ZÁKLADY KARTOGRAFIE PRO SŠ

Matematická kartografie

4. Matematická kartografie

Země má nepravidelný tvar, který je dán působením mnoha sil, zejména gravitační a odstředivé (vzhledem k rotaci Země). Odstředivá síla způsobuje, že tvar Země je zploštělý, tj. zemský rovník je dále od středu Země než zemské póly. Země tak připomíná svým tvarem rotační elipsoid. Zemská tíže (gravitace) má na různých místech různý směr a velikost. Plocha, která je v každém bodě zemského povrchu kolmá na směr tíže, se nazývá hladinová plocha.

Základní hladina pro měření výšek se stanovuje jako průměrná hladina moře mezi přílivem a odlivem. Střední hladina moře je vždy kolmá na směr tíže. Tato myšlená plocha zkonstruovaná pro celou Zemi (a probíhající pomyslně i pod povrchem Země) se nazývá GEOID. Jeho povrch je díky nepravidelnému rozmístění hmoty v zemské kůře mírně zvlněný. Zemský povrch je však ještě podstatně členitější.

Geoid je matematicky nevyjádřitelné těleso, proto se pro potřeby konstrukce map zavádí tzv. REFERENČNÍ ELIPSOID, což je matematicky definované těleso, jehož povrch se co nejtěsněji přimyká ke geoidu.

1) oceán 2) referenční elipsoid 3) lokální kolmice 4) pevnina 5) geoid

ZÁKLADY KARTOGRAFIE PRO SŠ

Matematická kartografie

REFERENČNÍ PLOCHY

Referenční elipsoid V matematické kartografii se používá výhradně rotační elipsoid, který vzniká rotací elipsy kolem vedlejší osy. Je zploštělý na pólech.

Příklady referenčních elipsoidů: Besselův, Krasovského, Hayfordův, WGS 1984. WGS 1984 je nejnovějším a nejpřesnějším elipsoidem vypočteným na základě družicových měření. Jeho střed je totožný se středem Země a maximální odchylka jeho povrchu od povrchu geoidu je 60 m.

Proměnlivost křivosti elipsoidu působí, že i na rotačním elipsoidu jsou výpočty geodetických úloh značně složité. Proto jej často nahrazujeme koulí.

Parametry rotačního elipsoidu

a ... hlavní poloosa b ... vedlejší poloosa e ... 1. numerická excentricita e´ ... 2. numerická excentricita i ... zploštění

aba

aee d

22

bba

bee d

22

´

bbai

Pozn. ed ... délková výstřednost rotující elipsy

ZÁKLADY KARTOGRAFIE PRO SŠ

Matematická kartografie

Referenční koule Koule má konstantní křivost. Je určena pouze poloměrem RZ. Referenční kouli je možno využít:

pro nahrazení části elipsoidu pro území o poloměru do 200 km; pro nahrazení celého elipsoidu u méně náročných úkolů, přičemž poloměr náhradní

koule je možné určit více způsoby:

aby koule měla stejný objem jako elipsoid aby koule měla stejný povrch jako elipsoid aby se poloměr koule rovnal aritmetickému průměru všech tří poloos elipsoidu

RZ = 3

2 ba

aby délky kvadrantů byly stejné, tj. QRZ

2 .

Referenční rovina Použití pro okrouhlé území 20-30 km v průměru, tj. asi 700 km2.

ZÁKLADY KARTOGRAFIE PRO SŠ

Matematická kartografie

SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY

Všechny objekty a jevy na zemském povrchu je nutné lokalizovat. K tomu slouží souřadnicové soustavy, ve kterých je lokalizace uvedených objektů dána dvojicí nebo trojicí prostorových či rovinných souřadnic. A) Souřadnicové soustavy na referenční kouli Zeměpisné souřadnice – zeměpisná šířka U – zeměpisná délka V Zeměpisná šířka je úhel, který svírá normála plochy v daném bodě s rovinou rovníku. Dosahuje hodnot v rozsahu 90;90 , často jsou tyto hodnoty označovány i jako jižní

zeměpisná šířka pro hodnoty 0;90 a severní zeměpisná šířka pro hodnoty 90;0 . Zeměpisná délka je definována jako úhel mezi rovinou místního a základního (nultého) poledníku. Nabývá hodnot 180;180 s počátkem na základním poledníku s kladným přírůstkem ve směru východním. V praxi se můžeme setkat s označením západní zeměpisná délka pro hodnoty 0;180 a východní zeměpisná délka pro hodnoty 180;0 . Zeměpisná síť Rovnoběžky – kružnice spojující body na kouli se stejnou zeměpisnou šířkou. Nejdelší

rovnoběžka se nazývá rovník. Poledníky – půlkružnice spojující body na kouli se stejnou zeměpisnou délkou. Základní

(nultý) poledník prochází observatoří Greenwich v Londýně. Pozn. V některých státech je v praktické geodézii používán jako základní poledník i poledník Ferra (např. v ČR, SR, Německu a Rakousku). Zeměpisná délka tohoto poledníku je 17°39´40´´ západně od Greenwiche.

Zeměpisné souřadnice na kouli

Z ... zenitová šířka Z = 90° – U SP ... severní pól P ... bod na kulové ploše

ZÁKLADY KARTOGRAFIE PRO SŠ

Matematická kartografie

Kartografické souřadnice – kartografická šířka Š – kartografická délka D Zpravidla se používají při šikmém zobrazení a poloha kartografického pólu se volí podle specifiky konkrétního zobrazení referenční koule do roviny. Pozn. Převod U, V → Š, D viz prevod_souradnic.xls B) Souřadnicové soustavy v rovině Pravoúhlá soustava souřadnic definovaná počátkem 0 a osami x a y. V této soustavě mohou být řešené i všechny úlohy praktické geodézie a kartografie za použití vzorců analytické geometrie v rovině. Z charakteru některých zobrazení plyne, že při transformaci referenční plochy do roviny je výhodnější nejprve použít polárních souřadnic, ve kterých je bod určen úhlem ε a vzdáleností ρ od počátku soustavy souřadnic. Převod z polárních do kartézských souřadnic (se stejným počátkem):

ZÁKLADY KARTOGRAFIE PRO SŠ

Matematická kartografie

Důležité křivky na referenčních plochách Geodetická křivka – čára spojující na referenční ploše nejkratší cestou dva koncové body. Poledník je geodetickou křivkou, rovnoběžka nikoliv (kromě rovníku). Geodetická křivka na kouli se nazývá ortodroma.

Pozn. Výpočet délky ortodromy viz delka_ortodromy.xls Loxodroma – křivka na referenční ploše protínající všechny poledníky pod konstantním úhlem (azimutem). Pro azimut různý od 0°, 90°, 180° a 270° vytváří spirálu blížící se k zemskému pólu, kterého však nikdy nedosáhne. Označíme-li |O| = délka ortodromy a |L| = délka loxodromy, pak platí nerovnost: |O| ≤ |L|. Pozn. V Mercatorově zobrazení (viz kartografická zobrazení) se loxodroma zobrazuje jako přímka, čehož bylo v minulosti hojně užíváno pro potřeby námořní navigace. Pro plavbu stačilo na mapě v Mercatorově zobrazení spojit koncové body úsečkou a dodržet výsledný azimut mezi loxodromou a kterýmkoli obrazem poledníku. V současné době význam loxodromy klesá.