Souřadnicové výpočty, chyby měření
Souřadnicové výpočty- délka- směrník- polární metoda- protínání vpřed z úhlů- protínání vpřed z délek- protínání zpět, volné stanovisko, geodetické sítě- polygonové pořady
Chyby měření- obecně o měření - chyby měření a jejich dělení- charakteristiky přesnosti
Souřadnicové výpočtyPoloha bodů je dána pravoúhlými rovinnými souřadnicemi Y, X v daném souřadnicovém systému. Všechny geodetické souřadnicové systémy jsou pravotočivé (osa +Y otočena o pravý úhel od osy +X po směru hodinových ručiček).
Souřadnicový rozdíl:x12 = x2 - x1 y12 = y2 - y1 x21 = x1 - x2y21 = y1 - y2
DélkaVzdálenost dvou bodů, platí s12=s21.Znaménko je vždy kladné.
2 212 12 12
1212
12
1212
12
,
,sin
.cos
s x yys
xs
SměrníkSměrník je orientovaný úhel na výchozím bodě od rovnoběžky s osou +X ke spojnici bodů.Z obrázku vyplývá:
Úhel φ je třeba přepočítat do správného kvadrantu.
12 21 200gon
1212
12
tan yx
SměrníkKvadranty:
Kvadrant I II III IV
y12 + + - -
x12 + - - +
12= 12 12= 200g - 12 12= 200g + 12 12 = 400g - 12
Směrník - příklady
Č. bodu Y [m] X [m]1 2000 7000
2 2300 7200
3 2300 6800
4 1700 6800
5 1700 7200
Směrník – příklady 12
1212
300arctan arctan 62,5666
200Y
gonX
1313
13
300arctan arctan 62,5666
200Y
gonX
1414
14
300arctan arctan 62,5666
200Y
gonX
1515
15
300arctan arctan 62,5666
200Y
gonX
13 13200 137,4334gon gon
14 14200 262,5666gon gon
15 15400 337,4334gon gon
12 12 62,5666gon
Polární metodaSlouží k výpočtu souřadnic bodu P3, je-li měřeno:délka strany d13, vodorovný úhel ω.Známo: P1[y1,x1], P2[y2,x2].
Postup výpočtu:13 12
13 13 13
13 13 13
sincos
y dx d
3 1 13 1 13 13
3 1 13 1 13 13
sincos
y y y y dx x x x d
Protínání vpřed z úhlůSlouží k výpočtu souřadnic bodu P3, je-li měřeno:vodorovné úhly ω1, ω2. Známo: P1[y1,x1], P2[y2,x2].
Dále polární metoda, pro kontrolu se bod P3 počítá z obou stanovisek.
2 212 12 12s x y
213 12
1 2
sinsin
s s
123 12
1 2
sinsin
s s
Protínání vpřed z délekSlouží k výpočtu souřadnic bodu P3, je-li měřeno:Vodorovné délky d1, d2. Známo: P1[y1,x1], P2[y2,x2].
Dále polární metoda, pro kontrolu se bod P3 počítá z obou stanovisek.
2 2 213 12 23
113 12
cos2s s s
s s
2 2 223 12 13
223 12
cos2s s s
s s
Z úhlů:Slouží k výpočtu souřadnic bodu (P4), jsou-li na určovaném bodě měřeny vodorovné úhly ω1 ω2 mezi třemi body (P1, P2, P3).Jsou známy souřadnice bodů P1, P2, P3.Volné stanovisko:Slouží k výpočtu souřadnic bodu (S), jsou-li na určovaném bodě měřeny vodorovné úhly a délky na minimálně dva body Pi (minimum jsou dvě délky a jeden úhel.Jsou známy souřadnice bodů Pi.Složitý výpočet, řeší se vyrovnáním podle MNČ.
Protínání zpět
Geodetické sítě
Slouží k současnému určení souřadnic bodů sítě.
Na jednotlivých bodech jsou měřeny různé veličiny (vodorovné směry, vodorovné úhly, zenitové úhly a délky) na další body sítě.
Nadbytečný počet měření.
Složitý výpočet, řeší se vyrovnáním podle MNČ, různé způsoby.
Geodetická síť, volné stanovisko
Polygonové pořadySlouží k současnému určení souřadnic více bodů. Měří se délky všech stran a levostranné vrcholové úhly na všech polygonových bodech.Polygonový pořad – lomená čára spojující měřické body.Polygonové body – vrcholy lomené čáry.Polygonové strany – spojnice sousedních polygonových bodů.Úkolem je určit souřadnice Y,X polygonových bodů.Podmínkou použití je vzájemná viditelnost mezi sousedními body.
Polygonové pořady - rozdělení- Připojené: jsou připojeny k měřickým bodům o
známých souřadnicích (oboustranně, jednostranně ).- Nepřipojené: nejsou připojeny k měřickým bodům o
známých souřadnicích.
- Otevřený: začíná a končí na různých bodech.- Uzavřený: začíná a končí na tomtéž bodě.
- Orientace pořadu: změření vodorovného úhlu na počátečním (koncovém) bodě.
Chyby měření
Obecně o měření Chyby měření a jejich děleníCharakteristiky přesnosti
Obecně o měření
V geodézii měříme především délky, úhly a dále např. čas, teplotu, tlak, tíhové zrychlení... Výsledek měření je charakterizován číslem, které je také závislé na volbě jednotek.Pokud se opakuje měření téže veličiny, tak i při sebevětší pečlivosti dostaneme obecně různé výsledky. To je způsobeno tím, že žádné měření nelze izolovat od rušivých vlivů (nedokonalost našich smyslů, nedokonalost přístrojů, vnější vlivy, nedostatečná znalost všech vlivů, které způsobují chyby měření).
Omezováním těchto vlivů (např. použitím přesnějšího přístroje) lze snížit jejich velikost a tak zvýšit přesnost měření. Číselný výsledek měření, který je v určitých mezích náhodnou veličinou, určují proměnlivé, velmi početné a nejenom proto skoro nepostižitelné vlivy. Rozdílnost výsledků měření vyplývá z fyzikální podstaty prostředí, ve kterém probíhá.Při měření a jeho zpracování je hledána nejspolehlivější hodnota výsledku měření, odhadována její přesnost a meze její spolehlivosti. Měřením či zpracováním měření prakticky NIKDY nezískáme skutečnou hodnotu veličiny.
Chyby měření a jejich dělení:Výsledek každého měření je vždy zatížen skutečnou chybou ε, jež je souhrnem působení jednotlivých vlivů. Skutečnou chybu měření εi lze vyjádřit pomocí skutečné hodnoty veličiny X a měřené hodnoty li:
i i ic
Skutečná chyba ε obsahuje:1) Omyly a hrubé chyby2) Nevyhnutelné chyby
-Systematické chyby ci
-Náhodné chyby δi
i iX l
Omyly a hrubé chybyOmyly nejsou způsobeny objektivními podmínkami měření, ale nesprávnými úkony měřiče (omyl, nepozornost, ...). Hrubé chyby mohou vznikat nakupením nepříznivých vlivů nebo jejich neobvyklou velikostí (silný vítr, atmosférická refrakce, ...)Aby byly odhaleny, je potřeba realizovat kontrolní měření (dvojí měření téhož, jedno měření – žádné měření).Nepatří mezi chyby nevyhnutelné a dále nebudou uvažovány.
Systematické chybyVznikají z jednostranně působících příčin, za stejných podmínek ovlivňují měření ve stejném smyslu, tj. chyba měření má stejné znaménko i velikost. Lze je dělit na:1) Konstantní – při každém měření stejné znaménko i velikost (chybná délka pásma).2) Proměnlivé – jejich vliv se mění v závislosti na podmínkách měření (teplota, tlak), jejich vliv může mít i různá znaménka.Systematické chyby je možno potlačit seřízením (rektifikací) přístrojů a pomůcek před měřením a vhodnou metodikou měření a zpracování měření.
Náhodné chybyTakové chyby, které při stejné měřené veličině, metodě měření, podmínkách a pečlivosti náhodně nabývají různé velikosti i znaménka se nazývají náhodné chyby. Jednotlivě nemají žádné zákonitosti a jsou vzájemně nezávislé, nepředvídatelné a nezdůvodnitelné. Ve větších souborech (vícekrát opakované měření) se však již řídí jistými statistickými zákonitostmi. Měřické náhodné chyby stejného druhu mívají charakter náhodné veličiny s normálním rozdělením pravděpodobnosti.
Vlastnosti náhodných chyb• pravděpodobnost vzniku kladné či záporné chyby určité velikosti je stejná,
• malé chyby jsou pravděpodobnější (četnější) než velké,
• chyby nad určitou mez se nevyskytují (resp. považujeme je za hrubé).
Hustota pravděpodobnosti φ(x) (frekvenční funkce) normálního rozdělení N(E(x),σ2):
x E( x )
( x ) e , x ( , ).
2
2212
Zápis N(E(x), σ2) značí normální rozdělení (N) o charakteristikách E(x) a σ2, kde E(x) je tzv. střední hodnota, zde ona neznámá skutečná hodnota měřené veličiny, σ2 je tzv. variance (kvadrát směrodatné odchylky).
Graf frekvenční křivky normálního rozdělení pro N(E(x),σ2)
(x)
E(x
) - 2
xA B
E(x
) - 1
E(x
)
E(x
) + 1
E(x
) + 2
Pravděpodobnost P, že měření bude zatíženo chybou o velikosti padnoucí do intervalu <A;B> je rovna ploše vyšrafované v grafu.
Několik hodnot pravděpodobností P, charakterizujících normální rozdělení :
A B PE(x) E(x) + 0,341
E(x) E(x) + 0,682E(x) E(x) + 2 0,477
E(x) 2 E(x) + 2 0,954E(x) E(x) + 3 0,499
E(x) – 3 E(x) + 3 0,997E(x) – ∞ E(x) + ∞ 1,000
Charakteristiky přesnosti měřeníSměrodatná odchylka σ je parametr popisující normální rozdělení. Ve vztahu k měření je to charakteristika přesnosti. Z hlediska chyb měření je třeba vždy tuto charakteristiku interpretovat s ohledem na předchozí tabulku, a tedy si uvědomit, že např. v intervalu
<-2σ ; 2σ> od měřené hodnoty se vyskytuje hledaná hodnota geometrického parametru s pravděpodobností 95% (za předpokladu, že měření mají normální rozdělení).
