Задачник по теории...

Федеральное агентство по образованию

__________________________________________________________

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(Технический университет)

__________________________________________________________

Кафедра прикладной математики

Л.В. Аджемян, В.П. Гончарук, А.Г. Курицын, И.Я. Пиржуков, В.О. Поляков,

С.И. Чумаков.

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2008

2

УДК 519.21

Аджемян, Л.В. Задачи по теории вероятностей: учебное пособие / Л.В.

Аджемян, В.П. Гончарук, А.Г. Курицын, И.Я. Пиржуков, В.О. Поляков, С.И.

Чумаков; под ред. А.Г. Курицына и В.О. Полякова – СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2008.

- 89 с.

Приведены краткие теоретические сведения о вероятностях событий, о

случайных величинах, основные теоремы теории вероятностей, задачи по ос-

новным разделам теории вероятностей.

Учебное пособие предназначено для студентов дневного и вечернего от-

деления.

Ил. , библиогр. назв.

Рецензенты: 1. Кафедра статистической физики СПбГУ, д-р физ.-

мат. наук, проф. В.П. Романов;

2. В.С. Капитонов, канд. физ.-мат. наук, доцент

СПбТИ(ТУ).

Утверждено на заседании учебно-методической комиссии физико-

математического отделения 11.04.2007.

Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ)

3

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие содержит задачи и краткие теоретические

сведения из теории вероятностей, связанные с изучением вероятностей собы-

тий и поведением случайных величин, необходимые для решения задач по

теории вероятностей. Приведенные сведения и задачи охватывают наиболее

важные и трудно усваиваемые студентами разделы по основам теории вероят-

ностей. В учебном пособии приведены задачи на определение вероятностей

событий классическим методом, на применение теорем сложения и умноже-

ния, на формулы полной вероятности и Байеса, на схему испытаний Бернулли,

а также на построение законов распределения случайных величин и расчет их

характеристик. Задачи сгруппированы по основным перечисленным темам и

иллюстрируются примерами с подробным решением. Задачи повышенной

трудности отмечены знаком *.

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Испытанием называется реальный или принципиально осуществимый

опыт, для которого установлены контролируемые воспроизводимые условия и

совокупность всех возможных элементарных исходов. Считается, что в ре-

зультате испытания обязательно должен наступить какой-то один из множест-

ва взаимно исключающих друг друга исходов, которые также называют эле-

ментарными событиями. Множество всех исходов испытания обозначим .

Это множество может быть и бесконечным.

Случайное событие - это некоторое подмножество множества .1)

События A и B называются несовместными, если они не содержат об-

щих исходов, т.е. наступление одного из этих событий исключает наступление

другого. Событие А называется противоположным для события А, если оно

состоит из всех исходов, не входящих в А, т.е. состоит в не наступлении А.

Очевидно, что противоположные события всегда несовместны.

1.1 Конечная схема

Пусть множество исходов = {1, 2, …n} – конечное множество.

Каждому i сопоставим число P(i), называемое вероятностью со-

ответствующего элементарного события, причем 0 P(i) 1 и 1) Строго говоря, элементарное событие – это подмножество, состоящее из одного элемен-

та. Однако на практике обычно не делают различия между исходом и соответствующим

элементарным событием {}.

4

i

iP

1)(

Вероятностью P(A) любого события A называется сумма вероятностей

элементарных событий, входящих в A (они называются благоприятствующи-

ми событию А), т.е.

A

i

i

PAP

)()( (1.1)

Очевидно, что

P( А ) = 1 – P(A). (1.2)

Событие U, содержащее всю совокупность исходов, называется досто-

верным, оно обязательно наступит в результате испытания, т.е. U :

P(U) = 1. (1.3)

Событие V, не содержащее ни одного из исходов (пустое множество),

называется невозможным, в результате испытания такое событие никогда не

произойдёт (V =U , V = U):

P(V) = 0. (1.4)

При решении одной и той же задачи по теории вероятностей возможно

введение разных пространств элементарных событий и разных вероятностей,

причём, не следует искать обоснование модели на математическом уровне

строгости.

В том случае, когда из каких-либо соображений симметрии ясно, что все

исходы равновозможны, то P(i)= 1/n, где i = 1,2, … ,n; n - количество всех ис-

ходов. При этом, если количество исходов, благоприятствующих событию А,

равно m, то

. (1.5)

Формула (1.5) называется формулой непосредственного подсчёта веро-

ятностей или классическим определением вероятности.

Пример 1.1 Испытание – подбрасывание трёх монет. Рассмотрим собы-

тия: А – выпадение не менее двух гербов, В – выпадение цифры на всех моне-

тах, С – количество выпавших гербов не превосходит единицы. Рассмотрим

два варианта:

1) пусть монеты различимы, тогда множество исходов = {ГГГ, ГГЦ,

ГЦГ, ГЦЦ, ЦГГ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ}. Здесь Г и Ц обозначают выпадение герба

или цифры на соответствующей монете. В силу симметрии задачи все исходы

равновозможны и P(i) = 1/8; i = 1,2…,8.

Тогда А = {ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ}, В ={ЦЦЦ}, С = {ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ,

ЦЦЦ}, и, по классическому определению, Р(А)=4/8=1/2, Р(В)=1/8, Р(С)=

4/8=1/2;

5

2) пусть монеты неразличимы (мы не можем выделить, какая монета -

первая, какая - вторая и какая - третья), тогда множество исходов ={ГГГ,

ГГЦ, ГЦЦ, ЦЦЦ }. При этом разумно положить: P(ГГГ) = 1/8, P(ГГЦ) = 3/8,

P(ГЦЦ) = 3/8, P(ЦЦЦ) = 1/8, т.е. в данном случае исходы не равновозможны.

Теперь A = {ГГГ, ГГЦ}, P(A) = P(ГГГ) + P(ГГЦ) = 1/2, B = {ЦЦЦ}, P(B)

= 1/8, С = А = {ГЦЦ, ЦЦЦ}, P(C) = 1/2.

В этом примере невозможное событие V – например, выпадение более

трёх гербов, достоверное событие U– например, выпадение не более трёх

цифр.

Пример 1.2 Испытание – извлечение наугад двух шаров из урны, со-

держащей 2 белых и 2 чёрных шара. Определить вероятности следующих со-

бытий: А - среди извлечённых шаров оказался ровно 1 белый, В – среди из-

влечённых шаров хотя бы один белый, С – извлечены 2 белых шара, D – из-

влечены шары одного цвета.

Множество исходов снова можно выбирать по-разному, естественно,

что ответ не должен от этого зависеть. Рассмотрим, например, такие варианты:

1) шары пронумерованы, мы фиксируем порядок их появления. Обозна-

чим буквами «б» и «ч» появление соответственно белого и чёрного шаров, ин-

декс означает номер шара. Пространство элементарных исходов = {б1б2,

б2б1, б1ч1, ч1б1, б1ч2, ч2б1, б2ч1, ч1б2, б2ч2, ч2б2, ч1ч2, ч2ч1}, т.е. имеем 12 равно-

возможных исходов, поэтому P(i) = 1/12, i = 1,2,…,12.

A = {б1ч1, ч1б1, б1ч2, ч2б1, б2ч1, ч1б2, б2ч2, ч2б2}; по формуле (1.5) Р(А) =

8/12 = 2/3. Аналогично, В = {б1б2, б2б1, б1ч1, ч1б1, б2ч1, ч1б2, б1ч2, ч2б1, б2ч2,

ч2б2}, P(B) =10/12 =5/6, C ={б1б2, б2б1}, P(C) = 2/12 = 1/6, D = {б1б2, б2б1, ч1ч2,

ч2ч1}, P(D) = 4/12 =1/3;

2) Шары пронумерованы, порядок их появления безразличен. Тогда =

{б1б2, б1ч1, б1ч2, б2ч1, б2ч2, ч1ч2}. Все 6 элементарных исходов равновозможны,

следовательно, P(i) = 1/6, i = 1,2,…,6.

A = {б1ч1, б1ч2, б2ч1, б2ч2}, P(A) = 4/6 =2/3, B = {б1б2, б1ч1, б1ч2, б2ч1,

б2ч2}, P(B) = 5/6, C = {б1б2}, P(C) = 1/6, D = {б1б2, ч1ч2}, P(D) = 2/6 =1/3;

3) шары одного цвета неразличимы, порядок их появления безразличен.

В этом случае ={бб, бч, чч}. Здесь элементарные исходы не являются рав-

новозможными (для понимания этого достаточно обратиться к предыдущим

вариантам), P(бб) = P(чч), P(бч) = 4P(бб). Поскольку сумма вероятностей эле-

ментарных исходов должна равняться единице, получаем:

P(бб) = P(чч) = 1/6, P(бч) = 2/3. A = {бч}, по формуле (1.1) P(A) = P(бч) =

2/3, B = {бб, бч}, P(B) = P(бб) + P(бч2) = 5/6, C = {бб}, P(C) = P(бб) = 1/6, D =

{бб, чч}, P(D) = P(бб) + P(чч) = 1/3.

1.2 Элементы комбинаторики

В большинстве случаев перечисление всей совокупности элементарных

исходов оказывается затруднительным из-за огромного времени, которое не-

6

обходимо затратить на эту работу. Поэтому очень полезно уметь использо-

вать в таких задачах понятия и формулы комбинаторики, к рассмотрению ко-

торых и перейдём.

Из конечного множества {a1, a2, …, an}, состоящего из n различных эле-

ментов, можно образовать различные наборы, состоящие из m n элементов.

Упорядоченные наборы, содержащие m элементов, называют размеще-

ниями из n элементов по m, они отличаются друг от друга либо самими эле-

ментами (что бывает только при m n), либо порядком расположения элемен-

тов. Количество размещений из n элементов по m находят по формуле:

)!(

!

mn

nAm

n

(1.6)

Например, из множества {a,b,с} можно составить размещения по одно-

му: а, b, с; по два: аb, ас, bс, bа, са, сb; по три: аbс, асb, bас, бса, саб, сба; при-

чём, в соответствии с формулой (1.6) 13A = 3, 2

3A = 6, 33A = 6. Напоминаем, что

по определению 0!=1.

Размещения из n элементов по n называются перестановками, они отли-

чаются друг от друга только порядком расположения элементов. Количество

перестановок из n элементов (Pn), очевидно, равно n

nA , т.е.:

Pn = n (1.7)

Неупорядоченные наборы, содержащие m элементов из имеющихся n,

называются сочетаниями из n элементов по m, количество таких наборов оп-

ределяют по формуле

)!(!

!

mnm

nC m

n

, (1.8)

или mnС = m

nA /Pm ; при этом mnС = mn

nС . (1.9)

Различные сочетания отличаются одно от другого хотя бы одним эле-

ментом. Например, из множества {a, b, c} можно составить три сочетания по

одному: а, b, с; три сочетания - по два: аb, ас, bс; и всего одно - по три: аbс,

причём, в соответствии с формулами (1.8) и (1.9), 13С = 2

3С = 3, 33С = 1.

Помимо знания основных элементов комбинаторики, при решении задач

полезно помнить о справедливости принципа умножения и принципа сложе-

ния.

Предположим, что первое действие мы можем выполнить - m1 способа-

ми, причём при каждом из этих способов второе действие можно выполнить

m2 способами, при каждой комбинации способов выполнения первых двух

действий третье действие можно выполнить m3 способами, и т.д.

Тогда последовательность k таких действий можно выполнить m1*m2*

…*mk способами (принцип умножения).

7

Если действия взаимно исключают друг друга, то какое-либо одно из

этих действий можно выполнить m1 + m2 + …+mk способами (принцип сложе-

ния).

Ниже приведены вычисления вероятностей по формуле (1.5) с использо-

ванием элементов комбинаторики.

Пример 1.3 Буквы О, Т, К написаны на отдельных карточках. Какова

вероятность того, что, извлекая все эти карточки по одной наудачу (без воз-

вращения обратно), мы получим в порядке их выхода слово «ТОК»?

Решение. Под исходами испытания будем понимать все возможные пе-

рестановки карточек. Количество таких равновозможных исходов равно числу

перестановок из 3 элементов и по формуле (1.7) равно n = P3 = 3!= 6. Количе-

ство исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А, m = 1.

Отсюда, по формуле (1.5), Р(А) = 1/6.

Пример 1.4 Из группы в 25 студентов наугад вызывают троих. Опреде-

лить вероятность того, что будут вызваны студенты № 5, 10 и 15 в данном по-

рядке (событие А).

Решение. Под исходами испытания будем понимать все возможные

упорядоченные наборы (размещения) из 25 элементов по 3. Количество таких

равновозможных исходов: n = 3

25A =25·24·23=13800 (см. формулу (1.6)), благо-

приятный исход один, и по формуле (1.5) получим:

Р(А) =1/13800.

Пример 1.5 В партии из 20 деталей содержится 5 деталей первого сорта.

Какова вероятность того, что среди отобранных из этой партии наугад 7 дета-

лей окажется: 1) ровно 3 детали первого сорта, 2) хотя бы 3 детали первого

сорта?

Решение. Под исходами испытания будем понимать все возможные не-

упорядоченные наборы (сочетания) из 20 элементов по 7. Количество таких

равновозможных исходов: n = 720С = 77520 (см. формулу (1.8)). Рассмотрим

события: А – среди отобранных деталей ровно 3 детали первого сорта, В –

среди отобранных деталей хотя бы 3 первого сорта. Событию А будут благо-

приятствовать исходы, содержащие ровно 3 детали первого сорта. Эти исходы

можно получить, образуя неупорядоченные наборы из 5 элементов по 3 перво-

го сорта (число таких наборов равно 35С ) и добавляя к каждому такому набору

любой неупорядоченный набор из оставшихся 15 элементов по 4 (число таких

наборов равно 415С ) Используя принцип умножения и формулу (1.8), получим,

что количество исходов, благоприятствующих событию А, равно

mA = 35С 4

15С = 13650.

Событию В будут благоприятствовать все исходы, благоприятствующие

событию А, а также исходы, содержащие ровно 4 детали первого сорта (их

число по принципу умножения равно 45С 3

15С ) и исходы, содержащие 5 деталей

первого сорта (их число равно C5

5 C215). Используя принцип сложения и фор-

8

мулу (1.8), получим, что количество элементарных исходов, благоприятст-

вующих событию В, равно mB = 35С 4

15С + 45С + 3

15С + 55С 2

15С = 16030 .По форму-

ле (1.5) окончательно получим P(A) = mA/n = 13650/77520 = 0.176; P(B) =

mB/n = 16030/77520 = 0.207.

1.3 Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности (1.5), основанное на рассмотре-

нии конечной группы элементарных событий, обобщается для таких испыта-

ний, у которых множество исходов бесконечно и несчетно.

Пусть в область G бросается наудачу точка. Выражение «бросается нау-

дачу» понимается в том смысле, что брошенная точка может попасть в ε-

окрестность любой точки области с одинаковой вероятностью.1) При этом, ве-

роятность попасть в какую-либо (измеримую) часть области G пропорцио-

нальна мере этой части (длине, площади, объёму) и не зависит от её располо-

жения и формы. Таким образом, если g G , то вероятность попадания в g

(событие А):

P(A) = мера(g)/мера(G) . (1.10)

Пример 1.6 Известно, что электронный луч попал в мишень радиуса R.

Какова вероятность того, что он отклонился от центра не более чем на r ?

Решение. Площадь всей области: мера(G) = S = R2, площадь области,

отвечающей событию А: мера(g) = s = r2 поэтому, используя (1.10), находим

P(A) = r2/R

2 .

Пример 1.7 Какова вероятность того, что сумма двух положительных

чисел меньше 1, если каждое в отдельности не превышает 1 ?

Решение. Первое число x (0, 1], аналогично второе число у (0,1].

Общее пространство G, как видно из рисунка 1, представляет собой квадрат.

Площадь его S = 1. Область, благоприятствующая событию А, есть за-

штрихованный треугольник (его площадь s = 0.5). Поэтому P(A) = s/S = 0.5.

y

х

Рисунок 1

1 ) Предполагается, что ε-окрестность целиком принадлежит области G.

1

1

9

1.4 Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности (1.5) при переходе к более

сложным задачам наталкивается на принципиальные трудности. Они связаны

с невозможностью разумного способа построения множества равновозможных

исходов, например, при подбрасывании изогнутой монеты или неправильной

формы игральной кости. В таких случаях в качестве оценки вероятности со-

бытия принимают относительную частоту события А, которую определяют

равенством

W(A) = M/N , (1.11)

где N-общее число произведенных испытаний; M – число испытаний, в

которых событие А наступило.

Вероятность в статистическом смысле есть некоторая неизвестная, но

объективно существующая величина, приближёнными экспериментальными

значениями которой являются относительные частоты (1.11). Приближенный

подсчет вероятности при таком подходе производится лишь после проведения

(достаточно большого числа) опытов.

Пример 1.8 Оценить вероятность появления признака А, если в серии из

500 испытаний этот признак наблюдался 20 раз.

Решение. В качестве оценки вероятности принимаем относительную

частоту W(A) = 20/500 = 0.04.

1.5 Задачи для упражнений

1.1 Бросаются 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма

очков на выпавших гранях: а) равна семи; б) не менее восьми?

1.2 Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одина-

кового размера. Какова вероятность, что кубик, извлечённый наудачу, будет

иметь:

а) только две окрашенные стороны;

б) три окрашенные стороны?

1.3 Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что хотя бы

один раз появится герб?

1.4 Из 4 одинаковых карточек с буквами А, В, Б, Г наугад взяли 2. Како-

ва вероятность того, что буквы на них будут соседними по алфавиту?

1.5 Из колоды в 36 карт извлекается карта, затем возвращается и снова

извлекается карта. Какова вероятность, что карты одинаковой масти?

1.6 Из двух взятых наудачу костей домино одна переворачивается. Ка-

кова вероятность того, что вторая кость является дублем, если первая не

дубль?

1.7 Из набора костей домино наудачу берутся пять костей. Какова веро-

ятность, что среди них будет хотя бы одна с шестёркой?

10

1.8 Каждая из букв А, А, А, Т, Т, М, М, Е, К, И написаны на одной из 10

карточек. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад в ряд. Какова

вероятность, что образуется слово МАТЕМАТИКА ?

1.9 В корзине находится 10 спелых и 4 неспелых апельсина. Какова ве-

роятность, что среди выбранных наудачу пяти апельсинов:

а) все спелые;

б) хотя бы один неспелый;

в) ровно два неспелых?

1.10 В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобрали 7 чело-

век. Какова вероятность того, что среди них:

а) в точности 3 женщины;

б) хотя бы три женщины?

1.11 Из колоды карт (52 шт.) наугад извлекается 3 карты. Какова вероят-

ность того, что это будут тройка, семёрка и туз?

1.12 В системе N атомов, из них M возбужденных. Какова вероятность,

что среди случайно выбранных k атомов (k ≤ N - M) хотя бы один возбужден-

ный?

1.13 Из партии изделий, среди которых N доброкачественных и M бра-

кованных, для контроля взято наудачу S штук. При контроле оказалось, что

первые k из S деталей являются доброкачественными. Какова вероятность то-

го, что следующая деталь будет доброкачественной?

1.14 В лотерее N билетов, из которых M выигрышные. Как велика веро-

ятность выигрыша для того, кто имеет k билетов (k ≤ N - M)?

1.15 В коробке находится 5 красных, 6 синих и 3 чёрных карандаша.

Взято наугад 4 карандаша. Какова вероятность, что среди них два красных и

хотя бы один синий?

1.16 При разгрузке были сложены вместе стальные заготовки с содержа-

нием углерода 0.7% (12 шт.) и 0.8% (16 шт.) Для обработки взяты наудачу 5

заготовок. Какова вероятность, что не менее четырёх из них с содержанием

углерода 0.7%?

1.17 Из 25 особей 5 наследуют признак А. Наудачу отбирают две особи.

Каковы вероятности следующих событий:

а) первая особь с признаком А;

б) вторая особь с признаком А;

в) обе особи с признаком А;

г) хотя бы одна из них с признаком А?

1.18 В урне имеются 10 одинаковых шаров с буквой М и 10 с буквой А.

Наугад берут 7 шаров. Какова вероятность того, что из них можно составить

слово «МАМА»?

1.19 10 молекул водорода и 10 фтора группируются попарно. Какова ве-

роятность, что в каждую пару входит одна молекула водорода и одна молеку-

ла фтора?

11

1.20 В лифт 8-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Предпо-

ложим, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из

этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пятеро выйдут на

разных этажах.

1.21 На стоянке стоят в ряд 9 машин, 2 из них отъехали. Какова вероят-

ность того, что два свободных места образовались рядом друг с другом?

1.22 N друзей садятся случайным образом за круглый стол. Найти веро-

ятность следующих событий: А – два фиксированных лица «a» и «b» сядут ря-

дом, причём «b» слева от «a»; В – три фиксированных лица «a», «b», «с» сядут

рядом, причём «а» справа от «b», а «с» слева. Найти вероятности тех же собы-

тий в случае, когда друзья садятся по одну сторону прямоугольного стола.

1.23 Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3,

5, 7, 9 единицам. Какова вероятность того, что с помощью наудачу взятых

трёх из этих отрезков можно построить треугольник?

1.24 В шкафу 10 пар туфель (все пары различны). Случайно выбирают 4

туфли. Какова вероятность того, что среди выбранных туфель окажется хотя

бы одна пара?

1.25 На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи белого

и чёрного цвета. Какова вероятность того, что они будут бить друг друга?

1.26 Какова вероятность того, что дни рождения 12 человек приходятся

на разные месяцы (для упрощения считать что все 12 месяцев одинаковы по

количеству дней)?

1.27 В эксперименте использовалось 6 счётчиков Гейгера. Стало извест-

но, что зарегистрировано 3 частицы. Найти вероятность того, что все они заре-

гистрированы:

а) первым счётчиком;

б) одним и тем же счётчиком;

в) разными счётчиками?

1.28 Рассыпано ожерелье из 6 мелких и 3 крупных бусинок. Какова ве-

роятность, что наугад собранное ожерелье будет иметь 3 большие бусинки по-

середине?

1.29* Группы А1,А2,.....А8 образуют полимерную цепь. Какова вероят-

ность, что между А1 и А2 стоят 3 другие группы, если предположить, что лю-

бые наборы последовательностей равновозможны?

1.30* «Одномерная броуновская» частица с равной вероятностью может

делать шаг влево и вправо. Какова вероятность того, что:

а) два шага подряд будут сделаны в одну сторону;

б) за четыре шага она окажется правее исходной точки на два шага?

1.31 В поле микроскопа оказалось 5 нейронов, окрашенных по методу

Гольджи. Оценить общее количество нейронов в поле микроскопа, если часто-

та видимых нейронов обычно составляет 0.01.

12

1.32 Во время бури на участке между 40-м и 70-м километрами теле-

фонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность, что обрыв про-

изошел между 50-м и 55-м километрами линии?

1.33 К автобусной остановке каждые 6 минут подходит автобус маршру-

та А и каждые 4 минуты – маршрута В. Интервал времени между моментами

прихода автобуса маршрута А и ближайшего следующего автобуса маршрута

В равновозможен в интервале от нуля до 4 минут. Определить вероятности

следующих событий:

а) первым подойдёт автобус маршрута В;

б) автобус какого-либо маршрута подойдёт в течение 2 минут.

1.34 На сито, имеющее квадратную ячейку с толщиной проволоки d и

периодом решетки а, перпендикулярно к ситу падает сферическая частица ра-

диуса r.

Какова вероятность, что она проскочит, не задев проволоку (2r < a - d)?

1.35 Слой воздуха толщины Н содержит пылинки радиуса r в количест-

ве штук в одной кубической единице. Какова вероятность того, что луч све-

та, перпендикулярный слою, не пересечёт ни одной пылинки?

1.36 Стержень длины l наудачу разломан на три части. Какова вероят-

ность того, что из трёх получившихся отрезков можно составить треугольник?

1.37 Вам в течение ближайшего часа позвонят два приятеля. Какова ве-

роятность, что время между звонками менее 15 минут (продолжительностью

разговора пренебречь)?

1.38* (Задача Бюффона). На пол, разграфленный параллельными пря-

мыми на полосы шириной L, бросается наугад игла длиной l (l < L). Какова

вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую?

1.39 Электрон вылетает из случайной точки нити накала и движется

перпендикулярно к нити. Какова вероятность того, что он минует сетку, окру-

жающую нить и имеющую вид винтовой линии радиуса R, толщины и шага

H?

13

2 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.1 Основные понятия

Суммой А + В событий А и В называют их теоретико-множественное

объединение, т.е. событие, состоящее из исходов, входящих в А, в В и общих

для А и В. Таким образом, наступление события А+В равносильно наступле-

нию хотя бы одного из событий А или В. Аналогично определяется сумма не-

скольких событий.

Пример 2.1 Подбрасывается правильная игральная кость. Рассмотрим

события: kE - выпадение k очков ( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6); A - выпадение числа оч-

ков, меньшего 3, В – выпадение не менее 4 очков; С - выпадение числа очков,

кратного 3. Из определения суммы событий имеем:

21 EEA , 654 EEEB , 63 EEC , CBA .

Произведением АВ событий А и В называют их теоретико-

множественное пересечение, т.е. событие, состоящее только из общих для А и

В исходов. Событие АВ состоит в совместном наступлении А и В. Анало-

гично определяется произведение нескольких событий.

Пример 2.2 Производится 3 выстрела по мишени. Рассмотрим собы-

тия: kE - попадание в мишень при выстреле № k ( k = 1, 2, 3); A- в мишени

ровно 3 пробоины, В - в мишени не менее двух пробоин. Из определений про-

изведения и суммы событий следует, что 321 EEEA ,

AEEEEEEEEEB 321321321 .

Если обозначить U - достоверное событие, V – невозможное, то легко

убедиться, что для любых А и В справедливы соотношения:

A+U=U; AU=A; A+V=A; AV=V.

2.2 Теорема сложения вероятностей

Для произвольных событий А и В справедлива формула:

)()()()( ABPBPAPBAP (2.1)

В общем случае

)....()1(...

)()()()(

21

1

11 11

n

n

nkji

kji

n

k nji

jik

n

k

k

AAAP

AAAPAAPAPAP

(2.2)

Если события nAAA ,...,, 21 попарно несовместны, то

)(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP (2.3)

14

Пример 2.3 В ящике находятся катушки четырёх цветов: белых катушек

- 50%, красных - 20%, зелёных - 20%, синих - 10%. Какова вероятность того,

что взятая наудачу катушка окажется зелёной или синей?

Решение. Рассмотрим события: А - катушка оказалась зелёной, В - си-

ней, С - зелёной или синей. События А и В несовместны, BAC . По форму-

ле (2.3) получим 3.01.02.0)()()( BPAPCP .

Пример 2.4 Определить вероятность того, что партия из 100 изделий,

среди которых 5 бракованных, будет принята при испытании наудачу выбран-

ной половины всей партии, если условиями приёма допускается не более 1

бракованного изделия из 50.

Решение. Рассмотрим события: А - при испытании не получено ни од-

ного бракованного изделия, В - получено ровно одно бракованное изделие, С -

получено не более одного бракованного изделия; BAC . События А и В не-

совместны, поэтому по формуле (2.3) )()()( BPAPCP . Вероятности событий

А и В определим, используя классическое определение вероятности (1.5). Из

100 изделий 50 можно выбрать 50

100C способами. Из 95 годных изделий 50 мож-

но выбрать 50

95C способами, поэтому ,)(50

100

50

95

C

CAP аналогично, .)(

50

100

49

95

1

5

C

CCBP То-

гда .181.0)(50

100

49

95

1

5

50

95

C

CCCCP

2.3 Теоремы умножения вероятностей

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что произошло

событие В, называется условной и обозначается )( BAP . Практически при вы-

числении такой вероятности множество исходов испытания сужается до мно-

жества исходов, благоприятствующих наступлению события В.

Условная вероятность события А при условии В есть число, вычисляе-

мое по формуле

)(

)()|(

BP

ABPBAP , (2.4)

где 0)( BP .

Аналогично определяется условная вероятность события В при усло-

вии, что событие А наступило

)A(P

)AB(P)A|B(P , (2.5)

где 0)А(P .

События А и В называются независимыми, если выполняется любое из

двух равносильных условий

)A(P)BA(P (2.6)

или

15

)()( BPABP . (2.7)

Из формул (2.4) и (2.5) вытекает теорема умножения вероятностей для

двух произвольных событий А и В:

)()()( ABPAPABP .

или (2.8)

)()()( BAPBPABP

Для двух независимых событий имеем

)()()( BPAPABP . (2.9)

Для произвольного числа случайных событий nAAA ,...,, 21 теорема умно-

жения имеет вид:

)...(...)()()()...( 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP . (2.10)

События nAAA ...,,, 21 называются независимыми в совокупности, если

они попарно независимы и независимо любое событие и произведение любого

набора остальных событий. Из независимости в совокупности вытекает по-

парная независимость; обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Для независимых в совокупности событий

)()...()()...( 2121 nn APAPAPAAAP . (2.11)

Отметим, что несовместные события не могут быть независимы

(предполагается, что их вероятности не равны 0).

Независимость событий А и В равносильна независимости любой из пар

событий: А и В , А и В , А и В .

Понятие зависимости событий в теории вероятностей специально не

определяется, однако в случае, если события А и В не являются независимы-

ми, обычно говорят, что они (статистически) зависимы.

Пример 2.5 В урне 5 синих и 15 красных шаров. Наудачу один за дру-

гим извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара красные.

Решение. Рассмотрим события: А - первый вынутый шар красный, В -

второй вынутый шар красный. Выясним, являются ли они независимыми. Ес-

ли событие А произошло, то перед извлечением второго шара в урне будет 5

синих и 14 красных шаров и, следовательно, по классическому определению

вероятности получим

19

14)AB(P .

Если событие А не произошло, т.е. наступило противоположное собы-

тие А , то перед выбором второго шара в урне находится 4 синих и 15 крас-

ных шаров и тогда

19

15)( ABP .

16

Найдём безусловную вероятность события В, используя классическое

определение вероятности. Общее число исходов испытания n = A 220 = 20 · 19

. Число исходов, благоприятствующих наступлению события В,

m = A15 · A

115 + A

115· A

114 = 5·15 + 15·14 = 15·19.

Тогда Р (В) =4

3

20

15

1920

1915

n

m.

Поскольку )AB(P Р(В) ,то события А и В зависимы.

По формуле (2.8) имеем )()()( ABPAPABP . Очевидно, что ,4

3

20

15)( AP

следовательно, вероятность того, что оба шара красные (событие АВ),

38

21

19

14

4

3)( ABP .

Пример 2.6 В условиях примера 2.5 первый шар вынимают, фиксируют

его цвет, возвращают в урну и затем наудачу берут второй шар. Найти вероят-

ность того, что оба шара красные.

Решение. Сохраняя обозначения для событий из примера 2.5 , можно

заметить, что в этом случае события А и В независимы. Действительно,

4

3)A(P . Так как первый шар возвращён в урну, то )AB(P =

4

3)B(P . По фор-

муле (2.9) получим 16

9

4

3)(

2

ABP .

2.4 Вероятность наступления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут произойти следующие независимые

в совокупности события: nA,...,A,A 21 и пусть событие В состоит в том, что про-

изойдёт хотя бы одно из них. Тогда вероятность события В определяется по

формуле:

)()...()(1)...()( 2121 nn APAPAPAAAPBP . (2.12)

В частном случае, если все события kA (k = 1, 2, ..., n) имеют одинаковые

вероятности pAPAPAP n )(...)()( 21 и введено обозначение q = 1 – p, полу-

чим n

n qAAAPBP 1)...()( 21 . (2.13)

Пример 2.7 Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень, по-

ражая её независимо друг от друга с вероятностями 0.6 и 0.8 соответственно.

Найти вероятности следующих событий: 1) мишень поражена только один раз

(событие А); 2) мишень поражена хотя бы один раз (событие В).

Решение. 1) Введём события: А1 - поражение мишени первым стрелком

и А2 – поражение мишени вторым стрелком. Тогда одно поражение мишени

(событие А) будет, если один из стрелков попадёт, а другой промахнётся, т.е.

произойдёт либо событие D = A 1 2A , либо F = 1A A 2 .

17

По определению суммы событий А = D +F . События D и F несовме-

стны, поэтому P(A) = P(D) + P(F).

Так как по условию задачи А1 и А2 - независимые события, то

P(D)= P(A1) P( 2A ) = 0.6 (1- 0.8) = 0.12 и P(F) = P( 1A ) P(A2) = 0.4·0.8 =

0.32.

Следовательно, Р(А) = 0.12 + 0.32 = 0.44 .

2) Используя введённые ранее обозначения, найдём В = А +А1·А2. Так

как события А и А1·А2 несовместны, то Р(В) = Р(А) + Р(А1·А2) и так как собы-

тия А1 и А2 независимы, то Р(А1·А2) = Р(А1) · Р(А2) = 0.48.

Тогда Р(В) = 0.44 + 0.48 = 0.92.

Вычислим вероятность события В, используя ещё два способа.

Событие В можно представить в виде суммы двух совместных событий

А1 и А2, тогда Р(В) = Р(А1+ А2) = Р(А1) + Р(А2) - Р(А1·А2), следовательно Р(В) =

0.6 + 0.8 – 0.48 = 0.92.

Введём событие В , противоположное событию В и состоящее в том, что

мишень не будет поражена ни разу, т.е. оба стрелка промахнутся; тогда В =

21 АА и Р( В ) = )()( 21 АPАP = (1- 0.6)·(1 – 0.8) = 0.08.

Следовательно Р(В) = 1 - Р( В ) = 0.92 .

Как и следовало ожидать, все три способа вычисления вероятности со-

бытия В дали одинаковый результат. Нахождение вероятности события В че-

рез вероятность противоположного события в данном случае является наибо-

лее рациональным.

Пример 2.8 Производят 3 независимых выстрела по одной мишени. Ве-

роятности попадания соответственно равны р1= 0.4, р2 = 0.5, р3 = 0.7. найти

вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

Решение. Рассмотрим события: Аk – попадание в мишень при k – ом

выстреле (k = 1,2,3), В – в мишени хотя бы одна пробоина. Тогда по формуле

(2.12) получим Р(В) = 1 – (1 – 0.4)·(1 – 0.5)·(1 – 0.7) = 0.91.

Пример 2.9 Имеется n однотипных устройств. Какова должна быть ве-

роятность безотказной работы каждого из них за время T, чтобы вероятность

выхода из строя за это время хотя бы одного устройства не превышала задан-

ной величины , если отказы устройств независимы, а вероятности их безот-

казной работы за время Т одинаковы?

Решение. Рассмотрим события kA - выход из строя k – ого устройства ;

Обозначим ,)( pAP k k = 1, 2, ..., n; тогда qpAP k 1)( - вероятность безот-

казной работы. Пусть событие B – выход из строя хотя бы одного устройства

за время Т, тогда в соответствии с формулой (2.13), nqBP 1)( и, по усло-

вию задачи, nq1 , откуда получаем, что nq 1 .

18


2.1 В первой урне 6 красных и 4 чёрных шара, во второй – 7 чёрных и 3

красных. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероят-

ность того, что оба шара красные.

2.2 Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстре-

лу, каждый по своей мишени с вероятностями попадания 0.7 и 0.8 соответст-

венно. Найти вероятность поражения хотя бы одной мишени.

2.3 В урне 6 белых и 14 чёрных шаров. Последовательно один за другим

извлекают 2 шара. Найти вероятности следующих событий: a) выбранные ша-

ры одного цвета; б) шары разного цвета.

2.4 В условиях задачи 2.3 цвет первого выбранного шара фиксируют,

шар возвращают обратно, шары перемешивают и берут второй шар. Найти ве-

роятности тех же событий, что и в задаче 2.3.

2.5 В ящике 10 деталей, из которых 2 бракованные. Наугад извлекают 3

детали. Найти вероятности следующих событий: a) среди выбранных деталей

ровно одна бракованная; б) хотя бы одна бракованная; в) все 3 детали годные.

2.6 Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет

первого сорта, равна 0.7. Вероятность изготовления детали первого сорта на

втором станке 0.8. На первом станке изготовлено 2 детали, а на втором - 3.

Найти вероятность того, что все детали первого сорта.

2.7 Игральный кубик подбрасывается до первого выпадения 5 очков.

Найти вероятность того, что потребуется 3 броска.

2.8 В шкафу находятся 9 новых однотипных приборов. Для временной

эксплуатации берут наугад 3 прибора, которые затем возвращают обратно.

Внешне прибор, побывавший в эксплуатации, не отличается от нового. Найти

вероятность того, что после трёхкратного выбора и эксплуатации в шкафу не

останется новых приборов.

2.9 В шкафу находятся mln новых однотипных приборов. Для

временной эксплуатации берут наугад m приборов, которые затем возвращают

обратно. Внешне прибор, побывавший в эксплуатации, не отличается от но-

вого. Найти вероятность того, что после l -кратного повторения такой проце-

дуры в шкафу не останется новых приборов.

2.10 Завод изготавливает изделия, каждое из которых должно подвер-

гаться четырём независимым видам испытаний. Вероятность того, что изделие

выдержит первое испытание, равна 0.9, второе – 0.95, третье – 0.8, четвёртое

– 0.85. Найти вероятность того, что изделие выдержит: a) все 4 испытания; б)

ровно 2 испытания; в) не менее двух испытаний из четырёх.

2.11 Стрелок один раз стреляет по мишени, состоящей из центрального

круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца

соответственно равны 0.2, 0.15 и 0.1. Найти вероятность промаха.

2.12 В первой урне 5 белых шаров, 11 чёрных и 8 красных, а во второй

соответственно 10, 8 и 6.Из обеих урн наудачу извлекают по одному шару.

Найти вероятность того, что оба шара одного цвета.

19

2.13 Монету подбрасывают до тех пор, пока не появятся подряд 2 герба

либо 2 цифры. Найти вероятность того, что потребуется не более 3 подбрасы-

ваний.

2.14 Радиолокационная станция циклически ведёт наблюдение за кос-

мическим объектом. При одном цикле обзора объект обнаруживается с веро-

ятностью p. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от

других. Найти вероятность того, что при n циклах объект будет обнаружен.

2.15 Из 7 карточек с буквами К, З, М, А, Н, Е, Э выбирают наугад 3 кар-

точки. Их располагают слева направо в порядке появления. Найти вероятность

того, что получится слово ЗАМ.

2.16 Два игрока A и B поочерёдно бросают мяч в баскетбольную кор-

зину. Вероятности попадания при одном броске для них равны соответствен-

но 0.8 и 0.7. Броски производятся до первого попадания одним из игроков.

Найти вероятности выигрыша для игроков A и B , если результаты бросков

независимы.

2.17 Прибор состоит из 3 узлов. В первом узле 1n элементов, во втором -

2n и в третьем - 3n . Прибор выходит из строя, если откажет либо первый узел,

либо сразу оба остальных (дублирующих). Вероятность безотказной работы

всех элементов одинакова и равна p. Выход из строя одного из элементов оз-

начает отказ всего узла, элементы выходят из строя независимо друг от друга.

Найти вероятность безотказной работы прибора.

2.18 В цехе один из имеющихся 5 реакторов неисправен и требует ре-

монта. Для выполнения сменного задания необходимы 3 реактора. Дежурный,

не извещённый об имеющейся неисправности, запускает 3 реактора наудачу.

Какова вероятность того, что они исправны?

2.19 В ящике находятся 10 одинаковых на вид бутылей с электролитом,

в восьми из которых плотность электролита d = 1.3, а в двух других d = 1.32.

Для заливки в новый аккумулятор нужны 3 бутыли электролита плотностью d

= 1.3. Мастер отбирает наудачу 4 бутыли. Какова вероятность того, что не

менее, чем в трёх бутылях, окажется электролит нужной плотности?

2.20 По самолёту производят 3 одиночных выстрела. Вероятность попа-

дания при первом выстреле равна 0.4, при втором – 0.5, при третьем – 0.7. Для

поражения самолёта необходимо не менее двух попаданий. Какова вероят-

ность поражения самолёта?

2.21 В лотерее 1000 билетов, из них на один падает выигрыш 500 руб-

лей, на 10 – по 100 рублей, на 50 - по 20 рублей, на 100 - по 5 рублей. Осталь-

ные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть не менее 20 рублей

по одному наудачу купленному билету?

2.22 Силовая передача автомобиля состоит из двух узлов, которые могут

выйти из строя независимо один от другого с вероятностями 1p и 2p соответ-

ственно. Отказ любого из узлов приводит к отказу всей передачи. Найти веро-

ятность отказа силовой передачи автомобиля.

20

2.23 На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из которых

независимо от других с вероятностью p разрешает и с вероятностью q = 1- p

запрещает движение автомобиля. Найти вероятности следующих событий: ав-

томобиль пройдёт без остановки 1) хотя бы один светофор; 2) не менее 4 све-

тофоров.

2.24 Для проверки отсутствия примесей в партии вещества берут 10

проб одинакового веса. При обнаружении примесей более, чем в одной из

проб, партия бракуется. Какова вероятность того, что партия будет забракова-

на, если вероятность обнаружения примеси в каждой из проб равна 0.01?

2.25 Для контроля технологического процесса изготовления пластмассы

по окончании каждой смены случайным образом отбирают n листов и осуще-

ствляют проверку толщины листа на специальном стенде. Вероятность обна-

ружить отличие толщины от номинальной равна 0.05. Каков должен быть объ-

ём выборки n , чтобы вероятность встретить в ней хотя бы один бракованный

лист была не меньше 0.95 ?

2.26

Вероятности того, что деталь окажется бракованной в результате

механической и термической обработки , равны соответственно 1p и 2p . Ве-

роятности того, что брак окажется неустранимым, соответственно равны 3p и

4p . Определить: 1) количество деталей, которое необходимо взять после меха-

нической обработки, чтобы с вероятностью 0.9 можно было утверждать, что

хотя бы одна из них будет сдана в термическую обработку с учётом возмож-

ности устранения брака; 2) вероятность того, что хотя бы одна из трёх дета-

лей будет иметь неустранимый брак после прохождения сначала механиче-

ской, а затем термической обработки.

3 ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ БАЙЕСА

Допустим, что предполагается провести испытание, об условиях которо-

го можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): 1H ,

2H , ..., nH . Каждая гипотеза осуществляется случайным образом и представ-

ляет собой некоторое событие, причём события 1H , 2H , ..., nH попарно несо-

вместны, а их сумма – достоверное событие (в этом случае говорят, что 1H ,

2H , ..., nH образуют полную группу попарно несовместных событий). Вероят-

ности гипотез известны и равны соответственно )( 1HP , )( 2HP , ..., )( nHP ; оче-

видно, что

n

i

iHP1

1)( . Рассматривается некоторое событие A , которое может

появиться только вместе с одной из гипотез, причём известны условные веро-

ятности появления A при осуществлении каждой из гипотез: )( 1HAP , )( 2HAP ,

..., )( nHAP . Тогда вероятность события A находят по формуле

21

n

i

ii HAPHPAP1

)()()( , (3.1)

называемой формулой полной вероятности. Она применяется в тех случаях,

когда испытание со случайным исходом распадается на 2 этапа: в первом как

бы «разыгрываются» условия опыта, во втором – его результаты.

Представим теперь, что при описанных выше условиях испытание про-

изведено и известно, что в результате него произошло событие A . Требуется

определить вероятности того, что оно произошло в совокупности с гипотезой

kH , т.е. найти )( AHP k , где k = 1, 2, ..., n. Значения этих условных вероятно-

стей находят с помощью теоремы гипотез Байеса (формулы Байеса):

)(

)()(

)()(

)()()(

1

AP

HAPHP

HAPHP

HAPHPAHP

kk

n

i

ii

kk

k

. (3.2)

Эта формула позволяет вычислять вероятности гипотез в свете новой

информации, состоящей в том, что в результате испытания наступило событие

A.

Пример 3.1 В трёх урнах содержатся белые и черные шары, причём в

первой – 3 белых и 1 чёрный, во второй – 2 белых и 3 чёрных, в третьей – все

шары белые. Из наугад выбранной урны наудачу выбирают 1 шар. Найти ве-

роятности следующих событий: 1) взятый шар окажется белым, 2) шар взят из

третьей урны, если известно, что он оказался белым.

Решение. Выдвигаем 3 гипотезы: kH - выбрана урна № k (k = 1, 2, 3);

событие A - появление белого шара. 3

1)()()( 321 HPHPHP , т.к. нет причин

отдать предпочтение какой-либо из урн. Условные вероятности события A при

гипотезах 1H , 2H , 3H : 4

3)( 1 HAP ,

5

2)( 2 HAP , 1)( 3 HAP . По формуле (3.1)

найдём вероятность того, что взятый шар окажется белым:

60

431

3

1

5

2

3

1

4

3

3

1)( AP . По формуле Байеса (3.2) определим вероятность то-

го, что была выбрана третья урна, если известно, что взятый шар оказался бе-

лым:

43

20

)(

)()()|(

33

3 AP

HAPHPAHP .

Пример 3.2 Прибор может работать в трёх режимах: нормальном, фор-

сированном и недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60% случа-

ев работы прибора, форсированный – в 30% и недогруженный – в 10%. На-

дёжность прибора (вероятность его безотказной работы в течение заданного

времени) для нормального режима равна 0.8, для недогруженного – 0.9, для

форсированного – 0.5. Найти полную (с учётом случайности условий) надёж-

ность прибора. Определить вероятность того, что прибор работал в форсиро-

22

ванном режиме, если известно, что он безотказно работал в течение заданного

времени.

Решение. Выдвигаем 3 гипотезы: 1H - прибор работал в нормальном

режиме, 2H - в форсированном режиме, 3H - в недогруженном режиме. Собы-

тие A - безотказная работа прибора в течение заданного времени. Условные

вероятности события A при гипотезах 1H , 2H , 3H : 8.0)( 1 HAP , 5.0)( 2 HAP ,

9.0)( 3 HAP . По формуле (3.1) вероятность безотказной работы прибора

72.09.01.05.03.08.06.0)( AP .

По формуле (3.2) вероятность того, что прибор работал в форсирован-

ном режиме при условии его безотказной работы в течение заданного време-

ни, 208.09.01.05.03.08.06.0

5.03.0)|( 2

AHP .

Пример 3.3 У лаборанта имеются M пробирок с химическим реактивом

№1 и K – с реактивом №2, причём, по внешнему виду эти пробирки неразли-

чимы. Лаборант случайно одну пробирку разбил. Какова вероятность того, что

была разбита пробирка с реактивом №1, если при проведении анализа оказа-

лось, что: 1) в первой наугад выбранной пробирке был реактив №1 (событие

А), 2) из взятых наугад m + k пробирок оказалось m - с реактивом №1 и k - с

реактивом №2 (событие В).

Решение. Выдвигаем 2 гипотезы: 1H - разбита пробирка с реактивом

№1, 2H - с реактивом №2.KM

MHP

)( 1 ;

KM

KHP

)( 2 .

Условные вероятности события A при гипотезах 1H и 2H :

1

1)|( 1

KM

MHAP ,

1)|( 2

KM

MHAP .

По формуле (3.1) находим

KM

M

KM

M

KM

K

KM

M

KM

MAP

11

1)( , откуда по формуле Байеса

(3.2) найдём вероятность того, что была разбита пробирка с реактивом №1, ес-

ли известно, что в первой наугад выбранной после этого пробирке содержался

реактив №1, 1

1

)(

)|()()|( 11

1

KM

M

AP

HAPHPAHP .

Условные вероятности события B при гипотезах 1H и 2H :

km

KM

k

K

m

M

C

CCHBP

1

11)|( ,

km

KM

k

K

m

M

C

CCHBP

1

12 )|( .

По формуле (3.1) находим km

KM

k

K

m

M

km

KM

k

K

m

M

C

CC

KM

K

C

CC

KM

MBP

1

1

1

1)( . Ин-

тересующую нас вероятность того, что была разбита пробирка с реактивом

№1, если известно, что событие B произошло, находим по формуле Байеса

23

(3.2): kmKM

mM

BP

HBPHPBHP

)(

)|()()|( 11

1 , где использовано соотношение

KM

MCC K

M

K

M

1 .

Задачи для упражнений

3.1 Для проведения качественного анализа студенту выдаётся наугад

одна из двух одинаковых по виду пробирок с химическими реактивами, при-

чём известно, что при использовании первого из них правильный результат

анализа достигается в 50% случаев, а при использовании второго – в 80%. Ка-

кова вероятность того, что студент работал с первым реактивом, если извест-

но, что результат анализа оказался правильным?

3.2 В первой урне находятся 1M белых и 1K чёрных шаров, во второй -

2M белых и 2K чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли 1 шар, а за-

тем из этих двух наудачу выбрали один. Какова вероятность того, что он бе-

лый?

3.3 В сосуд, содержащий 4 шара, опущен белый шар. Какова вероят-

ность извлечь из этого сосуда наугад белый шар, если все предположения о

первоначальном числе белых шаров (от 0 до 4) равновозможны?

3.4 На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%

, вторая – 35% , третья – 40% всех изделий. Брак в их продукции составляет

соответственно 5% , 4% , 2% . Найти вероятности того, что: 1) случайно вы-

бранный болт произведён третьей машиной, если известно, что он оказался

дефектным; 2) случайно выбранный болт окажется дефектным.

3.5 Из урны, содержащей M белых и K чёрных шаров, потерян один

шар неизвестного цвета. Какова вероятность того, что шар, наугад извлечен-

ный из урны после потери, окажется белым?

3.6 В первой урне 2 белых и 4 чёрных шара, во второй - 3 белых и 1

чёрный шар. Из первой урны во вторую наугад переложили 2 шара. Найти ве-

роятность того, что извлечённый после этого наудачу из второй урны шар

окажется белым. Какова вероятность того, что переложенные шары были раз-

ного цвета, если известно, что взятый после этого наудачу из второй урны шар

оказался белым?

3.7 Предположим, что в некоторой группе супружеских пар 5% всех

мужчин и 0.25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось

дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина?

3.8 Два стрелка из лука независимо один от другого делают по одному

выстрелу в общую мишень. Вероятность попадания для первого стрелка 0.8,

для второго – 0.4. После стрельбы в мишени обнаружена одна стрела. Какова

вероятность того, что она принадлежит первому стрелку?

24

3.9 В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных,

страдающих заболеванием M , 30% - заболеванием К, 20% - заболеванием

L. Вероятность полного излечения от заболевания M составляет 0.9, от забо-

левания К - 0.8 и от заболевания L – 0.7. Какова вероятность того, что посту-

пивший больной страдал заболеванием L , если известно, что он выписан здо-

ровым?

3.10 Телеграфное сообщение состоит из сигналов “точка” и “тире”, при-

чём известно, что среди передаваемых сигналов они встречаются в соотноше-

нии 5 : 3. Определить вероятность того, что передаваемый сигнал принят, если

: 1) принят сигнал “точка”; 2) принят сигнал “тире”, причём известно, что в

результате помех искажается в среднем 5

2 сообщений “точка” и

3

1 - “тире”.

3.11 Из партии в 5 изделий наудачу взято 1 изделие, оказавшееся брако-

ванным. Количество бракованных изделий в партии равновозможно любое.

Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно и

чему равна соответствующая вероятность?

3.12 В ящике 100 запечатанных пробирок, из них 50 – с раствором сла-

бой и 50 – с раствором сильной концентрации. Отобрали 6 пробирок с рас-

твором слабой и 2 – с раствором сильной концентрации. Затем из оставшихся

пробирок взяли наудачу ещё 2. После этого из 10 отобранных пробирок взяли

наугад 3. Какова вероятность того, что все они с раствором слабой концентра-

ции?

3.13

Вероятность того, что письмо лежит в письменном столе, равна p,

причём с равной вероятностью оно может быть в любом из 8 ящиков стола.

Какова вероятность того, что оно в восьмом ящике, если в остальных ящиках

его не нашли?

3.14 Некто, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вели 5 дорог.

Известно, что вероятности выхода из леса в течение часа для различных дорог

соответственно равны 0.6, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1.

Какова вероятность того, что заблудившийся пошёл по первой дороге,

если известно, что он вышел из леса через час?

3.15 Литьё в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70%

из первого и 30% из второго цеха, при этом первый цех даёт 10% брака, а вто-

рой – 20%. Какова вероятность того, что первая наугад взятая болванка не со-

держит дефектов?

3.16 Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются од-

нотипные детали. Вероятность брака для первого станка 0.02, для второго –

0.03, для третьего – 0.04. Обработанные детали складывают в один ящик.

Производительность первого станка в 3 раза больше, а третьего – в 2 раза

меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь

будет бракованной.

3.17. По самолёту производят 3 одиночных выстрела. Вероятность попа-

дания при первом выстреле 0.5, при втором – 0.6, при третьем – 0.8. В зависи-

25

мости от того, в какую часть самолёта попал снаряд, самолёт будет сбит при

одном попадании с вероятностью 0.3, при двух – с вероятностью 0.6, при трёх

попаданиях он будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что в результа-

те трёх выстрелов самолёт будет сбит?

3.18. Электролампы изготавливаются на трёх заводах, причём первый

производит 45% общего количества, второй – 40%, третий – 15%. Продукция

первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего –

81%. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стан-

дартной?

3.19. На сборку попадают детали с трёх автоматов. Известно, что первый

автомат даёт 0.3% брака, второй – 0.2% , третий – 0.4% . Найти вероятность

попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило

1000, со второго – 2000, с третьего – 2500 деталей.

3.20. На склад поступает продукция трёх фабрик, причём продукция

первой фабрики составляет 20% , второй – 46% , третьей – 34% . Известно, что

средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3% , для

второй – 2% , для третьей – 1% . Найти вероятность того, что наудачу взятое

изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

3.21. Имеются 2 партии однородных изделий, первая состоит из М штук,

среди которых 1M бракованных, вторая – из К штук, среди которых 1K брако-

ванных. Из первой берут наугад m , из второй – k изделий, смешивают их и из

вновь образованной партии берут наугад 1 изделие. Какова вероятность того,

что оно бракованное?

4 ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЫТОВ. СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

Пусть производится n независимых испытаний (опытов), в каждом из

которых событие А может наступать с одинаковой вероятностью p. Тогда ве-

роятность того, что это событие произойдёт ровно k раз в n испытаниях, опре-

деляется по формуле Бернулли: knkk

nkn qpCAP )(, , (4.1)

где k = 0, 1, 2, ..., n, q = 1 - p.

Число 0k наступлений события А называется наивероятнейшим, если

вероятность наступления этого события ровно 0k раз в данной серии из n ис-

пытаний окажется наибольшей по сравнению с соответствующими вероятно-

стями для других значений k. Число 0k удовлетворяет неравенствам

)1(1)1( 0 npknp . (4.2)

Отметим, что если )1( np - целое число, то наивероятнейших чисел

два: )1()1(

0 npk и 1)1(

0

)2(

0 kk .

26

Пример 4.1 Игральная кость подброшена 10 раз. Найти наивероятней-

шее число 0k выпадений единицы в этом случае и вероятность того, что еди-

ница выпадет 0k раз.

Решение. Число независимых повторных опытов n = 10. Событие А -

выпадение единицы, 6/1)( APp , 6/51 pq . Составляем двойное нера-

венство (4.2): )110(6

11)110(

6

10 k , откуда

6

51

6

50 k . Отсюда следует,

что 0k = 1. По формуле Бернулли (4.1) находим 323.06

5

6

1)(

91

1

101,10

CAP .

Пример 4.2 Известно, что 7% продукции, поставляемой заводом на тор-

говую базу, не удовлетворяет требованиям стандарта. На базу завезена партия

из 25 изделий. Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих тре-

бованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что в партии окажется

наивероятнейшее число стандартных изделий.

Решение. Число независимых повторных опытов n = 25, событие А –

изделие удовлетворяет требованиям стандарта. По условию 93.0)( APp ;

07.01 pq . Согласно неравенствам (4.2) имеем:

)125(93.01)125(93.0 0 k , откуда 18.2418.23 0 k . Следовательно, наи-

вероятнейшее число удовлетворяющих требованиям стандарта изделий в

партии из 25 штук равно 24.Подставляя этот результат в формулу (4.1), най-

дём вероятность наличия в этой партии 24 стандартных изделий:

307.007.093.007.093.0)(241

25

12424

2524,25 CCAP .

Пример 4.3 Партия содержит 1% брака. Сколько изделий следует ото-

брать наугад из этой партии, чтобы вероятность встретить среди них хотя бы 1

бракованное изделие была не меньше = 0.95?

Решение. Событие А – отобранное изделие оказалось бракованным;

01.0)( APp ; 99.01 pq . Количество отобранных наугад изделий n нахо-

дим из неравенства: )(1 0, APn , что равносильно 05.01)(0, APn . Под-

ставляя значение nn

nn qpCAP 99.0)( 00

0, , полученное по формуле (4.1), имеем

05.099.0 n , откуда, логарифмируя, находим 1.298

99.0ln

05.0lnn . Следовательно,

нужно выбрать наугад не менее 299 изделий.

Задачи для упражнений

4.1 Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке детали

на токарном станке 0.07. Определить вероятность того, что у одной из 5 нау-

дачу отобранных деталей диаметр не соответствует заданному допуску.

4.2 Система М блоков работает исправно при выходе из строя не более

двух блоков. Найти вероятность безотказной работы системы в предположе-

27

нии, что отказы блоков независимы и вероятность отказа каждого одинакова и

равна p.

4.3 По каналу связи передаются 5 сообщений, каждое из которых неза-

висимо от других искажается с вероятностью 0.3. Каково наивероятнейшее

число искажённых сообщений? Определить вероятность того, что будет иска-

жено не менее 2 сообщений.

4.4 Для проверки чистоты вещества из партии берут 10 проб одинаково-

го веса. При обнаружении примесей более, чем в одной из проб, партия браку-

ется. Какова вероятность того, что партия будет забракована, если в веществе

содержится 1% примесей?

4.5 В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения девочки 0.5,

найти вероятности того, что в семье 0, 1, 2, ...,10 девочек. Каково наивероят-

нейшее число девочек в такой семье?

4.6 На испытательный стенд поставлено 100 конденсаторов. Вероят-

ность пробоя конденсаторов до истечения контрольного времени 0.01. Найти

вероятности того, что в течение контрольного времени откажут 0, 1, 2, 3 кон-

денсатора.

4.7 Два шахматиста условились сыграть 10 результативных партий. Ве-

роятность выигрыша каждой отдельной партии первым игроком равна 3

2, вто-

рым - 3

1, ничьи не учитываются. Чему равны вероятности: 1) выигрыша всей

игры первым игроком, 2) вторым игроком, 3) общего ничейного результата?

4.8 В урне 9 белых и 1 красный шар. Какова вероятность того, что при

10 извлечениях (с возвращением каждого взятого шара и перемешиванием

всех шаров) появится хотя бы один красный шар? Сколько раз нужно извлечь

шар, чтобы вероятность появления хотя бы одного красного шара была не

меньше 0.9?

4.9 Игральная кость подбрасывается 5 раз. Найти вероятность того, что

при этом не менее двух раз выпадет больше 4 очков.

4.10 Всхожесть семян ржи составляет 90%. Какова вероятность того, что

взойдут 5 из 7 посеянных семян?

4.11 Предприятие выпускает 30% продукции высшего сорта. Какова ве-

роятность того, что из 6 изготовленных там изделий 4 будут высшего сорта?

4.12 Вероятность выигрыша по облигации займа за всё время его дейст-

вия равна 0.25. Какова вероятность того, что из 8 приобретённых облигаций 6

окажутся выигрышными? Каково в этом случае наивероятнейшее количество

выигрышных облигаций?

4.13 Из последовательности чисел 1, 2, ..., 99, 100 выбирают наугад с

возвращением 10 чисел. Какова вероятность того, что среди них окажется не

более двух чисел, кратных 7?

28

4.14 Вероятность попадания снаряда в цель равна 0.3. Сколько следует

произвести независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере од-

ного попадания в цель была не меньше 0.9?

4.15 Какова вероятность того, что в группе из 5 человек трое родились 1

января?

4.16 Из ящика, в котором 20 белых и 2 чёрных шара, извлекаются шары

по одному, причём после каждого извлечения шар возвращается обратно. Оп-

ределить наименьшее число извлечений, при котором вероятность достать хо-

тя бы один раз чёрный шар будет больше 0.5.

4.17 Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероят-

нейшее число выпадений двойки равнялось 32?

4.18 Найти наивероятнейшее число k наступлений ясных дней в течение

первой декады сентября, если по данным многолетних наблюдений известно,

что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней. Какова вероятность того,

что в сентябре будет k ясных дней?

4.19 Человек, принадлежащий к некоторой группе населения, с вероят-

ностью 0.4 оказывается блондином. Из этой группы выбирают наудачу 6 чело-

век. Какова вероятность того, что в их составе не менее 4 блондинов?

4.20 Перед ребёнком 2 тарелки, в каждой из которых находится по 10

слив. Ребёнок берёт сливы по одной из наугад выбранной тарелки, пока не об-

наруживает, что одна тарелка пуста. Какова вероятность того, что при этом на

второй тарелке осталось 3 сливы?

4.21 Вероятность попадания в десятку при одном выстреле равна 0.2.

Сколько нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не

менее 0.9 попасть в десятку хотя бы 1 раз?

4.22 Определить вероятность того, что при раздаче колоды в 52 карты

четырём игрокам один из них 3 раза подряд не получал туза.

4.23 Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы вероятность появле-

ния семёрки хотя бы 1 раз была не менее 0.9?

4.24 Определить вероятность выигрыша у равносильного противника не

менее 7 партий из 8.

4.25 Определить вероятность того, что номер автомашины будет содер-

жать не более двух пятёрок, если известно, что все номера четырёхзначные

(считается возможным номер 0000).

4.26 Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0.02. Опреде-

лить вероятность хотя бы одного выигрыша при покупке 10 билетов.

4.27 В группе 25 студентов. Им раздают по 8 пробирок, в каждую из ко-

торых случайным образом лаборант положил один из имеющихся у него че-

тырёх химических реактивов. Определить вероятность того, что при этом ров-

но у 9 студентов окажется по одной пробирке с реактивом №1.

4.28 Известно, что 5% особей данного вида наследуют признак A. Како-

ва вероятность того, что из 10 наудачу отобранных особей 2 обладают призна-

ком А.

29

4.29 Известно, что среди проб крови, взятых на анализ по поводу забо-

левания, 5% дали положительную реакцию. Какова вероятность того, что из

20 наугад выбранных людей, сдававших кровь, окажется хотя бы один боль-

ной?

4.30 Одинаковы ли шансы на успех у 3 человек, если первому надо по-

лучить хотя бы 1 шестёрку при 6 подбрасываниях игральной кости, второму –

не менее 2 шестёрок при 12 подбрасываниях, а третьему – не менее 3 шестё-

рок при 18 подбрасываниях?

5 ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величина называется дискретной, если множество её

возможных значений конечно или счётно. Возможные значения такой случай-

ной величины могут быть пронумерованы одно за другим с помощью нату-

ральных чисел.

5.1 Ряд распределения

Простейшей формой задания закона распределения дискретной слу-

чайной величины является ряд распределения. Это таблица, в которой пере-

числены все возможные значения х i случайной величины и указаны ве-

роятности рi , с которыми величина принимает значения х i :

хi x1 x2 . . . xn

pi p1 p2 . . . pn

Свойство ряда распределения: 11

n

i

ip

Пример 5.1 В ящике 10 деталей, из которых 3 дефектных. Наугад из-

влекают 2 детали. Построить ряд распределения случайной величины - ко-

личества дефектных деталей среди извлечённых.

Решение. Случайная величина в данном случае принимает значения

x i = i-1, где i = 1, 2, 3 . Вероятности p i = Р ( = х i) того, что среди двух взя-

тых деталей окажется ровно x i дефектных, вычисляются в соответствии с

классическим определением вероятности по формуле

P xC C

Ci

i i

( ) ,

3

1

10 3

3

10

2 откуда получаем, что ряд распределения случайной

величины имеет вид

30

х i 0 1 2

p i 7 / 15 7 / 15 1 / 15

Отметим, что 13

1

i

ip .

Пример 5.2 Монета подбрасывается 3 раза. Найти ряд распределения

случайной величины - количества выпадений герба.

Решение. Рассмотрим три опыта. В каждом из них событие А - выпаде-

ние герба – наступает с вероятностью p = 0.5. Случайная величина может

принимать значения x i = i -1 (i = 1, 2, 3, 4). Так как в данном случае имеет

место схема испытаний Бернулли (повторение опытов), то вероятность того,

что при трёх подбрасываниях монеты герб выпадет ровно x i раз, вычисляется

по формуле

P( = x i) = 3

1 1 4i i iС p q , где p = q = 0.5.

Результаты вычислений дают искомый ряд распределения

х i 0 1 2 3

p i 0.125 0.375 0.375 0.125

Легко проверить, что pii

1

4

1.

Пример 5.3 Спортсмен стреляет по мишени до первого попадания или

до израсходования всех патронов. Предполагая, что вероятность поражения

мишени при каждом выстреле равна 0.8 и имеется 5 патронов, построить ряд

распределения случайной величины - количества израсходованных патро-

нов.

Решение. Случайная величина в данном случае принимает значения

х k = k (k = 1, 2, 3, 4, 5). Обозначим через Ak - попадание при k-ом выстреле.

Тогда, очевидно

8.0)()1( 1 APP ,

8.02.0)()2( 21 AAPP ,

8.02.02.0)()3( 321 AAAPP ,

8.02.02.02.0)()4( 4321 AAAAPP ,

2.02.02.02.0)()5( 4321 AAAAPP ,

т.е. для k = 1, 2, 3, 4, P( =x k ) = p q k – 1 , где р = 0.8, q = 1- р = 0.2. Например,

ровно 3 патрона будут израсходованы, если спортсмен в первых двух вы-

31

стрелах промахнётся, а в третьем попадёт; вероятность такого исхода равна

Р( = 3)= qqp = p q 2

. Если случайная величина принимает значение х 5

= 5, это означает, что все патроны израсходованы, т.е. в четырёх первых вы-

стрелах были промахи, следовательно, Р( = 5) = q 4.

Проведя вычисления, получим следующий ряд распределения случай-

ной величины

x k 1 2 3 4 5

p k 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016

Проверка : 15

1

k

kp .

Пример 5.4 Дискретная случайная величина имеет следующий ряд

распределения :

х i -1 0 1 2

p i 0.1 0.2 0.3 р 4

Найти значение р 4.

Решение. Учитывая, что p ii

1

4

1 , находим

р 4= 1 - (р 1+ р 2+ р 3) = 0.4 .

Пример 5.5 Ведущий задаёт участнику конкурса вопросы до тех пор,

пока конкурсант не обнаружит незнание вопроса. Вероятность ответить на

любой заданный вопрос равна 0.8. Составить ряд распределения случайной

величины - количества заданных вопросов.

Решение. Возможные значения случайной величины : х 1 =1, х 2 = 2, х 3

= 3, . . . , х k = k, . . . . Вероятность того, что =1 (будет задан только один во-

прос) равна 1-0.8=0.2 (конкурсант на первый же вопрос не ответит). Вели-

чина примет значение х 2 = 2, если конкурсант ответит на первый вопрос

(вероятность этого 0.8) и не ответит на второй (вероятность 0.2). Таким обра-

зом, Р( =2)=0.80.2=0.16.

Аналогично найдём Р( =3)=0.8 20.2= 0.128, . . . , Р( = k)=0.8

k - 10.2 .

Искомый ряд распределения запишется в виде :

х k 1 2 3 . . . k . . .

p k 0.2 0.16 0.128 . . . 0.8 k - 1

0.2 . . .

32

Так как вероятности pk образуют бесконечно убывающую геометриче-

скую прогрессию со знаменателем q = 0.8 и первым членом р = 0.2, то имеем

.18.01

2.0

11

q

pp

k

k

5.2 Функция распределения

Функцией распределения F(x) случайной величины называется

функция, ставящая в соответствие каждому вещественному значению аргу-

мента х вероятность того, что случайная величина примет значение, мень-

шее, чем х , т.е.

F(x) = P( < x ) . (5.1)

Функция распределения обладает следующими свойствами :

0 F(x) 1,

F(x 2) F(x 1) при х 2 > x 1 ,

F(- ) = 0 ; F(+) = 1 ,

Р(a < b) = F(b) - F(a) .

Пусть дискретная случайная величина задана рядом распределения, в

котором n её возможных значений расположены в порядке возрастания :

х i x 1 x 2 . . . x n

p i p 1 p 2 . . . p n

Найдём функцию распределения. По формуле (5.1) получим

.xx,

,,.......

,xxx,p...pp

,.......

,xxx,pp

,xxx,p

,xx,

)x(F

n

kkk

1

0

121

3221

211

1

(5.2)

33

Поясним сказанное, например, для случая х2 < x x3. Очевидно, что со-

бытие < x равносильно наступлению одного из двух несовместных собы-

тий : = x1 или = x2 (рисунок 2).

Рисунок 2

Используя теорему сложения вероятностей, получим, если х в интерва-

ле х2< x x3, P ( < x) = P ( = x1) + P ( = x2) = p1 + p2, т.е. F (x) = p1 + p2 при

х2< x x3 .

График функции распределения дискретной случайной величины пред-

ставляет собой ступенчатую линию, представленную на рисунке 3. В точках

х= хk (k = 1, 2, ..., n ) функция F(x) имеет разрывы первого рода и изменяет

своё значение на величину рk, равную вероятности, с которой случайная ве-

личина принимает значение хk .

Рисунок 3

Пример 5.6 Дискретная случайная величина имеет ряд распределения

x k 0 2 5

p k 0.5 0.2 0.3

Найти функцию распределения F(x) и построить её график.

Решение. Выражение для функции распределения согласно формуле

(5.2) будет иметь вид

< x

x 1 x 2 x x 3

34

.5,1

52,7.0

20,5.0

0,0

)(

x

x

x

x

xF

График функции распределения представлен на рис.4.

x

0 2 5

Рисунок 4

5.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины

Наиболее распространёнными числовыми характеристиками случайной

величины являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадра-

тичное отклонение.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины ,

имеющей n возможных значений х1, х2 ,. . . , хn, называется число, обозначае-

мое М и задаваемое формулой

M x pi ii

n

1

(5.3)

где р i = P ( = x i ).

Если множество значений дискретной случайной величины счётно, то

сумма (5.3) заменяется рядом

M x pi ii

1

, (5.4)

при этом предполагается, что ряд абсолютно сходится.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

М С = С , если С - константа;

М [ C ] = C M ;

М [ ] = M M ;

М [ ] = M M, если и - независимые случайные величины.

Дисперсией случайной величины называется число, обозначаемое

D, равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной ве-

личины от её математического ожидания M, т.е.

F (x)

1

0.5

35

D = М [ ( - M)2 ] . (5.5)

Используя свойства математического ожидания, легко доказать, что

справедлива следующая формула

D = М [ 2 ] - (M)

2 . (5.6)

Формула (5.6) иногда оказывается более удобной для вычислений, чем

формула (5.5) .

Свойства дисперсии:

D C = 0 , если С - константа;

D [C ] = C 2 D ;

D [ ] = D +D, если и - независимые случайные величины.

Для дискретной случайной величины , имеющей n возможных значе-

ний, используя формулы (5.3), (5.5) и (5.6), получим, что

дисперсию можно вычислять по любой из следующих формул

D x M pi ii

n

( )2

1 , (5.7)

D x p Mi ii

n

2 2

1

( ) . (5.8)

Наряду с дисперсией, размерность которой равна квадрату размерности

случайной величины, часто используют так называемое среднеквадратичное

отклонение , равное квадратному корню из дисперсии, т.е.

= D , (5.9)

имеет размерность случайной величины .

Кроме математического ожидания и дисперсии рассматривают и другие

числовые характеристики случайной величины, а именно начальные и цен-

тральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка k случайной величины называют

математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины

k = М[k], k = 1,2, . . . . (5.10)

При k = 1 имеем 1 = М .

Центральным моментом k-го порядка kслучайной величины называ-

ется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины

от её математического ожидания, т.е.

k = М [( - M) k ] , k = 1,2, . . . . (5.11)

Нетрудно заметить, что 1 = 0 , 2 = D .

Используя формулы (5.10) , (5.11) и (5.3) легко получить формулы

для вычисления моментов k и k дискретной случайной величины:

36

k = x pki i

i

n

1

, k = 1,2, . . . . (5.12)

k = ( )x М pi

k

ii

n

1

, k = 1,2, . . . . (5.13)

Пример 5.7 Пусть - количество очков, выпавших при бросании иг-

ральной кости. Очевидно, ряд распределения случайной величины имеет

вид

x i 1 2 3 4 5 6

p i 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Найти её математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Пользуясь формулой (5.3) , получим

2

7

6

16

1

6

1

i i

iii xpxM .

По формуле (5.8) получим дисперсию

.12

35

2

7

6

1 6

1

2

2

i

ixD

Пример 5.8 Дискретная случайная величина имеет только два воз-

можных значения х 1 и х 2 , которые она принимает с вероятностями р1=

0.6 и р2= 0.4 соответственно.

Найти ряд распределения величины , если М = 1.4 и D = 0.24.

Решение. Учитывая формулы для математического ожидания и диспер-

сии, составим систему уравнений

0 6 0 4 14

0 6 0 4 14 0 24

1 2

1

2

2

2 2

. . .

. . ( . ) .

x x

x x

.

Система имеет два решения: х1 = 1, х2 = 2 и х1 = 1.8, х2 = 0.8.

Тогда ряд распределения имеет вид

хi 1 2 или хi 0.8 1.8

pi 0.6 0.4 pi 0.4 0.6

Пример 5.9 Производится бросание n игральных костей. Найти матема-

тическое ожидание и дисперсию суммы числа очков, выпавших на гранях всех

n костей.

37

Решение. Рассмотрим следующие дискретные случайные величины: -

сумма очков на гранях всех n игральных костей, i - число очков, выпавших

на i-ой игральной кости (i = 1,2, . . . , n ).

Тогда случайную величину можно представить в виде

ii

n

.1

Т.к. случайные величины i независимы, то по свойствам математиче-

ского ожидания и дисперсии получим

M M ii

n

,1

D D ii

n

.1

(5.14)

Все случайные величины i имеют одинаковый ряд распределения

и оди-

наковые числовые характеристики М i = 7/2, Di = 35/12 (см. пример 5.7). По

формулам (5.14) окончательно получим М = n 7/2 , D = n 35/12.


5.1 В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3

детали. Построить ряд распределения случайной величины - количества не-

стандартных деталей среди отобранных.

5.2 Два спортсмена стреляют каждый по своей мишени, делая независи-

мо друг от друга по одному выстрелу. Вероятности попаданий в мишень для

первого спортсмена 0.8, для второго - 0.7. Рассматриваются три случайные

величины: 1 - количество попаданий первого спортсмена, 2 - количество

попаданий второго спортсмена и их разность = 1 - 2 . Построить ряд рас-

пределения случайной величины .

5.3 В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Наугад извлекается один шар и

фиксируется его цвет, после чего шар возвращается в урну и снова выбира-

ется один шар. Испытание повторяют 4 раза. Построить ряд распределения

случайной величины - количества извлечённых белых шаров.

5.4 Два стрелка независимо друг от друга производят по одному вы-

стрелу в мишень, поражая её с вероятностями р1 и р2 соответственно. Слу-

чайная величина - количество поражений мишени. Написать её ряд распре-

деления.

5.5 Монета подбрасывается до первого выпадения герба. Составить

ряд распределения случайной величины - количества подбрасываний мо-

неты.

x i 1 2 3 4 5 6

p i 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

38

5.6 Из 100 лотерейных билетов, среди которых 10 выигрышных, слу-

чайно выбраны 5 билетов. Построить ряд распределения случайной величины

- количества выигрышных билетов среди взятых.

5.7 На пути движения автомашины 4 светофора. Каждый из которых

разрешает дальнейшее движение с вероятностью р. Построить ряд распре-

деления случайной величины - количества пройденных без остановки свето-

форов.

5.8 Три из семи одинаковых по внешнему виду радиоламп неисправны.

Наугад выбирают 4 лампы и проверяют на испытательном стенде. Построить

ряд распределения случайной величины - числа радиоламп, которые будут

работать.

5.9 Дискретная случайная величина имеет ряд распределения

x i 1 3 4 6

p i 0.2 0.1 0.3 0.4

Найти функцию распределения F(x) , построить её график и вычислить

следующие вероятности: Р ( 3) и Р (2 4).

5.10 Игральная кость подбрасывается один раз; случайная величина -

количество выпавших очков. Найти функцию распределения этой случайной

величины и построить её график.

5.11 В аудитории три дисплея, каждый из которых независимо от других

за время Т может выйти из строя с вероятностью 0.1. Найти функцию распре-

деления случайной величины - количества отказавших за время Т дисплеев.

5.12 Дискретная случайная величина может принимать три значения:

х1= -1, х2= 3 и х3= 4 с соответствующими вероятностями р1= 0.3, р2= 0.2 и р3 =

р. Найти р и функцию распределения F(x), построить её график.

5.13 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

, равной количеству наступлений события А в единичном опыте, если веро-

ятность его появления равна р .

5.14 В каждом из 10 независимых опытов событие А может наступить с

вероятностью 0.3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной

величины - количества наступлений события А.

5.15 Случайная величина задана рядом распределения:

x i 2 4 6

p i 0.1 0.5 0.4

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное

отклонение величины .

39

5.16 Известны числовые характеристики случайной величины : М =

0.5 и D = 0.01. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной ве-

личины = 3 - 0.4.

5.17 Дискретная случайная величина принимает три возможных зна-

чения: х 1= 4 с вероятностью р1 = 0.5, х2 = 6 с вероятностью р2 = 0.3 и х3 с веро-

ятностью р3. Найти х3 и р3, зная, что М = 8.

5.18 Производятся независимые испытания трёх приборов. Вероятности

отказа каждого прибора равны соответственно р1, р2 и р3. Случайная величина

- количество отказавших приборов. Найти её математическое ожидание и

дисперсию.

5.19 Отдел технического контроля проверяет на стандартность 50

партий изделий. В каждой партии по 5 изделий. Вероятность того что изде-

лие стандартно, равна 0.9. Найти математическое ожидание и дисперсию

случайной величины - числа партий, в каждой из которых окажется ровно

4 стандартных изделия.

5.20* Производится n независимых опытов, в каждом из которых со-

бытие А наступает с вероятностью р. Рассматривается случайная величина

- частота появления события А в n опытах, т.е. отношение числа наступле-

ний события А к общему числу произведённых опытов. Найти М и D .

5.21* Имеется n лампочек, каждая из которых с вероятностью р содер-

жит дефект. При включении тока дефектная лампочка сразу перегорает, после

чего заменяется новой. Случайная величина - количество испробованных

лампочек. Построить её ряд распределения и найти М.

5.22 Считая, что масса тела может с одинаковой вероятностью ока-

заться равной любому целому числу граммов от 1 до 10, определить, при ка-

кой из трёх систем разновесов: а) 1, 2, 2, 5, 10; б) 1, 2, 3, 4, 10; в) 1, 1, 2, 5, 10

среднее число гирь, необходимых для взвешивания случайно взятого тела, бу-

дет наименьшим. При взвешивании разрешается ставить гири только на одну

чашу весов.

5.23 Найти среднеквадратичное отклонение случайной величины - ко-

личества наступлений события А в двух независимых испытаниях, если веро-

ятности наступления события А в этих испытаниях одинаковы и известно, что

М = 1.2.

5.24 Вероятность наступления события А в каждом испытании оди-

накова и равна р (0< p < 1). Испытания проводятся до первого наступления

события А. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной слу-

чайной величины - количества проведённых испытаний.

5.25 Доказать, что для любой случайной величины с известным мате-

матическим ожиданием М = m справедливо неравенство D < М[( - c)2], где

с m - произвольная константа.

40

6 НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

6.1 Функция распределения и плотность вероятности

Непрерывная случайная величина может принимать все значения из

некоторого интервала.

Закон распределения непрерывной случайной величины может быть

задан как функцией распределения F (x) = P (x), которая должна быть не-

прерывной на всей числовой оси, так и функцией f (x), которая называется

плотностью вероятности.

Определение и основные свойства функции распределения для не-

прерывной случайной величины те же, что и для дискретной (см. 5.2).

Определение. Плотностью вероятности называется предел отношения

вероятности попадания случайной величины в интервал х к длине этого

интервала при стремлении длины интервала к нулю, т.е.

f x l imP x x x

xx

0

.

Из определения следует, что если предел существует, то

f (x) = F (х). (6.1)

Отсюда функцию распределения можно найти по формуле

F x f t d t

x

. (6.2 )

Свойства функции f (x) :

1) f (х) 0 .

2) f x d x( )

1

3) P a b f x dxa

b

.

Пример 6.1 Непрерывная случайная величина имеет линейную функ-

цию распределения на отрезке [a,b], а для других значений х эта функция по-

стоянная. Найти функции F (x), f (x) и вероятность попадания случайной ве-

личины в интервал aa b,

2

.

Решение. Согласно свойствам функции распределения и условию зада-

чи, функция F (x) должна иметь вид

41

F x

если x a

k x c если a x b

если x b

0

1

, ;

, ;

, .

Постоянные k и с должны быть такими, чтобы функция F(x) была непре-

рывной на всей числовой оси. Условия непрерывности в точках x = a и x = b

приводят к системе уравнений

k a c

k b c

0

1

,

,

откуда получим

kb a

ca

b a

1, .

Таким образом, функция распределения F(x) имеет вид

.,1

;,

;,0

bxесли

bxaеслиab

ax

axесли

xF (6.3)

Плотность вероятности получим, используя определение (6.1),

)(xFxf

1

0

b aесли a x b

если x a или x b

, ;

, .

(6.4)

Заметим, что закон распределения случайной величины, имеющей по-

стоянную плотность вероятности на отрезке [a, b], называется равномерным.

И наконец, вероятность попадания случайной величины в интервал

aa b,

2

можно найти, используя свойство 3 плотности вероятности или свой-

ство 4 функции распределения. Например, с помощью функции распределения

F (x) из (5.2) получим (т.к. число a b

2 находится в интервале [a,b]):

P(a a b

2) = F (

a b

2) - F (a) =

1

2

b a

b a

- 0 =

1

2 .

42

6.2 Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины опреде-

ляется формулой

М = x f x dx( )

, (6.5)

а дисперсия находится по формуле

D = 2

= ( ) ( )x M f x dx

2

, (6.6)

вытекающей из определения дисперсии (5. ). Там же доказано, что дисперсия

может определяться формулой

D = М[ 2 ]- (М)

2, (6.7)

где М[ 2

] для непрерывной случайной величины вычисляется по формуле

М[ 2 ]= x f x dx2 ( )

.

Поэтому формулу (6.6) можно представить в другом, часто более удоб-

ном для вычислений виде:

2

x f x dx M2 2( ) ( ) . (6.8)

Свойства числовых характеристик непрерывной случайной величины те

же, что и для дискретной (см. 5.3).

Пример 6.2 Найти математическое ожидание и среднеквадратичное от-

клонение для случайной величины, имеющей равномерный закон распреде-

ления (см. Пример 6.1).

Решение. По формуле (6.5) найдём математическое ожидание

M x dxx

b adx x dx

b a

x b

a

b a

a

ba

b

0 01

2 2

2

.

Дисперсию находим по формуле (6.6)

2

= ( )( )

( )x m dxx m

b adx x m dx

a

ba

b

2

2

20 0

43

( )

( ) ( )

( )x m

b a

b

a b abb a

ab a b a3 3 3 2

3

1

3 2 2 12

Среднеквадратичное отклонение равно

=

2

2 3

b a .

Пример 6.3 Найти функцию распределения и числовые харак-

теристики непрерывной случайной величины , имеющей плотность вероят-

ности

f (x)= k x п и x a

п и x a

5

0

р ,

р , где a = - 3 .

Решение. Число k найдём, используя свойство 2 плотности ве-

роятности,

340)(

4

3

3

5

x

kxdxdxkxdxf

k

l i m x

k k

x

4

1

3

1

4 81 3244 4( ).

Приравнивая в соответствии со свойством 2 плотности вероятности это

значение к 1, получим k = - 324.

Функцию распределения найдём по формуле (6.2 ).

Для интервала (- , а]:

F x k t d tk

x x

x

( ) ;

5

4 4

81

для интервала (а, ):

аx

kxdxdxkxF

a x

a4

0)(4

5 k

a

4

324

4 314 4( ).

Итак, F xx п и x a

п и x a( )

р ,

р .

81

1

4

Найдём математическое ожидание и дисперсию по формулам (6.5)

и (6.8). Учитывая сразу, что при x > a f (x) = 0, получим

44

3

3)(

33

4

3

5 xkxdxkxdxxkdxxfxM

k

3

1

3

324

3 274

3( ).

3

2)4()()(

22

3

322 xkxdxkMdxxfxD

162

316 22( )

.

Тогда среднеквадратичное отклонение D 2 .

Пример 6.4 Плотность вероятности случайной величины имеет гра-

фик, представленный на рисунке 7.

Рисунок 7

Найти число с, функции f (x), F (x), дисперсию 2 и вероятность того,

что случайная величина превзойдёт значение а/2.

Решение. Запишем функцию f (x) в виде:

f (x) =

0

0

0

0

, ;

, ;

, ;

, ,

если х a

kx с если a x

kx с если x a

если х a

где k > 0 - угловой коэффициент , с - точка пересечения прямых с осью

0Y. Учитывая, что k равно тангенсу угла наклона левого отрезка прямой к оси

0Х, получим k = c / a .

Используем свойство 2 плотности вероятности:

f x dx k x c d x k x c d xkx cx

a

kx c x

a

a

a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

2 2

2

0

20

f(x)

с

-а а x

45

= - k a 2 + 2 c a .

Приравнивая к 1, получим систему уравнений

k a ca

kc

a

2 2 1,

,

из которой находим с = 1/ а , k = 1/ a 2. Таким образом, функция f (x)

имеет вид

f (x) =

0

0

0

0

2

2

, ;

, ;

, ;

, .

если х a

a x

aесли a x

a x

aесли x a

если х a

Найдём функцию распределения F (x), используя формулу (6.2).

Для интервала - < х < - a : F x d x

x

( ) ;

0 0

для интервала - a x < 0 : F x d xa t

adt

x

a

x

a

a

a

x

( ) ;

02

1

22

2

2

для интервала 0 x < a : F x d xa t

adt

a t

adt

a x

a

( )

0 2 2

0

0

= 1

2 2

2

2 x

a

x

a;

наконец, при х а F (x) = 1, что следует из предыдущей формулы

при использовании условия непрерывности функции F(x) в точке x=a.

Таким образом, функция F (x) имеет вид

F (x) =

0

1

2 20

1

2 20

1

2

2

2

2

, ;

, ;

, ;

, .

если х a

x

a

x

aесли a x

x

a

x

aесли x a

если х a

Найдём математическое ожидание:

46

03232032

0

32)(

2

32

2

32

0

2

0

2

aaaaа

a

x

a

x

аa

x

a

xxd

a

xaxxd

a

xaxxdxfxM

a

a

Найдём дисперсию :

.64343

043

0

43

0)()(

22222

2

43

2

43

0

2

2

0

2

2222

aaaaaa

a

x

a

x

aa

x

a

x

xda

xaxxd

a

xaxMxdxfx

a

a

Вероятность события > a

2 найдём, используя определение функции

распределения F (x) = P ( < x ) .Так как событие > a

2 противоположно собы-

тию a

2 и для непрерывной случайной величины P ( =

a

2)=0, то можно за-

писать

P xa

P xa

Fa

( ) ( ) ( ) 2

12

12

и учитывая, что 0 < a

2 < a,

F

2

a =

1

2 +

1

2 - 1

8 =

7

8. Отсюда

2

axP = 1 -

7

8 = 1

8.

Пример 6.5 Случайная величина имеет плотность вероятности

f x e

x m

( )

( )

1

2

2

22

(нормальный закон распределения).

Найти симметричный относительно m интервал, в который с вероятно-

стью р = 0,99 попадёт значение случайной величины, если m = 10, = 5 .

Решение. Симметричный относительно m интервал можно записать

неравенством - m или в виде m - m + .

Используя свойство 3 плотности вероятности, применительно к нор-

мальному закону распределения, получим

P m m f x d xm m m m

m

m

( ) ( ) [ ( ) ( ) ]

[ ( ) ( ) ] ( ) ,

1

2

1

2

47

где ( )z e d t

tz

2

2

2

2

0

- функция Лапласа, для которой Ф(-z)= -Ф(z) (свой-

ство нечётности).

По условию задачи ( ) , .

0 99 Из таблицы функции Лапласа (см.

Приложение) находим то значение аргумента z, для которого функция

равна 0,99. Получим z = 2,6 , т.е.

2 6, , откуда = 2,6 = 13 .

Тогда искомый интервал m - m + имеет вид - 3 23.

6.3 Задачи для упражнений.

6.1 Функция распределения случайной величины имеет вид

F x

если x a

A Bx

aесли a x a

если x a

( )

, ,

arcsin , ,

, .

0

1

Определить : а) значения коэффициентов А и В; б) вероятность того,

что случайная величина примет значение из интервала

a a

2 2, ;

в) плотность вероятности f (x).

6.2 Плотность вероятности случайной величины имеет вид

f xесли x

A x e если x kk x( )

, ,

, , ( ).

0 0

0 02

Найти коэффициент А и функцию распределения F (x) и определить ве-

роятность попадания случайной величины в интервал (0, 1/k ).

6.3 Случайная величина на всей числовой оси имеет функцию распре-

деления .)( xgtcraBAxF Найти коэффициенты А и В и вероятность попадания

случайной величины в интервал (0, 1).

6.4 В условиях предыдущей задачи найти то значение х , для которого

вероятность события < x будет равна 0.25 .


f x

если x

A x если x

если x

( )

, ,

sin , ,

, .

0 0

3 03

03

Найти значение А; функцию распределения; вероятность попадания в

интервал ( / 6 , / 4); дисперсию 2.

48

6. 6 Плотность вероятности случайной величины имеет вид

f x

если x

A x если x

( )

, ,

cos , .

02

2 2

2

Найти: а) значение А ; б) функцию распределения ; в) вероятность то-

го, что в трёх испытаниях случайная величина ровно два раза примет зна-

чение из интервала [0, / 4].

6.7 Автобусы приходят на остановку с интервалом 5 минут. Считая

время ожидания автобуса случайной величиной, распределённой равномерно

на отрезке [0,5], найти среднее время ожидания и его дисперсию.

6.8 В условиях предыдущей задачи найти функцию распределения и ве-

роятность того, что время ожидания превысит 3 минуты.


f xc если x a L

если x a L( )

, ,

, .

0

Определить: а) постоянную с; б) функцию распределения; в) дисперсию

случайной величины .

6.10 Шкала секундомера имеет цену деления 0.2 сек.. Какова вероят-

ность сделать ошибку отсчёта времени больше, чем 0.05 сек., если отсчёт де-

лается до ближайшего деления?

Указание: использовать плотность вероятности или функцию рас-

пределения (5.2) для равномерного закона, где b= a+0.2.

6.11 Случайная величина распределена по закону арксинуса с плотно-

стью вероятности

.,

,,0

)(

22axесли

xa

A

axесли

xf

Найти коэффициент А, функцию распределения и вычислить матема-

тическое ожидание случайной величины и дисперсию.

6.12 Годовой доход, облагаемый налогом, является случайной величи-

ной, имеющей функцию распределения

F x

x

xесли x x

если x x x

( ), ,

, , ( ) .

1

0 0

0

3

3 0

0 0

Найти средний размер годового дохода, а также ту величину дохода, ко-

торая будет превышена с вероятностью 0.5 .

6.13 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи-

ны, плотность вероятности которой имеет вид

49

f x e

x m

( ) ,

1

2

2

- < x < .

(Закон распределения Лапласа).

6.14 Случайная величина распределена по экспоненциальному закону

с параметром . Найти вероятности следующих событий:

а) < m ; б) m m

2

3

2 ; в) 2 m .

Примечание: f (x) = e - x

, если x 0 и f (x) = 0, если х < 0.

6.15* Время между двумя сбоями вычислительной машины является

случайной, экспоненциально распределённой величиной с параметром . Для

решения определённой задачи требуется безотказная работа машины в те-

чение времени . Если при решении задачи произошёл сбой, то по прошест-

вии времени задачу надо решать заново.

Значения и известны.Общее время, за которое будет решена зада-

ча, обозначим через .

Найти: а) закон распределения случайной величины ; б) М ; в) вероят-

ность того, что за время k будет решено не менее n задач, (n < k ).

6.16* Плотность вероятности случайной величины имеет график,

представленный на рисунке,

Рисунок 8

где кривые линии являются дугами парабол с вершинами в точках

х = - 1 и х = 1. Найти число а, функции f (x), F (x), дисперсию 2

и вероятность того, что случайная величина примет значение больше,

чем - 0.5 .

6.17 Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и

среднеквадратичное отклонение 50 м. Какова вероятность того, что ошибка

измерения не превзойдёт по абсолютной величине 5 м, если случайные ошиб-

ки распределены по нормальному закону?

6.18 Среднеквадратичная ошибка измерения дальности ра-диолокатором

равна 40 м. Найти вероятность того, что ошибка измерения, не превзойдёт по

f (x)

а

-1

1 х

50

абсолютной величине 20 м. Систематическая ошибка отсутствует, а случай-

ные ошибки распределены по нормальному закону.

6.19 Химический завод изготовляет серную кислоту номинальной плот-

ности 1.84 г/ см3. Статистическая проверка показала, что практически 99.9 %

выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале [1.82; 1.86 ]. Найти ве-

роятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого доста-

точно, чтобы её плотность, имеющая нормальный закон распределения, не

отклонялась от номинала больше, чем на 0.01 г/ см3 .

6.20 Для нормально распределённой случайной величины вероятность

принять значения меньше 12 равна 0.15, а вероятность значений больше 16.2

равна 0.4. Найти среднее значение случайной величины и среднеквадратичное

отклонение.

6.21 Высотомер имеет систематическую ошибку 20 м. Случайные

ошибки распределены по нормальному закону. Какое среднеквадратичное от-

клонение должен иметь прибор, чтобы с вероятностью ошибка измерения вы-

соты была меньше 100 м ?

6.22 Определить для нормально распределённой случайной величины ,

имеющей математическое ожидание М = 0 и дисперсию D = 2: вероятно-

сти событий Р( k) и 2) Р ( k ) при k = 1, 2, 3.

6.23 Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих сред-

неквадратичное отклонение 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г.

Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый

вес порохового заряда 2.5 г, а случайные ошибки взвешивания распределены

по нормальному закону.

6.24 Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя

масса равна 1.06 кг. Известно, что 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Ка-

ков процент коробок, масса которых превышает 940 г? (Нормальный закон

распределения).

6.25 Браковка шариков для подшипников производится следующим об-

разом: если шарик проходит через отверстие диаметра d 2 и не проходит через

отверстие диаметра d1 < d 2, то шарик считается годным. В противном случае

шарик бракуется. Считая, что диаметр шарика - нормально распределённая

случайная величина с параметрами m = ( d1 + d 2 )/2 и =(d2-d1), найти веро-

ятность того, что шарик будет забракован, и определить такое значение ,

чтобы брак составлял не более 2 % всей продукции. (Параметр определяет

точность изготовления шариков, 0 < < 0.5).

6.26 Изделие считается высшего качества, если отклонение его разме-

ров от номинала не превосходит по абсолютной величине 3.45 мм. Случай-

ные отклонения размера от номинала имеют нормальный закон распределе-

ния со среднеквадратичным отклонением 3 мм, а систематические отклонения

отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего качества, если

изготовлено 8 изделий.

51

7 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Под системой случайных величин понимаем n-мерный вектор

(ξ1,ξ2,…,ξn), координаты которого являются случайными величинами, т.е.

ξi = ξi(ω), ω Ω,

Ω – множество исходов испытания.

Функцией распределения системы (ξ1,ξ2,…,ξn) называется функция

F(x1,x2,…,xn), определенная для любых вещественных чисел x1,x2,…,xn как ве-

роятность совместного выполнения n неравенств {ξ1<x1}, {ξ2<x2},…,{ξn<xn},

т.е.

F(x1,x2,…xn) = P(ξ1< x1; ξ2 <x2;…ξn <xn). (7.1)

В частности. функция распределения системы двух случайных величин (

, ) определяется формулой

F(x,y) = P(ξ < x; η <y). (7.2)

7.1 Двумерная дискретная случайная величина

7.1.1 Таблица распределения

Закон распределения двух дискретных случайных величин ( , ) может

быть представлен в форме таблицы распределения.

Пусть { x1,x2,…,xn }- множество значений случайной величины , причем

x1 < x2 < …<xn; {y1,y2,…,ym}- множество возможных значений случайной вели-

чины η, причем y1<y2< …< ym; pi,j = P( = xi, = yj),

i 1,2,…,n; j 1,2,…,m.

Тогда таблица распределения имеет вид:

Заметим, что

n

1i

m

1j

ijp 1.

Для того, чтобы получить ряды распределения каждой из случайных ве-

личин и (одномерные законы распределения), нужно просуммировать ве-

ξ η

y1 y2 … ym

x1 p11 p12 … p1m

x2 p21 p22 … p2m

… … … … …

xn pn1 pn2 … pnm

52

роятности по строкам (получится ряд распределения случайной величины ξ) и

по столбцам (получится ряд распределения случайной величины ή).

Одномерные ряды распределения и будут иметь вид:

xi x1 x2 … xn yj y1 y2 … ym yj

pi. p1. p2. … pn. , p.j p.1 p.2 … p.m p.j ,

где введены обозначения:

pi.= P( = xi)=

m

1j

ijp , p.j= P( = yj)=

n

1i

ijp . (7.3)

Пример 7.1 Таблица распределения системы двух случайных величин (

), имеет вид:

ξ η

0 1 2

1 0.03 0.18 0.09

2 0.06 0.36 0.18

3 0.01 0.06 0.03

Вычисляем pi. и p.j :

p1.=0.03+0.18+0.09=0.30; p2.=0.06+0.36+0.18=0.60;

p3.=0.01+0.06+0.03=0.10; p.1=0.03+0.06+0.01=0.10;

p.2=0.18+0.36+0.06=0.60; p.3=0.09+0.18+0.03=0.30 .

Одномерные ряды распределения для и имеют вид:

xi 1 2 3 yj. 0 1 2

pi. 0.3 0.6 0.1 , p.j 0.1 0.6 0.3 (7.4)

Заметим, что

n

1i

m

1j

ji pp 1.

Пример 7.2 Таблица распределения системы двух случайных величин

),( имеет вид:

ξ η

0 1 2

1 0 0.2 0.1

2 0.1 0.3 0.2

3 0 0.1 0

Одномерные ряды распределения в этом случае примут вид:

53

xi 1 2 3 yj 0 1 2 (7.5)

pi. 0.3 0.6 0.1 , p.j 0.1 0.6 0.3

7.1.2 Функция распределения

Функция распределения двумерной дискретной случайной величины

имеет вид:

mn

k

i

l

j

llkkji

yyиxxесли

mlnkyyyxxxеслиp

yyилиxxесли

,1

;1,...,1;1,...,1;,,

,0

y)F(x,1 1

11

11

(7.6)

Пример 7.3 Воспользуемся формулой (7.6) для построения функций

распределения в примерах 7.1 и 7.2. В результате получим.

Для примера 7.1 F(x,y) имеет вид:

x y

y 0 0 < y 1 1 < y 2 y > 2

x 1 0 0 0 0

1 < x 2 0 0.03 0.21 0.30

2 < x 3 0 0.09 0.63 0.90

x >3 0 0.10 0.70 1

Из таблицы можно получить, например, для точки х0 = 1.6 , у0 = 2.4

значение двумерной функции распределения F(2.4, 1.6) = 0.63.

Отсюда легко могут быть получены одномерные функции распределе-

ния случайных величин и , если использовать определения

Fx) = P( < x, - < y ), Fx) = P(- < x , y):

Из таблицы 7.

Fξ(x) =

3.x если 1,

3; x 2 если 0.9,

2; x 1 если 0.3,

1 x если 0, ;

; Fη(y) =

2. y если 1,

; 2 y 1 если 0.7,

1; y 0 если 0.1,

0;y если 0,

Пример 7.4 Для примера 7.2, аналогично предыдущему, получим для

функции F(x,y) таблицу

x y

y 0 0 < y 1 1 < y 2 y > 2

x 1 0 0 0 0

1 < x 2 0 0 0.2 0.3

54

2 < x 3 0 0.1 0.6 0.9

x >3 0 0.1 0.7 1

Одномерные функции распределения в этом примере имеют тот же вид,

что и в предыдущем.

7.1.3 Условные законы распределения

Пусть ),( – система дискретных случайных величин, закон распреде-

ления которой задается таблицей значений pij.

Будем рассматривать условные вероятности событий ( = xi) при неко-

тором фиксированном значении yj ,т.е. при условии ( = yj). Согласно формуле

для условной вероятности можно записать:

)(

);()(

j

ji

jiyP

yxPyxP

.

Отсюда, с учетом (7.3) получим

j

ij

jip

pyxP

)(

Эти вероятности при i = 1,2,…,n образуют условный ряд распределения

случайной величины при условии ( = yj).

Аналогично определяется условный ряд распределения случайной вели-

чины при условии ( = xi):

i

ij

ijp

pxyP )(

Построим несколько условных рядов распределения, используя таблицы

распределения, приведенные в примерах 7.1 и 7.2 из п. 7.1.1.

Пример 7.5 В примере 7.1 фиксируем значение = 0 и получим услов-

ный ряд распределения величины при условии ( = 0).

xi 1 2 3

P( = xi | = 0) 0.3 0.6 0.1 .

Например, 6.01.0

06.0)02(

1

21 p

pP .

Нетрудно убедиться, что условные ряды для величины при условиях (

=1) и ( =2) совпадают с условным рядом при ( =0). Как видим, все услов-

ные ряды величины совпадают с её безусловным рядом (7.4).

Все условные ряды для величины также совпадают и между собой и с

её безусловным рядом (7.4).

Пример 7.6 В примере 7.2 фиксируем последовательно значения = 0,

= 1, = 2 и получим условные ряды распределения величины .

55

xi 1 2 3

)0( ixP 0 1 0

xi 1 2 3

)1( ixP 1/3 1/2 1/6

xi 1 2 3

)2( ixP 0 1/3 2/3

Как видим, в этом примере все три условных ряда распределения вели-

чины различны между собой и ни один из них не совпадает с ее безуслов-

ным рядом (7.5).

Также поведут себя в этом примере и условные ряды величины :

yj 0 1 2

)1( jyP 0 2/3 1/3

yj 0 1 2

)2( jyP 0 1 0

yj 0 1 2

)3( jyP 1/6 1/2 1/3

Условные функции распределения:

)|(| jj yxPyxF

,

)|(| ii xyPxyF

- строятся при наличии условного ряда распределения по тому же правилу, что

и функция распределения одномерной дискретной случайной величины при

наличии её ряда распределения.

Пример 7.7 Построим для примера 7.2 условную функцию распределе-

ния случайной величины при условии = 1.

3.x если 1,

3; x 2 если, 6

5

2; x 1 если,3

1

1; х если,0

1| xF

56

7.1.4 Независимость случайных величин

Случайные величины и называются статистически независимыми,

если их условные законы распределения не зависят от условия (совпадают с

безусловными).

Для системы дискретных случайных величин ( ), их независимость

означает выполнение при любых i и j условия

P( xi | = yj) = P( = xi) ,

которое равносильно условию

pij = pi.∙p.j ,

а также

P( = yj | xi) = P( = yj) ,

Очевидно, что эти условия выполнены для величин и из примера

7.1 и не выполнены в примере 7.2. Следовательно, и в примере 7.1 стати-

стически независимы, что не имеет места для и из примера 7.2.

7.1.5 Числовые характеристики двумерной дискретной случайной вели-

чины.

1.Математические ожидания.

Случайной величины ξ

n

i

ii pxM1

, (7.7)

или, с учетом (7.3),

n

1i

m

1j

.iji pxM (7.8)

Аналогично – для случайной величины :

m

j

jj pyM1

, (7.9)

или

n

i

m

j

jj pyM1 1

. (7.10)

2. Дисперсии.

n

1i

m

1j

ij

2

i .p)Mx(D (7.11)

или с учетом (7.3)

n

1i

2 .)( ii pMxD (7.12)

Формулы (7.11) и (7.12) могут быть записаны в виде

57

n

1i

m

1j

2

ij

2

i .)M(pxD (7.13)

n

i

ii MpxD1

22 .)( (7.14)

Аналогичные формулы будут иметь место и для дисперсии случайной

величины .

n

1i

m

1j

ij

2

j .p)My(D (7.15)

m

j

j pMyD1

j

2 .)( (7.16)

n

1i

m

1j

2

ij

2

j .)M(pyD (7.17)

m

j

jj MpyD1

22 .)( (7.18)

3. Среднеквадратичные отклонения.

,D .D (7.19)

4. Ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариацией или корреляционным моментом случайных величин и

называется число, обозначаемое ),cov( и задаваемое формулой:

)M-()M-(M),сov( (7.20)

Для системы дискретных случайных величин (7.20) принимает вид:

n

1i

m

1j

ijji .p)My()Mx(),cov( (7.21)

или

n

1i

m

1j

ijji .MMpyx),cov( (7.22)

Свойства ковариации:

1. ),cov(),cov( .

2. Для независимых случайных величин всегда 0),cov( ; обратного

утверждения сделать нельзя. Случайные величины, для которых 0),cov( ,

называются некоррелированными. Таким образом, можно утверждать, что из

независимости случайных величин следует их некоррелированность.

3. |),cov(| .

Наряду с ковариацией, имеющей размерность произведения случайных

величин и , используют безразмерную числовую характеристику, называе-

мую коэффициентом корреляции:

),cov(),( . (7.23)

58

Свойства коэффициента корреляции:

1. ),(),( .

2. Для независимых случайных величин 0),( .

3. 1|),(| .

Воспользуемся формулами (7.7) – (7.23) для получения числовых харак-

теристик систем случайных величин, приведенных в примерах 7.1 и 7.2 в 7.1.1.

Пример 7.8 Для примера 7.1 получим

M =1.8; M = 1.2; D = 0.36; D = 0.36; = 0.6; = 0.6;

т.к. в этом примере и независимы, ),cov( = 0, в чём нетрудно убедиться,

используя формулу (7.22).

Для примера 7.2: M =1.8; M = 1.2; D = 0.36; D = 0.36; = 0.6; =

0.6; ),cov( = -0.06; ),( 1/6.

7.1.6 Задачи для упражнений.

В задачах 7.1 – 7.16 система дискретных случайных величин ),( зада-

ется таблицей значений pij. Требуется: 1) построить безусловные ряды распре-

деления величин и ; 2) построить все возможные условные ряды распреде-

ления; 3) определить, являются ли величины и статистически независи-

мыми; 4) вычислить значение функции F(x,y) при заданных значениях x0 и y0 ;

5) вычислить M , M , D , D , ).,(),,cov(,,,

/1ччч

7.1 / 0 1 2

-1 0.04 0.03 0.13

0 0.14 0.13 0.03 x0= 0.2; y0 = 1.3 .

1 0.03 0.02 0.02

2 0.15 0.14 0.14

7.2 / -1 0 1

0 0.13 0.03 0.04

1 0.14 0.05 0.03 x0= 0.6; y0 = 0.8 .

2 0.11 0.12 0.11

3 0.11 0.11 0.02

59

7.8 \ 0 1 2 3

-1 0.02 0.13 0.01 0 x0 = 0 ; y0 = 2 .

0 0.16 0.06 0.13 0.03

1 0.15 0.17 0 0.14

7.9 \ -1 0 1 2

0 0.14 0.13 0.03 0.04 x0= 1.5 ; y0 = 1.5 .

1 0.11 0.05 0.12 0.03

2 0.11 0.11 0.02 0.11

7.10 \ -2 0 2 4

0 0.16 0.15 0.05 0.06 х 0 = 1.5 ; у 0 = 2.5 .

1 0.09 0.03 0.10 0.01

7.3 / 1 2 3

0 0.15 0.14 0.02

1 0.03 0.02 0.14 x0= 2.4; y0 = 1.8 .

2 0.16 0.15 0.01

3 0.02 0.11 0.05

7.4 / 1 3 5

0 0.02 0.05 0.01

2 0.16 0.11 0.15 x0= 2.9; y0 = 3.1 .

4 0.01 0.04 0

6 0.17 0.12 0.16

7.5 / 2 4 6

0 0.16 0 0.07

1 0.11 0.08 0 x0= 3.1; y0 = 4.2 .

3 0.14 0.09 0.14

5 0.08 0.13 0

7.6 / -2 0 2

-4 0.05 0.04 0.14

-2 0.13 0.12 0.02 x0= 1.6; y0 = -1.1 .

0 0.04 0.03 0.03

2 0.14 0.13 0.13

7.7 / -3 0 3

-3 0.15 0.12 0.14

-1 0.02 0.04 0.03 x0= - 4; y0 = 5 .

1 0.10 0.08 0.06

3 0.11 0.12 0.03

60

3 0.13 0.09 0.04 0.09

7.11 \ 0 2 4 6

1 0.11 0.12 0 0.01 х 0 = 4.5 ; у 0 = 3.5 .

3 0.14 0.08 0.15 0.04

5 0.07 0.15 0 0.13

7.12 \ 0 1 3 5

- 3 0.16 0.17 0.05 0.06 х 0 = 0.5 ; у 0 = 3.5 .

0 0.09 0.03 0.09 0

3 0.02 0.10 0.05 0.18

7.13 \ -4 -2 0 2

- 2 0.10 0.11 0 0 х 0 = 1.5 ; у 0 = 0.5 .

0 0.15 0.09 0.14 0.06

2 0.05 0.13 0.02 0.15

7.14 \ -2 0 3 4

- 3 0.17 0.19 0.08 0.07 х 0 = -2 ; у 0 = 3 .

0 0.05 0.04 0.04 0.01

1 0.03 0.15 0 0.17

7.15 \ -1 0 1 2

- 2 0.15 0.18 0.07 0.06 х 0 = -1.2 ; у 0 = 1.8 .

0 0.04 0.03 0.03 0

2 0.02 0.10 0 0.16

4 0.05 0.04 0.03 0.04

7.16 \ -2 -1 0 1

- 3 0.12 0.21 0.04 0.03 х 0 = -1.5 ; у 0 = 0.8 .

-1 0.04 0.05 0.02 0.01

0 0.05 0.11 0.13 0.10

2 0.05 0.02 0.01 0.01

В задачах (7.17) – (7.26) построить таблицу распределения системы (,),

найти числовые характеристики величин и , коэффициент корреляции, построить

таблицы условных рядов распределения, найти все условные математические ожида-

ния для и для , построить таблицу значений двумерной функции распределения и

найти одномерные функции распределения F, F.

61

7.17 Из ящика, в котором 3 белых, 2 красных и 5 зелёных шаров, наугад

извлекают 5 шаров. Случайные величины и - количество соответственно

белых и красных шаров среди 5 извлечённых.

7.18 Из ящика, в котором 3 белых, 2 красных и 5 зелёных шаров, после-

довательно наугад извлекают шары до первого появления зелёного шара. Слу-

чайная величина - число извлечённых при этом белых шаров, случайная ве-

личина - число извлечённых красных шаров.

7.19 Из 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 белых, наугад берут 3 ша-

ра. Известно, что 1 красный и 1 белый шары помечены звёздочками. Случай-

ная величина - количество красных шаров среди взятых, случайная величина

- количество шаров, помеченных звёздочкой, среди взятых.

7.20 В трёх ящиках находится по 10 шаров: в первом ящике 5 белых и 5

красных, во втором – 5 белых и 5 зелёных, в третьем – 5 красных и 5 зелёных.

Из наугад взятого ящика извлекают 3 шара. Случайная величина - количест-

во белых шаров среди извлечённых, случайная величина - количество крас-

ных шаров среди извлечённых.

7.21 Из партии деталей, в которой 60% деталей высшего сорта и 30% де-

талей первого сорта, наугад выбирают 3 детали. Случайная величина - коли-

чество деталей высшего сорта среди выбранных, случайная величина - ко-

личество деталей первого сорта среди выбранных.

7.22 Три стрелка, вероятности попадания в мишень которых равны 0.9,

0.8, 0.75 соответственно, сделали по два выстрела, после чего зафиксировано 4

попадания в мишень. Случайная величина - количество попаданий в мишень

первым стрелком, случайная величина - количество попаданий в мишень

вторым стрелком.

7.23 Брошены 2 игральные кости. Случайная величина - количество

выпавших граней с чётным числом очков; случайная величина - количество

выпавших граней с числом очков, кратным 3. Определить по таблице распре-

деления, статистически зависимы или независимы случайные величины.

7.24Игральная кость брошена 3 раза. Случайная величина - количество

выпавших граней с чётным числом очков; случайная величина - количество

выпавших граней с числом очков, кратным 3. Определить по таблице распре-

деления, статистически зависимы или независимы случайные величины.

7.25 Среди 10 шаров в ящике 3 белых и 7 чёрных. Последовательно из-

влекают шары до появления второго чёрного шара. Случайная величина -

количество белых шаров, извлечённых до появления первого чёрного шара;

случайная величина - количество белых шаров, извлечённых после появле-

ния первого чёрного шара, но до появления второго чёрного.

7.26 Из ящика, в котором 2 красных и 6 белых шаров, извлекают наугад

4 шара. Случайная величина - количество красных шаров среди 4-х извле-

чённых. Извлечённые красные шары возвращаются в ящик. После этого из

62

ящика наугад берут 2 шара. Случайная величина - количество красных ша-

ров, взятых при втором извлечении.

7.2 Двумерная непрерывная случайная величина

7.2.1 Функция распределения и плотность вероятности двумерной непре-

рывной случайной величины

Определение. Система случайных величин (,) или, что то же са-

мое, двумерная случайная величина (,) называется непрерывной, если суще-

ствует такая неотрицательная функция f(x,y), называемая плотностью веро-

ятности системы, что вероятность попадания точки (,) в любую измери-

мую область 2RD определяется формулой

D

dxdyyxfDP ),()),(( . (7.23)

Если в качестве области D взять область },:),{( 1111 yyxxyx , то в соот-

ветствии с (7.23), получим функцию распределения F(x,y) системы (,) [см.

(7.2)]:

1111 ),(),(),( dyxdyxfyxPyxF

x y

. (7.24)

Очевидно, что

1),( dxdyyxf . (7.25)

Если плотность вероятности непрерывна, то, дифференцируя F(x,y) по x

и по y (порядок дифференцирования безразличен), получим

),(),(2

yxfyx

yxF

. (7.26)

Зная закон распределения системы (,), легко найти законы распреде-

ления каждой из случайных величин и , входящих в систему. Обозначая

)(xF , )(yF , )(xf , )(yf соответственно функции распределения и плотности

вероятностей случайных величин и , находим

1111 ),(),(lim)()( dyxdyxfyxFxPxF

x

y

, (7.27)

1111 ),(),(lim)()( dyxdyxfyxFyPyF

y

x

. (7.28)

Поскольку

)()( xFxf , (7.29)

)()( yFyf , (7.30)

то, дифференцируя формулы (7.27) и (7.28), получим

63

dyyxfxf ),()(

, (7.31)

dxyxfyf ),()(

. (7.32)

Пример 7.9 Пусть плотность вероятности системы случайных величин

(,) внутри квадрата2

0(

x , )2

0

y определяется формулой:

)sin(5.0),( yxyxf и равна нулю вне этого квадрата. Найти функцию

распределения системы F(x,y), а также функции распределения )(xF , )(yF и

плотности вероятностей )(xf , )(yf каждой из случайных величин и .

Решение.

1. При х<0 или y<0 в интеграле (7.24) соответственно x1<0 или y1<0,

следовательно, подынтегральная функция равна нулю, поэтому в этой области

F(x,y)=P(<x,<y)=0.

2. Внутри заданного квадрата 2

0(

x , )2

0

y по формуле (7.24)

имеем: )].sin(sin[sin5.0)sin(5.0)(),( 11

0 0

111111 yxyxdydxyxdydxyxfyxF

x y x y

Здесь при вычислении интеграла учтено, что по условию 0),( 11 yxf ,

если 01 x или 01 y .

3. Если 2

0

x и 2

y , то

].cossin1[5.0)sin(5.0),( 11

0

2/

0

11 xxdydxyxyxF

x

Отметим, что интегрирование по х 1 ведётся в пределах от 0 до х (а не от

- до х), а по у 1 - в пределах от 0 до 2

(а не от - до у), т.к. при 01 x , 01 y

или 2

1

y , по условию, 0),( 11 yxf .

4. Аналогично, при 2

(

x , )2

0

y получим:

].cossin1[5.0)sin(5.0),( 11

2/

0 0

11 yydydxyxyxF

y

5. При 2

(

x , )2

y

.1)sin(5.0),( 11

2/

0

2/

0

11 dydxyxyxF

Отсюда найдём функции распределения каждой из случайных величин:

64

).5.(,2/1

),3.(2/0)cossin1(5.0

)1.(,00

),(lim)(

пунктсмxпри

пунктсмxприxx

пунктсмxпри

yxFxFy

).5.(..,2/1

),4.(2/0)cossin1(5.0

),1.(..,00

),(lim)(

пунктсмyктyпри

пунктсмyприyy

пунктсмyктyпри

yxFyFx

По формулам (7.29) и (7.30) получим плотности вероятностей:

.2/0)cos(sin5.0

,2/00)(

xприxx

xилиxприxf

.2/0)cos(sin5.0

,2/00)(

yприyy

yилиyприyf

Замечание. Функции )(xf и )(yf можно было бы найти и, не прибегая к

дифференцированию )(xF и )(yF , а интегрируя плотность вероятности сис-

темы f(x,y) – см. формулы (7.31) и (7.32).

7.2.2 Условные законы распределения. Независимость

Для непрерывных случайных величин вводится понятие условных плот-

ностей вероятностей.

Определение. Условной плотностью вероятности случайной величины

при условии y называется функция, обозначаемая )|( yxf , зависящая от

Rx и определяемая по формуле

)(

),()|(

yf

yxfyxf

, (7.33)

где предполагается, что 0)( yf . Аналогично определяется условная плот-

ность вероятности случайной величины при условии x :

)(

),()|(

xf

yxfxyf

, (7.34)

где 0)( xf . Очевидно, что для условных плотностей вероятностей выполня-

ются равенства:

65

1)|( dxyxf , (7.35)

1)|( dyxyf . (7.36)

Для непрерывной системы случайных величин ),( независимость и

равносильна выполнению любого из условий:

)()|( xfyxf , (7.37)

)()(),( yfxfyxf , (7.38)

)()|( yfxyf , (7.39)

)()(),( yFxFyxF . (7.40)

В примере 7.9 по формуле (7.33) получаем: yy

yxyxf

cossin

)sin()|(

при

)2/0,2/0( yx , и 0)|( yxf при остальных значениях х и у. Посколь-

ку )|()( yxfxf , случайные величины и статистически зависимы.

7.2.3 Числовые характеристики двумерной непрерывной случайной ве-

личины

В качестве числовых характеристик системы случайных величин ),(

обычно рассматривают их математические ожидания M и M , дисперсии

D и D , ковариацию (корреляционный момент) ),cov( и коэффициент

корреляции ),( , которые вычисляют по формулам:

dxxxfdxdyyxxfM )(),( , (7.41)

dyyyfdxdyyxyfM )(),( , (7.42)

222 )(),(),()( MdxdyyxfxdxdyyxfMxD , (7.43)

222 )(),(),()( MdxdyyxfydxdyyxfMyD , (7.44)

dxdyyxfMyMxMMM ),())(()])([(),cov(

MMdxdyyxfyx ),( . (7.45)

),cov(),( , (7.46)

66

где и - среднеквадратичные отклонения случайных величин и

.

Свойства ковариации и коэффициента корреляции – те же, что и в слу-

чае дискретной системы (см. раздел 7.1.5).

Для примера 7.9 раздела 7.2.1 по формулам (7.41) – (7.46) получаем:

2/

0

2/

04

)sin(5.0

dxdyyxxM ,

2/

0

2/

04

)sin(5.0

dxdyyxyM ,

2/

0

2/

0

222

16

328

16)sin(5.0

dxdyyxxD ,

2/

0

2/

0

222

16

328

16)sin(5.0

dxdyyxyD ,

2/

0

2/

0

22

16

)4(

16)sin(5.0),cov(

dxdyyxxy ,

328

)4(),(

2

2

.

Для непрерывной системы случайных величин ),( рассматривают

также условное математическое ожидание. Зафиксируем некоторое значение

x (такое, что 0)( xf ). Тогда условным математическим ожиданием случай-

ной величины при условии = x называют число, обозначаемое )|( xM и

определяемое формулой

dyxyfyxM )|()|( . (7.47)

Аналогично

dxyxfxyM )|()|( (7.48)

- условное математическое ожидание случайной величины при условии =

y. Таким образом, условное математическое ожидание )|( xM является

функцией x, а )|( yM - функцией y.

Определение. Функцию, выражающую зависимость условного матема-

тического ожидания случайной величины от значений x случайной величи-

ны, называют функцией регрессии по .

Таким образом, зависимость )|( xM от x называется функцией регрес-

сии по , аналогично, зависимость )|( yM от y называется функцией рег-

рессии по .

67

7.2.4 Задачи для упражнений

7.27 Дана плотность вероятности системы случайных величин ),( :

)25)(16(),(

22 yx

Ayxf

. Найти величину А и функцию распределения системы

F(x,y).

7.28 Система случайных величин ),( имеет равномерное распределе-

ние внутри прямоугольника (a x b, c y d), т.е.

.0

),,(),(

никапрямоугольвне

dycbxaникапрямоугольвнутриAyxf

Найти величину А и функцию распределения системы F(x,y). Опреде-

лить, являются ли случайные величины и независимыми, найти )(xF и

)(yF .

7.29 Функция распределения системы случайных величин ),( имеет

вид:

,000

),0,0(1),(

2222 22

yилиxпри

yxприaaayxF

yxyx

где а > 0. Определить вероятность Р попадания случайной точки ),( в

прямоугольник с координатами 21( x , )21 y , найти плотность веро-

ятности ),( yxf .

7.30 Плотность вероятности системы случайных величин равна

.0

,)(),(

222

22222

Ryxпри

RyxприyxRcyxf

Найти: постоянную с, вероятность Р попадания в круг радиуса a<R с

центром в начале координат. Указание: перейти к полярным координатам

x= cos, y= sin, dxdy=dd.

7.31 Случайные величины и связаны соотношением cnm ,

где m, n и c – константы, m 0, n 0. Найти коэффициент корреляции (, )

и отношение среднеквадратичных отклонений

.

7.32 Доказать, что коэффициент корреляции по абсолютной величине не

превосходит единицы. Указание: рассмотреть случайную величину

и учесть, что её дисперсия не может быть отрицательной.

68

7.33 Определить плотность вероятности f(x,y), математические ожидания

М и М, дисперсии D и D, ковариацию ),cov( системы случайных ве-

личин (, ), заданных в интервалах (0 x /2) и (0 y /2), если в этих ин-

тервалах функция распределения системы yxyxF sinsin),( . Найти F(x, y)

вне этих интервалов, определить функции распределения )(xF и )(yF ка-

ждой из случайных величин и .

7.34 Положение случайной точки ),( равновозможно в любом месте

круга радиуса R, центр которого совпадает с началом координат, т.е. плот-

ность вероятности

.0

,),(

222

222

Ryxпри

Ryxприayxf

Найти постоянную а, плотности вероятностей и функции распределения

каждой из случайных величин и . Являются ли случайные величины и

независимыми?

7.35 В условиях предыдущей задачи определить условную плотность

вероятности )|( xyf при |x|<R.

7.36 В условиях задачи 7.2.8. вычислить дисперсии и ковариацию слу-

чайных величин и . Являются ли эти величины коррелированными?

7.37 Система случайных величин ),( подчинена равномерному зако-

ну распределения внутри квадрата со стороной а. Диагонали квадрата совпа-

дают с осями координат. Определить: плотность вероятности системы f(x,y),

плотности вероятностей )(xf и )(yf каждой из величин и , условные

плотности вероятностей )|( yxf и )|( xyf , дисперсии D и D , ковариа-

цию cov(,). Проверить зависимость и коррелированность случайных вели-

чин и . Указание: для равномерного закона f(x,y) = const внутри квадрата.

7.38* График плотности вероятности f(x,y) системы (,) представляет

собой конус, основанием которого служит круг радиуса R c центром в начале

координат. Написать выражение для f(x,y) и определить вероятность Р попа-

дания случайной величины в круг радиуса a (a<R) с центром в начале коорди-

нат.

7.39 Плотность вероятности системы случайных величин ),( имеет

вид: )1(

1),(

22222

yxyxyxf

. Определить, являются ли случайные вели-

чины и независимыми. Вычислить плотности вероятностей )(xf и )(yf

каждой из случайных величин, входящих в систему.

7.40 Плотность вероятности f(x,y) системы случайных величин (,)

равна:

69

квадратавне

yxквадратавнутриyxayxf

0

),10,10()(),( .

Определить: постоянную а, функцию распределения F(x,y), плотности

вероятностей )(xf и )(yf , условные плотности )|( yxf и )|( xyf , мате-

матические ожидания M и M , дисперсии D и D , ковариацию cov(,).

Указать, являются ли случайные величины и независимыми.

7.41 Функция распределения непрерывной системы случайных величин

),( имеет вид: 2

)1(),(2xy

eayyxF x при ( 10 x , 10 y ). Най-

ти: величину а, плотность вероятности системы f(x,y), плотности вероятностей

)(xf и )(yf каждой из случайных величин, входящих в систему, условные

плотности вероятностей )|( yxf и )|( xyf , математические ожидания M и

M , ковариацию cov(,). Указать, являются ли случайные величины и

независимыми.

7.42 Плотность вероятности системы случайных величин (,) равна:


yxквадратавнутриyaeyxf

x

0

),10,10(),( .

Определить: постоянную а, функцию распределения F(x,y), плотности

вероятностей )(xf и )(yf , условные плотности )|( yxf и )|( xyf , мате-

матические ожидания M и M , ковариацию cov(,). Указать, являются ли

случайные величины и независимыми.

70

8 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайные величины могут быть связаны между собой функциональной

зависимостью. Например, случайное время ремонта одним механиком двух

машин равно сумме случайного времени ремонта первой машины и случай-

ного времени ремонта второй, т.е. = + . Здесь случайная величина яв-

ляется функцией случайных величин и ( = g(,)).

8.1 Законы распределения функций случайных величин

Рассмотрим нахождение закона распределения функции двумерной

дискретной случайной величины ( ,) на примере.

Пусть = g ( , ) = +. Если случайные величины и дискретные,

то и случайная величина будет дискретной. Закон распределения двумерной

случайной величины ( , ) задан таблицей

-1 0 2

2 0.1 0.15 0

3 0.2 0.25 0.3

Здесь в первом столбце находятся xi - значения случайной величины

(i=1,2), в верхней строке - yj - значения случайной величины (j=1,2,3), а на

пересечении значений xi, yj указаны вероятности pij событий = хi , = yj ,

происходящих одновременно, т.е. pij = P( = хi, = yj ). Фактически это веро-

ятность произведения двух событий.

Построим теперь аналогичную таблицу, в которой на пересечении соот-

ветствующих строк и столбцов будут находиться значения случайной величи-

ны = + (т.е. суммы xi + yj).

-1 0 2

2 1 2 4

3 2 3 5

Обозначим через рk вероятность того, что случайная величина = +

примет значение, равное k (k = 1,2,3,4,5). Эти вероятности легко найти, срав-

нивая обе таблицы,

Поскольку значения 1, 3, 4, и 5 встречаются во второй таблице по одно-

му разу (т.е. каждому из них соответствует единственная комбинация xi, yj), то

искомая вероятность берётся непосредственно из первой таблицы. Например,

71

p1 = P( = 1) == P( =2 , = -1) = p11 = 0.1. Найдём вероятность того, что k=2.

Так как число 2 с помощью заданных значений xi, и yj можно получить дву-

мя способами : 2+0 и 3+(-1), то по теореме сложения вероятностей получим

p2 = P( = 2) = p12+p21 = 0.15+0.2 = 0.35.

Таким образом, ряд распределения случайной величины будет иметь

вид

k 1 2 3 5

pk 0.1 0.35 0.25 0.3

Значение k = 4 в таблицу не включено, т.к. вероятность p4 = P(k = 4) = p13

= 0.

Заметим, что pkk

1

5

1.

Пусть теперь у = (х) - некоторая непрерывная монотонно возрастаю-

щая функция. Тогда существует обратная, тоже возрастающая функция х = -

1(у) и функцию распределения случайной величины = () можно предста-

вить в виде

F (y) = F (-1

(y)), (8.1)

где F (х) - функция распределения случайной величины .

Действительно, по определению функции распределения

F (y) = P(() < y) = P( < -1

(y)) = F (-1

(y)).

Для монотонно убывающей функции у = (х) функция распределения

случайной величины = () имеет вид

F (y) = 1 - F (-1

(y)). (8.2)

Действительно,

F (y) = P( () < y) = P( > -1

(y)) = 1-P( < -1

(y ))= 1-F (-1

(y)).

Если (х) - монотонная дифференцируемая функция и - непрерывная

случайная величина, то плотность вероятности случайной величины = ()

находится по формуле

f (y) = f (-1

(y)) ,)(1

yd

yd (8.3)

где f (х) - плотность вероятности случайной величины .

Пример 8.1 Рассмотрим случай немонотонной функции = (). Пусть

(x) = x 2- 4, а функция распределения случайной величины имеет вид

F x

если x

x x если x

если х

( )

, ,

( ) , ,

, .

0 0

1

43 0 1

1 1

(8.4)

Найти функции F (y) и f (y) для случайной величины = 2

- 4.

72

Решение. Удобнее провести решение, не используя формулы (8.1) -

(8.3), т.к. функция у = х 2 - 4 не монотонная, а пользуясь определением функ-

ции распределения. Имеем

F(y) = P( < y) = P(2 - 4 < y) = Р(

2 < 4 + y) . (8.5)

Если 4+ у < 0, т.е. у < - 4, то Р (2 < 4 + y) = 0, т.к.

2 < 0 - невозможное

событие. Значит, при у < - 4 F (y) = 0.

При у - 4 из (8.5) имеем:

F(y) = P( < 4 у ) P y y F y F y( ) ( ) ( ) . 4 4 4 4

Используем теперь формулы (8.4) для F(x) .

Т.к. - 4у < 0, то F(- 4у ) = 0.

Решая неравенство 0< 4у < 1, получим 4+ у < 1, т.е. у < - 3 и для ин-

тервала - 4 < y < - 3 из (8.4) получим

F( 4у ) = 1

44у ( 4у + 3), т.е. F(y) =

1

4(4+ y+3 y4 ).

Наконец, при 4у 1, т.е. для у - 3 из (8.4) следует

F (y) =1.

Окончательно имеем

F y

если y

у у если у

если у

( )

, ,

( ) , ,

, .

0 4

1

44 3 4 4 3

1 3

Найдём теперь плотность вероятности :

.34,)

42

31(

4

1

,34,0

)()(yесли

y

yилиyесли

yFyf

8.2 Числовые характеристики функций случайных величин

Пусть случайная величина является функцией случайной величины :

= ().

Если случайная величина дискретная и известен её ряд распределения,

то математическое ожидание случайной величины можно найти по формуле

n

i

ii pxMMm1

)()( (8.6)

где рi - вероятность события = хi : рi = P ( = хi ) .

Дисперсия функции дискретной случайной величины находится по

формуле

n

i

ii pmxDD1

22 ))(()( (8.7)

или по формуле

73

2

1

22 )())(( mpxn

i

ii

. (8.8)

Для непрерывной функции случайной величины математическое

ожидание находится по формуле

m M M x f x dx

( ) ( ) ( ) , (8.9)

а дисперсия - по формуле

,)())(()( 22 xdxfmxDD

(8.10)

где f (x) - плотность вероятности случайной величины .

Иногда бывает удобнее пользоваться формулой

,)()()( 222

mxdxfxDD

(8.11)

Используя известные свойства математического ожидания и дисперсии,

легко получить, что если = а1 1 + а 2 2 + . . . + а n n, где а i - постоянные, а

i - любые случайные величины, то

М = а1 М1 + а2 М 2 + . . . + а n М n . (8.12)

Если i - независимые случайные величины, то

D = а12 D1 + а 2

2 D 2 + . . . + а n

2 D n . (8.13)

Замечание. Формулы (8.9) - (8.11) могут быть использованы и для слу-

чая, когда является функцией n- мерной случайной величины = ( 1, 2, . . .

, n ). Тогда надо использовать n- мерную плотность вероятности f(x1,x 2, . . . ,

x n) и вычислять n- кратный интеграл.

Пример 8.2 Закон распределения двумерной дискретной случайной ве-

личины (, ) задан таблицей

Найти вероятность р = р21, числовые характеристики М и D,

где = 2 + , а также М и D, где = .

Решение. Вероятность р найдём из условия ,13

1

2

1

ji

ji

p

получим р = р21 = 1- (0.3 + 0.15 + 0.1 + 0.05 + 0.2 ) = 0.2 .

- 2 - 1 3

1 0.3 0.15 0.1

1.5 р 0.05 0.2

74

Построим ряд распределения случайной величины = 2 + , с исполь-

зованием её таблицы значений

-2 -1 3

1 4 3 5

1.5 5 4 6

и теоремы сложения:

zk 3 4 5 6

pk 0.15 0.35 0.3 0.2

(здесь zk - значения случайной величины ).

Числовые характеристики находим по формулам (8.6) и (8.8):

М = 30.15 + 40.35 + 50.3 + 60.2 = 4.55 ;

D = 90.15 + 160.35 +250.3 + 360.2 - (4.55)2

= 0.9475.

Для случайной величины как функции по формулам (8.6) и (8.8) по-

лучим

М = 3 0.15 + 40.35 + 5 0.3 + 6 0.2 = 2.12 ;

D = 30.15 + 40.35 + 50.3 + 60.2 - (2.12)2 = 0.0556.

Пример 8.3 На отрезке AB длиной L наугад ставится точка С и прово-

дится окружность радиуса АС. Найти М и D, где - площадь полученного

круга.

Решение. Обозначим через длину отрезка АС. Так как точка С

«ставится наугад», это значит, что является случайной величиной с равно-

мерным законом распределения в интервале [0,L]. Тогда плотность вероятно-

сти случайной величины имеет вид

f x Lесли x L

если x и x L

( ), ,

, .

10

0 0

Случайная величина как площадь круга радиуса связана со случай-

ной величиной зависимостью = () = 2 .

По формулам (8.9) и (8.11) находим математическое ожидание и диспер-

сию случайной величины :

75

М = 303

1 23

0

2 LLx

Lxd

Lx

L

;

D = 45

4

9053

21 4242522

0

42 LLLx

LLxd

Lx

L .


8.1 Построить ряд распределения случайной величины = - , если за-

кон распределения двумерной дискретной случайной величины (,) задан

таблицей

1 3 5 7

2 0.05 0.2 0 0.15

4 0.1 0.3 0.1 0.1

8.2 По условию задачи 8.1 найти ряды распределения для случайных ве-

личин = + 0.5· и = / .

8.3 Построить ряд распределения случайной величины = 3 - 2 2 , если

закон распределения случайной величины задан таблицей

-1 0 1 2

р i 0.4 0.3 0.2 0.1

8.4 Доказать, что если случайная величина имеет нормальное распре-

деление с параметрами m и , то случайная величина = а· + b имеет нор-

мальное распределение с параметрами m= a·m+b и = ·а . Указание:

использовать формулу (8.3).

8.5 Найти плотность вероятности случайной величины = е, если слу-

чайная величина распределена нормально с параметрами m и (логнор-

мальное распределение).

8.6 Случайная величина имеет показательное распределение с пара-

метром =2. Найти плотности вероятностей случайных величин: а) = 2 ; б)

= ; в) = 0.5 ln ; г) = 1- е- 2

.

8.7 Закон распределения двумерной дискретной случайной величины

задан таблицей

0 / 2

- / 2 0.2 0.1 0.3

76

/ 2 0.05 р 0.15

Найти р и построить ряд распределения для функции = sin( - ).

8.8 В условиях задач 8.1, 8.2, 8.3 и 8.7 найти математические ожидания и

дисперсии случайных величин , , , и .

8.9 Закон распределения двумерной дискретной случайной величины

задан таблицей

-1 0 1

0 0.1 0.2 0

1 0.2 0.3 0.2

Найти М и D, если = 2 + 2

.

8.10 Для системы случайных величин ( , ) известны :

М = 0, М =2, D = 2, D = 1, = - 1/ 2 .

Найти М и D, если = 2 + 3 .


f x

x если x

если x

( )

cos , ,

, .

1

2 2 2

02

Найти М и D, если = sin .

8.12 Найти F (x), f (x), M и D, где = 2 , а функция распределения

случайной величины имеет вид

F x

п и x

x п и x

п и х

( )

р ,

р ,

р .

0 1

1

21 1 1

1 1

3

8.13 Функция распределения случайной величины имеет вид

F x

x x п и x

п и x

п и х

( )

р ,

р ,

р .

1

121 0 2

0 0

1 2

2

Найти М, где = 2 - 1; определить F (x) и f (x).

8.14 Известны числовые характеристики системы случайных величин (

, ): М = а, M = b, D = 2, D =

2, =. Найти М и D, если =

+ + , где , , - постоянные.

77

8.15 Найти математическое ожидание и дисперсию длины хорды , со-

единяющей заданную точку окружности радиуса R с произвольной точкой

этой окружности.

8.16 Вершина С прямого угла равнобедренного прямоугольного тре-

угольника соединяется отрезком прямой с произвольной точкой М основания.

Длина основания равна 2 см. Найти математическое ожидание длины отрезка

СМ.

8.17 Ножки циркуля длиной по 10 см раздвинуты на случайный угол ,

значения которого распределены равномерно в пределах от 0º до 180º. Найти

М, где - расстояние между остриями ножек.

8.18 Ребро куба измерено приближённо и представляет собой случай-

ную величину , равномерно распределённую в интервале [a,b]. Найти мате-

матическое ожидание и дисперсию объёма куба.

8.19 Найти математическое ожидание случайной величины = 2, если

случайная величина распределена нормально с параметрами m и .

8.20 Случайные величины и независимы, причём M = M = m и D

= D = 2. Найти коэффициент корреляции случайных величин = + и

= - , где и - постоянные.

8.21 Известны математические ожидания и дисперсии независимых слу-

чайных величин 1, 2, . . . , n . Найти: а) математическое ожидание случайной

величины = ( )a bi i ii

n

1

; б) дисперсию случайной величины =

i

n

i i ia b

1

( ) , где а i , b i - неслучайные постоянные величины, i = 1,2, . . ., n .

8.22 Случайные величины 1, 2, . . . , n независимы и подчинены одно-

му и тому же закону распределения с математическим ожиданием m и диспер-

сией 2. Определить математическое ожидание и среднеквадратичное откло-

нение среднего арифметического этих случайных величин.

8.23 При взвешивании на чашу весов положено 10 гирь. Точность изго-

товления каждой гири характеризуется среднеквадратичным отклонением =

0.02 г. Найти среднеквадратичное отклонение измеренного веса тела. (См.

формулу (8.13) ).

8.24 Вывести формулы для математического ожидания, дисперсии и

среднеквадратичное отклонения числа m появлений события в n независимых

опытах, если вероятность появления события в k - ом опыте равна pk , (k = 1,2,

. . . , n).

8.25 По условию примера 8.4 найти математическое ожидание и диспер-

сию случайной величины , равной площади круга с радиусом АС.

78

9 ОТВЕТЫ

1.1. а) 1/6; б) 5/12. 1.2. а) 0.096; б) 0.008. 1.3. 0.75. 1.4. 0.5. 1.5. 0.25. 1.6. 7/27.

1.7. 0.79. 1.8. 6.6·10-6

1.9. а) 0.13; б) 0.87; в) 0.36. 1.10. а) 0.5; б) 2/3.

1.11. 2.9·103. 1.12. k

N

k

MN

k

N

C

CС . 1.13. (N-K)/(N+M-K). 1.14. k

N

k

MN

k

N

C

CС .

1.15. 30/91. 1.16. 121/1365. 1.17. а) 0.2; б) 0.2; в) 1/30; г) 11/30 1.18. 0.94.

1.19. 0.0055. 1.20. 0.15. 1.21. 2/9. 1.22. P(A)=1/(N-1); P(B)=1/[(N-1)(N-2)];

P(A1)=1/N; P(B1)=1/[N(N-1)]. 1.23. 0.3. 1.24. 99/323. 1.25. 2/9 1.26. 5.37·10-5

.

1.27. а) 1/216; б) 1/36; в)5/9. 1.28. 1/84. 1.29. 1/7. 1.30. а) 0.5; б) 0.25. 1.31. 500.

1.32. 1/6. 1.33. а) 2/3; б) 2/3. 1.34. 2

)2(

a

dra. 1.35.

H2re . 1.36. 0.25.

1.37. 7/16. 1.38. 2·l /(π·L). 1.39. 22

2

411

R

H

H

·

2.1. 0,18. 2.2. 0,94. 2.3. а) 0,558; б) 0,442. 2.4. a) 0,58; б) 0,21. 2.5. a) 7/15; б)

8/15; в) 7/15. 2.6. 0,251. 2.7. 0,116. 2.8. 0,003.

2.9. 1)]1()1([

)!(

lmnnn

mn. 2.10. a) 0,5814; б) 0,0697; в) 0,9942.

2.11. 0,55. 2.12. 0,3229. 2.13. 0,75. 2.14. np)1(1 . 2.15. 0,00476.

2.16. P(A) = 0,851; P(B) = 0,149. 2.17. 132 )]1)(1(1[nnnppp .

2.18. 0,4. 2.19. 13/15. 2.20. 0,55. 2.21. 0,061. 2.22. 121 1 ppp .

2.23. 1) 1- q 6 ; 2) 245 15)6( qpppq . 2.24. 10)1(1 p .

2.25. n=59. 2.26. 1) )lg(

1

31 ppn

; 2)

3

42

3

31 )1()1(1 pppp .

3.1. 5/13. 3.2. ][2

1

22

2

11

1

KM

M

KM

M

. 3.3. 0,6. 3.4. 1) 0,232; 2) 0,0345.

3.5. KM

M

. 3.6. 11/18; 32/55. 3.7. 20/21. 3.8. 6/7. 3.9. 14/83 = 0,169.

3.10. 3/4; 1/2. 3.11. 5; 1/3. 3.12. 0,224. 3.13. p

p

78 . 3.14. 6/13.

3.15. 0,87. 3.16. 0,0244. 3.17. 0,594. 3.18. 0,7565. 3.19. 0,00309.

3.20. 0,323. 3.21. M

M

mk

m

K

K

mk

k 11

. 4.1. 0,262.

4.2. )2

)1(( 222 p

nnnpqqq n

. 4.3. 1; 0,472. 4.4. 0,00427.

4.5. 1/1024; 10/1024; 45/1024; 120/1024; 210/1024; 252/1024; 210/1024;

120/1024; 45/1024; 10/1024; 1/1024; 5. 4.6. 0,366; 0,37; 0.185; 0,061. 4.7. 0,787;

0,076; 0,137. 4.8. 0,651; 22n . 4.9. 0,539.

79

4.10. 0,124. 4.11. 0,0595. 4.12. 0,00385; 2. 4.13. 0,845. 4.14. 7n . 4.15. 71005,2 . 4.16. 8. 4.17. 197191 n .4.18. 6; 1,34∙10

-4 4.19. 0,179.

4.20. 0,148. 4.21. 11n . 4.22. 0,028. 4.23. 22n . 4.24. 0,0352.

4.25. 0,996. 4.26. 0,183. 4.27. 0,0978. 4.28. 0,0746. 4.29. 0,642.

4.30. 0,665. 0,619. 0,597.

5.1 : х i 0 1 2 5.2 : х i -1 0 1

p i 0.2 0.6 0.2 . p i 0.14 0.62 0.24 .

5.3 : x i -2 0 2 : y i 2

p i q 2 2pq p

2 ; p i 1 .

5.4 : x i 1 2 3 4 5 6

p i 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 .

5.5

:

x i 0 1 2 5.6

:

x i 1 2 3

p i q 1q 2 p1q2+q1p2 p1p2 . p i 0.8 0.16 0.04 .

5.7 : x i 1 2 3 ... n ...

p i 0.5 0.25 0.125 ... 0.5 n ... .

5.8 : x i 0 1 2 3 4 5

p i 0.583 0.340 0.070 0.007 0.000 0.000 .

5.9 : x i 0 1 2 3 4 p i q pq p

2q p

3q p

4 .

5.10 : x i 1 2 3 4 p i 4/ 35 18/ 35 12/ 35 1/ 35 .

5.11 F x

п и x

п и x P

п и x P F F

п и x

п и x

( )

р ,

. р , ( ) , ;

. р , ( ) ( ) ( ) . .

. р ,

р ;

0 1

0 2 1 3 3 0 2

0 3 3 4 2 4 4 2 0 3

0 6 4 6

1 6

80

5.12 F x

п и x

п и x

п и x

п и x

п и x

п и x

п и x

( )

р ,

/ р ,

/ р ,

/ р ,

/ р ;

/ р ;

р .

0 1

1 6 1 2

2 6 2 3

3 6 3 4

4 6 4 5

5 6 5 6

1 5 6

5.13 F x

п и x

п и x

п и x

п и x

п и x

( )

р ,

. р ,

. р ,

. р ,

р .

0 0

0 729 0 1

0 972 1 2

0 999 2 3

1 3

5.14 P3 = 0.5 ;

5.15 M = p ; D = pq . 5.16 M = 3 ; D = 2.1 . 5.17 M = 4.6 ;

D =1.64. 5.18 M = 1.1 ; D = 0.09 . 5.19 р 3 = 0.2 ; х 3 = 21.

5.20 M = p 1 + р 2 + р 3 ; D = p qi ii

1

3

. 5.21 M = 16.4 ; D = 11.02 .

5.22 M = p ; D = pq / n . 5.23 M = 1

1

p

p

n

;

x i 1 2 3 ... m ... n

p i q pq p 2q ... p

m-1q ... p

n-1 .

5.24 Выгоднее разновески b . 5.25 D= 0.48 . 5.26 M=1/p ; D=q/p2.

6.1 a) A=1/2, B=1/ ; b) p=1/3 ; f (x) =

1

0

2 2 a xесли а x a

если x a

, ;

,

.

6.1 a) A=1/2, B=1/ ; b) p=1/3 ; f (x) =

1

0

2 2 a xесли а x a

если x a

, ;

,

. 6.2 A =

k 3

2 ; F(x) =1- e

- k x - k x e

- k x - k 3

2х

2е

- k x ; p = 1-

5

2 е = 0.08 . 6.3 A = 1/2 ; p = 1/4 .

6.4 1 . 6.5 a) A = 3/2 ;

81

б) F x

п и x

x п и x

п и x

( )

р ,

( cos ) р ,

р ;

0 0

1

21 3 0

3

13

в) р = 2

4 ; г)

2

2

36

2

9 .

6.6 а) А = 2

; б) F x

п и x

xx п и x

п и x

( )

р ,

( sin ) р ,

р ;

02

2

2

1

42

4 2

12

в) 3 1

4

1

2

3

4

1

2

2

. 6.7 m = 2.5 мин. ,

225

12 .

6.8 F x

п и x

xп и x

п и x

( )

р ,

р ,

р ;

0 0

50 5

1 5

р(х>3) = 0.4 . 6.9 а) С = 1

2 L ;

б) F x

п и x a L

x a L

Lп и x a L

п и x a L

( )

р ,

р ,

р ;

0

2

1

в)

2

2

3L

. 6.10 р = 0.5 . 6.11 А = 1

; F x

п и x a

arcx

aп и x a

п и x a

( )

р ,

sin р ,

р ;

0

1

2

1

1

m = 0 ,

2

2

2а

. 6.12 3

220 0

3x x; .

6.13 M = m , D = 6

. 6.14 a) 1- e - 1

0.632;

б) е - 0. 5

- е - 1. 5

0.383 ; в) е - 2

0.135 .

б) М =e

; в) С kn (1-e

- )

k- n e

- n + C k

n + 1 (1-e

- )

k - n - 1e

- (n+1)

+ ... + e - k

. 6.16 0.0797 . 6.17 0.3829 . 6.18 0.9 . 6.19 m = 15.39 ; = 3.26 .

6.20 61 м . 6.21 1) 0.1587 ; 0.0228 ; 0.00135; 2) 0.3173; 0.0455 ; 0.0027 .

6.22 0.092 . 6.23 99.9 %.

6.24 1- Ф 1

2а

; a 0.2146 . 6.25 m = np = 6 . 6.26 a = 1.5 ;

6.15 а) 2 ... k ...

p i e -

(1- e -

) e -

... (1- e -

) k - 1

e -

... ;

82

f x

x п и x

x п и x

п и x

( )

( ) р ,

( ) р ,

р ;

3

21 1 0

3

21 0 1

0 1

2

2 F x

п и x

x п и x

x п и x

п и x

( )

р ,

( ) р ,

( ) р ;

р ;

0 1

1

21 1 0

11

21 0 1

1 1

3

3

2 = 0.1 ; p (x >- 0.5) = 15/16 .

№ Mξ Mη Dξ Dη σξ ση cov ρ F(x0,y0)

7.1 0,73 0,96 1,457 0,678 1,207 0,824 -0,501 -0,504 0,340

7.2 1,62 -0,29 1,116 0,690 1,056 0,831 0,090 0,102 0,160

7.3 1,37 1,86 1,213 0,560 1,101 0,749 0,092 0,111 0,340

7.4 3,74 2,92 4,692 2,714 2,166 1,647 0,059 0,017 0,340

7.5 2,35 3,44 3,248 2,486 1,802 1,577 0,296 0,104 0,580

7.6 -0,66 -0,08 5,924 2,716 2,434 1,648 -0,213 -0,053 0,220

7.7 -0,30 -0,36 6,270 5,630 2,504 2,373 -0,888 -0,149 0,000

7.8 0,30 1,15 0,530 1,128 0,728 1,062 0,095 0,123 0,150

7.9 1,01 0,17 0,690 1,221 0,831 1,105 0,158 0,172 0,580

7.10 1,28 0,26 1,742 4,772 1,320 2,185 0,267 0,093 0,580

7.11 3,22 2,38 2,312 4,616 1,520 2,148 1,036 0,317 0,450

7.12 -0,27 2,07 7,037 3,725 2,653 1,930 2,149 0,420 0,590

7.13 0,28 -1,44 2,162 4,886 1,470 2,211 1,323 0,407 0,590

7.14 -1,18 0,86 3,548 5,340 1,884 2,311 1,095 0,252 0,360

7.15 0,28 0,39 5,442 1,278 2,333 1,130 0,651 0,247 0,400

7.16 -1,14 -0,76 2,780 1,002 1,667 1,001 0,294 0,176 0,370

№ Mξ Mη Dξ Dη σξ ση cov ρ

7.17 1,500 1,000 0,583 0,444 0,764 0,667 -0,167 -0,327

7.18 0,500 0,333 0,536 0,317 0,732 0,563 0,119 0,289

7.19 1,800 1,200 0,360 0,360 0,600 0,600 -0,060 -0,167

7.20 1,000 1,000 0,889 0,889 0,943 0,943 -0,444 -0,500

7.21 1,800 0,900 0,720 0,630 0,849 0,794 -0,540 -0,802

7.22 1,635 1,269 0,263 0,357 0,513 0,597 -0,124 -0,405

7.23 0,667 1,000 0,444 0,500 0,667 0,707 0 0

7.24 1,000 1,500 0,667 0,750 0,816 0,866 0 0

7.25 0,375 0,375 0,401 0,401 0,633 0,633 -0,057 -0,143

7.26 1,000 0,660 0,429 0,392 0,655 0,626 0,064 0,157

83

7.272

20

A ; )

25)(

24(

1),(

2

yarctg

xarctgyxF . 7.28

))((

1

cdabA

;

).,()/()()(

),,()/()()(

),,(1

,))((

))((

,0

),(

dycbxприcdcyyF

dybxaприabaxxF

dybxпри

никапрямоугольвнутриcdab

cyax

cyилиaxпри

yxF

7.29 12963 aaaaP ;

000

),0,0(ln8),(

22 22

yилиxпри

yxприaaxyyxf

yx

.

7.30 3

3

Rc

; )

3

21(

32

2

R

a

R

aP .

7.32

0/1

,0/1),(

mnпри

mnпри ;

m

n

.

7.33

2/,0),(0

,2/,0),(coscos),(

yxпри

yxприyxyxf .

M = M =/2-1; D = D = - 3; cov(, ) = 0;

xxF sin)( при ]2/,0[ x ; yyF sin)( при ]2/,0[ y ;

).00(0

),2/,2/(1

),2/0,2/()(

),2/,2/0()(

),(

yилиxпри

yxпри

yxприyF

yxприxF

yxF

7.34 2

1

Ra

. При (|x|R, |у|R): 22

2

2)( xR

Rxf

, 22

2

2)( yR

Ryf

, и

зависимы, т.к. )()(),( yfxfyxf ; 2

11arcsin

1)(

2

2

R

x

R

x

R

xxF

.

2

11arcsin

1)(

2

2

R

y

R

y

R

yyF

.

84

7.35 222

1)|(

xRxyf

; 7.36 ;0),cov(;4/2 RDD и не корре-

лированны. 7.37 ;0

,/1),(

2


квадратавнутриayxf Внутри квадрата:

;22

1)|(;

22

1)|(;

22)(;

22)(

22ya

yxfxa

xyfa

yayf

a

xaxf

0),cov(;12/2 aDD , и зависимы, но не коррелированы.

7.38

.23;3

),(

32

3

22

R

a

R

aP

R

yxRyxf

7.39 Случайные величины и независимы; 22 1

1)(;

1

1)(

yyf

xxf

.

7.2.14. а = 1;

).1,1(1

),10,1(2/)1()(

),1,10(2/)1()(

,000

,2/)(

),(

yxпри

yxприyyyF

yxприxxxF

yилиxпри

квадратавнутриyxxy

yxF

,102/1)(,102/1)( yприyyfxприxxf

квадратавнутри

x

yxxyf

y

yxyxf

2/1)|(

2/1)|(

, 144

11,

12

7 DDMM ,

cov()= - 1/144. Случайные величины и зависимы.

7.2.15. 112

1

e

a , )10,10(),( yxприyaeyxf x,

:)10,10(.

12

7,

14

53

,102/1)(;102/1)(

1

1

yxПриMe

eM

yприyyfxприaexf x

.

148

13),cov(,

2/1)|(,

2/1)|(

1

1

e

e

ae

yaexyf

y

yaeyxf

x

xx

Случайные

величины и зависимы.

7.2.16. 112

1

e

a ,

).1,1(1

),10,1(2/)1()(

),1,10(2/1)(

,000

,]2/1[

),(

yxпри

yxприyyyF

yxприxeaxF

yилиxпри

квадратавнутриxyeay

yxF x

x

85

Остальные ответы приведены в предыдущей задаче. Случайные величины

и зависимы.

8.1.

-3 -1 1 3 5

p k 0.1 0.35 0.3 0.1 0.15 .

8.2.

2 3 4 5 7 8 9

p k 0.05 0.1 0.2 0.3 0.1 0.15 0.1 ;

2/ 7 4/ 7 2/3 4/ 5 4/ 3 2 4

p k o.15 0.1 0.2 0.1 0.3 0.05 0.1 .

8.3.

-5 1 3

pk 0.1 0.6 0.3

8.5. .2

1)(

2

2

2

)(

mxnl

ex

xf

8.6. а) f (x) = 0 при х 0 , f (x) = 12

х ех при х > 0;

б) f (x) = 0 при х < 0 , f (x) = 4 xex2 2

при х 0;

в) f (x) = 0 при х < 0 , f (x) = 4 ex e x2 2( )

при х 0;

г) f (x) = 0 при х 0 и х 1 , f (x) = 1 при 0 < х < 1.

8.7. р = р 22 = 0.2; - - /2 /2 0 3 /2 .

р к 0.05 0.35 0.2 0.1 0.3 ,

k -1 0 1

p k 0,35 0,3 0.35 . 8.8. M = 0.7 , D = 6.71; M = 5.5,

D = 4.15; M = 7.213, D = 1.059 ; M=1, D = 4.8; M =0, D = 0.7.

8.9. M= 1.9 , D= 7.29 . 8.10. M= -6 , D=29. 8.11. M=0, D =1/3.

8.12. F x

п и x

x x п и x

п и x

( )

р ;

р ;

р ;

0 0

0 1

1 1

f x

п и x и x

x п и x ( )

р ;

р ;

0 0 1

3

20 1

M= 3/5, D =12/175.

86

8.13. M = 19

15 ;

;3,1

;31,)11)(1(12

1

;1,0

xпри

xприxx

xпри

F

f

п и x и x

x п и x

0 1 3

1

12

3

21 1 1 3

р ;

( ) р . 8.14. M = a + b + ;

D = 2

2 +

2

2 + 2

. 8.15. M =

4R

; D = 2R

2(1-

82) .

8.16. 7.207 . 8.17. 40

см . 8.18. М =

1

4(b + а) (b

2 + a

2) ;

D = b a

b a

b a b a7 7 2 2 2 2

7 16

( )

( ) ( ) . 8.19. M = (M)

2 + D = m

2 +

2.

8.20. D = D = ( 2

+ 2 )

2 ; =

2 2

2 2

2 2

2

m .

8.21. M = ( )a M bi i ii

n

1

; D = a Di ii

n

2

1

.

8.22. M 1

1n ii

n

= m;

n

i

in 1

1 =

D

n . 8.23. 0.317 .

8.24. М [m] = pkk

n

1

, D[m] =

n

k

kp1

(1- p i) , [m] = D[m] .

8.25. M = L2

3; D =

4

45

2 4 L.

87

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................................ 3

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ

ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................................................................................................... 3 1.1 Конечная схема ............................................................................................................................................. 3 1.2 Элементы комбинаторики ............................................................................................................................. 5 1.3 Геометрическая вероятность ......................................................................................................................... 8 1.4 Статистическое определение вероятности ................................................................................................... 9 1.5 Задачи для упражнений ................................................................................................................................. 9

2 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ..................................................................................................................... 13 2.1 Основные понятия ....................................................................................................................................... 13 2.2 Теорема сложения вероятностей ................................................................................................................. 13 2.3 Теоремы умножения вероятностей ............................................................................................................. 14 2.4 Вероятность наступления хотя бы одного события ................................................................................... 16 2.5 Задачи для упражнений ............................................................................................................................... 18

3 ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ БАЙЕСА ......................... 20 Задачи для упражнений .................................................................................................................................... 23

4 ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЫТОВ. СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ ........ 25 Задачи для упражнений .................................................................................................................................... 26

5 ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ....................................................................... 29 5.1 Ряд распределения ....................................................................................................................................... 29 5.2 Функция распределения .............................................................................................................................. 32 5.3 Числовые характеристики дискретной случайной величины .................................................................... 34 5.4 Задачи для упражнений ............................................................................................................................... 37

6 НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.................................................................... 40 6.1 Функция распределения и плотность вероятности ..................................................................................... 40 6.2 Числовые характеристики непрерывной случайной величины.................................................................. 42 6.3 Задачи для упражнений. .............................................................................................................................. 47

7 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ................................................................................ 51 7.1 Двумерная дискретная случайная величина ............................................................................................... 51

7.1.1 Таблица распределения ........................................................................................................................ 51 7.1.2 Функция распределения ....................................................................................................................... 53 7.1.3 Условные законы распределения ......................................................................................................... 54 7.1.4 Независимость случайных величин ..................................................................................................... 56 7.1.5 Числовые характеристики двумерной дискретной случайной величины. .......................................... 56 7.1.6 Задачи для упражнений. ....................................................................................................................... 58

7.2 Двумерная непрерывная случайная величина ............................................................................................ 62 7.2.1 Функция распределения и плотность вероятности двумерной непрерывной случайной величины .. 62 7.2.2 Условные законы распределения. Независимость ............................................................................... 64 7.2.3 Числовые характеристики двумерной непрерывной случайной величины ........................................ 65 7.2.4 Задачи для упражнений ........................................................................................................................ 67

8 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ................................................................................ 70 8.1 Законы распределения функций случайных величин................................................................................. 70 8.2 Числовые характеристики функций случайных величин ........................................................................... 72 8.3 Задачи для упражнений ............................................................................................................................... 75

9 ОТВЕТЫ ................................................................................................................................ 78

88

Кафедра прикладной математики

Учебное пособие

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Людмила Викторовна Аджемян

Вера Петровна Гончарук

Андрей Григорьевич Курицын

Иван Яковлевич Пиржуков

Валерий Олегович Поляков

Сергей Иванович Чумаков

Электронная версия

Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(Технический университет)

190013, Санкт-Петербург, Московский пр., 26.

Date post:	07-Jul-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	10 times
Download:	0 times

Задачник по теории...

Documents