@056
5. Lineární rovnice s absolutní hodnotou
rovnice
Když se řekne s absolutní hodnotou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou v
absolutní hodnotě.
není (ne)rovnice s absolutní hodnotou
neznámá x není v absolutní hodnotě
je (ne)rovnice s absolutní hodnotou
2x - │-7│ = 0
│2│x - 7 = 0
│2x - 7│ = 0
│2x - │7││ = 0
Připomeňme si, jak je absolutní hodnota definována (varianty – 1. je základní)
0
00
0
||
xx
x
xx
x 0
0||
xx
xxx
0
0||
xx
xxx
Dále si připomeňme vlastnosti absolutní hodnoty, které budeme potřebovat
|x-a| = 0 <=> x = a
|x|2
= |x2| = x
2
|-x| = |x|
|x - a| = |a - x|
|xy|=|x||y|
|x / y| = |x| / |y| y 0
Přepišme si definici absolutní hodnoty s trochu složitějším argumentem
axx
ax
axx
ax 0|| 0
/
/0
/
|| a
abxx
abx
abxx
bax
Všimněte si, že definice absolutní hodnoty se skokem mění v případě, kdy je výraz v
absolutní hodnotě roven nule. Takové body se nazývají body zvratu.
Příklady: na určení bodů zvratu
|x - 3| položíme nule a vypočteme x – 3 = 0 => x = 3 je bod zvratu
|x + 2| bod zvratu x = -2
|x – ½ | bod zvratu x = ½
|2x - 6| bod zvratu x = 3
|4 - x| bod zvratu x = 4
|3 + 2x| bod zvratu x = -3/2
|5x + 2| bod zvratu x = -2/5
|3 – 3x| bod zvratu x = 1
Úmluva: Z technických důvodů budeme často místo zlomku b
a psát jednodušeji a/b.
7
8= 8/7
2
5= -5/2
11
4= 4/11 atp.
pokračování
@056c
zpět
Řešte v R rovnici |x + 1| = 2x
Řešení:
-∞ -1 -1 +∞
x + 1 — +
rozbor -(x + 1) = 2x
–x - 1 = 2x
-1 = 3x
-1/3 = x
1 + x = 2x
1 = x
kandidáti x = -1/3
-1/3 (-∞; -1)
-1/3 není kandidát !!!
x = 1
1 <-1; +∞)
zkouška zkouška je v tomto intervalu
zbytečná; chybí kandidát
L(1) = |1 + 1| = 2
P(1) = 2.1 = 2
odpověď zkouška dokázala, že x = 1 je jediný kořen zadané rovnice,
že množina řešení je jednoprvková S = {1}
Příklad: Řešte v R rovnici │x + 1│ - 2│x - 1│ = x
tradiční školní řešení
tabulková metoda - pokračování
@057a
zpět
Grafické řešení rovnice │x + 1│ - 2│x - 1│ = x spočívá v tom, že provedeme grafické
řešení v jednotlivých intervalech, na které se rozpadla množina reálných čísel zvlášť.
Upravíme si levou stranu a položíme = y, a podobně pravou stranu. Pak vyneseme jednotlivé
přímky (omezeno na intervaly jde už o polopřímky či úsečky) do soustavy souřadnic. Body
zvratu pro přehlednost vyznačíme tečkovanou/čárkovanou rovnoběžkou s osou y. Nakonec
odečteme kořeny jako x-ové souřadnice průsečíků, kde se lomená čára levé strany protíná
s pravou stranou.
-∞ -1 -1 1 1 +∞
x + 1 — + +
x - 1 — — +
přímka,
úsečka
levé
strany
L(x) = y
-(x + 1) + 2(x – 1) = y
x – 3 = y
(x + 1) + 2(x – 1) = y
3x – 1 = y
(x + 1) – 2(x – 1) = y
x + 3 = y
přímka
úsečka
pravé
strany
y = P(x)
y = x y = x y = x
pokračování
@058b
zpět
správně
Řešte v R rovnici 2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x
Řešení:
-∞ -1 -1 1 1 +∞
x + 1 — + +
x – 1 — — +
rozbor -2(x + 1) + 4(x – 1) = x
-2x – 2 + 4x – 4 = x
2x – 6 = x
x = 6
2(x + 1) + 4(x – 1) = x
2x + 2 + 4x – 4 = x
5x = 2
x = 2/5
2(x + 1) – 4(x – 1) = x
2x + 2 – 4x + 4 = x
6 = 3x
2 = x
kandidáti x = 6
6 (-∞; -1)
6 není kandidát !!!
x = 2/5
2/5 <-1; 1)
x = 2
2 <1; +∞)
zkouška L(2/5) = P(2/5) L(2) = P(2)
odpověď řešením rovnice je dvouprvková množina S = {2/5; 2}
rovnice má dva kořeny x1 = 2/5 a x2 = 2
L(2/5) = 2│2/5 + 1│- 4│2/5 - 1│ = 2│7/5│ - 4│-3/5│ = 2(7/5) - 4(3/5) = 14/5 - 12/5 = 2/5
P(2/5) = 2/5
L(2) = 2│2 + 1│ - 4│2 - 1│ = 2│3│ - 4│1│ = 2.3 – 4.1 = 6 - 4 = 2
P(2) = 2
Úkol: Řešte graficky rovnici 2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x
pokračování – výsledek
@060
zpět
Řešte v R rovnici │x│ = 1 + x
Řešení:
-∞ 0 0 +∞
x — +
rozbor -x = 1 + x
-1 = 2x
- 1/2 = x
x = 1 + x
0 = 1
kandidáti x = - 1/2
- 1/2 (-∞; 0)
nepravdivý výrok
Ø
zkouška L(-1/2) =│-1/2│= 1/2
P(-1/2) = 1 - 1/2 = 1/2
L(-1/2) = P(-1/2)
odpověď řešení rovnice S = {-1/2}
rovnice má jediný kořen x = -1/2
Úkol: Řešte v R rovnici │x + 1│ + 3│x - 1│ = 2│x│ + 3 - x
pokračování – výsledek
@062
zpět
správně
Řešte v R nerovnici │x + 2│ < 8
Řešení:
-∞ -2 -2 +∞
x+2 — +
rozbor -x - 2 < 8
-10 < x
x + 2 < 8
x < 6
kandidáti (-∞; -2) (-10; +∞)
(-10; -2)
<-2; +∞) (-∞; 6)
<-2; 6)
zkouška se provede obrácením postupu
odpověď řešení rovnice je sjednocení dílčích intervalů
(-10; -2) <-2; 6) = (-10; 6)
Následující úkol je obtížnější a těžší než jsme dosud uvedli. Přesto jej nejprve řešte sami, než
si projdete moje vzorové řešení.
Úkol: Řešte v R rovnici |3 - |x + 1|| = 2x
návod: začněte odstraňovat absolutní hodnotu zevnitř
pokračovat – výsledek
@056a
zpět
Příklad: Řešte v R rovnici 2|x - 3| = x
Řešení: rozbor
Abychom mohli rovnici vyřešit, musíme nejprve odstranit absolutní hodnotu – ty dvě svislé
čárky změnit na závorky. Víme, že se absolutní hodnota chová v různých částech číselné osy
chová jinak a bod zvratu určuje hranici, kde se to mění. Musíme tedy nejprve určit bod zvratu.
Bodem zvratu x = 3 se nám rozpadá číselná osa na dva intervaly (bod zvratu nevylučujeme,
jen ho přidáme k jednomu z nich, viz 2. variantu definice absolutní hodnoty): (-∞,3), <3,+∞)
tabulková metoda řešení:
Podobně jako jsme to dělali při řešení nerovnic s racionalitou zobrazíme v prvním řádku
tabulky číselnou osu a vyznačíme do ní body zvratu (jednoduchá čára, protože se body zvratu
nevylučují). Do dalšího (dalších) řádku zaznamenáme znaménka, jichž nabývají výrazy
v absolutních hodnotách. Znaménko určíme jednoduše dosazením do výrazu libovolné číslo
ze zpracovávaného intervalu.
-∞ sem patří např. 0 3 3 sem patří např. 5 +∞
x - 3 0 – 3 = -3 < 0
znaménko bude —
5 – 3 = 2 > 0
znaménko bude +
Do dalšího řádku tabulky nyní přepíšeme zadanou rovnici s odstraněnou absolutní hodnotou
(pozor na znaménka!) a v každé části provedeme rozbor rovnice až po získání kandidátů
řešení.
-∞ 3 3 +∞
x - 3 — +
rozbor -2(x – 3) = x
-2x + 6 = x
6 = 3x
2 = x
2(x – 3) = x
2x – 6 = x
x = 6
kandidáti x = 2
prověříme přípustnost podle
2 (-∞;3)
x = 6
6 <3;+∞)
zkouška zkouška se zásadně dělá do původní
rovnice
L(2) = 2|2 - 3| = 2|-1|=2.1=2
P(2) = 2
L(6) = 2|6 - 3| = 2|3|=2.3=6
P(6) = 6
odpověď zkouška dokázala, že x1 = 2 a x2 = 6 jsou kořeny zadané rovnice,
že množina řešení je dvouprvková S = {2; 6}
Úkol: Řešte v R rovnici |1 - 2x| = 5
výsledek
@056d
zpět
Řešte v R rovnici │x + 1│ - 2│x - 1│ = x
Řešení: Tradiční způsob vedení řešení v bodech uvádím jen jako ukázku pro ty, kteří si
potřebují připomenout, co se kdysi učili.
Body jsou vytvářeny kombinacemi kladných a záporných podmínek jednotlivých výrazů
v absolutních hodnotách, tak, aby se rovnice dala zapsat bez značek ||.
I. podmínka x + 1 0 a zároveň x – 1 0 dohromady x 1
za této podmínky se odstraní značky absolutní hodnoty beze změny znaménka
│x + 1│ = x + 1 a │x - 1│ = x - 1
rovnice se upraví na tvar x+1 - 2(x-1) = x
-x + 3 = x
3 = 2x
x = 3/2 vyhovuje podmínce x 1
L(3/2) =│3/2 + 1│- 2│3/2 - 1│ = │5/2│ - 2│1/2│= 5/2 - 2(1/2) = 5/2 - 1 = 3/2
P(3/2) = 3/2 zkouška vyšla
II. podmínka x + 1 0 a zároveň x – 1 < 0 dohromady -1 x < 1
x -1 x < 1
za této podmínky se odstraní značky absolutní hodnoty takto
│x + 1│ = x + 1 a │x - 1│ = -(x – 1)
rovnice se upraví na tvar x+1 - 2(-x+1) = x
3x - 1 = x
2x = 1
x = 1/2 vyhovuje podmínce -1 x < 1
L(1/2) =│1/2 + 1│ - 2│1/2 - 1│ = │3/2│ - 2│-1/2│ = 3/2 - 2(1/2) = 3/2 - 1 = 1/2
P(1/2) = 1/2 zkouška vyšla
III. podmínka x + 1 < 0 a zároveň x – 1 0 podmínky si odporují, není kde řešit
x < -1 x 1
IV. podmínka x + 1 < 0 a zároveň x – 1 < 0 dohromady x < -1
za této podmínky se odstraní značky absolutní hodnoty beze změny znaménka
│x + 1│ = -(x + 1) a │x - 1│ = -(x – 1)
rovnice se upraví na tvar -x-1 - 2(-x+1) = x
x - 3 = x
-3 = 0
Dostali jsme nepravdivý výrok, proto z této části nedostáváme žádné řešení.
Zkouška dokázala, že zadaná rovnice má dva kořeny: x=1/2 a x=3/2
zpět
@058
zpět
Úkol: Řešte v R rovnici 2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x
Rovnice má
dva kořeny
jeden kořen
tři kořeny
@058c
zpět
Řešte graficky rovnici 2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x
Řešení:
-∞ -1 -1 1 1 +∞
x + 1 — + +
x - 1 — — +
přímka,
úsečka
levé
strany
L(x) = y
-2(x + 1) + 4(x – 1) = y
2x – 6 = y
2(x + 1) + 4(x – 1) = y
6x – 2 = y
2(x + 1) – 4(x – 1) = y
-2x + 6 = y
přímka
úsečka
pravé
strany
y = P(x)
y = x y = x y = x
pokračování
@061
zpět
Řešte v R rovnici │x + 1│ + 3│x - 1│ = 2│x│ + 3 - x
Řešení:
-∞ -1 -1 0 0
1
1 +∞
x — — + +
x + 1 — + + +
x - 1 — — — +
rozbor -x-1-3x+3=-2x+3-x
-4x + 2 = -3x + 3
-1 = x
x+1-3x+3=-2x+3-x
-2x + 4 = -3x + 3
x = -1
x+1-3x+3=2x+3-x
-2x + 4 = x + 3
1 = 3x
1/3 = x
x+1+3x-3=2x+3-x
4x – 2 = x + 3
3x = 5
x = 5/3
kandi-
dáti
x = -1
-1 (-∞; -1)
Ø
x = -1
-1 <-1; 0)
x = 1/3
1/3 <0; 1)
x = 5/3
5/3 <1; +∞)
zkouš-
ka
L = P L = P L = P
odpo-
věď
řešením rovnice je tříprvková množina S = {-1; 1/3; 5/3}
rovnice má tři různé kořeny x1 = -1 , x2 = 1/3 , x3 = 5/3
L(-1) = │-1 + 1│ + 3│-1 - 1│ = │0│ + 3│-2│ = 3.2 = 6
P(-1) = 2│-1│ + 3 - (-1) = 2│1│ + 4 = 6
L(1/3) = │1/3+1│ + 3│1/3-1│ = 4/3 + 3│-2/3│ = 10/3
P(1/3) = 2│1/3│ + 3 - (1/3) = 2/3 + 8/3 = 10/3
L(5/3) = │5/3+1│ + 3│5/3-1│ = 8/3 + 3│2/3│ = 14/3
P(5/3) = 2│5/3│ + 3 - (5/3) = 10/3 + 4/3 = 14/3
Úkol: Úkol: Řešte v R nerovnici │x + 2│ < 8
Řešením je interval
(-10; 2>
(-10; 6)
(-2; 6)
zpět
@056b
zpět
Řešte v R rovnici |1 - 2x| = 5
Řešení:
-∞ 1/2 1/2 +∞
1 – 2x + —
rozbor 1 - 2x = 5
–4 = 2x
-2 = x
-(1 - 2x) = 5
-1 + 2x = 5
2x = 6
x = 3
kandidáti x = -2
-2 (-∞; 1/2)
x = 3
3 <1/2; +∞)
zkouška zkouška se zásadně dělá do původní
rovnice
L(-2) = |1 – 2(-2)| = |1 + 4|=5
P(-2) = 5
L(3) = |1 – 2.3| = |-5|=5
P(3) = 5
odpověď zkouška dokázala, že x1 = -2 a x2 = 3 jsou kořeny zadané rovnice,
že množina řešení je dvouprvková S = {-2; 3}
Úkol: Řešte v R rovnici |x + 1| = 2x
pokračování - výsledek
@057
zpět
Řešte v R rovnici │x + 1│ - 2│x - 1│ = x
Řešení: Určíme body zvratu a načrtneme si tabulku. Body zvratu jsou dva x = -1 a x = 1 a tak
bude číselná osa rozdělena na tři intervaly.
-∞ -1 -1 1 1 +∞
x + 1 — + +
x - 1 — — +
rozbor -(x + 1) + 2(x – 1) = x
-x – 1 + 2x – 2 = x
x – 3 = x
-3 = 0
(x + 1) + 2(x – 1) = x
x + 1 + 2x – 2 = x
2x = 1
x = 1/2
(x + 1) – 2(x – 1) = x
x + 1 –2x + 2 = x
3 = 2x
3/2 = x
kandidáti Ø
x = 1/2
1/2 <-1; 1)
x = 3/2
3/2 <1; +∞)
zkouška L(1/2) = P(1/2) L(3/2) = P(3/2)
odpověď řešením rovnice je dvouprvková množina S = {1/2; 3/2}
rovnice má dva kořeny x1 = 1/2 x2 = 3/2
Zkouška se většinou z prostorových důvodů do políčka v tabulce nevejde a tak ji propočítáme
pod tabulkou.
L(1/2) =│1/2 + 1│ - 2│1/2 - 1│ = │3/2│ - 2│-1/2│ = 3/2 - 2(1/2) = 3/2 - 1 = 1/2
P(1/2) = 1/2
L(3/2) =│3/2 + 1│- 2│3/2 - 1│ = │5/2│ - 2│1/2│= 5/2 - 2(1/2) = 5/2 - 1 = 3/2
P(3/2) = 3/2
pokračování
@059
zpět
nerovnice
Nerovnice se řeší stejně. Jen si musíme dát pozor při úpravách na změnu znaménka a počítat
s tím, že většinou půjde o nekonečně mnoho řešení.
Příklad: Řešte v R nerovnici 2│x + 1│ ≤ 2 + │x - 1│
Řešení:
-∞ -1 -1 1 1 +∞
x + 1 — + +
x – 1 — — +
rozbor -2(x + 1) ≤ 2 - (x – 1)
-2x – 2 ≤ 3 – x
– 5 ≤ x
2(x + 1) ≤ 2 - (x – 1)
2x + 2 ≤ 3 - x
3x ≤ -1
x ≤ -1/3
2(x + 1) ≤ 2 + (x – 1)
2x + 2 ≤ 1 + x
x ≤ -1
kandidáti (-∞; -1) <-5; +∞)
<-5; -1)
<-1; 1) (-∞; -1/3>
<-1; -1/3>
<1; +∞) (-∞, -1/3>
Ø
zkouška zkouška se musí udělat obráceným postupem
odpověď kořeny nerovnice jsou všechny reálná čísla z intervalu S = <-5; 1/3>
Celkový výsledek je sjednocením dílčích výsledků
<-5; 1/3> = <-5; -1) <-1; 1/3> Ø
Řešení grafické se provede ve třech krocích:
Nejprve se graficky vyřeší rovnice, kterou dostaneme z nerovnice záměnnou relačního
znaménka za rovnost
2│x + 1│ = 2 + │x - 1│
Pak v grafu vyznačíme x-ové souřadnice průsečíků levé a pravé strany prázdným nebo plným
kroužkem podle toho, jaké je v nerovnici relační znaménko: pro a půjde o plný kroužek,
pro < a > půjde o prázdný kroužek.
Nakonec vyznačíme interval na ose x, kdy je graf levé strany nad či pod grafem pravé strany
podle zadané nerovnice.
@062a
zpět
Řešte v R rovnici |3 - |x + 1|| = 2x
Řešení:
Nejprve si rozložíme číselnou osu podle bodu zvratu nejvnitřnější absolutní hodnoty
-∞ -1 -1 +∞
x + 1 — +
|3 + (x + 1)| = 2x
|x + 4| = 2x
|3 – (x + 1)| = 2x
|2 - x| = 2x
Tím jsme dostali dvě rovnice s absolutní hodnotou, kde řešení není na celém R, ale jen na
dílčím intervalu. Další postup je již standardní.
-∞ -1 -1 +∞
|x + 4| = 2x |2 – x| = 2x
-∞ -4 -4 -1 -1 2 2 +∞
x+4 — + 2 - x + —
rozbor -(x + 4) = 2x
-x – 4 = 2x
-4 = 3x
-4/3 = x
x + 4 = 2x
4 = x
rozbor 2 – x = 2x
2 = 3x
2/3 = x
- (2 – x) = 2x
-2 + x = 2x
-2 = x
kandidáti x = -4/3
-4/3 (-∞; -4)
Ø
x = 4
4 <-4; -1)
Ø
kandidáti x = 2/3
2/3 <-1; 2)
x = -2
-2 <2; +∞)
Ø
zkouška není co zkouška viz níže není co
Zkouška musí být provedena do zadané rovnice !!!
L(2/3) = |3 - |2/3 + 1|| = |3 – 5/3| = |4/3| = 4/3
P(2/3) = 2.(2/3) = 4/3
KONEC LEKCE