5.6 極極極值值值測測測試試試與與與應應應用用用
178 第 5 章 多變數函數的微分
5.6 極值測試與應用�� ��習題解答 5.6.1.
易知兩者的 P2(x, y) = x2, 但 f(x, y) = x2 + y4 ≥ 0 = f(0, 0) 有極小值 0. 而 g(x, y) =
x2 − y4, 若延 x- 軸變動, g(x, 0) = x2 ≥ 0 = g(0, 0); 若延 y-軸變動, g(0, y) = −y4 ≤ 0 =
g(0, 0), 所以 (0, 0, 0) 是鞍點.�� ��習題解答 5.6.2.
(1) ∇f(x, y) = (2x + y − 1, x + 2y − 1) = (0, 0). 由
2x + y = 1
x + 2y = 1⇒ (x, y) = (
1
3,1
3)為候選點
但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 1
1 2
∣∣∣∣∣∣= 3 > 0
又 2 > 0, 由極值測試知 f(
13 , 1
3
)= 1
9 · 3− 13 · 2− 1 = −4
3 是 f(x, y) 之極小值.(2) f(x, y) = x3 − 3xy + y3. ∇f(x, y) = (3x2 − 3y,−3x + 3y2) = (0, 0). 由
x2 − y = 0
−x + y2 = 0⇒ −x + x4 = 0
解得 x = 0, 1, 所以 (0, 0), (1, 1) 為候選點. 但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣6x −3
−3 6y
∣∣∣∣∣∣= 36xy − 9
D(0, 0) = −9 < 0, 由極值測試知 (0, 0, 0) 為鞍點. D(1, 1) = 27 > 0 且 6 · 1 = 6 > 0,所以 f(1, 1) = −1 是極小值.
(3) f(x, y) = 8xy − 14(x + y)4. ∇f(x, y) = (8y − (x + y)3, 8x− (x + y)3) = (0, 0). 由
8y = (x + y)3
8x = (x + y)3⇒ x = y ⇒ 8x = 8x3
解得 x = 0, ±1, 所以 (0, 0), (1, 1), (−1,−1) 為候選點. 但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣−3(x + y)2 8− 3(x + y)2
8− 3(x + y)2 −3(x + y)2
∣∣∣∣∣∣= 9(x + y)4 − (8− 3(x + y)2)2
= 8 · (6(x + y)2 − 8)
5.6. 極值測試與應用 179
由極值測試知
1. D(0, 0) = −64 < 0, (0, 0, 0) 為鞍點.
2. D(1, 1) = 128 > 0 且 −3 · 22 = −12 < 0, 所以 f(1, 1) = 4 是極大值.
3. D(−1,−1) = 128 > 0 且 −3 · (−2)2 = −12 < 0, 所以 f(−1,−1) = 4 是極大值.
(4) f(x, y) = xe−(x2+y2). ∇f(x, y) = ((1− 2x2)e−(x2+y2),−2xye−(x2+y2)) = (0, 0). 由
1− 2x2 = 0
−2xy = 0⇒ x = ± 1√
2, y = 0
所以 (± 1√2, 0) 為候選點. 但
D(x, y) = (e−(x2+y2))2 ·
∣∣∣∣∣∣(−4x− 2x(1− 2x2)) −2y(1− 2x2)
−2y(1− 2x2) −2x(1− 2y2)
∣∣∣∣∣∣
⇒ D( 1√2, 0) = e−1 ·
∣∣∣∣∣∣
−4√2
0
0 −2√2
∣∣∣∣∣∣= 4e−1
D(− 1√2, 0) = e−1 ·
∣∣∣∣∣∣
4√2
0
0 2√2
∣∣∣∣∣∣= 4e−1
1. D( 1√2, 0) = 4e−1 > 0, −4√
2< 0, 所以 f( 1√
2, 0) = 1√
2e− 1
2 是極大值.
2. D(− 1√2, 0) = 4e−1 > 0, 4√
2> 0, 所以 f(− 1√
2, 0) = − 1√
2e− 1
2 是極小值.
(5) f(x, y) = sin x cos y. ∇f(x, y) = (cos x cos y,− sin x sin y) = (0, 0). 由
cos x cos y = 0
− sin x sin y = 0
⇒
cos x = 0 ⇒ x = π2 + mπ ⇒ sin x = ±1 ⇒ sin y = 0 ⇒ y = nπ
cos y = 0 ⇒ y = π2 + mπ ⇒ sin y = ±1 ⇒ sin x = 0 ⇒ x = nπ
所以 (π2 + mπ, nπ), (nπ, π
2 + mπ) 為候選點, 其中 m,n ∈ Z. 但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣− sin x cos y − cos x sin y
− cos x sin y − sin x cos y
∣∣∣∣∣∣= sin2 x cos2 y − cos2 x sin2 y
1. (nπ, π2 + mπ) = 0− (±1)2 = −1 < 0, (nπ, π
2 + mπ, 0) 為鞍點.
2. D(π2 + mπ, nπ) = (±1)2 − 0 = 1 > 0
(a) 當 n 與 m 一奇一偶時, − sin x cos y = 1 > 0, f(π2 + mπ, nπ) = 1 是極大值.
180 第 5 章 多變數函數的微分
(b) 當 n 與 m 同奇或同偶時, − sin x cos y = −1 < 0, f(π2 + mπ, nπ) = −1 是極
小值.
(6) f(x, y) = (x2 + 1) sin y. ∇f(x, y) = (2x sin y, (x2 + 1) cos y) = (0, 0). 由
2x sin y = 0
(x2 + 1) cos y = 0⇒ cos y = 0 ⇒ x = 0
所以 (0, π2 + mπ) 為候選點, 其中 m ∈ Z. 但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 sin y 2x cos y
2x cos y −(x2 + 1) sin y
∣∣∣∣∣∣= −2(x2 + 1) sin2 y − 4x2 cos2 y
D(0, π2 + mπ) = −2− 0 = −2 < 0, 所以 (0, π
2 + mπ,±1) 都是鞍點.�� ��習題解答 5.6.3.
(1) f(x, y) = x2 +3xy + y2. ∇f(x, y) = (2x+3y, 3x+2y) = (0, 0) ⇒ 候選點為 (0, 0). 但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 3
3 2
∣∣∣∣∣∣= −5 < 0
由極值測試, (0, 0, 0) 為鞍點.(2) f(x, y) = x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 ≥ 0, 極值發生在 x + y = 0 時. 注意此時
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 2
2 2
∣∣∣∣∣∣= 0
無法用極值測試.(3) f(x, y) = x2 + xy + y2. ∇f(x, y) = (2x + y, x + 2y) = (0, 0) ⇒ 候選點為 (0, 0). 但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 1
1 2
∣∣∣∣∣∣= 3 > 0
且 2 > 0, 由極值測試, f(0, 0) = 0 為極小值.(4) f(x, y) = x2 + λxy + y2. ∇f(x, y) = (2x + λy, λx + 2y) = (0, 0) ⇒ 除了 λ = ±2 之
外, 候選點只有 (0, 0). 此時
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 λ
λ 2
∣∣∣∣∣∣= 4− λ2 < 0
由極值測試, 當 |λ| > 2 時, D(0, 0) < 0, (0, 0, 0) 為鞍點；當 |λ| < 2 時, D(0, 0) > 0,又因為 2 > 0, 所以 f(0, 0) = 0 為極小值.
當 λ = ±2 時, f(x, y) = (x± y)2 ≥ 0, f(x, y) 在 x± y = 0 時, 有極小值 0.
180 第 5 章 多變數函數的微分
(b) 當 n 與 m 同奇或同偶時, − sin x cos y = −1 < 0, f(π2 + mπ, nπ) = −1 是極
小值.
(6) f(x, y) = (x2 + 1) sin y. ∇f(x, y) = (2x sin y, (x2 + 1) cos y) = (0, 0). 由
2x sin y = 0
(x2 + 1) cos y = 0⇒ cos y = 0 ⇒ x = 0
所以 (0, π2 + mπ) 為候選點, 其中 m ∈ Z. 但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 sin y 2x cos y
2x cos y −(x2 + 1) sin y
∣∣∣∣∣∣= −2(x2 + 1) sin2 y − 4x2 cos2 y
D(0, π2 + mπ) = −2− 0 = −2 < 0, 所以 (0, π
2 + mπ,±1) 都是鞍點.�� ��習題解答 5.6.3.
(1) f(x, y) = x2 +3xy + y2. ∇f(x, y) = (2x+3y, 3x+2y) = (0, 0) ⇒ 候選點為 (0, 0). 但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 3
3 2
∣∣∣∣∣∣= −5 < 0
由極值測試, (0, 0, 0) 為鞍點.(2) f(x, y) = x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 ≥ 0, 極值發生在 x + y = 0 時. 注意此時
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 2
2 2
∣∣∣∣∣∣= 0
無法用極值測試.(3) f(x, y) = x2 + xy + y2. ∇f(x, y) = (2x + y, x + 2y) = (0, 0) ⇒ 候選點為 (0, 0). 但
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 1
1 2
∣∣∣∣∣∣= 3 > 0
且 2 > 0, 由極值測試, f(0, 0) = 0 為極小值.(4) f(x, y) = x2 + λxy + y2. ∇f(x, y) = (2x + λy, λx + 2y) = (0, 0) ⇒ 除了 λ = ±2 之
外, 候選點只有 (0, 0). 此時
D(x, y) =
∣∣∣∣∣∣2 λ
λ 2
∣∣∣∣∣∣= 4− λ2 < 0
由極值測試, 當 |λ| > 2 時, D(0, 0) < 0, (0, 0, 0) 為鞍點；當 |λ| < 2 時, D(0, 0) > 0,又因為 2 > 0, 所以 f(0, 0) = 0 為極小值.
當 λ = ±2 時, f(x, y) = (x± y)2 ≥ 0, f(x, y) 在 x± y = 0 時, 有極小值 0.
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