказки (достатнім є лише натяк на ідеюрозв’язування) й до того ж він діє, вносячи елементи новизни, цеможна розцінювати як прояв сформованості вміння на творчомурівні.

Для діагностування семіотичного компонента математичноїпідготовки студентів серед усіх можливих ситуацій застосуванняДЗСЗ у навчанні математики можна вибрати ті, які нерідко сти-хійно застосовуються викладачами в умовах традиційного на-вчання.

Наприклад, вміння студентів виконувати діяльність коду-вання у його ситуативному призначенні доцільно перевіряти ра-зом із вмінням вичерпувати зміст (діяльність декодування) івмінням загортати математичний зміст у нові знаково-символьніоболонки (діяльність перекодування). Тут можна застосовувативправи такого змісту: а) відшукайте у даному означенні (форму-люванні, формулі, рівнянні, змістово-графічній інтерпретації,графіку функції, схемі, таблиці тощо) всі математичні відомостіта випишіть їх; б) сформулюйте по-іншому ...; в) відшукайте івиправте помилку. Вміння студентів виконувати діяльність схе-матизації можна перевірити за допомогою завдань на зразок та-ких: а) розв’яжіть задачу за готовим планом; б) створіть планрозв’язування задачі за його розгорнутим записом; в) утворіть«зручно розташований» запис означення поняття (формулюван-ня теореми, формули тощо).

У процесі навчання добір і застосування знаково-символьних оболонок потрібно здійснювати на основі аналізутих конфліктів між логічним і візуальним, які можуть носити нетільки об’єктивний, історично зумовлений характер, але й (щочастіше) породжуватися суб’єктивними причинами – появоюнерозуміння змісту навчального матеріалу та негативної устано-вки щодо спроможності осягнути цей зміст; невмінням загортатизміст у різні знаково-символьні оболонки; наявністю спайок (а недіалектичного поєднання) змісту й форми, що утворилися в до-свіді студентів у попередньому навчанні, тощо. Застосування

231

лише одноманітних ЗСЗ у навчанні математики призводить догальмування процесу сприйняття та опрацювання даних студен-тами із різними когнітивними стилями, перешкоджає повномувичерпуванню змісту навчального матеріалу і врешті негативновпливає на хід і результати навчання.

Адекватні умови для навчання і розвитку всіх студентів прививченні фундаментальних математичних дисциплін у вузі ство-рюються за умов комплексного, системного й діяльнісного під-ходів до використання вербальних і невербальних ЗСЗ, залучен-ня студентів до процесу загортання кожного об’єкта засвоєння урізні знаково-символьні оболонки, формування у студентів від-повідних знань, навичок і вмінь та досвіду самостійної діяльнос-ті.

Література1. Бахтин М.М. Эстетика словесного творчества. – М.: Ис-

кусство, 1986 .– 45с.2. Веряев А.А. Семиотический подход к образованию в ин-

формационном обществе: Автореф. дис. ... д-ра пед. наук:13.00.01. – 2000. – 38 с.

3.Моррис Ч.У. Из книги «Значение и означивание». Знаки идействия // Семиотика: Антология / Сост. Ю.С. Степанов. – 2-еизд. – М.: Академический проект; Екатеринбург: Деловая книга,2001. – С. 129-143.

4. Пятигорский А.М. Некоторые общие замечания относите-льно рассмотрения текста как разновидности сигнала // Избран-ные труды. – М.: Школа «Языки русской культуры», 1996. – 590с.

5. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. – М.: Изд-воМГУ, 1988. – 286 с.

6. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии:Учеб. пособие. –М.: Народное образование, 1998. – 256 с.

7. Тарасенкова Н.А. Використання знаково-символічних за-собів у навчанні математики. – Черкаси: «Відлуння-Плюс», 2002.– 400 с.

232

МЕТОДОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ВИКЛАДАННЯТА ВИВЧЕННЯ СИСТЕМНОЇ НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

ЯК ФУНДАМЕНТАЛЬНОЇ НАУКИІ ЯК НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

Д.І. Ткачм. Дніпропетровськ, Придніпровська державна академія

будівництва та архітектури

Постановка задачиі На основі природничонаукового прин-ципу системності будь-яких реальних чи уявних об’єктів відпо-відних просторів розкрити системний зміст евклідової та монже-вої геометрій і, спираючись на нього, запропонувати таку педа-гогічну технологію викладання та вивчення системної нарисноїгеометрії, яка б діалектично об’єднувала в собі раціональність їїгеометричності і емоціональність її зображальності, що оптима-льно задовольняє вимогам до якісної професійної підготовки ар-хітекторів та дизайнерів.

Необхідність постановки такої задачі обумовлюється кризо-вим станом довузівської геометро-графічної освіти, головноюпричиною якого можна вважати відокремленість академічноїевклідової геометрії від практичного креслення, викладання яко-го в середній школі не є обов’язковим. Відсутня також загальнаідеологія такої освіти. Складається враження, що такий вид гра-мотності, як геометро-графічна, не є важливим у процесі форму-вання та виховання всебічно розвинутої особистості. А між тимсаме вона є головним чинником такого формування, від рівнядосконалості якого залежить рівень і якість матеріального та ду-ховного оточення людини.

Відомо, що елементарна або евклідова геометрія є однією знайдавніших наук, яка виросла на основі задоволення утилітар-них потреб людини, а графіка – переважно на основі задоволенняйого духовних потреб. Як математична навчальна дисциплінаевклідова геометрія є строгою дедуктивною наукою, вивченняякої в середній школі виховує логічне мислення учнів як необ-хідну основу їх майбутнього раціонального або концептуальногоскладу розуму.

У свою чергу, графіка як процес зображальної діяльності

233

людини і як її наслідки – малюнки, ескізи, начерки, робочі крес-лення, сприяють розвитку емоційно-чуттєвого або перцептуаль-ного складу розуму.

Таким чином, доповнюючи одне одного, геометрія і графікастворюють, поряд з іншими чинниками, сприятливу основу ком-плексного рішення головної проблеми педагогіки – вихованнявсебічно розвинутої особистості, виконання якої припадає надолю вищих навчальних закладів.

Ця обставина актуалізує роль і значення геометро-графічнихдисциплін у загальній структурі навчальних робочих планів під-готовки фахівців, професійна діяльність яких перенасичена зо-бражальним змістом – інженерів, конструкторів, архітекторів,дизайнерів, технологів, художників, словом всіх тих, хто працюєу сфері матеріального і духовного виробництва. В системі тво-рення ці фахівці утворюють підсистему “мислителів”, які вміютьбачити “внутрішнім поглядом” об’єкти, що проектуються, відчу-вати їх напружений стан, визначати їх майбутні якісні, кількісніта естетичні характеристики й кодувати одержану інформаціюпереважно графічно, у вигляді робочих проектів на створенняоб’єктів. Другу підсистему цієї системи складають“будівельники”, тобто, спеціалісти, які вміють знімати з проект-них матеріалів інформацію, необхідну їм для створення запроек-тованого об’єкту.

Важливість знань та умінь всіх учасників системи твореннянеможливо переоцінити, тому що ступень креативності“мислителів” і рівень виконавчої майстерності “будівельників” вцілому визначає відповідний рівень розвитку людської цивіліза-ції. Тому цілком природно, що підготовка високого рівня креа-тивності їх мислення і виконавчої майстерності повинна забез-печуватись такою педагогічною технологією, структура і логічнаорганізація змісту якої обумовлювалася б логікою і змістом пі-знавальної та зображальної діяльності людини.

Відомо, що предметами пізнавального інтересу людини зав-жди були і є об’єкти, процеси і явища навколишнього світу. Пе-ршим яскравим прикладом наслідку такого інтересу стала евклі-дова геометрія, яка серед безлічі властивостей різноманітнихоб’єктів описала тільки позиційні та метричні властивості їхпросторових форм. Тому вона є, по визначенню Альберта Ейнш-

234

тейна, природною або фізичною геометрією тому, що своїм аксі-оматичним методом описує фундаментальні геометричні власти-вості дійсних форм реально існуючих об’єктів. Як строга систе-ма аксіом, теорем та їх доведень, вона, існуючи у свідомості лю-дей понад двох тисячоліть, довела свою несуперечність та висо-ку ефективність при вирішенні різноманітних творчих задач.

На відміну від евклідової, нарисна геометрія як наука існуєпонад 200 років, з моменту виходу в світ у 1799 році книги“Нарисна геометрія”, що написана видатним французьким вче-ним й громадським діячем Гаспаром Монжем (1748–1818). Ав-тор нової геометрії визначив її як науку, яка має дві мети:1) “дати методи для зображення на аркуші паперу, що має двавиміри, … будь-яких тіл природи, які мають три виміри…”;2) “дати спосіб на основі точного зображення визначати формитіл і виводити всі закономірності, які витікають з їх форми та їхвзаємного розташування у просторі” [1, c. 12].

Порівнюючи визначення евклідової і монжевої геометрій,бачимо, що остання спрямована на розробку “методів” і“способу”, а не на дослідження властивостей різних видів зобра-жень, які синтезуються цими методами. І це парадоксально.Адже предметом дослідження будь-якої науки є такі невивченіоб’єкти, процеси і явища, походження, структура і властивостіяких викликають у її представників пізнавальний інтерес. В на-шому випадку такими об’єктами є власно зображення, а не ме-тоди їх одержання, сутність яких розкрита їх авторами і тому непотребує подальшого вивчення цілою наукою. Методи побудовизображень потребують їх практичного застосування, а самі зо-браження потребують наукового, в даному випадку, аксіоматич-ного опису їх властивостей, що графічно моделюють відповіднівластивості геометричних моделей зображених об’єктів, локалі-зованих у свідомості їх авторів.

Якщо графіка моделює, тобто, інформаційно замінює геоме-трію, іншими словами, нарисна геометрія зображує евклідову, топерша повинна якимось чином моделювати аксіоматику другої,чого насправді у монжевій геометрії не трапляється з тієї простоїпричині, що методи побудови зображень не підлягають аксіома-тичному опису.

Відсутність власної аксіоматики у традиційної нарисної гео-

235

метрії є її найбільшим парадоксом. У зв’язку з цим вона стоїтьосторонь від інших геометричних систем і не входить в їх відомукласифікацію, зроблену Феліксом Клейном в його“Ерлангенській програмі”. Парадоксальна також відсутність вка-зівок на чітко визначений метод дослідження.

В підсумку маємо явну суперечність між змістом теорії зо-бражень для творчих спеціальностей та її спроможністю досяг-нення головної мети її вивчення – формування основ креативно-го мислення студентів архітекторів, дизайнерів, конструкторів.

Для розв’язання цієї суперечності пропонується переосмис-лення традиційного змісту нарисної геометрії з позицій природ-ничонаукового принципу системності і створення на його основінесуперечливої концепції системної нарисної геометрії.

Принцип системного розуміння природи будь-яких об’єктів іявищ як прояв філософського принципу їх загального взаємо-зв’язку, є одним з головних чинників сучасного розвитку науки,техніки та мистецтва. Згідно цього принципу об’єкт вважаєтьсявивченим, якщо він зрозумілий як деяка неперервна система вза-ємосполучених і взаємодіючих елементів [2, c. 62].Загальна тео-рія систем стверджує, що об’єкт або процес будь-якої природи єсистемним. Це означає, що системний зміст мають не тільки ма-теріальні утворення природного або штучного походження, а івсілякого роду їх ізоморфні концептуальні моделі, тобто, уявніобрази, локалізовані у свідомості людини.

Будь-яка система має свою будову, конструкцію або струк-туру, тобто, сукупність зв’язків та відношень між її елементами,яка здійснює їх інтеграцію в єдине ціле [3, c.15]. Розуміння того,з яких елементів складається об’єкт і яким чином вони взаємо-сполучені і взаємодіють, є основою формування чіткої уяви проконструктивну природу існуючого чи уявного об’єкту. Ця уява іє “натурою” для подальшого графічного моделювання, творчимнаслідком якого є інтелектуальний продукт – архітектурний чидизайнерський проект як складна система логічно взаємосполу-чених робочих креслень, виконаних в різних видах проекцій.Форма зображальної частини будь-якого проекту регламентуєть-ся суворим додержанням вимог державних стандартів на її гра-фічне оформлення, а її зміст повинен задовольняти вимогам пов-ноти передачі позиційної та метричної інформації про структуру

236

об’єкту, яка визначає конструктивні особливості його дійсноїформи. При цьому позиційна інформація визначає якісну і есте-тичну характеристику майбутнього об’єкту, а метрична, – йогокількісну або економічну характеристику.

Неважко бачити, що наведені аргументи переконливо свід-чать про необхідність розробки робочої концепції системної на-рисної геометрії як фундаментальної науки і як навчальної дис-ципліни [4–6].

Як фундаментальна, системна нарисна геометрія є самостій-ною геометричною наукою, яка, з одного боку, досліджує конс-труктивні властивості ідеальних форм майбутніх реальнихоб’єктів, а з другого, застосовуючи різні проекційні апарати, до-сліджує і аксіоматично описує зображальні властивості одержу-ваних за їх допомогою проекційних оборотних зображень і роз-робляє раціональні графічні технології їх побудови та взаємногоперетворення.

Структурно системна нарисна геометрія містить три темати-чних розділи: морфологічний (про форми об’єкта та його зобра-жень), технологічний (про графічні технології побудови та взає-много перетворення оборотних зображень), геометро-графічний(про конструктивно-композиційні властивості об’єктів, що зо-бражуються, та про зображальні властивості їх різноманітнихпроекцій).

Неважко бачити, що ця структура концептуально моделюєструктуру евклідової геометрії як науки “про форми, розміри тавзаємне розташування об’єктів у просторі” [7, c. 5]. Розкриттясистемного змісту цієї структури є головною метою системноїнарисної геометрії як фундаментальної науки. Досягнення цієїмети приводить до системної інтерпретації аксіоматики евклідо-вої геометрії [8, c. 124–132], а також всіх традиційних положеньмонжевої нарисної геометрії, в наслідок чого вона стає систем-ною.

Головний метод дослідження – синтетично-аксіоматичний.Логічна організація змісту системної нарисної геометрії як

фундаментальної науки ґрунтується на принципах системності,модельності, взаємності відношень між елементами геометри-чних систем [9], ізоморфізму, проекціювання, екзактності, руху,раціональності та оптимальності розроблюваних графічних

237

технологій.Морфологічний розділ системної нарисної геометрії роз-

глядає форми і простори об’єктів і ґрунтується на принципах си-стемності та модельності. Згідно з його змістом, один і той жеоб’єкт в реальному просторі має одну дійсну, але топологічномінливу форму, в перцептуальному просторі зорового сприйнят-тя людини – множину зорових перспективних форм, в концепту-альному просторі знань людини – одну ідеальну форму, а в кар-тинному просторі аркуша паперу – декілька умовних форм-зображень. Всі ці форми взаємно моделюють одне одну, підпо-рядковуючись принципу ізоморфізму, тобто, однаковості їхструктур.

Технологічний розділ системної нарисної геометрії ґрунту-ється на застосуванні принципу проекціювання, який лежить воснові концептуального конструювання різних проекційних апа-ратів метода двох зображень, який гарантує оборотність одержу-ваних проекцій.

Відомо, що процес проекціювання елементів евклідовогопростору на картинний викликає у останньому групи перетво-рень його елементів зображень, а предметом дослідження йогогеометрії є інваріанти таких груп. В нашому випадку картиннийпростір заповнений зображеннями і тому роль таких інваріантіввідіграють відповідні незмінні графічні конструкції, які створю-ють у картині всі умови для незалежної і безпосередньої побудо-ви і перетворення оборотних зображень. Такі конструкції маютьназву визначників зображень [10] або графічних алгоритмів і єголовними поняттями системної нарисної геометрії тому, що їхвикористання створює найбільш раціональні графічні технологіїяк побудови, так і взаємного перетворення оборотних зображень,одержуваних різними апаратами проекціювання.

Крім графічних алгоритмів системна нарисна геометрія ви-користовує логічні алгоритми послідовного виконання графіч-них операцій по кодуванню позиційної та з’ясуванню метричноїінформації про зображений об’єкт. Таким чином дотримуєтьсяпринцип алгоритмічності, графічна реалізація якого вимагає до-держання принципу екзактності, а також принципу раціонально-сті розроблюваних графічних технологій.

Геометро-графічний розділ системної нарисної геометрії

238

ґрунтується на результатах системного дослідження конструкти-вного змісту позиційних та метричних властивостей об’єктів ев-клідового простору, що зображуються, а також на синтетично-аксіоматичному опису зображальних властивостей їх різнихпроекцій у вигляді відповідних тверджень. Тут під зображаль-ними маються на увазі такі властивості різних видів проекцій, яківизначають характерні, відмінні особливості їх графічної струк-тури.

Внаслідок того, що зображальні властивості різних видівпроекцій однозначно кодують відповідну позиційну або метрич-ну інформацію про зображений об’єкт, то вони стають головнимпредметом дослідження системної нарисної геометрії, а сукуп-ність чи система тверджень, яка їх синтетично описує, стає її ак-сіоматикою. При цьому слід зауважити, що ця аксіоматика маєінтегральний характер. Адже кожен апарат проекціювання маєсвої конструктивні відмінності, які впливають на характер зо-бражальних властивостей одержуваних за його допомогою прое-кцій. В результаті виявляється, що одна і та ж інформація в різ-них проекціях кодується різними зображальними засобами, якіописуються відповідно різними аксіоматичними твердженнями.

Звідси витікає, що системна нарисна геометрія в якості своїхпідсистем має геометрії картинних просторів ортогональнихпроекцій, паралельних аксонометричних проекцій, центральнихпроекцій, проекцій з числовими позначками тощо. Всі ці геометріїмають широке практичне застосування і тому системна нариснагеометрія придбаває сенс прикладної науки.

Як навчальна дисципліна, системна нарисна геометрія єподальшим розвитком монжевої геометрії, яка є обов’язковоюдля вивчення у всіх технічних, а також мистецьких ВНЗ. Тради-ційно остання вважається загальноосвітнім навчальним предме-том, незважаючи на явну професійну спрямованість при підгото-вці, зокрема, архітекторів та дизайнерів. Ймовірно, що це обумо-влюється характером її традиційного змісту, відокремленого відфілософського тлумачення її головних понять та їх світоглядно-го обґрунтування. Але в умовах гуманізації та гуманітаризаціївищої освіти така відокремленість не є нормальною, а таке ста-новище потребує принципової реконструкції.

В межах наших зображальних інтересів ця реконструкція

239

здійснюється шляхом розкриття філософських, світоглядних ізагальнолюдських аспектів теорії оборотних зображень, які усвоєї сукупності складають її своєрідну ідеологію, головнимпризначенням якої є духовне виховання студентської молоді. То-му філософічність як якісний елемент педагогічної технологіївикладання системної теорії оборотних зображень, передбачаєстатус одного з її головних принципів.

Від того, що системна нарисна геометрія є фундаменталь-ною наукою, то педагогічна технологія її наукового змісту пови-нна спиратися на принцип науковості як на один з головнихпринципів її гносеологіі. Послідовне впровадження цього прин-ципу в учбовий процес потребує, за К.Д. Ушинським, педагогіч-ної обробки досягнень науки, яка, в свою чергу, потребує додер-жання принципів проблемності, доступності і наочності викла-дання, а також застосування педагогічного прийому творчогоповтору при загальній умові формальній логічності процесу до-казів, одержанню висновків і формулюванню тверджень.

Впровадження принципу проблемності в навчальний процеспочинається з запитання: що таке зображення і які в нього влас-тивості?, відповіді на яке немає в підручниках з теорії зображень,що є парадоксальним. Розкриттю змісту цих відповідей і присвя-чується поступове формально-логічне розгортання системноїтеорії зображень. Спочатку з’ясовується, що об’єкти, які требазобразити, є системами взаємосполучених елементів, що процесїх пізнання починається з чуттєвого сприйняття, а закінчуєтьсяформуванням чіткої уяви про його структуру та дійсну форму. Врезультаті у свідомості людини накопичується інформація провластивості об’єкту, яку можна закодувати, зокрема, графічно, увигляді робочих креслень, які виступають інформаційними посе-редниками між їх авторами та їх споживачами.

Як відомо, головними якостями робочих креслень є їх пози-ційна повнота та метрична визначеність, які забезпечують їхоборотність. Рівень цих якостей свідчить про відповідний рівеньгеометричної, графічної та технічної грамотності їх виконавців.

Достатньо високий рівень таких видів грамотності забезпе-чує відповідна педагогічна технологія, методологія якої заснова-на на системній теорії оборотних зображень, яку можна вважатипідсистемою технології комплексного (тобто системного) проек-

240

тування, зокрема, об’єктів будівництва.Висновок: Застосування загальнонаукової концепції систе-

мності для системної інтерпретації традиційної нарисної геомет-рії дозволило зняти з неї всі парадоксальні недоліки, що дає ос-нову для створення ефективної педагогічної технології геометро-графічної підготовки творчих фахівців в галузі архітектурного тадизайнерського проектування.

Література1. Монж Г. Начертательная геометрия. – М.: Изд. АН СССР,

1947.2. Смирнов С.Н. Элементы философского содержания понятия

«система» как ступени развития познания и общественнойпрактики. // В кн. Системный анализ и научное знание. – М.:Наука, 1978.

3. Ткач Д.И., Русскевич Н.Л., Ниринберг П.Р., Ткач М.Н. Архи-тектурное черчение. Справочник. – К.: Будивельнык, 1991.

4. Ткач Д.И. Головні принципи системної нарисної геометрії таїї дидактика. // В кн. Сборник трудов V Международной на-учно-практической конференции «Современные проблемыгеометрического моделирования. – Мелитополь: ТГАТА,1998.

5. Ткач Д.И., Ткач М.Н. Головні принципи системної нарисноїгеометрії як фундаментальної науки. // В кн. ВісникРівненського державного технічного університету. Вип 6. –Рівне, 2001.

6. Ткач Д.И. Философия современного геометро-графическогопросвещения. // В кн. Проблеми сучасної педагогічної освіти.Серия: Педагогика і психологія. – Вип. 5. – К.: Педагогічнапреса, 2003.

7. Глаголев Н.А. Элементарная геометрия. – М.: Учпедгиз,1954.

8. Ткач Д.И. К вопросу о системной интерпретации аксиомати-ки геометрии евклидова пространства // В кн. ВісникРДУВГП. Вип. 5 (24): Педагогіка. Частина II. – Рівне, 2003.

241

НЕРІВНОСТІ З КОМПЛЕКСНИМИ ЗМІННИМИ

С.П. Ткаченком. Кіровоград,Машинобудівний технікум Кіровоградського

державного технічного університетуserro@ukr.net

1. Нерівності першого степеня з комплексними виразамиОзначення 1. Комплексне число z = a + bi за умови, що b = 0

вважається таким, що співпадає з дійсним числом а (a + 0 · i = a).Означення 2. Два комплексних числа z1 = a1 + b1i та z2 = a2 +

+ b2i вважаються рівними (z1 = z2), якщо рівні їх дійсні та уявнічастини (a1 = a2; b1 = b2).

Отже, якщо уявні частини b1 = b2 = 0, то маємо два комплек-сних числа, які співпадають з дійсними числами: z1 = a1 та z2 = a2.А дійсні числа ми вміємо порівнювати. Таким чином, комплекснічисла з уявною частиною, рівною нулеві, ми можемо порівнюва-ти між собою, як звичайні дійсні.

Задача 1. Знайти різницю двох комплексних чисел z1 = a1 ++b1i та z2 = a2 + b2i за умови, що їхні уявні частини рівні (b1 = b2).

Розв’язування. Різниця z буде дорівнюватиz = (a1 – a2) + (b1 – b2)i = (a1 – a2) + 0 · i = a1 – a2.Про різницю a1 – a2 двох дійсних чисел можна сказати

“більша” чи “менша” вона від нуля, або просто порівнювати чи-сла a1 та a2 між собою.

Означення 3. Нехай маємо два комплексних числа z1 = a1 ++b1i та z2 = a2 +b2i. За умови, що b1 = b2 (b1 – b2 = 0), маємо:

1) Число z1 вважається більшим від z2, якщо різниця дійснихчастин (a1 – a2) – число додатне (a1 > a2).

2) Число z1 вважається меншим від z2, якщо різниця дійснихчастин (a1 – a2) – число від’ємне (a1 < a2).

Отже,

z1 > z2, якщо

=−>−

,0

,0

21

21

bb

aa

z1 < z2, якщо

=−<−

.0

,0

21

21

bb

aa

Задача 2. Дано комплексні числа z1 = 3 + i, z2 = 5 + i. Показа-

242

ти, що z1 < z2.Розв’язування. Запишемо нерівність

3 + i < 5 + i ⇒ (3 – 5) + (i – i) < 0 ⇒ – 2 < 0 ⇒ z > 0.Маємо правильну нерівність, отже z1 < z2. Проілюструємо це

на рис. 1.1. Ми бачимо, щобудь-які два комплексні чи-сла з рівними уявними час-тинами завжди знаходятьсяна прямій, паралельній вісіx1, і їх завжди можна порі-вняти між собою.

Означення 4. Будемо вважати, що два комплексних числа зрівними уявними частинами, сполучені знаками <, > або ≤, ≥,утворюють числову нерівність.

Означення 5. Нерівність виду z1 · x V z2, де V = {<, >, ≤, ≥},z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i та b1 = b2 будемо називати лінійною.

Означення 6. Розв’язком лінійної нерівності з однією змін-ною називається значення цієї змінної, що задовольняє дану не-рівність (перетворює її в правильну числову нерівність).

Означення 7. Розв’язати нерівність – це означає знайти всі їїрозв’язки або показати, що їх немає.

Користуючись означенням 3, можна розв’язувати лінійні не-рівності з комплексними виразами.

Задача 3. Розв’язати нері-вність (3 +2i)x < 2 – i.Розв’язування. Будемо шукатих у вигляді x1+ix2. Після під-становки маємо(3 + 2i)(x1 + ix2) < 2 – i ⇒3x1+2ix1+3ix2–2x2<2 – i ⇒⇒ 3x1 – 2x2 + i(2x1 + 3x2) < 2 – i

⇒

−=+<−

.132

,223

21

21

xx

xx

Графічний розв’язок зо-бразимо на рис. 1.2. Виділений промінь площини 3x1 – 2x2 < 2 ібуде шуканим розв’язком.

Аналітичне розв’язання буде таким:

Рис. 1.2.

Рис. 1.1.

243

−>

−−=

.

,

1372

31

2

21

x

xx

Часткова перевірка. Нехай x2 = 1, тодіx1 = – 2 ⇒ x = – 2 + i ⇒(3 + 2i)(–2 + i)<2 – i⇒

⇒ – 6 – 4i + 3i – 2 < 2 – i ⇒ – 8 – i < 2 – i ⇒ – 8 < 2.Загальний розв’язок лінійної нерівності:

(a1 + b1i) x < a2 + b2i, (1.1)який шукається у вигляді x = x1 + ix2, має вигляд:

+−>

−=

.

,

21

21

12212

1

2121

ba

babax

b

xabx

(1.2)

Нехай є розв’язок x = a3 + b3i, що задовольняє систему (1.2),тоді

3113231213

1

3123 bababbabba

b

baba +=⇒−=⇒

−= (1.3)

21

21

12213 ba

babab

+−> . (1.4)

Підставивши розв’язок х у нерівність (1.1) маємо:(a1 + b1i) (a3 + ib3) < a2 + b2i ⇒⇒ a1a3 + b1a3i + a1b3i – b1b3 – a2 – b2i < 0 ⇒⇒ a1a3 – b1b3 – a2 + i(b1a3 + a1b3 – b2) < 0

Завдяки (1.3) маємоa1a3 – b1b3 – a2 < 0.

Підставимо замість a3 відповідний вираз:

⇒<−−−⇒<−−−00 123

213

2121231

1

3121 babbbabaabb

b

baba

( ) ( ).21

2131221

21

2131221 0 babbabababbaba +<−⇒<+−−⇒

Завдяки тому, що (a12 + b1

2) > 0, маємо2

121

12213

ba

babab

+−

> ,

тобто вираз (1.4).Якщо в нерівності (1.1) взяти будь-який інший знак нерівно-

244

сті, аналогічні міркування приведуть нас до правильних резуль-татів. Отже, використовуючи означення 3, можна розв’язатибудь-яку лінійну нерівність.

2. Системи лінійних нерівностейШукаючи спільні розв’язки двох нерівностей, наприклад:

(6 – 2i) x > 5 + 9i та (2 + i) x < 4 + 7i, (2.1)знаходять такі значення х, що задовольняють обидві нерівності.У таких випадках говорять про систему нерівностей.

Означення 8. Розв’язком системи нерівностей з однієюзмінною називають значення змінної, яке задовольняє кожну знерівностей даної системи.

Означення 9. Розв’язати систему нерівностей – це означаєзнайти всі її розв’язки або показати, що їх немає.

Розв’яжемо систему (2.1). Нехай x = x1 + ix2, тоді:( )( )( )( ) ⇒

+<−+−+>++−

⇒

+<+++>+−

,7422

,952626

,742

,9526

2211

2211

1

21

ixixixx

ixixixx

iixxi

iixxi

( )( )

<−++−−>−+−+−+

⇒,

,

07242

0962526

2121

2121

xxixx

xxixx

=−+<−−

=−+−>−+

⇒

.

,,

,

072

0420962

0526

21

21

21

21

xx

xxxx

xx

Розв’язком системи (2.1) буде точка С, яка отримується з си-стеми рівнянь.

⇒−=

=−++−⇒

=−+=−+−

,27

,096414

,072

,0962:

21

22

21

21

xx

xx

xx

xxC

10

23та10

2421 ==⇒ xx .

Отже ix10

23

10

24 += .

Графічно це зображено на рис. 2.1.

245

Рис. 2.1.

3. Квадратні нерівності з комплексними виразамиОзначення 10. Нерівність виду

(a + bi) x2 + (c + di) x + (e + fi) V 0, (3.1)де V = {<, >, ≤, ≥}, a, b, c, d, e, f – дійсні числа, причому a + bi ≠0,називають нерівностями другого степеня з однією змінною.

Означення 11. Розв’язком квадратної нерівності з однієюзмінною називається значення цієї змінної, яке задовольняє данунерівність.

Розглянемо нерівність (3.1). Підстановка x = x1 + ix2, дає:(a + bi)(x1

2 + 2ix1x2 – x22) + (c + di)(x1 + ix2) + (e + fi) V 0 ⇒

⇒ ax12 + bix1

2 + 2aix1x2 – 2bx1x2 – ax22 – bix2

2 + cx1 + dix1 + cix2 –– dx2 + e + fi V 0 ⇒

⇒ ax12 – 2bx1x2 – ax2

2 + cx1 – dx2 + e + i(bx12 +

+ 2ax1x2 – bx22 + dx1 + cx2 + f) V 0 ⇒

=+++−+

+−+−−⇒.02

0,2

212221

21

212221

21

fcxdxbxxaxbx

edxcxaxxbxax V

Розв’яжемо рівняння:bx1

2 + 2ax1x2 – bx22 + dx1 + cx2 + f) = 0 ⇒ – b2 – a2 < 0 ⇒

⇒ дана крива гіперболічного типу. Розв’язувати далі рівняння

246

будемо за відомим алгоритмом з курсу аналітичної геометрії:

+′=+′=

=>

=+−=++

,

,

,0

,0

2022

1011

2020

2010

xxx

xxx

cbxax

daxbx

маємо паралельний перенос. Підставляючи, замість змінних x1, x2

відповідно ( 101 xx +′ ) та ( 202 xx +′ ), отримаємо

.1)()(

)()(

,

,0)(2)(

2

22

22

2

22

21

22

2221

22

222

221

222

222221

21

=

+

′

′′−

+

′

′′⇒

⇒′=′′+−′′+⇒

⇒+−=+=⇒+=⇒

⇒−−==⇒′=′−′′+′

ab

f

x

ab

f

x

fxabxab

ababab

abSfxbxxaxb

λλλ

δ

Маємо гіперболу. Розв’язуючи нерівність, ми отримаємо де-яку множину точок площини, обмежену гіперболою. Далі пере-віряємо, чи задовольняють нерівність розв’язки рівняння.

Задача 4. Розв’язати нерівність (6 – 2i)x2– (4 – 8i)x + 1 – i > 0.Розв’язування. Нехай x = x1 + ix2, тоді

.01))(84()2)(26( 212221

21 >−++−−−+− iixxixxixxi

Звідси маємо систему:

=−−+++−

>+−−−+

.01482122

,0184646

212221

21

212221

21

xxxxxx

xxxxxx

Для рівняння 0184646 212221

21 =+−−−+ xxxxxx , маємо

.1

10

1)(

10

1)(

перенос;йпаралельни,

2

1

,2

12

22

1

22

11

=′′

+′′

−−

−′=

+′=xx

xx

xx

°≈

=⇒=

+=

−= 10

3

1arctg

2

1

3

1

66

422tg αα

CA

B.

Для рівняння 01482122 212221

21 =−−+++− xxxxxx ана-

логічні міркування дозволяють знайти кут

247

°−≈−==>−=−−

=−

= 403arctg2

13

22

1222tg αα

CA

B

та гіперболу:

.1

10

1)(

10

1)( 2

22

1 =′′′

+′′′

−xx

Зробимо рис. 3.1, на якому розв’язки виділені жирною ліні-єю. Отже, задачу графічно розв’язано.

Рис. 3.1.

4. Застосування нерівностей в електротехніціЗадача 5. Знайти опори кола r, та xl, якщо xc = 14 Ом, при

умові, що вони з’єднані послідовно, щоб комплекс кола був невище 12 + 16j.

Розв’язування. Комплекс кола z = r + j(xL–xC). Підставляючиумови задачі, маємо r + j(xL – 14) ≤ 12 + j16. Звідки:

r ≤ 12, xL – 14 = 16 ⇒ xL = 30 Ом.Реактивний струм, марно завантажуючи проводи ліній обмо-

тки машин і трансформаторів, обмежує їх пропускну здатність;тому доводиться або зменшувати корисний активний струм, або

248

збільшувати потужність генераторів і трансформаторів і перерізпроводів ліній [1, с. 391]. Даний спосіб дозволяє полегшитирозв’язування цієї задачі. Зокрема, можна визначати характернавантаження кола, або різні комплексні величини кола.

Задача 6. Комплекс струму в колі І = 10 е–j30°. Знайти ком-плекс напруги, якщо комплексна величина потужності не більшаза 1032 + j600 [2, с. 213].

Розв’язування. Спряжений комплекс струму І* = 10 еj30° =10cos30° + j10sin30°. Комплексна величина потужності

==•

*~

IUS (x1 + jx2)(10cos30° + j10sin30°) == x110cos30° + jx110sin30° + jx210cos30° – x210sin30 == x110cos30° – x210sin30° + j(x110sin30° + x210cos30°).

Звідси

=+

≤−⇒

=°+°≤°−°

.

,

,cossin

,sincos

1203

1032535

60030103010

103230103010

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

Ситуацію пояснює рис. 4.1, на якому жирною лінією показа-но можливі значення комплексу напруги.

Таким чином,розглядаючи рів-ність, ми отриму-вали значеннякомплексу напруги120, а маючи нері-вність, ми можемоодержувати мно-жину значень ком-плексу напруги.

Аналогічно для комплексної потужності можна знаходити потрі-бні співвідношення реактивної та активної потужності.

Література1. Веденяпин Г.Н., Добкин А.Н. Михеев Ю.А. Общая элект-

ротехника. –М.: Высш. шк., 1967. – 404 с.2. Частоедов Л.А. Электротехника: Программированное

учеб. пособие. Для учащихся техникумов ж.-д. трансп. – М.:Высш. шк., 1984. – 327 с.

Рис. 4.1.

249

ПРО ОРГАНІЗАЦІЮ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИСТУДЕНТІВ В ПРОЦЕСІ ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ

П.І. Ульшинм. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний

університет

На сучасному етапі розвитку освіти в вузах важливою фор-мою навчання є самостійна робота студентів. З кожним рокомвона вдосконалюється і все ефективніше доповнює навчальнийпроцес. Розглянемо деякі аспекти в організації цієї роботи з гео-метрії.

Потреба в такій формі навчання виникає з різних причин і впершу чергу з таких: 1) розширення кругозору студентів з навча-льної дисципліни геометрії при використанні різних джерел;2) розвиток самостійного творчого мислення і активізація розу-мової діяльності в процесі вивчення дисципліни; 3) проведеннянауково-дослідницьких робіт при самостійному вивченні певнихзакономірностей; 4) зменшення кількості навчальних годин згеометрії, за рахунок введення нових дисциплін, при незміннійнавчальній програмі; 5) зменшення кількості навчальних годин згеометрії за рахунок створення п’ятиденного робочого тижня,тощо.

Самостійна робота студентів планується викладачем в робо-чій програмі з геометрії і проводиться систематично протягомвивчення цієї дисципліни. При організації такої роботи врахову-ються розроблені викладачами кафедри математики такі основніпринципи: регулярності, паралельності, зміни пріоритетів, само-контролю, повторного звертання, роботи з підручником.

На лекціях з геометрії завжди створюються проблемні ситу-ації для формування у студентів самостійної думки та активізаціїїх розумової діяльності. Наприклад: Чи змінив свої координативектор при відкладанні його від деякої довільної точки? Чи мож-на провести площину через чотири різні точки? Скільки існуєрізних видів взаємного розташування трьох площин у просторі? іін. Такі питання завжди викликають у студентів самостійністьмислення.

Теми і окремі питання теоретичного характеру, призначені

250

для самостійного опрацювання студентами, повідомляються їмпід час лекцій. Вони є продовженням раніше розглянутого мате-ріалу. Вказуються література, форма написання опорного конс-пекту та термін виконання завдання. Запропоновані теми містятьне лише поточний матеріал, а також і питання дослідницькогохарактеру. Наприклад: дослідити геометричний зміст коефіцієн-тів загального рівняння площини і побудувати малюнки, тощо.Перевірка виконання самостійної роботи студентів з теоретич-них питань проводиться викладачем при збиранні й переглядіконспектів, а також під час консультацій і колоквіумів.

Велика увага самостійній роботі студентів приділяється напрактичних заняттях. На початку проводиться перевірка домаш-ньої самостійної роботи. У кожного студента всі завдання пови-нні бути виконані. Якщо якась задача виявиться не розв’язаною,то її розв’язують біля дошки. На всі питання викладачем даютьсявичерпні відповіді.

Далі для контролю підготовленості студентів до теми прак-тичного заняття протягом 6-8 хвилин проводиться опитуваннятеоретичного матеріалу. Тут особлива увага приділяється засво-єнню студентами означень нових понять, а також формул, необ-хідних для розв’язування задач.

Спочатку біля дошки розв’язуються декілька задач на новийматеріал з детальним поясненням за участю студентів, а потіманалогічні задачі і задачі з деякими відмінностями розв’язуютьсястудентами самостійно. При цьому враховується різний рівеньпідготовки студентів і за їх здібностями підбираються відповіднізавдання. За 10 хвилин до закінчення заняття, результати само-стійної роботи обговорюються біля дошки.

Під час практичних занять студентам видаються завданнядля самостійної роботи з розділу, який вивчається протягом се-местру. Вказується література, форма оформлення розв’язанихзадач та термін виконання і самі задачі. Виконані завдання при-ймаються викладачем під час консультацій та вкінці семестру назаліках. Один раз на місяць студенти пишуть контрольну роботу,яка є підсумковою по засвоєнню знань та набутті вмінь і нави-чок.

Важливим видом самостійної роботи у вузі є написання кур-сових робіт студентами ІV курсу і кваліфікаційних робіт студен-

251

тами V курсу. На початку року студенти вибирають теми. Дляприкладу наведемо назви тем кваліфікаційних робіт з геометрії:“Використання проблемних ситуацій на уроках геометрії прививченні окремих її розділів”, “Роль прикладних задач у процесівивчення геометрії в середній школі”, “Використання векторногометоду в геометрії шкільного конкурсу” і ін.

Після вибору теми науковий керівник проводить консульта-цію з кожним студентом. Він допомагає студентам визначитиактуальність теми, скласти план роботи, поставити задачі, вибра-ти основну літературу і т.ін.

Під час педагогічної практики у школах студенти, кожен посвоїй темі, проводять дослідження у вигляді спостереження, кон-статуючого експерименту, формуючого експерименту тощо, пи-шуть конспекти з використання результатів досліджень, прово-дять уроки.

Для апробації одержаних результатів студенти пишуть ре-ферати, доповіді, виступають на наукових конференціях, публі-кують статті в матеріалах науково-методичних конференцій.Проведені ними дослідження забезпечують наукову роботу фак-тичним матеріалом і формують у студентів навички дослідниць-кого підходу до педагогічної діяльності.

Розглянуті види самостійної роботи розвивають у студентівзацікавленість, наполегливість, інтуїцію, самостійне творче мис-лення, активізують їх розумову діяльність та сприяють міцномузасвоєнню знань, умінь і навичок.

252

ПРО СТВОРЕННЯ ПРОБЛЕМНИХ СИТУАЦІЙВ ПРОЦЕСІ ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ

П.І. Ульшин, Л.П. Бєлам. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний

університет

Важливим завданням сучасної освіти є створення умов длявироблення в школярів логічного мислення і творчої активності.Це викликано потребою суспільства у вихованні творчо-активноїособистості.

Результати досліджень педагогів, психологів і методистів[1–3] доводять, що такої мети можна досягти в навчальномупроцесі за допомогою проблемного навчання, оскільки проблем-на ситуація викликає протиріччя, яке є рушійною силою розвит-ку пізнання.

Дійсно, проблемна ситуація (ситуація утруднень, конфліктнаситуація, ситуація протиріч) є однією з основних умов пізнава-льної потреби учнів і є стимулом активізації їх розумової діяль-ності. Для того, щоб створити проблемну ситуацію, необхідновідшукати протиріччя, яке повинне пробудити в учнів інтерес,привести до руху існуючі знання і спрямувати їх на пошуки не-відомого. У такий спосіб і активізується розумова діяльність уч-нів, яку вчитель повинен лише спрямувати в “потрібне русло”.

Існує багато шляхів і способів створення проблемних ситуа-цій, в залежності від змісту навчальної діяльності. Для прикладурозглянемо деякі з них: 1) на початку вивчення нової теми, якамає певний практичний інтерес і потребує теоретичного обґрун-тування; 2) при розв’язанні задач, які потребують аналізу та по-будови алгоритму; 3) при доведенні теорем методом від супро-тивного; 4) при виконанні науково-пошукових робіт; 5) при уза-гальненні одержаних результатів; 6) при виборі кращого способурозв’язання задач, тощо. Покажемо на конкретних прикладахшляхи і способи створення проблемних ситуацій.

При вивченні теореми Піфагора спочатку потрібно розповіс-ти відомі про неї історичні факти. Зазначити, що твердження: “упрямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів” було відоме ще в стародавньому Вавилоні

253

близько XVII ст. до н.е. Там його знайшли експериментальнимшляхом. У V ст. до н.е. видатний грецький вчений Піфагор впе-рше довів цю теорему і тому вона отримала назву за його ім’ям.Таке повідомлення обов’язково зацікавить школярів.

Далі потрібно сказати, що теорема Піфагора має широке за-стосування в науці і техніці, а також використовується длярозв’язування задач в геометрії. Тому кожен повинен вміти їїдовести. Така постановка проблеми є широкою, оскільки існуєбагато підходів у її доведенні. Розглянемо, як провести спряму-вання мислення на найкоротший шлях.

Нехай дано ∆АВС (∠ С=90°):АВ=с, АС=b, ВС=а,

Потрібно довести: с2=а2+b2.Опустимо перпендикуляр СD на АВ.

Раніше було введено поняття косинусакута через сторони прямокутного трику-тника. Подумаємо, чи можна, користую-чись цим поняттям, знайти квадрати ка-

тетів через гіпотенузу і її частини?Таке спрямування полегшує проблемну ситуацію. Проте не

всі учні разом відшукають правильний шлях. Вони почнуть пе-ребирати різні варіанти до тих пір, поки не з’являться співвідно-шення:cos A = DA / AC = AC / AB, звідки AC2=AB·DA;cos B = DB / BC = BC / AB, звідки BC2=AB·BD.Далі вже легко прийти до рівності: AB2=AC2+CB2.

Обов’язково треба повідомити, що Піфагорове доведення донас не дійшло, а ми зробили найпростіше доведення серед всіхіснуючих. У творі “Начала”, написаному Евклідом в III ст. дон.е., цю теорему доведено геометричним шляхом. На катетах ігіпотенузі прямокутного трикутника побудовано квадрати, як насторонах, і доведено, що квадрати катетів частинами, на які їхрозбито, суміщаються з квадратом гіпотенузи. Пропонуєтьсявсім виконати таке доведення на гуртковому занятті.

При вивченні нових тем часто зустрічаються питання, на якіне легко дати однозначну відповідь. Такі питання є проблемни-ми. При розв’язанні їх доводиться інколи пройти довгий шлях,використовуючи раніше набуті знання. Наведемо приклади та-

AC

B

D

254

ких питань, якими можна створювати проблемні ситуації прививченні геометрії:

1. Як побудувати спільний перпендикуляр до двох мимобіж-них прямих?

2. Чи змінюються координати вектора при відкладанні йоговід будь-якої точки простору?

3. Чому нуль-вектор вважається паралельним до будь-якогоненулевого вектора?

4. Як через точку поза прямою можна провести площину па-ралельну до даної прямої?

5. Чи можна провести дві паралельні прямі до даної прямоїчерез точку взяту поза нею?

6. Як знайти основу висоти піраміди, у якої всі бічні ребрарівні? (всі бічні грані рівні?)

7. Чому дорівнює скалярний добуток двох перпендикуляр-них векторів?

Отже, створення на уроках геометрії проблемних ситуаційсприяє активізації навчального процесу, формуванню в учнівсамостійного мислення та допомагає розвитку в них творчих зді-бностей.

Література1. Гайдаржи Г.Х. О роли задач при проблемном подходе к ор-

ганизации обучения математике. – В кн.: Избр. вопросы ме-тодики преподавания математики. Сб. трудов. – М.: Просве-щение, 1976. – С. 139–148.

2. Карелина Т.М. Методы проблемного обучения // Математикав школе. – 2000. –№ 5. – С. 31–32.

3. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в шко-ле. –М.: Просвещение, 1977. – 240 с.

255

САМОСТІЙНА РОБОТА УЧНІВ З ГЕОМЕТРІЇ

П.І. Ульшин,М.М. Гав’янецьм. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний

університет

Самостійна робота є однією із форм навчального процесу.Вона формує в учнів самостійність мислення, розвиває творчийпідхід до розв’язання різних проблем, що виникають в процесівивчення геометрії, активізує їх розумову діяльність.

Сьогодні навчання з використанням самостійної роботи стаєвсе більш актуальним. Це пов’язано з такими причинами:

а) великою кількістю інформації;б) коротким проміжком часу, що дається на опанування цієї

інформації;в) зменшенням навчальних годин з геометрії.У зв’язку з цим вчитель повинен планувати виконання учня-

ми самостійної роботи як на уроках, так і у позаурочний час.При вивченні геометрії можна застосувати різні організацій-

ні форми самостійної роботи учнів. У своїй практичній діяльнос-ті ми найчастіше надаємо перевагу деяким з них.

1. Роботу з підручником організовуємо при вивченні новогоматеріалу або при повторенні. Проводимо мотивацію, ставимомету, даємо інструкцію і систему питань, на які кожен учень по-винен відповісти.

Якщо самостійна робота проводилась на уроці, то по закін-ченню її перевіряємо результати шляхом усного опитування івстановлюємо рівень одержаних знань, а якщо дома – то переві-ряємо виконання домашнього завдання. При цьому навчаємо уч-нів складати план опрацьованого тексту або складати опорнийконспект.

Самостійна робота за підручником, навчальними посібника-ми, науково-популярною літературою – важливий для самоосві-ти прийом навчальної роботи, якому необхідно спеціально і ці-леспрямовано навчати учнів як в основній, так і в старшій школі.

Нові знання з геометрії сприймаються і засвоюються учнямиз певними труднощами. Тому потрібні поради вчителя щодо ро-боти з математичним текстом. Вони можуть мати вигляд такого

256

правила-орієнтира:а) прочитай уважно текст один чи два рази, виділи головне в

ньому (нові поняття, твердження, правила тощо);б) склади план прочитаного;в) виділи поняття, про які йдеться в тексті. Пригадай озна-

чення відомих понять і виділи означення нових;г) виділи твердження, які доводяться в тексті. З’ясуй, що в

них дано, що треба довести. З’ясуй, з яких тверджень складаєть-ся доведення, за допомогою яких відомих тверджень вони обґру-нтовуються;

д) спробуй відповісти на контрольні запитання. Сформулюйозначення нових понять і твердження, які доводились в тексті;

е) не вдаючись до тексту, виконай потрібні рисунки і відтво-ри прочитане за планом.

Включаючи у процес навчання самостійну роботу з підруч-ником, ми дбаємо про те, щоб освоєння учнями кожного її ново-го виду було підготовлене в ході попередніх занять. При цьомупредметом особливого піклування з нашого боку є намаганняпрацювати так, щоб учні не зупинялися на досягнутому, а посту-пово оволодівали іншими видами, які вимагають від них дедалівищого ступеня самостійності.

2. Самостійна робота у вигляді тренувальних знань за зраз-ком проводиться в період закріплення знань і відпрацюваннявмінь при розв’язанні задач певного типу.

Наприклад, формулюється задача: Визначити об’єм прави-льної трикутної піраміди, у якої сторона основи а і всі бічні реб-ра нахилені до площини основи під кутами рівними ϕ.

Ця задача розв’язується фронтально біля дошки: будуєтьсямалюнок, складається план, коротко записується кожен етапрозв’язування і відповідь. Очевидно, найважливішим тут є етапвстановлення того факту, що основа висоти лежить в центрі ко-ла, описаного навколо трикутника основи. Всі записи залиша-ються на дошці для зразка.

Після цього учні розв’язують самостійно задачі, аналогічнірозглянутій. Під керівництвом учителя до умови вносяться деякізміни. Наприклад, замість рівності кутів нахилу бічних реберпропонується розглянути рівність двогранних кутів при основі. Вцьому випадку змінить положення основа висоти. Учні повинні

257

самостійно з’ясувати, куди і чому. Далі складається планрозв’язування і за цим планом задача розв’язується.

Нарешті пропонуємо в умові задачі замінити відому сторонуа на висоту Н піраміди. Таку задачу потрібно розв’язувати у зво-ротному напрямі в порівнянні з попередньою і т.п.

Частину запропонованих задач учні розв’язують напівсамос-тійно, керуючись вказівками вчителя, а частину – повністю са-мостійно.

3. Пошукові роботи під керівництвом вчителя є одним із ви-дів самостійної роботи. Перед учнями ставиться задача, яка при-водить до нових знань. Наприклад, встановити, скільки градусівстановить сума внутрішніх кутів трикутника.

У пошуках розв’язку учні будують різні трикутники, вимі-рюють транспортом кути і наближено відшукують їх суму. Щободержати точну відповідь, пропонуємо провести через одну ізвершин трикутника пряму, паралельну до протилежної сторони.Пригадуючи властивості кутів, що утворюються при перетинідвох паралельних прямих третьою, учні одержують нове знання:у будь-якому трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180°.

4. Самостійна робота може бути проведена у вигляді спосте-реження. В цьому випадку учень досліджує об’єкт, не втручаю-чись в його природний стан.

Спостереження організовуємо з метою виявлення учнямипевної закономірності, яку вони повинні самостійно сформулю-вати. Наприклад, ставимо завдання виконати класифікацію три-кутників за сторонами.

Шляхом спостереження учні виявляють, що трикутники мо-жуть мати три сторони різної довжини, три сторони однаковоїдовжини і дві сторони однакової довжини. Слідує висновок, щотрикутники можуть бути трьох видів: різносторонні, рівносто-ронні і з двома рівними сторонами – рівнобедрені.

5. Самостійною роботою учнів може бути дослід (або експе-римент). В цьому випадку учень втручається в спостережуванийоб’єкт. Під час досліду учні розглядають різні окремі випадки.На основі одержаної інформації у них може виникнути здогад,який потрібно або довести, або спростувати.

Досліджуваними об’єктами можуть бути математичні текс-ти, малюнки, динамічні моделі. Наприклад, користуючись цир-

258

кулем і лінійною можна поділити побудоване коло його радіусомна шість частин. Виникає питання, чи будуть ці частини рівнимидугами?

Доведення гіпотези можна зробити так. Відомо, що центра-льний кут, що відповідає довжині кола, дорівнює 360°. Сполучи-вши відрізками точки поділу між собою і з центром кола, одер-жимо шість рівносторонніх трикутників. При кожній вершиніцих трикутників кути рівні 60°. Шість вершин співпадають зцентром кола і утворюють кут 360°. Звідси випливає, що колорозбивається розглянутим способом на шість рівних частин

Працюючи самостійно, учні, як правило, глибше вдумують-ся в зміст опрацьованого матеріалу, краще зосереджують своюувагу, ніж це звичайно буває при поясненнях учителя або розпо-відях учнів. Тому знання, уміння і навички, набуті учнями в ре-зультаті добре організованої самостійної роботи, бувають міцні-шими і ґрунтовнішими.

Винятково важливе значення для успішного проведення са-мостійних занять має раціональна постановка всієї підготовчоїроботи педагога з класом, що передує виконанню дітьми навча-льного завдання. Під час уроку ми з'ясовуємо, з якими трудно-щами зустрічаються учні, і в разі потреби надаємо їм допомогута формуємо вміння, необхідні для самостійного виконання за-вдань.

Завдяки ретельно організованій і систематично здійснюванійна уроках самостійній пізнавальній діяльності школярі кращезасвоюють навчальний матеріал, що забезпечує можливість дляефективнішого виконання домашніх завдань.

Самостійна робота на уроці за умови належної організації йповсякденного проведення не тільки справляє позитивний впливна якість знань учнів і формування в них умінь та навичок на-вчальної праці, а й допомагає виховувати відповідальне ставлен-ня до навчальних занять, благотворно позначається на зміцненнідисципліни в класі.

Таким чином, виконання самостійної роботи передбачаєрозвиток в учнів наполегливості, уваги, терпіння, інтуїції, твор-чого мислення, що сприяє активізації розумової діяльності в на-вчальному процесі.

259

Література1. Буряк В. К. Самостійна робота з книгою. – К.: Т-во “Знання”

УРСР, 1990. – 48 с.2. Буряк В. К. Самостоятельная работа учащихся на уроках фи-

зики. Учебное пособие по спецкурсу для студентов педин-ститутов. –М.: Прометей, 1991. – 134 с.

260

ПРО АЛГОРИТМІЗАЦІЮ В ГЕОМЕТРІЇ

П.І. Ульшин, С.В. Кравченком. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний

університет

Алгоритм, як математичне поняття, визначає точну і повнупропозицію про виконання в певній послідовності деякої систе-ми операцій, яка дозволяє розв’язати будь-яку задачу даного ти-пу.

З історії розвитку математики відомо, що слово алгоритм єспотворенням імені видатного узбецького математика ІХ ст. аль-Хорезмі, який написав працю, де були закладені основи арифме-тики й алгебри. Коли у ХІІ ст. було зроблено переклад цієї праціз арабської на латинську мову, то ім’я автора переклали як“Algorithmi”. Цікавим також є те, що ця праця вперше ознайоми-ла європейців з індійською десятковою системою числення і ос-новними правилами алгебри. Відмітимо також, що довгий часцю систему числення в Європі помилково приймали за арабську.

В математиці термін алгоритм з’явився у ХХ ст. і набув ши-рокого застосування в різних її розділах і, насамперед, в обчис-лювальній техніці.

“Під алгоритмічною діяльністю, – пише німецький педагогБ. Чада, – ми розуміємо всі види діяльності, направлені нарозв’язування задач за допомогою правил, вказівок, алгоритмів.Вона охоплює не тільки просте виконання алгоритмів і вказівок,але і вибір алгоритму для розв’язання даної конкретної задачі,складання із множини вивчених правил певних кінцевих послі-довних кроків, що приводять до розв’язку задачі. Таким чином,алгоритмічна діяльність являється важливою складовою части-ною математичної освіти” [1].

Звернемо увагу, на основні властивості алгоритмічних про-позицій:

1. Властивість дискретності полягає в тому, що обчислюва-льний процес, записаний алгоритмом, розбивається на окремі діїпослідовно, чітко, відокремлено одна від одної і утворює дискре-тну структуру.

2. Властивість визначеності або детермінованості полягає в

261

тому, що виконання всіх дій, передбачених алгоритмом, визна-чається точно.

3. Властивість масовості полягає в тому, що алгоритм скла-дається не для однієї задачі, а для цілого класу задач даного ти-пу.

4. Властивість результативності полягає в тому, що прибудь-яких даних із області визначення завжди одержується пев-ний результат.

Алгоритми можна записувати різними способами. Розгляне-мо деякі із них:

1. Найпростіший вигляд алгоритму – формула. Наприклад,формула S = 2πr2 + 2πrh визначає алгоритм обчислення площіповерхні циліндричного тіла з радіусом основи r і висотою h.

2. Табличною формою алгоритму користується у тому випа-дку, коли потрібно знати результати при різних початкових да-них.

3. Словесний запис алгоритмів можна використати в геомет-рії при розв’язуванні задач і доведенні теорем.

При вивченні геометрії, і особливо при розв’язуванні задачна побудову, на обчислення, на доведення часто використову-ються алгоритмічний підхід. В цьому випадку роблять так. Спо-чатку розглядають основі або базисні задачі. Виконують їхрозв’язання (або доведення) і знаходять загальні формули длярозрахунків певних величин. Далі розв’язують складніші задачі,в яких базові задачі використовуються як окремі кроки у певнійпослідовності скінчену кількість разів.

Щоб навчитися розв’язувати задачі, студенти перш за всемають засвоїти певні знання (запам’ятати основні математичніспіввідношення), із яких потім будуть вибирати ті, що потрібнідля розв’язування даної конкретної задачі.

Для багатьох задач існують певні правила, вказівки, що по-яснюють виконавцеві, як розв’язати дану задачу. Ці правила лю-дина може вивчати заздалегідь або сама сформулювати в процесірозв’язування. Так і студент, розв’язуючи геометричні задачі чивправи, використовує свій запас знань, методів розв’язання, ал-горитмів. Чим більший цей запас, тим швидше й ефективнішевін буде працювати.

Розглянемо приклади:

262

Приклад І. Побудувати трапецію за її основами a, b і діаго-налями d1, d2.

Розв’язання. За умовою задачі можна побудувати трикутникAB'C за трьома сторонами a+b, d1 і d2. Інші частини трапеції по-будуємо з використанням властивостей паралельного перенесен-ня.

Побудова:1. Будуємо: пряму l;2. Відкладаємо відрізки

AB=a і BВ=b;3. Знаходимо:

С=(А, d1)∩(В, d2);4. )( '

'CBTDB

BB= ;

5. ABCD – шукана тра-пеція.

Приклад ІІ. Дано три паралельні прямі: а, b, с. Побудуватирівнобедрений прямокутний трикутник АВС.

Розв’язання. Оскільки ∆АВС прямокутний, то це задача наповорот, ∠ В=90°.

Побудова:

1) Візьмемо: B∈ b;

2) Будуємо: )(90' cRc B

o+= ;3) Знаходимо: A=a∩c΄;4) Будуємо: )(90 ARC B

o−= ;5) ∆АВС – шуканий.

У прикладах використано умовні позначення:● TB´B

)( ''

CBTBB

– паралельне перенесення відрізка CВ´ на від-

стань, рівну довжині вектора BB ' , що утворює пряму СD;

● )(90 cRB

o+ – поворот навколо точки В на кут +90° прямої с,утворює пряму c';

D C

A B B´

d1 d2

a b

A

B

C

a

b

c

c´

263

● )(90 ARB

o− – поворот навколо точки В на кут –90° точку Апереводить у точку С.

Отже, за допомогою алгоритму побудова трапеції ABCD і∆АВС виконується за 5 кроків.

Використовуючи алгоритмічний підхід до теоретичного кур-су геометрії, можна його викласти у значно меншому обсязі, якце і зробили автори підручника [2].

Цінність алгоритмів полягає в тому, що поставлені задачівони приводять до розв’язування найкоротшим шляхом. Вміннябудувати алгоритми і застосовувати їх є однією з якостей мате-матичного мислення, яка повинна розвиватися у кожної людини.

Література1. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометри-ческих задач. – К:: Рад. школа, 1989. – 160 с.2. Глоговський В.В., Б.М. Гринева, М.О. Гнатюк. Нарисна геоме-трія на алгоритмічній основі. – Львів: Вид-во Львівського ун-ту,1972. – 106 с.

264

ВИКОРИСТАННЯ ВЕКТОРНОГО МЕТОДУ В ГЕОМЕТРІЇ

П.І. Ульшин, І.В. Сорокам. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний

університет

Векторний метод ґрунтується на застосуванні властивостейвекторів і дій над ними. Широкого застосування цей метод набуву вищій геометрії, яка обґрунтовується векторною аксіоматикою.

У шкільному курсі геометрії вектори не відносяться до ос-новних об’єктів аксіоматики і вивчаються в планіметрії і стерео-метрії після введення координатного методу. Проте, при дове-денні окремих теорем і розв’язуванні ряду задач, що входять допрограми шкільного курсу, вони є досить ефективними.

Замітимо, що термін “вектор” походить від латинського сло-ва vector – “той, що несе”. Вперше таку назву запропонував вжи-вати до напрямленого відрізка англійський математик У. Гаміль-тон у 1846 році у своїх творах, в яких він розробив основи векто-рного числення: додавання і віднімання векторів, множення век-тора на число, скалярний і векторний добутки векторів. До цьогочасу термін “вектор” не вживався., хоч і раніше вчені розглядалидії з силами, як напрямленими відрізками.

Так, у 1587 р. голландський вчений С. Стевін у своєму трак-таті “Начала статики” вивчав додавання двох сил розташованихпід кутом 90º, як відрізків зі стрілками на кінцях. Значно пізніше,у 1803 р. французький вчений Л. Пуансо у книзі “Елементи ста-тики” вивчав дії двох сил у різних напрямках. У 1806 р. швей-царський математик Ж. Арган розглядав властивості напрямле-них відрізків, які позначав: АВ . У 1844 р. вийшла книга“Вчення про протяжні величини” німецького математика Г. Гра-смана, в якій він розглядав алгебру напрямлених відрізків. У1853 р. німецький математик О. Коші розглянув вектор-функцію,яку позначав однією буквою r

r.

Слід сказати, що нові ідеї Грасмана і Гамільтона не швидкознайшли визнання і поширення. Безпосереднім поштовхом дорозповсюдження і розвитку векторного числення була опубліко-вана у 1873 р. англійським математиком Д. Максвелом теоріяелектромагнітного поля, описана векторним методом.

265

В геометрії вектор довгий час розглядали як вільний напря-млений відрізок. Розробляючи теорію перетворень простору, ве-ктор почали розглядати як паралельне перенесення, задане точ-коюМ і її образомМ′.

При використанні векторного методу до розв’язування пла-німетричних чи стереометричних задач шкільного курсу корис-туються такою схемою. Спочатку подані в задачі співвідношенняперекладають на “мову векторів”, тобто записують їх у виглядівекторних рівностей. Потім записані векторні рівності перетво-рюють, користуючись правилами векторної алгебри. Далі, зновупереходять до мови геометрії.

Чим більше учні знатимуть властивостей векторів, тим бі-льше вони зможуть записати геометричних співвідношень у ви-гляді векторних рівностей, а, значить, і ширший клас задач вонизможуть розв’язувати векторним методом.

Для швидкого користування векторним методом потрібнонавчити учнів записувати таблицю геометричних співвідношеньі відповідних їм векторних рівностей. Як записується така таб-лиця можна показати на уроках, коли вивчаються певні власти-вості векторів, а детальніше її розглянути на факультативних за-няттях або в позакласній роботі.

Розглянемо конкретні приклади.Приклад 1.Довести, що косинус кута між медіанами катетів рівнобед-

реного прямокутного трикутника дорівнює5

4.

Розв’язання.Нехай ∆ОАВ – рівнобедрений прямокутний трикутник. Бу-

демо розглядати його в прямокутній декартовій системі коорди-нат ОХУ (рис. 1). Для визначеності приймемо: ОА=ОВ=а, ВМ іАМ – медіани.

У розглянутій системі координат можна визначити точки та-

кими координатами: А(а; 0), В(0; а), М

02

;a

, N

20

a; .

Побудуємо вектори, які збігаються з медіанами та запишемо

їх координатами: AN

−

2;

aa і BM

−a

a;

2. Кут між медіана-

266

ми будемо розглядати, як кут між векторами:

φ=∠ NKM= ),( BMAN∠ .

Рис. 1.

Відомо, що кут між векторами визначається за формулою:

BMAN

BMAN

⋅⋅=ϕcos .

Знаючи, що 2

22a

aaBMAN −=−−=⋅ ;

aa

aAN2

5

4

22 =+= ; ,

2

5

4

22 a

aaBM =+= одержимо:

,5

4

4

5cos

2

2

−=−=a

aϕ що і потрібно було довести.

Приклад 2.Дано паралелепіпед АВСDA′B′C′D′ у прямокутній декартовій

системі координат (рис. 2) координатами векторів AB (4; 3; 0),

AD (2; 1; 2) і AA ′ (–3; –2; 5), на яких побудовано його, як на сто-ронах. Знайти: 1) об’єм паралелепіпеда; 2) площу грані ABCD; 3)косинус кута між ребром АВ і діагоналлю В′D.

Розв’язання.1) Об’єм паралелепіпеда визначаємо за формулою:

.1230161820|

523

212

034

|),,( =−+−=−−

=′= AAADABV

267

Рис. 2.

2) Площа грані ABCD, визначається за формулою площіпаралелограма:

.26210446436

12

34

22

40

21

03|],[|

222

==++=

=++== ADABS ABCD

Враховуючи, що АВВ′А′ – паралелограм, запишемо рівність:.AABB ′=′ Для просторового чотирикутника АВВ′D можна за-

писати таку векторну рівність: .DBAAABAD ′+′+=Звідси знаходимо: ).3;0;1(,' −′′−−= DBAAABADDBКут між ребрами АВ і діагоналлю В′D паралелепіпеда визна-

чається як кут між векторами DBiAB ′ і визначається за фор-мулою:

.105

4

91916

004cos;

'

'cos =

+⋅+++=

⋅⋅= γγ

DBAB

DBAB

Відповідь: 1) V = 12; 2) S = 2 26 ; 3) .105

4cos =γ

Векторний метод, звичайно, не універсальній, дорозв’язування деяких задач він не може бути застосований абовиявляється малоефективним. Але цей метод має також і значніпереваги: дає можливість порівняно легко робити узагальнення,іноді далекосяжні; він не вимагає розгляду складних геометрич-них конфігурацій, а зводить геометричну задачу до алгебраїчної,яку легше розв’язувати, ніж вихідну геометричну. Метод дозво-

268

ляє зняти труднощі при розв’язуванні стереометричних задач,викликаних недостатнім розвитком просторових уявлень, щозаважає учням бачити необхідні зв’язки між елементами просто-рових фігур. Метод цей дозволяє раціонально розв’язувати тра-диційні і нетрадиційні задачі та демонструвати цікаві властивос-ті геометричних фігур, чим, безперечно, розвиває інтерес до гео-метрії. Векторний метод дає можливість розв’язувати також фі-зичні (і технічні) задачі, і тим самим сприяє здійсненню міжпре-дметних зв’язків. Наведені вище аспекти показують необхідністьі, навіть, обов’язковість вивчення векторного методу в основнійшколі.

Отже, по значущості його можна уподібнити методу скла-дання рівнянь. Можливості методу досить широкі, оскільки вінохоплює численні афінні задачі, а після введення скалярного до-бутку – і метричні. Однак, векторний метод не отримав необхід-ного розповсюдження у шкільній практиці, і закладені в ньомуможливості не реалізуються. Учні сприймають вектори як окре-мий розділ математики, змістовно і методологічно не пов’язанийз іншими питаннями шкільного курсу геометрії. Це призводитьдо того, що векторний метод учнями майже не використовуєтьсяпри розв’язуванні задач і доведенні теорем. Тому виникає про-блема розробки методичної системи вивчення векторів з позиціїуточнення й узагальнення та її реалізації в основних змістовихлініях шкільного курсу геометрії. Розв’язанню проблеми можедопомогти відведення часу на повторення й узагальнення мате-ріалу, пов’язаного з векторами та їх властивостями; навчанняучнів основним евристикам (системі певних правил, які допома-гають знайти ключ до ідеї розв’язування задачі ), що допоможутьстворити у них навичку його застосування; урізноманітненнявидів завдань, що допоможе учням знаходити нестандартні, алераціональні шляхи розв’язування, які дуже часто стають пригодіна олімпіадах і вступних іспитах.

Література1. Бевз Г.П. Методика розв’язування стереометричних задач: по-сібник для вчителя. – К.: Радянська школа, 1988.2. Гусев В.А. и др. Векторы в школьном курсе геометрии. Посо-бие для учителей. –М.: Просвещение, 1976.

269

СИСТЕМНА ОРГАНІЗАЦІЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИПЕРШОКУРСНИКІВ ЯК ОСНОВА АДАПТАЦІЇ

С.В. Уткінам. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний

університетmalahaj@mail.ru

Однією з фундаментальних дисциплін навчального плану за-гально-технічних дисциплін та інженерно-педагогічних спеціа-льностей є дисципліна “Вища математика”.

На вивчення цієї дисципліни в перших трьох навчальних се-местрах відведено 162 години, з них лекцій – 72, передбаченодва екзамени та залік. Якщо проаналізувати зміст навчальноїпрограми з цієї дисципліни, то можливо лише здивуватися: як затаку кількість часу можна навчити студентів таких понять, якматриці, визначники, системи лінійних рівнянь, вектори, прямалінія на площині і в просторі, криві другого порядку, поверхні,функція, границя функції, похідна функції, невизначений, визна-чений та невласний інтеграли, диференційні рівняння першого тавищих порядків, числові та функціональні ряди.

Ситуація значно ускладнюється тим, що більшість студентівцієї спеціальності мають надзвичайно низький рівень знань з ку-рсу математики середньої школи і майже завжди мають психоло-гічну установку на те, що математика – це щось страшне, незро-зуміле і непотрібне для їх майбутньої діяльності.

Закономірного, що руйнування цього психологічногобар’єру неприйняття курсу “Вища математика” посідає особливемісце в процесі адаптації першокурсників.

Все це вимагає корінної перебудови методики викладанняцього курсу в порівнянні з методикою викладання математичнихдисциплін для студентів математичних спеціальностей.

Лекції. Необхідно досягти розумної лаконічності в викладіосновних ліній курсу з опорою на відомі факти шкільного курсуматематики. Так, наприклад, при знайомстві студентів з прямоюлінією як об’єктом вивчення аналітичної геометрії, дається істо-рична довідка про Р. Декарта – творця аналітичної геометрії. Прицьому чітко концентрується увага студентів на специфічності

270

аналітичної геометрії: геометричні факти, закономірності пода-ються за допомогою формул як математичних моделей об’єктіввивчення геометрії. Це дає можливість переконати студентів вдоцільності розгляду лінійного рівняння з двома зміннимиax+by+c=0 з геометричної точки зору: впорядковані пари чисел(х0, у0), що є розв’язками цього рівняння, утворюють множинуточок площини – геометричне місце точок. Доведення прямої таоберненої теорем про таку множину точок дає можливість зро-бити висновок про те, що це рівняння задає пряму лінію на пло-щині: Аx+Вy+С=0, де А=а, B=b, С=с.

Практичні заняття. Саме під час проведення практичних за-нять найбільш доцільно впливати на психологічний стан студен-тів-початківців. Але це можливо лише тоді, коли ці заняття бу-дуть структурно побудовані так, щоб з’явилась реальна можли-вість переконати студентів в наявності у них математичних здіб-ностей і тим самим відродити віру в свої сили і можливості.

Традиційний спосіб – домашнє завдання по тому чи іншомузбірнику – мало що дає: домашнє завдання в кращому випадкупереписується у рідкого його виконавця. Зовсім по-іншому пра-цює така форма формування знань, умінь і навичок, як домашнятворча робота. До виконання таких робіт студентів готуютьсяретельно напередодні. Наприклад, тема: “Пряма на площині”,дидактична мета: “Опрацювання різних видів рівняння прямої тазв’язків між ними”, розвиваюча мета: “Застосування знань в різ-них навчальних ситуаціях”.

Базовою задачею цього заняття є така:Дано три точки – вершини трикутникаСкласти рівняння: сторін; медіан; висот; бісектрис; середніх

ліній трикутника; прямих, що паралельні відповідним сторонамтрикутника.

На основі вище вказаних завдань кожен студент повинен ін-дивідуально задати координати своїх трьох точок, виконати за-вдання, аналогічні вище зазначеним.

В такий спосіб задане домашнє завдання спонукає студентадетально розібратися з вправами, які розв’язувалися на практич-ному занятті, а також переконатися в своїх здібностях задаватиумову. При цьому студент вимушений самостійно виконувативласне домашнє завдання.

271

Такі творчі завдання в першому семестрі стосуються тем:- матриці, операції над матрицями;- визначник квадратної матриці, основні властивості ви-

значників квадратних матриць;- способи підрахунку визначників квадратних матриць;- системи лінійних рівнянь;- різні способи розв’язання системи лінійних рівнянь;- пряма на площині;- операції над векторами;- криві другого порядку.Домашнє творче завдання відрізняється від індивідуального

тим, що умову для нього складає сам студент: підбирає з будь-якого збірника або створює самостійно. Зрозуміло, щоб здійсни-ти це, студент повинен детально вникнути в сутність зразка,який був розглянутий на попередньому практичному занятті.Звичайно, такій спосіб виконання роботи не гарантує повної са-мостійності в розв’язанні завдання. Але це не вважається“злочином”, якщо студент при захисті домашньої творчої роботи(ДТР) показує знання, вміння та навички розв’язання поставле-ної проблеми.

Для заохочення і підтримки віри студентів в свої математич-ні можливості декілька перших домашніх творчих робіт оціню-ються диференційовано, інші – просто зараховуються, а декількаперевіряється паралельно з перевіркою відповідних контрольнихробіт. Контроль за своєчасною здачею таких домашніх робітздійснюються за допомогою диференційованої оцінки.

Завдяки відносно невеликій кількості навчальної інформації,що опрацьовується конкретним змістом кожної творчої роботи,першокурсники оволодівають спеціальною термінологією, сим-волікою, набувають досвід обґрунтування своїх думок, накопи-чують запас формул. Звичайно, робота викладача дуже клопітка,але, на відміну від семестрових індивідуальних завдань, дає мо-жливість студентові оволодіти самостійно невеликими порціямипрограмового матеріалу. Динамічність такої форми організаціїсамостійної роботи першокурсників дає себе знати на першомуекзамені з курсу. Завдяки так організованій самостійній роботіперший екзамен з вищої математики дає реальну картину мате-матичних здібностей кожного студента, а саме: зроблені реальні

272

психолого-педагогічні висновки щодо математичних здібностейпершокурсника дають підставу для організації різнорівневих ін-дивідуальних завдань в наступних семестрах і, таким чином, да-ють можливість проектувати кінцевий результат навчання кож-ного окремого студента.

Лекції. Елементи творчої самостійної роботи поступововпроваджуються і в лекційний курс. Як правило, творчі завданнямають аналітико-синтетичний характер. Наприклад:

- порівняти зміст елементарних перетворень квадратнихматриць і систем лінійних рівнянь;

- чи має зміст поняття “елементарні перетвореннявизнач-ників квадратних матриць”?

- порівняти властивості алгебраїчних операцій над матри-цями та алгебраїчних операцій над векторами;

- порівняти зміст понять “скалярний добуток векторів”,“векторний добуток векторів”, “мішаний добуток векто-рів” та способи їх підрахування;

- порівняти властивості добутку векторів;- порівняти зміст означень кривих другого порядку (еліпса

і гіперболи, гіперболи і параболи);- порівняти характеристики еліпса і кола; еліпса і гіпербо-

ли; гіперболи і параболи; еліпса і параболи.Таким чином, як показує досвід роботи, система домашніх

творчих робіт з практики, а під кінець першого семестру і з тео-рії, дає можливість першокурсникам нематематичних спеціаль-ностей поступово адаптуватися до специфіки навчання в вищийшколі шляхом зруйнування певного психологічного бар’єрустраху і упередженого відношення до математичних закономір-ностей. Чіткий систематичний контроль за якістю виконаних до-машніх творчих робіт (чіткість зразка базових вправ по темі;вчасність перевірки для виявлення типових помилок і персона-льні консультації по кожній незвичайній помилці; захист основ-них положень кожної роботи; обов’язковість виконання всієї си-стеми ДТР) дають реальні результати адаптування першокурс-ників до організації навчального процесу в вищій школі.

273

Література1. Атанов Г.А., Эфрос Т.И. Система учений в обучении// Со-

временные проблемы дидактики высшей школы: Сб. избран.трудов Междунар. конф. / Отв. ред Г.А. Атанов. – Донецк:ДонГУ, 1997. – С. 100-111.

2. Ительсон Л.Б. Лекции по проблемам современной психоло-гии обучения // Пособие к спецкурсу и курсу педагогическойпсихологии. – Владимир, 1970. – 238 с.

3. Слєпкань З.І. Наукові засади педагогічного процесу у вищійшколі. – К.: НПУ, 2000. – 210 с.

4. Яглом И.М. Не отставать от требований времени // Сб. науч-но-метод. статей по математике (Проблемы преподаванияматематики в вузах). –М., 1974. – Вып. 4. – С. 17.

274

ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ І ВЕКТОРИ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

З.Ю. Філерм. Кіровоград, Кіровоградський державний педагогічний

університет ім. Володимира Винниченкаfiler@kw.ukrtel.net

Вступ. Важливе поняття, яке застосовується в багатьох роз-ділах математики, традиційно відносять до лінійної алгебри. Лі-нійна функція одного змінного у=kх при k≠0 дає значення функ-ції у, пропорційне значенню аргументу х. Для векторного аргу-менту х починати треба з перетворень подібності, розтягуваннявздовж осей координат, симетрії та зсуву. Означення власнихвектора й значення у загальному випадку перетворення А:Х→Y=Х веде до матричного рівняння (А–λЕ)Н=0 з ненульовимрозв’язком Н при det(А–λЕ)=0, де А – матриця перетворення.Власний вектор Н(λk) може бути знайдений у виді Н=[Bi1(λk), …,Bin(λk)]

*. Тут Bij(λk) – алгебраїчні доповнення елементів bij(λk)матриці В=А–λkЕ, * – операція транспонування матриці. Ця фор-мула може бути доведена за допомогою відомої властивості ви-значників: сума добутків елементів рядка на алгебраїчні допов-нення елементів іншого рядка дорівнює нулеві, а сума добутківелементів рядка на алгебраїчні доповнення елементів цього жрядка дорівнює визначнику. У нашому випадку цей визначникдорівнює нулю, бо λk – корінь характеристичного рівняння.

Для кратних коренів у ролі другого та ін. власних векторівможна взяти Н′(λk), …, що можна довести, використовуючи гра-ничний перехід для відношення різниці власних векторів Н(λk)–Н(λs) до різниці λk–λs самих власних значень, коли λk–λs→0 абовикористанням диференціювання по λ матричного рівняння (А–λЕ)Н(λ)=0 при Н(λk)=0. Тоді вектор Н′(λk) буде власним. Для ком-плексних значень корня λk матриця В=А–λkЕ теж буде комплекс-ною; для Н1 та Н2 – дійсної та уявної складової власного вектораН отримуємо систему однорідних рівнянь В1Н1–В2Н2=0,В2Н1+В2Н1=0. Ясно, що легше працювати з комплексною фор-мою для вектора Н, після його знаходження виділивши, якщо єпотреба, дійсну та уявну частини.

1. Пошук власних значень матриці А лінійного перетво-

275

рення. Автору довелося у 1978 році бути присутнім на конфере-нції у Дніпропетровську, яку проводив відомий академікМ.М. Яненко з Сибірського відділення АН СРСР. Там він розпо-вів, що в США при фінансуванні фірми IBM кращими математи-ками та програмістами була за 1 млн. $ створена програма пошу-ку власних значень та власних векторів матриць великої розмір-ності (порядку 1000*1000). Потім фірма продавала її по 1000$користувачам з усіх кінців світу.Мабуть, не на збиток.

Ще О.М. Криловим був розроблений метод “розгортання”характеристичного полінома det(А–λЕ)=(–1)n(λn–SpAλn–1+…)+detA. Після отримання многочлена виду λn+аn–1 λn–1+…+а0=0,аn–1=–SpA (слід матриці А – сума її діагональних елементів,а0=(–1)ndetA) можна шукати його корені – власні значення мат-риці А. У математичних середовищах Mathcad, Matlab, Maple євідповідні процедури, які видають всі корені – дійсні та парикомплексно спряжених для дійсних матриць А.

2. Пошук власних векторів матриці А. Для простих (не-кратних) коренів власні вектори Нk можна знайти за формулоюНk=[Bi1(λk), …, Bin(λk)]

*, де існує елемент і–го рядка матриці з ал-гебраїчних доповнень, не рівний нулю, якщо rang(A–λkE)=n–1.Для комплексних коренів достатньо знайти один з них, взявшидругий, комплексно спряжений до першого.

Для k–кратних коренів λs характеристичного рівняння det(А–λЕ)=0 дорівнюють 0 не тільки визначник det(А–λsЕ), а його похі-дні до порядку k–1. Якщо знайдений за зазначеною формулоювектор Н(λs)=0, то власним буде вектор Н′(λs). Для випадку, колиrang(A–λkE)=n–k, власними будуть вектори, отримані послідов-ними диференціюваннями вектора Н(λs).

3. Зведення рівняння кривої та поверхні 2–го порядку доканонічного виду. У загальному випадку такі об’єкти опису-ються рівняннями (Ах, х)+(В, х)+С=0, де введені симетрична ма-триця А, вектори-стовпчики В та х, а дужки означають скаляр-ний добуток двох векторів, С – число. Зазвичай, перше спрощен-ня досягається за допомогою паралельного переносу х=х0+у, дех0 – радіус-вектор нового початку координат, у – вектор новихкоординат. Як у школі, рівняння f(x)≡ах2+bх+с=0 спрощуєтьсявиділенням повного квадрату, що досягається переносом почат-ку в точку x0, де похідна f′(x0) від f(x) дорівнює нулю: 2ах0+b=0 й

276

х0=–b/(2а). Аналогічно для матричного рівняння отримаємо, ди-ференціюючи, (2Ах0+В, у)≡0, звідки й визначиться х0 з рівняння2Ах0+В=0. Якщо матриця А невироджена (тобто, det(А)≠0), тоіснує обернена матриця А–1 й х0=–½А–1В. Ділення на А заміненомноженням на обернену матрицю. Для виродженої матриці аботакого х0 не існує (коли ранги матриць А й розширеної за раху-нок стовпчика В не співпадають), або таких значень безліч. Упершому випадку мета спрощення рівняння до виду (Ау, у)+С′=0(без членів 1-го степеня відносно у) не може бути досягнута. То-ді шукають такий вектор х0, який знищить всі члени з координа-тами уk, крім одного, та вільний член С′. У цьому випадку рів-няння матиме вигляд (А′у′, у′)=b′z. Воно схоже на канонічне рів-няння параболи у=ах2.

Після звільнення від членів 1-го порядку можна знайти вла-сні значення та власні вектори симетричної матриці А (попере-дньо доводимо, що вони дійсні та для різних власних значеньвзаємно перпендикулярні). Для кратних власних значень шукає-мо власні вектори за допомогою диференціювання Н′(λ). Дляотримання нових осей декартових координат застосовуємо про-цедуру ортогоналізації, шукаючи другий вектор у вигляді ліній-ної комбінації знайдених власних векторів, використовуючи ор-тогональність, тобто рівність нулю скалярного добутку цих век-торів. Це й визначить коефіцієнт α з представлення нового век-тора у виді Н1+αН2.

Вибравши орти власних векторів за базис нової системи ко-ординат, зводимо рівняння до канонічного видуλ1у1

2+λ2у22+λ3у3

2+С′=0 для поверхні 2-го порядку. При С′≠0 це даєеліпсоїди чи гіперболоїди; при С′=0 маємо точку чи конус в за-лежності від знаків λk. Новим у цій методиці є однократний по-шук вектора Н(λ) й тільки підстановка потім знайдених власнихзначень λk.

4. Розв’язання лінійних систем диференціальних рівняньзі сталими коефіцієнтами 1–го порядку х′′′′=Ах. Шукаючирозв’язок у вигляді х=Неλt, отримаємо для сталого вектора Н тачисла λ рівняння (А–λЕ)Н=0, тобто знову проблему власних век-торів та власних значень. Тому й важливо її алгоритмічнерозв’язання, бо будь яка система диференціальних рівнянь (і рів-няння вищих порядків) може бути зведена до такого виду в регу-

277

лярному випадку. Пошук власного вектора у вигляді Н(λ)=[Bi1(λ),…, Bin(λ)]* робить методику пошуку загального розв’язку систе-ми достатньо простою. Якщо так знайдене Н(λk)=0, то шукаємоН′(λk), яке дає ненульовий розв’язок. Для пошуку другогорозв’язку у випадку кратного кореня, диференціюємо першийрозв’язок Н(λ)еλt по λ і т.д.

5. Розв’язання диференціальних рівнянь коливань безврахування опорів Мх′′′′′′′′+Сх=0. У реальних задачах про коли-вання систем з багатьма степенями свободи інерційна матрицяМє позитивно визначеною, тобто для всіх у квадратична форма(Му, у)>0. Якщо і матриця С така ж (тобто, квадратична форма(Сх, х)>0), то система має гармонічні розв’язки з частотою ω, якавизначає розв’язки виду х=Неіωt. Це дає характеристичне рівнян-ня (С–Мω2)Н=0. Це аналог задачі на власні значення. Для симе-тричних позитивно визначених матриць М і С всі значення ωk

дійсні, а власні вектори теж ортогональні. Характеристичне рів-няння буде мати вигляд det(C–Mω2)=0. Легко довести теоремупро те, що власним вектором буде Н(ωk

2)=[Bi1(λk), …, Bin (λk)]*, де

λ=ω2. При n=2 маємо систему з матрицями другого порядку іН(ωk

2)=[m12λ–c12; c22–λm22]*, де λ=ω2 задовольняє рівняння (c11–m11λ)(c22–m22λ)−(c12–m12λ)2=0. Це квадратне рівняння має дварізних додатних кореня (для довільних симетричних позитивновизначених матриць С та М), кожний з яких визначає свійвласний вектор. Ці вектори ортогональні.

6. Приклади6.1. Вивчимо криву 2–го порядку, задану рівнянням

f(x, y)≡x2–2xy–3y2+6x+10y–7=0 [1, с. 48,№326.2].1. Знаходимо точку, підозрілу на екстремум функції f(x, y),

для чого знаходимо її частинні похідні fx=2x–2y+6, fy=–2x–6y+10. Прирівнюючи їх до 0, отримаємо точку О1(–1; 2), якуприймаємо за новий початок координат.

2. Знайдемо новий вільний член С′=f(–1; 2)=–8. Тому післяпаралельного переносу осей отримаємо рівняння x1

2–2x1y1–3y1

2=8.3. Матриця А матиме елементи 1, –1; –1, – 3. Характеристи-

чне рівняння буде λ2+2λ–4=0.

4. Його корені –1± 5 дають як канонічне рівняння

278

λ1х22+λ2у2

2=8, так власні вектори Н(λk)=[а22(λk); –а12] ∗ . Це даєН1=[–2– 5 ; 1], Н2=[–2+ 5 ;1]. Очевидно, що добуток власнихвекторів дорівнює 4–5+1=0, що свідчить про їх ортогональність.

5. Якщо вісі направити по власних векторах, то тоді й отри-маємо вказане канонічне рівняння. Враховуючи протилежні зна-ки власних значень, матимемо гіперболу. Будуючи вісі коорди-нат х2О1у2, неважко побудувати цю гіперболу. Її напіввісі є від-повідно (8/|λr|)

1/2.6.2. Розв’язати задачу Коші [1, с. 230 , №2279]: х′+3х+у=0,

у′–х+у=0; х=1, у=1 при t = 0. Матриця А має елементи –3, –1; 1,–1. Її характеристичне рівняння λ2+4λ+4=0 має кратні кореніλ=−2. Власний вектор Н(λ)=(–1–λ, –1)* при λ=−2 дає Н1=(1; –1).Для пошуку другого розв’язку знайдемо похідну по λ від першо-го розв’язку х1=Н(λ)еλt, тому х2=[ΗΗΗΗ′(λ)+tΗΗΗΗ(λ)]eλt=(–1+t; –t)e–2t.Легко перевірити підстановкою, що знайдений вектор(–1+t; –t)e–2t задовольняє систему. Знайдемо загальний розв’язокяк лінійну комбінацію частинних розв’язків з довільними стали-ми коефіцієнтами х=С1х1+С2х2=[С1(1; –1)*+С2(–1+t; –t)*]. Сталі Сk

знайдемо з початкових умов, які приводять до системи рівняньС1–С2=1, –С1=1. Це дає потрібний частинний розв’язок х=(1–2t)e–2t, y=(1+2t)e–2t.

6.3. Знайти загальний розв’язок системи диференціаль-них рівнянь (ДР) [2, с. 535, (49)]: у1′=3у1–у2+у3, у2′=–у1+5у2–у3,у3′=у1–у2+3у3. Складаємо характеристичне рівняння, розгорнув-ши визначник по першому рядку: (3–λ)[((5–λ)(3–λ)–1]+λ−2+λ–4=0⇒ (3–λ)(λ2–8λ+12)=0 ⇒ λ1=2, λ2=3, λ3=6. Створимо Н(λ)=[λ2–8λ+14; –(λ−2);λ–4]*. Тепер знайдемо Н(λ1)=(2, 0, –2)*, Н(λ2)=(–1,–1, –1)*, Н(λ3)=(2, –4, 2)*. Запишемо загальний розв’язок системиу=С1Н1+С2Н2+С3Н3 ⇒ у1=С1*1*е2t+C2*1*е3t+С3*1*е6t=С1е2t+C2е3t

+С3е6t, у2=0*С1е2t+C2е3t+С3*(–2)е6t=C2е3t–2 С3е6t, у3=–С1е2t+C2е3t+С3е6t. Тут в ролі Н1 взято вектор (1, 0, –1)*, Н2 – вектор (1, 1, 1)*,Н3=(1, –2, 1)*. Нагадаємо, що довжина власного вектора довіль-на.

6.4. Знайти загальний розв’язок системи [2, с. 535 , (52)]:у1′=–у1+у2+у3, у2′=–у1–у2+у3, у3′=у1+у2–у3. Характеристичне рів-няння –(2+λ)(λ2+λ−2)=0має двократний корінь λ1=λ2=–2 і простийкорінь λ3=1. Власний вектор Н3 побудуємо за допомогою рядка з

279

алгебраїчних доповнень елементів 1-го рядка Н1(λ)=[λ2+2λ; 2+λ;2+λ]*. Тепер Н3=Н1(1)=(3; 3; 3)*⇒Н3=(1; 1; 1)*. Очевидно,Н1(–2)=(0; 0; 0)*, тому шукатимемо похідну по λ від добуткуН1(λ) на еλх: у2=(Н1′(λ)+Н1(λ)х)еλх. Через те, що Н1(–2)=0, отрима-ємо власний вектор Н1=(–2; 1; 1)*. Аналогічно, взявши векторН2(λ) з алгебраїчних доповнень елементів 2-го рядка, отримаємопісля диференціювання по λ та підстановки λ2=–2, ще один влас-ний вектор Н2=(1; –2; 1)*. Це дає розв’язок у=(С1Н1+С2Н2)е–2х+С3Н3ех. Вектори Н1 і Н2 неколінеарні, а тому й лінійно незалежні2 розв’язки з множником е–2х. Тут матриця А–λΕΕΕΕ при λ=–2 маєранг 1 (всі її елементи дорівнюють 1) й тому Н1(–2)=0 й врозв’язок не увійшов множник х при Н1(–2). При рангу 2 такиймножник був би в члені у2.

6.5. Вивчити поверхню, задану рівнянням х2+у2–3z2–2xy–6xz yz+2x+2y+4z=0 [3, с. 223, №1513.3]. Аналогічно п.6.1 знахо-димо новий початок координат – центр поверхні, т. О1(1/6; 1/6;1/3) і новий вільний член f(1/6; 1/6; 1/3)=1. Матриця

−−−−−−−

=333

311

311

A квадратичної форми має власні значення 2,

3, –6. Вектор Н(λ)=[λ2+2λ−12; 6−λ; 6−3λ] ∗ , складений з алгебраїч-них доповнень 1-го рядка матриці А–λΕΕΕΕ, дає власні вектори Н1,

Н2 і Н3. Їх орти е1=(–1; 1; 0)/ 2 , е2=(1; 1; –1)/ 3 , е3=(1; 1;

2)/ 6 . В системі координат з базисом е1, е2, е3 маємо канонічнерівняння поверхні 2х2

2+3у22–6z2

2=–1. Це – двопорожнинний гі-перболоїд з дійсною віссю О1z2 й піввіссю с=1/ 6 . Як і звичай-но, треба зобразити т. О1, вісі О1х1у1z1, паралельні осям даної си-стеми координат, в цій системі побудувати базис е1, е2, е3 і нанових осях – знайдений гіперболоїд з півосями а=1/ 2 , b=1/ 3і с. Такі приклади вимагають повторення визначників, кубічнихрівнянь, модуля вектора й тому їх варто розв’язувати. Бажаноперевірити ортогональність векторів базиса.

6.6. Пропонуємо читачам задачу на пошук структури за-гального розв’язку системи лінійних ДР із матрицею (по ряд-ках: 3, а, b; 0, 2. 1; 0, –1, 4). Корні характеристичного рівняннявсі дорівнюють 3. В залежності від елементів а та b ранг матриці

280

А–3Е буде 2, або 1 і структура загального розв’язку буде різною.При е3х можуть бути сталі чи лінійні множники. Спробуйте ви-користати описану методику для різних випадків!

Література1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.

13-е изд. –М.: Наука, 1987. – 352 с.2. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных

дифференциальных уравнений. Изд. 3, испр. и доп. – М.: Высш.шк., 1987. – 564 с.

3. Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборникзадач по аналитической геометрии. – М.–Л.: ГИТТЛ, 1948. –487 с.

281

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО НЕРІВНОСТІ

З.Ю. Філер1α, С.П. Ткаченко2β

1 м. Кіровоград, Кіровоградський державний педагогічнийуніверситет ім. В. Винниченка

2 м. Кіровоград,Машинобудівний технікум Кіровоградськогодержавного технічного університету

α filer@kw.ukrtel.netβ serro@ukr.net

Метод введення додатнього параметра, який перетворює за-дачу про розв’язання нерівності у задачу пошуку кореня рівнян-ня з цим параметром, дозволяє розглядати і комплекснірозв’язки. Тоді довільна нерівність має розв’язки, так само, якдовільне рівняння має хоча б один корінь (принаймні, для степе-невих многочленів). Використання функції sign(y)=y/|y|=y0 даєможливість узагальнити поняття нерівності f(x)<0 (f(x)>0) до си-стеми рівняння f(x)=t·y0, t>0 з векторним у0 та скалярним t пара-метрами. Реалізація цих методів на ЕОМ може дозволити засто-совувати ці результати до розв’язання задач оптимізації, зокре-ма, нелінійного програмування.

Постановка задачі. В курсах математики школи та ВНЗапарат теорії нерівностей є важливою складовою як практичнихзавдань, так і теорії, зокрема, теорії границь, неперервності, по-хідної як границі, та інтегралу як границі відповідної інтеграль-ної суми. Задача про дослідження функції за допомогою похід-них зводиться до розв’язання рівнянь (пошук критичних точок),так і знаходження інтервалів зростання та спадання, опуклості таувігнутості, яке вимагає розв’язання нерівностей для першої тадругої похідної. Для функцій двох змінних наявність екстремумув критичній точці гарантується при виконанні в ній відповіднихнерівностей для гессіана. Другий метод Ляпунова в теорії стій-кості вимагає побудови функції, похідна від якої в силу даноїсистеми диференціальних рівнянь має той чи інший знак. Кіль-кість таких застосувань нерівностей у ВНЗ і середній школі мо-жна кількаразово збільшувати. Різні “хитрі” нерівності є улюб-леними завданнями для математичних олімпіад для учнів і сту-дентів та конкурсних іспитів у ВНЗ. Звичайно, навіть без спеціа-

282

льних зауважень розглядають тільки дійсні розв’язки нерівнос-тей, крім тих задач, де розглядаються модулі комплексних функ-цій, наприклад, для комплексних х нерівність |х–2+і|<5розв’язком має круг радіуса 5 з центром у точці х0=2–і. Багато“дійсних” нерівностей (з дійсними функціями) при такій поста-новці не мають розв’язків узагалі, наприклад, нерівність х2+1<0.Між тим, рівняння х2+1=0 має з 30-х років 16-го сторіччя компле-ксні розв’язки х=±і, які використовують не тільки в самій мате-матиці, а й у її численних застосуваннях у фізиці та техніці, зок-рема, в гідравліці та електротехніці. Але, замінивши цю простунерівність системою рівняння х2+1+t=0 та нерівності t>0, отри-маємо множину комплексних розв’язків x(t)=±(1+t)1/2, t>0. Їхможна зобразити на комплексній площині на уявній осі з виклю-ченим відрізком від точки (0; –1) до точки (0; 1). Це аналогічнодійсному розв’язку нерівності х2–1>0, що є віссю ОХ, з якої ви-кинуто відрізок [–1; 1]. Метод введення “урівнюючого” парамет-ра t>0 структурує множину Х – розв’язок нерівності, задаючивідповідність між точками півосі t>0 й відповідними точкамирозв’язку х(t), упорядковуючи їх за значеннями параметра. Цейметод дає відповідь не тільки на те, де лежать точки х, а й на скі-льки ліва частина нерівності х2+1<0 менше за її праву частину,тобто який вони мають відхил (нев’язку) [1, с. 47]. Значення па-раметру t відіграє роль мітки; зростання t вказує напрямок рухуна лінії x(t). Для тлумачення t як часу це природно.

Метод введення параметру досить корисний при розв’язанніподвійних нерівностей типу a<f(x)<b, f(x)=t, a<t<b. Знайшовших=f–1(t) – обернену функцію до f(x), розглянемо множину Х={f–1(t)| a<t<b}, яка структурована й впорядкована за значеннями t.Якщо кожному х відповідає єдине t, то кожному t може відпові-дати декілька або навіть безліч х.

Узагальнення задачі про нерівності. Фактично, нерівністьa<f(x)<b у комплексній множині еквівалентна нерівностіa< Re f(x)<b й рівнянню Im f(x)=0, які визначаються функціямидвох змінних – дійсною та уявною частинами змінної х. Це, навідміну від нерівностей а<f(x, y)<b з двома дійсними змінними хта у, буде частина лінії на комплексній площині, а не частинаплощини ХОY.

Враховуючи, що дійсне число у=|y|·sgn(y), а узагальнення

283

функції sgn(y) можливо й у комплексній множині, де вона визна-чається аргументом комплексного числа у за формулоюsgn(y)=exp(i·arg(y)), можна узагальнити задачу розв’язання нері-вності до пошуку розв’язку рівняння f(x)=t·exp(iφ) з додатнім па-раметром t [3, с. 45]. При φ = 0 отримаємо нерівність f(x)>0, приφ=π маємо нерівність f(x)<0; узагальнення буде при інших зна-ченнях аргументу φ образу t·exp(іφ) функції f(x), який є нескінче-ним променем. Для відрізка такого променя t є (а; b). Для образафігури D: φ=arg(y) ∈ (α; β), границі а та b будуть функціями від φу найпростішому випадку.

Ще більшим узагальненням буде використання рівнянняf(x)=t·y0, де х і у – елементи довільних векторних просторів, а у0 –орт вектора у, t>0 або, навіть, а<t<b. Точки зі значеннями правоїчастини належать променю, який проходить через т. 0 та у0 – то-чку на одиничній сфері у просторі образів Y, чи його відрізку, ами шукаємо відповідні точки прообразу X. Параметри – скаляр-ний t та векторний у0 – структуризують прообраз. Представленнявектора у образа у вигляді t·y0 є узагальненням показникової фо-рми комплексного числа та сферичної системи координат. Вини-кають питання про неперервність залежності x(t) при вибраних tта у0. Для диференційованої функції f(x) для існування x΄(t) до-статньо нерівності 0 похідної f΄(х) у відповідній точці. Це важли-ве для побудови прообразу за допомогою розв’язків рівнянняf(x)=t·y0 на вибраній сітці в області Y. Крім того, знання похідноїдає змогу здійснити інтерполяцію за отриманою сіткою у мно-жині X. При великій трудомісткості обчислення коренів рівнян-ня, лінійна інтерполяція може бути значно простішою, що змен-шить час для отримання густої сітки в X.

Функція f(x) може ще залежати від параметрів Λ, наприклад,коефіцієнтів, які прийматимуть значення, що належать до ре-зультатів експерименту. Виникає питання про коректність по-становки відповідної задачі, тобто, про існування, єдиність танеперервну залежність розв’язку від параметрів Λ. Для“шкільних” нерівностей це не завжди так, хоча учні (а, можливо,й учителі) не усвідомлюють цього. Для квадратної нерівностіх2+4х+с<0 дійсний розв’язок при с≥4 не існує; при с<4 ним є від-різок – окіл точки х=–2. Таким чином, задача суттєво, навіть які-сно, змінюється для біфуркаціонного значення параметра с=4. У

284

комплексній множині розв’язки існують для всіх с і їх зображен-ня створюють хрест з горизонтальною скінченою поперечиною –відрізком при с, меншому 4, та вертикальною нескінченою віссюдля t>4–c. Для с>4 горизонтального відрізка не буде, а вертика-льна вісь х=–2 розірветься відрізком між точками (–2; – (с – 4)1/2)та (–2; (c – 4)1/2). Значення параметра с=4 й тут є біфуркаціон-ним, тобто задача пошуку розв’язку нерівності х2+4х+4<0 принаближеному значенні вільного члена, с=4 є некоректною як удійсній, так і комплексній множині. Але, враховуючи, що призменшенні с до 4 вказаний вертикальний відрізок зменшується йпряма х=–2 стає майже суцільною, а при збільшенні с до 4 гори-зонтальний відрізок стягується у точку с=–2, форма і розмірипрообразу Х змінюються неперервно. Тому задача розв’язаннярівняння x2+4х+с+t=0 поставлена коректно при t>0.

Геометрична роль пераметру. Враховуючи геометричнийзміст похідної, можна знайти кут повороту прообразу та коефіці-єнт його розтягу по відношенню до образу. Так, для комплекс-них значень x(t) розв’язків нерівності х2+4х+с>0 маємо рівняннях2+4х+с=t, звідки (2x+4)·x΄(t)=1 ⇒ x΄(t)=1/(2x+4)=0,5/(x+2). Длядійсних розв’язків аргумент похідної є 0 чи π; для кінцевих то-чок t=0, а для нескінченого околу (при t →∞) коефіцієнт розтягупрямує до 0, тобто великим ∆t відповідають малі ∆х. Для ком-плексних розв’язків кут φ повороту від образа до прообразу до-рівнює π/2, бо arg(x+2)=arg(i·(c–4)1/2).

Для нескінченої півосі при розв’язанні нерівності f(x)>0 рів-няння f(x)=t можна розв’язувати на проміжку 0<t<1, а потім рів-няння f(x)=1/b на відрізку 0<у<1. Така фінітизація осі абсцис до-зволяє побачити розв’язок на екрані дисплея, якщо прообраз маєскінчену область, або його “ядро”, якщо він нескінчений. Можнаі його фінітизувати якоюсь заміною, наприклад, замість х зобра-жувати arctg x.

Висновки. Узагальнений підхід практично потрібен, напри-клад, для розшифровки фотознімків, зроблених з орбіти штучнихсупутників Землі та аерофотозйомки: відображенням є проекту-вання (проективне відображення). Фактично, ми завжди робимоцей пошук, уявляючи об’єкт по його зображенню на екрані теле-візора, на фото тощо. Тільки ми це робимо на якісному рівні, а вцій роботі ми виконуємо й кількісний аналіз, вказуючи прообраз

285

кожної точки, яка помічена двома параметрами (t, у0). Один з них– число t, а другий – точка на одиничній сфері у просторі Y. Фак-тично ми структуруємо за цей рахунок множину прообразівx(t·у0) за даним образом t·у0. Це дає змогу при наявності непере-рвності оберненого перетворення f-–1(x) застосовувати чисельніметоди для пошуку розв’язків таких “нерівностей”, отримавшисітку у множині прообразів Х за вибраною сіткою у множині об-разів Y={t·y | t>0}. Для класичних нерівностей f(x)>0 це тількичисло t, а точка – число +1; для нерівностей f(x)<0 точкою є чис-ло –1. Одинична сфера тут – кінці відрізка [–1; +1]. Для компле-ксно значної функції цією сферою є коло |х|=1. Для простору R3

маємо власне сферу радіусу 1 з центром в т. O(0, 0, 0). Вектор у0

можна задати у сферичних координатах (1, ϕ, θ).

Література1. Ткаченко С.П., Філер З.Ю. Комплексні розв’язки квадрат-

ної нерівності //Математика в школі. – 2003. –№ 2. – С. 47-49.2. Ткаченко С.П., Філер З.Ю. Спосіб нев’язки (відхилу)

розв’язування нерівності // Теорія та методика навчання матема-тики, фізики, інформатики: Збірник наукових праць. Випуск 3: В3-х томах. – Кривий Ріг: Видавничий відділ НМетАУ, 2003. –Т. 1: Теорія та методика навчання математики. – С. 254-258.

3. Філер З.Ю., Ткаченко С.П. Від нерівностей до прообразамножини // Матеріали Міжнародної науково-практичної конфе-ренції “Україна наукова ‘2003”. Т. 30. Технічні науки. Матема-тика. – Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2003. – С. 44-47.

286

ВИВЧЕННЯ АЛГЕБРИ МНОГОЧЛЕНІВІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ КОМП’ЮТЕРНИХ ЗАСОБІВ

З.П. Халецька, Л.В. Ізюмченком. Кіровоград, Кіровоградський державний педагогічний

університет імені Володимира Винниченкаzoya.kh@mail.ru

У шкільному курсі математики учні вчаться розв’язуватиквадратні рівняння з однією змінною чи такі, що до них зводять-ся, зокрема симетричні або такі, що мають раціональні корені. Укурсі вищої математики після вивчення комплексних чисел тадій над ними з’являється можливість розв’язувати рівняння 3-гота 4-го степенів методами Кардано та Феррарі. Для рівнянь ви-щих степенів, як відомо, не існує загального алгоритмурозв’язання. При вивченні розділу “Многочлени від однієї змін-ної над числовими полями” студент знайомиться з різними спо-собами відшукання дійсних коренів, їх відокремленням та лока-лізацією, уточненням з потрібною точністю. Дана стаття має ме-тою спробувати поєднати різноманітні підходи здійснення конт-ролю знань студентів при вивченні теорії многочленів. Студен-там пропонуються завдання, що охоплюють матеріал, лише час-тково розглянутий на лекціях та практичних заняттях, і прикла-ди, які необхідно розв’язувати комп’ютерними засобами (напри-клад, у середовищі електронних таблиць).

Пропонуємо варіант індивідуального завдання із зразком ви-конання.

1. Знайти границі дійсних коренів многочленаf(x)=x3+x2–2x–1.

Розв’язання. Так як nka

ax k ,1,max1

0

=+≤ і 2max0

=a

ak , то

|x|≤3.2. Використовуючи похідну, довести, що дійсні корені мно-

гочлена f(x)=x4–4x3+7x2–8x+3 обмежені проміжком 0<xi<3.Розв’язання. Якщо значення многочлена та його похідних:

f(a)>0, f'(a)≥0, ..., f(n)(a)≥0, то всі дійсні корені xi≤a. Перевіримоверхню оцінку (xi<3); для відшукання значення многочлена тайого похідних скористаємось схемою Горнера:

287

1 -4 7 -8 33 1 -1 4 4 f(3)=15>0,3 1 2 10 34

15

034!1

)3(' >=f,

3 1 5 25025

!2

)3('' >=f,

3 108

!3

)3(''' >=f,

3 1

8

,01!4

)3()4(

>=ff(n)(3)=0, n>4.

Звідси маємо, що всі дійсні корені. Оскільки x=3 не є коре-нем, маємо, що xi<3.

Для нижньої оцінки виконаємо заміну x на –x: g(x)==f(–x)=x4+4x3+7x2+8x+3. Многочлен g(x) не має додатних коре-нів, а тому многочлен f(x) не має від’ємних коренів, отже xi>0.Тому всі корені xi∈ (0; 3).

3. Скласти ряд Штурма і відділити дійсні корені многочленаf(x)=x4–4x3+3x2+2x–1.

Розв’язання. Обчислимо похідну f'(x)=4x3–12x2+6x+2, тодінаступним многочленом Штурма є f1(x)=2x3–6x2+3x+1. Так як

( ) ( ) ( )1632

1

2

1

2

1 21 +−⋅−

−⋅= xxxxfxf , отримуємо f2(x)=3x2–

6x+1. Продовжимо ділення: ( ) ( ) ( )13

5

3

2

3

221 −−

−⋅= xxxfxf ,

маємо: f3(x)=x–1. Так як f2(x)=f3(x)·(3x–3)–2, то f4(x)=1. РядШтурма f(x), f1(x), f2(x), f3(x), f4(x). Оцінимо кількість змін знаківцих многочленів:

x f(x) f1(x) f2(x) f3(x) f4(x) W–∞ + – + – + 4∞ + + + + + 0-1 + – + – + 40 – + + – + 31 + 0 – 0 + 22 – – + + + 13 + + + + + 0Так як W(–∞)–W(∞)=4, то є чотири дійсні корені, причому

288

x1∈ (–1; 0), x2∈ (0; 1), x3∈ (1; 2), x4∈ (2; 3).4. Розв’язати рівняння x4–4x3+3x2+2x–1=0 способом Феррарі.Розв’язання. Виділимо повний квадрат (x2)2–2x2·2x=–3x2–

–2x+1, а тоді (x2–2x+λ)2=(–3x2–2x+1)+(4x2+λ2+2λx2–4λx), або(x2–2x+λ)2=x2(1+2λ)+x(–2–4λ)+(1+λ2) Права частина має бутиквадратом двочлена, для чого дискримінант ∆=(–1–2λ)2––(1+2λ)(1+λ2)=0 – маємо кубічну резольвенту. Один з розв’язківλ=0. Тоді рівняння набуває вигляду (x2–2x)2=x2–2x+1, або

(x2–2x)2=(x–1)2, його коренями є2

53,

2

51 ±±.

5. Реалізувати знаходження наближених коренів многочленаf(x)=x4–4x3+3x2+2x–1 та побудову графіка, використовуючи засо-би комп’ютерної алгебри.

Розв’язання. Використаємо обчислювальні можливості елек-тронних таблиць Excel, які дозволяють розв’язувати як прямі,так і обернені задачі: проводити дослідження області допусти-мих значень змінних, а також підбирати значення змінних длязаданого значення многочлена.

Перший крок виконання завдання – введення значень змін-них допустимого проміжку [–1; 3], який було знайдено методомШтурма в задачі 3, в деякий діапазон, (наприклад – А3:А11) зпевним кроком (0,5). Для цього можна використати можливостіавтозаповнювання комірок: 1) в комірки А3, А4 вводимо відпо-відно числа: –1, –0,5; 2) виділяємо ці комірки і, сумістивши вка-зівку миші з маркером заповнення, “протягуємо” маркер до ко-мірки А11. Другий крок – обчислення відповідних значень мно-гочлена: 1) в комірку В3 вводимо формулу: =A3^4––4*A3^3+3*A3^2+2*A3–1, яка обчислює значення многочленавід значення комірки А3, тобто f(–1) і натискуємо Enter;2) копіюємо формулу комірки В3 в діапазон В3:В11. Третій крок– побудова наближеного графіка функції f(x)=x4–4x3+3x2+2x–1 зайого значеннями на проміжку [–1; 3]. Для його виконання скори-стаємося майстром діаграм. Порядок побудови графіка:1) виділяємо діапазон В3:В11; 2) виконуємо команди Вставка,Диаграмма або натискуємо кнопку на панелі інструментів Мас-тер диаграмм; 3) в діалоговому вікні Мастер диаграмм (шаг 1из 4) вибираємо тип діаграми – График; 4) в діалоговому вікніМастер диаграмм (шаг 2 из 4) вибираємо закладку Ряд і вво-

289

димо в поле подписи на оси Х діапазон значень А3:А11; 5) в ді-алоговому вікні Мастер диаграмм (шаг 3 из 4) вводимо назвуграфіка і назви координатних осей. При переході до наступноговікна натискуємо кнопку Далее, а після останнього вікна – Го-тово.

Х Y F(x)=x^4-4*x^3+3*x^2+2*x-1-1 5-0,5 -0,68750 -10,5 0,31251 11,5 0,31252 -12,5 -0,68753 5Для точнішого зображення графіка функції іноді має сенс

оцінити одержаний результат і виконати його побудову за зміне-ним проміжком.

В даному випадку треба виключити точки –1 та 3. Розгляне-мо проміжок [–0,75; 2,75] із кроком 0,25 та виконаємо аналогічнідії.

Х Y-0,75 1,191406-0,5 -0,6875-0,25 -1,246090 -10,25 -0,371090,5 0,31250,75 0,8164061 11,25 0,8164061,5 0,31251,75 -0,371092 -12,25 -1,246092,5 -0,68752,75 1,191406Знайдемо наближені значення коренів многочлена, викорис-

290

тавши сервісну програму підбору параметру. Виберемо з табу-льованого проміжку точки, значення многочлена в яких близькідо нуля: –0,5; 0,5; 1,5; 2,5 та відповідні їм значення многочленів.Скопіюємо їх на вільне місце:

x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4)-0,5 -0,6875 0,5 0,3125 1,5 0,3125 2,5 -0,6875При встановленні курсору в комірку, що містить значення

многочлена, виконаємо команди: Сервис, Подбор параметра.З’явиться діалогове вікно, в якому задамо потрібне значеннямногочлена: 0. У полі “Изменяя значение ячейки” вказуємоадресу комірки, що містить значення точки, яка наближує коріньмногочлена. Після натиснення Оk Excel розв’язує задачу підборузначення аргументу для заданого значення функції. У випадкууспішного підбору виводиться вікно, в якому вказується резуль-тат – “текущее значение” многочлена для підібраного значеннязмінної. При натисненні Оk підібране значення – наближенийкорінь – зберігається в комірці аргументу. При натисненні кноп-ки Отмена відбувається відновлення значення аргументу. Принеуспішному завершенні підбору параметру видається відповід-не повідомлення про неможливість підбору аргументу. Виконає-мо операцію підбору параметра для кожного з чотирьох коренів.

x1 f(x1) x2 f(x2)-0,61798 -0,00038 0,382027 0,000169

x3 f(x3) x4 f(x4)1,617821 0,000587 2,618036 1,24E-05

Таким чином, ми одержали наближені значення коренівмногочлена: –0,61798; 0,382027; 1,617821; 2,618036.

Виконану роботу студент має захистити в строки, визначеніграфіком учбового процесу. Захист передбачає знання студентомвідповідного теоретичного матеріалу, практичні навичкирозв’язання типових прикладів, уміння застосовуватикомп’ютерні засоби. П’яте завдання студент може виконувати,застосовуючи довільний програмний пакет, який має відповідніматематичні можливості.

Виконання індивідуальних завдань дозволяє систематизува-ти знання з теми та привчає студентів до використаннякомп’ютера з метою оцінки аналітичних результатів, знаходжен-ня і перевірки висунутої гіпотези.

291

ІЗ ДОСВІДУ ВИКЛАДАННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИВ ПОЖЕЖНО-ТЕХНІЧНОМУ ВНЗ

І.П. Частоколенко, О.М.Моргунм. Черкаси, Черкаський інститут пожежної безпеки

ім. Героїв Чорнобиляan_m@ukr.net

Специфіка навчального контингенту пожежно-технічногоВНЗ, орієнтованого на надзвичайно високу значимість виключнопрактичних вмінь та навичок, вимагає підвищеної уваги до акту-алізації знань з дисциплін теоретичного спрямування, в тому чи-слі і з вищої математики.

Характер практичної діяльності керівного складу та опера-тивного персоналу пожежно-рятувальної служби вимагає наяв-ності навичок до аналізу та ідентифікації типових ситуацій в об-межені проміжки часу. За таких умов зростає роль загальногопрофесійного світогляду, вміння користуватись інструкціями,нормативними документами, довідниковими даними, тобто всьо-го того, що ми відносимо до алгоритмічного стилю діяльності.

Враховуючи зазначене, наш курс вищої математики має чіт-ко виражену інженерно-практичну орієнтацію, постійно спрямо-ваний на підтримку актуальності розв’язуваних задач, а такожнесе серйозне виховне навантаження. Такі його ознаки досяга-ються за рахунок наступних факторів:

– насиченість спеціально підібраними прикладами застосу-вання тих чи інших математичних методів для розв’язуванняпрактичних задач пожежно-рятувальної служби;

– наявність нетрадиційного розділу, в якому цілеспрямованорозглядаються математичні моделі пожежно-технічного характе-ру, а також розв’язуються відповідні задачі на їх застосування;

– чітко визначене коло розв’язуваних задач, класифікація, атакож алгоритмізація методів їх розв’язування;

– надання порівняно підвищеного значення веденню конспе-ктів занять;

– застосування специфічних методик контролю знань.Найбільше навантаження з розглянутих позицій мають ті

розділи вищої математики, в яких розглядаються методи інтег-

292

рування, в тому числі, звичайних диференціальних рівнянь і рів-нянь в частинних похідних. Не останнє місце посідають тут ірозділи теорії ймовірностей та математичної статистики.

Запозичені із літератури [1–4] прості приклади застосуванняматематичних методів пропонуються курсантам під час лекцій ів більшості своїй ставлять метою продемонструвати шляхиотримання тих чи інших розрахункових формул конкретнихприкладних задач. Вони охоплюють практично всі сторони бага-тогранної діяльності пожежно-рятувальної служби і включають:

! класичну задачу про радіоактивний розпад;! елементарну модель розповсюдження пожежі, яка врахо-

вує кількість високотемпературних точок в необмеженомуоб’ємі;

! закони руху найпростішого механічного пристрою дляперекачування рідини;

! хід хімічних реакцій, в тому числі першого порядку;! розрахунок теплоізоляції трубопроводу;! побудову моделі електричного кола змінного струму з

метою продемонструвати різке збільшення величини струму вмомент вмикання;

! процеси витікання рідини із ємностей та посудин різноїформи;

! приток води до вертикальної свердловини із водоносногошару та ґрунтових вод;

! оцінку ефективності протипожежної пропаганди тощо.Особливо цікавим є приклад статистичної моделі процесу

функціонування окремого пожежного підрозділу, за допомогоюякої можна визначати ймовірності перебування підрозділу у ста-ні чергування або в режимі бойової роботи і таким шляхом пла-нувати необхідну їх кількість [5].

Більш складні математичні моделі пожежно-технічногоспрямування, зокрема, пов’язані з використанням диференціаль-них рівнянь в частинних похідних, розглядаються в спеціально-му розділі курсу “Елементи математичного моделювання”, якийзавершує вивчення дисципліни. Основним його змістом є мате-ріал, який традиційно стосується рівнянь математичної фізики(рівняння теплопровідності та рівняння механічних коливань).

Наведені особливості викладання математичних знань не

293

порушують класичного змісту дисципліни для інженерно-технічних спеціальностей і, разом з тим, суттєво сприяють їх ак-туалізації.

Надзвичайно важливим є чітке окреслення коларозв’язуваних задач, класифікація, а також алгоритмізація мето-дів їх розв’язування. Це виховує здатність до виявлення типовихситуацій, вміння оперативно в них орієнтуватись і прийматиадекватні ефективні рішення.

Зокрема, в розділі “Звичайні диференціальні рівняння” виді-лено таки теми в порядку їх ускладнення:

! найпростіші диференціальні рівняння (ДР) першого по-рядку (ДР, які допускають безпосереднє інтегрування, лінійніоднорідні ДР та ДР з відокремлюваними змінними);

! окремі випадки ДР першого порядку (однорідні ДР, лі-нійні неоднорідні ДР, ДР Бернуллі, рівняння в повних диферен-ціалах і два основних випадки пошуку інтегруючого множника);

! найпростіші ДР другого порядку (ДР, які допускають по-слідовне інтегрування, а також зниження порядку);

! лінійні ДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами(однорідні та неоднорідні);

! лінійні ДР другого порядку зі змінними коефіцієнтами(однорідні та неоднорідні).

По кожному з указаних різновидів ДР дається теоретичнеобґрунтування методу розв’язування, після чого на цій базі про-понується алгоритм розв’язування.

Для прикладу наведемо методику розв’язування ДР з відо-кремлюваними змінними у тому вигляді, як це представлено вкласичному підручнику [1].

Спочатку розглядається ДР виду ( ) ( )xfxfdx

dy21 ⋅= , в якому

права частина являє собою добуток функції, яка залежить тількивід x, на функцію, яка залежить тільки від y. Припускаючи, що

f2(x)≠0, отримуємо: ( ) ( ) dxxfxf

dy ⋅= 1

2

. ДР у такому вигляді нази-

вається ДР з відокремленими змінними. Метод його

розв’язування визначається виразом ( ) ( ) Cdxxfxf

dy +⋅= ∫∫ 1

2

. Далі

294

розглядається ДР з відокремленими змінними видуM(x)·dx+N(y)·dy=0, розв’язок якого пропонується записувати увигляді ( ) ( ) CdyyNdxxM =∫ ⋅+∫ ⋅ . У випадку ДР видуM1(x)·N1(y)·dx+M2(x)·N2(y)·dy=0, яке називається ДР з відокрем-люваними змінними, спочатку пропонується виконати відокрем-лення змінних шляхом ділення обох його частин на виразN1(y)·M2(x). При цьому отримується рівняння

( )( )

( )( ) 0

1

2

2

1 =⋅+⋅ dyyN

yNdx

xM

xM, яке має вигляд попереднього і відпо-

відно до цього і розв’язується.Привертає до себе увагу детальність та порівняно велика кі-

лькість варіантів розв’язування. Аналогічна методика пропону-ється і в [3]. В нашому випадку за основу взято єдиний варіант, апроцес розв’язування подається у вигляді алгоритму:

! шляхом тотожних алгебраїчних перетворень представитидане ДР у стандартному вигляді y'=f1(x)·f2(y);

! якщо виконати попередній пункт не вдається, то вважатизастосування методу відокремлення змінних неможливим;

! обчислити інтеграли ( ) ( )∫ ⋅= dxxfxI 11 і ( ) ( )∫= yf

dyxI

2

2 ;

! записати загальний розв’язок у вигляді I2(x)=I1(x)+C іпровести для нього спрощуючі перетворення.

Контроль знань з вищої математики передбачений у виглядіпоточного оцінювання та семестрових іспитів. В обох випадкахвважається доцільним використання виключно письмової форми.Розглянемо особливості її реалізації.

Як показує досвід, усне відтворення означень, теорем таправил у переважній більшості випадків демонструє лише тількимеханічне запам’ятовування без глибокого розуміння змісту ізовсім не означає наявності вміння їх практично застосовувати.Крім того, майбутній характер діяльності працівників пожежно-рятувальної служби не передбачає оперування математичноютермінологією. Отже, немає сенсу непродуктивно витрачати чассамопідготовки та практичних занять. Краще присвятити йогорозв’язуванню задач.

Логіка попереднього тезису вимагає дозволу у використанніконспектів та інших довідкових матеріалів під час проведення

295

контролю знань. Це сприяє виробленню навичок оперативногопошуку потрібної інформації в умовах обмеженого часу. Курса-нти починають не тільки розуміти, але й відчувати необхідністьна достатньому рівні орієнтуватись у змісті власних робочих ма-теріалів та у послідовності розташування тем в ньому. Важливотакож те, що вони самостійно приходять до висновку про доці-льність підтримки своїх робочих матеріалів у належному якісно-му стані. Зазначені фактори дисциплінують і сприяють розши-ренню математичного та професійного світогляду курсантів.

За указаних умов специфіка проведення лекцій полягає устворенні умов для ретельного конспектування. При цьому зада-ча лектора ускладнена тим, що він повинен особливо виваженопідійти до відбору матеріалу. Лекційний матеріал повинен бутипрофесійно актуальним, працювати на створення загального сві-тогляду з дисципліни, а також бути абсолютно доступним дляаудиторії. Звичайно, на інтелектуальну зацікавленість сподіва-тись важко, але достатнім стимулом для ефективної роботи кур-сантів під час лекції є майбутня можливість скористуватисьстворюваним конспектом під час контролю знань. При цьомурівень оцінки має безпосередньо залежати від якості конспекту.Все сказане в рівній мірі слід віднести і до конспектів, створю-ваних під час практичних занять, коли викладач формулює алго-ритми розв’язування типових задач і демонструє їх на конкрет-них прикладах.

Поточне оцінювання доцільно здійснювати шляхомрозв’язування задач за індивідуальними варіантами у виглядіневеличких (протягом 20–30 хвилин) письмових робіт. В залеж-ності від навчальної ситуації, такий масовий контроль знань мо-жна проводити або безпосередньо після вивчення теми в кінціданого заняття, або на початку наступного. Звичайно, при цьомузначно зростає обсяг перевірки, але додаткові втрати часу ком-пенсуються суттєвим зменшенням необхідності в консультуван-ні, а також професійним задоволенням від наявності абсолютнодостовірних даних про рівень знань кожного з курсантів і від до-сягнення абсолютно масової роботи в аудиторії.

Як уже згадувалось, іспит з вищої математики теж доцільнопроводити у письмовій формі за декількома варіантами. Прицьому надання курсантам можливості користуватись власними

296

конспектами сприяє створенню доброзичливої атмосфери, ви-ключає необ’єктивне ставлення до них з боку екзаменаторів.Відповіді на теоретичні питання, представлені у варіантах, єсвоєрідною перепусткою на іспит. Наявність якісних відповідейна теоретичні питання свідчить про сумлінну роботу курсанта напротязі семестру і є доказом (але не гарантією) його прав як напродовження іспиту, так і на позитивну оцінку. Відсутність від-повідей на теоретичні питання виключає подальшу участь кур-санта в іспиті. Остаточне ж оцінювання реальних знань курсантаздійснюється виключне за наслідками розв’язування ним прак-тичних завдань варіанту письмової роботи.

Як не дивно, але надання можливості користуватись конспе-ктами під час іспиту не приводить до зниження кількості негати-вних оцінок. Це пояснюється тим, що оцінювання знань перехо-дить в іншу площину, що проявляється у зміні характеру типо-вих помилок. Основні серед них такі: низька якість відповідей натеоретичні питання, що пов’язано з низькою якістю конспекту,неправильна ідентифікація розв’язуваної задачі і, як наслідок,вибір невідповідного алгоритму її розв’язування, невміння дове-сти виконання алгоритму розв’язування до кінця, помилки черезнезосередженість та неуважність в процесі виконання проміжнихобчислювальних операцій тощо. Зрозуміло, що робота курсанта зусунення помилок відміченого характеру сприяє не тільки під-вищенню рівня його математичних знань. Вона несе ще й вихов-не навантаження, оскільки знаходиться в руслі зростання йогопрофесійної майстерності.

Література1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле-

ния для втузов. – Т.2. –М.: Наука, 1985.2. Баврин И.И. Высшая математика. –М.: Просвещение, 1980.3. Шкиль Н.И., Колесник Т.В. Высшая математика. – К.: Вища

школа, 1986.4. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложени-

ях. –М.: Наука, 1987.5. Брушлинский Н.Н. Системный анализ деятельности Госу-

дарственной противопожарной службы. Учебник. – М.:МИПБ МВД России, 1998.

297

РОЗВИТОК КРИТИЧНОГОМИСЛЕННЯПІД ЧАС НАВЧАННЯМАТЕМАТИКИ ВШКОЛІ

І.Є.Шверненком. Кіровоград, Кіровоградська державна гімназія №9

Міністр освіти і науки України Василь Кремінь, розмірко-вуючи про філософію освіти XXI століття, зазначив, що необхід-но “забезпечити умова для повноцінного розвитку особистості,формування в неї творчого критичного мислення” [1]. Іншимисловами, повноцінний розвиток особистості неможливий без фо-рмування творчого критичного мислення. Мур і Паркер характе-ризують критичне мислення як “ретельне обмірковане, виваженерішення стосовно будь-якого судження :чи повинні ми його при-йняти, відкинути або ж відкласти, і степінь впевненості, з якоюми це робимо” [2].

Постає питання: як перетворити визначення критичного ми-слення в щоденну практику? Мова йде про розробку методичноїсистеми, виконання якого виховує критичне мислення.

Методична система має бути впорядкованою, щоб учні мог-ли послідовно підійти до розуміння процесу формування відпо-відних навичок та їх застосування.

Вона також має бути самоочевидною, щоб учні могли дізна-тися, на якому рівні вони знаходяться щодо власного мислення,щоб вести та скеровувати цей процес, навчаючись самостійно.

Які ж ознаки критичного мислення повинні зберігатися приконструюванні навчального процесу?

По-перше, самостійність мислення. Коли заняття основу-ється на принципах критичного мислення, кожен формулює своїідеї, оцінки, переконання незалежно від інших. Тобто, мисленняповинно носити індивідуальний характер. Це зовсім не означає,що цей процес має бути абсолютно оригінальним: ми можемоприйняти ідею чи переконання іншої людини як свої власні. Намнавіть приємно погоджуватись з чужою думкою – це ніби під-тверджує нашу правоту. Але головне – кожен при цьому вирішуєсам, що йому думати.

По-друге, сприйняття інформації. Фактичні знання ство-рюють мотивацію, без якої неможливо критично мислити. Щоб

298

виробити думку, необхідно сприйняти багато фактів, ідей, текс-тів, теорій. Цей процес базується на запам’ятовуванні і розумін-ні, важливість яких завжди ставилась на перше місце в традицій-ному навчанні. Викладацька робота не зводиться тільки до на-вчання критичному мисленню. Ми навчаємо своїх учнів сприй-мати найскладніші поняття і утримувати в пам’яті різноманітнівідомості. В своїй пізнавальній діяльності учні критично обмір-ковують кожен новий факт. Саме це перетворює традиційнийпроцес пізнання на індивідуальний, осмислений, неперервний іпродуктивний процес.

Критичне мислення починається з постановки питань і усві-домлення проблеми, яку необхідно розв’язати. Це третя ознакакритичного мислення. Справжній пізнавальний процес на будь-якому його етапі характеризується намаганням того, хто пізнає,розв’язати проблеми і відповісти на питання, які виникають зйого власних інтересів та потреб. Сучасна українська педагогікавиділяє “олюднення знань” як основне завдання освіти. Цієї ждумки притримується і бразильський педагог Пауло Фрейре, ав-тор концепції “звільнюючої педагогіки”. Він вважає, що навчан-ня проходить ефективніше, коли учні формулюють проблеми наоснові власного життєвого досвіду.

Уся складність навчання критичному мисленню полягає втому, щоб допомогти учням побачити нескінченне різноманіттяоточуючих нас питань. Тобто, готуючись до уроку, педагог по-винен визначити коло проблем, що стоять перед учнями, а потім,коли учні будуть до цього готові, допомогти їм сформулювати ціпроблеми самостійно. Завдяки критичному мисленню навчання зрутинного заучування, перетворюється на цілеспрямовану, зміс-товну діяльність, в ході якої учні виконують реальну інтелектуа-льну роботу і розв’язують реальні проблеми.

Четверта ознака критичного мислення – прагнення до пере-конливої аргументації.

Критично мисляча людина знаходить власне рішення про-блеми і підтверджує це рішення обґрунтованими доводами. Вонатакож усвідомлює, що можливі інші рішення тієї ж проблеми, інамагається довести, що обране ним рішення логічніше і раціо-нальніше ніж інші.

Кожна аргументація містить в собі три основні елементи. Те-

299

зис (твердження, основна ідея) – це головний зміст аргументації.Тезис підтверджують рядом доводів. Кожен з доводів, в своючергу, підкріплюється доказами. В якості доказів можуть вико-ристовуватись статистичні данні, цитати з тексту, особистий до-свід тощо. Під усіма названими елементами аргументації – тези-сом, доводами і доказами – лежить четвертий елемент: підґрунтя.Підґрунтя – це якась загальна ідея, точка відліку для виникненнятезису.

Аргументація виграє, якщо враховує існування можливихконтраргументів, які або піддаються сумніву, або визначаютьсяза припустимі. Визнання інших точок зору тільки підсилює ар-гументацію. Якщо критично мисляча людина має сильні аргуме-нти, то вона здатна протистояти навіть таким авторитетам, якдруковане слово, сила традиції і думка більшості, такою люди-ною практично неможливо маніпулювати.

І останнє, критичне мислення є мислення соціальне. ФілософХанна Арендт стверджує, що досконалості можливо досягнутилише в чиїйсь присутності. Думки стають чіткіше і відшліфова-ніше, якщо ними діляться з іншими.

Коли ми читаємо, обговорюємо, заперечуємо чи обмінюємо-ся переконаннями з іншими людьми, ми уточнюємо та поглиб-люємо свою власну позицію. Тому вчителі, що працюють в руслікритичного мислення, завжди намагаються використовувати насвоїх заняттях різні види парної та групової роботи, приділяютьбагато уваги виробленню якостей, що необхідні для продуктив-ного обміну думкам: толерантності, умінню слухати інших, від-повідальності за власну точку зору. Таким чином педагогам вда-ється наблизити навчальний процес до реального життя, яке течеза стінами класної кімнати.

Будь-яка педагогічна діяльність напрямлена на побудовуідеального суспільства, і в цьому сенсі навіть один шкільнийклас, навчений основам критичного мислення, є кроком в напря-мку досягнення великої мети. Тому ми постійно намагаємосьперейти від традиційної педагогіки, від навчання “за програмою”до педагогіки прогресивної, що задовольняє потреби моїх учнів інашого суспільства.

Розглянемо структуру уроків критичного мислення на прикладіпроведення уроків математики.

300

1. Розминка – урок починається з розминки, яка замінює такзвані організаційні моменти класичного уроку. Головна функціярозминки – створення сприятливого психологічного клімату длятворчого розвитку особистості на уроці.

Приклад: Народна мудрість стверджує, що “не існує не тала-новитих людей, а є ті, які ...” Спробуйте закінчити народну муд-рість.

(Робота в парах, запис варіантів закінчення на дошці).Висновок: Народна мудрість стверджує: Не існує не талано-

витих людей, а є ті, які займаються не своєю справою. Упевнена,що наш урок на тему “Правильні многокутники” допоможе кож-ному розкрити свої таланти.

Приклад: Чи часто в житті ми виконуємо дії обернені до тих,що ми робили спочатку? Чи буває в житті такі ситуації, коли мищось зробили, а потім вирішили повернути все на свої місця?Наведіть приклади на підтвердження своєї думки (“Мікрофон”).А в математиці ми з вами зустрічались з діями оберненими одиндо одного? (вислуховуємо бажаючих відповісти).

Сьогодні наш урок присвячений математичній операції обе-рнений до множення многочлена на многочлен – розкладаннямногочлена на множники.

2. Обґрунтування навчання – знання має цінність лише то-ді, коли воно використовується на практиці, та усвідомлюєтьсятеоретично. Майбутнє викривається дітям, які критично переві-ряють інформацію та вибудовують свої особисті реальності. От-же, кожна тема уроку має бути обґрунтованою.

3. Актуалізація. На цьому стані учні активно пригадують,що вони знають із цієї теми. Учні встановлюють рівень власнихзнань з предмета, до якого можуть додати нові знання. Інформа-ція, яку учні не пов’язують з уже відомою, втрачається дужешвидко, те, що людина знає, визначає те, про що вона може діз-натися. Навчання – це активна цілеспрямована діяльність.

Приклад. Тема: “Формула Ньютона-Лейбніца”. Актуалізаціязнань про визначений інтеграл. Методика-складання“асоціативного куща” (“асоціативних схем”).

Які асоціації викликають у вас слова: “Визначений інтег-рал”?

На дошці малюємо асоціативний кущ із слів учнів:

301

Спочатку це може бути одне слово (“трапеція така, крива”),яке розкручується вчителем у більш значущу фразу, яка запису-ється на дошку у кущ. Потім хто-небудь з учнів з учнів (по ба-жанню) всі відомості з даної теми підсумує, використовуючисхему на дошці.

Приклад. Тема: “Розкладання многочлена на множники”.Актуалізація знань про дії, які ми вміємо виконувати з многоч-ленами.

На дошці – розв’язаний приклад. Завдання – визначити, якадія виконана, пригадати правило.

(а–х)(b+у)=аb–bx+ay–xy – множення многочлена на многоч-лен

7а(2х–3у)=14ах–21ау – множення многочлена на одночлені т. п.4. Усвідомлення змісту. На даному етапі учень знайомиться

з новою інформацією. Методика критичного мислення передба-чає, що на цьому етапі вчитель має найменший вплив на учня.Учень самостійно отримує та аналізує інформацію перевіряє своєособисте розуміння цій інформації.

При викладанні математики, напевне, важко повністю до-триматись вимог до цього етапу, але деякі його елементи можнаефективно використовувати.

Наприклад: Тема “Методи розв’язування показникових нері-вностей (10 кл.). Групам учнів роздають аркуші де уже

Визначений інтеграл

площакриволінійноїтрапеції

верхня; ни-жня сумиДарбу

граничний пе-рехід

інтегральноїсуми

302

розв’язані показникові нерівності: I групі –4

32

4

166

2

>+ хх , II

групі –16

1<xe , III групі – 033

2

9

11

<+−

+х

х

, IV групі –

32

2

12

2

−

>

z

х .

Завдання: відновити послідовність думок, що привели доцього розв’язання. Через 5-7 хв. Обговорення в групах до дошкипо черзі виходять представники груп і розповідають про свій ва-ріант розв’язку.

Після цього, за допомогою вчителя робиться узагальненняпро методи розв’язування нерівностей вигляду: ax≥b, af(x)≥ag(x).Евристичними методами знаходяться алгоритми.

Наприклад. Одне і теж теоретичне питання розглядаєтьсякожною групою за різними підручниками. Потім його висвітлюєпредставник однієї з груп (за основним підручником). Інші групидоповнюють те, що не було висвітлене. Робиться висновок, вякому з підручників краще подано дану тему.

5. Рефлексія. Учень висловлює своїми словами певну дум-ку. Він стає власником ідеї, коли висловлює своїми словами.Відбувається обмін думками. Мислити критично легше в атмос-фері демократичності. У такій атмосфері розквітає розмаїття по-глядів, в такій атмосфері приймаються правильні рішення.

Цей етап дуже важливий, бо дає можливість спонукати педа-гога і учнів замислюватись над підвищенням якості своєї роботи,визначити рівень можливостей учнів, показати учням і педагогуступінь досягнення результатів знань, визначити, хто з учнів маєодержати заохочення, дати учням мотивацію до навчання і отри-мання знань.

Прикладами прийомів оцінювання можуть бути: тест, екс-прес-опитування, розширення опитувань, контрольна вправа,спостереження, самооцінка, методика “дельта-плюс”.

Використання тієї чи іншої методики або технології не по-винно ставати самоціллю. Їх можна використовувати частково,інтерпретувати по відношенню до умов даної теми, даного класу,тощо. Головне пам’ятати, що до нового звикають поступово,

303

швидких плодів у педагогічній діяльності майже не буває, аленаполеглива і творча праця вчителя зобов’язує захопить учня,спонукає його до особистого розвитку.

Література:1. Кремінь В. Філософія освіти ХХІ століття. // Урядовий

кур’єр. – 06.02.2003 р.2. Клустер Д. Критическое мышление. // Відкритий урок. –

2003. –№17-18.3. Красовицький М., Белкіна О. Проблеми виховання крити-

чного мислення в контексті теорії і практики американськоїшколи. // Рідна школа. – 2003. –№2.

304

ЗМІСТ І ЗАСОБИ НАВЧАННЯМАТЕМАТИКИУ ВНЗ І-ІІ РІВНІВ АКРЕДИТАЦІЇ

ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНОГО ПРОФІЛЮ

В.О.Швець1, Г.І. Білянін2

1 м. Київ, Національний педагогічний університетім.М.П. Драгоманова

2 м. Чернівці, Буковинський державний фінансово-економічнийінститут

viktor.burachek@mail.ru

За роки незалежності в Україні відповідно до соціально-економічних умов, потреб держави і забезпечення можливостейдля духовного, інтелектуального, фізичного розвитку громадянвизначилися основні напрямки функціонування системи підгото-вки молодших спеціалістів.

Міністерство освіти, центральні органи виконавчої влади,яким підпорядковані вищі навчальні заклади І-ІІ рівнів акреди-тації, скерували свою діяльність на реалізацію Указу ПрезидентаУкраїни “Про основні напрямки реформування вищої освіти вУкраїні”, постанов і розпоряджень Кабінету Міністрів України,власних рішень за умов реформування підготовки фахівців від-повідно до вимог ринкової економіки [1].

На сьогоднішній день здійснено реформування мережі ви-щих навчальних закладів І-ІІ рівнів акредитації та переглянутоіснуючі і введено нові спеціальності для підготовки молодшихспеціалістів, що забезпечують функціонування інституцій рин-кової економіки, а саме: фінанси; банківська справа; економікапідприємств; економічна статистика; бухгалтерський облік; бір-жова діяльність; організація виробництва; організація обслуго-вування населення; організація обслуговування на транспорті іт.д.

Паралельно з цим, створено певні умови для реалізації без-перервної ступеневої вищої освіти за інтегрованими програмамипідготовки молодших спеціалістів, бакалаврів, спеціалістів у си-стемі багатоступеневих вузів або навчальних та навчально-виховних комплексів, що дозволяє скоротити загальний терміннавчання випускників технікумів та училищ.

305

До такої категорії вузів належить Буковинський державнийфінансово-економічний інститут, який проводить підготовку фа-хівців за спеціальностями: державні фінанси; банківська справа;податкова справа; казначейська справа; митна справа; облік і ау-дит; бухгалтерський облік; економіка підприємств.

Його структура:• І ступінь – готує молодших спеціалістів. Набір проводить-

ся серед випускників 9 класів ЗНЗ, ліцеїв, гімназій. Навчання –три роки^ 0-ий; 1-ий; 2-ий курси.

• ІІ ступінь – готує бакалаврів. Набір проводиться серед:а) випускників факультету молодшого спеціаліста, навчання

2 роки – 3-ій; 4-ий курси;б) випускників ЗНЗ, ліцеїв, гімназій та інших шкіл, які дають

повну середню освіту. Навчання 4 роки – 1-4-ий курси.• ІІІ ступінь – готує спеціалістів. Набір проводиться серед

бакалаврів, навчання 1 рік – 5-ий курс.До фундаментальних дисциплін математичного циклу, згід-

но державних стандартів, на різних ступенях підготовки спеціа-лістів віднесено: 0 курс – математика; 1 курс – вища математика(216 год., з них 105 аудиторних); 2 курс – теорія ймовірностей іматематична статистика (І семестр, 108 год., з них 72 аудитор-них), математичне програмування (ІІ семестр, 108 год., з них 54аудиторних); 3 курс – економетрія (І семестр, 81 год., з них 54аудиторних). Детальніше зупинимось на курсі математика ну-льового курсу.

Основним завданням навчання математики у вищих навча-льних закладах І-ІІ рівня акредитації, які здійснюють підготовкузі спеціальностей фінансово-економічного напрямку на основібазової загальної середньої освіти, є забезпечення середньоїосвіти, належного рівня математичної культури, необхідних дляповноцінної участі в повсякденному житті, продовження освіти.Роль математики на сучасному етапі розвитку суспільства помі-тно зростає. Це стосується і фінансово-економічної діяльності.Для підготовки повноцінних молодших спеціалістів такого про-філю математика – базова дисципліна. Вона – основа для успіш-ного вивчення і засвоєння багатьох спеціальних дисциплін у га-лузі мікро- і макроекономіки, фінансів, для побудови математи-чних моделей економічних процесів з подальшим їх вивченням

306

за допомогою персональних комп’ютерів, для складання й оцін-ки прогнозів у галузі маркетингу та ринкової діяльності підпри-ємств тощо.

Програма [2] складена у відповідності до вимог державногостандарту освітньої галузі “Математика” (Проект), проекту про-грам для вищих навчальних закладів І-ІІ рівнів акредитації, ін-ших державних нормативних документів. Вона рекомендованаМіністерством освіти і науки України (лист Міністерства освіти інауки України №14/18.2 – 1471 від 12.07.2002 р.) для фінансово-економічних коледжів та всіх інших, у яких здобуваються вказа-ні вище спеціальності.

У ній передбачена рівнева диференціація. Вона стосуєтьсяяк змісту освіти, так і вимог до його засвоєння. У змісті виділенінавчальні модулі, теми, що дає змогу запроваджувати модульно-рейтингову систему навчання студентів. Теми, які вивчаютьсяоглядово, позначені значком *). Розширення змісту відбуваєтьсяза рахунок питань, які виділені квадратними дужками. Рівнів ви-мог до засвоєння змісту виділено два: рівень А (мінімальний,обов’язковий) і рівень Б (базовий, підвищений).

У програму(таблиця 1) включено весь матеріал з алгебри тапочатків аналізу і геометрії за 10-11 класи, крім початків теоріїймовірностей і вступу до статистики, які студенти вивчатимуть вокремих курсах, названих вище, – пізніше, а також матеріал, ви-вчення якого є необхідним для засвоєння спецпредметів.

Таблиця 1. Орієнтовна сітка годинКількість годин

Розділ математики Всьо-го

Ауди-тор-них

Само-стійнаробота

Модуль І. Основні математичні поняття. 24 20 4Модуль ІІ. Функціональна залежністьміж величинами. Елементарні функції,їхні властивості і графіки. 46 40 6Модуль ІІІ. Рівняння, нерівності, систе-ми. 44 38 6Модуль IV. Прямі та площини в просто-рі. Вектори і координати. 28 24 4

307

Кількість годин

Розділ математики Всьо-го

Ауди-тор-них

Само-стійнаробота

Модуль V. Диференціальне числення. 42 36 6Модуль VI. Інтегральне числення. 35 28 7Модуль VII. Геометричні тіла та повер-хні, їх об’єми та площі. 31 26 5Всього: 250 212 38Орієнтовна сітка годин передбачає вивчення математики

(всього 250 год., з них 240 аудиторних і 10 на самостійне ви-вчення) за 38 робочих тижнів (1 рік) по 6 годин на тиждень (3пари).

Самостійна робота студентів запланована в обсязі 10% відзагальної кількості годин і має бути спрямована на вдосконален-ня вмінь і навичок студентів творчого розв’язання нестандартнихматематичних та прикладних задач.

Відповідно до зазначеної вище програми було написано по-сібник “Математика” [3] та “Дидактичні матеріали з математи-ки” [4], теж рекомендовані Міністерством освіти і науки України(відповідно листи Міністерства освіти і науки України №2 – 749від 21 квітня 2003 р. та №14/18.2 – 1203 від 09.07.03 р.).

В посібнику враховані вимоги державних загальноосвітніхстандартів в області математики, наступність по відношенню добазової освіти загальноосвітньої школи та включено всі розділиматематики загальної середньої освіти а також ті, які потрібнідля засвоєння студентами фахових дисциплін, а саме (таблиця1):

Модуль І. “Основні математичні поняття”: Множини і опе-рації над ними. Елементи математичної логіки. Множина дійс-них чисел.Множина комплексних чисел.

Модуль ІІ. “Функціональна залежність між величинами.Елементарні функції, їх властивості і графіки”: Поняття функції,числові функції. Способи задання функцій, властивості. Послі-довність. Границя послідовності. Границя функції. Непере-рвність. Графік функції. Степені і логарифми. Показникова, ло-гарифмічна, степенева функції. Тригонометричні функції.

Модуль ІІI. “Рівняння, нерівності, системи”: Алгебраїчні рі-

308

вняння. Алгебраїчні нерівності та системи рівнянь і нерівностей.Трансцендентні рівняння. Трансцендентні нерівності і системирівнянь.

Модуль ІV. “Прямі та площини в просторі. Вектори і коор-динати”: Вступ до стереометрії. Паралельність прямих і площинв просторі. Перпендикулярність прямих і площин. Координати івектори в просторі.

Модуль V. “Диференціальне числення”: Похідна. Правилазнаходження похідних. Застосування похідної.

Модуль VI. “Інтегральне числення”: Невизначений інтеграл.Визначений інтеграл та його властивості.

Модуль VІI. “Геометричні тіла та їх поверхні. Об’єми таплощі”: Многогранники. Тіла обертання. Об’єми многогранни-ків. Об’єми і поверхні тіл обертання.

У зв’язку з постійним реформуванням загальноосвітніхшкіл, середніх спеціальних навчальних закладів, коледжів та ву-зів І-ІІ рівня акредитації зміст і методика вивчення всього на-вчального матеріалу в підручнику зазнали значної переробки впорівнянні з тими, які видані раніше в напрямку більшої доступ-ності і посилення прикладного характеру курсу математики.Щодо останнього, то автори керувались принципом – підвищитирівень фундаментальної математичної підготовки студентів здемонстрацією використання математичних знань у фінансово-економічній діяльності та в їх необхідності для засвоєння фахо-вих дисциплін.

Рівнів вимог до засвоєння змісту виділено два: рівень А (мі-німальний, обов’язковий) і рівень Б(базовий, підвищений).Всюди у підручнику, де це можливо, дається геометричний таекономічний зміст математичних понять (наприклад, функціона-льної залежності, рівнянь, нерівностей, систем, похідної, інтег-ралу і т.і.), та розглядаються прості вправи застосування матема-тики в фінансово-економічній діяльності. Такі приклади розра-ховані на рівень підготовки студентів 1-го курсу і практичномайже не потребують додаткової економічної інформації.

Паралельно із викладом теоретичного матеріалу ведетьсярозбір великої кількості задач і вправ. У кінці кожного парагра-фу приводяться питання для контролю і вправи для самостійноїроботи студентів, відповіді до яких поміщено в кінці підручника.

309

Практично зроблена спроба об’єднати в одній книзі підручник ікороткий практикум з розв’язування задач.

При такій побудові книги значно більша увага, ніж в шкіль-них підручниках, приділяється доведенням тверджень, методамрозв’язування задач. Для кращого засвоєння навчального матері-алу пропонуються алгоритми, правила-орієнтири розв’язанняпевного масиву вправ. Підхід до розгляду деяких теоретичнихпитань, які зустрічаються в шкільній програмі, використовуєтьсяінший, більш прикладного характеру. Це стосується обчисленняоб’ємів многогранників та тіл обертання, їх площ поверхонь, якірозглядаються через використання визначених інтегралів, та де-які інші.

Дидактичні матеріали [4] призначені для організації само-стійної роботи студентів, для здійснення контролю за рівнем за-своєння ними програмового матеріалу, умінь та навичок. Посіб-ник містить поточні самостійні роботи (скорочене позначення –буква С із номером роботи через тире) та контрольні роботи(скорочене позначення – К-номер) за модулями, які передбаченіпрограмою. Якщо програмою рекомендовано завершення модуляпровести у вигляді усного заліку, то контрольна робота не про-понується. При цьому залікові запитання та завдання не форму-люються, так як вони є в підручнику. Поточні самостійні роботискладено до всіх параграфів підручника у шести варіан-тах(скорочене позначення – В-номер).

Кожна робота виконує навчальну, діагностичну та прогнос-тичну функції і передбачає формування виділеного в програмімінімального рівня засвоєння курсу математики, без якого не-можливе вивчення спеціальних дисциплін на належному рівні.Завдання мінімального рівня позначено затушованим квадратом(■). Крім цього забезпечується диференційований підхід до на-вчання математики, ідея якого закладена у програмі та підручни-ку. Це дає змогу формувати вміння і навички більш високого рі-вня.

Час на проведення самостійних робіт, в основному, не пови-нен перевищувати 20 хв. Враховуючи рівень підготовки студен-тів, можна комбінувати завдання, пропонувати їм не всі завданнята не всі самостійні роботи, а також змінювати кількість завданьі час на їх виконання та проведення. Також самостійні роботи

310

можуть пропонуватись не всім студентам.Усі роботи розділені за розділами і параграфами. Тексти са-

мостійних робіт є основою для складання додатків до усних ек-заменів з математики після завершення кожного семестру.

На відміну від поточних самостійних робіт, модульні конт-рольні роботи складені і запропоновані у десяти варіантах. Вониповинні виконуватися всіма студентами обов’язково. Однак цене означає, що студентам групи слід пропонувати обов’язкововсі десять варіантів кожної контрольної роботи.

Відповіді та вказівки до розв’язування контрольних та само-стійних робіт насамперед призначені для викладача з метою еко-номії часу на перевірку робіт та використання їх у повному обся-зі.

Дидактичні матеріали можуть бути корисними для виклада-ча і під час роботи за іншою програмою чи підручником.

Запропоновані програма, посібник та дидактичні матеріалипризначені для фінансово-економічних коледжів та всіх інших, вяких вивчаються вказані спеціальності: державні фінанси; бан-ківська справа; податкова справа; казначейська справа; митнасправа; облік і аудит; бухгалтерський облік; економіка підпри-ємств та інші, близькі за змістом.

Література1. Про стан та перспективи підготовки фахівців у ВНЗ. Рі-

шення колегії МОУ №14/6-5 від 22.12.99. // Законодавчі акти проосвіту в Україні. – К., 1999. – том 13, – 857 с. – С. 169-182.

2. Швець В.О., Білянін Г.І. Математика: програма для фі-нансово-економічних коледжів. – Кам’янець-Подільський: Абет-ка, 2002.

3. Швець В.О., Білянін Г.І. Математика: посібник для фі-нансово-економічних коледжів. – Чернівці: Зелена Буковина,2003.

4. Швець В.О., Білянін Г.І. Дидактичні матеріали з матема-тики для фінансово-економічних коледжів. – Чернівці: ЗеленаБуковина, 2003.

311

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПРИМЕНЕНИЯСИМПЛЕКС-МЕТОДА

О.В.Шепеленког. Донецк, Донецкий государственный университет экономики и

торговли им.М. Туган-Барановского

Методы экономико-математического моделирования пред-ставляют собой один из наиболее динамично развивающихсяразделов прикладной экономической науки. Возможности при-менения экономико-математического моделирования значитель-но расширились благодаря современному программному обеспе-чению. Экономико-математическое моделирование широко ис-пользуются в различных областях экономики, при принятииуправленческих решений в финансовой сфере, в маркетинговыхисследованиях в силу разработанности математического аппара-та и возможности практической реализации. Экономист в совре-менных условиях должен хорошо разбираться в экономико-математических методах, уметь их практически применять длямоделирования реальных экономических процессов и ситуаций.Это позволяет лучше усвоить теоретические вопросы современ-ной экономики, способствует повышению уровня квалификациии общей профессиональной культуры специалиста.

Линейное программирование – это метод математическогомоделирования, разработанный для оптимизации использованияограниченных ресурсов. На алгоритмах линейного программи-рования основаны оптимизационные алгоритмы для других, бо-лее сложных типов моделей и задач, включая целочисленное,нелинейное, стохастическое программирование. Задача линейно-го программирования (ЗЛП) включает три основных элемента:переменные, которые нужно определить; ограничения, которымдолжны удовлетворять переменные; целевую функцию, которуюнужно оптимизировать. Как известно ЗЛП с двумя переменнымиможет быть решена графически. Идеи, вытекающие из графиче-ского метода решения ЗЛП, положены в основу построения об-щего метода решения ЗЛП, называемого симплекс-методом.

Из графического метода решения ЗЛП видно, что оптималь-ное решение находится в крайней точке множества допустимых

312

решений, что является основной идеей при разработке общегоалгебраического симплекс-метода для решения любой ЗЛП. Дляреализации симплекс-метода вначале нужно ЗЛП привести кстандартной форме, преобразовав неравенства системы ограни-чений в равенства путем введения дополнительных переменных.

При изложении этой темы следует остановиться на поняти-ях: стандартная форма записи ЗЛП, базисные и небазисные пе-ременные, базисные решения, разрешающая (ключевая, веду-щая) строка, разрешающий (ключевой, ведущий) столбец, гене-ральный (ключевой, ведущий) элемент. Для определения опти-мального решения необходимо сформулировать условие опти-мальности, а также последовательность действий, выполняемыхпри реализации симплекс-метода. Следует также отметить, чтонаиболее общим способом построения начального допустимогобазисного решения ЗЛП является метод искусственных перемен-ных (М-метод).

Алгоритм симплекс-метода начинается с некоторого допус-тимого базисного решения и затем осуществляется переход кдругому базисному решению, которое «улучшает» значение це-левой функции. С помощью алгоритма симплекс-метода можнонайти оптимальное решение, рассматривая ограниченное коли-чество допустимых базисных решений.

В результате применения симплекс-метода для решения ЗЛПвозникают особые случаи, на которых на наш взгляд следует приизложении этой темы остановиться подробнее.

Одним из них является вырожденность. При решении ЗЛП спомощью симплекс-метода проверка условия оптимальностиможет привести к неоднозначному выбору исключаемой из бази-са переменной. Тогда на следующем шаге одна или более базис-ных переменных примут нулевое значение. В этом случае реше-ние будет вырожденным.

Рассмотрим пример: максимизировать z=4x1+2x2 при вы-полнении условий

≥≥≤+≤+

0,0

,42

,63

21

21

21

xx

xx

xx

Результаты решения ЗЛП симплекс-методом представлены в

313

таблице

Базис С 0p 4p1

2p2

0p3

0p4

p3 0 6 3 1 1 0 6/3p4 0 4 2 1 0 1 4/2z – строка 0 -4 -2 0 0

p1 4 2 1 1/3 1/3 0p4 0 0 0 1/3 -2/3 1z – строка 8 0 -2/3 4/3 0

p1 4 2 1 0 1 -1p2 2 0 0 1 -2 3z – строка 8 0 0 0 2

В первой таблице в качестве разрешающей строки можнобыло выбрать как p3, так и p4. Если оставить в базисе вектор p4,то во второй таблице переменная x4 принимает нулевое значение,т.е. получаем вырожденное базисное решение. Таким образом, стеоретической точки зрения может происходить “зацикливание”.

Графическое решение рассматриваемой ЗЛП представленона рисунке 1.

Рис. 1.

В точке А достигается оптимальное вырожденное решение.Из рисунка 1 видно, что ограничение 3x1+x2≤6 является избы-точным. Таким образом, с практической точки зрения вырож-денность объясняется наличием в исходной задаче хотя бы одно-го избыточного ограничения.

Вторым особым случаем являются альтернативные опти-

314

мальные решения. Если целевая функция принимает одно и тожеоптимальное значение на некотором множестве точек границыобласти допустимых решений, то такие решения называютсяальтернативными оптимальными решениями. Как известно та-ких решений существует бесконечное множество.

Графический и симплексный методы позволяют в случаеальтернативных оптимальных решений определить две угловыеточки отрезка области допустимых решений, координаты точеккоторого представляют оптимальное решение ЗЛП. Все точкиэтого отрезка можно найти как взвешенное среднее его крайнихточек с неотрицательными весами.

Рассмотрим пример: максимизировать z=2x1+6x2 при вы-полнении условий

≥≥≤+≤+

0,0

,2

,33

21

21

21

xx

xx

xx

Графическое решение рассматриваемой ЗЛП представленона рисунке 2.

Рис. 2.

В данном случае каждая точка отрезка АВ соответствует оп-тимальному решению, где А(0;1), В(3/4; 5/4). Полагая 0≤α≤1, ко-ординаты любой точки отрезка АВ ( 21 , xx ′′ ) можно записать сле-дующим образом:

4/34/34/3)1(01 ααα −=×−+×=′x ,

4/4/54/5)1(12 ααα −=×−+×=′x .На практике альтернативные оптимальные решения весьма

полезны, поскольку позволяют сделать выбор среди множестварешений без ухудшения значения целевой функции.

315

Третьим особым случаем являются неограниченные реше-ния. В некоторых ЗЛП значения переменных могут неограни-ченно возрастать без нарушения ограничений. Это говорит отом, что пространство допустимых решений не ограничено покакому-либо направлению. В результате этого целевая функцияможет возрастать (убывать) неограниченно. Неограниченностьрешения свидетельствует о том, что модель разработана не дос-таточно корректно. Типичные ошибки, приводящие к построе-нию подобных моделей, заключаются в том, что не учитываютсяограничения, которые не являются избыточными, и не точнооцениваются коэффициенты ограничений.

Рассмотрим пример: максимизировать z=5x1+x2 при выпол-нении условий

≥≥≥−

≤

0,0

,1

,3

21

21

2

xx

xx

x

Графическое решение рассматриваемой ЗЛП представленона рисунке 3.

Рис. 3.

При решении ЗЛП симплекс-методом неограниченностьможно определить следующим образом: если на каком-либо ша-ге коэффициенты в ограничениях при небазисной переменнойбудут неположительными, значит пространство решений не ог-раничено в направлении возрастания этой переменной; если ко-эффициент этой переменной в z-строке отрицателен в случаемаксимизации целевой функции, или положителен в случае ми-нимизации целевой функции, целевая функция также ограниче-на.

316

Четвертый особый случай – это отсутствие допустимых ре-шений. Если система ограничений ЗЛП несовместна (т.е. они немогут выполняться одновременно), то задача не имеет допусти-мых решений. Такая ситуация не может возникнуть, если всенеравенства системы ограничений имеют знак «меньше или рав-но» с неотрицательными правыми частями, так как в этом случаедополнительные переменные могут составить допустимое реше-ние. Для других типов ограничений используют искусственныепеременные. В оптимальном решении все искусственные пере-менные равны нулю в случае, если ЗЛП имеет непустое про-странство допустимых решений. В противном случае в опти-мальном решении будет присутствовать хотя бы одна положи-тельная искусственная переменная. С практической точки зренияотсутствие допустимых решений свидетельствует о том, что за-дача плохо сформулирована.

Таким образом, рассмотрение особых случаев, возникающихпри решении задач линейного программирования позволит сту-дентам глубже усвоить симплексный и графический методы ре-шения, а также научить анализировать полученные решения стеоретической, графической и практической точек зрения.

317

ДЕЯКІ АСПЕКТИ СИСТЕМИ ІСТОРИЗАЦІЇСПЕЦІАЛЬНОЇ ПІДГОТОВКИ ВЧИТЕЛЯМАТЕМАТИКИ

В КЛАСИЧНОМУ УНІВЕРСИТЕТІ

Л.Д.Шиянм. Луцьк, Волинський державний університет

імені Лесі Українкиsvit@lab.univer.lutsk.ua

Зміни вимог до сучасних освітніх систем обґрунтовуютьзміни вимог до підготовки вчителя математики. Ці вимоги поро-джують протиріччя між загальнокультурним контекстом сучас-ної освіти і науковим контекстом підготовки вчителя математикив рамках традиційної системи, визначаючи проблему введеннявищої педагогіко-математичної освіти в контекст культури, ви-ховання учителя математики як людини не тільки математичної,але і загальної культури. Це актуалізує і проблему нашого дослі-дження – проблему удосконалення спеціальної підготовки учи-теля математики в класичному університеті.

Одним із найбільш перспективних розв’язань цієї проблемиє історизація спеціальної підготовки учителя математики в уні-верситеті, під якою ми розуміємо процес все більш глибокого іповного проникнення в цю підготовку принципу історизму. Цепередбачає впровадження системи історико-математичних знань,яка не тільки забезпечує історико-математичну компетентністьучителя математики, але і створює умови для розвитку його зді-бностей; у випадку його особистісної орієнтації система істори-ко-математичних знань виявляє емоційний вплив на особистістьмайбутнього вчителя математики і стає компонентом його цінні-сних відносин.

Класична система педагогічної освіти включала в себе триосновних блока дисциплін: 1) блок спеціальних дисциплін;2) блок психолого-педагогічних і методичних дисциплін; 3) блокдисциплін загальнокультурного циклу. Нова система педагогіко-університетської освіти в якості одного із основних завдань по-винна розв’язувати завдання підсилення зв’язків між блокамидисциплін. При розв’язанні цього завдання доцільно виділитидва основних напрямки. Перший – використання можливостей

318

спеціальної підготовки в інтердисциплінарних зв’язках, для цьо-го викладач спецдисципліни повинен не тільки володіти факто-логією свого предмету, але і представляти його у всій різномані-тності взаємозв’язків, усвідомлюючи спецдисципліну в якостікомпонента не тільки спеціальної, але і цивілізованої культури.Другий напрямок – введення нових курсів, спеціально орієнто-ваних на укрупнення інтерблокових та інтердисциплінарнихзв’язків. Причому в умовах класичного університету це можутьбути не просто нові курси, але і нові види підготовки, так як ін-тердисциплінарність є необхідною умовою трансляції класичноїпедагогічної освіти в університетську. В якості такого новоговиду підготовки ми пропонуємо введення в університетськійосвіті історико-методичної підготовки, змістовною основою якоїє органічне сполучення системи знань з історії відповідної галузішкільної освіти та історії спеціальної методики, яка відповідаєпрофілю підготовки вчителя, аксіологічною основою – освітніцінності. Не дивлячись на те, що історико-методичні знання фу-ндаменталізують методичну підготовку і не завжди безпосеред-ньо використовуються в педагогічній діяльності як професійній,ми все ж вважаємо їх основою історико-методичної підготовки,тому що вони спрямовані на знайомство студентів із способамипрофесійної діяльності (в історичному аспекті). До того ж істо-рико-методичні знання вводять студентів в сферу історичногодосвіду математичної освіти, уявлення про який носить прикла-дний характер. Основний зміст історико-методичної підготовкизосереджується на третьому його рівні – рівні професійною під-готовки. Отже, історико-методична підготовка знаходиться увідношенні включення з професійною підготовкою. Історико-методична підготовка включає спеціальний, психолого-педагогічний і загальнокультурний блоки дисциплін, які вивча-ються в класичному університеті. Тому можна зробити висновок,що історико-методична підготовка знаходиться у відношенні пе-ретину з методичною підготовкою. Отже, історико-методичнапідготовка вчителя – вид його професійної підготовки, змістов-ною основою якої є органічне поєднання системи знань з історіївідповідної галузі шкільної освіти та історії спеціальної методи-ки, яка відповідає профілю підготовки учителя, аксіологічноюосновою її є освітні цінності. Історико-методологічна підготовка

319

має інтердисциплінарний і навіть інтерблоковий характер томущо: 1) історико-методична підготовка узагальнює і синтезуєцикл історичних дисциплін, а також цикли спеціальних і мето-дичних дисциплін, тобто здійснює зв’язки між основними бло-ками – спеціальним (історія спеціальної дисципліни), психолого-педагогічним (історія освіти, методика навчання спеціальній ди-сципліні), загальнокультурним (історія України); 2) вона завер-шує і конкретизує цикл психолого-педагогічних дисциплін, роз-криваючи при цьому дидактичні ідеї в їх історичному розвитку вконтексті відповідної галузі шкільної освіти. В процесі цьогоузагальнення, синтезу і конкретизації встановлюються та зміц-нюються існуючі зв’язки між блоками дисциплін, їх циклами іконкретними дисциплінами. Отже, щоб отримати фундамента-льну математичну освіту, учитель математики повинен пройтичерез епохи світової і вітчизняної математичної культури. Їх ви-вчення повинно стати частиною професійної підготовки вчителяматематики в класичному університеті, одним із засобів фунда-менталізації і гуманітаризації його загальної математичної підго-товки, змістовною основою якої є система знань з історії матема-тики і окремих її розділів.

Перший етап цієї підготовки є частиною курсу методики ви-кладання математики і включає елементи її історії та історії шкі-льної математичної освіти. Так, наприклад, при вивченні питан-ня загальної методики “Принципи дидактики в навчанні матема-тики” доцільно коротко розглянути історію їх втілення у вітчиз-няну школу в цілому, після цього акцентувати увагу на їх про-явах в різні періоди шкільної математичної освіти. Але історико-методичні проблеми практично не входять в програму курсу ме-тодики викладання математики. Проте практично кожне питанняпрограми передбачає короткий аналіз не тільки історії розвиткувідповідної математичної проблеми, але і її втілення в шкільненавчання.

Історико-методичниий матеріал сприяє розв’язанню завданькурсу методики викладання математики і включається в змісткурсу по мірі необхідності. Однією з умов ефективностірозв’язання цієї проблеми є побудова процесу навчання на осно-ві принципу історизму, а це передбачає проведення обґрунтуваньвведення того чи іншого поняття з історичних позицій, показ

320

аналогічним способом методів розв’язання різних класів задач.Всі шляхи розвитку і становлення того чи іншого поняття ми неможемо показати. Використовуючи історію математики, необ-хідно знайти найбільш ефективні шляхи вивчення навчальногоматеріалу і давати уявлення учням про найбільш важливі віхиісторії розвитку математики.

Реалізація цього принципу можлива лише при відповіднійпідготовці вчителя. Необхідно виділити цілі, зміст, методи, фор-ми і засоби такої підготовки на основі принципу історизму.

У студентів в процесі навчання в університеті формуютьсяспецифічні методичні уміння деяких рівнів. До першого рівнявіднесемо такі уміння:

- самостійно вивчати першоджерела та історико-математичну літературу, вміти відібрати матеріал, який можнавикористати на уроках і в позакласній роботі;

- адаптувати відібраний матеріал з метою використання впроцесі навчання математики;

- здійснювати аналіз досвіду реалізації принципу істориз-му в процесі навчання і використовувати ці результати у власнійдіяльності;

- підбирати історичні задачі, визначати їх місце в процесінавчання і на їх основі будувати систему роботи для досягненняпоставлених цілей;

- розкривати історію походження того чи іншого терміну,математичного знаку, готувати короткий історичний екскурс дляуроку математики.

До другого рівня відносяться інтегровані уміння:- здійснювати реалізацію міжпредметних зв’язків матема-

тики з історією, показати вплив суспільного і економічного жит-тя суспільства на зміст і характер розвитку математики;

- будувати фрагменти навчального процесу, спираючисьна історико-генетичний підхід в навчанні математики;

- формувати загальну культуру учня за допомогою втілен-ня зв’язків між розвитком математики і філософії, мистецтвом ілітературою;

- виявляти причини утруднень учня при засвоєнні понять іметодів, виходячи з їх історичного розвитку;

- створювати проблемні ситуації на основі історико-

321

математичного матеріалу;- використовувати історико-математичні матеріали в якос-

ті засобів для врахування індивідуальних особливостей учнів.Уміння більш високого третього рівня характеризуються ці-

лісним підходом до реалізації принципу історизму в навчанніучнів математики. Ці уміння характеризують творчі здібностістудентів створювати свої варіанти послідовності і змісту ви-вчення матеріалу програми (теми, розділи), обґрунтовувати їх,орієнтуючись на принцип історизму. Формування перерахованихвище умінь ми проводимо на практичних заняттях з методикивикладання математики на конкретному математичному змісті.Проведена робота із студентами формує у них методичні уміння,які пов’язані з реалізацією принципу історизму при навчанні уч-нів математики.

Другий етап історико-методичної підготовки учителя мате-матики має інтердисциплінарний характер.

Питання про необхідність включення в програму підготовкивчителя математики предмета “Історія математичної освіти” ви-никало вже давно. Історія математичної освіти може допомогти ісучасній школі. Так, в перших російських гімназіях, які відкритібули при Олександрі І, вивчались елементи аналітичної геометрії(до 1845 р.) і математичного аналізу (до 1819 р.). На протязі ба-гатьох десятиліть це матеріал не входив в програми середніх на-вчальних закладів. В кінці ХІХ століття було поставлено питанняпро необхідність введення цих розділів в школу. З 1907 року їхввели в реальних училищах, готувалось їх введення і в гімназіях.По цих розділах було написано багато навчальних посібників,які могли би бути корисними і на сучасний час. В кінці ХІХ –початку ХХ століття активно обговорювались питання про рольпсихології у викладанні, про необхідність фуркації старшої лан-ки середньої школи, про міжпредметні зв’язки математики з ін-шими предметами. Велика увага приділялась розвитку функціо-нального мислення, а також прикладним питанням математики.Отже, проблеми, які розроблялися в старій школі, актуальні ісьогодні. Тому необхідний систематичний курс історії матема-тичної освіти для студентів математичних спеціальностей класи-чного університету, який би ознайомив студентів з історією ба-гатьох методичних ідей, які існують в сучасній школі. Матеріали

322

курсу можуть бути використані для післявузівської підготовкиучителів математики.

Методичний апарат курсу включає програму, тематичнепланування, плани лекцій, матеріали для семінарських занять,тематику рефератів і рекомендовану літературу.

Цей курс завершує і синтезує історичний компонент дидак-тичної і методичної підготовки учителя математики, тому вінповинен читатись у вигляді спецкурсу на завершальному етапіуніверситетської освіти. Він являється основним ядром історико-методичної підготовки учителя математики, тому що дає ціліснеуявлення про основні періоди розвитку шкільної математичноїосвіти країни і формує цілісну систему історико-методичнихзнань учителя математики.

На третьому етапі історико-методичної підготовки учителяматематики розглядаються питання індивідуальних дослідженьмагістрантів, якщо їх спеціалізацією є методика викладання ма-тематики.

Курс історії вітчизняної шкільної математичної освіти забез-печує гуманітаризацію вищої математичної освіти в університе-ті. Концепція особисто-орієнтованого виховання знаходить реа-льне втілення в курсі історії вітчизняної шкільної математичноїосвіти. Тому він сприяє вихованню вчителя математики як лю-дини математичної, педагогічної, методичної та загально-національної культури. Цей курс має високий розвиваючий по-тенціал, який забезпечує динамічний розвиток образно-асоціативного мислення та історичної пам’яті учителя математи-ки.

Так як цей курс забезпечує професійну підготовку студентів,то його ми пропонуємо ввести у вигляді спецкурсу на 5-му курсіз такою кількістю годин: 16-18 годин лекцій, 16-18 годин семі-нарських занять, контрольна робота, залік; на заочному відділен-ні – 18-20 годин.

В лекційному курсі повинні бути закладені основи історич-них методико-математичних знань, показана динаміка і рушійнісили розвитку математичної освіти в нашій країні на різних ета-пах її історії, вплив на освіту математичних, педагогічних і ме-тодичних ідей, а також визначних персоналій.

В кінці лекційного курсу необхідно коротко розкрити перс-

323

пективи вітчизняної математичної освіти в ХХІ столітті.На семінарських заняттях розглядаються нормативні доку-

менти, які регламентують навчання математики в школі (навча-льні плани, програми), або аналізуються причини їх відсутності;дається характеристика вітчизняної математичної літератури;обговорюються фрагменти позакласних занять, розробленихстудентами на історичному методико-математичному матеріалі;проводяться ділові ігри; аналізуються старовинні методирозв’язування задач і т.д.; велика увага приділяється персоналі-ям, обговорюються біографічні відомості, вплив відповіднихособистостей на розвиток математики і шкільної математичноїосвіти тощо.

Завдання, які складені для семінарських занять, носять твор-чий, індивідуальний характер. Це розробки позакласних занятьна оригінальному історичному методико-математичному матері-алі, підготовка рефератів по видатним персоналіям з послідую-чим їх захистом на семінарському занятті та інше.

З метою розширення історико-методичного кругозору вчи-теля математики доцільно організувати лекції для факультатив-них занять на теми, які присвячені різним пам’ятним датам істо-рії вітчизняної математичної освіти; про життя і діяльність вида-тних діячів математики та інше.

Література1. Боголюбов А.И. Математики. Механики. Биографический

справочник. – Киев: Наук. думка, 1983.2. История отечественной математики: В 4-х томах. – Киев,

1966. – Т. 1.3. История математического образования в СССР. – Киев: На-

ук. думка, 1975.4. Швецов К.І. Бібліографія староруських математичних руко-

писів// Станіслав. держ. пед. ун-т. – Київ, 1955. – Вип. 1.

324

ВИКОРИСТАННЯ ОПОРНИХ КОНСПЕКТІВ І СХЕМПРИ ВИВЧЕННІ АБСТРАКТНОЇ АЛГЕБРИ

Ю.В. Яременко, Л.І. Лутченком. Кіровоград, Кіровоградський державний педагогічний

університет імені Володимира ВинниченкаYaremenko@kspu.kr.ua

Практика показує, що абстрактна алгебра є для сприйманнястудентів одним із найбільш складних предметів. Це, перш завсе, пов’язано з невмінням уявити абстрактні об’єкти, зрозумітивсю складність їх структурних взаємозв’язків. Труднощі вини-кають тоді, коли необхідно усвідомити й належним чином спів-віднести, пов’язавши в уяві, нові відомості з тими, що вже збері-гаються в довготривалій пам’яті, адже час передавання інформа-ції із короткочасної пам’яті в довготривалу в кожної людини су-то індивідуальний.

Поняття абстрактної алгебри, як правило, студенти заучуютьмеханічно, що призводить до швидкого їх забування, тому щомеханічне заучування не сприяє переходу інформації в довго-тривалу пам’ять та не розвиває логічне мислення студентів. Од-ним із способів подолання цих труднощів є зображення абстрак-тних алгебраїчних понять та їх взаємозв’язків у вигляді опорнихсигналів, опорних конспектів та схем.

Для прикладу складемо опорні конспекти та схему для такихосновних алгебраїчних понять, як група, кільце, тіло, поле.

Нагадаємо, що непорожня множина G, на якій визначена бі-нарна операція ∗ , називається групою, якщо виконуються насту-пні умови:

– операція ∗ асоціативна, тобто для будь-яких елементівa, b, c із G (a*b)*c=a*(b*c);

– в множині G існує нейтральний елемент е (a*е=е*a=а);– для кожного елемента a∈ G в множині G існує обернений

елемент a-1 (a*a-1=a-1*a=е).Поняття групи можна зобразити, наприклад, такою опорною

схемою:

325

Непорожня множина К, на якій визначені дві бінарні опера-ції (додавання та множення), називається кільцем, якщо викону-ються наступні умови:

– К є абелевою групою відносно додавання;– операція множення асоціативна;– операція множення дистрибутивна відносно додавання,

тобто для будь-яких елементів a, b, c із К (а+b)*c=a*c+b*c,c*(a+b)=c*a+c*b.

Позначимо дистрибутивність опорним сигналом Д. Тоді по-няття кільця можна зобразити у вигляді наступної опорної схеми(поєднання групи і напівгрупи):

Кільце К, в якому 1≠0 і кожний елемент а≠0 має обернений,називається тілом.

Кільце називається комутативним, якщо для будь-яких еле-

326

ментів a і b із К а*b=b*a. Комутативне тіло називається полем.Опорний конспект групи, кільця можна скласти на занятті

під керівництвом викладача, а додому запропонувати студентамскласти опорний конспект тіла, поля.

Оскільки рівень асоціативних зв’язків у кожної людини різ-ний, то використання опорних конспектів у процесі навчанняповинно бути диференційованим. Практика показує, що теорети-чний матеріал краще запам’ятовується тоді, коли студент само-стійно складає опорний конспект, адже в цьому випадку він самвідшукує свої асоціативні зв’язки, активізує свою розумову дія-льність, що в свою чергу розвиває його здібності, сприяє швид-кому переходу інформації в довготривалу пам’ять.

Під час складання опорних конспектів слід орієнтувати сту-дентів на загальновідомі дидактичні принципи:

– лаконічність (при сприйнятті й запам’ятовуванні обсягкороткочасної оперативної пам’яті обмежений, тому за-гальна кількість знаків не повинна перевищувати 180-200, конспект повинен мати якнайменше слів, букв, зна-ків, малюнків тощо);

– виділення головного (використовують різні геометричніфігури, кольори, розміщення слів по вертикалі та навско-си, стрілками показують зв’язки між інформацією, під-креслюють або виділяють шрифтом головне та ін.);

– уніфікація (виражається у вигляді абревіатур, умовнихзнаків, малюнків);

– оригінальність (опорні конспекти повинні бути різнома-нітними за формою, структурою, графічним виконан-ням);

– компактність (одну сторінку зручно читати, така інфор-мація й краще запам’ятовується);

– доступність (символіка повинна бути зрозумілою длявсіх студентів);

– опорний конспект повинен виражати закінчену думку.Оскільки довготривала пам’ять спирається на логічну струк-

туру матеріалу, то проблема запам’ятовування складного матері-алу розв’язується за рахунок його включення (навіть штучного) влогічні зв’язки з іншими добре відомими уявленнями, поняттямий фактами. У цьому випадку діє така закономірність: чим більше

327

нових асоціацій при першому знайомстві з новим поняттям ви-никає в учня, і чим більше часу ми зможемо приділити логічно-му осмисленню цих асоціацій, тим краще запам’ятовується самепоняття. Тому варто використовувати опорні схеми, які бпов’язали вивчені поняття між собою:

і т.д.

Поле(комутативне тіло)

Тіло(кільце з діленням)

Кільце(група відносно множення,

напівгрупа відносно додавання)

Група

Такі схеми можуть пов’язувати між собою десятки понять.Наприклад різні типи кілець, ідеали і модулі над ними: ідеал(власний, простий, нільпотентний, головний), модуль (вільний,проективний, простий, напівпростий, точний, максимальний,артиновий, нетеровий, ланцюговий, напівланцюговий, бірядний іт.д.) та кільця (область цілісності, кільце головних ідеалів, пер-винне, напівпервинне, локальне, напівлокальне, напівланцюгове,спадкове, напівспадкове, артинове, нетерове, бірядне і т.д.).

Використання опорних сигналів, опорних конспектів та схемсприяє швидкому переведенню інформації з короткочасної йоперативної пам’яті в довготривалу, тому їх бажано використо-вувати при вивченні не тільки абстрактної алгебри, а й іншихнавчальних предметів.

328

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ О КОММИВОЯЖЁРЕМЕТОДОМ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Т.А. Ярхог. Харьков, Харьковский национальный автомобильно-дорожный

университет

Задача о коммивояжёре является математической модельюширокого класса важных производственных задач. Она относит-ся к целочисленным задачам линейного программирования, ре-шение которых, в том числе методом ветвей и границ, преду-смотрено программой курса «Математическое программирова-ние» для экономических специальностей университетов.

Постановка и решение этой задачи, за исключением [1], неотражены в известных учебниках по указанному курсу для эко-номистов. В работе [1] приведен алгоритм решения задачи окоммивояжёре с подробным разбором соответствующих приме-ров, однако изложение идеи и сути метода ветвей и границ, ле-жащего в основе алгоритма, нуждается в дополнении.

Постановка задачиКлассическая задача о коммивояжёре формулируется сле-

дующим образом [2]: торговец, начиная с некоторого города,хочет посетить каждый из (n–1) других городов один и толькоодин раз и вернуться в начальный пункт. В каком порядке ондолжен посещать города, чтобы минимизировать суммарноепройденное расстояние? Считается, что расстояние cij междудвумя городами i и j известно. В такой формулировке задача яв-ляется симметричной, поскольку cij=cji.

Задаче о коммивояжёре эквивалентны многие производст-венные задачи, в частности, календарные, поскольку cij можетозначать не только расстояние, но и время, издержки или другойизмеритель. В общем случае cij≠cji, и задача является асиммет-ричной. Приведем пример асимметричной задачи из областипланирования производства. Пусть в течение некоторого перио-да времени сборочная линия должна собирать изделия n различ-ных типов. Стоимость перехода от изделия типа i к изделию типаj равна cij. Какая последовательность типов собираемых изделий

329

минимизирует суммарные издержки?

Существование решения и суть метода ветвей и границСуществование решения поставленной задачи очевидно.

Имеется (n–1)! возможных вариантов, один или несколько изкоторых дают минимум расстояния (или минимум издержек).Трудности решения задачи имеют вычислительный характер вслучае большого числа городов (или большого числа типов из-делий). Они связаны с необходимостью перебора и сравнениямежду собой всех возможных вариантов.

Поэтому возникла проблема построения такого метода по-следовательного анализа вариантов, который выделял бы, повозможности, большое число неперспективных вариантов и сво-дил бы задачу к перебору относительно небольшого количества«подозрительных» вариантов. Суть метода ветвей и границ со-стоит в построении нижних оценок решения, используемых дляотбраковки неконкурентноспособных вариантов [3].

Основные определенияЦиклом S называется маршрут объезда городов составлен-

ный так, что каждый город проезжается ровно один раз и объез-жаются все города.

Матрицей расстояний называется матрица следующего вида

( )12 13 1

21 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ... ...

...

n

nij

n n n

c c c

c c cC c

c c c

∞ ∞ = = ∞

;

где cij – расстояние между городами i и j, (i≠j), причем полагаютcii=∞ ),1( ni = .

Длина lS цикла S равна

( , )( , )

k e

k e

S i ii i

l c= ∑ ,

(1)ik≠ie (k≠l).

Таким образом, выбор цикла тождественен выбору n эле-ментов матрицы C с условием, что никакие два из них не стоят в

330

одной строке или столбце.Приведение матрицыПриведением матрицы по строке (столбцу) называется про-

цесс вычитания наименьшего элемента строки (столбца) из всехеё (его) элементов.

Пусть в результате приведения матрицы C по строкам полу-чена матрица C(1) . Выразим элементы C(1):

cij(1)=cij–hi, ( , 1, )i j n= , (2)

где hi – наименьший элемент i-ой строки матрицы C.В каждой строке матрицы C(1) содержится по крайней мере

один нулевой элемент.Приведем матрицу С(1) по столбцам. В результате получим

матрицу С(2) с элементамиcij

(2)=cij(1)–gj=cij–hi–gj, ),1,,1( njni == , (3)

где gj – наименьший элемент j-го столбца матрицы C(1).Матрица C(2) имеет в каждой строке и каждом столбце по

крайней мере один нулевой элемент. Такая матрица называетсяприведенной.

Число

∑∑==

+=n

jj

n

ii ghH

11

(4)

называется константой приведения матрицы C.Доказано, что

lS=lS(2)+H, (5)

где lS – длина цикла матрицы C, lS(2) – длина аналогично цикла

матрицы С(2).Поскольку lS

(2)≥0, то длина любого циклаlS≥H. (6)

Таким образом, величина H является простейшей нижнейоценкой решения. Ясно, что поскольку ищется цикл наимень-шей длины, то естественно его выбрать так, чтобы аналогичныйцикл, составленный по приведенной матрице С(2) , соответство-вал клеткам, в которых расположены нули: cij

(2)=0.Таким образом, если cij

(2)=0, то кратчайший путь содержитодин из переходов (i→j).

Оценка нулей

331

Представим все множество циклов {S} в виде объединениядвух подмножеств:

{S(i→j)} – подмножество циклов, содержащих переход (i→j);

}{ )( jiS → – подмножество циклов, не содержащих переход(i→j).

}{}{}{ )()( jiji SSS →→ ∪= . (7)

Пусть S0(i→j)∈ {S(i→j)} – один из циклов.

Выбирая цикл S0(i→j), мы исключили из рассмотрения под-

множество }{ )( jiS → . При этом естественной является ситуация, вкоторой исключенные из рассмотрения «неперспективные» ва-рианты циклов множества }{ )( jiS → имеют большую длину. За-пишем оценку длины этих циклов:

lS≥H+Θ, (8)где Θ – некоторая большая величина.

Рассмотрим множество }{ )( jiS → .Так как из i-го города нужно куда-то выехать, то цикл этого

множества содержит проезд (i→k), где k≠j.Так как в j-ый город нужно откуда-то приехать, то цикл это-

го множества содержит проезд (m→j), где m≠i.

Следовательно, длина цикла }{ )( jiS → имеет оценкуlS≥H+ ( ) ( ) ( ) ( )

immj

jkik

immj

jkik ccHcc

≠≠≠≠++≥+ 2222 minmin =H+pi+qi=H+Θij (9)

гдеpi=

( )

jkikc≠

2min – наименьший элемент i-той строки, кроме cij(2)

(оценка нуля по строке);qj=

( )

immjc

≠

2min – наименьший элемент j-го столбца, кроме сij(2)

(оценка нуля по столбцу);Θij=pi+qi (оценка нуля).Имеем

lS≥H+Θij, (10)где Θij должно быть максимальным.

Вывод. В качестве пары городов (i, j)) (проезда (i→j)) следу-ет взять такие значения i и j, которые соответствуют нулевому

332

элементу cij(2) с наибольшей оценкой нуля.

Алгоритм построения цикла на каждом шаге состоит в при-ведении матрицы расстояний, оценке нулей, выборе пары горо-дов, подготовке матрицы к следующему шагу.

Длиной построенного цикла является конечная константаприведения. Построенный цикл проверяется на оптимальность.

Литература1. Перельман М.А. Исследование операций в задачах автомо-

бильного транспорта – Харьков: Издательство ХГАДТУ,1995.

2. John D.C. Little, Katta G. Murty, Dura W. Sweeney, CarolineKarel. An algorithm for the Traveling Salesman Problem. Opns.Res, 1963, vol. 11, #6.

3. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оп-тимизации. –М.: Наука, 1978.

333

ЗмістВ.Н. Беловодский, С.П. Муравьёв. Система открытого

доступа по разделу «Дифференциальные уравнения» курсавысшей математики...........................................................................3

О.В. Бех. Проблематика вивчення математичних дисцип-лін студентами економічних спеціальностей..................................7

Л.С. Білецька, В.Ю. Ковальчук, Л.П. Силюга, Н.І. Стасів.Прикладна спрямованість курсу математики, що вивчаєтьсяна педагогічному факультеті ..........................................................10

М.М. Білоцький, Л.І. Дюженкова, Г.О. Михалін. Щодопрограми з курсу математичного аналізу для педагогічнихуніверситетів ....................................................................................15

Д.Є. Бобилєв. Логічна структура курсу “Математичнепрограмування” та його взаємозв’язок із курсом“Дослідження операцій” .................................................................21

Н.В. Богатинська, Л.О. Черних, Г.М. Білоусова. Дидак-тичне значення алгоритмів у навчанні розв’язування стерео-метричних задач...............................................................................27

М.В. Босовський. Застосування задач фізичного змісту унавчанні математичного аналізу ....................................................32

Л.В. Васильева. Постановка лабораторной работы «Ста-тистическая обработка одномерного случайного массива» вкурсе теории вероятностей для студентов технических спе-циальностей......................................................................................36

Т.І. Війчук. Прикладна спрямованість навчання матема-тики при формуванні статистичних уявлень ................................42

Т.І. Дейніченко. Сутність педагогічної підтримки та її за-стосування при викладанні математики ........................................45

В.М. Дрибан, Г.Г. Пенина. Методика изложения связинормального распределения с локальной и интегральной тео-ремами Лапласа................................................................................53

Л.М. Єжель, К.М. Козіна. Математичні вміння на урокахбіології та української мови............................................................57

Т.М. Задорожня. Деякі особливості вивчення стохастики ..61В.Я. Ілляшенко. Професійно-педагогічна спрямованість

математичної підготовки майбутніх вчителів математики .........67С.І. Кашина, Г.Н. Середа. Дидактичні ігри на уроках ма-

тематики ...........................................................................................74

334

М.А. Кислова, А.А. Горшкова, С.Ф. Максименко. Некото-рые аспекты использования различных видов контроля зна-ний при изучении курса «Высшая математика» студентамидневного отделения .........................................................................78

В.І. Клочко. Інформаційні технології як засіб осучасненнязмісту курсу рядів ............................................................................82

О.М. Коломієць. Методична пропедевтика в процесі на-вчання математичних дисциплін у вузах педагогічного про-філю ..................................................................................................93

Л.Р. Корольская. Повышение роли теории вероятности иматематической статистики в математической подготовкеучителей математики.......................................................................95

В.В. Корольский. Транзитивная роль теоремы Лагранжа вдифференциальном и интегральном исчислении .........................98

В.В. Корольский. К методам приближённых вычисленийзначений радикалов .......................................................................101

Н.А. Котляр, Т.В. Тыщук. Применение систем автомати-зированного проектирования (САПР) для обучения в курсахначертательной геометрии и инженерной графики ...................105

С.Н. Латынин, И.В. Латынина.Методические замечанияк решению систем тригонометрических неравенств .................110

С.Н. Латынин, И.В. Латынина. Новые преобразования

сумм и рядов вида ∑j

jj xa ...........................................................113

Д.М. Лила. Функції, задані диференціальними рівняння-ми.....................................................................................................115

Т.В. Ломаєва. Особливості у викладанні геометрії студе-нтам-фізикам у педагогічних університетах ...............................120

С.Ф. Максименко, М.А. Кислова. Некоторые методологи-ческие вопросы преподавания курса «Теория вероятностей иматематическая статистика» с точки зрения его прикладныхаспектов ..........................................................................................125

Л.В. Мигунова, С.Д. Светличная. О методике преподава-ния курса «Высшая математика» в техническом вузе ...............129

В.В. Михайленко, В.Б. Крижанівський. Вища математикав технічному навчальному закладі: диференціювання склад-них та неявно заданих функцій ....................................................131

335

І.О. Михайлова. Про фахоформуючий зміст загальнома-тематичної освіти бакалаврів інформатики ................................134

К.Ф. Мищенко, Л.І. Бондаренко. Досвід розв’язуваннясистем лінійних рівнянь за допомогою комп’ютера ..................138

М.М. Нак. Проблема методу при розв’язуванні алгебраї-чних задач.......................................................................................143

Л.В. Новікова, К.К. Коновалова, М.І. Горбатов. Деякішляхи подолання негативів навчальної діяльності студентівпри викладанні їм вищої математики ..........................................153

Ю.І. Овсієнко. Шляхи підвищення ефективності вивчен-ня вищої математики у вузах ........................................................159

Є.І. Орлюк. Про деякі проблеми викладання математикиу вищих технічних закладах в сучасних умовах.........................164

В.И. Павлищев, В.Е. Ткаченко. Применение формулыТейлора при исследовании выпуклости и экстремумов функ-ции...................................................................................................170

Л.І. Петрушина. Виховання уваги на уроках математики .172В.М. Попов, Т.В. Поліщук, Т.Л. Годованюк. Необхідність

впровадження елементів теорії графів при поглибленому ви-вченні у шкільному курсі математики.........................................176

Ю.Ф. Рева, М.А. Кислова. Дидактические особенностипроверки знаний у студентов заочного отделения при изуче-нии курса «Высшая математика».................................................180

Л.Ф. Ринейская. О прикладных задачах в высшей мате-матике .............................................................................................185

Ю.К. Рудавський, П.П. Костробій, М.А. Сухорольський,О.А. Микитюк. Про розширення змісту вузівського курсу зтеорії рядів......................................................................................189

І.Б. Рудь. Основи технології особистісно-орієнтованоговикладання вищої математики .....................................................194

Н.М. Самарук. Фахова спрямованість математичної під-готовки бакалаврів з економіки і менеджменту .........................203

Л.І. Сорока. Використання елементів історизму в курсітеорії ймовірностей .......................................................................208

О.В. Стара, О.Р. Гарбич. Деякі методи активізації пізна-вальної діяльності студентів фізико-математичних факульте-тів при викладанні курсу математичного аналізу.......................211

336

I.М. Суліма, I.I. Ковтун, I.А. Нiкiтiна. Органiзацiя навча-льного процесу при вивченні курсу “Вища математика” ..........219

Н.А. Тарасенкова. Семіотичний компонент математичноїпідготовки студентів .....................................................................224

Д.І. Ткач. Методологічні основи викладання та вивченнясистемної нарисної геометрії як фундаментальної науки і якнавчальної дисципліни ..................................................................232

С.П. Ткаченко. Нерівності з комплексними змінними........241П.І. Ульшин. Про організацію самостійної роботи студен-

тів в процесі вивчення геометрії ..................................................249П.І. Ульшин, Л.П. Бєла. Про створення проблемних ситу-

ацій в процесі вивчення геометрії ................................................252П.І. Ульшин, М.М. Гав’янець. Самостійна робота учнів з

геометрії .........................................................................................255П.І. Ульшин, С.В. Кравченко. Про алгоритмізацію в гео-

метрії ...............................................................................................260П.І. Ульшин, І.В. Сорока. Використання векторного ме-

тоду в геометрії ..............................................................................264С.В. Уткіна. Системна організація самостійної роботи

першокурсників як основа адаптації ...........................................269З.Ю.Філер. Власні значення і вектори та їх застосування.274З.Ю. Філер, С.П. Ткаченко. Основні теореми про нерів-

ності ................................................................................................281З.П. Халецька, Л.В. Ізюмченко. Вивчення алгебри много-

членів із застосуванням комп’ютерних засобів ..........................286І.П. Частоколенко, О.М. Моргун. Із досвіду викладання

вищої математики в пожежно-технічному ВНЗ .........................291І.Є. Шверненко. Розвиток критичного мислення під час

навчання математики в школі ......................................................297В.О. Швець, Г.І. Білянін. Зміст і засоби навчання матема-

тики у ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації фінансово-економічногопрофілю ..........................................................................................304

О.В. Шепеленко. Особые случаи применения симплекс-метода .............................................................................................311

Л.Д. Шиян. Деякі аспекти системи історизації спеціаль-ної підготовки вчителя математики в класичному університе-ті ......................................................................................................317

337

Ю.В. Яременко, Л.І. Лутченко. Використання опорнихконспектів і схем при вивченні абстрактної алгебри .................324

Т.А. Ярхо. О решении задачи о коммивояжёре методомветвей и границ ..............................................................................328

338

Наукове видання

Теорія та методика навчання

математики, фізики, інформатики

Випуск 4

В 3-х томах

Том 1

Підп. до друку 02.03.2004Папір офсетний №1Ум. друк. арк. 17,82

Формат 60×84 1/16Зам.№1-0203

Тираж 300 прим.

Жовтнева друкарня50014, м. Кривий Ріг-14, вул. Електрична, 5

Тел. (0564) 664381

E-mail: cc@kpi.dp.ua