5 – Drehstrom – Rotary Current
Skript zum Kurs Elektrizätslehre 3
im Herbstsemester 2017
Autor: Martin SchlupEditor: Martin Weisehorn
Winterthur, im August 2017
Zürcher Hochschule für Angewandte WissenschaftenZentrum für Signalverarbeitung und NachrichtentechnikTechnikumstrasse 9Postfach8401 Winterthur
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 1
2. Drehstrom 22.1. Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Symmetrische Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1. Sternschaltung (bei Drei- oder Vierleiternetz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2. Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Asymmetrische Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.1. Sternschaltung am Vierleiternetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2. Sternschaltung am Dreileiternetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3. Dreieckschaltung am Dreileiternetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Leistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1. Aron-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2. Blindleistungskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1. Drehstromschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
A. Stern-Dreieck-Umwandlung 16
i
1. Einleitung
In der Energietechnik (elektrische Energieumladung1 und -verteilung) hat sich der sinus-förmige Wechselstrom, kurz Wechselstrom (alternating current, AC) auf Grund seinertechnischen Vorteile gegenüber dem Gleichstrom (direct current, DC) durchgesetzt. Des-sen Vorteile liegen in der relativ einfachen technischen Realisierbarkeit der Wechselstrom-,bzw. Drehstromerzeugung2 (Generator als drehende Maschine) und in der ebenfalls ein-fachen Realisierbarkeit der Spannungstransformation ohne beweglichen mechanische Teilemit Transformatoren (transformer).
1 Energie ist für alle physikalischen Prozesse ein und dasselbe. Sie kann also nicht umgewandelt, son-dern nur von einem Energieträger zum anderen umgeladen oder ausgetauscht werden. Dabei wird siefreigesetzt oder gebunden.
2 Drehstrom ist eine besondere Form von Wechselstrom: er besteht aus drei zeitlich versetzten Wechsel-stromspannungen.
1
2. Drehstrom
Drehstromsysteme (cf Abb. 2.1) weisen gegenüber Wechselstromsystemen mit unabhängi-gen Strängen wesentliche praktische Vorteile auf:
• Die von einem Drehstromsystem übertragene Momentanleistung ist bei symmetri-scher Belastung (Verbraucher) zeitlich konstant. Die den Synchrongenerator antrei-bende Maschine (z. B. Turbine) wird so mit einem zeitlich konstanten Drehmomentbelastet.
• Auf der Verbraucherseite kann ein magnetisches Drehfeld mit drei räumlich statio-nären Spulen erzeugt werden.
• Das Drehstromsystem liefert sechs verschiedene Spannungen die sich bezüglich Ef-fektivwert und Phasenlage unterscheiden.
• Die Übertragungsverluste bei gleicher übertragener Energie sind geringer als beieinem Wechselstromsystem mit drei unabhängigen Strängen (drei, bzw. vier anstellevon sechs Leitern).
Abbildung 2.1.: Vereinfachtes Drehstromnetz ohne LastDie drei Quellen sind Teil eines einzigen Generators mit drei Wicklungen, welche räumlich gegen-einander um 120◦ gedreht sind. Zwischen Generator und Last befinden sich im Allgemeinen nochTransformatoren und noch viele andere Systemkomponenten die hier nicht behandelt werden sollenund daher weggelassen wurden. Ebenfalls werden die Leitungen als ideal betrachtet, was selbst-verständlich in Wirklichkeit nicht der Fall ist, da diese neben Widerständen auch Kapazitäten undInduktivitäten aufweisen.
2.1. Definitionen
Für die Bezeichnungen der Drehstromsystemen sollte die Norm DIN 40108: Stromsysteme(Begriffe, Grö§en, Formelzeichen) konsultiert werden. Einige Begriffe und Grössen seien
2
2. Drehstrom 3
hier kurz erläutert:
Aussenleiter oder Polleiter (CH)Leiter des Drehstromsystems: L1, L2, L3Diese wurden früher als Phasen R, S und T bezeichnet. Diese Bezeichnungen geltennicht mehr. Phase beschreibt den momentanen Phasenwinkel einer periodischen,harmonischen Schwingung: ωt+φ. Der Begriff sollte nicht mehr für die Aussenleiterbenutzt werden.
NeutralleiterLeiter der am Sternpunkt eines Drehstromsystems angeschlossen istDieser gleicht die Aussenleiterströme bei asymmetrischer Belastung des Systems aus.
PE-Leiter (protective earth)Sicherheitsleiter der mit der Erde niederohmig verbunden ist (wird hier nicht weiterbetrachtet).
4-LeitersystemDrehstromsystem mit 3 Aussenleitern und einem Sternpunkt- oder NeutralleiterDiese Konfiguration ist typisch für die Niederspannungsseite.
3-LeitersystemDrehstromsystem mit 3 AussenleiternDiese Konfiguration ist typisch für Hochspannungsnetze, wo die Sternpunkte derGeneratoren niederohmig mit dem Erdboden verbunden sind.
starres Netzidealisiertes Netz bei dem die Aussenleiterspannungen lastunabhängig sind
SternspannungenAussenleiterspannungen gegen den Sternpunkt (cf. Abb. 2.2)
U1N = U� ∠ 0U2N = U� ∠− 2π/3U3N = U� ∠ + 2π/3
in Europa beträgt die Sternspannung U� = 230Volt (±10%) bei 50Hz. Die Richtungder Spannung U1N ist hier eine Konvention.
LeiterspannungenSpannungen zwischen den Aussenleitern (cf. Abb. 2.2)
U12 = U1N − U2N = U∆ ∠ + π/6U23 = U2N − U3N = U∆ ∠− π/2U31 = U3N − U1N = U∆ ∠ + 5π/6
in Europa beträgt die Dreieckspannung U∆ =√
3U� ≈ 400Volt (cf. Abb. 2.2). DasVerhältnis von
√3 zwischen der Dreieckspannung U∆ und der Sternspannung U�
kann aus dem Bild links geometrisch gewonnen werden.
2. Drehstrom 4
Strangeinzelne Generatorwicklungen oder LastkomponentenDiese werden mit U, V und W bezeichnet und deren Anschlüsse mit U1, U2, V1, V2,W1, W2. Lastkomponenten können als Stern oder als Dreieck geschaltet werden(cf. Abb. 2.3). Als Strangspannungen versteht man die Spannungen über diesenElementen.
AderbezeichnungAuf der folgenden Seite finden Sie eine Tabelle mit den neuen Aderbezeichnungsfar-ben nach er Norm HD 308 S2.
Vergleich der Aderkennzeichnung mit Farben - alte und neue Ausführung Ader- zahl
alt: SEV 1101, 1102 Tabelle 1a (CH)
alt: SEV 1101, 1102 Tabelle 2 (CENELEC)
neu: HD 308 S2
Für feste Verlegung
Für feste oder mobile Verlegung
Für feste und mobile Verlegung
Adern steif Adern flexibel Adern steif oder flexibel Phasenfolge / Drehsinn
Mit gelb-grünem Schutzleiter 3
sw bl ge/gn br bl ge/gn ge/gn bl br
4
sw rt bl ge/gn sw br bl ge/gn ge/gn bl br sw *)
4
sw rt ws ge/gn ge/gn br sw gr
5
sw rt ws bl ge/gn sw br sw bl ge/gn ge/gn bl br sw gr
Ohne gelb-grünem Schutzleiter 2
sw bl br bl bl br
3
sw rt ws sw br bl br sw gr **)
4
sw rt ws bl sw br sw bl bl br sw gr
5
sw br sw sw bl bl br sw gr sw
*) Nur für bestimmte Anwendungen: gelb-und-grün, blau, braun, schwarz **) Nur für bestimmte Anwendungen: blau, braun, schwarz Abkürzungen für Farben: ge/gn = gelb-und-grün, bl = blau, br = braun, sw = schwarz, gr = grau, rt = rot, ws = weiss Funktion Abkürzung alte Aderfarben SEV neue Aderfarben HD 308 S2 Polleiter
L
3L
sw
Einleiter-Kabel
sw rt ws
Mehrleiter-Kabel
sw
Einleiter-Kabel
br sw gr
Mehrleiter-Kabel
Neutralleiter
N
bl
bl
Schutzleiter
PE
ge/gn
ge/gn
2. Drehstrom 6
2.2. Symmetrische Belastung
Bei symmetrischer Belastung eines Drehstromnetzes ist die durch eine Last bezogeneMomentanleistung p(t) zeitlich konstant und entspricht gerade der gesamten WirkleistungP .
2.2.1. Sternschaltung (bei Drei- oder Vierleiternetz)
Die einzelnen Stränge können durch den folgenden komplexen Widerstand dargestellt wer-den:
Z = Z∠ϕ (mit |ϕ| ≤ π/2)
Abbildung 2.2.: Zeigerdiagramme mit den Drehstromspannungen. Auf der linken Seite sind dieSpannungen zwischen den Aussenleitern und dem Sternpunkt örtlich dargestellt, auf der rechten,so wie sie als Zeiger oder als komplexe Zahlen in der Gauss’schen Ebene liegen würden.
Abbildung 2.3.: Anschlussschemata (oben) für Stern- und Dreieckschaltung (unten)
2. Drehstrom 7
Damit erhält man für die Aussenleiterstromstärken:
I1 =U�Z
∠− ϕ
I2 =U�Z
∠− ϕ− 2π/3
I3 =U�Z
∠− ϕ+ 2π/3
Dabei gilt:
IN = I1 + I2 + I3 = 0I = I1 = I2 = I3
Für die Leistungen erhält man:
S = 3U�I∠ϕ
P = 3 U2�Z
cosϕ
Q = 3 U2�Z
sinϕ
Abbildung 2.4.: Symmetrische Sternschaltung der Stränge, 3×Z: Bei symmetrischer Belastungfliesst im Neutralleiter kein Strom.
2. Drehstrom 8
2.2.2. Dreieckschaltung
Abbildung 2.5.: Symmetrische Dreieckschaltung der Stränge, 3× Z
Die einzelnen Stränge können durch den folgenden komplexen Widerstand dargestellt wer-den:
Z = Z∠ϕ (mit |ϕ| ≤ π/2)
Damit erhält man für die Strangstromstärken:
I12 =U∆Z
∠− ϕ+ π/6
I23 =U∆Z
∠− ϕ− π/2
I31 =U∆Z
∠− ϕ+ 5π/6
und für die Aussenleiterstromstärken:
I1 = I12 − I31 =√
3 U∆Z
∠− ϕ
I2 = I23 − I12 =√
3 U∆Z
∠− ϕ− 2π/3
I3 = I31 − I23 =√
3 U∆Z
∠− ϕ+ 2π/3
Dabei gilt:
I∆ = I12 = I23 = I31I1 + I2 + I3 = 0
I = I1 = I2 = I3 =√
3 I∆
Für die Leistungen erhält man:
S = 3U∆I∆∠ϕ = 3U�I∠ϕ
P = 3 U2∆Z
cosϕ
Q = 3 U2∆Z
sinϕ
2. Drehstrom 9
2.3. Asymmetrische Belastung
2.3.1. Sternschaltung am Vierleiternetz
Abbildung 2.6.: Asymmetrische Sternschaltung der Stränge am Vierleiternetz
Die einzelnen Stränge können durch die folgenden komplexen Widerstände dargestellt wer-den:
Zk = Zk∠ϕk (mit k = 1, 2, 3 und |ϕk| ≤ π/2)
Damit erhält man für die Aussenleiterstromstärken:
I1 =U�Z1
∠− ϕ1
I2 =U�Z2
∠− ϕ2 − 2π/3
I3 =U�Z2
∠− ϕ3 + 2π/3
Dabei gilt:
IN = I1 + I2 + I3
Für die Leistungen erhält man:
S = U1NI∗1 + U2NI∗2 + U3NI∗3
P = U2�Z1
cosϕ1 +U2�Z2
cosϕ2 +U2�Z3
cosϕ3
Q = U2�Z1
sinϕ1 +U2�Z2
sinϕ2 +U2�Z3
sinϕ3
2. Drehstrom 10
2.3.2. Sternschaltung am Dreileiternetz
Abbildung 2.7.: Asymmetrische Sternschaltung der Stränge am Dreileiternetz
Die einzelnen Stränge können durch die folgenden komplexen Widerstände dargestellt wer-den:
Zk = Zk∠ϕk (mit k = 1, 2, 3 und |ϕk| ≤ π/2)Für die Spannungen zwischen den Aussenleitern und dem Sternpunkt der Last ergibtsich:
U1K = U1N − UKNU2K = U2N − UKNU3K = U3N − UKN
Damit erhält man für die Aussenleiterstromstärken mit den Leitwerten Y k = 1/Zk:
I1 = Y 1 U1K = Y 1 (U1N − UKN )I2 = Y 2 U2K = Y 2 (U2N − UKN )I3 = Y 3 U3K = Y 3 (U3N − UKN )
Dabei gilt:
I1 + I2 + I3 = 0
Aus den vier letzten Gleichungen kann die Spannung UKN zwischen dem Sternpunkt unddem (fiktiven) Neutralleiter berechnet werden (die Herleitung wird dem Leser überlas-sen):
UKN =Y 1U1N + Y 2U2N + Y 3U3N
Y 1 + Y 2 + Y 3
Für die Leistungen erhält man:
S = U1KI∗1 + U2KI∗2 + U3KI∗3= U1NI∗1 + U2NI∗2 + U3NI∗3
P =
2. Drehstrom 11
2.3.3. Dreieckschaltung am Dreileiternetz
Abbildung 2.8.: Asymmetrische Dreieckschaltung der Stränge
Die einzelnen Stränge können durch die folgenden komplexen Widerstände dargestellt wer-den:
Zk = Zk∠ϕk (mit k = a, b, c und |ϕk| ≤ π/2)
Damit erhält man für die Strangstromstärken:
I12 =U∆Zc
∠− ϕc + π/6
I23 =U∆Za
∠− ϕa − π/2
I31 =U∆Zb
∠− ϕb + 5π/6
und für die Aussenleiterstromstärken:
I1 = I12 − I31I2 = I23 − I12I3 = I31 − I23
Dabei gilt:
I1 + I2 + I3 = 0
Für die Leistungen erhält man:
S = U12I∗12 + U23I∗23 + U31I∗31= U1NI∗1 + U2NI∗2 + U3NI∗3
P =
2. Drehstrom 12
2.4. Leistungsmessung
Für die komplexe Scheinleistung eines Drehstromsystems gilt offenbar folgende Formel fürsämtliche Fälle:
S = P + jQ = U1NI∗1 + U2NI∗2 + U3NI∗3 (2.1)
Hinweis 1. Messtechnisch ist gemäss der Gleichung (2.1) die Bestimmung der Gesamt-leistung einfach, da die Aussenleiter bei allen Lastformen zugänglich sind.Bei fehlendem Neutralleiter, kann für die Messung ein virtueller Sternpunkt mit drei iden-tischen, sternförmig geschalteten Kondensatoren gebildet werden.
Abbildung 2.9.: Messung der Wirkleistung einer DrehstromlastDie gesamte Wirkleistung ist die Summe der drei Messwerten: P = Pm1 +Pm2 +Pm3. Im Fall einersymmetrischen Belastung genügt ein einziges Messgerät: P = 3Pm.
Hinweis 2. Die gesamte Wirkleistung der Last kann theoretisch aus der Summe derRealteile der drei Komponenten der Scheinleistung bestimmt werden:
P =
2. Drehstrom 13
2.4.1. Aron-Schaltung
Bei allen Konfigurationen, wo die Bedingung I1 + I2 + I3 = 0 gilt, kann die Aron-Schaltung1 mit nur zwei Leistungsmessgeräten benutzt werden (cf. Abb. 2.10). Dies ist
Abbildung 2.10.: Aron-Schlatung zur Messung der Wirkleistung einer DrehstromlastDie gesamte Wirkleistung ist die Summe der beiden Messwerten: P = Pm1 + Pm2.
möglich, da folgende Gleichung gilt:
S = U1NI∗1 + U2NI∗2 + U3NI∗3= U1NI∗1 + U2NI∗2 + U3N (−I∗1 − I∗2 )= (U1N − U3N ) I∗1 + (U2N − U3N ) I∗2= U13 I∗1 + U23 I∗2 (wobei U13 = −U31)
2.4.2. Blindleistungskompensation
Die Blindleistungekompensation einer induktiven Last kann bei symmetrischen Verbrau-chern durch drei als Stern oder Dreieck geschaltete identische Kondensatoren erreichtwerden. Wegen der höheren Dreieckspannung sind die Kapazitäten der Dreieckschaltung3 mal kleiner als in Sternschaltung.
C� =−Qtot/3ωU2�
C∆ =−Qtot/3ωU2∆
Zur Bestimmung der benötigten Kapazität muss also die Blindleistung bestimmt werden.Typische Leistungsmessgeräte messen aber die Blindleistung wesentlich weniger genau(grössere Messunsicherheiten) als die Wirk- oder die Scheinleistung, so das hier Vorsichtgeboten ist. Die Unsicherheit wird meistens noch durch Nichtlinearitäten in den Verläu-fen von Spannungen und Stromstärken wegen nichtlinearen Elementen wie z. B. „einsen-haltige“ Spulen oder Transformatoren verstärkt, denn es wird im Allgemeinen nur dieBlindleistung der Grundfrequenz gemessen2. Ohne direkte Messung mit einem Leistungs-messgerät lässt sich die Blindleistung aus der Schein- und der Wirkleistung bestimmen:|Q| =
√S2 − P 2. Auch hier ergeben sich Schwierigkeiten im Vorhandensein von nichtli-
nearen Komponenten, das diese Formeln eigentlich nur bei rein harmonischen Signalenanwendbar sind.
1 Hermann Aron (1845 - 1913)2 Nichtlineare Elemente erzeugen zusätzliche Frequenzen, welche ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz
sind.
2. Drehstrom 14
Sind die Laststränge asymmetrisch, so kann die Blindleistung in jedem einzelnen Astdurch einen eigenen Kondensator kompensiert werden. Grössere Anlagen haben schaltbareKondensatorbatterien.
.1. Drehstromschaltung
Listing 1: Matlab-Code zur Berechnung einer Drehstromschaltung% Beispiel fuer die Berechnung einer Drehstromschaltung%% gegeben : symmetrische und asymmetrische R- un RL_Last% gesucht : Aussenleiterstromstaerken% Schein - S, Wirk - P und Blindleistung Q%% © M. Schlup , 13. Nov. 2004
clear all , clc
% starres NetzUs =230; % Sternspannung in VU1n=Us*exp(i*0);U2n=Us*exp(-i*120* pi /180);U3n=Us*exp(i*120* pi /180);Ud =400; % Aussenleiterspannung in VU12=Ud*exp(i*30* pi /180);U23=Ud*exp(-i*90* pi /180);U31=Ud*exp(i*150* pi /180);f=50; % Hzw=2* pi*f;jw=j*w;
% LastR1=1e3; % OhmR2=R1;R3=R1;L1 =1.40; % HL2 =0;L3 =0;
fprintf (1,'%s \n','*** symmetrische , resistive Dreiecklast :')Z12=R1; Z23=R2; Z31=R3;I12=U12/Z12; I23=U23/Z23; I31=U31/Z31;I1=I12 -I31; I2=I23 -I12; I3=I31 -I23;I1=abs(I1), phi_I1_grad =180* angle(I1)/pi ,I2=abs(I3), phi_I2_grad =180* angle(I2)/pi ,I3=abs(I3), phi_I3_grad =180* angle(I3)/pi ,S1=U1n*I1 '; S2=U2n*I2 '; S3= U3n*I3 ';S=S1+S2+S3P=real(S)Q=imag(S)
fprintf (1,'\n %s \n','*** 4-Leiternetz , asymmetrische Sternlast :')Z1=R1+jw*L1; Z2=R2+jw*L2; Z3=R3+jw*L3;I1=U1n/Z1; I2=U2n/Z2; I3=U3n/Z3;In=I1+I2+I3;I1=abs(I1), phi_I1_grad =180* angle(I1)/pi ,I2=abs(I2), phi_I2_grad =180* angle(I2)/pi ,I3=abs(I3), phi_I3_grad =180* angle(I3)/pi ,
2. Drehstrom 15
In=abs(In), phi_In_grad =180* angle(In)/pi ,%' S in VA , P in W, Q in var:'S1=U1*I1 '; S2=U2*I2 '; S3=U3*I3 ';S=S12+S23+S31P=real(S)Q=imag(S)
A. Stern-Dreieck-Umwandlung
Abbildung A.1.: Stern- und Dreieckslast an den Drehstromaussenleitern L1, L2 und L3Für die Formeln unten sind die Indizes der Teillasten zu beachten: Z1 liegt z.B. gegenüber Za.
Dreieck → Stern
Z1 =ZbZcZ
Z2 =ZaZcZ
Z3 =ZaZbZmit Z = Za + Zb + Zc
Stern → Dreieck
Y a =Y 2Y 3Y
Y b =Y 1Y 3Y
Y c =Y 1Y 2Ymit Y = Y 1 + Y 2 + Y 3
Spezialfall
Z1 = Z2 = Z3 = Z� ↔ Za = Zb = Zc = Z∆
Z∆ = 3Z�
Z� =Z∆3
16
EinleitungDrehstromDefinitionenSymmetrische BelastungSternschaltung (bei Drei- oder Vierleiternetz)Dreieckschaltung
Asymmetrische BelastungSternschaltung am VierleiternetzSternschaltung am DreileiternetzDreieckschaltung am Dreileiternetz
LeistungsmessungAron-SchaltungBlindleistungskompensation
Drehstromschaltung
Stern-Dreieck-Umwandlung
