PŘÍSPĚVEK ČESKÝCH MATEMATIKŮ

K TEORII PRAVDĚPODOBNOSTI

Magdalena Hykšová

Velké Meziříčí, 28. 8. 2006

Edice Dějiny matematiky: • K. Mačák: Počátky počtu pravděpodobnosti, 1997 • K. Mačák: Vývoj teorie pravděpodobnosti v českých

zemích do roku 1938, 2005 • Saxl: Filosofické interpretace pravděpodobnosti,

Matematika v proměnách věků III, 2004

Edice Dějiny matematiky: • K. Mačák: Počátky počtu pravděpodobnosti, 1997 • K. Mačák: Vývoj teorie pravděpodobnosti v českých

zemích do roku 1938, 2005 • Saxl: Filosofické interpretace pravděpodobnosti,

Matematika v proměnách věků III, 2003

• M. Hykšová: Karel Rychlík, 2003

• Axiomatické zavedení pravděpodobnosti

Ohlasy v českých zemích

Modifikace axiomů

• Interpretace pravděpodobnosti Logická interpretace

Subjektivní interpretace

Četnostní interpetace

ANDREI NIKOLAJEVIC KOLMOGOROV (1903 – 1987)

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933

Bud’E mnozina prvku ξ, η, ψ, . . . , ktere se nazyvajı elemen-tarnı jevy, a Fmnozina podmnozin mnozinyE; prvky mnozinyF se v dalsım budou nazyvat nahodne jevy.

I. F je mnozinove teleso. [F 6= ∅, ∀A,B ∈ F : A±B ∈ F]

II. F obsahuje mnozinu E.

III. Kazde mnozine A z F je prirazeno nezaporne realne cısloP (A). Toto cıslo P (A) se nazyva pravdepodobnost jevuA.

IV. P (E) = 1.

V. Jsou-liA aB disjunktnı, pak platıP (A+B) = P (A)+P (B).

VI. Pro klesajıcı posloupnost A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ · · · jevuz F, kde DnAn = ∅, platı rovnost limP (An) = 0.

Soustava mnozin F spolu s urcitym prirazenım cısel P (A),splnujıcı axiomy I.–VI., se nazyva pravdepodobnostnı pole.

1

Podmınena pravdepodobnost

PA(B) =P (AB)

P (A)

Pro pevne A vyhovuje PA(B) axiomum

2

KAREL RYCHLÍK (1886 – 1968) 1914/15 – 1939/40 Počet pravděpodobnosti – přednáška na české technice

1931 R. von Mises: Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Statistik und theoretischen Physik

1931/32 Počet pravděpodobnosti (Misesova teorie) – výběrová přednáška na české univerzitě

1932 E. Kamke: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

1933 Recenze Kamkeovy knihy Einführung ...

1933 Poznámka k Böhmerovým nepravidelným posloupnostem

1933 A. N. Kolmogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlich.

1933/34, 36/37 Úvod do počtu pravděpodobnosti (se stanov. axiomatického) – výběr. přednáška na české univ.

1938 Úvod do počtu pravděpodobnosti

Harald Cramer, 1937:

Random Variables and Probability Distributions

• ryze matematická stránka teorie pravděpodobnosti

• teorie pravděpodobnosti = část teorie aditivních množinových funkcí

• pravděpodobnostní rozdělení v konečně dimenzionálních prostorech

• omezení na problémy související s centrální limitní větou

OTOMAR PANKRAZ (1903 – 1976) 1930 – 31 Všeobecný penzijní ústav v Praze

(pojistný matematik)

1931 – 39 asistent K. Rychlíka na české technice v Praze

zájem o vývoj teorie pravděpodobnosti

1931 recenze Misesovy knihy Wahrscheinlichkeitsrechnung (podrobný rozbor, uvádí i kritiky, staví se na Misesovu stranu)

1933 Zur Grundgleichung für den zeitlichen Zerfall der statistischen Kollektivs (čas. Aktuárské vědy)

1935 habilitace na české univerzitě v Praze (práce z r. 1933)

1938 habilitace na české technice v Praze

1939 O axiomech pravděpodobnosti Rozpravy Jednoty pro vědy pojistné

1940 O pojmu pravděpodobnosti (ČPMF)

Kritika Kolmogorovových axiomů Navazuje na H. Reichenbacha (Wahrscheinlichkeitslehre, 1935)

• pravděpodobnost zavedena jako 1-argumentová funkce P(A) O podmíněná pravděpodobnost (dvouargumentová funkce)

zavedena pomocí dodatečné definice mimo axiomy

( )( ) ( )AP ABP B P A=

O ukáže se, že rovněž vyhovuje axiomům (pro pevné A)

• rozlišování podmíněné a nepodmíněné pravděpodobnosti nemá logické opodstatnění

• při důkazu, že ( )AP B vyhovuje axiomům, se předpokládá, že A je konstatní – není uspokojující

PRAVDĚPODOBNOST = DVOUARGUMENTOVÁ FUNKCE

Pojem náhodného jevu Věty ve vědeckých teoriích

Věta kauzální: „Jev B se uskuteční ¤ nastane před ním jev A“ následek příčina

Pojem náhodného jevu Věty ve vědeckých teoriích

Věta kauzální: „Jev B se uskuteční ¤ nastane před ním jev A“ následek příčina Věta náhodová ..... VX : „Jev B se uskuteční ¤ nastane před ním jeden

z elementárních jevů množiny MX“

, , , ...XM ξ η ϕ= ... množina elementárních jevů (lib. množina)

X ... náhodný jev [|MX|=1 O věta kauzální]

Statistická teorie: prostřednictvím náhodových vět , , ...X YV V pojednává o náhodných jevech X, Y, ...

Každou statistickou teorii lze považovat za množinu určitých náhodových vět: , , ...X YV VΩ =

Korespondence:

Náhodný jev X množina MX

jevy X, Y se vyskytnou současně

průnik X YM M⋅

nastane aspoň jeden z jevů X, Y

součet X YM M+ (sjednocení)

jev X nenastane \ XE MΩ (doplněk)

EΩ ... množina všech elementárních jevů

XM ... množina elementárních jevů „příznivých“ jevu X (množina realizací jevu X)

Popis vztahů mezi výrokovými funkcemi pomocí množin:

Isomorfismus: , , ...X YV VΩ = ↔ EΩ

výrok. forma VX obor pravdivosti MX

X YV V∧ průnik X YM M⋅

X YV V∨ součet X YM M+

XV¬ \ XE MΩ (doplněk)

tautologie EΩ

kontradikce ∅

X YV V⇒

..... X YM M⊆

¨

X YV V⇒ ¬

..... X YM M⋅ = ∅

X YV V⇒ ¬ X YV V⇒

X YM M∩ = ∅ X Y XM M M∩ =

X YV V⇒ ¬ X YV V⇒ X p YV V⇒

X YM M∩ = ∅ X Y XM M M∩ =

( )( )X Y

X

M MM

µµ

∩

Počet pravděpodobnosti: výrok. forma VX s oborem náhodný jev X s množinou pravdivosti MX realizací MX

X YV V⇒ ¬ X YV V⇒ X p YV V⇒

X YM M∩ = ∅ X Y XM M M∩ =

( )( )X Y

X

M MM

µµ

∩

Počet pravděpodobnosti: výrok. forma VX s oborem ¤ náhodný jev X s množinou pravdivosti MX realizací MX pravděpodobnostní implik. ¤ podmíněná pravděpodobnost („míra vyplývání“) X p YV V⇒ ( , ) ( )XP Y X P Y=

AXIOMATICKA DEFINICE PRAVDEPODOBNOSTI

I. Ω – teleso mnozin X, Y, Z, . . . s nejvetsı mnozinou E

II. Ke kazde dvojici (X, Y ), kde X, Y ∈ Ω, krome (∅, Y )je jednoznacne prirazeno realne cıslo P (X, Y ) ≥ 0

III. Pro kazdou dvojici (X, Y ) nenulovych elementuX, Y ∈ Ω s podmınkou Y ⊇ X platı P (X, Y ) = 1

IV. ∀∅ 6= X ∈ Ω ∀Y, Z ∈ Ω, Y Z = ∅ :

P (X, Y + Z) = P (X, Y ) + P (X, Z)

P je definovana na G \ M, kde

G = Ω× Ω, M = (∅, Y ), Y ∈ Ω

1

AXIOMATICKA DEFINICE PRAVDEPODOBNOSTI

I. Ω – teleso mnozin X, Y, Z, . . . s nejvetsı mnozinou E

II. Ke kazde dvojici (X, Y ), kde X, Y ∈ Ω, krome (∅, Y )je jednoznacne prirazeno realne cıslo P (X, Y ) ≥ 0

III. Pro kazdou dvojici (X, Y ) nenulovych elementuX, Y ∈ Ω s podmınkou Y ⊇ X platı P (X, Y ) = 1

IV. ∀∅ 6= X ∈ Ω ∀Y, Z ∈ Ω, Y Z = ∅ :

P (X, Y + Z) = P (X, Y ) + P (X, Z)

P je definovana na G \ M, kde

G = Ω× Ω, M = (∅, Y ), Y ∈ Ω

V. ∀(X, Y ) ∈ G \ M : P (X, Y ) =P (E, XY )

P (E, X)2

Podobny prıstup

Karl Popper, 1959: The Logic of Scientific Discovery, App. IV

Alan Hajek, 2003: What Conditional Probability Could not Be

3

LOGICKÁ INTERPRETACE PRAVDĚPODOBNOSTI

BERNARD BOLZANO (1781 – 1848), 1834, 1837 Johannes von Kries (1853 – 1928), 1886 William Ernst Johnson (1858 – 1931), 1921 John Maynard Keynes (1883 – 1946), 1921 Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), 1921 Friedrich Waismann (1896 – 1959), 1930 Harrold Jeffreys (1891 – 1989), 1939 OTOMAR PANKRAZ (1903 – 1976), 1939 Rudolf Carnap (1891 – 1970), 1950

Teorie pravděpodobnosti = rozšíření postupů deduktivní logiky Deduktivní logika: závěr plyne jednoznačně a jistě z premis Induktivní logika: závěr plyne z premis částečně, s určitou

pravděpodobností

Teorie pravděpodobnosti = rozšíření postupů deduktivní logiky

Deduktivní logika: závěr plyne jednoznačně a jistě z premis Induktivní logika: závěr plyne z premis částečně, s určitou

pravděpodobností pravděpodobnost = stupeň částečného vyplývání

⇒ všechny pravděpodobnosti jsou podmíněné

pravděpodobnost hypotézy H na základě evidence E

pE H⇒

(nelze hovořit o pravděpodobnosti hypotézy, jen o její pravděpodobnosti vzhledem k určité evidenci)

Teorie pravděpodobnosti = rozšíření postupů deduktivní logiky

Deduktivní logika: závěr plyne jednoznačně a jistě z premis Induktivní logika: závěr plyne z premis částečně, s určitou

pravděpodobností pravděpodobnost = stupeň částečného vyplývání

⇒ všechny pravděpodobnosti jsou podmíněné

pravděpodobnost hypotézy H na základě evidence E

pE H⇒ ......... ( )( )E H

E

M Mp Mµµ

⋅=

(nelze hovořit o pravděpodobnosti hypotézy, jen o její pravděpodobnosti vzhledem k určité evidenci)

pro P(E) 0≠ : P(E H) P(E,H)P(H)P(H,E) ( ) ( )P E P E∧= =

pravděpodobnost hypotézy H na základě evidence E

pE H⇒ ......... ( )( )E H

E

M Mp Mµµ

⋅=

Pankraz, 1938: MX ... libovolná množina

von Kries, 1886: MX ... „Spielraum“ – prostor k pohybu informace o skutečných přírodních zákonech, o empiricky možném světě

Waismann, 1930: MX ... „Spielraum“ – obor faktů, skutečností dokud skutečnost zůstává ve S., tvrzení je pravdivé

Bolzano, 1837; Wittgenstein, 1921:

( )XMµ = počet čistě logicky možných případů

BERNARD BOLZANO (1781 – 1848)

BERNARD BOLZANO (1781 – 1848)

Lehrbuch der Religionswissenschaft, ein Abdruck der Vorle-sungshefte eines ehemaligen Religionslehrers an einer katho-lischen Universität, von einigen seiner Schüler gesammelt und herausgegeben. Sulzbach, 1834.

Wissenschaftslehre. Versuch einer ausführlichen und größten-theils neuen Darstellung der Logik mit steter Rücksicht auf deren bisherige Bearbeiter. Sulzbach 1837 [dokončeno kolem roku 1830].

JOHN CRAIG (†1731)

1696 Theologiae christianae principia mathematica

– Matematické základy křesťanské teologie (publ. 1699) Velká část spisu: matematické vyšetřování pravděpodobnosti přiřazené histo-rické události na základě pozdějších svědectví – se zvláštním důrazem na Kristův příběh

Pravděpodobnost: „Pravděpodobnost je zdání shody nebo neshody dvou názorů prostřednictvím argumentů, jejichž závěr není pevný nebo tak alespoň není přijímán.“ přirozená – vlastní zkušenost

Pravděpodobnost

historická – cizí svědectví

Hlavní téma: jak se pravděpodobnost mění s měnícími se různými faktory Například: Pravděpodobnost historické události, o níž máme svědectví přenesená o vzdálenost D v čase T postupně M svědky:

= + − + ⋅ + ⋅2 22 21( ) qkP x M s T D

t d

x – pravděpodobnost přiřazená primárnímu svědkovi

s – podezření přiřazené každému z následujících svědků

k – podezření vzniklé v čase t

q – podezření vzniklé ve vzdálenosti d

s, k, q < 0

INTERPRETACE CRAIGOVY PRAVDĚPODOBNOSTI 1986 S. M. Stigler: John Craig and the Probability of History: from the Death of Christ to the Birth of Laplace „Přesto existuje jednoduchý způsob, jak pohlížet na vše, co Craig udělal, který jej staví do zcela odlišného světla, jednoduchá interpretace, která ukazuje, že postupoval jako vysoce sofistiovaný statistik 20. století.“

Craigova pravděpodobnost ≠ pravděpod. v našem smyslu

=¬

Pr ( | )log Pr ( | )

E HP E H

E – svědectví (evidence) v současnosti H – daná hypotéza, událost P – Craigova „pravděpodobnost“ Pr – pravděpodobnost v „našem“ smyslu Pr (H ) – apriorní pravděpodobnost nezávislá na svědectví

Druhý příchod Kristův

Craig: tato událost nastane v okamžik, kdy na Zemi zmizí víra

Apoštol Lukáš, 18.8: „Ale nalezne syn člověka víru na zemi, až přijde?“

= + − + ⋅221( ) kP cz n f T

t

⎡ ⎤= + − + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦2 2

2 21( ) qkP x M s T Dt d

= 4c … počet primárních svědků (Matouš, Marek, Lukáš, Jan)

z … pravděpodobnost přiřazená primárnímu svědkovi

n … počet postupných přepisů jejich evangelií

f … podezření vzniklé při každém přepisu

⋅22

kTt

… podezření vzniklé během T let (k za t let; = 50t )

= + − + ⋅221( ) kP cz n f T

t

= 4Tn t … 1 přepis za 200 let

= 10z x … 1 psané svědectví ≈ 10 ústních

= − 100xf … po 100 přepisech je svědectví neakceptovatelné

= − 100xk … 50-leté zpoždění ve vyprávění ≈ 1 přepis

fi ( ) 2

240 14 100 100T x T xP x t t

= − − ⋅ − ⋅

1696 28 T P x= ≈ =

3150 (správně: 3156) 0 T P= ≈ =

Víra nezmizí do roku 3150 (3156)

( ) 240 1 0200 100 2500 100

T x T xx − − ⋅ − ⋅ =

2

4000 1 0200 2500T T− + − =

22 25 20 005 000 0T T+ − =

21,2

25 25 4 2 20 005 0004T − ± − ⋅ ⋅=

T = 3 156,4

Probability is the appearance of agreement or of disagree-ment of two ideas through arguments whose conclusion is not fixed, or at least is not percieved to be so.

Bernard Bolzano (1781 – 1848) Lehrbuch der Religionswissenschaft, 1834

V novější době byly však činěny různé pokusy rozkolísat historickou víru, obzvláště s ohledem na zázraky, a tvrdilo se, že vyprávění o zázracích, především o takových, které se odehrály před mnoha staletími, nebyla nikdy přísně dokazatelná. Stejná tvrzení předložili např. Joh. Crayg, Dav. Hume, Bolinbroke, J. J. Rousseau, G. F. Bahrdt, Im. Kant a mnozí další. ... Kdo má nějaké znalosti v počítání se symboly, bude také moci lehce porozumět následujícím matematickým větám, které zde chci uvést jen proto, že slouží k důkladnému vyvrácení oněch námitek, které byly vzneseny se zdáním učenosti proti možnosti historického ověření nějakého zázraku dokonce od matematiků, např. od Joh. Crayga.

Wissenschaftslehre, 1837

Teorie pravděpodobnosti = rozšíření deduktivní logiky

§161* Vztah poměrné platnosti neboli pravděpodobnosti věty se

zřetelem k jiným větám

1. Již v § 147 jsme se obeznámili s pojmem platnosti věty jakožto vlastnosti, které může nabýt každá věta, považujeme-li některé její představy za proměnné a zkoumáme-li, jak se s ohledem na pravdu chovají nové věty, které z ní mohou být utvořeny výměnou oněch představ za libovolné jiné. Všímáme-li si vztahů, které mohou existovat mezi několika větami, brzy objevíme neobyčejně zajímavý vztah, který je tak podobný vztahu platnosti, že nám jej zcela mimovolně připomíná. Považujeme-li totiž v nějaké větě A nebo také v několika větách A, B, C, D, ... jisté představy i, j, ... za proměnné a jsou-li ve druhém případě věty A, B, C, D,... vzhledem k těmto představám slučitelné, bude často mimořádně důležité poznat poměr, v jakém se nachází množina případů, v nichž se stává kromě nich pravdivou ještě nějaká jiná věta M.

Neboť považujeme-li věty A, B, C, D,... za pravdivé, pak nás poučuje právě poznaný poměr, v němž se nachází množina případů, kdy se stávají pravdivými věty A, B, C, D,..., k množině oněch případů, kdy se kromě nich stává pravdivou ještě věta M, zda máme považovat za pravdivou také větu M, nebo nikoliv.

Činí-li totiž druhá množina více než polovinu první, pak můžeme pouze kvůli pravdivosti vět A, B, C, D,... považovat za pravdivou i větu M; a není-li tomu tak, nikoliv. Dovolím si proto nazvat tento vztah mezi udanými množinami poměrnou platností věty M vzhledem k větám A, B, C, D,... nebo pravděpodobností, které se větě M dostává z předpokladů A, B, C, D,... Jméno poměrná platnost dávám tomuto vztahu pro jeho podobnost s vlastností, kterou jsem v §147 nazval platností věty.

Neboť jako se při platnosti nějaké věty ptáme po poměru, v jakém se nachází množina všech možných vět, které z ní lze utvořit obměnou jistých představ, k podmnožině pravdivých vět mezi nimi, tak se ptáme při poměrné platnosti věty M vzhledem k jistým jiným větám A, B, C, D,... po poměru, v němž se nachází množina případů, kdy se stávají věty A, B, C, D,... pravdivými, k množině případů, kdy se kromě vět A, B, C, D,... stává pravdivou ještě také věta M. Pravděpodobností však nazývám tento vztah, protože se mi zdá, že podle stále běžnějšího jazykového úzu si pod pravděpodobností nepředstavujeme nic jiného než právě zmíněný vztah mezi danými větami, aniž bychom předpokládali, že by si tyto věty nějaká myslící bytost skutečně musela představovat a věřit jim.

( )m X ... počet případů, kdy je pravdivá věta X Bolzanova pravděpodobnost = stupeň potvrzení hypotézy M na základě evidence E A B C= ∧ ∧ ∧K:

( )( , ) ( )m M EP M E m E

∧=

Jan Berg, 1987 předmluva k vydání Wissenschaftslehre: porovnal teorie podané Bolzanem, Wittgensteinem a Carnapem

Bolzano byl první filosof, který studoval pojem induktivní pravděpodobnosti

LUDWIG WITTGENSTEIN (1889 – 1951) Věta = pravdivostní funkce elementárních vět (pravdivostní

argumenty)

Popis stavu:

(WWWW)(a,b) tautologie ( ) ( )a a b b⇒ ∧ ⇒ (FWWW)( a,b) ( )a b¬ ∧ (WFWW)( a,b) ( )a b¬ ∧ (WWFW)( a,b) ( )b a⇒ ....................... (FFFF)( a,b) kontradikce ( ) ( )( )a a b b∧ ¬ ∧ ∧ ¬

a b ( )a b∧ ( )a b¬ ∧ ( )a b⇒ ( )b a⇒ ( )a b∨ ( )a b⇔1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1

a b ( )a b∧ ( )a b¬ ∧ ( )a b⇒ ( )b a⇒ ( )a b∨ ( )a b⇔1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1

Pravdivostní základy = pravdivostní možnosti

pravdivostních argumentů, kdy je daná věta pravdivá

EW ... počet pravdivostních základů věty E [ozn. m(E)] = počet W u věty E

EHW ... počet pravdivostních základů věty H, které jsou zároveň pravdivostními základy věty E [ozn. m(E∧H)] = počet W u věty H, které jsou na stejných místech

i u věty E [jsou v souladu s evidencí]

míra pravděpodobnosti, kterou dává věta E větě H: ( ) ( , )( )

EH

E

W m E H P H EW m E∧= =

Příklad: a b ( )a b∧ ( )a b¬ ∧ ( )a b⇒ ( )b a⇒ ( )a b∨ ( )a b⇔1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1

( )H a b≡ ⇔

( )1E a a≡ ∨ ¬ 2 1( ) 4, ( ) 2, ( , ) 4 2m E m E H P H E≡ ∧ ≡ = =

( )2E a b≡ ∨ 1( ) 3, ( ) 1, ( , ) 3m E m E H P H E≡ ∧ ≡ =

( )3E a b≡ ⇒ 2( ) 3, ( ) 2, ( , ) 3m E m E H P H E≡ ∧ ≡ =

( )4E a b≡ ∧ ( ) 1, ( ) 1, ( , ) 1m E m E H P H E≡ ∧ ≡ =

Jan Berg, 1987: Wittgensteinův praděpodobnostní prostor

= struktura , ,X PF , kde X – množina popisů stavů, F– množinová algebra na X

( )( , ) ( )m E HP H E m E

∧=

m – diskrétní hustá funkce na X, která každému popisu stavu přiřazuje stejnou hodnotu

Erste Tagung für Erkenntnislehre der exakten Wissenschaften, Praha, 15. – 17. září 1929

• Hans Hahn zde přečetl programové prohlášení Wissenschaftliche Weltauffassung – der Viener Kreis (Vědecké pojetí světa – Vídeňský kroužek) kritika pseudověd cíl: jednotná věda očištěná od „škváry historických jazyků“ nástroj: logická analýza jazyka Carnap: výrazy mají smysl jen uvnitř nějakého (uměle vytvoř.)

jazykového deduktivního systému

• přednášky věnované základům matematiky, logiky a vědy • sešli se zde tehdy nejvýznamnější představitelé logické

pravděpodobnosti • sešly se zde myšlenky Bolzana, Keynese, Wittgensteina,

Waismanna, ... (explicitní citace) • Erkenntniss I (editoři: Rudolf Carnap, Hans Reichenbach)

Friedrich Waismann: Logische Analyse der Wahrscheinlichkeitsbegriffs

Cíl: • logické objasnění pojmů pravděpodobnosti • odpověď na otázku, co pravděpodobnost znamená a jaký

je smysl pravděpodobnostních výroků • ... ve shodě s Leibnizem a Bolzanem věřím, že teorie

pravděpodobnosti je oborem logiky • navazuje na Wittgensteina, odstraňuje nedostatky • pravděpodobnost = míra logické blízkosti dvou výroků

Walter Dubislav: diskusní příspěvek v Diskussion über Wahrscheinlichkeit: explicitně porovnal Waismannovo a Bolzanovo pojetí

SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE

VÁCLAV ŠIMERKA (1818 – 1887), 1882

Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1933), 1925

Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1937

pravděpodobnost = stupeň osobního přesvědčení nebo víry v jednu či druhou možnost

Reálný přístup – pracuje s reálnými pojmy, subjektivním přijímáním či odmítáním hypotéz

... každodenní pravděpodobnostní uvažování Důležitá role: podmíněné pravděpodobnosti Posteriorní pravděpodobnost P(H|E) = stupeň přesvědčení o hypotéze H za evidence (situace, okolnosti, svědectví) E. Bayesova věta: P(H)P(E|H)P(H|E)= ( )P E

Problém: numerické vyjádření

Jedno z možných řešení: analogie sázkového systému Příklad: Subjektivní určení pravděpodobnosti hypotézy, že

(1) na Marsu byl někdy život, (2) pokud ano, zda tvorové byli inteligentní.

(1) sázka 1:9 ... ochota zaplatit 1 Kč s perspektivou výhry

9 Kč, pokud se hypotéza někdy potvrdí

(1)1 0,11 9p = =+

(2) sázka 1:999 ...

(2)1 0,0011 999p = =

+

Při uzavírání sázky mohu využít také svých předběžně získaných znalostí. Např. sázím-li při vrhu mincí na to, že padne orel, budu sázet 1:1, pokud o minci nic nevím. Jestliže však vím, že někdo házel dvacetkrát a panna padla pouze šestkrát, mohu uzavřít sázku 2:1, tj. s p=2/3, jakkoliv dobře vím, že se to může stát i při nevychýlené minci. Sázky je ovšem třeba uzavírat konzistentně, tj. dodržovat jistá pravidla, abychom neprohrávali zbytečně. To neznamená nic jiného, než že musíme respektovat axiomy pravděpodobnosti. Nechť např. pravděpodobnosti výhry koní A, B, C jsou p, q, r. Sázet lze buď na jednotlivé koně nebo na několik dohromady. Při sázce na celou trojici musí platit, že cena této sázky je úměrná h=p+q+r, neboť vyhráváme, když vyhraje kterýkoliv z koní A, B, C, a prohráváme, když nevyhraje žádný z nich. Pokud by pravidlo o součtu pravděpodobností neplatilo, bylo by výhodné měnit trojici sázek za sázkou trojnásobnou či naopak.

VÁCLAV ŠIMERKA (1818 – 1887)

Síla přesvědčení. Pokus v duchovní mechanice, 1882 Pravděpodobnost = „přesvědčení“; hodnoty mezi 0 a 1 Příčiny či zdroje přesvědčení = „důvody“, jejich síla = „věrojatnost“ Důvody jsou příčinou přesvědčení ν, ν', ν''… ε=1– ν, ε'=1–ν', ε'=1–ν'' jsou jim příslušející nedokonalosti Celková síla přesvědčení V: 1 – V=(1 − ν)(1 − ν')(1 − ν'') … Když ν=ν'=ν''… =0, pak je mysl prázdná a V=0, neboť „prázdné důvody nepodávají žádné přesvědčení“ „V prázdné mysli ujímá se každý důvod plnou silou. Dle toho může prázdná mysl i planými důvody oklamána býti, což jinak není snadné. Že na tom i nemravná zásada: jen drze pomlouvej, však něco ulpí se zakládala, patrně samo sebou.“ Dále Šimerka číselně vyjadřuje stupeň jistoty a zápas dvou opačných mínění

ČETNOSTNÍ INTERPRETACE Robert Leslie Ellis (1817 – 1859), 1843

John Venn (1834 – 1923), 1866

Richard von Mises (1883 – 1953), 1931

Erich Kamke (1890 – 1961), 1932 pravděpodobnost

= limita relativní četnosti daného jevu v kolektivu kolektiv = nekonečná posloupnost výsledků opakovaného

pokusu, splňující axiomy:

• relativní četnost každého výsledku konverguje k reálnému číslu (pravděpodobnost výsledku)

• relativní četnost konverguje k téže pravděpodobnosti v každé posloupnosti vybrané z kolektivu bez znalosti budoucnosti

Problémy: • výběr náhodných posloupností - „kolektivů“, vzhledem

k nimž jsou limity relativních četností stabilní • vynecháním libovolně vysokého konečného počtu

počátečních členů posloupnosti nezměníme její limitu, avšak právě pouze tyto „zbytečné“ členy posloupnosti, z nichž se o limitě přísně vzato nic nedovíme, jsme schopni opakováním pokusu zjistit

• pojem pravděpodobnosti je vztažen pouze na opakovatelné jevy; tak ztrácí smysl pro konkrétní neopakovatelné jevy (pravděpodobnost, že se zítra zlepší počasí) nebo domněnky (pravděpodobnost platnosti určité teorie).

Četnostní interpretace byla přijímána a prosazována anglickou biometrickou školou a je na ní založena řada dnes široce využívaných statistických metod, např. intervaly spolehlivosti odhadu střední hodnoty náhodné veličiny aj.

Paul Eugen Böhmer, 1923 posloupnosti 0 A aν ν

∞== sestávající z 0 a 1 a splňující

následující podmínky:

1

01

0

1

1

I. lim ,

II. lim pro všechna celá čísla 1, 0,

III. 0 1.

n

n

n

r kn

n

n

a w

a w k r

w

νν

νν

−

→∞ =−

+→∞ =

=

= ≥ ≥

< <

∑

∑

Kolektiv ... 0 1 2, , ,e e e K

Jev A ... podmnožina množiny všech možných výsledků 0 1 2, , ,a a a K, kde 1aν = pro ,e Aν ∈ jinak 0aν =

[ I., III. ≈ P(A), II. ≈ nepravidelnost ]

posloupnosti 0 A aν ν∞== sestávající z 0 a 1 a splňující následující podmínky:

1

01

0

1

1

I. lim ,

II. lim pro všechna celá čísla 1, 0,

III. 0 1.

n

n

n

r kn

n

n

a w

a w k r

w

νν

νν

−

→∞ =−

+→∞ =

=

= ≥ ≥

< <

∑

∑

Mocninná řada 0( ) , f z a z zν

νν∞=

= ∈∑ C – konverguje uvnitř jednotkové kružnice – diverguje ve všech bodech jednotkové kružnice – definuje analytickou funkci ( )f z komplexní proměnné, která

je regulární uvnitř jednotkové kružnice a má na ní singularity – ( )f z nemůže být algebraická funkce – pro radiální limity platí: (1)

1lim(1 ) ( ) ,z

z f z w→

− = (2) lim ( ) ( ) 0 pro 1, 1.kz

z f zεε ε ε

→− = = ≠

Kritérium nepravidelnosti: I, III, (2) fi II

KAREL RYCHLÍK (1886 – 1968) 1914/15 – 1939/40 Počet pravděpodobnosti – přednáška na české technice

1931/32 Počet pravděpodobnosti (Misesova teorie) – výběrová přednáška na české univerzitě

1933 Poznámka k Böhmerovým nepravidelným posloupnostem

Zobecnění Böhmerových myšlenek (+ Kamke, 1932):

posloupnosti 0 A aν ν∞== , kde 1 2, , , ha A A Aν ∈ K , h∈N

( , )nN A Aν ... počet výskytů Aν mezi prvními n prvky posl. A

,( , )n k rN A Aν ... ⎯ 7 ⎯ , 2 , , , k r r r k r kA a a a+ += K

,,k r ∈Z 0,r ≥ 1k ≥

,

( , ) I'. lim existuje pro každé 1,2, ,

( , )lim pro každé 1,2, , a každé II'.

, , kde 1, 0 1

III'. alesp

nn

n k r

n

N A A p hnN A A

p hnk r k r k

νν

νν

ν

ν

→∞

→∞

= =

= =

∈ > ≤ ≤ −

K

K

Z

oň dvě různá čísla se v vyskytují nekonečně mnohokrát

i jA A A≠

[ I’. ... 1 2, , , hp p pK představuje pravděpodobnostní rozdělení A vzhledem k 1 2, , , hA A AK ; tj. 1 2 1hp p p+ + + =L ] Věta: Jsou-li splněny podmínky I’–III’, pak má analytická funkce ( )f z definovaná mocninnou řadou 0( )f z a zννν

∞=

= ∑ jednotkovou kružnici za přirozenou hranici.

radiální limity: 1 1

1 lim (1 ) ( ) h hz

z f z A p A p→

− = + +L , lim ( ) ( ) 0 pro 1, 1kz

z f zεε ε ε

→− = = ≠

PROPENZITNÍ INTERPRETACE

oživuje myšlenky Ch. S. Peirce a A. A. Cournota vyslovené v 19. stol.

pravděpodobnost = jistý druh dispozice produkovat posloupnost

dějů s charakteristickou četností

Případ jednoho takového děje je chápán opět jako sklon náhody produkovat za určitých okolností jistý výsledek právě jedenkrát. Tento sklon - propensita - kvantifikovaný stupnicí mezi nulou a jedničkou, charakterizuje stupeň možnosti jevu, který není plně určen tím, co mu předchází. Tento typ děje můžeme sledovat, jestliže se nám podaří shromáždit dostatečný počet podobných „okolností“, např. radioaktivních atomů uskutečňujících nezávisle svůj jediný děj - rozpad.