1 ALGORITMIZACE DEFORMAČNÍ METODY 1
1 Algoritmizace deformační metody
Příklad (příhradová konstrukce)
• Cílem je určit automatizovaným způsobem, vhodným pro implementacina počítači
1. posuny jednotlivých styčníků konstrukce
2. průběh vnitřních sil na konstrukci
1 ALGORITMIZACE DEFORMAČNÍ METODY 2
• Konstrukci rozdělíme na– tyčové pruty (prvky) 1–5,
– styčníky (uzly) 1–4
• Neznámé : posuny uzlových bodů
• Podmínky, ze kterých je určíme : podmínky rovnováhy v uzlech
• Známé hodnoty posunů ⇒– Posun libovolného bodu konstrukce (mění se lineárně po prvku)
– Hodnoty vnitřních sil
• Vyjdeme z analýzy referenčního prvku, ze kterého vhodným způsobem„vyskládámeÿ celou konstrukci
2 MATICE TUHOSTI PRVKU 3
2 Matice tuhosti prvku
• Prvky matice tuhosti jsou koncové síly, které vzniknou, udělíme-li da-nému uzlu jednotkový posun, zatímco ostatní posuny jsou nulové.
• Z principu superpozice vyplývá, že bude-li posun bodu 1 = u1 a posunbodu 2 = u2, pak
X1 = k11u1 + k12u2
X2 = k21u1 + k22u2
• Maticově X1
X2
= EA
L
1 −1−1 1
u1
u2
• Kompaktní zápis Re = K
ere
3 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 4
3 Transformace souřadnic
Převod z referenčního prvku na obecný : transformace z lokálního do glo-bálního souřadnicového systému L 7→ G
3.1 Transformace geometrie
L 7→ G : xg = x1(1−x`
L) + x2
x`
L
yg = y1(1−x`
L) + y2
x`
L
G 7→ L : x` =xg − x1x2 − x1
L =yg − y1y2 − y1
L
3 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 5
3.2 Transformace uzlových posunů
• L 7→ G
ug1 = u`
1 cosα ug2 = u`
2 cosα
vg1 = u`
1 sinα vg2 = u`
2 sinα
• Maticově
ug1
vg1
ug2
vg2
=
cosα 0
sinα 0
0 cosα
0 sinα
u`
1
u`2
• Kompaktní zápis : rg
e = TTer`
e
• G 7→ L : r`e = T
erg
e
3 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 6
3.3 Transformace koncových sil
• Úplně stejné jako u uzlových posunů (transformace vektorů)
• L 7→ G : Rge = TT
eR`
e, kde R`e = {X`
1, X`2}T, R
ge = {X
g1 , Y
g1 , Xg
2 , Yg2 }T
• G 7→ L : R`e = T
eRg
e
3.4 Transformace matice tuhosti
• Práce koncových sil na uzlových posunech je (jako skalární veličina)nezávislá na pootočení soustavy souřadnic
W `e =
(r`
e
)TR`
e =(r`
e
)TK`
er`
e = (rge)T
TTeK`
eT
erg
e = (rge)T
Kgrg
e
= W ge
• Tedy Kg
e= TT
eK`
eT
e
4 LOKALIZACE 7
4 Lokalizace
• Sečtení příspěvků od jednotlivých prvků + přiřazení koncových silsprávným uzlům – tvz. lokalizace
• Výsledkem je soustava rovnic
K r = R,
K =5A
e=1Kg
e, R =
5A
e=1Rg
e
• Technika kódových čísel
5 APLIKACE NA DANOU KONSTRUKCI 8
5 Aplikace na danou konstrukci
• Prvek č. 1 : L = 6 m, cosα = 0, sinα = 1
T1=
0 1 0 0
0 0 0 1
Kg
1=
EA
6
0 0 0 0
0 1 0 −10 0 0 0
0 −1 0 1
• Prvek č. 2 : L = 5 m, cosα = 4
5 , sinα = − 35
T2=
45 − 35 0 0
0 0 45 − 35
Kg
2=
EA
5
1625 − 1225 − 1625
1225
− 1225925
1225 − 9
25
− 16251225
1625 − 1225
1225 − 9
25 − 1225925
5 APLIKACE NA DANOU KONSTRUKCI 9
• Prvek č. 3 : L = 5 m, cosα = 45 , sinα = 3
5
T3=
45
35 0 0
0 0 45
35
Kg
3=
EA
5
1625
1225 − 1625 − 1225
1225
925 − 1225 − 9
25
− 1625 − 12251625
1225
− 1225 − 925
1225
925
• Prvek č. 4 : L = 8 m, cosα = 1, sinα = 0
T4=
1 0 0 0
0 0 1 0
Kg
4=
EA
8
1 0 −1 00 0 0 0
−1 0 1 0
0 0 0 0
5 APLIKACE NA DANOU KONSTRUKCI 10
• Prvek č. 5: L = 5 m, cosα = 45 , sinα = − 35
T5=
45 − 35 0 0
0 0 45 − 35
Kg
5=
EA
5
1625 − 1225 − 1625
1225
− 1225925
1225 − 9
25
− 16251225
1625 − 1225
1225 − 9
25 − 1225925
• Matice tuhosti jednotlivých prvků je symetrická
•∑řádků =
∑sloupců = 0 ⇒ matice tuhosti prvku je singulární (li-
bovolný posun prvek jako tuhého celku nezmění koncové síly)
• Lokalizací příspěvků jednotlivých prvků získáváme soustavu rovnic
5 APLIKACE NA DANOU KONSTRUKCI 11
0
0
F
0
= EA
16125 +
18 0 − 16
12512125
0 16 +
9125
12125 − 9
125
− 16125
12125
16125 +
16125 +
16125 − 12
125 −12125 +
12125
12125 − 9
125 − 12125 −
12125 +
12125
9125 +
9125 +
9125
u2
v3
u4
v4
• Matice tuhosti konstrukce je symetrická
• Uzly 2 a 3 nejsou propojeny → dopředu víme, že v matici bude 0 –matice tuhosti konstrukce je tzv. řídká (sparse)
•∑sloupců ani
∑řádků není 0⇒ regulární matice
5 APLIKACE NA DANOU KONSTRUKCI 12
• Řešení soustavy lineárních rovnic
EA
0, 253 0 −0, 128 0, 096
0 0, 239 0, 096 −0, 072−0, 128 0, 096 0, 384 −0, 0960, 096 −0, 072 −0, 096 0, 216
u2
v3
u4
v4
=
0
0
F
0
u2
v3
u4
v4
=̇
F
EA
1, 657
−1, 3153, 591
0, 421
• Výpočet vnitřních sil
Nx,e = EAεx,e = EAu`2 − u`
1
L
• Nutno transformovat posuny zpět do lokální soustavy souřadnic
5 APLIKACE NA DANOU KONSTRUKCI 13
• Např. prut č. 2
rg2
.=
F
EA{0;−1, 315; 3, 591; 0, 421}T
r`2
.= T
2rg2
.=
F
EA{0, 789; 2, 620}T
Nx,2.=
F
EA
EA
5(2, 620− 0, 789) .
= 0, 366F
• Obdobně pro další prvky
Domácí úkol. Dopočítejte zbývající vnitřní síly, porovnejte výsledky svýstupem libovolného výpočetního programu.
Domácí úkol. Jak souvisí právě předvedený postup s obecným lokalizač-ním postupem pro bázové funkce naznačeným v první přednášce? Jak je
zajištěno splnění kinematických okrajových podmínek? Vykreslete průběh
bázových funkcí příslušejících bodům 1–4 pro danou konstrukci.
6 SHRNUTÍ A OBECNÝ POSTUP 14
6 Shrnutí a obecný postup
1. Odvození matice tuhosti prvku (a vektorů transformovaných zatížení)
pro referenční prvek, transformace L ↔ G – pouze jednou
2. Rozklad konstrukce na uzly a (konečné) prvky – diskretizace
3. Přiřazení kódových čísel
4. Pro každý prvek : sestavení Kg
ea Rg
e , lokalizace
5. Vyřešení soustavy rovnic K r = R
6. Pro každý prvek : určení r`e, výpočet vnitřních sil
7. Výstup výsledků
Tento postup možno zobecnit na plošné a prostorové konstrukce, trans-
portní jevy . . .
2
6 SHRNUTÍ A OBECNÝ POSTUP 15
Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mítnámět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na [email protected] verze -001: str. 1-3: stylistické úpravy, str. 6, 15: změna „souřadný systémÿ na „souřadnicový systémÿ(na chyby upozornil J. Šejnoha), str. 4: doplněn člen L do vztahu G 7→ L, str. 10 - opraveny transformační
matice a matice tuhosti prvku, str. 11: opraven člen 912 (na chyby upozornila A. Somolová a J. Bažil)
Verze 000
