102FY1G

FYZIKA G

PRAKTICKÁ CVIČENÍ

Petr Pokorný

Fakulta stavební ČVUT v Praze, katedra fyziky

Skupina aplikované optiky

Petr Pokorný

Filip Šmejkal

petr.pokorny@fsv.cvut.cz

Fakulta stavební ČVUT v Praze, katedra fyziky, A634

Konzultace: úterý 12 – 14, po e-mailové dohodě

Docházka

• Absence písemně omluvené (e-mail), každý musí naměřit všechny úlohy, v případě nepřítomnosti

nutno nahradit s jiným kruhem

Příprava na cvičení – za skupinu do LABORATORNÍHO DENÍKU (viz dále), každý přehled o problematice

• Teorie – písemná příprava (co měřím, základní vzorce pro zpracování, vztahy pro výpočet nejistot, …)

• Praxe – formuláře, výpočetní programy, …

Měření musí být schváleno vyučujícím

• Vyučující schvaluje datem a podpisem v Laboratorním deníku (povinnost studentů zajistit si potvrzení

před odchodem z laboratoře)

Protokoly odevzdávané za skupinu

• Do konce semestru, všichni jsou zodpovědní za obsah, všichni musí rozumět procesu zpracování

• Laboratorní deník odevzdáván na závěr semestru za skupinu

Toman J., Semerák P., Fyzika 10 – Praktická cvičení, Nakladatelství ČVUT, 2001.

Úlohy GPředmět Fyzika G

• Toman J., Semerák P., Fyzika 10 – Praktická cvičení, Nakladatelství ČVUT, 2001.

• JCGM 100:2008, Evaluation of measurement data – Guide to the expression of

uncertainty in measurement, 2008.

• Kaarls R., BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, A1-A12, 1981 (in

French); Giacomo P., Metrologia 17, 73 -74, 1981 (in English).

• Pokorný P., Metodika zpracování fyzikálních měření, FSv ČVUT,

http://departments.fsv.cvut.cz/k102/sites/default/files/k102/vyuka/predmety

/soubory/Metodika_zpracovani_fyzikalnich_mereni.pdf .

• Červenka M., Zpracování fyzikálních měření, FEL ČVUT,

http://herodes.feld.cvut.cz/mereni/downloads/navody/zpracdat.pdf .

• Horák Z., Krupka F., Šindelář V., Technická fyzika, SNTL, 1961.

• Rektorys K., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968.

Knihkupectví ČVUT: eobchod.cvut.cz

Antikvariát Eva Kozáková: antikvariat-ucebnice.cz

• Dodržovat bezpečnostní pokyny, pořádek, čistotu

• Dbát pokynů cvičícího

• Elektronická zařízení zapojovat až po odsouhlasení a pod dohledem vyučujícího

• Chovat se tiše, neopouštět laboratoř bez oznámení

• Zákaz kouření, jezení, požívání alkoholických nápojů, práce pod vlivem

alkoholických nápojů a jiných omamných látek

• Škody vzniklé nedbalostí, neopatrností nebo porušením pokynů musí viníci nahradit

obstaráním náhrady, případně zaplacením (způsob určí učitel nebo vedoucí

laboratoře)

• Upozorňovat na závady, nahlásit zranění

• Podrobně viz http://departments.fsv.cvut.cz/k102/vyuka/laboratore-pro-vyuku

102FY1G

FYZIKA G

PRAKTICKÁ CVIČENÍ

Petr Pokorný

Fakulta stavební ČVUT v Praze, katedra fyziky

Skupina aplikované optiky

102FY1G

FYZIKA G

PRAKTICKÁ CVIČENÍ

Kde mohou vznikat nejistoty (chyby) měření?

Kde mohou vznikat nejistoty (chyby) měření?

špatná

kalibrace

měřidla

přiložení ke

vzorku

čtení hodnoty

teplotní

roztažnost

vzorku

(laboratorní

podmínky)poničení

měřidla

teplotní

roztažnost

vzorku

(laboratorní

podmínky)

Kde mohou vznikat nejistoty (chyby) měření?

špatná

kalibrace

měřidla

přiložení ke

vzorku

čtení hodnoty

poničení

měřidla

Téměř každý element vyskytující

se při měření je zdrojem nejistoty

Hrubé chyby měření

Systematické chyby měření

Nahodilé chyby měření

Chybné odečtení hodnoty

Chybný zápis

Záměna jednotek

Měřák ukazuje

neustále o trochu

více

Konstrukční

nedokonalost

přístroje

Zanedbání globální

změny okolních

podmínek

Různé hodnoty při

stejné metodě za

stejných podmínek

Zastavení stopek

Reakční doba experimentátoraMalé změny podmínek

(vnitřní změny přístroje)

Hrubé chyby měření

Systematické chyby měření

Nahodilé chyby měření

Chybné odečtení hodnoty

Chybný zápis

Záměna jednotek

Měřák ukazuje

neustále o trochu

více

Konstrukční

nedokonalost

přístroje

Zanedbání globální

změny okolních

podmínek

Různé hodnoty při

stejné metodě za

stejných podmínek

Zastavení stopek

Reakční doba experimentátoraMalé změny podmínek

(vnitřní změny přístroje)

Chybné odečtení hodnoty

Chybný zápis

Záměna jednotek

Měřák ukazuje

neustále o trochu

více

Konstrukční

nedokonalost

přístroje

Zanedbání globální

změny okolních

podmínek

Různé hodnoty při

stejné metodě za

stejných podmínek

Zastavení stopek

Reakční doba experimentátoraMalé změny podmínek

(vnitřní změny přístroje)

Hrubé chyby měření

Systematické chyby měření

Nahodilé chyby měření

IHNED

ELIMINUJEME

ČÁSTEČNĚ

POTLAČUJEME

Nezávislá měření

Metodika měření

Kalibrace přístrojů

Početní korekce

NELZE ELIMINOVAT

ODHADUJEME JEJICH HODNOTY, PŘIŘAZUJEME K VÝSLEDKŮM MĚŘENÍ

V rámci našich laboratorních měření předpokládáme:

V měření se nevyskytují hrubé chyby.

Metodou měření jsme maximálně potlačili systematické

chyby.

V měření jsou pouze náhodné (nahodilé) chyby.

Velké chyby jsou méně časté než malé.

Kladné a záporné chyby stejné absolutní hodnoty jsou stejně

pravděpodobné.

• Každé měření je zatíženo náhodnou (nahodilou) chybou.

• Velikost nahodilých chyb odhadujeme pomocí statistického

zpracování.

K čemu je nám tedy statistika dobrá?

• Teorie statistiky definuje teoretické hodnoty pravděpodobnosti

výskytu určité náhodné veličiny (s jakou pravděpodobností bude v

měření chyba určité velikosti).

• Tyto hodnoty nemůžeme nikdy přesně z měření získat, pouze je

odhadujeme.

• Statistika poskytuje nástroje k odhadu hodnot charakterizujících dané

náhodné veličiny.

• Výsledek měření zatížený náhodnou chybou

je tzv. náhodná veličina (předpokládejme

spojité náhodné veličiny).

• Náhodná veličina se vyskytuje s určitou

pravděpodobností.

• S jakou pravděpodobností se vyskytne

náhodná veličina x v intervalu [x1, x2] ?

2

1

d)()( 21

x

xx uufxxxP

Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny

Střední hodnota

Variance (rozptyl)

Směrodatná odchylka

uuufxE x d)(}{

uufuxExVar x d)()(}){(}{ 222

}){(}{ 2 xExVar

Cíl laboratorních měření

Z naměřeného souboru dat odhadnout nejpravděpodobnější

hodnoty náhodných veličin a jejich charakteristik přesnosti.

Střední (skutečná) hodnota

Směrodatná odchylka

Odhad střední hodnoty

Standardní nejistota

vs.

Te

ori

e

Pra

xe

102FY1G

FYZIKA G

PRAKTICKÁ CVIČENÍ

Soubor měření

Odhad skutečných

hodnot

Odhad nejistot

Opakovaná přímá měření

vzdáleností, úhlů, teplot,

tlaků, …

Odstranění (oprava) hrubých

chyb, zpracování

vícenásobných měření,

výpočet závislých veličin,

výpočet parametrů

funkčních závislostí, …

Nejistoty přímých měření,

přístrojů, odhad nejistot

vlivem experimentátora, vliv

na výsledné hodnoty, …

Příklad: měření teplotní

délkové roztažnosti

Základní délka vzorku,

protažení, teploty

Průměrování, výpočet

parametrů lineární

závislosti protažení se

změnou teploty, výpočet

koeficientu teplotní

délkové roztažnosti

Nejistoty přímo měřených

veličin (základní délka,

protažení, teploty), vliv

experimentátora, vliv na

výsledný koeficient

Metoda nejmenších čtverců

Vážený průměr

Aritmetický průměr

Metoda postupných měření

Princip metody nejmenších čtverců

Minimalizace sumy čtverců odchylek (vážených odchylek) mezi

měřenými daty a výsledným odhadem středních hodnot modelu

minimalizace, hledáme extrém

T

Mii qqNixfy ),,(,,,1),,( 1 qq

),( qiii xfy

pro i-té měření:

podmínka MNČ

2

2

0

2

2

0

22

22

2

11

1

22 .min

ii

i

NN

N

i

ii

s

sp

pppp

hledáme parametry q

jq j

0

2

j rovnic pro j neznámých

parametrů

Linearizovaný model

• Měření [x, y] můžeme přepsat do maticového zápisu

• Obecně není stejně N měření jako M hledaných parametrů,

předpokládejme N > M

lAq

)(

)(

)(

,,

)()()(

)()()(

)()()(

2

1

2

1

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

y

y

y

lq

xxx

xxx

xxx

A

NMMNNN

M

M

l

l

l

q

q

q

fff

fff

fff

podmínka MNČ

.min2 PεεT

matice soustavy

vektor hledaných parametrů

vektor pravých stran

0

)()(2

PlAPAqA

lAqPlAqqq

TT

TPlAPAAq

TT 1)(

),,,(diag, 21 Nppp PlAqε

Příklad: Aproximace MNČ lineární závislosti

Nibaxbaxfy iii ,,1,),,(

2

2

0

2

2

0

1

22 ,)(ii

i

N

i

iiis

spbaxyp

),,,(diag,,,

1

1

1

21

2

1

2

1

N

NN

ppp

y

y

y

b

a

x

x

x

PlqA

1. Sestavení modelu do maticového zápisu 2. Řešení soustavy rovnic ve

smyslu MNČ

PlAPAAqTT

b

a1)(

Nibaxbaxfy iii ,,1,),,(

2

2

0

2

2

0

1

22 ,)(ii

i

N

i

iiis

spbaxyp

0222)(2

0222)(2

1111

2

11

2

11

2

N

i

i

N

i

ii

N

i

ii

N

i

iii

N

i

ii

N

i

ii

N

i

iii

N

i

iiii

pbxpaypbaxypb

xpbxpayxpbaxyxpa

N

i

ii

N

i

i

N

i

ii

N

i

iii

N

i

ii

N

i

ii

yppbxpa

yxpxpbxpa

111

111

2

soustava 2 rovnic pro 2 neznámé

N

i

ii

N

i

ii

N

i

ii

N

i

i

N

i

iii

N

i

ii

N

i

ii

N

i

ii

N

i

ii

N

i

ii

N

i

ii

N

i

i

N

i

ii

N

i

ii

N

i

i

N

i

iii

xpxpxpp

yxpxpypxp

b

xpxpxpp

xpyppyxp

a

111

2

1

1111

2

111

2

1

1111

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

xxxN

yxxyx

b

xxxN

xyyxN

a

111

2

1111

2

111

2

111

ipi 1

měření stejné

váhy

Niaxaxfy iii ,,1,),(

2

2

0

2

2

0

1

22 ,)(ii

i

N

i

iiis

spaxyp

022)(21

2

11

2

N

i

ii

N

i

iii

N

i

iiii xpayxpaxyxpa

N

i

iii

N

i

ii yxpxpa11

2

N

i

ii

N

i

iii

xp

yxp

a

1

2

1

Vážený průměr

Aritmetický průměr

022)(2111

2

N

i

si

N

i

ii

N

i

sii

s

xpLpxLpx

N

i

ii

N

i

is Lppx11

N

i

i

N

i

ii

p

Lp

x

1

1

Vyrovnání MNČ pro přímá měření různé

váhy odpovídá váženému průměru.

sii xL

ss xxf )( )( si xfL

N

i

sii xLp1

22 )(

N

L

x

N

i

i 1

Vyrovnání MNČ pro přímá měření stejné

váhy odpovídá aritmetickému průměru.

ipi 1

• pro navazující měření, koncový bod jednoho je počátečním druhého

• pro sudý počet měření (při lichém zpravidla vynecháme první)

• průměr z rozdílů dvou následujících měření nepřináší žádné zpřesnění (mezilehlá

měření se vzájemně odečtou) → jiný přístup

1x 1kx

2x 2kx

1kx 1Nx

kx Nx

111 xxk

222 xxk

111 kNk xx

kNk xx

Nejlepší odhad přírůstku

2/,,,,,, 121 Nkxxxxx Nkk

iiki xx

k

xx

kx iiki

i

k

i

ixk

x1

1

2/

112/2

112

12

411 N

i

i

N

Ni

i

k

i

i

N

ki

i

k

i

i xxN

xxkk

g

lT π2]s[iiki tt

10N

]s[/ kt ii

s99972,01

1

k

i

itk

T

Měřené postupné časy [s]

1,000 5,999

2,010 7,002

3,005 8,005

3,998 9,001

5,001 10,000

4,999

4,992

5,000

5,003

4,999

0,9998

0,9984

1,0000

1,0006

0,9998

Příklad: Měření periody matematického kyvadla

1. Funkce jedné proměnné, spojitá funkce f(x), na okolí x existuje její

derivace

2. Funkce více proměnných

f(x)

f(x + dx)

x x + dx

dx

dy

ef’(x) = dy/dx = tan(α)

α dy = f’(x) ∙ dx

f(x + dx) = f(x) + dy + e

f(x1 + dx1, x2 + dx2, …)= f(x1, x2, …) + dy1 + dy2 + … + e

= f(x) + grad[f](x1, x2, …) ∙ dx + e

dyi = fxi(x1, x2, …) ∙ dxi

Příklad: funkce jedné proměnné

f(x)

f(x + dx)

x x + dx

dx

dy

e

α

Příklad: funkce dvou proměnných

f(x1 + dx1, x2 + dx2, …) = f(x1, x2, …) + dy1 + dy2 + … + e = f(x) + grad[f](x1, x2, …) ∙ dx + e

Statistický nástroj pro určení vlivu nejistoty dílčích parametrů na výslednou

hodnotu, která je na těchto parametrech funkčně závislá.

T

Myyy ],,,[ 21 y

T

Nxxx ],,,[ 21 x

d dy J x

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

/ / /

/ / /

/ / /

N

N

M M M N

f x f x f x

f x f x f x

f x f x f x

J

( ) ( ) TΣ y JΣ x J

2 2 2

1,1 1,2 1,

2 2 2

2,1 2,2 2,

2 2 2

,1 ,2 ,

( )

N

N

N N N N

Σ x

vektor výsledných hodnot

závislý na vektoru dílčích parametrů

vliv malých změn xi na změnu yj

(totální diferenciál)

Jacobiho matice

(matice

parciálních

derivací)

kovarianční matice

1 2( , , , ) ( )j j N jy f x x x f x

mimo diagonálu

kovariance,

vyjadřují

závislost mezi

veličinami na diagonále

variance (čtverce

směrodatné

odchylky)

(kovariance mimo diagonálu, vyjadřující závislost mezi proměnnými, jsou nulové)

22 2

2 2 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )j j j

j N

N

f f fy x x x

x x x

x x x

2

1,1

2

2,2

2

,

0 0

0 0( )

0 0 N N

Σ x

1 2( , , , ) ( )j j N jy f x x x f x

1 1 2 1

1,1

1 1 12

2,2

12

,1

0 0

0 0( )

0 0

M

N

M M M

N NN N N

f f f f

x x x x

f f f f

x x x x

Σ y

( ) ( ) TΣ y JΣ x J

Pro možnost použití zákona přenášení variancí musí tedy platit:

1. Dílčí náhodné veličiny musí mít sudé pravděpodobností rozložení.

2. Chyby dílčích náhodných veličin jsou malé vzhledem k výsledným

funkčním hodnotám a mají nulovou střední hodnotu.

3. Vliv malé změny dílčí veličiny na výslednou hodnotu je malý a lze

vyjádřit pomocí totálního diferenciálu (tj. funkce charakterizující

danou závislost musí být diferencovatelná na okolí daného

dílčího bodu).

Jak určit nejistoty jednotlivých měřených parametrů?

odhad směrodatné odchylky (σ) → výběrová směrodatná odchylka (s)

standardní nejistota určená metodou typu A (uA)

standardní nejistota určená metodou typu B (uB)

Jaká bude výsledná nejistota jednotlivých měřených parametrů?

Využívá zákon přenášení variancí.

Předpokládáme, že nejistota určená statistickým zpracováním (uA) nemá souvislost s

dodatečnou informací o měřené veličině (uB – např. vliv přístroje, kalibrace, empirické

pozorování).

)()( CsC uxxux 68% interval spolehlivosti (pro normální rozdělení)

( ) ( )p C s p Cx k u x x k u rozšířený interval spolehlivosti

kp 0.674 1 1.96 2 2.576 3

P 0.500 0.683 0.950 0.955 0.990 0.997

P = 95%pro normální rozděleníp CU k u

Standardní nejistota určená metodou typu A odpovídá odhadu

směrodatné odchylky pravděpodobnostního rozdělení chyby daného

měřeného parametru (výběrové směrodatné odchylce).

Předpokládáme normální pravděpodobnostní rozdělení.

2

1

1( ) ( )

1

N

A i

i

u x x xN

Jednorozměrné normální

pravděpodobnostní rozdělení

(odhad střední hodnoty parametru

aritmetickým průměrem)

Odhad nejistot měřicích pomůcek, měřiče, …

Využití dostupných informací – kalibrační protokoly, specifikace od

výrobce, dříve analyzovaná data, zkušenosti experimentátora

Standardní nejistota vyjádřena odhadem směrodatné odchylky

rovnoměrného pravděpodobnostního rozdělení

( )12

Bu x

velikost intervalu, na kterém očekáváme

stejnou pravděpodobnost výskytu náhodné

veličiny (rovnoměrné pravděpodobnostní

rozdělení)

2. Nejistota u ručičkového přístroje

- přesnost dána třídou přesnosti (TP)

- maximální relativní velikost chyby

při výchylce v krajní poloze

100/TP)stupnicerozsah (

100/TP)stupnicerozsah (2

( )12 3

Bu x

1. Nejistota z rozlišení přístroje

- žádné informace o přístroji

- předpoklad rovnoměrného

pravděpodobnostního rozdělení

pro odečítanou nejmenší

hodnotu

mm1odečtená hodnota je se

stejnou pravděpodobností

v „± polovině nejmenšího

dílku“

( )12 3

Bu x

3. Nejistota u digitálního přístroje

( )12 3

Bu x

Δ = 2 x (p% z měř. hodnoty + n digitů)

Δʹ = (p% z měř. hodnoty + n digitů)

hodnoty p a n dány výrobcem,

n digitů = n násobek rozl. schopnosti

2. analogový (ručičkový) ampérmetr

2,5TP

A100stupnicerozsah

A4,112

100/5,2A1002)(

IuB

12

100/TP)stupnicerozsah (2

12)(

IuB

1. posuvné měřítko s noniem (vernierem)

mm6,7x

mm1,0 mm03,012

1,0)( xuB

312)(

xuB

3. digitální voltmetr

Δ = 2 x (p% z měř. hodnoty + n digitů)

Δʹ = (p% z měř. hodnoty + n digitů)

dáno výrobcem: p = 0.5, n = 1

μV3,4mV103,412

)001,0100/5,0mV305,1(2)( 3

UuB

Zpracování přímo měřených parametrů

1. Odhad skutečné hodnoty přímo měřené

veličiny

2. Odhad nejistoty určený metodou typu A

(odhad směrodatné odchylky daného

pravděpodobnostního rozdělení)

3. Odhad nejistoty určený metodou typu B

4. Výpočet kombinované nejistoty pomocí

zákona přenášení variancí

5. Výpočet rozšířené nejistoty

(pokud hodnotu dále nepoužíváme)

1

)(

)( 1

2

N

xx

xu

N

i

i

A

Příklad: aritmetický průměr

1

1 N

i

i

x xN

12)(

xuB

N

xuxuxu BA

C

)()()(

22

( ) ( )p CU x k u x

Výpočet vlnové délky z

difrakce na mřížce

Ze zpracování vícenásobně přímo

měřených hodnot získáme odhady

kombinovaných nejistot parametrů

Potřebné derivace pro ZPV (pro vyčíslení

použijeme výsledné měřené hodnoty)

22sin

zy

y

k

a

k

a

k

kk

( ), ( ), ( )C C k Cu a u y u z

)()(

)()(

1

222/322

22

2

2/322

2

22

zy

z

zy

zy

k

a

z

zyy

z

zy

z

k

a

y

azy

y

ka

kk

k

kkkk

k

k

22 2

2 2 2

2 4 2 2 2

2 4 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

C C k C

k

C C k C

k k k

p

u u a u y u za y z

u a z u y z u z

a y y z y z

U k u

Použití ZPV a výpočet rozšířené nejistoty

2 2 2

1,1 1,2 1,

2 2 2

2,1 2,2 2,

2 2 2

,1 ,2 ,

( )

M

M

M M M M

s s s

s s s

s s s

Σ q

Připomenutí MNČ: PlAPAAqTT 1)(

2 2 1

0 0( ) ( )Ts s Σ q C A PA

MNMNs

TT

)()(2

0

lqAPlqAεPε

lAq

matice kofaktorů

aposteriorní odhad

kovarianční matice

aposteriorní jednotková variance

2

, ,i js i j

2

, ,i js i j

kovariance

variance

odhad nejistoty

m-tého parametru

2

,( )C m m mu q s

2 2

0 0

2 2 ( )i

i C i

sp

u l

k vyčíslení vah využijeme

kombinované nejistoty

vstupních parametrů

U hodnocení nejistoty výsledku metody postupných měření

využijeme výpočet nejistoty aritmetického průměru (odhad

směrodatné odchylky pravděpodobnostního rozdělení + zákon

přenášení variancí).

k

xx

kx iiki

i

k

i

ixk

x1

1Při MPM z hodnot

2

2 10

( )

( )1

k

i

ii

x x

s xk

počítáme průměr

(k je počet dvojic měření)

0 ( )( ) i

C

s xu x

k

Vážený a aritmetický průměr jsou speciálním případem MNČ. Lze

ukázat, že odhad jejich nejistot můžeme vypočítat úpravou vztahů

pro MNČ.

Při výpočtu nejistot parametrů určených pomocí MNČ určíme váhy

pomocí standardních kombinovaných nejistot vstupních hodnot, ve

kterých jsou zahrnuty nejistoty určené metodou typu A a B.

Vztah pro určení rozšířené nejistoty (U) použijeme až pro úplně

poslední vypočtenou hodnotu. Při dílčích výpočtech (např. vstup do

MNČ nebo zákona přenášení variancí) užíváme nejistoty standardní

(u).

Měřené hodnoty

Statistické zpracování a

výsledky numerických

řešení

Odhad skutečných

hodnot

Odhad nejistot

metodou typu A

Odhad nejistot

metodou typu B

Zhodnocení kvality

přístrojů a zkušeností

experimentátoraNumerické zhodnocení

měření

Odhad nejistot

výsledných hodnot

Kombinovaná nejistota (C)

Rozšířená nejistota

102FY1G

FYZIKA G

PRAKTICKÁ CVIČENÍ

Speciální případ MNČ1( )T T Aq l q A PA A Pl

1

2 22 0 0

1 2 2 2

1

1, , , diag( , , , ) ,

1

N i

i i

N

L

L sq p p p p

s

L

A q l P

1

1

21

1

1 1

2 2

1

0 0 1

0 0 1 1( ) 1 1 1

0 0 1

0 0

0 01 1 1

0 0

T

N

i

iN

NT

i i

i

N N

p

p

pp

p L

p Lp L

p L

A PA

A Pl

1

1

N

i i

i

N

i

i

p L

q

p

hledáme pouze jeden parametr – maticové výpočty se značně zjednoduší

2 2

0

1

2

2 2 2 1 10 0

1

( ) ( ) 1( )

1

( )

( ) ( ) ( )

( 1)

T N

i i

i

N

i iT i

C N

i

i

s p q LN M N

p q L

u q s s

N p

Aq l P Aq l

Σ q C A PA

1

1

21

1

0 0 1

0 0 1 1( ) 1 1 1

0 0 1

T

N

i

iN

p

p

pp

A PA1

1

N

i i

i

N

i

i

p L

q

p

2

1

1

( )

( )

( 1)

N

i i

iC N

i

i

p q L

u q

N p

maticový zápis vhodný pro programování

Aritmetický průměr je speciálním případem váženého, kdy jsou

všechny váhy jednotkové

1

N

i

i

L

qN

ipi 1

1

1

N

i i

i

N

i

i

p L

q

p

2

10

( )

1

N

i

i

q L

sN

2

1

( )

( )( 1)

N

i

iC

q L

u qN N

shodné s odhadem nejistoty uA(x) přímého

měření metodou typu A,

tj. jedná se o výběrovou směrodatnou odchylku

normálního pravděpodobnostního rozdělení

lze také odvodit jako důsledek zákona

přenášení variancí 22 0( )C

su q

N

d

h

m

Přímo měřené hodnoty

d [mm] 31.92 31.91 31.92

h [mm] 30.44 30.45 30.43

m [g] 64.845 64.848 64.846

Zpracování přímo měřených hodnot

2

4

π

m m

V d h

veličinaaritmetický

průměruA uB uC

d [mm] 31.917 0.006 0.003 0.004

h [mm] 30.440 0.010 0.003 0.006

m [g] 64.846 0.002 0.000 0.001

2

2 2

1

1

( )( ) ( )1

( ) ( ) ( )1 12

N

iNi A B

i A B C

i

x xu x u x

x x u x u x u xN N N

Přímým měřením rozměrů a hmotnosti válečku určete hustotu, ze které je

daný vzorek vyroben, a vypočtěte nejistotu výsledné hustoty.

d

h

m

Výpočet výsledné hodnoty hustoty

2

4

π

m m

V d h

Výpočet nejistoty (zákon přenášení variancí)

3

2

42662.66 kg/m

π

m

d h

veličinaaritmetický

průměruC

d [mm] 31.917 0.004

h [mm] 30.440 0.006

m [g] 64.846 0.001

2 3 2 2

4 8 2 4, ,

π π π

m m

m d h m d d h d h d h h

2 2 2 2 2 22 2 2 3

2 2 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 0.82 kg/mC C C

C C C C

u m u d u hu u m u d u h

m d h m d h

3(2662.66 1.60) kg/m

3

95% ( ) 1.96 ( ) 1.60 kg/mCU u

Meridián rotačně symetrické kvadratické plochy byl proměřen v 9 bodech.

Nejistota vertikální souřadnice je dána lineárním vztahem uC(z) = 0.01 + 0.05z .

Vypočtěte koeficienty kvadratického profilu meridiánu společně s odhadem

jejich nejistot.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi [mm] -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0 2.5 5.0 7.5 10.0

zi [mm] 0.02 2.16 3.33 4.48 5.35 4.43 3.94 2.20 0.01

uC(zi) [mm] 0.01 0.12 0.18 0.23 0.28 0.23 0.21 0.12 0.01

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi [mm] -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0 2.5 5.0 7.5 10.0

zi [mm] 0.02 2.16 3.33 4.48 5.35 4.43 3.94 2.20 0.01

uC(zi) [mm] 0.01 0.12 0.18 0.23 0.28 0.23 0.21 0.12 0.01

Výpočet vah

pi 784.0 54.4 24.2 14.8 1 14.8 17.8 54.4 784.0

211 1

222 2

1 2

2

1

1, , , diag( , , , )

1

N

NN N

zx xa

zx xb p p p

czx x

A q l P

2

0

2 ( )i

C i

up

u z

0 0.28u vhodně volíme (jedna z nejistot v měření)

Sestavení matic modelu a výpočet koeficientů

1

0.04874

( ) 0.00009

4.88970

T T

q A PA A Pl

2z ax bx c lAq

2 1

0

+0.000001465512499 0.000000002217547 0.000145471697735

( ) ( ) = 0.000000002217547 +0.000000740900421 +0.000000221619623

0.000145471697735 +0.000000221619623 +0.014513553730312

Ts

Σ q A PA

0

( ) ( )0.34

T T

sN M N M

ε Pε Aq l P Aq l

Výpočet nejistot vyrovnaných parametrů

počet měřených hodnot počet vypočítávaných parametrů

vyčíslujeme s vypočtenými parametry

nejistoty (odhady směrodatných odchylek)

vyrovnaných parametrů jsou odmocniny z

diagonálních prvků kovarianční matice( ) 0.0012

( ) 0.0009

( ) 0.1205

C

C

C

u a

u b

u c

Rozšířené nejistoty a shrnutí výsledků

2

1( 0.0487 0.0024) mm

( 0.0001 0.0017)

( 4.89 0.23) mm

z ax bx c

a

b

c

95%

95%

95%

( ) 1.96 ( ) 0.0024

( ) 1.96 ( ) 0.0017

( ) 1.96 ( ) 0.2361

C

C

C

U a u a

U b u b

U c u c

(95% interval spolehlivosti)

Aposteriorní jednotková nejistota

Nejistoty vypočtených koeficientů

Střední kvadratická chyba – RMS, Root Mean Square

Max-Min hodnota – PV, Peak to Valey

2

1( 0.0487 0.0024) mm

( 0.0001 0.0017)

( 4.89 0.23) mm

z ax bx c

a

b

c

(95% interval spolehlivosti)

0

( ) ( )T T

sN M N M

ε Pε Aq l P Aq l

2 1

0( ) ( ) Ts Σ q A PA

( ) ( )RMS =

T T

N N

ε ε Aq l Aq l

PV max( ) min( ) ε ε

odmocnina z diagonálních

prvků kovarianční matice

kvadratický průměr

rozdílů mezi původními

daty a vyrovnanými

hodnotami

rozdíl mezi maximální a

minimální hodnotou

rozdílů mezi původními

daty a vyrovnanými

hodnotami

0 0.34

RMS 0.22 mm

PV 0.81 mm

s

Různé příklady převodů fyzikálních modelů na lineární aproximaciPrůhyb u vodorovně položené tyče na dvou podpěrách vzdálených l v

závislosti na hmotnosti m na ní zavěšeného závaží lze vyjádřit jako

,48

3

kmmEI

glu

kde g je tíhové zrychlení, E je modul průřezu v tahu, I je moment setrvačnosti.

Předpokládejte znalost různých závaží a průhybu tyče, pomocí MNČ určete

koeficient k. Dále předpokládejte stejně přesná měření průhybu.

úprava vztahu: Akk

mm P

p

3

1

12

Vztah mezi hmotností závaží m na pružině, hmotností pružiny mp a tuhostí

pružiny k lze zapsat jako:

Pomocí MNČ určete tuhost pružiny, jestliže znáte hodnoty hmotností pro různá

závaží, hmotnost pružiny a odpovídající frekvence. Předpokládejte stejně

přesná měření.

.

3

1P

p

mm

k

Délka tyče v závislosti na změně teploty Δt, počáteční délce l0 a koeficientu

délkové teplotní roztažnosti α je dána vztahem:

Pomocí MNČ určete koeficient délkové teplotní roztažnosti, jestliže znáte

hodnoty délek tyče pro různé teploty. Předpokládejte stejně přesná měření.

000 )1( tlltll

Předpokládáme-li znalost počáteční délky a

považujeme ji za přesnou (fixujeme ji),

můžeme vztah převést na lineární závislost:

tll

ll

~

0

0

Vybíjecí křivka kondenzátoru je dána předpisem

kde U0 je počáteční napětí, R je velikost připojeného odporu, přes který se

kondenzátor vybíjí, C je kapacita kondenzátoru, t je čas, po který dochází k

vybíjení. V čas t = 0 platí I = I0. Proložte měřením proudu v různé časové

okamžiky křivku pomocí MNČ, kde předpokládejte stejnou přesnost měření

proudu pro každý okamžik.

,/0/

0

RCtRCt eR

UeII

0

/

0

ln~

,1

,lnlnI

II

RCa

RC

te

I

I RCt

Převod na lineární závislost:

I at

102FY1G

FYZIKA G

PRAKTICKÁ CVIČENÍ

sJ10)029,06,615( 34 h

Přehledné tabulky a grafy (Excel, MATLAB, …)

Optimální počet platných cifer

Protokoly (vzorová úloha a šablona viz web):

• Hlavička protokolu

• Teoretický úvod (fyzikální princip měření,

postup, podmínky, pomůcky)

• Vypracované měření (přehledné

zpracování, tabulky mezivýsledků a

výsledků, grafy, výpočet nejistot)

• Závěr (shrnutí výsledků a jejich nejistot,

porovnání s tabulkovými hodnotami,

vysvětlení případných odchylek, …)

• Použitá literatura

• Signatura

• Přílohy

Musí být ihned patrné, co se měří a v jakých jednotkách

Měřená veličina

Jednotky

(stojatě v

hranatých

závorkách)

Zvýraznění

výsledku

Popisy os i s jednotkami

Označení grafů (popis grafu)Doplňující informace pro

zpřehlednění výsledků

Obr. 1 Zobrazení a) funkční závislosti f(x,y) a b) závislosti g(x,y) na poloze

Název grafu (obrázku)

1. Nenulová číslice nejvíce nalevo = nejvýznamnější platná cifra

2. A) bez desetinné čárky – nenulová číslice nejvíce napravo =

nejméně významná platná cifra

B) s desetinnou čárkou – číslice (včetně nuly) nejvíce napravo je

nejméně významná platná cifra

3. Počet platných cifer = počet číslic mezi nejvýznamnější a

nejméně významnou včetně

3 platné cifry:

123 10 300 1,02 1,00 0,123

0,0101 0,0100 1,00 ∙1e+5

Odhad nejistoty – 2 platné cifry

Odhad skut. hodnoty – stejný počet des. míst jako u odhadu nejistoty

])[( xuxx c

Odhad skutečné hodnoty

Odhad kombinované nejistoty

(rozšířené nejistoty)Jednotky výsledné veličiny

Planckova konstanta: sJ10886384924,2)(sJ10615277837,6 3634 hu,h

sJ106,615hsJ10029,0sJ109,2)( 343436 hu

sJ10)029,06,615( 34 h

Dodržování etických principů, autorských práv

Přehlednost práce, snadný přístup k dalšímu studiu

Různé citační styly (Harvard, ACS, AIP, AMS, Vancouver, … ČSN ISO 690)

knihovna.cvut.cz

www.citace.com

https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison

_of_reference_management_software

Srovnání externích nástrojů pro správu citací

Odkazy v textu

Seznam v závěru práce

Měření přímých nebo nepřímých veličin

• opakované měření, postupné měření, …

Odhad skutečných hodnot a jejich nejistot

• MNČ, průměr, MPM, …

• nejistoty metodou typu A, B, C, rozšířené

Prezentace výsledků

• tabulky, grafy, protokoly, …

• citace použitých zdrojů, poděkování (za

financování, …)

Měření

Výpočty

Prezentace výsledků, publikace

102FY1G

FYZIKA G

PRAKTICKÁ CVIČENÍ

Ing. Petr Pokorný, Ph.D.

Fakulta stavební ČVUT v Praze, katedra fyziky

Skupina aplikované optiky

Thákurova 7

166 29 Praha 6 – Dejvice

aog.fsv.cvut.cz

petr.pokorny@fsv.cvut.cz