Page 1
04.12.2018
1
Technická kybernetika
Kvalita regulace
Syntéza regulačního obvodu
Akademický rok 2016/2017
Připravil: Radim Farana
Obsah
• Kvalita regulace.
• Syntéza regulačního obvodu.
– Experimentální metody.
– Analytické metody.
– Analyticko-experimentální metody.
2
Kvalita regulaceCíl regulace může být plněn s různou kvalitou, a to pouze za předpokladu, že
daný regulační obvod je stabilní. Z těchto vztahů je rovněž zřejmé, že kvalitu
regulace (regulačního pochodu) lze posuzovat v podstatě ve třech oblastech:
časové, kmitočtové a komplexní proměnné. Slouží k tomu různá kritéria a
ukazatelé.
Časová oblast
Časová oblast je u většiny techniků i projektantů velmi oblíbená, protože
umožňuje často rychlé a intuitivní zhodnocení kvality regulace na základě
průběhu odezvy regulované veličiny y(t) vyvolané skokovou změnou (polohy)
žádané w(t) nebo poruchové v(t) veličiny.
Page 2
04.12.2018
2
Časová oblast
4
Pro současné působení žádané w(t) i poruchové v(t) veličiny pak na základě
principu linearity (superpozice) platí
)()()()()()()( sYsYsVsGsWsGsY vwvywy
)()()( tytyty vw
kde je:
yw(t) – odezva vyvolaná žádanou veličinou w(t) při v(t) = 0,
yv(t) – odezva vyvolaná poruchovou veličinou v(t) při w(t) = 0.
Časová oblast
5
Odezvy regulačního obvodu na skokové změny:
a) žádané veličiny w(t),
b) poruchové veličiny v(t)
působící na výstupu regulované soustavy v případě nulových trvalých
regulačních odchylek
Stupeň astatismu
6
Odezvy regulačního obvodu na skokové změny žádané veličiny w(t)
a poruchové veličiny v(t) působící na výstupu regulované soustavy s nulovými
trvalými regulačními odchylkami odpovídají případu, kdy otevřený regulační
obvod obsahuje nejméně jeden integrační člen.
Počet integračních členů otevřeného regulačního obvodu udává stupeň
astatismu (typ) q regulačního obvodu, tzn. v tomto případě q ≥ 1.
Nezáleží při tom, zda integrační člen (činnost, složka) je obsažen v regulátoru,
či regulované soustavě.
Pokud poruchová veličina v(t) působí na vstupu regulované soustavy, pak je
třeba rozlišovat případy, kdy regulovaná soustava je integrační (tj. obsahuje
integrační členy), nebo proporcionální (tj. neobsahuje integrační členy).
Page 3
04.12.2018
3
Trvalé regulační odchylky
7
Odezvy regulačního obvodu na skokové změny:
a) žádané veličiny w(t),
b) poruchové veličiny v(t)
působící na vstupu proporcionální regulované soustavy v případě
regulátoru s integrační složkou
Trvalé regulační odchylky
8
Odezvy regulačního obvodu na skokové změny:
a) žádané veličiny w(t),
b) poruchové veličiny v(t)
působící na vstupu integrační regulované soustavy v případě
regulátoru bez integrační složky Trv
alé
regula
ční
odch
ylk
y b
y b
ylo
možn
é
odst
ranit
pouze
použi
tím
reg
ulá
toru
sin
tegra
ční
složk
ou,
tj.
zvý
šit
typ r
egula
čníh
o o
bvodu n
a 2
(q=
2)
Trvalé regulační odchylky
9
Trvalé regulační odchylky lze snadno určit na základě vztahů
)()()()()()()( sEsEsVsGsWsGsE vwvewe
)(lim)(),(lim)(00
ssEessEe vs
vws
w
kde je:
ew(∞) – trvalá regulační odchylka způsobená žádanou veličinou w(t),
ev(∞) – trvalá regulační odchylka způsobená poruchovou veličinou v(t).
Uvedené vztahy platí i pro jiné než skokové změny polohy vstupních signálů
w(t) a v(t), např. pro skokové změny rychlosti nebo zrychlení.
Obecně lze trvalé regulační odchylky snížit zvýšením zesílení regulátoru kP
(v případě použití regulátoru I snížením integrační časové konstanty TI).
Je nutné si uvědomit, že pokud poruchová veličina v(t) působí na vstupu
integrační regulované soustavy, pak je třeba k volbě regulátoru a jeho seřízení
přistupovat uvážlivě nebo použít regulátor se dvěma stupni volnosti.
Page 4
04.12.2018
4
Trvalé regulační odchylky
q = stupeň astatismu
)(tw
t
)(we
)(ty
q = 0
skok
polohy
)(tw
t
0)( we
)(ty
q = 1 q = 2
)(tw
t
0)( we
)(ty
skok
rychlosti
)(tw
t
)(we
)(ty
)(tw
t
)(we
)(ty
t
)(we
)(ty
)(tw
t
0)( we
)(ty
)(tw
)(tw
t
)(we
)(ty
t
)(tw
)(we
)(ty
skok
zrychlení
Kvalita regulace v časové oblasti
11
Z praktického hlediska jsou pro posouzení kvality regulace nejdůležitější dva
ukazatelé, a to doba regulace tr a relativní překmit (přeregulování)
)(,)(
)(mm
mtyy
y
yy
kde je:
ym – maximální hodnota regulované veličiny
při překmitu,
tm – doba dosažení maximální hodnoty ym,
y(∞) – ustálená hodnota regulované veličiny.
Kvalita regulace v časové oblasti
12
Doba regulace tr je dána časem, kdy regulovaná veličina y(t) vejde do pásma o
šířce 2Δ, tj. y(∞) Δ, kde tolerance regulace je dána vztahem
%)51(05,001,0),( y
Relativní tolerance regulace δ má nejčastěji hodnoty 0,05 nebo 0,02 v
souvislosti s přesností použitého měřicího členu.
Page 5
04.12.2018
5
Kvalita regulace v časové oblasti
13
Případ κ = 0 odpovídá nekmitavému (aperiodickému) regulačnímu pochodu,
který je požadován u procesů, kde překmit by mohl způsobit nežádoucí účinky
(jsou to především tepelné a chemické procesy, ale také pohyby robotů
a manipulátorů apod.).
U nekmitavého regulačního pochodu se často požaduje, aby měl minimální
dobu regulace tr. Takový nekmitavý regulační pochod se nazývá mezní.
Pro κ > 0 regulační pochod je kmitavý a je rychlejší než nekmitavý pochod.
Rychlost nárůstu regulované veličiny y(t) se dá ocenit pomocí rychlosti odezvy
to. Je to doba, za kterou regulovaná veličina y(t) poprvé dosáhne ustálené
hodnoty y(∞).
Rychlost odezvy to bývá také definována jako doba od dosažení hodnoty 0,1y(∞)
do dosažení hodnoty 0,9y(∞). Takovým způsobem definovaný ukazatel rychlosti
nárůstu regulované veličiny y(t) je použitelný jak pro kmitavé, tak i nekmitavé
regulační pochody a dokonce pro pochody s dopravním zpožděním.
Pro většinu procesů je vyhovující regulační pochod s relativním překmitem
okolo 0,05 (5 %).
Integrální kritéria
14
Pro komplexní zhodnocení kvality regulačního pochodu jsou velmi vhodná
integrální kritéria.
Vyšrafovaná plocha na následujících obrázcích vyjadřuje tzv. regulační
plochu.
Je zřejmé, že čím regulační plocha bude menší, tím vyšší bude kvalita
regulace. Aby se nemuselo pracovat se dvěma průběhy y(t) a w(t), pracuje
se pouze s regulační odchylkou e(t) = w(t) – y(t)
a předpokládá se, že e(∞) = ew(∞) = 0. Pokud e(∞) ≠ 0, pak ve všech
vztazích na integrální kritéria je třeba místo e(t) dosadit výraz e(t) – e(∞).
Integrální kritéria
15
Geometrická interpretace
integrálních kritérií:
a) regulační plocha,
b) lineární regulační plocha
IIE,
c) absolutní regulační plocha
IIAE,
d) kvadratická regulační
plocha IISE
Page 6
04.12.2018
6
Integrální kritéria
16
Lineární regulační plocha
0
d)( tteI IE
IIE (IE = Integral of Error)
Absolutní regulační plocha
IIAE (IAE = Integral of Absolute Error)
0
d)( tteI IAE
Kvadratická regulační plocha
IISE (ISE = Integral of Squared Error)
0
2d)( tteI ISE
Kritérium ITAE
IITAE (ITAE = Integral of Time multiplied
by Absolute Error)
0
d)( ttetI ITAE
Integrální kritéria
17
Pro daný stupeň astatismu q a stupeň n charakteristického mnohočlenu
regulačního obvodu N(s) byly simulačně minimalizací kritéria ITAE získány
tzv. standardní tvary přenosů řízení. Pro q = 1
)4,1(4,1)(
4,1)(2
2
2
2
22
2
ass
a
ass
asG
aass
asGn owy
.)15,275,1(15,275,1
)(
15,275,1)(3
22
3
223
3
3223
3
aasss
a
saass
asG
asaass
asGn
o
wy
Parametr a přizpůsobuje časové měřítko.
Integrální kritéria
18
Minimalizací zvoleného integrálního kritéria se získají hodnoty stavitelných
parametrů zvoleného regulátoru. Minimalizace může být prováděna i
simulačně.
Integrální kritéria IIAE a IITAE lze s výhodou použít při porovnávání
a hodnocení kvality různých regulačních pochodů.
Page 7
04.12.2018
7
Seřizování regulátorů
19
Syntéza regulačního obvodu patří k nejdůležitějším činnostem při návrhu
regulačního obvodu. Skládá se z volby vhodného typu regulátoru a jeho
následného seřízení z hlediska zadaných požadavků na kvalitu regulace.
Vznik trvalých regulačních odchylek je většinou nežádoucí, a proto se volí
takový regulátor, aby stupeň astatismu regulačního obvodu q = 1. Vyšší stupeň
astatismu q zaručuje sice nulovost trvalých regulačních odchylek vyvolaných
i jinými skokovými změnami než změnami polohy, ale současně způsobuje
náchylnost regulačního obvodu k nestabilitě a podstatným způsobem
znesnadňuje jeho seřízení. Stupeň astatismu q = 0 lze použít pouze u velmi
jednoduchých regulačních obvodů s nízkými požadavky na kvalitu regulace.
V případě regulace soustav s dopravním zpožděním by byly trvalé regulační
odchylky nepřípustně veliké. Regulátor rovněž nesmí způsobit strukturální
nestabilitu. Všeobecně platí, že regulátor obsahující více složek zajistí vyšší
kvalitu regulace.
Zieglerovy – Nicholsovy experimentální metody
20
Zieglerovy – Nicholsovy metody patří mezi klasické metody experimentálního
seřizování konvenčních regulátorů. Jsou vhodné pro úvodní seřízení regulátorů,
protože dávají většinou veliký překmit v rozmezí od 10 % do 60 %, v průměru
pro různé regulované soustavy asi 25 %.
Seřízení Zieglerovými – Nicholsovými experimentálními metodami bývá
vhodné pro stabilizující regulaci v případě působení poruchové veličiny v na
vstupu regulované soustavy.
John G. Ziegler* 21. 8. 1909
+ 9. 12. 1997 Scottsdale, Arizona, USAhttps://en.wikipedia.org/wiki/John_G._Ziegler
Nathaniel B. Nichols* 1914, Nottawa Township, Mich., USA
+ 17. 4. 1997https://i.ytimg.com/vi/r_mCgJ70YLY/hqdefault.jpg
Metoda přechodové charakteristiky
21
Metoda přechodové charakteristiky (metoda otevřeného regulačního
obvodu) vychází z přechodové charakteristiky proporcionální regulované
soustavy, ze které se určí doba průtahu Tu, doba náběhu Tn a koeficient
přenosu k1.
Regulátor *Pk *
IT *DT
P u
n
Tk
T
1
– –
PI u
n
Tk
T
1
9,0 uT33,3 –
PID u
n
Tk
T
1
2,1 uT2 uT5,0
Hodnoty stavitelných parametrů
regulátorů pro Zieglerovu –
Nicholsovu metodu přechodové
charakteristiky
)(thS
t0 Tu Tn
Tp
S
)(Sh
Page 8
04.12.2018
8
Metoda přechodové charakteristiky
22
Typická přechodová charakteristika regulačního obvodu seřízeného
Zieglerovými – Nicholsovými experimentálními metodami
Metoda kritických parametrů
23
Metoda kritických parametrů (metoda uzavřeného regulačního obvodu)
vychází ze skutečného regulačního obvodu, který se při vyřazené integrační
činnosti (TI → ∞) a derivační činnosti (TD → 0) zvyšováním zesílení
regulátoru kP přivede na kmitavou mez stability. Pak z periodického průběhu
libovolné veličiny regulačního obvodu se odečte kritická perioda Tk a
z odpovídajícího nastavení regulátoru – kritické zesílení kPk
Hodnoty stavitelných parametrů regulátorů
pro Zieglerovu – Nicholsovu metodu
kritických parametrů
Regulátor *Pk *
IT *DT
P Pkk5,0 – –
PI Pkk45,0 kT83,0 –
PID Pkk6,0 kT5,0 kT125,0
Metoda kritických parametrů
24
Metoda kritických parametrů je použitelná i pro regulátory typu I. V tomto
případě se regulační obvod přivede na kmitavou mez stability vhodným
snížením integrační časové konstanty TI. Při vystoupení kmitavé meze
stability se z nastavení regulátoru odečte kritická hodnota integrační
časové konstanty TIk a pak pro seřízení se použije hodnota
IkI TT 2*
Pokud je požadován nekmitavý regulační pochod, pak se volí
IkI TT )54(*
Page 9
04.12.2018
9
Metoda čtvrtinového tlumení
25
Metoda čtvrtinového tlumení je modifikací Zieglerovy – Nicholsovy
metody kritických parametrů. Na rozdíl od této metody nepředpokládá
rozkmitání regulačního obvodu, co umožňuje pracovat v lineární oblasti a
použití u většího množství regulovaných soustav
Seřízení regulačního obvodu metodou
čtvrtinového tlumení
Hodnoty stavitelných parametrů
regulátorů pro metodu čtvrtinového
tlumení
Regulátor *Pk *
IT *DT
P 4/1Pk – –
PI 4/19,0 Pk 4/1T –
PID 4/12,1 Pk 4/16,0 T 4/115,0 T
Metoda optimálního modulu
26
Mezi analytické metody seřizování regulátorů patří metoda (kritérium)
optimálního modulu. Vychází z požadavku na přenos řízení, resp. modul
kmitočtového přenosu řízení
1)(1)j(1)( wywywy AGsG
Předpokládá se, že požadovaný průběh Awy(ω)
by měl být monotónně klesající funkcí
0
wyA
10 wyA Je zřejmé, že platí
1)(1)(2
wywy AA
Je to důležité, protože s druhou
mocninou se lépe pracuje a navíc platí
222j)j)(j(
Metoda optimálního modulu
27
Má-li přenos regulované soustavy GS(s) některý ze tvarů uvedených
v tabulce, pak použitím doporučených regulátorů a odpovídajících hodnot
stavitelných parametrů (T = 0) se obdrží tzv. standardní tvar přenosu řízení
iww
www
wy TTsTsT
sG 2,2
1,
12
1)(
22
V tomto případě není třeba kontrolovat stabilitu regulačního obvodu,
protože tento tvar je rovněž standardní tvar kritéria ITAE
obecně při použití metody optimálního modulu je třeba kontrolovat stabilitu a
nejlépe simulačně ověřit kvalitu regulace.
Page 10
04.12.2018
10
Metoda optimálního modulu
28
REGULOVANÁ
SOUSTAVA
REGULÁTOR < ANALOGOVÝ
ČÍSLICOVÝ
T = 0
T > 0
TYP *Pk
*IT
*DT
1 11
1
sT
k I – TTk 5,02 11 –
2 11
1
sTs
k P
112
1
Tk – –
3 11 21
1
sTsT
k
21 TT
PI 21
*
2 Tk
TI TT 5,01 –
4 11 21
1
sTsTs
k
21 TT
PD TTk 5,02
1
21 – TT 5,01
5 111 321
1
sTsTsT
k
321 TTT
PID TTk
TI
5,02 31
*
TTT 21
421
21 T
TT
TT
Hodnoty stavitelných parametrů regulátorů pro
metodu optimálního modulu
Metoda optimálního modulu
29
Při seřizování regulátorů podle předchozí tabulky byla použita tzv. kompenzace
časových konstant, která spočívá ve vzájemném vykrácení jednoho nebo dvou
stabilních dvojčlenů regulované soustavy jedním dvojčlenem u regulátorů PI
a PD nebo dvěma dvojčleny u regulátoru PID. Dojde tím ke zjednodušení
dynamiky regulačního obvodu, ale současně může dojít k pomalejším odezvám,
protože stabilní nuly čitatele přenosu řízení Gwy(s) mohou regulační pochod
urychlit.
Metoda optimálního modulu může být použita jak pro analogové regulátory
(T = 0), tak i pro číslicové regulátory (T > 0),
Metoda požadovaného modelu
30
Metoda požadovaného modelu (dříve též nazývaná metoda inverze
dynamiky) je analyticko – experimentální metoda seřizování konvenčních
regulátorů, která vychází z požadovaného modelu uzavřeného regulačního
obvodu, tj. z požadovaného přenosu řízení ve tvaru
sT
sTwyd
das
a
sW
sYsG
ee)(
)()(
Kde je a – zesílení otevřeného regulačního obvodu
Je to metoda velmi jednoduchá, která využívá kompenzaci časových konstant,
zajišťuje stupeň astatismu regulačního obvodu q = 1 (tj. nulové trvalé regulační
odchylky způsobené skokovými změnami polohy žádané veličiny w a
poruchové veličiny v působící na výstupu regulované soustavy) a odpovídající
volbou zesílení otevřeného regulačního obvodu a umožňuje dosáhnout
požadovaného relativního překmitu κ v rozmezí 0 do 0,5 (50 %).
Page 11
04.12.2018
11
Metoda požadovaného modelu
31
Závislost relativního překmitu κ na zesílení otevřeného regulačního obvodu a
Metoda požadovaného modelu
32
Zesílení otevřeného regulačního obvodu a lze získat analyticky pro
nekmitavý regulační pochoddT
ae
1 a pro kmitavou mez stability
dTa
2
pro jiné hodnoty relativního překmitu κ byla simulačně určena jeho závislost
na dopravním zpoždění Td
dTa
1
0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
1,282 0,984 0,884 0,832 0,763 0,697 0,669 0,640 0,618 0,599 0,577
2,718 1,944 1,720 1,561 1,437 1,337 1,248 1,172 1,104 1,045 0,992
Závislost koeficientů a na relativním překmitu κ
Metoda požadovaného modelu
33
REGULOVANÁ
SOUSTAVA
REGULÁTOR < ANALOGOVÝ T = 0
ČÍSLICOVÝ T > 0
TYP Pk
IT
DT
1 sTd
s
k e
1 P
1)(
1
kTT d – –
2 sTd
sT
k
e
11
1 PI
1)( kTT
T
d
I
21
TT –
3
sTd
sTs
k
e
11
1 PD
1)(
1
kTT d –
21
TT
4 sTd
sTsT
k
e
11 21
1
21 TT
PID 1)( kTT
T
d
I
TTT 21 421
21 T
TT
TT
5
sTd
sTsT
k
e
12 0022
0
1
0,5 < 10
PID 1)( kTT
T
d
I
TT 002 42 0
0 TT
Hodnoty stavitelných parametrů regulátoru pro
metodu požadovaného modelu
Page 12
04.12.2018
12
Metoda požadovaného modelu
34
Přenos doporučeného regulátoru GR(s) pro některou z regulovaných soustav
s přenosem GS(s) se pro požadovaný přenos řízení získá ze vztahu
)(1
)(
)(
1)(
)()(1
)()()(
sG
sG
sGsG
sGsG
sGsGsG
wy
wy
S
R
SR
SRwy
Např. pro regulovanou soustavu s přenosem sTS
d
sT
ksG
e
1)(
1
1
(viz řádek 2 v tabulce pro T = 0)
sT
ksk
sTa
as
aas
a
k
sTsG
I
P
sT
sT
sT
sT
sTR
d
d
d
d
d *
*
1
1
1
1 11
)1(
ee
1
ee
e
1)(
1*
1
**
, TTk
aTk I
IP příp. po uvažování
dTa
1
1*
1
**
, TTTk
Tk I
d
IP
Typický příklad
35
31
2)(
ssGS
Určete kpk, ɷk, Tk pro regulační obvod s PID regulátorem a regulovanou
soustavou, popsanou přenosem:
Použijeme Zieglerovu-Nicholsovu metodu kritických parametrů,
vyřadíme I a D složku regulátoru
pR ksG )(
133
2
121
2
1
2)(
2323
sss
k
sss
k
s
ksG
ppp
O
js
p
Osss
kjG
133
2)(
23
Typický příklad
36
1)(3)(3)(
2)(
23
jjj
kjG
p
O
133
2)(
23
jj
kjG
p
O
jk
jGp
O 32331
2)(
j
j32
32
331
331.
2322
32
331
32312)(
jkkjG
pp
O
1331
312)(
2322
2
p
O
kjP
0331
32)(
2322
3
p
O
kjQ
Page 13
04.12.2018
13
Typický příklad
37
0331
32)(
2322
3
p
O
kjQ
0323 pk
0322 pk 00
032 3 k
3
22
k
kT
Typický příklad
38
3k
1
331
312)(
22222
2
p
O
kjP
1
333331
3312
)(2
222
2
2
p
O
k
jP
1
3333.31
3.312)(
22
p
O
kjP
1
8
82)(
2
p
O
kjP
2882 pk 42
8pkk 732,13 k 628,3
3
22
k
kT
Typický příklad
39
Matlab
B=[0 0 0 8];
A=[1 3 3 1];
Gs=tf(B,A);
figure,bode(Gs), grid on;Bode Diagram
Frequency (rad/s)
10-1
100
101
-270
-180
-90
0
System: Gs
Frequency (rad/s): 1.74
Phase (deg): -180
Phase (
deg)
-60
-40
-20
0
20 System: Gs
Frequency (rad/s): 1.74
Magnitude (dB): -0.0879
Magnitude (
dB
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Page 14
04.12.2018
14
Typický příklad
40
Regulátor *Pk *
IT *DT
P Pkk5,0 – –
PI Pkk45,0 kT83,0 –
PID Pkk6,0 kT5,0 kT125,0
0,6 2, 4p pk
k k
814,15,0 kI TT
4535,0125,0 kD TT
Nastavení pro Matlab: 2, 4p
k 1,323I
k 1,0884D
k
