1 KINEMATIKA HMOTNEHO BODU

Mechanicky pohyb je nejjednodussı forma pohybu, ktera nastava pri premıst’ovanıtelesa nebo jeho castı vzhledem k okolnım telesum. Kinematika dava odpoved’ na otazku:Jak se telesa pohybujı? Neodpovıda na otazku: Proc se telesa pohybujı?

Hmotny bod je myslenkovy model telesa o stejne hmotnosti, jakou ma teleso.Predstavujeme si ho umısteny v tezisti telesa. Hmotnym bodem nahrazujeme teleso,jehoz rozmery a tvar jsou pro sledovany pohyb nepodstatne.Soustava teles, ke kterym vztahujeme pohyb nebo klid sledovaneho telesa, se nazyvavztazna soustava. Pohyb a klid teles je pouze relativnı.Polohu hmotneho bodu urcujeme pomocı soustavy souradnic.Polohovy vektor ~r je vektor s pocatkem v pocatku soustavy souradnic a s koncovymbodem umıstenym v uvazovanem hmotnem bode.Trajektorie hmotneho bodu je souhrn vsech poloh, kterymi hmotny bod pri pohybuprochazı. Podle tvaru trajektorie rozlisujeme pohyby prımocare a pohyby krivocare.Draha s hmotneho bodu je delka trajektorie, kterou hmotny bod opıse za urcitou dobu,s = s(t).Prumerna rychlost vp je skalar, ktery je definovan podılem drahy s a doby t, za kterouhmotny bod tuto drahu urazı.Okamzita rychlost ~v je vektor, ktery urcujeme pomocı zmeny polohoveho vektoruhmotneho bodu.

~v =∆~r

∆t, (1)

kde ∆t je velmi male.Pro velikost okamzite rychlosti platı

v =∆s

∆t, (2)

kde ∆t je velmi male.Zrychlenı ~a je vektor, ktery se tyka casove zmeny vektoru rychlosti, tj. zmeny velikostii smeru vektoru rychlosti.

~a =∆~v

∆t, (3)

kde ∆t je velmi male.Pro velikost zrychlenı a platı

a =|∆~v|∆t

, (4)

kde ∆t je velmi male.U krivocareho pohybu je vhodne rozlozit vektor okamziteho zrychlenı ~a do dvou navzajemkolmych smeru. Vektor ~at, ktery ma smer tecny k trajektorii v danem bode, se nazyvatecne zrychlenı. Vektor ~an, ktery ma smer normaly k trajektorii v danem bode, senazyva normalove zrychlenı. Velikost tecneho zrychlenı at vyjadruje zmenu velikostirychlosti. Velikost normaloveho zrychlenı an vyjadruje zmenu smeru rychlosti. Platı

~a = ~at + ~an (5)

1

Pro velikost a platı

a =√

a2t + a2

n (6)

Podle tvaru trajektorie rozlisujeme pohyby prımocare a krivocare, podle casovezmeny velikosti rychlosti pohyby rovnomerne a nerovnomerne.

Ronomerny prımocary pohyb~v = konst a platı

s = vt + s0, (7)

kde s0 je pocatecnı draha, kterou hmotny bod ma jiz urazenu v case t0.

Rovnomerne zrychleny prımocary pohyb~a = ~at = konst, ~an = 0 a platı

v = at + v0, (8)

kde v0 je velikost pocatecnı rychlosti, kterou hmotny bod ma v case t0. Pro drahu platı

s =1

2at2 + v0t + s0, (9)

kde s0 je pocatecnı draha, kterou hmotny bod ma jiz urazenu v case t0, a v0 je velikostpocatecnı rychlosti, kterou hmotny bod ma v case t0.

Rovnomerne zpomaleny prımocary pohyb~a ma opacny smer nez pocatecnı rychlost ~v0. (Jedna se vlastne o rovnomerne zrychlenyprımocary pohyb se zapornym zrychlenım.) Pro velikost rychlosti a drahu platı

v = v0 − at, (10)

s = −1

2at2 + v0t + s0, (11)

Rovnomerny pohyb po kruznicije nejjednodussı krivocary pohyb, trajektorie hmotneho bodu je kruznice. v = konst,~v 6= konst (menı se smer rychlosti). Urazı-li hmotny bod za dobu ∆t po kruznici drahu∆s, opıse jeho polohovy vektor ~r stredovy uhel ∆ϕ. Platı

∆ϕ =∆s

r. (12)

Pro velikost rychlosti platı

v = r∆ϕ

∆t. (13)

Uhlova rychlost je definovana vztahem

ω =∆ϕ

∆t. (14)

2

a platıv = rω. (15)

Uhlova rychlost je pri tomto pohybu konstantnı.Perioda T je doba, za kterou hmotny bod obehne celou kruznici. Pocet obehu hmotnehobodu za sekundu se nazyva frekvence f . Platı vztahy

f =1

T, (16)

ω = 2πf =2π

T. (17)

Pro stredovy uhel platıϕ = ωt + ϕ0, (18)

kde ϕ0 je uhel, ktery polohovy vektor uz opsal v case t0. Tecne zrychlenı je nulove, alenormalove zrychlenı nenı nulove, je konstantnı a pri tomto pohybu se nazyva zrychlenıdostredive ~ad. Pro velikost dostrediveho zrychlenı platı vztahy

ad =v2

r, (19)

ad = ω2r. (20)

3

2 DYNAMIKA HMOTNEHO BODU

Dynamika odpovıda na otazku: Proc a za jakych podmınek se telesa pohybujı? In-terakce je vzajemne pusobenı teles, ktere nastava pri vzajemnem dotyku teles neboprostrednictvım silovych polı.

Newtonovy zakony

• 1. Zakon setrvacnostiKazde teleso setrvava v klidu nebo v rovnomernem prımocarem pohybu, pokudnenı nuceno silovym pusobenım jinych teles svuj pohybovy stav zmenit.

• 2. Zakon sılyVelikost zrychlenı a telesa je prımo umerna velikosti vyslednice sil F pusobıcıch nateleso a neprımo umerna hmotnosti m telesa.Platı tedy

~F = m~a (21)

• 3. Zakon akce a reakceSıly, kterymi na sebe pusobı dve telesa jsou stejne velke, navzajem opacneho smerua soucasne vznikajı a zanikajı.

Hybnost ~p telesa je dana vyrazem

~p = m~v (22)

2. Newtonuv pohybovy zakon lze psat take ve tvaru

~F =∆~p

∆t, (23)

kde ∆t je velmi male.

Impulz sıly je dan ~F∆t.

Izolovana soustava je takova soustava, ve ktere je sıla pusobıcı na teleso nulova(vyslednice pusobıcıch sil je nula). V izolovane soustave platı zakon zachovanı hyb-nosti. ∑

~pi = konst (24)

Inercialnı vztazna soustava je soustava, ve ktere izolovane teleso setrvava v klidunebo v rovnomernem prımocarem pohybu.Kazda vztazna soustava, ktera je vzhledem k inercialnı vztazne soustave v klidu nebo vrovnomernem prımocarem pohybu, je take inercialnı.Neinercialnı vztazna soustava se vzhledem k inercialnı vztazne soustave pohybujezrychlene, zpomalene nebo se otacı.

4

Pri rovnomernem pohybu po kruznici pusobı na teleso dostrediva sıla

~Fd = m~ad =mv2

r= mω2r (25)

Setrvacna sıla pusobı v neinercianı vztazne soustave a ma opacny smer, nez jezrychlenı soustavy.

Mechanicka prace je dana vyrazem

A = ~F · ~s (26)

Kineticka energie hmotneho bodu o hmotnosti m, ktery se pohybuje rychlostı o ve-likosti v je dana vztahem

Wk =1

2mv2 (27)

Kinetickou energii majı telesa, ktera se vzhledem k dane vztazne soustave pohybujı.Potencialnı energie je skalarnı fyzikalnı velicina, ktera charakterizuje vzajemne silovepusobenı teles.Tıhova potencialnı energie hmotneho bodu o hmotnosti m ve vysce h nad povrchemZeme je dana vztahem

Wp = mgh (28)

V izolovane soustave platı zakon zachovanı mechanicke energie, pokud sıly, kterymitelesa na sebe vzajemne pusobı jsou konzervativnı.

W = Wk + Wp (29)

Prumerny vykon je dan vyrazem

Pp =A

t, (30)

kde t je doba, za kterou se prace vykonala.Okamzity vykon je dan vztahem

P =∆A

∆t(31)

a platıP = ~F · ~v (32)

Ucinnost η definujeme jako podıl vykonu P a prıkonu P0

η =P

P0

(33)

5

3 GRAVITACNI POLE

Newtonuv gravitacnı zakon rıka, ze dva hmotne body se navzajem pritahujı stejnevelkymi gravitacnımi silami ~Fg, −~Fg navzajem opacneho smeru. Velikost gravitacnı sılyFg je prımo umerna soucinu hmotnostı m1, m2 hmotnych bodu a neprımo umerna druhemocnine jejich vzdalenostı r. Platı tedy

Fg = κm1m2

r2, (34)

kde κ se nazyva gravitacnı konstanta. Jejı hodnota je priblizne 6, 67.10−11 N · m2 · kg−2.

Intenzita gravitacnıho pole ~K je dana vyrazem

~K =~Fg

m(35)

. Pro velikost intenzity gravitacnıho pole vne (ve vzdalenost r) stejnorode koule o hmot-nosti M a polomeru R platı

K =κM

r2. (36)

Pro intenzitu gravitacnıho pole Zeme ve vysce h nad povrchem Zeme platı

Kh =κMZ

(RZ + h)2. (37)

Intenzita gravitacnıho pole v danem mıste pole se rovna gravitacnımu zrychlenı ~g, kterev tomto bode pole udeluje telesu gravitacnı sıla ~K = ~g.

Tıhova sıla ~FG je vektorovym souctem gravitacnı sıly ~Fg a setrvacne odstredive sıly~Fo.

~FG = ~Fg + ~Fo (38)

Podle 2. Newtonova zakona platı~FG = m~g, (39)

kde ~g je tıhove zrychlenı.

Pohyby teles v homogennım tıhovem poli ZemeVolny pad je rovnomerne zrychleny pohyb s nulovou pocatecnı rychlostı a s tıhovymzrychlenım ~g. Teleso pada z vysky h a dopadne rychlostı vd.

h =1

2gt2 (40)

vd =√

2gh (41)

Vrh svisly vzhuru je nejprve pohyb rovnomerne zpomaleny, po dosazenı maximalnıvysky (vysky vystupu) se jedna o volny pad. Velikost okamzite rychlosti v a okamzitavyska telesa y je dana vztahy

v = v0 − gt, (42)

6

y = v0t −1

2gt2. (43)

Pro vysku vystupu platı

h = v0th −1

2gt2h =

v20

2g, (44)

kde th je doba vystupu, pro kterou platı

th =v0

g(45)

Vodorovny vrh je slozeny pohyb. Ve smeru vodorovnem se Zemı (souradnice x) jdeo pohyb rovnomerny prımocary a ve smeru kolmem k Zemi (souradnice y) se jedna ovolny pad. Zvolıme-li pocatek souradneho mısta v kolmem prumetu mısta vrhu na Zem,dostavame pro okamzite hodnoty souradnic telesa

x = v0t, (46)

y = h − 1

2gt2. (47)

Delka vrhu d je nejvetsı vzdalenost od mısta vrhu je rovna

d = v0

√2h

g, (48)

doba pohybu td je rovna

td =

√2h

g, (49)

kde h je vyska mısta vrhu nad Zemı.Vrh sikmy vzhuru kona teleso, jemuz udelıme pocatecnı rychlost ~v0 ve smeru, ktery

svıra s vodorovnou rovinou elevacnı uhel α. Zvolıme-li pocatek souradneho systemu vmıste vrhu, pak okamzite hodnoty souradnic telesa (zvolene stejne jako v prıpade vrhuvodorovneho) jsou dany

x = v0t cos α, (50)

y = v0t sin α − 1

2gt2. (51)

Pro delku vrhu a dobu pohybu telesa platı

d =v2

0 sin 2α

g, (52)

td =2v0 sin α

g. (53)

Pohyby teles v centralnım gravitacnım poli ZemeRychlost telesa, ktere se pohybuje kolem Zeme po kruhove draze ve vysce h nad Zemı jedana

vk =

√κMZ

RZ + h. (54)

7

Parabolicka (unikova) rychlost telesa v gravitacnım poli Zeme je

vp =

√2κMZ

RZ + h= vk

√2. (55)

Keplerovy zakony

• 1. Planety se pohybujı kolem Slunce po elipsach malo odlisnych od kruznic, vjejichz spolecnem ohnisku je Slunce.

• 2. Obsahy ploch opsanych pruvodicem planety jsou za jednotku casu konstantnı.

• 3. Pomer druhych mocnin obeznych dob dvou planet se rovna pomeru tretıch moc-nin hlavnıch poloos jejich trajektoriı.

T 21

T 22

=a3

1

a32

(56)

Keplerovy zakony neplatı pouze pro planety obıhajıcı kolem Slunce, ale take pro obezniceplanet a jinych vesmırnych teles.

8

4 SOUSTAVA HMOTNYCH BODU, TUHE TELESO

Tuhe teleso je idealnı teleso, jehoz tvar ani objem se ucinkem libovolne velkych silnemenı. (Libovolne dva body telesa majı konstantnı vzdalenost.)Pri translaci (posuvnem pohybu) je kazda prımka pevne spojena s telesem stale rovnobeznase svou puvodnı polohou. Vsechny body telesa opisujı stejne trajektorie a majı v danemokamziku stejnou rychlost ~v.Pri rotaci (otacivem pohybu) telesa kolem nehybne osy majı vsechny body telesa vdanem okamziku stejnou uhlovou rychlost ω.

Moment sıly vzhledem k ose otacenı

~M = ~r × ~F , (57)

kde ~F je pusobıcı sıla a ~r polohovy vektor od osy otacenı do pusobiste sıly. Pro velikostmomentu sıly platı

M = Fr sin α = Md, (58)

kde α je uhel mezi ~r a ~F a d = r sin α.Vysledny moment sil soucasne pusobıcıch na tuhe teleso se rovna vektorovemu souctumomentu jednotlivych sil vzhledem k dane ose otacenı

~M =∑

~Mi (59)

Teziste tuheho telesa je pusobiste tıhove sıly pusobıcı na teleso v homogennımtıhovem poli.

Podmınky rovnovazne polohy tuheho telesaPodmınka rovnovahy sil

~F =∑

~Fi = 0 (60)

Podmınka rovnovahy momentu sil

~M =∑

~Mi = 0 (61)

Rovnovazne polohy tuheho telesa jsou: stabilnı, labilnı, indiferentnı.

Smykove trenı a valivy odporTrecı sıla ~Ft a sıla valiveho odporu ~Fv pusobı proti pohybu.

~Ft = f ~FN , (62)

~Fv = ξ~FN

R, (63)

kde f je soucinitel smykoveho trenı, ξ je rameno valiveho odporu, FN je velikost tlakovesıly, kterou pusobı teleso na podlozku, R je polomer obleho telesa, ktere se valı po

9

podlozce.

Moment setrvacnosti telesa vzhledem k ose otacenı je skalarnı fyzikalnı velicina,ktera vyjadruje rozlozenı latky v telese vzhledem k ose otacenı. Pro soustavu hmotnychbodu je definovan vztahem

J =∑

mir2i , (64)

kde mi jsou hmotnosti jednotlivych hmotnych bodu a ri jsou jejich vzdalenosti od osyotacenı. Platı Steinerova veta

J = J0 + md2, (65)

kde J0 je moment setrvacnosti k ose prochazejıcı tezistem a rovnobezne s osou otacenı ad je vzdalenost techto dvou os.

Kineticka energie tuheho telesa se sklasa z kineticke energie translacnıho pohybuWkt a z kineticke energie rotacnıho pohybu Wkr

Wk = Wkt + Wkr =1

2mv2 +

1

2Jω2, (66)

kde v je velikost rychlosti pohybu teziste telesa.

10

5 MECHANIKA TEKUTIN

Tekutiny jsou kapaliny a plyny.Idealnı kapalina je dokonale tekuta, bez vnitrnıho trenı, nestlacitelna.Idealnı plyn je dokonale tekuty, bez vnitrnıho trenı, dokonale stlacitelny.Tlak v kapalinach a plynech

p =F

S, (67)

kde F je velikost tlakove sıly, ktera pusobı kolmo na rovinnou plochu kapaliny a S jeobsah teto plochy.

Pascaluv zakonTlak vyvolany vnejsı silou, ktera pusobı na kapalne teleso v uzavrene nadobe, je ve vsechmıstech kapaliny stejny.(Platı i pro plyny.)

Hydrostaticky tlak v hloubce h kapaliny

ph = ρhg, (68)

kde ρ je hustota kapaliny a g tıhove zrychlenı.

Archimeduv zakonTeleso ponorene do kapaliny je nadlehcovano vztlakovou silou, jejız velikost se rovna tızekapaliny stejneho objemu, jako je objem ponoreneho telesa, nebo objem ponorene castitelesa.

Proudenı kapalin a plynuPrevazuje-li pohyb kapalin nebo plynu v jednom smeru, mluvıme o proudenı. V proudıcıkapaline ma kazda castice urcitou rychlost ~v, jejız velikost a smer se muze menit vzavislosti na mıste a case. Je-li rychlost ~v castic prochazejıcıch libovolne zvolenymmıstem proudıcı tekutiny stala, tj. nemenı se s casem, jde o ustalene neboli stacionarnıproudenı.Proudnice je myslena cara, jejız tecna v libovolnem bode ma smer vektoru rychlosti ~v. Vprıpade stacionarnıho proudenı je tvar proudnic po celou dobu pohybu tekutiny stejny aproudnice jsou shodne s trajektoriemi castic. Kazdym bodem proudıcı tekutiny prochazıpri ustalenem proudenı jen jedna proudnice. (Proudnice se v tomto prıpade nemohounavzajem protınat.) Nejjednodusım prıpadem je stacionarnı proudenı idealnı kapaliny.

Objemovy prutok QV je dan vztahem

QV = Sv, (69)

kde S je obsah prurezu trubice, kterou proudı kapalina, v je velikost rychlosti kapalinyv danem mıste trubice.

Rovnice kontinuity idealnı kapaliny ma tvar

Sv = konst (70)

11

Bernoulliho rovnice1

2ρv2 + ρgh + p = konst (71)

Velikost rychlosti kapaliny vytekajıcı otvorem v nadobe (h je hloubka, ve ktereotvor umısten) je dana priblizne vztahem

v =√

2gh (72)

Newtonuv vztah pro velikost odporove sıly telesa v tekutine o hustote ρ je danvyrazem

F =1

2CρSv2, (73)

kde v je velikost relativnı rychlosti telesa, S obsah prurezu telesa kolmeho ke smerupohybu a C soucinitel odporu.Stockesuv vztah pro velikost odporove sıly koule o polomeru r v neomezenem prostredı(tekutine) pohybujıcı se malou rychlostı o velikosti v je dan vyrazem

F = 6πηrv, (74)

kde η je dynamicka viskozita tekutiny.

12

6 KMITANI A VLNENI

Charakteristickym rysem kmitanı a vlnenı je, ze se veliciny, kterymi kmitanı a vlnenıpopisujeme, s casem menı a tyto zmeny jsou prevazne periodicke.Harmonicky pohyb je kmitavy pohyb, jehoz casovy diagram ma podobu harmonickefunkce.

Mezi frekvencı f , periodou T a uhlovou frekvencı ω platı relace

f =1

T=

ω

2π. (75)

Kinematika kmitaveho pohybuPro okamzitou vychylku y hmotneho bodu platı

y = ym sin(ωt + ϕ0), (76)

kde ϕ0 je pocatecnı faze kmitanı, ym je maximalnı vychylka (amplituda), ω je uhlovafrekvence kmitanı.Pro velikost okamzite rychlosti v platı

v = ωym cos(ωt + ϕ0), (77)

Pro velikost okamziteho zrychlenı a platı

a = −ω2ym sin(ωt + ϕ0) = −ω2y, (78)

Dynamika kmitaveho pohybuVelikost sıly, ktera zpusobuje harmonicke kmitanı je dana vyrazem

F = −ky, (79)

kde znamenko - znacı, ze sıla pusobı proti okamzite vychylce. (Sıla vzdy smeruje dorovnovazne polohy.) Velicina k se nazyva tuhost pruziny. Vlastnı kmitanı mechanickehooscilatoru probıha s uhlovou frekvencı ω0, ktera zavisı jen na parametrech oscilatoru

ω0 =

√k

m(80)

a pro periodu a frekvenci pak platı

T0 = 2π

√m

k(81)

f0 =1

2π

√k

m(82)

13

Matematicke kyvadlo je hmotny bod zaveseny na pevnem vlakne zanedbatelnehmotnosti, jehoz delka je l. Platı pro nej

T0 = 2π

√l

g(83)

Mechanicke vlnenı je dej, pri nemz se kmitanı sırı latkovym prostredım. Kmitanıse sırı rychlostı ~v.Vlnova delka λ je dana vztahem

λ = vT (84)

Prıcne vlnenı je vlnenı, pri kterem je vychylka kolma na smer sırenı vlnenı.Podelne vlnenı je vlnenı, pri kterem je vychylka rovnobezna se smerem sırenı vlnenı.

Rovinnou vlnu sırıcı se ve smeru osy x lze popsat funkcı

u(x, t) = um sin 2π(t

T− x

λ), (85)

kde u(x, t) je vychylka v bode x v case t, um je maximalnı vychylka.Existujı i jine zapisy rovnice vlnenı, napr.

u(x, t) = um sin(ωt − kx), (86)

kde k je vlnove cıslo dane k = 2πλ

.

14

7 ZAKLADY MOLEKULOVE FYZIKY

Relativnı atomova hmotnostAr =

ma

mu

, (87)

kde ma je klidova hmotnost atomu a mu je atomova hmotnostnı konstanta, ktera jerovna jedne dvanactine klidove hmotnosti atomu nuklidu uhlıku 12

6 C.Relativnı molekulova hmotnost

Mr =mm

mu

, (88)

kde mm je klidova hmotnost molekuly. Platı

Mr =∑

Ar(i) (89)

Avogadrova konstanta NA je zakladnı fyzikalnı konstanta, jejız cıselna hodnota udava:

• pocet atomu v nuklidu uhlıku 126 C o hmotnosti 0,012 kg

• pocet castic v chemicky stejnorodem telese o latkovem mnozstvı 1 mol

Latkove mnozstvı

n =N

NA

, (90)

kde N je pocet castic telesa.

Molarnı hmotnostMm =

m

n, (91)

kde m je hmotnost telesa.

Molarnı objem

Vm =V

n, (92)

kde V je objem telesa.

Normalnı molarnı objem Vmn je molarnı objem za normalnıch podmınek (t = 0Ca p = 101, 325 kPa). Pro vsechny plyny je Vmn = 22, 414 · 10−3 m3 · mol−1.

Hustota castic je dana vztahem

NV =N

V. (93)

Strednı kvadraticka rychlost molekul plynu je dana vyrazem

vk =

√3kT

mm

=

√3RmT

Mm

, (94)

15

kde k je Boltzmannova konstanta a Rm = kNA je univerzalnı plynova konstanta.

Hookuv zakonPro prodlouzenı pri pruzne deformaci tahem lze psat vztah

∆l =1

Eσl0, (95)

kde l0 je puvodnı delka telesa, E je modul pruznosti v tahu a σ = FS

je napetı, F je sılapusobıcı kolmo na plochu obsahu S prıcneho rezu.

Teplotnı roztaznost pevnych latekZavislost delky l na teplote je dana vztahem

l = l0[1 + α(t − t0)], (96)

kde α je teplotnı soucinitel delkove roztaznosti.Pro objemovou teplotnı roztaznost platı

V = V0[1 + β(t − t0)], (97)

kde β je teplotnı soucinitel objemove roztaznosti. Platı

β.= 3α. (98)

16

8 TERMODYNAMIKA

Celkova energie soustavyW = Wk + Wp + U, (99)

kde Wk je kineticka energie telesa, Wp potencialnı energie a U je vnitrnı energie, kterazavisı pouze na stavu telesa.

Zmena vnitrnı energie je mozna

• pouze konanım prace

• pouze tepelnou vymenou

• konanım prace i tepelnou vymenou zaroven

1. zakon termodynamiky

∆Q = ∆U + ∆A, (100)

kde ∆Q > 0 je teplo dodane soustave, ∆A > 0 je prace soustavou vykonana.

Tepelna kapacita latky je definovana vztahem

C =∆Q

∆t=

∆Q

∆T, (101)

kde t je teplota ve C, T termodynamicka teplota.Merna tepelna kapacita latky je definovana vztahem

c =∆Q

m∆t=

∆Q

m∆T, (102)

kde m je hmotnost latky.Molarnı tepelna kapacita latky je definovana vztahem

Cm =∆Q

n∆t=

∆Q

n∆T, (103)

kde n je latkove mnozstvı.U plynu je treba rozlisovat tepelnou kapacitu pri konstantnım objemu CV a tepelnoukapacitu pri konstantnım tlaku Cp, Cp > CV (totez platı pro merne tepelne kapacity amolarnı tepelne kapacity).

Idealnı plynStavova rovnice idealnıho plynu (nektera mozna vyjadrenı)

pV = NkT (104)

pV = nRmT (105)

pVm = RmT (106)

pV

T= konst (107)

p1V1

T1

=p2V2

T2

(108)

17

Izotermicky dej (Boyluv-Mariottuv zakon), T = konst

pV = konst (109)

Platı: ∆U = 0, ∆Q = ∆A.

Izochoricky dej (Charlesuv zakon), V = konst

p

T= konst (110)

Platı: ∆A = 0, ∆Q = ∆U .

Izobaricky dej (Gay-Lussacuv zakon), p = konst

V

T= konst (111)

Platı: ∆A = p∆V, ∆Q = ∆U + ∆A.

Adiabaticky dej, ∆Q = 0pV κ = konst, (112)

kde κ = cp

cV.

Ucinnost tepelneho stroje je dana vyrazem

η =∆A

∆Q1

=∆Q1 − ∆Q′

2

∆Q1

= 1 − ∆Q′2

∆Q1

< 1, (113)

kde ∆Q1 je teplo prijate od ohrıvace, ∆Q′2 je teplo odevzdane chladici.

Skupenske teplo tanı Lt je teplo, ktere prijme pevne teleso, aby se zmenilo nakapalinu teze teploty.Merne skupenske teplo tanı je dano vztahem

lt =Lt

m. (114)

Skupenske teplo vyparovanı Lv je teplo, ktere prijme kapalina, aby se zmenila naparu teze teploty.Merne skupenske teplo vyparovanı je dano vztahem

lv =Lv

m. (115)

18

9 ELEKTRICKE POLE

Coulombuv zakonDva bodove elektricke naboje v klidu se navzajem pritahujı nebo odpuzujı stejne velkymielektrickymi silami ~Fe, −~Fe opacneho smeru. Velikost elektricke sıly Fe je prımo umernaabsolutnı hodnote soucinu naboju Q1, Q2 a neprımo umerna druhe mocnine jejichvzdalenosti r.

Fe = k|Q1Q2|

r2, (116)

kde konstanta umernosti k je dana vztahem

k =1

4πε0εr

, (117)

ve kterem ε0 = 8, 854.10−12C2.m−2.N−1 je elektricka konstanta (permitivita vakua) aεr je relativnı permitivita prostredı.Intenzita elektrickeho pole ~E v danem mıste pole je definovana jako podıl sıly ~Fe, kterapusobı na kladny bodovy naboj Q, a velikosti tohoto naboje Q.

~E =~Fe

Q(118)

Velikost intenzity elektrickeho pole ve vzdalenosti r od bodoveho naboje Q je danavyrazem

E = k|Q|r2

=1

4πε0εr

|Q|r2

. (119)

Elektricka silocara je myslena cara, jejız tecna urcuje v kazdem mıste pole smer jehointenzity ~E.

Elektricky potencial ϕAv bode A elektrickeho pole v okolı naboje Q se definujejako podıl prace A, kterou vykonajı sıly elektrickeho pole pri premıst’ovanı kladnehobodoveho naboje Q0 z bodu A do mısta nulove intenzity, a tohoto naboje Q0, tedy

ϕA =A

Q0

. (120)

Elektricky potencial ve vzdalenosti r od bodoveho naboje Q nebo od stredu kuloveplochy, na ktere je naboj Q rovnomerne rozmısten (r je vetsı nez je polomer plochy), jedan vyrazem

ϕ =1

4πε0εr

Q

r. (121)

Elektricke napetı se definuje jako rozdıl elektrickych potencialu mezi dvema bodyelektrickeho pole

U = ϕA − ϕB. (122)

Pro homogennı elektricke pole platı

U = Ed. (123)

19

Plosna hustota elektrickeho naboje je definovana pomocı vztahu

σ =Q

S, (124)

kde S je plocha, na ktere je naboj rovnomerne rozlozen. Pro kazdy vodic ve vakuu platıvztah

|σ| = ε0E, (125)

kde E je velikost intenzity elektrickeho pole u vnejsıho povrchu vodice.

Vlozıme-li do elektrickeho pole izolant (dielektrikum) dojde k polarizaci dielektrika.

Tım v dielektriku vznika elektricke pole o intenzite ~Ei opacneho smeru, nez je intenzitavnejsıho pole ~E. Intenzita ~Ev vysledneho pole ma smer intenzity vnejsıho pole ~E avelikost

Ev = E − Ei. (126)

Relativnı permitivita prostredı je dana vyrazem

εr =E

Ev

. (127)

Kapacita vodice je definovana vztahem

C =Q

ϕ, C =

Q

U. (128)

Pro kapacitu deskoveho kondenzatoru o relativnı permitivite εr platı vztah

C = ε0εrS

d, (129)

kde S je obsah ucinne plochy desek, d je vzdalenost desek.Paralelnı zapojenı kondenzatoru

C = C1 + C2 + ... + Cn, (130)

seriove zapojenı kondenzatoru

1

C=

1

C1

+1

C2

+ ... +1

Cn

. (131)

Energie elektrickeho pole v kondenzatoru je dana vztahem

We =1

2CU2. (132)

Elektricky proud je usporadany pohyb volnych castic s elektrickym nabojem a jedefinovan vztahem

I =∆Q

∆t(133)

Pro kovovy vodic platı Ohmuv zakon

U = RI, (134)

20

kde R je elektricky odpor vodice. Elektricka vodivost je velicina, ktera souvisı selektrickym odporem vztahem

G =1

R. (135)

Odpor vodice zavisı na delce vodice l a na prurezu vodice S vztahem

R = ρl

S, (136)

kde ρ je rezistivita latky, z nız je vodic vyroben. Prevracena hodnota rezistivity senazyva konduktivita (merna elektricka vodivost). Elektricky odpor zavisı na teplotevztahem

R = R0(1 + α∆t), R = R0(1 + α∆T ), (137)

kde R0 je elektricky odpor pri teplote t0 (T0) a R je odpor pri teplote t (T ), ∆t = t− t0(∆T = T − T0), α je teplotnı soucinitel elektrickeho odporu.

Kirchhoffovy zakony

• 1. Algebraicky soucet proudu v uzlu se rovna nule.∑Ik = 0 (138)

• 2. Soucet napetı na rezistorech je v uzavrene smycce roven souctu elektromo-torickych napetı zdroju zapojenych ve smycce.∑

RkIk =∑

Uej (139)

Seriove zapojenı rezistoru

• 1. Celkovy odpor R soustavy rezistoru zapojenych seriove se rovna souctu odporujednotlivych rezistoru:

R =∑

Rk (140)

• 2. Celkove napetı na soustave rezistoru se rovna souctu napetı na jednotlivychrezistorech.

• 3. Celkovy odpor je vzdy vetsı nez odpor libovolneho zapojeneho rezistoru.

• 4. Celkove napetı se rozdelı na jednotlive rezistory v prımem pomeru k jejichodporum:

U : U1 : U2 : ... : Un = R : R1 : R2 : ... : Rn (141)

Paralelnı zapojenı rezistoru

• 1. Prevracena hodnota vysledneho odporu R paralelne zapojenych rezistoru serovna souctu prevracenych hodnot odporu jednotlivych rezistoru:

1

R=

∑ 1

Rk

(142)

21

• 2. Proudy se ve vetvıch rozdelı v obracenem pomeru k jejich odporum:

I : I1 : I2 : ... : In =1

R:

1

R1

:1

R2

: ... :1

Rn

(143)

• 3. Vysledny odpor je vzdy mensı nez odpor libovolneho zapojeneho rezistoru.

• 4. Vysledny odpor R paralelne zapojenych rezistoru se stejnym odporem R1 jen-tym dılem jednoho z nich, tedy

R =∑ R1

n(144)

Mericı rozsah ampermetru zmenıme pripojenım bocnıku. Je to rezistor paralelnepripojeny k mericımu prıstroji. Chceme-li napr. n-krat zvetsit mericıch rozsah ampermetrus vnitrnım odporem RA, musıme pripojit bocnık o odporu Rb, pro ktery platı vztah

Rb =RA

n − 1. (145)

Mericı rozsah voltmetru menıme pripojenım predradneho rezistoru (predradnıku).Je to rezistor zapojeny do serie s mericım prıstrojem. Chceme-li napr. n-krat zvetsitmericıch rozsah voltmetru s vnitrnım odporem RV , musıme pripojit predradny rezistoro odporu Rp, pro ktery platı vztah

Rp = (n − 1)RV . (146)

Jestlize se ve spotrebici za dobu t premıstı castice s celkovym nabojem Q, vykonajısıly elektrickeho pole praci

A = UQ. (147)

Pokud obvodem prochazı konstantnı proud I, dostavame pro praci vztahy

A = UIt = RI2t =U2

Rt. (148)

Vykon elektrickeho proudu ve spotrebici o odporu R vypocıtame ze vztahu

P =A

t= UI = RI2 =

U2

R. (149)

Elektricky proud v kapalinachPocet vyloucenych molekul je

N =Q

ze, (150)

celkova vyloucena hmotnost latky

m =Mm

NAzeQ =

Mm

FzQ =

Mm

FzIt, (151)

velicina F = NAe = 9, 6487.104C.mol−1 je Faradyova konstanta

Faradayovy zakony

22

• 1.m = AIt, (152)

kde A je elektrochemicky ekvivalent

• 2.

A =Mm

Fz(153)

23

10 MAGNETICKE A ELEKTROMAGNETICKE

POLE

Magneticke poleMagneticke indukcnı cary jsou prostorove orientovane krivky, jejichz tecny v danembode majı smer podelne osy velmi male magnetky umıstene v tomto bode. Smer odjiznıho k severnımu polu magnetky urcuje orientaci magneticke indukcnı cary. Magnet-icke indukcnı cary jsou vzdy uzavrene krivky (magneticke pole je vırove).Sıla, ktera pusobı na vodic delky l protekany proudem I, ktery je umısten v magnetickempoli o magneticke indukci ~B, je dana vztahem

~F = I~l × ~B, (154)

pro velikost sıly platıF = BIl sin α, (155)

kde α je uhel, ktery svıra vodic s vektorem magneticke indukce. Z poslednıho vyrazu,lze naopak urcit velikost magnetickeho pole, ktere pusobı na vodic

B =F

Il sin α. (156)

Velikost magneticke indukce pole vytvoreneho nekonecne dlouhym prımym vodicemve vzdalenosti d od vodice lze urcit podle vztahu

B =µI

2πd, (157)

kde µ = µ0µr je permeabilita prostredı, µ0 = 4π.10−7N.A−2 je magneticka kon-stanta (permeabilita vakua) a µr je relativnı permeabilita.Velikost magneticke indukce ve stredu kruhoveho zavitu o polomeru r je dana vztahem

B =µI

2r. (158)

Velikost magneticke indukce homogennıho magnetickeho pole vytvoreneho uvnitr solenoiduje dana vztahem

B =µNI

l, (159)

kde N je pocet zavitu solenoidu a l je delka solenoidu.Mezi intenzitou magnetickeho pole ~H a vektorem magneticke indukce ~B platı vztah

B = µ ~H. (160)

Velikost sıly, ktera pusobı mezi dvema vodici, ktere jsou ve vzdalenosti d od sebe, jemozne vypocıtat ze vztahu

F =µ

2π

I1I2

dl. (161)

Na nabitou castici v magnetickem poli pusobı sıla

~F = Q~v × ~B, (162)

24

kde ~v je rychlost castice a Q je jejı naboj. Pokud je rychlost castice kolma na vektormagnetickeho pole a magneticke pole je homogennı, je trajektoriı castice kruznice opolomeru

r =mv

QB. (163)

Magneticky indukcnı tok plochou o obsahu S je v homogennım magnetickem polidefinovan vztahem

Φ = ~B · ~S = BS cos α, (164)

kde α je uhel mezi normalou plochy a vektorem magneticke indukce.Faradayuv zakon elektromagneticke indukce

Ue = −∆Φ

∆t. (165)

Vlastnı magneticke pole, napr. cıvky s proudem, vytvarı magneticky indukcnı tok, kteryprochazı zavity cıvky. Jestlize cıvka je v prostredı s konstantnı permeabilitou, je tentoindukcnı tok prımo umerny proudu v cıvce

Φ = LI. (166)

Konstanta umernosti L se nazyva vlastnı indukcnost cıvky. Z tohoto vztahu plyne

Ue = −∆Φ

∆t= −L

∆I

∆t. (167)

Pro cıvku delky l s N zavity, prurez jednoho zavitu je S platı

L = µN2S

l. (168)

Pro energii magnetickeho pole cıvky, ktera nema feromagneticke jadro platı vztah

Wm =1

2LI2. (169)

Elektromagneticke poleNa nabitou castici v elektromagnetickem poli pusobı Lorentzova sıla

~F = Q( ~E + ~v × ~B). (170)

Strıdave napetı, strıdavy proud:

u = Um sin ωt, (171)

i = Im sin ωt, (172)

Im =Um

R, (173)

25

kde Um, Im jsou maximalnı hodnoty napetı a proudu.Obvod LC seriovy:

ω2 =1√LC

, (174)

T = 2π√

LC. (175)

Vykon strıdaveho proudu v obvode, ktery ma jen odpor, je dan vyrazem

P = UfIf =1

2I2mR, (176)

kde Uf a If jsou efektivnı hodnoty napetı a proudu. Platı

Uf =Um√

2If =

Im√2. (177)

Ve strıdavem obvode, ktery ma mimo rezistoru take kondenzator a cıvku, nas zajımacinny vykon strıdaveho proudu. Je dan vztahem

P = UfIf cos ϕ, (178)

kde ϕ je fazovy rozdıl mezi napetım a proudem v obvodu.

Transformator:Pro pomer efektivnıch hodnot indukovanych napetı platı rovnice transformatoru

U2

U1

=N2

N1

= k, (179)

kde k se nazyva transformacnı pomer transformatoru. Pro proudy platı

U2

U1

=I1

I2

. (180)

26

11 ELEKTROMAGNETICKE VLNENI,

OPTIKA

Elektromagneticke vlnenı je vlnenı prıcneRychlost elektromagnetickeho vlnenı ve vakuu je dana vztahem

c =1

√ε0µ0

, (181)

rychlost elektromagnetickeho vlnenı v nejakem prostredı ma tvar

v =1

√ε0εrµ0µr

. (182)

OptikaAbsolutnı index lomu je definovan vyrazem

n =c

v. (183)

Snelluv zakon lomu ma tvar

n1 sin α = n2 sin β, (184)

kde n1 je index lomu (absolutnı) prvnıho prostredı, n2 je index lomu (absolutnı) druhehoprostredı, α je uhel dopadu, β je uhel lomu.Relativnı index lomu je dan vyrazem

n21 =n2

n1

. (185)

Opticke zobrazenıKulove zrcadlo: zobrazovacı rovnice

1

x+

1

x′ =1

f, (186)

kde x je predmetova vzdalenost, x′ je obrazova vzdalenost, f je ohniskova vzdalenost(platı f = r

2, kde x je polomer zrcadla). Veliciny x, x′, f jsou kladne, pokud je predmet,

obraz, ohnisko F pred zrcadlem. V opacnem prıpade jsou zaporne.Zvetsenı je dano vztahy

Z =y′

y= −x′

x= −x′ − f

f= − f

x − f, (187)

kde y, y′ je velikost predmetu, obrazu.Cocky: zobrazovacı rovnice

1

x+

1

x′ =1

f, (188)

27

x > 0 predmet je umısten pred cockou, x < 0 predmet je umısten za cockou, x′ > 0 obrazje umısten za cockou, x′ < 0 obraz je umısten pred cockou, f > 0 jedna se o spojku,f < 0 jedna se o rozptylku.Zvetsenı je dano vztahy

Z =y′

y= −x′

x= −x′ − f

f= − f

x − f. (189)

Opticka mohutnostje definovana vyrazem

D =1

f. (190)

Lupa: pokud se pouzıva na zvetsovanı, umıst’ujeme predmet do ohniska. Pro zvetsenıpak platı

Z =d

x.=

d

f, (191)

kde d = 25cm, coz je optimalnı vzdalenost predmetu od oka.Zvetsenı mikroskopu je dano vztahem

Z.=

∆

f1

d

f2

, (192)

kde f1 je ohniskova vzdalenost objektivu a f2 je ohniskova vzdalenost okularu, ∆ jeopticky interval (vzdalenost obrazoveho ohniska objektivu od predmetoveho ohniskaokularu = 16 cm), d ma stejny vyznam jako u lupy.Zvetsenı dalekohledu je dano vztahem

Z.=

f1

f2

, (193)

kde f1 je ohniskova vzdalenost objektivu a f2 je ohniskova vzdalenost okularu.

FotometrieZarivy tok je dan vztahem

Φe =∆Qe

∆t, (194)

kde Qe je zariva energie.Intenzita vyzarovanı je dana vztahem

Me =∆Φe

∆S, (195)

kde ∆S je je plocha, ze ktere se vyzaruje.Intenzita ozarovanı je dana vztahem

Ee =∆Φe

∆S, (196)

kde ∆S je je plocha, ktera se ozaruje.Svetelny tok je dan vztahem

Φ =∆Es

∆t, (197)

28

kde Es je svetelna energie, ktera projde danou plochou v okolı priblizne bodoveho zdrojeza dobu ∆t.Vyzaruje-li priblizne bodovy zdroj svetelny tok ∆Φ do prostoroveho uhlu ∆Ω, je svıtivostdefinovana vztahem

I =∆Φ

∆Ω. (198)

Osvetlenı je dano vztahem

E =∆Φ

∆S, (199)

kde ∆S je osvetlena plocha. Platı

E =I cos α

r2, (200)

kde r je vzdalenost plochy od bodoveho zdroje, α je uhel mezi vektorem plochy S adopadajıcımi paprsky.

29

12 ATOMOVA A JADERNA FYZIKA

Vyzarovanı Me (energie vyzarena z jednotkove plochy za jednotku casu) absolutnecerneho telesa se rıdı Stefanovym-Boltzmannovym zakonem

Me = σT 4, (201)

kde T je teplota telesa a σ je Stefanova-Boltzmannova konstanta.Energie se vyzaruje v kvantech

E = hf = hω, (202)

kde h = 6, 626.10−34J.s je Planckova konstanta a h = h2π

a f je frekvence zarenı.Wienuv posunovacı zakon znı

λmaxT = b, (203)

kde b je Wienova konstanta.

Pro vnejsı fotoelektricky jev platı Einsteinova rovnice

hf = Φ +1

2mev

2, (204)

kde Φ je vystupnı prace elektronu a 12mev

2 je kineticka energie uvolneneho elektronu.

Foton: jeho energie je dana vztahem

E = hf = hω =hc

λ, (205)

jeho hybnost je urcena vyrazem~p = h~k, (206)

kde ~k je vlnovy vektor elektromagneticke vlny, velikost hybnosti urcıme ze vztahu

p =h

λ, (207)

kde λ je vlnova delka elektromagneticke vlny.

Spektrum vodıku:Balmeruv-Rydberguv vztah pro vypocet vlnoctu σ = 1

λelektromagnetickeho vlnenı jed-

notlivych spektralnıch car ma tvar

σ = R(1

s2− 1

n2), (208)

kde s ε N je hladina, na kterou elektron dopada, n ε N je hladina, ze ktere elektronskace, n > s, R

.= 1, 1.107m−1 je Rydbergova konstanta.

RadioaktivitaPremenovy zakon ma tvar

N = N0 exp(−λt), (209)

30

kde N0 je pocet castic na zacatku, N pocet nerozpadlych castic po case t, λ premenovakonstanta. Polocas premeny T1/2 je doba, za kterou se rozpadne polovina castic. Mezipremenovou konstantou a polocasem premeny platı vztah

T1/2 =ln 2

λ. (210)

Rozpad α:AZX →A−4

Z−2 Y +42 He (211)

Rozpad β−:AZX →A

Z+1 Y +0−1 e + ν (212)

Rozpad β+:AZX →A

Z−1 Y +01 e + ν (213)

31