BRVKABRVKA
Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857)
Definice: Posloupnost má limitu , pokud pro každé okolí U bodu a existuje index n0 tak, že pro všechna přirozená n > n0 je člen an z okolí U bodu a.
Značení:
BRVKA
1nna Ra
aaaa nnn
n
nebo lim
an
n
limitaU(a
)
n0n>n0
Od určitého indexu n0 jsou všechny další členy v U okolí limity.Okolí můžeme zvolit libovolně malé.
Reálné a → plst je konvergentní.a = +∞ nebo –∞ → plst je divergentní.
BRVKA
bxfbxf x
x
nebo lim
y
x
U(b
)
x0x>x0
Poznámky: Okolí U(b) můžeme zvolit libovolně malé, změní se tím jen to, že x0 bude o něco větší.Zjištěním x0 jsme určili okolí nevlastního bodu.
limita
Značení:
Zkoumáme, jak se daná funkce f(x) chová v nevlastním bodě (v nekonečnu). Pokud se funkční hodnoty blíží nějaké hodnotě b, znamená to, že od určitého x0 jsou všechny funkční hodnoty v okolí U bodu b.
BRVKA
Zkoumáme, jak se daná funkce f(x) chová v okolí vlastního bodu a.
bxfbxf ax
ax
nebo lim
y
x
U(b
)
a P(a)
limita b
Značení:
Všechny funkční hodnoty čísel z okolí bodu a se nacházejí v okolí bodu b.
Poznámka: Funkční hodnota bodu a nás vůbec nezajímá, nemusí být ani definována nebo může být jakákoliv, zajímá nás okolí.
BRVKA
Definice: Řekneme, že funkce f(x) definovaná v prstencovém okolí bodu a má v bodě a limitu b, pokud ke každému okolí U bodu b existuje prstencové okolí P bodu a tak, že
y
x
U(b
)
a P(a)
Jestliže má P(a) existovat pro každé okolí U(b), můžeme volit libovolné menší (užší) okolí. Prstencové okolí P(a) se pouze zúží, ale bude existovat.
UPf
limita b
BRVKA
Definice: Řekneme, že funkce f(x) definovaná v levém (resp. pravém) prstencovém okolí bodu a má v bodě a jednostrannou limitu b zleva (resp. zprava), pokud ke každému okolí U bodu b existuje levé (resp. pravé) prstencové okolí P bodu a tak, že
y
x
U(b
)
aPL(a) Pro limitu zprava je to analogické.
UPf
Limita b zleva
bxfbxfaxax
lim limZnačení:
BRVKA
Limita funkce f(x) ve vlastním bodě existuje právě tehdy, když v tomto bodě existují obě jednostranné limity a jsou stejné. Pak se jim rovná i limita funkce.
y
x
U(b
)
aPL(a)
limita zleva
bxfxfxfaxaxax
limlim lim
PP(a)
limita zprava
BRVKA
y
x
U(+
∞)
aPL(a)
lim xfax
Funkce f(x) může mít ve vlastním bodě a nevlastní limitu, funkční hodnoty f(x) rostou (v absolutní hodnotě) nade všechny meze.
BRVKA
Limity v nevlastních bodech určujeme stejně jako u posloupností
Limity ve vlastních bodech určujeme: Dosazením, pokud to lze, tj. pokud nezískáme neurčitý výraz Vhodnou úpravou a poté dosazením:
Vyhodnocením výrazu úvahou:
Úvaha: „dělíme něčím, co je velmi malé, takže nám vyjde něco hodně velkého, a to kladného velkého, zřejmě + ∞.
Vzorcem – viz dále.
Pomocí l´Hospitalova pravidla – až budeme umět derivace
41
21
lim22
2lim
42
lim2222
xxxx
xx
xxx
31
lim3 xx
BRVKA
Pokud můžeme funkci zapsat pomocí dvou jiných f a g, platí podobné vztahy jako u limit plstí
Vzorcem, upravíme funkci na tvar, který obsahuje limitu ze vzorce a dosadíme:
fcfc
gf
f
g
f
gfgf
gfgf
axax
ax
ax
ax
axaxax
axaxax
lim..lim
0 pro,lim
limlim
lim.lim.lim
limlimlim
1sin
lim0
x
xx
11
lim0
x
ex
x
1
1lnlim
0
xx
x
Předchozí metody se často kombinují, např. provedeme úpravu a vyjde limita, kterou vyřešíme vzorcem či úvahou.
BRVKA
1
3
3
2sinlim
20 xx
xx
1
3lim
3
2sinlim
200 xx
xxx
10
3lim
22
2sinlim
3
120
0x
x x
x
1
3lim
2
2sinlim.
3
200 xx x
x
3
721.
3
2
2
2
0 3
tg5lim
x
xx
2
2
2
0 3cossin
5lim
xxx
x
xx
xx 22
2
0 cos
1
3
sin5lim
xx
xxx 20
2
0 cos
1lim.
sinlim
3
5
0cos
1lim.
sinlim
3
520
2
0 xx x
x
3
51.1.
3
5 2
BRVKA
Grafy některých funkcí jsou „přetržené“, nenavazují, např.
Naopak grafy jiných funkcí lze „kreslit jedním tahem“.
Takové funkce označujeme jako SPOJITÉ.
xxfxxfx
xfxxf )(,)(,1
)(,sgn)( 2
xxfxxfxxfxxf log)(,13)(,2)(,)( 2
Věta o souvislosti limity a spojitosti:
Funkce f(x) definovaná v bodě a je v tomto bodě spojitá, pokud )()(lim afxf
ax
Typy nespojitosti: Chybějící bod, lze vhodně dodefinovat. Asymptota Skokově nespojitá funkce
11
)(2
xx
xfxxf
xxf tg)(,
1)(
xxf sgn)(
A to je pro dnešek vše,
děkuji za pozornost.
BRVKA