APORTES A LA FORMACIÓN DE UN PROFESOR DE MATEMÁTICAS
DE LA HISTORIA COGNITIVA SOBRE EL PENSAMIENTO DE GALILEO
JHOAN MANUEL RIPOLL ARISTIZABAL
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ, D. C.
2020
APORTES A LA FORMACIÓN DE UN PROFESOR DE MATEMÁTICAS
DE LA HISTORIA COGNITIVA SOBRE EL PENSAMIENTO DE GALILEO
JHOAN MANUEL RIPOLL ARISTIZABAL
CÓDIGO ESTUDIANTIL 2015140069
CC. 1030535976
Trabajo de Grado realizado como requisito parcial
para optar al título de Licenciado en Matemáticas
Director: Dr. Edgar Alberto Guacaneme Suárez
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ, D.C.
2020
I
Dedicatoria
El presente trabajo lo dedico primero a Dios, por otorgarme su bendición durante las
distintas etapas de mi vida, en especial en mi proceso formativo como licenciado en matemáticas.
A mis padres quienes con su amor y esfuerzo durante estos años me han brindado su
apoyo y amor, velando mis sueños, llorando mi llanto y celebrando mis triunfos.
A mis hermanos que con su amor me han inspirado para siempre seguir adelante con mis
proyectos y metas.
Al profesor Edgar Guacaneme por todo su apoyo y guía durante el desarrollo del presente
proyecto.
A los maestros que desde niño y hasta el día de hoy me han transmitido su amor por las
matemáticas.
A mis abuelos fallecidos, en especial Manuel Antonio Ripoll quien con su ejemplo me
enseñó que siempre hay que aprender un nuevo conocimiento y a trabajar sin rendirse ante las
adversidades.
II
Agradecimientos
Mis más sinceros agradecimientos: a mis padres, quienes me han apoyado a lo largo de
toda mi vida; a la Universidad Pedagógica Nacional, por brindarme la oportunidad de formarme
profesionalmente; al Departamento de Matemáticas que me ha otorgado su apoyo durante mi
formación docente; a los profesores de la Licenciatura en Matemáticas, en especial al profesor
Edgar Guacaneme, un ser humano ejemplar, con profundos valores éticos y morales, quien me
brindó su orientación y apoyo durante el proceso y realización del presente trabajo así como en
los distintos aspectos relacionados con el mismo, compartiendo conmigo sus conocimientos,
consejos, sugerencias, paciencia y dedicación; a los profesores Alejandro Sánchez y Luis
Guayambuco, por su invaluable humanidad y apoyo durante mi etapa inicial en las prácticas
pedagógicas; a la profesora Lyda Mora, quien me inspiró con su pasión por la docencia; y, a
todos los maestros que influyeron en mi formación docente.
A todos ustedes, mil gracias por ser parte de mi vida y por enriquecer mi persona con tantos
aspectos positivos de su ser.
III
Contenido
Dedicatoria ........................................................................................................................... I
Agradecimientos .................................................................................................................. II
Resumen ............................................................................................................................... 1
Introducción ......................................................................................................................... 3
1 Generalidades del estudio .............................................................................................. 6
1.1 Objeto de estudio .................................................................................................... 6
1.2 Justificación ............................................................................................................ 7
1.3 Objetivos ............................................................................................................... 12
1.3.1 Objetivo general ............................................................................................. 12
1.3.2 Objetivos específicos ...................................................................................... 12
1.4 Aspectos metodológicos ....................................................................................... 13
2 Estudio del documento “Mental models in Galileo’s early mathematization of nature”
15
2.1 Resumen del artículo ............................................................................................ 15
2.2 Herramientas teóricas para la comprensión del artículo ....................................... 32
2.2.1 Respecto al contexto histórico ........................................................................ 32
2.2.2 Conocimientos teóricos matemáticos y físicos ............................................... 41
IV
3 Relación entre la Historia de las Matemáticas y su utilidad para el profesor de
matemáticas .................................................................................................................................... 71
3.1 Categorías en relación con el para qué de la Historia de las Matemáticas en la
formación de un profesor de Matemáticas ................................................................................. 72
3.2 Aportes del estudio a mi formación profesional ................................................... 77
4 Conclusiones ................................................................................................................ 89
Referencias ........................................................................................................................ 95
Anexos ................................................................................................................................ 97
4.1 Anexo 1. Mental models in Galileo’s early mathematization of nature ............... 97
4.2 Anexo 2 Biografía de Galileo Galilei ................................................................. 160
4.3 Anexo 3. Sentencia del Tribunal de la Inquisición, 22 de junio de 1633 ........... 166
4.4 Anexo 4. Abjuración de Galileo, 22 de junio de 1633 ....................................... 168
V
Índice de tablas
Tabla 1 Síntesis del código triple de representación mental de Johnson-Laird ............................. 19
Tabla 2 Experimentos de pensamiento desde la perspectiva de distintos autores. ........................ 29
Tabla 3 Argumentación de Palmieri sobre el por qué la representación mental que usa Galileo no
califica como experimento de pensamiento. .................................................................................. 30
VI
Índice de figuras
Figura 1 Sistemas de balanzas configurados de manera semejante según interpretación de
Palmieri respecto al lenguaje utilizado por Galileo en su postulado sobre centros de gravedad ... 21
Figura 2 Situación final balanza transformada y la original (Palmieri, 2003, p. 247) ................... 23
Figura 3 Anatomía del modelo mental de Galileo de un sólido cilíndrico en equilibrio (Palmieri,
2003, p. 249) ................................................................................................................................... 24
Figura 4 Representación gráfica del problema del disco móvil. El punto E (en color rojo) recorre
una mayor distancia que el punto D (en color azul), en el mismo tiempo. Arriba se ilustra
mediante segmentos la distancia recorrida ..................................................................................... 26
Figura 5 Arriba ilustración del problema del plano inclinado de Pappus. Abajo representación del
problema del plano inclinado como un problema de equilibrio arquimediano propuesto por
Palmieri (2003, p. 253) ................................................................................................................... 27
Figura 6 Representación de triángulos semejantes ........................................................................ 43
Figura 7 segmento dividido en extrema y media razón ................................................................. 45
Figura 8 En color rojo, representación de una de las alturas del triángulo 𝐴𝐵𝐶............................ 45
Figura 9 Representación de una de las alturas de un rectángulo .................................................... 46
Figura 10 Altura 𝐺𝑁 en el exterior del cuadrilátero 𝐸𝐹𝐺𝐻 ........................................................... 46
Figura 11 representación en color rojo de una de las alturas del cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶 ....................... 46
Figura 12 Representación propuesta por Euclides (Commandino & Simson, 1855) ..................... 47
Figura 13 Triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴𝐶𝐷, paralelogramos 𝐸𝐵𝐶𝐴 y 𝐶𝐷𝐹𝐴 de acuerdo con descripción de
Euclides. ......................................................................................................................................... 49
Figura 14. Construcción de triángulos 𝐴𝐺𝐵, 𝐴𝐻𝐺, 𝐴𝐷𝐾 y 𝐴𝐾𝐿 de acuerdo con pasos propuestos
por Euclides. ................................................................................................................................... 50
Figura 15. Área de los triángulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐺𝐵, 𝐴𝐻𝐺, 𝐴𝐷𝐶, 𝐴𝐷𝐾 y 𝐴𝐾𝐿. ...................................... 51
Figura 16 El área del triángulo 𝐴𝐻𝐶 es tres veces el área de los triángulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐺𝐵 y 𝐴𝐻𝐺. El
área del triángulo 𝐴𝐿𝐶 es tres veces el área de los triángulos 𝐴𝐷𝐶, 𝐴𝐷𝐾 y 𝐴𝐾𝐿. ........................ 51
Figura 17 Área de los paralelogramos 𝐸𝐵𝐶𝐴 y 𝐶𝐷𝐹𝐴 contrastada con el área de los triángulos
mencionados en la Fig. 13. ............................................................................................................. 52
VII
Figura 18 Área de los paralelogramos 𝐸𝐵𝐶𝐴 y 𝐶𝐷𝐹𝐴 contrastada con el área de los triángulos
mencionados en la Fig. 13 y visualización del área de los triángulos 𝐴𝐻𝐶 y 𝐴𝐿𝐶. ...................... 52
Figura 19 Construcción geométrica propuesta por Euclides para demostrar la proposición 6 del
sexto libro de Elementos. ............................................................................................................... 55
Figura 20 Semejanza en la disposición de centros de gravedad en figuras planas semejantes
propuesta por Arquímedes. arriba con triángulos. Abajo con paralelogramos. ............................. 56
Figura 21 Los modelos similares de balanzas. Disposiciones similares de igual peso W1, W2,
W3, W4 en tres diferentes equilibrios I, II, II (Palmieri, 2003, p. 243) ......................................... 58
Figura 22 Ejemplo de la definición 5 libro V de Elementos. ......................................................... 61
Figura 23 Ejemplo de la definición 5 libro V de Elementos aplicada al área de cuadrados. ......... 62
Figura 24 Magnitudes homogéneas que son proporcionales (Fuentes Caucalí, J. T., & Sandoval
Mendoza, 2017, p. 32) .................................................................................................................... 63
Figura 25 Magnitudes que no son proporcionales halladas por Guacaneme (2015) (Fuentes
Caucalí, J. T., & Sandoval Mendoza, 2017, p. 33) ........................................................................ 63
Figura 26 matematización de pesos según la proporcionalidad equimúltiple, (Palmieri, 2001, p.
599 Fig 5) ....................................................................................................................................... 64
Figura 27 Ley del equilibrio de Arquímedes. tomada Strathern (1999, Pág. 22). ......................... 66
Figura 28 Ejemplo de la ley del equilibrio de Arquímedes ............................................................ 67
Figura 29 Problema del disco móvil. El punto 𝐸 recorre mayor distancia que el punto 𝐷 en el
mismo tiempo 𝑡. ............................................................................................................................. 69
VIII
Índice de anexos
4.1 Anexo 1. Mental models in Galileo’s early mathematization of nature .............................. 97
4.2 Anexo 2 Biografía de Galileo Galilei ................................................................................ 160
4.3 Anexo 3. Sentencia del Tribunal de la Inquisición, 22 de junio de 1633 .......................... 166
4.4 Anexo 4. Abjuración de Galileo, 22 de junio de 1633 ...................................................... 168
1
Resumen
Aunque dentro de la formación del profesor de Matemáticas en algunos centros de
educación superior se contempla la enseñanza de la Historia de las Matemáticas, la realidad es
que comúnmente suele subestimarse el potencial del conocimiento histórico en la formación de
maestros en esta área de estudio (Historia de las Matemáticas), relegándola únicamente al
enriquecimiento intelectual del maestro en formación, por lo que, puede generar la sensación de
trivialidad o de poco productiva para la labor docente.
Mediante el presente informe de trabajo de grado, presento el resultado de haber
estudiado un documento sobre Historia de las Matemáticas; estudiar un documento (académico y
científico) hace referencia a indagar a fondo las teorías y conceptos inmersos en él, de manera tal
permiten a quien estudia el documento, conocer y exponer con exactitud la postura del autor y los
fundamentos en los que se basa este para formular su tesis, en el caso particular de este trabajo,
realizar este ejercicio con el documento de Palmieri (2003) me permitió comprender la tesis del
autor sobre la pertinencia de estudiar el pensamiento de Galileo Galilei en torno a la
matematización de la naturaleza1 a partir de la teoría de la ciencia cognitiva y los modelos
mentales. Para mostrar los resultados del estudio dispondré de dos momentos.
En el primer momento, presentaré un resumen del documento de estudio “Mental models
in Galileo’s early mathematization of nature” (Modelos mentales de Galileo en la temprana
matematización de la naturaleza) (Palmieri, 2003) en el que, a grandes rasgos, describiré el
1 También mencionada como matematización física temprana
2
contenido del documento de estudio, el cual se centra en el papel de la ciencia cognitiva desde
una perspectiva de la historia cognitiva y cómo esta no solo aporta a la comprensión del
pensamiento y proceder de Galileo Galilei en su matematización física temprana, sino que
también invita a filósofos, historiadores y científicos cognitivos a trabajar de manera
interdisciplinar, lo que contribuye al “estudio tanto de la evolución y estabilización de los
mecanismos cognitivos como a las dinámicas de fijación subyacentes a los sistemas de creencias
difusas” (Palmieri, 2003 p. 260). En el segundo momento presentaré el contenido histórico y
matemático al que tuve que acudir para una óptima comprensión del texto, tanto en su
componente contextual como en su componente teórico matemático.
Por otro lado, luego de haber presentado el documento de Palmieri y el conocimiento
inmerso en él, procederé a contrastar la experiencia en el estudio de dicho documento a través de
las categorías propuestas en la tesis doctoral de Guacaneme (2016), particularmente por medio
del uso de las categorías referidas al para qué estudiar Historia de las Matemáticas como maestro
de esta área, y al cómo el estudio de la Historia de las Matemáticas contribuye en la formación
del profesor en pro del conocimiento del profesor de Matemáticas, más allá de la erudición. Todo
lo anterior, con el fin de concienciar respecto a algunas de las bondades que le otorga al profesor
el estudio de un documento histórico matemático y su potencial académico más allá de la
adquisición de conocimiento.
3
Introducción
El presente documento es el resultado del ejercicio académico de haber estudiado un
artículo de historia de las ciencias titulado, “Mental models in Galileo’s early mathematization of
nature” (Palmieri, 2003). Este ejercicio ilustra el estudio de documentos históricos como aspecto
enriquecedor del conocimiento del profesor de matemáticas, de la labor docente y de su identidad
profesional.
He de aclarar, que este documento lo escribo en primera persona del singular, en la
medida que, este refleja mi experiencia al estudiar un artículo histórico, lo que me convierte en
objeto de estudio, así mismo, soy quién presenta los resultados del ejercicio académico
propuesto, por lo que también actúo como ente investigador; También aclaro, que eventualmente
en el estilo de escritura hago uso de la primera persona del plural, en relación con la participación
de otras personas, a propósito de esto, es menester indicar que, este trabajo de grado contó con
distintas direcciones; inicialmente, se planteó un anteproyecto de grado junto al profesor Edgar
Guacaneme, y a causa de una situación institucional ajena a mi persona, el Departamento de
Matemáticas me asignó como asesor de trabajo de grado al profesor Jojhan Jiménez para los
periodos académicos 2018-II y 2019-I, con quien adelanté el proceso de traducción del artículo
de Palmieri y realicé un primer acercamiento de estudio del documento; para el Periodo 2019-II y
hasta el periodo actual 2020-I, el profesor Edgar Guacaneme retomó la dirección del presente
trabajo de grado, asesorándome y guiándome en las distintas cuestiones relacionadas con este.
Retomando la idea del primer párrafo de este apartado, debo mencionar que, para el caso
particular del presente trabajo de grado, el artículo de Palmieri invita a estudiar historia de la
4
ciencia a partir de un enfoque de ciencia cognitiva, a fin de develar aspectos importantes en el
razonamiento de personajes célebres en la historia de las ciencias y las matemáticas. Esta
perspectiva de historia cognitiva de la ciencia suele omitirse en buena parte de los trabajos
históricos y se postula fundamental en la constitución de los profesionales encargados de
promover procesos de aprendizaje.
El presente documento está organizado en tres capítulos en donde describo el trabajo que
realicé en torno al estudio del artículo de Palmieri, y unos anexos. En el primer capítulo, describo
aspectos generales del estudio realizado, tales como: objeto de estudio, justificación, objetivos y
fases metodológicas.
En el segundo capítulo, presento dos momentos del estudio realizado en torno al
documento de Palmieri (2003). En el primer momento exhibo como resultado una síntesis del
artículo. En el segundo momento describo la teoría y recursos estudiados para la comprensión del
artículo.
En el tercer capítulo, expongo algunos de los conocimientos adquiridos al estudiar el
documento de Palmieri (2003), a través de las categorías tratadas en uno de los apartados de la
tesis doctoral del profesor Guacaneme (2016), a fin de vislumbrar de qué manera el estudio de
Historia de las Matemáticas (o de la Historia de las Ciencias) trasciende en el conocimiento del
profesor de matemáticas, más allá de la erudición.
Adicionalmente, anexo la traducción, no oficial, del artículo de Palmieri (2003) y de
elementos que me permiten ampliar el marco contextual referente a Galileo Galilei.
5
Espero que la lectura del documento incentive, en los profesores en formación profesional
y en ejercicio, el estudio de la Historia de las Matemáticas, a fin no solo de enriquecer su
conocimiento, sino también de adquirir artefactos2 que aporten a su labor desde distintas
perspectivas llegándose a convertir en herramientas docente (Guacaneme, 2016) .
2 La noción de artefacto es tomada de (Guacaneme, 2016) y abordada en el tercer capítulo del presente documento.
6
1 Generalidades del estudio
En el presente capítulo describo aspectos generales vinculados al proceso de estudio
realizado. Particularmente presento el objeto de estudio, expongo las razones que motivaron el
estudio, explicito los propósitos o metas que propusimos para este, de las cuales se muestra el
balance en el apartado de conclusiones de este documento y, finalmente, doy cuenta y razón de
aspectos metodológicos que tuvimos en cuenta en el desarrollo del estudio reportado.
1.1 Objeto de estudio
Con el presente escrito develo el resultado de mi experiencia personal al estudiar un
documento histórico matemático en pro de la formación profesional de los profesores de
matemáticas.
Para la consecución de resultados llamativos a la luz del estudio de un documento
histórico en pro de la formación de los profesores de matemáticas, este trabajo de grado lo centro
en la lectura comprensiva del texto titulado “Mental models in Galileo’s early mathematization of
nature” (Modelos mentales de Galileo en la temprana matematización de la naturaleza), escrito
por Palmieri (2003), En dicho artículo, el autor hace un análisis sobre cómo Galileo asimiló las
Matemáticas, cómo estas estaban influenciadas cognitivamente por el pensamiento de su época y
el de sus predecesores (Arquímedes y Euclides), y cómo las utilizó para la matematización de la
naturaleza.
Pero ¿qué quiero decir con una lectura comprensiva? Quiero decir que se analicé
profundamente cada uno de los elementos mencionados por Palmieri en su documento para
7
describir el pensamiento de Galileo en torno a los modelos mentales que él empleó para su
temprana matematización de la naturaleza. Ahora bien, esto a su vez, me requirió de una
comprensión de la obra de Euclides en relación con la teorización y uso de las razones y
proporciones en el campo aritmético y geométrico y de la obra de Arquímedes respecto a su
noción de semejanza sobre centros de gravedad tanto en figuras planas como en sistemas de
balanzas. Igualmente me requirió comprender el contexto científico de la época en que vivió
Galileo y la intención de su obra en cuestión.
1.2 Justificación
La justificación que sustenta el presente trabajo la realizo en dos partes. En primera
instancia, hago una reflexión personal en torno al por qué he decidido hacer el presente trabajo de
grado enfocado en la Historia de las Matemáticas y la importancia que le doy a la misma. En
segunda instancia, presento un sustento teórico basado en el estado del arte desarrollado por
Guacaneme (2016) que me permite dilucidar la importancia del ejercicio de estudiar un
documento de la Historia de las Matemáticas como aporte en la formación docente.
Durante mi vida he tenido especial gusto por las Matemáticas y he valorado la influencia
de estas en el desarrollo cultural de la humanidad; es gracias a las Matemáticas y a la manera
como la humanidad las ha utilizado, que nuestra sociedad es lo que es hoy día y cuenta con
distintos beneficios desarrollados científicamente. Por esto, me he interesado en transmitir el
amor y pasión que siento por las Matemáticas a las personas que me rodean, aunque en ocasiones
ha sido un poco difícil hacerlo, bien sea por la predisposición negativa que algunas personas
tienen hacia las Matemáticas o bien porque consideran el carácter poco útil de estas (ambas
8
probablemente debidas experiencias en los procesos formativos). Por tales motivos, me he
preocupado en buscar distintas estrategias pedagógicas para ayudar a dichas personas a
desarrollar gusto por las Matemáticas; en este sentido he inicialmente intuido y recientemente
identificado que comprender y utilizar la Historia de las Matemáticas puede constituir una de
tales estrategias.
Al revisar la necesidad de reivindicación de la Historia de las Matemáticas,
particularmente en la formación del profesor de Matemáticas, Guacaneme (2016) ha concretado
un marco de categorías sobre su utilidad y pertinencia. Así, ha planteado que la Historia de las
Matemáticas es una herramienta útil, puesto que permite hacer un recorrido por la evolución de
distintos procesos matemáticos; a su vez, muestra una visión amplia y profunda del cómo la
Historia de las Matemáticas aporta al profesor de matemáticas para la comprensión de los objetos
matemáticos que va a enseñar en el aula, y que no se agota con dicha comprensión.
Así mismo, Guacaneme (2016) dentro de sus categorías sobre las visiones vinculadas al
¿para qué se procura la apropiación del conocimiento histórico de las matemáticas por parte del
profesor de matemáticas? (Dotar al profesor de visiones de la actividad matemática, Visión de las
Matemáticas, Visión del conocimiento Matemático y Visión de los objetos de las Matemáticas)
afirma que la visión histórica de las Matemáticas dota al profesor de herramientas para su
desempeño profesional, ya que, esta amplía y diversifica dicha visión del profesor, motivándolo a
proponer formas alternas de actividad matemática al aportarle una ampliación de su conocimiento
profesional matemático y del cómo podría enseñarlo, ya que, puede jugar un papel humanizador
en el proceso formativo de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes.
9
Por otro lado, Pardo Salcedo & Gómez Alfonso (2005 p.251), afirman que conocer la
Historia de las Matemáticas posibilita que el profesor identifique en los estudiantes las
dificultades e inconsistencias conceptuales a las que los matemáticos se han enfrentado a lo largo
de la historia, posibilitándole al profesor, crear estrategias que contribuyan a los estudiantes en la
comprensión de conceptos matemáticos.
Canal (2011) en su trabajo de Fin de Master titulado “La enseñanza de los números
complejos en el bachillerato”, cita a Urbaneja (2004 p. 17, quien se refiere a P.Puig 1951), para
invitar a “No olvidar el origen concreto de las matemáticas, ni los procesos históricos de su
evolución”. y así contemplar la Historia de las Matemáticas como una herramienta útil no solo
para el profesor sino también para el alumno; según él:
“Es importante que el alumno no vea en las Matemáticas algo ya hecho, producto
de un gusto especial por ciertas cosas abstractas. Sino que, ha sido la vida, con sus
necesidades concretas, la que ha obligado al hombre a esforzarse por resolverlas; las
principales conquistas humanas han tenido siempre el acicate de responder a una
necesidad real.
Que el alumno conozca el origen de las Matemáticas y las líneas generales de su
historia. A través de ello, llegará a comprender que las Matemáticas son algo frío e
intangible. Puede ser muy conveniente también que en los momentos oportunos el alumno
tenga noticia sobre los principales matemáticos, de las incidencias de su vida. Ello puede
contribuir a hacer más humana su visión de las Matemáticas. Que no sea sorprendente que
10
un matemático determinado llegue a ser el personaje admirado por un alumno3” (Canal,
2011 p. 15, refiriendose a P.Puig 1951).
Habiendo mencionado algunas de las bondades que incentivan la implementación de la
Historia de las Matemáticas (las anteriormente citadas), Canal (2011, basandose en Gutiérrez
2010, para referirse a Urbaneja, Toeplitz y Guzmán) menciona que algunos autores apuestan
seriamente por la utilización de la Historia de las Matemáticas en las aulas, e identifica un costo
sobre la implementación de la historia, y es que, esta (la Historia de las Matemáticas) requiere
por parte de los profesores una mayor dedicación en cuanto a trabajo y tiempo, sin embargo, su
beneficio es en parte, dotar a las Matemáticas de un sentido más humano, y por ende, más
cercano a los estudiantes. ¿Pero cómo se puede utilizar la Historia de las Matemáticas?
Según Canal (2011 p.22, apoyado en Vázquez 2010), se requeriría de demasiado tiempo
para presentar a los estudiantes la Historia de las Matemáticas; incluso, sería necesario disponer
de una asignatura propia para la Historia de las Matemáticas si se quisiera presentarla con gran
rigor, por lo que “son muchos los puntos de vista posibles para intentar incorporar la historia de
las matemáticas en la enseñanza”, y enumera cuatro puntos que considera ofrecen un mayor
interés, a saber:
1. La relación de las matemáticas con el desarrollo cultural de la época.
2. La utilización de los grandes problemas matemáticos como contexto para la
introducción de ciertos temas.
3 Subrayado no presente en el texto original; se subraya valga la redundancia para resaltar la idea expresada por el
autor.
11
3. La información sobre la vida de grandes matemáticos.
4. La evolución a lo largo de la historia de los conceptos y símbolos que son objeto
de estudio en los niveles no universitarios.
Lo anterior, es una importante guía para articular la Historia de las Matemáticas en los
procesos formativos de los estudiantes, lo cual exige y permite al docente dotarse de herramientas
para enseñar las Matemáticas y, entre otros muchos asuntos, comprender las dificultades, errores
y obstáculos que puedan presentar los estudiantes en sus procesos de aprendizaje y que muy
seguramente también tuvieron los personajes de la historia. Así, conocer la Historia de las
Matemáticas seguramente dotará al profesor de ejemplos reales para vislumbrar la forma como el
estudiante razona ante distintas situaciones en el aula; y le permitirá relacionar la forma de pensar
de los estudiantes, dados los conocimientos previos que poseen y el contexto en el que viven, con
los conocimientos previos que tenían los personajes de la historia y el contexto en el que ellos
vivían, para generar estrategias que fortalezcan los procesos de aprendizaje en el aula.
Ahora bien, aunque reconozco que la Historia de las Matemáticas contribuye en gran
medida como agente motivador en el aprendizaje del estudiante, el presente documento lo enfoco
en la utilidad de estudiar Historia de las Matemáticas en pro del Conocimiento del Profesor de
Matemáticas, contrastando la actividad de estudiar un documento histórico matemático con las
categorías propuestas por Guacaneme (2016) ya mencionadas en párrafos anteriores y de las
cuales hablo un poco más en el capítulo 3 del presente documento, la fin de dar cuenta del aporte
que hizo dicha actividad académica en mi formación profesional.
12
En sintonía con lo anterior, escogimos el artículo de Palmieri (2003) como documento a
estudiar, ya que, a pesar de que en la literatura especializada reconocemos varios textos que
versan sobre la obra de Galileo, no identificamos alguno referente al pensamiento de Galileo
respecto a los modelos mentales en su temprana matematización, por lo que el artículo
mencionado nos generó particular interés y consideramos que podría aportar importantes
elementos en pro de mi formación docente.
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo general
Con el presente trabajo de grado pretendo analizar la utilidad de realizar la lectura
comprensiva de un documento histórico-matemático, mediante un contraste entre el estudio del
documento “Mental models in Galileo’s early mathematization of nature” y las categorías
propuestas por Guacaneme (2016) en relación con la utilidad de la Historia de las Matemáticas en
la formación del profesor de matemáticas; a favor del saber, el hacer y el ser de un futuro
profesor de matemáticas.
1.3.2 Objetivos específicos
• Evidenciar comprensión del contenido del texto “Mental models in Galileo’s early
mathematization of nature” escrito por Paolo Palmieri (2003), a partir de un
análisis profundo de los conceptos y las consideraciones planteadas por el autor y
registrándolas en un texto explicativo propio.
13
• Identificar elementos conceptuales, de naturaleza matemática e histórica
necesarios, que exige la lectura comprensiva del texto en cuestión, así como
exponer la manera en que estos se emplean.
• Establecer en qué medida el estudio de un documento de Historia de las
Matemáticas enriquece, a un futuro docente de Matemáticas.
1.4 Aspectos metodológicos
Las tareas propuestas para la construcción del presente documento se pueden catalogar en
tres momentos, los cuales frecuentemente se desarrollaron en paralelo.
Durante el primer momento, realicé una traducción no oficial del documento de Palmieri
(2003), con el fin de obtener como resultado una traducción al lenguaje técnico propio del
documento. Este ejercicio tuvo también como intención, lograr una primera aproximación a la
comprensión del contenido del documento.
Durante el segundo momento, realicé una lectura e interpretación minuciosa del artículo
de Palmieri, registrando en un diario de campo tanto las ideas planteadas por el autor, como
elementos a estudiar necesarios para una correcta interpretación de dichas ideas, realizando a la
par, indagaciones respecto a distintos temas y teorías abordados en el artículo, ya que era
menester estudiarlos para la correcta comprensión de este y la redacción de un escrito explicativo
que sintetizara las ideas principales del artículo. Además, el diario de campo en cuestión me
permitió ganar en conciencia respecto al proceso de estudio y comprensión del documento y
posteriormente, dicho diario se convirtió en fuente de información que aportó elementos para
14
develar en qué medida el estudiar Historia de las Matemáticas me permite enriquecer mis
conocimientos, el quehacer y el ser como futuro profesor de Matemáticas.
Durante el tercer momento estudié la manera como la Historia de las Matemáticas, y en
concreto la historia tratada en el documento de Palmieri (2003), puede influenciar, a futuros
profesores de matemáticas, mediante el contraste entre los conocimientos adquiridos al estudiar el
artículo con las categorías tratadas por Guacaneme (2016) respecto al para qué sirve la Historia
de las Matemáticas (HM).
15
2 Estudio del documento “Mental models in Galileo’s early mathematization of nature”
Este capítulo lo desarrollo en dos partes. En la primera parte, menciono elementos
importantes del artículo (Palmieri, 2003), a través de la quinta y más reciente versión de un
resumen de las ideas que el artículo expone. El proceso de comprensión y apropiación de los
elementos del artículo fue laborioso, dado que, por un lado, el lenguaje utilizado por el autor es
un lenguaje académico cuidadosamente elaborado, ya que, el artículo está dirigido a un público
con conocimientos en ciencia cognitiva e Historia y Filosofía de la ciencia y, por otro lado, la
selección de las ideas fue un trabajo difícil y prolongado. En efecto, al momento de escoger
aspectos fundamentales para plantear una síntesis del documento, cada idea planteada por
Palmieri parecía importante, motivo por el cual la primera versión del resumen se tornó más en
una transcripción, paso a paso, de la construcción de las ideas y argumentos del autor; a medida
que gané comprensión del texto, pude recoger más fácilmente los aspectos fundamentales que
condensan y sostienen la postura de Palmieri en su artículo.
En una segunda parte, establezco un apartado en el que se discuten las herramientas
teóricas a las que fue necesario recurrir para una adecuada comprensión del documento de
Palmieri (2003).
2.1 Resumen del artículo
En el documento “Mental models in Galileo’s early mathematization of nature”, escrito
por el doctor Paolo Palmieri (2003), se aborda cómo la ciencia cognitiva puede apoyar a la
historia de la ciencia para así poder comprender la manera como razonaron personajes científicos
históricos. En el caso puntual de este artículo, se aborda la forma cómo razonaba Galileo Galilei,
16
a partir de un análisis cognitivo que permite develar aspectos fundamentales en el proceder
matemático de este personaje para matematizar fenómenos físicos naturales y que salen a la luz
desde una perspectiva de la ciencia cognitiva.
El artículo se divide en seis secciones, a saber:
1. Introducción
2. Modelos mentales e historia cognitiva
3. La dimensión visual del razonamiento proporcional de Galileo
4. Pruebas de imagen: Objeción constructivista de Clavius a Galileo
5. Remodelación de Galileo del equilibrio arquimediano
6. Conclusión
Organizado el artículo de esta manera, el autor expone los elementos fundamentales de la
ciencia cognitiva a favor de la historia de la ciencia y de esta manera, invita a la comunidad
académica a trabajar de manera interdisciplinar en pro de un estudio histórico-científico más
completo.
En la Introducción del documento, Palmieri reconoce a William R. Shea como uno de
los personajes que ha estudiado a mayor profundidad la obra de autores que han intentado
matematizar el mundo natural y, entre ellos, resalta especialmente a Galileo Galilei, en quién se
evidencia una aceptación de la teoría de proporciones euclidianas para su matematización física
temprana. Así mismo, Palmieri evidencia que, si bien existen muchos estudios sobre la
17
matematización de la naturaleza hecha por Galileo, se desconoce a profundidad la estructura
cognitiva que utilizó para su razonamiento.
Respecto a esto, Palmieri reconoce tres autores que han realizado importantes estudios en
la obra de Galileo, ellos son:
• Winifred Wisan, quien hizo relevantes aportes sobre el estudio de Galileo del
movimiento acelerado y el movimiento de proyectiles. Palmieri ataca fuertemente
lo que llama un problema de reconstrucción al lenguaje simbólico moderno de la
obra de Galileo que hace Wisan, aduciendo que de esta manera se pierden
aspectos fundamentales para develar la manera real en la que Galileo razonaba.
• Enrico Giusti, quien aportó sobre la obra de Galileo estudios que evidencian la
relación que hacía este entre cantidades físicas homogéneas y objetos geométricos
simples (por ejemplo, segmentos) y reconoce que para Galileo fue imposible
relacionar cantidades heterogéneas a través de razones. Palmieri sostiene que a
diferencia de Wisan, el estudio de Guisti aporta elementos para la comprensión del
lenguaje técnico galileano.
• Alexandre Koyré, quien cataloga a Galileo como un reivindicador del enfoque
platónico, pero lo critica fuertemente denominándolo “usuario abusador de
experimentos de pensamiento”; sin embargo, Palmieri afirma que, en la obra de
Koyré no está explícito, ni hay indicios siquiera de lo que para él es un
experimento de pensamiento.
18
Palmieri propone a los modelos mentales y la historia cognitiva como herramientas que
ofrecen un mejor marco para entender el presunto uso de experimentos de pensamiento por parte
de Galileo, sugiriendo así, que los problemas relacionados con mecanismos cognitivos deberían
ser de interés para filósofos científicos, historiadores y científicos cognitivos.
Para mostrar su punto, el autor primero recurre a aclarar lo que son Modelos mentales e
historia de la ciencia y la manera como se interrelacionan, para luego, con base en esto, abordar
aspectos del razonamiento de Galileo.
Basándose en la teoría de los modelos mentales y el “código triple” de representaciones
mentales de Philip Johnson-Laird (Palmieri, 2003 p. 232) (en el cual se reconocen tres formas de
representación mental resumidos en la Tabla 1), e integrando esta teoría con los aportes que
ofrece a la historia cognitiva, Palmieri establece como base que los modelos mentales y en
general los sistemas de representación no simbólicos del razonamiento, parecen funcionar mejor
que la lógica verbal y las reglas para la manipulación de símbolos, con lo que procede a
estructurar los argumentos que sustentan su postura, la cual sostiene que los modelos mentales de
Galileo no clasifican como experimentos de pensamiento, y que posiblemente están vinculados a
los procesos cognitivos subyacentes a la fijación de creencias (Palmieri, 2003 p. 260), idea
abordada en la sección 6 del artículo.
Representaciones mentales
Representaciones
proposicionales
Imágenes mentales Modelos mentales
Mantienen una estructura de
predicado-argumento
Muestran la percepción
desde el punto de vista del
observador
Muestran la percepción desde el
punto de vista del observador
19
Se usan para tareas deductivas Pueden ser manipuladas Pueden ser manipuladas
Usan normas básicas de
inferencia
No capturan clases de
situaciones
Capturan clases de situaciones
(posiblemente aplicables en
experimentos de pensamiento)
Funcionan mejor en
descripciones indeterminadas
de estados de cosas
Construcciones cognitivas
completamente generales no
limitadas a tareas de razonamiento
Tabla 1 Síntesis del código triple de representación mental de Johnson-Laird
Palmieri sostiene que hay tres problemas para el historiador que opta por un marco
cognitivo los cuales refieren a:
• La noción de representación mental (idea abordada en la tabla 1).
• El conexionismo y la teoría general de la cognición.
• La aplicabilidad de la ciencia cognitiva a la historia de la ciencia.
Para dar claridad sobre la relación entre los tres problemas mencionados, el autor recurre
a la “teoría computacional de la cognición” de Robert Cummins, la cual, en síntesis, dice que la
capacidad de un sistema cognitivo depende de su estado actual y no de la historia que lo condujo
a ese estado particular y, aclara que representar algo es tener su estructura; así, cuando se usa una
representación mental (ya sea una representación proposicional, una imagen mental o un modelo
mental) lo que se hace es representar la estructura de un estado de cosas o eventos particular.
De acuerdo con Palmieri, Galileo al conocer la estructura del su esquema de razonamiento
basado en la representación de velocidad, distancia y tiempo, a partir de la representación de estas
magnitudes mediante objetos geométricos simples, puede aplicar su esquema mental a cualquier
otro conjunto de magnitudes que satisfagan relaciones geométricas entre las entidades
geométricas asociadas a cantidades físicas, por lo anterior los modelos que ofrece la ciencia
20
cognitiva pueden aplicarse a la historia de la ciencia generando una conexión entre ambos
(ciencia cognitiva e historia de la ciencia) dotando al historiador de un contexto mental, cognitivo
y científico del objeto de estudio en cuestión, permitiéndole así una mayor comprensión de dicho
objeto.
Luego de la aclaración sobre lo que es un modelo de representación mental y la conexión
que se puede establecer entre este y la historia de la ciencia, Palmieri aborda lo que denomina La
dimensión visual del razonamiento proporcional de Galileo. En este apartado menciona que
Galileo, conociendo ampliamente la obra de Euclides y de Arquímedes, procede a mostrar su
postulado sobre centros de gravedad que dice:
Suponemos que, de pesos iguales dispuestos de manera semejante en balanzas diferentes,
si el centro de gravedad de un compuesto [de pesos] divide su equilibrio en una cierta
razón, luego el centro de gravedad del otro compuesto también divide su equilibrio en la
misma razón (Palmieri, 2003 p. 238).
Para mostrar su punto, Galileo realiza una reversión de la teoría de semejanza en figuras
planas y proporciones de Euclides y una generalización de la teoría sobre centros de gravedad en
figuras planas de Arquímedes. Para esto tiene en cuenta que, por un lado, en la teoría euclidiana
sobre semejanza, desarrollada en el sexto libro de Elementos, Euclides afirma que si dos figuras
planas (por ejemplo, dos triángulos) son equiangulares y los lados alrededor de ellos son
proporcionales, entonces las figuras son semejantes; por otro lado, en Sobre el equilibrio de los
planos, Arquímedes menciona que, si dos figuras planas son semejantes, entonces sus centros de
gravedad están ubicados de manera semejante. Galileo ilustra entonces dos sistemas de balanzas
21
en equilibrio con pesos iguales uno a uno, dispuestos de manera semejante, (ver Figura 1) y
concluye que los centros de gravedad de los diferentes sistemas en equilibrio dividen a los brazos
de las balanzas en longitudes proporcionales. Así se evidencia que Galileo reconoce primero una
semejanza (semejanza en los sistemas de balanzas en equilibrio con disposiciones de pesos
iguales de manera semejante) y posteriormente concluye una proporcionalidad (proporcionalidad
en la longitud de los brazos de las balanzas respecto al centro de gravedad). Es en ese sentido que
dice Palmieri que Galileo realizó una reversión de la teoría de Euclides y una generalización de la
teoría de Arquímedes.
Figura 1 Sistemas de balanzas configurados de manera semejante según interpretación de Palmieri respecto al lenguaje utilizado
por Galileo en su postulado sobre centros de gravedad
A esta construcción Palmieri la llama “modelo mental de Galileo de equilibrios
semejantes”, a través del cual Galileo logra hacer homogéneo el mundo de la proporcionalidad
euclidiana y el mundo de las cantidades físicas.
Ya que Galileo procedió a demostrar su postulado a partir de representaciones gráficas,
Palmieri procede a abordar otro aspecto relacionado con el razonamiento de Galileo, en el
22
apartado titulado Pruebas de Imagen: objeción constructivista de Clavius a Galileo. En este
se basa en la producción de James R. Brown, quién ha dedicado esfuerzos en el estudio referente
a la validez de las pruebas de imagen como pruebas reales a situaciones matemáticas y a
reconocer que son pedagógicamente importantes y psicológicamente sugestivas; ello, en contra
de gran parte de la comunidad académica que tanto rechaza esta forma de demostración, como
afirma que las imágenes son dispositivos heurísticos que no prueban nada (Palmieri, 2003 p.
244).
Respecto a las pruebas de imagen utilizadas por Galileo para demostrar su postura sobre
los centros de gravedad en sistemas semejantes de balanzas, Palmieri refiere que Christoph
Clavius se opuso fuertemente a esta forma de demostración de Galileo, acusándolo incluso de un
“salto de fe” en la capacidad de su modelo mental, por lo que lo invitó a realizar una
demostración proposicional en la que mostrara que los centros de gravedad representados por los
puntos 𝑋 y 𝑋′ de los sistemas de balanzas, son en efecto el mismo punto (ver Figura 2), tal como
afirmaba Galileo, porque, afirma Clavius, al cambiar el nombre de 𝑋′ por 𝑌, el razonamiento de
Galileo llevaría a la conclusión de que como 𝐵𝑋 es a 𝑋𝐴 así 𝐴𝑌 es a 𝑌𝐷. En este caso, la
afirmación de Galileo de que BX es doble XA no se seguiría (Palmieri, 2003 p. 246). Ello por
cuanto, según Clavius, una representación visual no puede ser un sustituto de una demostración.
23
Figura 2 Situación final balanza transformada y la original (Palmieri, 2003, p. 247)
A pesar de las fuertes críticas de Clavius, Galileo tiene plena confianza en su modelo de
representación, lo cual Palmieri deja en evidencia en el apartado Remodelación de Galileo del
equilibrio arquimediano. En este afirma que Galileo gobierna el equilibrio arquimediano y llega
así a la proporcionalidad en el mundo físico natural. Para mostrar su punto, Palmieri hace uso del
modelo mental de Galileo sobre el cilindro en equilibrio que se ilustra en la Figura 3.
24
Figura 3 Anatomía del modelo mental de Galileo de un sólido cilíndrico en equilibrio (Palmieri, 2003, p. 249)
La interpretación que hace Palmieri sobre el proceder de Galileo en este modelo mental es
la siguiente. Galileo imagina un cilindro ideal, ese cilindro se mantiene en equilibrio si se cuelga
por hilos representados por los segmentos 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷, pero el sistema igualmente se mantendrá en
equilibrio si se cuelga únicamente de un hilo conectado al centro de gravedad del cilindro.
Posteriormente Galileo propone cortar el cilindro arbitrariamente de manera tal que queden dos
cilindros ideales, cada cilindro se mantendrá en equilibrio si al igual que el cilindro original, a
estos se les cuelga con hilos de sus extremos, pero también se mantendrán en equilibrio si se
cuelgan por sus centros de gravedad con los hilos representados por los segmentos 𝑀𝐾 y 𝑁𝐿
respectivamente. Luego, Galileo ve una relación de proporcionalidad inversa entre las longitudes
de los segmentos 𝑀𝐺 y 𝑁𝐺 respecto al peso de los cilindros 𝑋 y 𝑍.
25
Respecto al modelo mental sobre los cilindros en equilibrio, hay teorías sobre el presunto
proceder de Galileo y los conocimientos utilizados por este, tal como la propuesta de J. De Groot,
quién establece que Galileo se basó en el problema del disco móvil el cual es un principio
pseudo-Aristotélico que dice “para distancias cubiertas en el mismo tiempo por puntos a distintas
distancias a lo largo de un disco móvil, la razón de lo tangencial al movimiento centrípeto es
proporcional”(Palmieri, 2003, p. 251, citando a De Groot, 2000, p. 651, 655). Tomeo y
Piccolomini explican que el punto que se encuentra más alejado del centro del disco móvil y
movido por la misma potencia que el punto más cercano al centro, se mueve más rápido, lo cual
es la base del análisis de De Groot.
En este problema se identifican dos tipos de movimiento (Palmieri, 2003 p. 251), el
movimiento praeter naturam (el cual se conoce como fuerza centrípeta), que es mayor para lo
que se mueve en un círculo más pequeño y los movimientos naturales (llamado “circunferencial”
por Tomeo y “tangencial” por Piccolomini), el cuál es mayor para lo que se mueve en el círculo
mayor. Con esto, tanto Tomeo como Piccolomini concluyen que lo que está más alejado del
centro se ve menos obstaculizado por el movimiento praetern naturam (ver Figura 4).
26
Figura 4 Representación gráfica del problema del disco móvil. El punto E (en color rojo) recorre una mayor distancia que el
punto D (en color azul), en el mismo tiempo. Arriba se ilustra mediante segmentos la distancia recorrida
La idea que sustenta la postura de De Groot es que existe una proporcionalidad entre la
distancia de los puntos 𝐷 y 𝐸 respecto al centro 𝐴 del disco y la respectiva distancia que recorre
cada punto en el mismo lapso de tiempo; sin embargo, dice Palmieri, nada en el tratamiento que
hace Galileo en el problema del cilindro en equilibrio evidencia que haya usado como base el
problema del disco móvil, por lo que este propone que el proceder de Galileo es más coherente
con el usado por Pappus en el problema del plano inclinado, en el que se encuentra una esfera en
perfecto equilibrio, valga la redundancia, en un plano inclinado, como si esta se encontrase en
reposo en un plano horizontal. Para ilustrar la situación, Palmieri ofrece la siguiente gráfica del
plano inclinado de Pappus y su lectura personal como un problema de equilibrio arquimediano
representado en la Figura 5.
27
Figura 5 Arriba ilustración del problema del plano inclinado de Pappus. Abajo representación del problema del plano inclinado
como un problema de equilibrio arquimediano propuesto por Palmieri (2003, p. 253)
Palmieri ofrece la visión de Pappus como base del argumento de Galileo ya que Galileo
conocía la obra de Pappus; y así como Pappus reconoció un problema de equilibrio arquimediano
en el problema de la esfera en equilibrio en el plano inclinado, Galileo también reconoce en el
problema del cilindro un problema de equilibrio arquimediano. Esta visión (la de Palmieri) es
más acorde que la visión de De Groot (Palmieri, 2003 p. 252).
Para cerrar su idea, Palmieri aborda un apartado llamado Conclusión: modelos mentales,
experimentos de pensamiento y la historia de la ciencia. En este hace un recuento de los
resultados obtenidos hasta el momento, mencionando que se vio lo que es un modelo mental y su
aplicabilidad en la historia de la ciencia, así como algunos aspectos de la matematización de
28
Galileo que eran cognitivamente dependientes de modelos mentales no simbólicos y pasa a
desarrollar lo que denomina una nueva perspectiva sobre la “irritante” pregunta historiográfica
sobre el presunto uso de experimentos de pensamiento por parte de Galileo.
Ya que Alexandre Koyré no menciona ni deja indicios de lo que para él es un
experimento de pensamiento, Palmieri recurre a distintos autores que definen o dan indicios de lo
que para ellos es un experimento de pensamiento, ideas que están representadas en la Tabla 2.
Con base en esto, Palmieri Argumenta el por qué la representación mental que usa Galileo, no
califica como experimento de PensamientoTabla 3 Argumentación de Palmieri sobre el por qué la
representación mental que usa Galileo no califica como experimento de pensamiento. Ver Tabla
1 Tabla 3 Argumentación de Palmieri sobre el por qué la representación mental que usa Galileo
no califica como experimento de pensamiento.
Experimentos de pensamiento
J. Brown
Experimento de pensamiento → Destructivo o Constructivo
Experimento de pensamiento → Destructivo y Constructivo
→ Platónico
John Norton
Postulan estados de casos hipotéticos
Invocan datos irrelevantes para la generalidad de una
condición.
Ronald
Laymon
Son límites ideales de la experimentación real.
Andrew Irvin
Son argumentos relativos a eventos particulares de asuntos de
naturaleza hipotética que lleva a conclusiones sobre la
naturaleza del mundo que nos rodea.
Tamar Gendler
En un experimento de pensamiento se hace un juicio sobre si
los resultados en realidad se pueden obtener, lo que
29
proporciona un punto de apoyo para reorganizar aspectos
conceptuales aportando información novedosa no empírica.
Nenand Miščević
Experimento de pensamiento: Tipo de razonamiento basado
en modelos mentales
Los modelos mentales, son un medio ideal para experimento
de pensamiento.
James McAllister
El experimento de pensamiento no posee significado
evidente, un carácter que solo adquieren bajo ciertos
supuestos.
Tabla 2 Experimentos de pensamiento desde la perspectiva de distintos autores.
Luego procede a comparar con estas definiciones sobre experimentos de pensamiento con
el análisis que hace Galileo respecto a la teoría sobre caída de cuerpos de Aristóteles (ver Tabla
3), cuestión que abordó en su libro Dos nuevas ciencias en el que cuestiona que, si en verdad los
cuerpos más pesados caen a mayor velocidad que los menos pesados, ¿qué pasa si en la caída de
una bala de mosquete y una bala de cañón ambos objetos se funden formando un solo cuerpo?
Entonces se tendría un cuerpo que debería desacelerarse a causa de la resistencia que genera en él
la bala de mosquete, pero a la vez es un cuerpo más pesado que debería ser más rápido que la
bala de cañón. A su vez, se plantea la siguiente pregunta “si dos cuerpos exactamente iguales en
peso y forma caen a la par, y en el trayecto se funden formando un solo cuerpo con el doble de
tamaño y peso, ¿qué pasa con el cuerpo resultante?, ¿por qué habría de duplicarse la velocidad
del cuerpo recién formado como la teoría del movimiento de Aristóteles parece sugerir?” Galileo
llega aquí a una contradicción.
El objeto que cae no puede ser un experimento de pensamiento
Perspectiva Justificación
Brown El acertijo de Galileo no es constructivo ni destructivo
30
Norton e Irvin Porque no es un argumento
Laymon
Porque es difícil encontrar principios científicos que soporten
la afirmación de Galileo.
McAllister
Las explicaciones teóricas de los supuestos experimentos de
Galileo no prueban que tienen evidencia intrínseca
significativa respecto a la objeción a Aristóteles.
Tabla 3 Argumentación de Palmieri sobre el por qué la representación mental que usa Galileo no califica como experimento de
pensamiento.
Por otro lado, aborda otra cuestión referente a la forma de argumentación de Galileo, en lo
que McAllister denomina “rechazo del aristotelismo sobre la experimentación del pensamiento de
Galileo” (Palmieri, 2003 p. 255 ciando a Mc Allister, 1996 p. 239), atribuyéndole dicho rechazo a
un único aristotélico, conocido como Coresio, quién refutó el proceder de Mazzoni (primero
maestro, luego colega y amigo de Galileo), quién compartía y divulgaba la manera como Galileo
refutaba la postura aristotélica de que la caída de los cuerpos ligeros es imposible. Sin embargo,
lo interesante de esta cuestión es que tanto Coresio como Galileo tenían formas de proceder
análogas; incluso, la construcción de su argumentación por reductio ad absurdum es homogénea
y en ambos se evidencia una “fijación de creencias” expresada en Coresio en que es imposible
que los cuerpos ligeros puedan descender y en Galileo en que todos los cuerpos caen a la misma
razón.
Posteriormente, Palmieri sostiene que la pregunta de McAllister, sobre si los
experimentos de pensamiento son evidentemente inertes, podría ser reformulada en términos de
los procesos cognitivos subyacentes a la fijación de creencias. Palmieri (2003) afirma que esta
pregunta más que a los contenidos sobre creencias fijas, concierne a los procesos subyacentes a la
fijación de creencias, y manifiesta que, en el sentido explicado por Jerry Fodor en su teoría sobre
31
la modularidad de la mente y la pregunta ¿cómo se fijan las creencias? Parece que, la fijación de
creencias es un fenómeno cognitivo profundo que ocurre a nivel de lo que Fodor llama
“mecanismos centrales” los cuales funcionan difusamente a través de sistemas modulares que
escapan a la comprensión de la ciencia cognitiva actual. Así mismo Palmieri concluye que los
sistemas no simbólicos del razonamiento, aquellos que involucran procesos de visualización,
parecen funcionar cognitivamente de manera más profunda que los sistemas proposicionales o
aquellos basados en símbolos y reglas de inferencia, y podrían jugar un papel decisivo en los
procesos que subyacen a la fijación de creencias. Infortunadamente hoy en día no se podría
ofrecer una respuesta concreta y completa respecto a la pregunta propuesta en líneas anteriores;
sin embargo, Palmieri tiene confianza en que la ciencia cognitiva, como ciencia, evolucionará y
en un futuro podrá abordar problemas relacionados directamente con la fijación de creencias.
Para concluir, Palmieri afirma que la historia cognitiva podría tener el potencial de sacar a
la luz todo un espectro de casos en los que se han aplicado estructuras y mecanismos más o
menos exitosos durante el desarrollo científico de los últimos milenios y así poder estudiar el por
qué algunos mecanismos cognitivos de representación parecen ser más exitosos que otros
(Palmieri, 2003 p. 260). En el caso de Galileo, se vio que herramientas cognitivas específicas
como los modelos mentales, se aplicaron a la matematización del mundo natural. La historia
cognitiva puede contribuir al estudio de la evolución de los mecanismos cognitivos y de los
aspectos concernientes a la fijación de creencias, justo en la intersección de las áreas de interés de
los historiadores, filósofos y científicos cognitivos (Palmieri, 2003 p. 260).
32
2.2 Herramientas teóricas para la comprensión del artículo
En este apartado evidencio elementos que estudié paralelamente al texto de Palmieri
(2003), a fin de mostrar los elementos teóricos que aportaron en mi comprensión de dicho
artículo; para lo anterior, primero procederé a describir un contexto histórico basado en la vida y
obra de Galileo, y posteriormente, mencionaré componentes matemáticos necesarios para
comprender las ideas expuestas por el autor. Sin duda, la adquisición de estos conocimientos me
facilitó la comprensión de la propuesta de Palmieri al dotarme de los conocimientos directamente
relacionados con su postura.
2.2.1 Respecto al contexto histórico
2.2.1.1 Biografía de Galileo
Teniendo en cuenta que el texto de Palmieri está enfocado en el estudio del pensamiento
de Galileo Galilei y su matematización física temprana (o del mundo natural), lo primero que
hice fue estudiar su biografía registrada en documentales La historia de los humanos 14 Galileo
Galilei (Leighton & Wood, 2013), Los expedientes Galilei Ciencia y Fe (Rtve, 2018) y Galileo
Galilei, y sin embargo se mueve (Educational Foundation, 2002) así como parte del libro de De
Santillana (1960) El Crimen de Galileo, a fin de complementar los conocimientos previos sobre
este importante personaje pionero en la revolución científica renacentista. A continuación, relato
algunos aspectos de la vida y obra de Galileo4.
4 Para una versión más completa de la biografía de Galileo, revisar el Anexo 2.
33
A Galileo Galilei se le reconoce como digno hijo de su padre, Vincenzo Galilei, un
conocido músico quien cuestionó los parámetros establecidos para la composición musical de la
época a partir de armónicas pitagóricas y las cuales fueron influyentes en las artes durante siglos;
así mismo, Galileo es conocido por su mente innovadora y atrevida, capaz de cuestionar distintos
conceptos filosóficos de la época, incluso creencias eclesiásticas, a pesar de declararse creyente
cristiano-católico.
Durante su vida, Galileo fue un apasionado por el conocimiento principalmente
matemático; esto se evidencia en su producción académica, la cual está centrada en el
movimiento de cuerpos, cuestiones mecánicas y Astronomía. A él se le atribuye una hermosa cita
que dice:
Este gran libro, el universo, solo puede ser entendido si se aprende y se comprende el
lenguaje y el alfabeto con el que está escrito, es decir: el lenguaje de las matemáticas,
triángulos, círculos y figuras geométricas, figuras sin las que sería humanamente
imposible entender una sola palabra, sin ellas, deambularíamos por un oscuro laberinto
(Educational Foundation, 2002, m. 7:00).
A Galileo se le reconoce como un seguidor de la obra de Copérnico, la cual es opuesta al
geocentrismo aristotélico y de la Iglesia católica; en la teoría de Copérnico no es el Sol y los
astros quienes giran en torno a la Tierra como centro del universo, sino que es la Tierra quién gira
en torno al Sol. Fue gracias al invento del catalejo y la optimización hecha por Galileo bautizada
“telescopio” que este último pudo corroborar, a partir de la observación del movimiento de otros
astros como Júpiter y sus satélites, el movimiento de la Tierra en torno al Sol; además infirió que,
34
si los astros son esféricos entonces la Tierra también es esférica. Así mismo, su invento le
permitió observar, por primera vez en la historia de la humanidad, la superficie de la Luna, la
cual describió de la siguiente manera en su obra titulada Sidereus Nuncius (Mensajero Sideral):
Uno puede saber con la certeza que nos proporcionan los sentidos, que la Luna
ciertamente no posee una superficie lisa y pulida; al contrario, es rugosa y desigual como
la propia superficie de la Tierra, está llena de grandes protuberancias, abismos profundos,
suaves colinas y profundos valles (Leighton & Wood, 2013, m. 10:34) y (Educational
Foundation, 2002)
Estos descubrimientos le significaron el reconocimiento y fama que había buscado
durante toda su vida y que le representaron una considerable mejora en su calidad de vida.
Posteriormente a la publicación y difusión de sus hallazgos astronómicos, Galileo se vio
envuelto en una serie de enfrentamientos y juicios ante la Santa Inquisición, dado que, algunas de
sus afirmaciones astrológicas iban en contravía de los preceptos concebidos como verdades por
parte de la escuela aristotélica de la Iglesia católica; se presume que, a partir de una manipulación
efectuada por un sector jesuita del clérigo, se modificó el acuerdo que él tenía con la Iglesia
respecto a la difusión y estudio de sus teorías, por lo que la Santa Inquisición lo obligó a
retractarse de sus teorías (ver Anexo 3. Sentencia del Tribunal de la Inquisición, 22 de junio de
1633), motivo por el cual Galileo publicó la siguiente declaración:
Mi error ha sido, lo confieso en verdad, la ambición de gloria, la pura ignorancia y el
descuido, y me confirmo en mi aseveración. No he sostenido ni sostengo como verdadera
la opinión que ha sido condenada, la del movimiento de la Tierra y la inmovilidad del Sol,
35
si me concedieran como deseo los medios y el tiempo para dar una clara demostración de
ello, estoy listo para hacerlo.
Pero, a pesar de esto fue privado de su libertad física, con lo que posteriormente declaró
(ver Anexo 4. Abjuración de Galileo, 22 de junio de 1633):
Yo, Galileo, hijo del finado Vincenzo Galilei Florentino, de 70 años de edad, he sido
declarado por el santo oficio, culpable de ser sospechoso de reiterada y vehemente herejía,
eso es como decir que he sostenido y creído que el Sol era el centro inamovible del
universo y que la Tierra no era el centro y se mueve, con sincero corazón y una fe ciega,
abjuro, maldigo y aborrezco los errores y herejías anteriormente mencionados.
Más la privación de su libertad finalmente no fue intelectual, pues a pesar de esa
adversidad, el gran Galileo publicó a la edad de 74 años su obra Dos Nuevas Ciencias y continuó
con sus estudios científicos sobre el movimiento de los cuerpos celestes hasta el final de sus días.
2.2.1.2 Clavius y Galileo
Dado que, durante el estudio de la biografía de Galileo se resalta el hecho de que él tuvo
notorias diferencias con algunos sectores jesuitas de la Iglesia Católica, un aspecto importante
para comprender parte del contexto del documento de Palmieri es el que se centra en el conflicto
entre Galileo Galilei y Christophorus Clavius, puesto que, Clavius fue un Matemático jesuita que
refutó varias de las posturas científicas de Galileo, (quizás influenciado en parte por sus creencias
religiosas) y uno de los apartados del texto guía se titula “Pruebas de imagen: Objeción
constructivista de Clavius a Galileo”, en donde se observa que Galileo en sus esfuerzos por ser
reconocido académicamente mantuvo directa comunicación con Clavius. A continuación,
36
procedo a sintetizar algunos aspectos de la relación entre Clavius y Galileo, expuestas en el libro
El crimen de Galileo (De Santillana, 1960).
En el texto de De Santillana (1960) se aborda el impacto que tuvo Galileo en la
secularización del pensamiento y cómo a través de sus conocimientos enfrentó diversas
adversidades, entre ellas, los conflictos religiosos para defender sus principios y convicciones
científicas frente a los jesuitas, particularmente frente a Clavius, quien en un principio contempló
las teorías galileanas como descabelladas y al telescopio como un instrumento trivial.
Por ejemplo, De Santillana (1960) al respecto dice que al observar con gran atención la
actitud del padre Clavius, autoridad jesuita en Astronomía, se evidencia que no puede sujetarse a
la idea de que puedan existir auténticas montañas en la Luna y que Galileo está tratando de
explicar lo que es observado por determinadas diferencias de densidad en el interior del
reluciente y diáfano cuerpo del satélite. Sin embargo, a pesar de la resistencia de Clavius respecto
a sus teorías y estudios, Galileo no desistió en sus convicciones, ni tampoco a la controversia
cosmológica, y planteó un grave problema para Clavius y sus colegas matemáticos en el Colegio
Romano sobre la visión que la Iglesia tenía del mundo y el entendimiento sobre la Astronomía.
De acuerdo con sus experimentos y sus cuestionamientos, generó un nuevo enfoque del
cosmos al explicar que los cuerpos celestes, particularmente la Luna, no son lisos, por el
contrario, la Luna es áspera, irregular y llena de cavidades, desafiando la teoría tolemaica y los
preceptos religiosos que existían para la época. En este contexto, Clavius, fue muy cauteloso en
su interpretación de varios preceptos galileanos, especialmente en el significado de la apariencia
37
tosca de la Luna; esta se convirtió finalmente en una extensa polémica a la que los profesores
aristotélicos se lanzaron con furor.
La realidad es que, durante algunos años Clavius aceptaba que el sistema de Galileo era
más elegante que el de Ptolomeo y admitía que se usara como método de trabajo, pero aún
pensaba que La Biblia, tal y como había sido interpretada por la Iglesia, reflejaba la realidad
científica del cosmos. Al respecto, manifiesta De Santillana que “los astrónomos jesuitas, o
cuando menos Clavius y Grienberger, vieron sacudida su estricta fe tolemáica” (1960 p. 30)
motivo por el cual, ceder ante la información celeste aportada por Galileo, fue en verdad una
decisión difícil para Clavius, autor de la reforma del calendario gregoriano y director indiscutido
de la astronomía jesuita. Al principio se burló de las descripciones celestes obtenidas a partir del
telescopio y dijo que ese instrumento de novedad trivial tendría primero que establecerlas allá (en
la luna) para luego poder ser vistas; pero después de haber observado a través del mejor
telescopio de Galileo, debió “rendirse graciosamente” (De Santillana, 1960 p. 30).
Así mismo, la insistencia de Galileo sobre su teoría en las manchas solares y su teoría de
que los cuerpos giraban alrededor de la Tierra, fueron realmente desafiantes para el pensamiento
jesuita. También, Galileo confirmó la teoría de Copérnico al mostrar con su telescopio que Venus
giraba alrededor del Sol y no de la Tierra, como se creía. Estos aspectos cosmológicos pusieron
en entredicho varias afirmaciones de la Iglesia por lo que Galileo empezó a verse como un
detractor, ganando así fuerte oposición desde algunos sectores jesuitas, motivo por lo que él
decidió dejar a un lado la concepción copernicana y solo abordar con Clavius los temas de los
38
cuales tuviera una evidencia, como las montañas de la Luna, reorientando así su debate sobre
pensamientos aristotélicos, sin discutir acerca de sus creencias religiosas.
2.2.1.3 Enfoque platónico de Galileo según Koyré y su calificativo como abusador de
experimentos de pensamiento
Al inicio de la búsqueda de información referente al marco contextual sobre Galileo, una
profesora del Departamento de Física de la Universidad Pedagógica Nacional, me sugirió leer
sobre Alexandre Koyré, pues es uno de los referentes a la hora de estudiar documentos filosófico-
científicos sobre Galileo. Gracias a su consejo, encontré dos textos interesantes del mencionado
autor llamados Estudios de historia del pensamiento científico y Estudios galileanos, en ellos hay
algunos apartados que permiten introducirse a la filosofía científica detrás de la obra de Galileo, y
que posteriormente, facilitan comprender la mención que hace Palmieri respecto a la
categorización de Koyré sobre la escuela de pensamiento en la que encaja Galileo “…la
matematización de la naturaleza de Galileo como la reivindicación de un enfoque platónico al
estudio del mundo natural” (Palmieri, 2003 p. 232, citando a Koyré 1978, 1943). Posteriormente,
este estudio posibilitó comprender el cuestionamiento que hace Palmieri sobre la acusación de
Koyré hacia Galileo, como un abusador de los experimentos de pensamiento, sin que este
(Koyré) hubiese manifestado lo que para él es un experimento de pensamiento.
A continuación, un breve resumen de la idea de Koyré sobre Galileo como un pensador de
la corriente platónica.
Es de recalcar que para Koyré la observación al igual que la experimentación le permiten
comprender la unión esencial que tienen la religión y la ciencia, contrario a las creencias y teorías
39
tradicionales. Según Koyré con los descubrimientos realizados a través del telescopio, Galileo
revolucionó las teorías físicas y astronómicas en lo concerniente al movimiento de la Tierra y el
centro del cosmos, principalmente, lo referente al principio de inercia, pues establece relaciones
entre los movimientos y las fuerzas, contrariando a los pensadores griegos. Koyré (1988) dice:
… la revolución espiritual del siglo XVI la describe a través de dos rasgos “primero; la
destrucción del cosmos y por consiguiente la desaparición en la ciencia fundadas en esta
noción, segundo; la geometrización del espacio, es decir la sustentación de la concepción
de un espacio homogéneo y abstracto de la geometría euclidiana”. Se puede resumir y
expresar del siguiente modo estas dos características: La matematización
(geometrización) de la naturaleza, y por consiguiente la matematización (geometrización
de la ciencia).
Sin embargo, según Koyré (1988), Galileo no debió tomar una actitud defensiva, errónea
y burlesca frente a las teorías geocéntricas y aristotélicas; por el contrario, debió revolucionar y
cambiar el pensamiento inquisitivo de la época, combatiendo ciertas teorías erróneas, para
corregirlas o sustituirlas por otras mejores (p. 155). Es bien sabido que el punto de vista y
referente de pensamiento que tenía Galileo era platónico debido a la cuestión del papel y la
naturaleza de las Matemáticas, el cual constituía el principal tema de oposición entre Aristóteles y
Platón, ya que para este último, la utilización de las Matemáticas en Física como instrumento de
prueba era necesario (Koyré, 1988 p. 171); esta diferencia entre la forma de Platón para explicar
su posición a partir de las Matemáticas, era un proceder contradictorio para Aristóteles, debido a
40
que la Física no se conforma con la rigidez y precisión de los conceptos matemáticos, puesto que
para Aristóteles esta era vista como una ciencia abstracta.
Para comprender mejor parte del pensamiento de Galileo y ver la unión esencial de él con
el pensamiento platónico, a menudo olvidado entre las teorías astronómicas y físicas, es necesario
reconocer la conciencia filosófica y científica de la época, la cual era en su mayoría de corriente
aristotélica. Para Aristóteles, el movimiento en el vacío no era concebido ya que su teoría se
basaba en que el objeto debía encontrarse en su lugar natural y volver a este si era separado
violentamente; un movimiento natural no puede producirse en el vacío, un cuerpo colocado en el
vacío no sabría a dónde ir. Aristóteles creía que el impulso de un cuerpo para alcanzar su máxima
acción y causa, determinado ímpetus, vence la resistencia que el medio opone al cuerpo y esta es
incompatible con un método matemático. De ahí la contradicción que tenía con Platón y
posteriormente con Galileo, ya que para este último no había distinción entre un cuerpo en reposo
y un cuerpo en movimiento.
Galileo propone que la naturaleza está escrita en caracteres geométricos, es decir,
mediante el uso de objetos geométricos se puede describir fenómenos físicos, atribuyéndole a los
objetos geométricos propiedades de las magnitudes físicas; el movimiento de la caída de los
cuerpos está sujeto a la ley de los números, entendiendo esto como la aplicación de características
entre objetos matemáticos (por ejemplo la semejanza entre triángulos) a magnitudes de naturaleza
física, y esto para Galileo, significa platonismo, ya que, sin Matemáticas no se podía aprender
Filosofía; sin embargo, Galileo discrepaba con Platón en el hecho de que la Astronomía no es la
41
Física, y era inútil pensar una Filosofía de la naturaleza de las Matemáticas, sin entender esta
diferencia.
Tal como se puede observar en Koyré (1988), él ha dejado en claro que el proceder
filosófico de Galileo para su matematización de la naturaleza, lo realiza desde un enfoque
platónico, herramienta que, como se describió anteriormente, permite comprender la mención que
hace Palmieri en su trabajo sobre Koyré.
Por otro lado, en el texto de Koyré (1980), titulado Estudios galileanos, la mención que
este hace sobre el presunto abuso de Galileo de experimentos de pensamiento expresa:
Los «experimentos» a los que apela —o apelará más tarde— Galileo, incluso los que
realmente ejecuta, no son ni serán nunca otra cosa que experimentos de pensamiento. Los
únicos, por lo demás, que podían hacerse con los objetos de su física. Pues los objetos de
la física galileana, los cuerpos de su dinámica, no son cuerpos «reales». En lo irreal del
espacio geométrico no hay cabida para los cuerpos «reales» —reales en el significado del
sentido común—(Koyré, 1980 p. 72).
Tal como alude Palmieri (2003), Alexandre Koyré solo se limita a decir que Galileo hace
uso de experimentos de pensamiento, más no se detiene a expresar lo que para él es un
experimento de pensamiento.
2.2.2 Conocimientos teóricos matemáticos y físicos
A continuación presento una breve descripción de la teoría matemática que estudié y que
fue de utilidad para interiorizar aspectos fundamentales del análisis que hace Palmieri (2003)
42
sobre el proceder cognitivo de Galileo y los elementos teóricos que pudo haber usado como base
para su matematización física temprana.
2.2.2.1 Respecto a la teoría de semejanza en figuras planas
Durante el estudio del documento de Palmieri, evidencio que, para sustentar su postulado
sobre centros de gravedad en sistemas de balanzas semejantes, Galileo realizó una reversión de la
teoría euclidiana sobre semejanza de triángulos5, y una generalización de la teoría arquimediana
sobre semejanza en la distribución de centros de gravedad en figuras planas.
A continuación, describo en qué consisten tanto la perspectiva de semejanza euclidiana
como la arquimediana; en este sentido, primero relato aspectos que hubo lugar a indagar sobre la
teoría de Euclides referida a la semejanza, luego menciono la visión arquimediana de semejanza a
partir de centros de gravedad y, finalmente, expongo de qué manera este estudio me permite una
mejor comprensión del texto guía.
En la definición I del sexto libro de Elementos, Euclides expresa lo que para él es la
semejanza entre dos figuras planas o rectilíneas; en la edición de Commandino & Simson, (1855)
se establece que:
Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos respectivamente iguales y
proporcionales los lados que contienen ángulos iguales (p. 149).
Es decir, Euclides primero identifica que dos figuras geométricas planas son
equiangulares (es decir que uno a uno sus ángulos son congruentes), luego que los lados
5 Noción ilustrada en párrafos posteriores
43
contenidos por los ángulos congruentes son proporcionales y con esto concluye que los triángulos
son semejantes. En la Figura 6 se ilustran dos triángulos semejantes de acuerdo con las
condiciones dadas por Euclides.
Figura 6 Representación de triángulos semejantes
A continuación, muestro de manera un poco más detallada la semejanza euclidiana,
tomando como base la proposición 6 del sexto libro de Elementos, aunque para ello es
recomendable tener en cuenta las definiciones dadas en este libro, así como la proposición 1:
Definiciones (Commandino & Simson, 1855 p. 149):
1. Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos respectivamente
iguales, y proporcionales los lados que contienen ángulos iguales.
2. Aquellas figuras recíprocas (esto es los triángulos entre sí, y los paralelogramos
entre sí) que tienen los lados que contienen dos ángulos de tal suerte
proporcionales, que un lado de la primera es al de la segunda, como el otro lado de
la segunda es al otro de la primera.
44
3. Se dice, que una recta está dividida en extrema, y media razón, cuando toda la
línea es a su segmento mayor, como este es al menor.
4. La altura de una figura es la línea recta tirada perpendicularmente del vértice a la
base.
Respecto a la definición 1, mediante la Fig. 6 he ilustrado anteriormente la noción de
semejanza en figuras planas dada por Euclides, al menos para el caso de los triángulos; por tal
motivo, procederé a ilustrar la definición 2.
Al remontarnos a la Figura 6 podemos ver los segmentos o lados del triángulo
diferenciados por colores. La definición 2 del sexto libro de Elementos dice: “Aquellas figuras
son recíprocas (esto es los triángulos entre sí, y los paralelogramos entre sí) que tienen los lados
que contienen dos ángulos de tal suerte proporcionales que un lado de la primera es al de la
segunda, como el otro lado de la segunda es al otro lado de la primera” (Commandino & Simson,
1855 p. 149), teniendo en cuenta esto, en la figura mencionada podemos observar que el
segmento de color amarillo 𝐴𝐵 es al segmento 𝐴′𝐵′ así como el segmento de color azul 𝐵′𝐶′ es al
segmento 𝐵𝐶.
Para la definición 3 del sexto libro de Elementos consideramos un segmento 𝐴𝐵 y un
punto 𝐶 entre 𝐴 y 𝐵 representados en la Figura 7, la extrema y media razón indica que el
segmento menor representado en la Figura 7 𝐴𝐶 es al segmento 𝐵𝐶 como 𝐵𝐶 es al segmento 𝐴𝐵.
45
Figura 7 segmento dividido en extrema y media razón
Para la definición 4 recurriremos a la representación gráfica de dicha definición mediante
las Figuras 8, 9, 10 y 11 a fin de ilustrar la altura según Euclides.
Cabe resaltar que las figuras planas (las trabajadas por Euclides en Elementos) tienen
tantas alturas como vértices tiene la figura. Se puede reemplazar el objeto geométrico base de la
figura usado por Euclides, por la recta que contiene dicho objeto, de manera tal que es posible
encontrar alturas que quedan en el exterior de las figuras como se observa en la Figura 8 y en la
Figura 10.
Figura 8 En color rojo, representación de una de las alturas del triángulo 𝐴𝐵𝐶
46
Figura 9 Representación de una de las alturas de un rectángulo
Figura 10 Altura 𝐺𝑁̅̅ ̅̅ en el exterior del cuadrilátero 𝐸𝐹𝐺𝐻
Figura 11 representación en color rojo de una de las alturas del cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶
47
Luego de haber visto brevemente las definiciones del sexto libro de Elementos, muestro
las proposiciones 1 y 4 del mismo libro, ya que Palmieri las menciona en el desarrollo de su
texto, como fundamento de su afirmación en cuanto a que Galileo hace una reversión de la
semejanza euclidiana y una generalización de la semejanza arquimediana para su proposición 1
sobre sistemas de balanzas semejantes.
Proposición 1. Los triángulos y los paralelogramos que tienen una misma altura son entre
sí como sus bases.(Commandino & Simson, 1855, p. 149)
Figura 12 Representación propuesta por Euclides (Commandino & Simson, 1855)
Tengan los triángulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐷, y los paralelogramos EC, CF la misma altura, A saber
la perpendicular tirada del punto 𝐴 a la recta 𝐵𝐷 por ambas partes hasta 𝐻, 𝐿 y tómese cuantas
partes se quieran 𝐵𝐺, 𝐺𝐻 iguales a la base 𝐵𝐶 es a la 𝐶 (Commandino & Simson, 1855, p. 149).
Prolónguese 𝐵𝐷 por ambas partes hasta 𝐻, 𝐿, y tómese cuantas partes se quieran 𝐵𝐺, 𝐺𝐻
iguales a la base 𝐵𝐶, como también cuantas partes se quieran 𝐷𝐾, 𝐾𝐿 iguales a la base 𝐶𝐷 ,
tírense así mismo 𝐴𝐺, 𝐴𝐻, 𝐴𝐾, 𝐴𝐿. Siendo pues iguales entre las líneas 𝐶𝐵, 𝐵𝐺, 𝐺𝐻, también los
triángulos 𝐴𝐻𝐺, 𝐴𝐺𝐵, 𝐴𝐵𝐶 serán entre sí iguales, luego cuán multíplice sea la base 𝐻𝐶 de la 𝐵𝐶,
tan multíplice será el triángulo 𝐴𝐻𝐶 del 𝐴𝐵𝐶. Por la misma razón cuan multíplice sea la base 𝐿𝐶
48
de la 𝐶𝐷, tan multíplice será el triángulo 𝐴𝐿𝐶 del 𝐴𝐶𝐷, y según sea la base 𝐻𝐶 igual, mayor, o
menor que la 𝐶𝐿, el triángulo 𝐴𝐻𝐶 será igual, mayor o menor que el 𝐴𝐿𝐶: dadas, pues, cuatro
cantidades, esto es las dos bases 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, y los dos triángulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐷, se han tomando
cualesquiera equimultíplices de la base 𝐵𝐶 y del triángulo 𝐴𝐵𝐶, esto es la base 𝐻𝐶 y el triángulo
𝐴𝐻𝐶, y otras cualesquiera multíplices de la base 𝐶𝐷, y del triángulo 𝐴𝐶𝐷, es a saber la base 𝐶𝐿,
y el triángulo 𝐴𝐿𝐶, luego el triángulo 𝐴𝐵𝐶 será al 𝐴𝐶𝐷 como la base 𝐵𝐶 a la 𝐶𝐷.
Y por ser el paralelogramo 𝐸𝐶 duplo del triángulo 𝐴𝐵𝐶, y el paralelogramo 𝐶𝐹 duplo del
triángulo 𝐴𝐶𝐷, y tener las partes la misma razón que sus equimultíplices, será el paralelogramo
𝐸𝐶 al 𝐶𝐹, como el triángulo 𝐴𝐵𝐶 al 𝐴𝐶𝐷. Luego habiéndose demostrado que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es
al 𝐴𝐶𝐷, como la base 𝐵𝐶 a la 𝐶𝐷, y el paralelogramo 𝐸𝐶 al 𝐶𝐹 como el triángulo 𝐴𝐵𝐶 al 𝐴𝐶𝐷,
será el paralelogramo 𝐸𝐶 al 𝐶𝐹 como la base 𝐵𝐶 a la 𝐶𝐷. Por consiguiente, los triángulos, &c.
L.Q.D.D. (Commandino & Simson, 1855, p. 149)
Corolario. De aquí es que los triángulos y paralelogramos de iguales alturas son entre sí
como sus bases.
Porque colocadas las figuras de manera que sus bases estén en una misma recta, y tiradas
perpendiculares de los vértices de los triángulos a las bases, resultará la recta que junta los
vértices paralela a la recta en que están las bases, por ser las perpendiculares iguales y paralelas
entre sí: por tanto, supuesta la misma construcción que en la proposición, la demostración será
también la misma.
49
De acuerdo con la información suministrada en la anterior proposición del libro de
Elementos de Euclides, procedo a mostrar aspectos importantes de esta con la ayuda de software
de geometría. Partiendo de la Figura 13 tenemos los triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴𝐶𝐷 y los paralelogramos
𝐸𝐵𝐶𝐴 y 𝐶𝐷𝐹𝐴 de acuerdo con las condiciones propuestas por Euclides.
Figura 13 Triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴𝐶𝐷, paralelogramos 𝐸𝐵𝐶𝐴 y 𝐶𝐷𝐹𝐴 de acuerdo con descripción de Euclides.
Luego realizamos la prolongación de los segmentos 𝐵𝐶 y 𝐶𝐷 y se trazamos los segmentos
𝐺𝐴 y 𝐻𝐴 con los cuales se determinan los triángulos 𝐴𝐺𝐵 y 𝐴𝐻𝐺. Por construcción, tienen igual
medida de altura y base que el triángulo 𝐴𝐵𝐶; con un procedimiento análogo tenemos que los
triángulos 𝐴𝐷𝐾 y 𝐴𝐾𝐿 con longitud de base y altura igual al triángulo 𝐴𝐶𝐷 como podemos
observar en la Figura 14.
50
Figura 14. Construcción de triángulos 𝐴𝐺𝐵, 𝐴𝐻𝐺, 𝐴𝐷𝐾 y 𝐴𝐾𝐿 de acuerdo con pasos propuestos por Euclides.
Aunque dada la forma como se ha realizado la construcción puede resultar trivial resaltar
que el área de los triángulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐺𝐵 y 𝐴𝐻𝐺 es igual, y lo mismo ocurre con los triángulos
𝐴𝐶𝐷, 𝐴𝐷𝐾 y 𝐴𝐾𝐿 (sabiendo que 𝐴∆=𝑏 ∗ ℎ
2) y cada terna de triángulos comparten igual longitud
tanto de sus bases cómo de sus alturas, a fin de ilustrar esta situación, procedo a representarla
mediante software de geometría en la Figura 15.
Así mismo podemos observar para los triángulos 𝐴𝐺𝐵 y 𝐴𝐻𝐺 que su área es el doble del
área de 𝐴𝐵𝐶, como el área de 𝐴𝐷𝐾 y 𝐴𝐾𝐿 es el doble del área de 𝐴𝐷𝐶 (Figura 15); también el
área del triángulo 𝐴𝐻𝐶 es tres veces el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶, y de la misma forma ocurre para
el triángulo 𝐴𝐿𝐶 respecto al triángulo 𝐴𝐶𝐷 (Figura 16).
51
Figura 15. Área de los triángulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐺𝐵, 𝐴𝐻𝐺, 𝐴𝐷𝐶, 𝐴𝐷𝐾 y 𝐴𝐾𝐿.
Figura 16 El área del triángulo 𝐴𝐻𝐶 es tres veces el área de los triángulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐺𝐵 y 𝐴𝐻𝐺. El área del triángulo 𝐴𝐿𝐶 es tres
veces el área de los triángulos 𝐴𝐷𝐶, 𝐴𝐷𝐾 y 𝐴𝐾𝐿.
En concordancia con lo anterior hallamos el área de los paralelogramos 𝐸𝐵𝐶𝐴 y 𝐶𝐷𝐹𝐴 la
cual evidentemente es el doble que la de los triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴𝐷𝐶 respectivamente (Figura 17)
ya sea por fórmula general para hallar el área de cuadriláteros, por conocimientos previos en
geometría o incluso por la intuición que nos provee la representación gráfica de la situación.
52
Figura 17 Área de los paralelogramos 𝐸𝐵𝐶𝐴 y 𝐶𝐷𝐹𝐴 contrastada con el área de los triángulos mencionados en la Fig. 13.
Figura 18 Área de los paralelogramos 𝐸𝐵𝐶𝐴 y 𝐶𝐷𝐹𝐴 contrastada con el área de los triángulos mencionados en la Fig. 13 y
visualización del área de los triángulos 𝐴𝐻𝐶 y 𝐴𝐿𝐶.
Con lo anterior podemos concluir que: como la base 𝐵𝐶 es a la base 𝐶𝐷, así el triángulo
𝐴𝐵𝐶 es al triángulo 𝐴𝐶𝐷, y el paralelogramo 𝐸𝐵𝐶𝐴 es al paralelogramo 𝐶𝐷𝐹𝐴.
53
Proposición 4. Los triángulos equiángulos tienen proporcionales los lados que contienen
iguales ángulos; y homólogos los lados opuestos a ángulos iguales. (Commandino & Simson,
1855 p. 155)
Tengan los triángulos equiángulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐷𝐶𝐸 el ángulo 𝐴𝐵𝐶 igual al ángulo 𝐷𝐶𝐸, y el
𝐴𝐶𝐵 igual al 𝐷𝐸𝐶, y por consiguiente el ángulo 𝐵𝐴𝐶 igual al 𝐶𝐷𝐸. Digo, que los lados de dichos
triángulos, que contienen ángulos iguales, serán proporcionales; y los lados opuestos a ángulos
iguales serán homólogos (Commandino & Simson, 1855 p. 155).
Colóquese el triángulo 𝐷𝐶𝐸 de manera que su lado 𝐶𝐸 esté directamente al 𝐵𝐶, y siendo
los ángulos 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐵 menores que dos rectos, y el 𝐴𝐶𝐵 igual a 𝐷𝐸𝐶, resultarán 𝐴𝐵𝐶, 𝐷𝐸𝐶
menores que dos rectos: por tanto 𝐵𝐴, 𝐸𝐷 prolongadas se encontrarán: prolónguese, y
encuéntrese en el punto 𝐹. por ser el ángulo 𝐷𝐶𝐸 igual al 𝐴𝐵𝐶, será 𝐵𝐹 paralela a 𝐶𝐷: además,
por ser el ángulo 𝐴𝐶𝐵 igual al 𝐷𝐸𝐶, será 𝐴𝐶 paralela a 𝐹𝐸: luego 𝐹𝐴𝐶𝐷 será un paralelogramo;
por consiguiente 𝐴𝐹 igual a 𝐶𝐷, y 𝐴𝐶 a 𝐹𝐷 siendo, pues, la 𝐴𝐶 paralela al lado 𝐹𝐸 del triángulo
𝐹𝐵𝐸, será 𝐵𝐴 a 𝐴𝐹, como 𝐵𝐶 a 𝐶𝐸: pero 𝐴𝐹 es igual a 𝐶𝐷 luego: 𝐵𝐴 será a 𝐶𝐷, como 𝐵𝐶 a 𝐶𝐸:
y permutando será 𝐴𝐵 a 𝐵𝐶, como 𝐷𝐶 a 𝐶𝐸. A más de esto, siendo 𝐶𝐷 paralela a 𝐵𝐹, será 𝐵𝐶 a
𝐶𝐸, como 𝐹𝐷 a 𝐷𝐸: pero 𝐹𝐷 es igual a 𝐴𝐶: luego 𝐵𝐶 será a 𝐶𝐸, como 𝐴𝐶 a 𝐷𝐸, y permutando
𝐵𝐶 a 𝐶𝐴, como 𝐶𝐸 a 𝐸𝐷: por consiguiente habiéndose demostrado, que 𝐴𝐵 es a 𝐵𝐶, como 𝐷𝐶 a
𝐶𝐸; y 𝐵𝐶 a 𝐶𝐴; como 𝐶𝐸 a 𝐸𝐷, será por igualdad 𝐵𝐴 a 𝐴𝐶, como 𝐶𝐷 a 𝐷𝐸. Por consiguiente, los
triángulos, son semejantes. &c. L.Q.D.D (Commandino & Simson, 1855 p. 156).
54
Para esta proposición considero que la demostración propuesta en el libro VI de
Elementos es especialmente precisa y clara, por lo que me limitaré a anexar la Figura 19 con la
que podremos hacer un seguimiento de los pasos propuestos por Euclides.
55
Figura 19 Construcción geométrica propuesta por Euclides para demostrar la proposición 6 del sexto libro de Elementos.
Por otro lado, Palmieri (2003) afirma, que Galileo hizo una generalización de la teoría
arquimediana sobre centros de gravedad en figuras planas o rectilíneas. Palmieri (2003)
referencia la noción de Arquímedes de semejanza de la siguiente manera, “los puntos colocados
de manera semejante en figuras semejantes son tales que las líneas dibujadas desde ellos en
ángulos iguales hacia los lados correspondientes forman ángulos iguales con los correspondientes
lados”(Palmieri, 2003, p. 241). De acuerdo con Strathern (1999), Arquímedes en Sobre el
equilibrio de los planos determina el centro de gravedad de distintas figuras planas, es decir,
bidimensionales (p. 23), en donde supone concentrado todo el peso de la figura, llegando así a
resultados que luego demuestra por el método de exhaución, En la Figura 20 se visualiza una
representación gráfica de semejanza en la disposición de centros de gravedad en figuras planas
semejantes de Arquímedes; es de resaltar que para los triángulos el centro de gravedad se localiza
mediante el punto de intersección entre sus medianas, mientras que para cuadriláteros, el centro
de gravedad es localizado mediante el punto de intersección entre sus diagonales tal y como se
puede observar en la Figura 20.
56
Figura 20 Semejanza en la disposición de centros de gravedad en figuras planas semejantes propuesta por Arquímedes. arriba
con triángulos. Abajo con paralelogramos.
Como se puede observar en la Figura 20 los centros de gravedad representados, tanto para
los triángulos semejantes, como para los cuadriláteros semejantes, deja apreciar, a partir de los
colores, que para el caso de los cuadriláteros
𝐴 es a 𝐺 como 𝐴′ es a 𝐺′,
𝐵 es a 𝐺 como 𝐵′ es a 𝐺′,
𝐶 es a 𝐺 como 𝐶′ es a 𝐺′ y
𝐷 es a 𝐺 como 𝐷′ es a 𝐺′,
57
De manera análoga para los triángulos semejantes.
Una vez mostrada parte de la perspectiva euclidiana y arquimediana respecto a la
semejanza de figuras planas, procedo a mencionar aspectos de estas que permitieron comprender
la reversión y generalización hecha por Galileo para establecer semejanza con cantidades físicas a
partir de sistemas de balanzas.
Para establecer la semejanza de los centros de gravedad en sistemas de balanzas
semejantes con disposiciones semejantes de igual peso, Galileo primero procedió a construir
sistemas que tuviesen los mismos pesos distribuidos de manera semejante en balanzas, de manera
tal que los sistemas se mantienen en equilibrio (Ver Figura 21); Galileo, por consiguiente,
concluye que los centros de gravedad están dispuestos de manera semejante y la longitud de los
brazos de las balanzas respecto al centro de gravedad son proporcionales uno a uno de manera
similar 𝐴 con 𝐴′ y 𝐴′′; 𝐵 con 𝐵′ y 𝐵′′. En este sentido es que Palmieri afirma que Galileo
generaliza la noción de Arquímedes sobre centros de gravedad al extender propiedades dadas a
objetos geométricos al mundo de las cantidades físicas; por otro lado, reconoce una reversión del
método de Euclides, en el sentido que Galileo procede de la semejanza en su sistema y
posteriormente concluye proporcionalidad, Galileo reconoce la semejanza en la distribución de
pesos iguales en sistemas de balanzas semejantes, y a partir de esto, concluye proporcionalidad
entre la longitud de los brazos de las balanzas respecto al centro de gravedad del sistema; a
diferencia de Euclides, quien primero reconoce proporcionalidad y luego concluye semejanza, en
ese sentido, Euclides reconoce dos figuras geométricas de la misma naturaleza, dos triángulos por
58
ejemplo, después determina si sus ángulos son equiangulares6, posteriormente precisa la
correspondencia de los segmentos uno a uno y si resulta que son proporcionales, entonces
Euclides concluye que los triángulos son semejantes, así mismo según Palmieri (2003) la noción
de Euclides sobre semejanza en figuras planas está basada en la aplicación de proporcionalidad
equimúltiple (para ver más sobre la proporcionalidad equimúltiple revisar 2.2.2.2); “la
proposición 4 del libro 6 de Elementos, depende de la primera proposición del Libro 6, en la que
mediante la técnica de los equimúltiplos Euclides muestra que los triángulos (y paralelogramos)
que tienen la misma altura son entre sí como sus bases” (Palmieri, 2003, p. 242) (dicha
proposición se ha mencionado en párrafos anteriores).
Figura 21 Los modelos similares de balanzas. Disposiciones similares de igual peso W1, W2, W3, W4 en tres diferentes
equilibrios I, II, II (Palmieri, 2003, p. 243)
6 Palabra que utiliza Palmieri (2003) para referirse a congruencia entre ángulos
59
El estudio de la teoría inmersa en este subapartado sobre la teoría de semejanza en figuras
planas, me posibilitó comprender los pasos propuestos por Galileo para llegar a la
proporcionalidad en su sistema de balanzas los cuales he descrito anteriormente en presente
documento, y entender en cierta medida, las teorías que fundamentan su aseveración, de manera
tal, que se logré vislumbrar aspectos sumamente importantes que sustentan la postura de Palmieri
(2003) sobre la generalización y reversión de la teoría sobre semejanzas que usó Galileo.
2.2.2.2 Respecto a la oscuridad de la noción Euclidiana de equimúltiplo para Galileo
En el apartado “La dimensión visual del razonamiento proporcional de Galileo” del
documento de Palmieri (2003) hablo sobre la forma como Galileo, conociendo las teorías de
semejanza euclidianas y arquimedianas, hace una reversión de la primera y una generalización de
la segunda, a fin de mostrar su proposición I sobre semejanza en sistemas de balanzas en
equilibrio. En el artículo (Palmieri, 2003) se menciona que, para Galileo, era oscura la noción de
proporcionalidad equimúltiple dada por Euclides ya que, esta noción no se puede aplicar
eficazmente al mundo natural. Por esto, él (Galileo) propone a Torricelli reemplazar dicha noción
oscura con otra noción de equimúltiplo más apropiada para el mundo de las cantidades físicas. En
el presente apartado, muestro la definición de proporcionalidad equimúltiple dada por Euclides en
el quinto libro de Elementos y posteriormente procedo a exponer algunos argumentos que
Palmieri (2001) utiliza para explicar la oscuridad de dicha definición en Galileo.
Definición 5 libro V de Elementos
Se dice, que cuatro cantidades están en la misma razón, esto es la primera a la segunda, y
la tercera a la cuarta, cuando respectivamente comparados cualesquiera equimultíplices
60
(es decir cualquiera que sea el multiplicador) de la primera, y de la tercera con
cualesquiera equimultíplices de la segunda, y de la cuarta, aquellos dos, ó exceden, ó
están excedidos, ó son iguales respectivamente a estos dos (Commandino & Simson, 1855
p. 111).
Considerando la anterior definición, y en concordancia con Hernández (2017 p. 9), la
definición dice que si se tienen cuatro magnitudes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. y dos multiplicadores cualesquiera 𝑚
y 𝑛 de manera tal que, si, 𝑚𝑎 > 𝑚𝑐 ∧ 𝑚𝑐 > 𝑛𝑑, ó, 𝑚𝑎 = 𝑚𝑐 ∧ 𝑚𝑐 = 𝑛𝑑 , ó, 𝑚𝑎 < 𝑚𝑐 ∧ 𝑚𝑐 <
𝑛𝑑 , en otras palabras, si las cuatro cantidades están en la misma razón, se cumple que 𝑎 guarda
con 𝑏 la misma relación que 𝑐 con 𝑑, es decir: 𝑎 es a 𝑏, así como 𝑐 es a 𝑑
Cabe resaltar que, tanto para Euclides como para Galileo, las razones solo se pueden dar
entre cantidades homogéneas dos a dos. Esto es, para el caso de Euclides, 𝑎 y 𝑏 por ejemplo
longitudes de segmentos, 𝑐 y 𝑑 superficies de figuras geométricas (triángulos, cuadriláteros,
círculos, entre otros). El caso de Galileo es similar, pero aplicándolo a magnitudes físicas como
por ejemplo 𝑎 y 𝑏 distancias, 𝑐 y 𝑑 pesos.
Una representación geométrica relacionada con la definición es la siguiente:
Consideremos los segmentos 𝐹𝐺, 𝐻𝐼, 𝑊𝑋, 𝑌𝑍 como las cantidades 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 respectivamente
como se observa en la Figura 22, 𝑚 = 3 y 𝑛 = 2 , podemos ver gráficamente que entre los
posibles casos brindados en la definición se presenta el segundo posible (𝑚𝑎 = 𝑛𝑏 ∧ 𝑚𝑐 = 𝑛𝑑),
luego podemos afirmar que 𝑎 guarda con 𝑏 la misma relación que 𝑐 con 𝑑. Cabe señalar que con
valores diferentes para 𝑚 y 𝑛 se podría presentar los casos (𝑚𝑎 < 𝑛𝑏 ∧ 𝑚𝑐 < 𝑛𝑑) ó (𝑚𝑎 > 𝑛𝑏 ∧
𝑚𝑐 > 𝑛𝑑)
61
Figura 22 Ejemplo de la definición 5 libro V de Elementos.
Al tomar por ejemplo cuadrados cuyas bases tienen medida igual a las del ejemplo
anterior una a una, así como los mismos valores para los multiplicadores 𝑚 y 𝑛 se obtiene una
situación análoga a la anterior (situación representada en la Figura 23).
De la misma manera se puede tomar 𝑎 y 𝑏 como segmentos y 𝑐 y 𝑑 como cuadrados y se
obtendrá como resultado que 𝑎 guarda con 𝑏 la misma relación que 𝑐 con 𝑑.
62
Figura 23 Ejemplo de la definición 5 libro V de Elementos aplicada al área de cuadrados.
Respecto a la definición 5 del libro V de Elementos, Fuentes & Sandoval (2017)
mencionan que Guacaneme (2015) halló cuatro magnitudes homogéneas que no son
proporcionales, a pesar de que para algunos múltiplos si se cumple; para los segmentos de mayor
longitud utilizó 𝑚 = 2 y para los de menor longitud 𝑛 = 4. En la Figura 24 y en la Figura 25 se
puede observar respectivamente los casos en donde se cumple la proporcionalidad equimúltiple
para cuatro magnitudes homogéneas y en dónde no se cumple dicha proporcionalidad al usar
multiplicadores 𝑚 y 𝑛 distintos para el segundo caso (Figura 25).
63
Figura 24 Magnitudes homogéneas que son proporcionales (Fuentes Caucalí, J. T., & Sandoval Mendoza, 2017, p. 32)
Figura 25 Magnitudes que no son proporcionales halladas por Guacaneme (2015) (Fuentes Caucalí, J. T., & Sandoval Mendoza,
2017, p. 33)
Antes de dar razón respecto a la oscuridad de la que habla Galileo, mencionaré
brevemente las definiciones 6 y 8 del libro V de Elementos que respectivamente enuncian
“llámense proporcionales las cantidades que tienen una misma razón” (Elementos de Euclides,
edición Commandino & Simson, 1855 p. 111) y “proporción es semejanza de razones”
(Elementos de Euclides, edición Commandino & Simson, 1855 p. 112).
Respecto a esta terminología utilizada por Euclides, Guacaneme (2012) señala que la
proporcionalidad geométrica no se reduce a la semejanza, aunque guardan una relación. En el
documento señala que la semejanza sugiere una relación entre figuras rectilíneas mientras que la
proporcionalidad se refiere a las proporciones que se pueden establecer entre magnitudes de
64
objetos geométricos. De lo anterior se deduce que cuando Euclides habla de proporcionalidad,
está hablando de cantidades que guardan una misma razón y, de acuerdo con Guacaneme (2012),
una razón en la terminología euclidiana es una relación entre propiedades de objetos geométricos,
en la proposición 8 del libro VI Euclides vincula la proporción con la semejanza al determinar
que triángulos equiangulares con lados proporcionales son semejantes.
Respecto a la noción de proporcionalidad equimúltiple de Euclides, Galileo la considera
una noción completamente oscura. De acuerdo con Palmieri (2001), el fundamento de su
incomodidad con la noción euclidiana de equimúltiplo, es que esta no se puede aplicar de manera
simple y efectiva al mundo de las cantidades físicas, según Palmieri (2001) Galileo utilizó por
primera vez la técnica de los equimúltiplos en su primer De Motu para probar que los pesos de
diferentes volúmenes de cuerpos que tienen el mismo peso específico están en la misma
proporción que sus volúmenes, en la Figura 26 se ilustra dos volúmenes 𝑎 y 𝑏 desiguales, 𝑐 y 𝑑
sus pesos, Galileo intenta probar que 𝑐 es a 𝑑 así como 𝑎 es a 𝑏 .
Figura 26 matematización de pesos según la proporcionalidad equimúltiple, (Palmieri, 2001, p. 599 Fig 5)
65
El problema que encontró Galileo al trasladar la proporcionalidad equimúltiple al mundo
de cantidades físicas, la evidenció al momento de ensamblar el peso 𝑛𝑜𝑝 (Figura 26) tres veces el
peso 𝑐 y el peso 𝑙𝑚 dos veces el peso 𝑑, ya que, mientras los volúmenes son cantidades
geométricas, los pesos son cantidades físicas, “y no se puede suponer que las simples relaciones
geométricas entre los segmentos elegidos por Galileo para “geometrizar” los pesos, representan
isomórficamente las mismas relaciones físicas entre pesos” (Palmieri, 2001 p. 588)
La misma incomodidad respecto a los equimúltiplos que presentaba Galileo era
compartida por Clavius, quién también la consideraba como una noción oscura; en distintas
ocasiones aportó sugerencias y correcciones a Galileo para tratar de llegar a una definición más
pura, que permitiese a la proporcionalidad equimúltiple aplicarse al mundo de las cantidades
físicas de manera simple y eficaz; de hecho, Palmieri (2001) manifiesta que tanto Clavius como
Galileo llegaron a proponer alternativas muy parecidas, seguramente por la cercanía entre ellos
en su lucha por reemplazar esa oscura noción.
Durante el desarrollo de su idea, Galileo ofreció distintas propuestas en documentos como
De Motu y Dos nuevas ciencias; sin embargo, dice Palmieri, dichas propuestas contaron con el
problema de que Galileo llegó a transferir propiedades de los objetos geométricos a los objetos
físicos, sin que esto fuese necesariamente verídico. A pesar de todo esto, en Palmieri (2003) se
puede evidenciar que Galileo ofrece eliminar esa incómoda oscuridad, la cual es mencionada en
la sección 3.1del presente documento, a partir de su proposición sobre sistemas de balanzas
semejantes con disposiciones semejantes de pesos iguales en equilibrio, dejando de lado el uso de
la proporcionalidad equimúltiple de Euclides en su construcción. Con lo anterior Palmieri (2003)
66
afirma que Galileo “logra hacer homogéneo el mundo de la proporcionalidad euclidiana y el
mundo de las cantidades físicas” (Palmieri, 2003 p. 242).
2.2.2.3 Respecto al equilibrio en los sistemas de balanzas
Continuando con los elementos que me ayudaron a comprender el documento de Palmieri
(2003), un aspecto importante aludido en el documento es el del equilibrio arquimediano en
sistemas de balanzas, el cual fue usado por Galileo para su construcción de sistemas de balanzas
semejantes en equilibrio. A continuación, presento una breve muestra de en qué consiste esta
teoría arquimediana aplicada a las balanzas.
En el documento Arquímedes y la palanca, de Strathern (1999), se menciona el dominio
de Arquímedes sobre el concepto de fulcro, con el que llegó a encontrar el centro de gravedad en
sistemas de palancas. En esencia, Arquímedes establece que, para que un sistema de balanza se
mantenga en equilibrio, la razón entre los pesos dispuestos en el sistema y su distancia al centro
de gravedad del sistema debe ser inversamente proporcional. En la Figura 27 podemos observar
que 𝐴 es a 𝐵 como 𝑑 lo es a 1, 𝐴
𝐵=
𝑑
1.
Figura 27 Ley del equilibrio de Arquímedes. tomada Strathern (1999, Pág. 22).
67
A continuación, un ejemplo ilustrado en la Figura 28 con la ayuda de software
interactivo7 en el que podemos apreciar un sistema de balanza con dos pesos diferentes, uno el
doble del otro; el sistema se mantiene en equilibrio porque el peso que es la mitad del otro se
encuentra al doble de la distancia al centro de gravedad del sistema que su contraparte.
Figura 28 Ejemplo de la ley del equilibrio de Arquímedes
La comprensión de esta ley arquimediana me contribuyó no solo entender el modelo
mental de Galileo para su proposición I sobre sistemas de balanzas semejantes con pesos iguales
7 Simulador del sitio web https://phet.colorado.edu/sims/html/balancing-act/latest/balancing-act_es.html
con el que se puede experimentar a fin de comprender la ley del equilibrio de Arquímedes.
68
dispuestos de manera semejante, sino también me permitió visualizar el problema del cilindro en
equilibrio como un problema de equilibrio arquimediano, tal como presume Palmieri que lo vio
Galileo.
2.2.2.4 Respecto al problema del disco móvil
Durante el transcurso del documento sobre modelos mentales de Palmieri (2003) se puede
evidenciar cómo él establece los argumentos necesarios para defender su postura sobre lo que
considera es la influencia científica que más se aproxima al tratamiento hecho por Galileo en su
teoría sobre sistemas de balanzas en equilibrio; por ejemplo, respecto a la posición de De Groot,
la cual afirma que para el problema del cilindro en equilibrio Galileo se basó en el problema del
disco móvil tratado por Piccolomini y Tomeo, Palmieri (2003) reconoce que seguramente Galileo
conocía dicho problema, pero nada en el tratamiento que Galileo hizo en el problema del cilindro
en equilibrio está fundado en el problema del disco móvil, por lo que Palmieri ofrece como
alternativa el problema del plano inclinado de Pappus el cuál se ajusta más con el proceder de
Galileo.
El problema del disco móvil dice que si se tiene un disco rotando sobre su centro 𝐶, y dos
puntos 𝐷 y 𝐸 posicionados sobre dicho disco a una distinta distancia del centro, el punto que se
encuentre más alejado del centro recorre mayor distancia que el punto que se encuentra más
cercano a 𝐶 en el mismo el tiempo 𝑡 Palmieri (2003 p. 251). (Ver Figura 29).
69
Figura 29 Problema del disco móvil. El punto 𝐸 recorre mayor distancia que el punto 𝐷 en el mismo tiempo 𝑡.
Algebraicamente se puede observar calculando la longitud de las circunferencias
determinadas por el punto 𝐶 y los radios 𝐶𝐷 y 𝐶𝐸 respectivamente. La fórmula para hallar dichas
magnitudes es 𝐿⊙𝑟 = 2𝜋𝑟. La longitud 𝐿 de las circunferencias determinadas por las condiciones
anteriores es 𝐿⊙𝐶𝐷 = 2𝜋𝐶𝐷 y 𝐿⊙𝐶𝐷 = 2𝜋𝐶𝐸 respectivamente, usando como base la Figura 29.
Se observa que el radio8 𝐶𝐷 es menor que el radio 𝐶𝐸. Por consiguiente 𝐿⊙𝐶𝐷 es menor que
8 Se toma la definición de radio como distancia dejando de lado su definición como segmento sin
desconocer su existencia.
70
𝐿⊙𝐶𝐸. Ya que la longitud de la circunferencia con centro 𝐶 y radio 𝐶𝐸 es mayor que la longitud
de circunferencia con centro 𝐶 y radio 𝐶𝐷, de acuerdo con el problema del disco móvil
representado en la Figura 29, podemos determinar que 𝐸 recorre mayor distancia que 𝐷 en el
mismo tiempo, por consiguiente, podemos afirmar que 𝐸 se mueve a una mayor velocidad que 𝐷.
71
3 Relación entre la Historia de las Matemáticas y su utilidad para el profesor de
matemáticas
En el desarrollo de este capítulo presento el resultado de haber estudiado un documento
de Historia de las Matemáticas, a partir de la experiencia vivida durante el proceso de desarrollo
del trabajo de grado, teniendo en cuenta que, aunque no se cuenta con alto nivel de sistematicidad
en la recolección de información, dado que, como mencioné en la introducción del presente
documento, hubo dos direcciones diferentes en el proceso, y no contamos con todos los registros
que quisiéramos para hacer un análisis profundo, si contamos con una estrategia metodológica
relacionada con la reflexión a posteriori, recurriendo a una mirada retrospectiva de la labor
desempeñada, a partir de los registros del diario de campo mencionado anteriormente y escritos
reflexivos que se fueron elaborando durante el estudio del artículo de Palmieri.
Así mismo, el eje para el análisis que presento en el presente capítulo, son las categorías
que hace Guacaneme (2016) respecto al para qué estudiar Historia de las Matemáticas (HM) en
pro del conocimiento del profesor de Matemáticas (CPM) las cuales inicialmente sintetizo y,
posteriormente, realizo un contraste entre estas categorías establecidas por Guacaneme y los
elementos que aportó la experiencia de estudiar el documento de Palmieri (2003) a favor de mi
formación profesional.
72
3.1 Categorías en relación con el para qué de la Historia de las Matemáticas en la
formación de un profesor de Matemáticas
Antes de abordar las categorías en relación al para qué de la Historia de las Matemáticas
en la formación de profesores de matemáticas, cabe aclarar que la discusión sobre la relación
“Historia en las Matemáticas-Educación Matemática” ha estado marcada en cuatro ámbitos: la
Historia de las Matemáticas en la enseñanza de las Matemáticas, la Historia de las Matemáticas
en las investigaciones del campo de la Educación Matemática, la Historia de las Matemáticas en
la educación del profesor de Matemáticas y la Historia de la enseñanza de las Matemáticas
(Guacaneme, 2016, p. 115). Para el efecto de este trabajo, profundizo en la Historia de las
Matemáticas en la educación del profesor de Matemáticas, pues este ayuda a entender el por qué
se debe enseñar a los docentes en formación sobre Historia de las Matemáticas y para qué sirve
apropiar este conocimiento por parte del profesor, no solo en su trabajo durante las clases sino en
su vida como profesional y académico.
Vale aclarar que tomo los planteamientos de Guacaneme (2016), debido a que su tesis
doctoral incluye un estado del arte en el que se recoge bastante de la información actual sobre la
discusión en torno a la HM y su relación con la formación docente. En esa misma tesis se
caracteriza la intención de incorporar la HM en la formación de los profesores de Matemáticas
desde dos puntos de vista: el primero “Dotar al profesor de visiones” y el segundo “Dotar al
profesor de artefactos”. Estos aspectos son primordiales para generar en el profesor herramientas
para enriquecer su labor docente.
73
La educación de los profesores de matemáticas tiene como propósito formar profesionales
idóneos, que puedan reflexionar, aprender, enseñar y generar conocimiento desde las
matemáticas. Esta visión de los profesores de matemáticas lleva consigo una perspectiva
ampliada de lo que tiene que ser, o debe ser la formación de profesores en matemáticas,
principalmente entendiendo esta desde una mirada didáctica que involucra a todos sus agentes, es
decir, el profesor, el estudiante y el saber matemático (Guacaneme, 2016), con el fin de tener una
construcción ampliada del campo del saber en el que nos ubicamos. Debido a esta
intencionalidad, se crea el cuestionamiento sobre el papel de la HM en la formación de los
profesores de matemáticas, entendiéndola (HM) desde distintas perspectivas y miradas que
apoyan la inclusión en los currículos de esta disciplina, para fortalecer el conocimiento
pedagógico y matemático de los profesores.
Asimismo, al hablar del profesor de Matemáticas debemos hablar de lo que se considera
característico de un maestro integral en esta área, por lo que se precisa aclarar que un maestro
debe tener en su actuar como profesional el componente de investigación, en su propia práctica,
en los conocimientos que lo construyen como profesor y en las estrategias que utilizará para la
educación en matemáticas, esto con el fin de crear un académico conocedor de su área y que
genera conocimientos actualizados y reflexivos sobre las matemáticas (Guacaneme, 2016).
Por consiguiente, reconoce Guacaneme (2016) que la relación de la Historia de las
Matemáticas en la “Educación del Profesor de Matemáticas”, en primer lugar, puede ser vista
como un artefacto y posterior herramienta del conocimiento profesional del maestro de
matemáticas, en el cual se enriquece al maestro, ayuda en las concepciones que este tiene sobre
74
los conocimientos en matemáticas, al igual que construye una manera de fundamentarlos y la
reflexión que se da mediante la investigación de sus prácticas académicas. También, al hablar de
la formación de los profesores de matemáticas se reconocen estrategias para la construcción de
currículos, en el cual se apoye una visión sobre la importancia de adicionar la HM como recurso
para los maestros (Guacaneme, 2016, p. 23). Esta aclaración de Guacaneme ayuda a entender por
dónde va la discusión sobre la apropiación de la historia en los currículos que forman a los
profesores de Matemáticas, y da un acercamiento al por qué apropiarse de este conocimiento
como maestro en esta área.
Ahora, iniciaré explicando la categoría “Dotar al profesor de visiones”. En esta se
muestra una perspectiva del profesor que ha optado por un enfoque en Historia de las
Matemáticas; esta categoría cuenta con cuatro subcategorías importantes de la actividad
matemática: visión de la actividad matemática, visión de las Matemáticas, visión del
conocimiento matemático y visión de los objetos matemáticos.
Por consiguiente, se señala brevemente estas subcategorías las cuales ilustran cómo se
dota al profesor de visiones.
• La visión de la actividad matemática. Esta subcategoría hace referencia al aprecio
desarrollado por parte del profesor de matemáticas respecto a la producción del
conocimiento matemático y las condiciones que dieron lugar a este, lo que
favorece la comprensión de las temáticas de estudio, así mismo permite reconocer
la actividad matemática como actividad humana y la relación que tiene el
75
conocimiento matemático con la producción de conocimiento en otras áreas,
humanizando de esta manera la producción del conocimiento.
• La visión de las Matemáticas. Establece que la visión de las matemáticas del
profesor que opta por una perspectiva de la HM se redirige a valorar a las
matemáticas como una ciencia vinculada a distintas áreas de conocimiento,
dejando de lado la visión de que las matemáticas son una ciencia autónoma e
independiente.
• La visión del conocimiento matemático: Esta hace referencia al valor
epistemológico que tiene el estudio de la HM, reconociendo, los valores
científicos que fundamentan a las matemáticas desde su propia historia, su
desarrollo y evolución.
• La visión de los objetos de las matemáticas. Expone en su estado del arte
Guacaneme (2016) que “permite reconocer preguntas, problemas, tratamientos,
acepciones, representaciones, formas de pensamiento, etc. sobre objetos
matemáticos específicos. Igualmente, se sostiene que la HM exhibe interrelaciones
entre objetos matemáticos o con objetos de otras disciplinas y que revela la
interdependencia de metaconceptos… con el carácter evolutivo de los conceptos,
de las formas de representación y del lenguaje” (p. 221). Lo motiva a plantear la
idea de que también ayuda a la comunidad científica a considerar la producción
matemática como un objeto interdisciplinar de estudio o que por lo menos invita a
los científicos a contemplar la idea de hacerlo.
76
Así, con estas categorías se puede dar respuesta a los porqués de la enseñanza,
aprendizaje y apropiación de la HM por parte del profesor de matemáticas; esto tiene total
relación a la segunda categoría nombrada anteriormente “Dotar al profesor de artefactos” que
se describe claramente en la tesis (Guacaneme, 2016), dividida esta en tres subcategorías, a saber:
Mirada epistemológica y del pensamiento matemático, Maneras de enseñar e insumos para el
aula y el currículo y, Competencias personales y profesionales.
Cuando se habla de los artefactos que se generan a partir del conocimiento de HM para
los profesores, se refiere a los elementos científicos que se apropian con este conocimiento y que
el profesor podrá usar en su ejercicio profesional convirtiéndolos en herramientas.
La primera de ellas, la mirada epistemológica y del pensamiento matemático, alude a una
metáfora utilizada en la Biología y adoptada por la epistemología y es la filogénesis/ontogénesis
del conocimiento matemático; es decir, la historia de la evolución del conocimiento que se ve
mediante el estudio de los orígenes de las matemáticas, por lo tanto el uso primordial del
reconocimiento de la historia para la generación de sus objetos de estudio de una manera general,
pero también la evolución del pensamiento de los individuos, es decir, cada uno de los científicos
de las matemáticas (Guacaneme, 2016 p. 222).
Las maneras de enseñar e insumos para el aula y el currículo, indica que “se reconoce
como conocimiento necesario (la Historia de las Matemáticas) y pertinente para el profesor de
Matemáticas, en tanto que puede orientar sus acciones y decisiones didácticas y le ofrece un
marco de referencia para interpretar dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas”
77
(Guacaneme, 2016, p. 222), dotándolo, al igual que con la anterior subcategoría, de herramientas
necesarias para el desarrollo de su profesión.
Y, por último, las competencias personales y profesionales hacen referencia a las
habilidades que adquiere el profesor de matemáticas al tener que estudiar otros aspectos de su
disciplina, leyendo, escribiendo, escuchando sobre la HM mientras está pensando
matemáticamente sobre todos estos temas; así el profesional que estudia historia crea nuevas
maneras de entender y pensar sobre su disciplina.
Con esto se verían claramente las respuestas a la pregunta del para qué aprender HM en
los procesos de formación de un profesor de matemáticas, entendiendo con ello que la labor de la
formación debe ser desde las visiones variadas que se genera en la discusión académica y las
habilidades científicas que crea en los profesores el conocimiento de la HM.
3.2 Aportes del estudio a mi formación profesional
Al hablar de por qué dar cursos de HM a los profesores que están durante su formación
profesional el estado del arte elaborado por el profesor Guacaneme (2016) permite ver distintas
posturas de diferentes autores, como es el caso de Fauvel & Van Maanen (1997), quienes
exponen que esta promueve el entusiasmo por las matemáticas además de generar en los
profesores habilidades de lectura de manera crítica y contextualizada, es decir una manera
diferente de leer, con la cual los profesores son dotados de más herramientas para envolverse en
la vida académica. Del mismo modo, Gulikers & Blom (2001) citados por Guacaneme (2016),
exponen que esta genera una interrelación disciplinar que ayuda a dinamizar las matemáticas, por
78
lo que complementa el conocimiento de los profesores a la hora de construir sus clases y sus
currículos.
Por otra parte, Arcavi & Isoda (2007) citados también por Guacaneme (2016) revelan que
el conocimiento en HM, lleva a la “descentración”, término que utilizan para especificar la
capacidad de los profesores de adoptar la perspectiva del otro para desde allí entender lo que él
piensa o hace. Por lo tanto, al tener en cuenta el texto de Palmieri (2003), pude experimentar
cómo se genera la capacidad de utilizar los procesos mentales usados por Galileo para entender la
teoría euclidiana sobre semejanza de figuras planas y la generalización de la teoría arquimediana
sobre semejanza en la disposición de centros de gravedad en figuras planas semejantes, con lo
que Galileo procuró demostrar su proposición sobre centros de gravedad, así que, me es
pertinente como lector, ponerme en el papel del autor para entender los razonamientos científicos
que lo llevaron a demostrar sus teorías.
Teniendo en cuenta las intenciones formativas de la HM reseñadas anteriormente,
considero primordial contar la relación con el texto de Palmieri (2003), en cuanto a cómo su
estudio me dotó de visiones y artefactos.
En una primera instancia del estudio, me fue necesario realizar una investigación del
contexto histórico en el que vivió Galileo para así entender aspectos socioculturales que
influyeron notoriamente en el proceder de este personaje tan influyente en la historia de las
Ciencias. Estos aspectos tienen que ver con las características del Renacimiento de los siglos XVI
y XVII que refieren al tránsito de creencias religiosas e intereses particulares de algunos sectores
de la Iglesia, pues durante esta época generó en el mundo un cambio de pensamiento entre la
79
teoría teocéntrica, es decir, la creencia de que Dios es el centro de todo, y la antropocéntrica, la
creencia de que el ser humano debe ser el centro de todo; por ello, se muestra la fuerte oposición
hacia las teorías de Galileo que contradicen al aristotelismo (escuela afín con el pensamiento de
Aristóteles, autor filosófico dominante en el pensamiento eclesiástico), respecto a verdades que
se consideraban absolutas, que se sustentaban con La Biblia y la Iglesia católica; como por
ejemplo, la teoría de la Tierra plana, la cual fue cuestionada por Nicolás Copérnico en su teoría
heliocéntrica (aunque ya tiempo atrás filósofos griegos habían demostrado mediante
experimentación empírica que la tierra es esférica) y que fue adoptada por Galileo, lo que lo llevó
a ser juzgado por la Santa Inquisición, pues en esta época se consideraba un delito contradecir las
posturas de la Iglesia, debido a que esto era contradecir a Dios, también entendiendo que Galileo
usó sus conocimientos en heliocentrismo y astronomía, entre otras cosas, para mofarse de la
postura de personalidades como el Papa Urbano VIII.
Por lo tanto, el conocimiento adquirido al investigar la historia de Galileo da una visión
más amplia de los problemas con los que los científicos debían enfrentarse en su época, además
de entender el coraje de Galileo al desafiar, aunque posteriormente se retractara, a la Iglesia
católica. Asimismo, las relaciones académicas que tuvo Galileo con académicos como Clavius,
Mazzoni o Torricelli, que compartían su interés por la ciencia, le ayudaron a enriquecer su
discurso para la matematización del mundo físico; esto me permite reconocer la importancia de la
interacción humana en la comunidad científica para la construcción de nuevo conocimiento y
enriquecer el discurso científico, así como validar o debatir posturas académicas. Todo este
80
proceso no solo me permitió valorar los aportes de Galileo sino también reconocer su papel como
artífice en la revolución y evolución del pensamiento científico.
Por otra parte, teniendo en cuenta la visión de las Matemáticas, evidencio concretamente
la estrecha relación entre las Matemáticas y la Física, y la manera como ambas ciencias se
interrelacionan para el desarrollo científico ya que, Galileo hace uso de conceptos matemáticos
para dar explicación a los fenómenos físicos referentes al movimiento y equilibrio de cuerpos
matematizándolos, para esto, él hace uso de objetos geométricos a los que les atribuye
propiedades físicas y con los que busca dar explicación a fenómenos naturales mediante
representaciones gráficas de estructuras geométricas, dichas representaciones geométricas le
permiten construir teoría matemática nueva, como en el caso de disposiciones semejantes de
pesos iguales en balanzas semejantes, los cuales implican centros de gravedad dispuestos de
manera semejante, y con esto concluye proporcionalidad entre longitud de los brazos de las
balanzas respecto a la disposición de pesos por lo que el sistema se mantiene en equilibrio. Lo
anterior, me ayuda a ampliar la visión de las Matemáticas y su uso específico, además de generar
en mí, un discurso, conocimiento, apropiación y aprendizaje interdisciplinar de estas, debido a su
uso complejo en sistemas físicos que hacen una relación entre los fenómenos y las Matemáticas.
En concordancia con lo mencionado por Guacaneme (2016) en tanto al conocimiento en
HM adquirido con la lectura del documento de Palmieri, Ahora estoy en la capacidad de hablar
con propiedad respecto a la vida y parte de la obra de Galileo, y de aspectos de suma importancia
en su matematización física temprana, así como soy consciente de la evolución del pensamiento
81
de Galileo dada su necesidad de utilizar teoría matemática y transformarla de acuerdo con sus
necesidades científicas para la creación de teoría que describiese algunos fenómenos físicos.
Del mismo modo, el estudio del documento me permitió ampliar sustancialmente la
visión de los objetos matemáticos tratados en el artículo, tales como, la noción de
proporcionalidad, equilibrio arquimediano, centro de gravedad, semejanza o equimúltiplo. En
efecto, tuve la oportunidad de estudiar y visualizar el equilibrio arquimediano de tal forma que,
ahora, me permiten observar estos problemas sin que estén expresos mediante sistemas de
balanzas explícitas como los casos del plano en equilibrio y el cilindro en equilibrio ilustrados en
el documento de Palmieri. También luego de la lectura, considero posible y coherente representar
algunas magnitudes físicas mediante objetos geométricos y establecer relaciones entre ellos como
por ejemplo la representación de magnitudes físicas homogéneas mediante segmentos, o
visualizar problemas de proporcionalidad equimúltiple en algunos casos de la vida cotidiana. Por
lo tanto, respecto a los objetos tratados en el documento, ahora mi visión no se limita a verlos
como únicamente objetos matemáticos para cálculos, sino también reconozco su estado evolutivo
para poder construir un nuevo conocimiento, por ejemplo, soy consciente que al ampliarse y
popularizarse el estudio de los fenómenos naturales, la humanidad desarrolló un lenguaje verbal y
simbólico para hacer referencia a fenómenos concretos, como en el caso de las magnitudes físicas
(longitud, tiempo, etc.) y las relaciones entre estas (velocidad, aceleración, etc.)
Igualmente esta experiencia logra “dotarme de artefactos” puesto que después de la
lectura del texto de Palmieri, el documento de estudio me aportó una visión evolutiva del
conocimiento matemático inmerso en él, ya que me fue necesario ampliar conocimientos previos
82
sobre la vida y obra de Galileo Galilei así como del conocimiento matemático utilizado por este,
pero no solo el pensamiento de Galileo sino también lo que ocurría socialmente en el
Renacimiento con las ciencias y el poder de la Iglesia en las creencias científicas, con lo que
develé aspectos fundamentales en su razonamiento personal para comprender el proceso
cognitivo mediante el cual Galileo pudo, en palabras de Palmieri (2003) “gobernar el equilibrio
arquimediano” .
En cuanto a las competencias personales y profesionales, en coincidencia con lo que
menciona Guacaneme (2016), adicional a las habilidades de lectura, escritura, escucha y habla
que ayuda a desarrollar el estudio de un documento histórico, el haber estudiado puntualmente el
documento de Palmieri ha ampliado mi repertorio de conocimientos utilizado, no solo respecto al
estudio que hizo Galileo para la temprana matematización del mundo natural (el cual suele
obviarse o ignorarse por ejemplo en documentales audio-visuales, ya que estos mayormente se
centran en la vida y obra de Galileo más no en el análisis cognitivo de su proceder científico),
sino que también logró enriquecer conocimientos respecto a las competencias matemáticas
involucradas en la teoría inmersa en el documento, y que a partir de una perspectiva de historia
cognitiva salen a la luz, conocimientos tales como: la proporcionalidad equimúltiple, la
semejanza en la disposición de centros de gravedad en figuras planas semejantes o el equilibrio
arquimediano; artefactos que inevitablemente se convertirán en herramientas (Guacaneme, 2016,
pág. 222) en el momento de poder aplicar estos conocimientos en el aula de clases, pues me
dotan como profesor de insumos para el aula, ya sea para contextualizar a los estudiantes al
ilustrarles la vida y obra de Galileo desde una perspectiva humana la cual los motive a trabajar en
83
la adquisición de un conocimiento relacionado a él, o para considerar la propuesta de Galileo
respecto a sistemas de balanzas con pesos semejantes en equilibrio como ejemplos durante una
situación en clase sobre equilibrio arquimediano.
Así mismo, el estudio del documento amplió mi visión sobre los objetos matemáticos y la
colaboración interdisciplinar entre las matemáticas con otras áreas del conocimiento, ya que
ahora he adquirido conciencia respecto a que no siempre se aplica directamente la teoría
matemática en la resolución de un problema en otra disciplina, sino que también de manera
conjunta se puede llegar a transformar la teoría matemática o crear una nueva teoría para la
resolución de dicho problema, tal como la reversión que hizo Galileo de la teoría euclidiana sobre
semejanza de figuras planas y la generalización de la teoría arquimediana sobre semejanza en la
disposición de centros de gravedad en figuras planas semejantes, para demostrar su proposición 1
sobre centros de gravedad; herramientas que permitirán acercar la visión que tienen los
estudiantes de las matemáticas a un factor mucho más humano.
Como he mencionado en los párrafos anteriores, es importante que los profesores de
matemáticas se apropien del conocimiento histórico porque ayuda a construir un profesional más
capacitado y con un mayor conocimiento de su área de especialidad. recalco que desde la postura
que manejo en este trabajo, “la educación histórica para los profesores de matemáticas debe ser
esencial y un requerimiento primordial en los currículos de las licenciaturas, puesto que ayuda a
la formación docente en cuatro ámbitos: interés en la materia, generar un valor social del profesor
de matemáticas, cornucopia de visiones y herramienta docente que impulse una didáctica para las
matemáticas” (Guacaneme, 2016).
84
Parte de los objetivos que tiene la profundización en la Historia por parte del profesor de
matemáticas son las herramientas y recursos que obtendrán los docentes en formación al conocer
de este campo específico, esto con el fin de generar un mejor desempeño en las clases y en la
academia, por lo que pude observar durante clases de matemáticas en mis prácticas profesionales,
la historia ayudó a la construcción de mi didáctica docente, ya que noté que los estudiantes son
curiosos de las particularidades que rodearon a los personajes históricos matemáticos, dicho
proceder, el de narrar la historias de los personalidades matemáticas genera en el alumno un
acercamiento a la humanidad de las matemáticas como un campo de potenciación de la sociedad
occidental, también contribuye en la desmitificación de la creencia en la cual, los matemáticos
son genios dotados especialmente para esta área perdiendo con ello el carácter humano que los
rodeaba, por lo tanto al hablarle a los estudiantes no solo sobre la obra de los personajes
históricos, sino también de su vida, los problemas cotidianos en los que se veían envueltos, y la
forma como ellos se desenvolvían socialmente, se genera en los estudiantes una nueva visión de
las personas que al final son quienes desarrollaron las teorías matemáticas, impulsándolos y
motivándolos a estudiarlas más exhaustivamente.
De acuerdo con lo anterior, el estudio minucioso del artículo de Palmieri me llena de
artefactos, que para el caso particular de Galileo, me permitirán hacer uso de los conocimientos
adquiridos en el aula de clases, ya sea como factor humanizador o motivador en los estudiantes,
entendiendo que Galileo como cualquier otro ser humano, tuvo inconvenientes con la ley
establecida, que se atrevió a defender sus ideas, a trabajar por ellas y tuvo éxitos y fracasos; así
mismo dicho texto dota de una perspectiva en donde se debe ver más allá de una producción
85
científica y motiva a investigar posibles factores inmersos en el desarrollo de dicha producción, e
incluso, dota de experiencia para analizar el proceder cognitivo de los estudiantes.
Al hablar de la inclusión de la HM como herramienta para ser utilizada en la Didáctica de
las matemáticas, no solo como una forma de llamar la atención de los estudiantes, o de generar
curiosidad, sino de construcción de conocimientos interdisciplinares apoyados, (invitación que
hace Guacaneme) en profesionales de historia (2016 p. 117). Esta Didáctica generaría en los
profesores una forma de investigación de su práctica, en temas de profundización histórica para la
generación de nuevos conocimientos que puedan aportar a la pedagogía de esta ciencia, por lo
tanto, es necesario ver las implicaciones que tiene la investigación en el campo histórico de las
matemáticas, por ejemplo, en el campo de la visión histórica del currículo de matemáticas, para
mirar sus cambios y permanencias, y así potenciar la actualización de los procesos educativos de
los estudiantes (Guacaneme, 2016 p. 119), un tema puede ser considerado vital para la
actualización de las políticas, actividades y experiencias que se llevan a cabo en el aula de clases
actualmente.
Pero no solo se podría ayudar en el ámbito didáctico con el estudio de HM, sino que
también esta historia ayudaría a la promulgación de una Filosofía de las Matemáticas, es decir, a
darle un peso epistemológico que permita entender el desarrollo humano y social de las
matemáticas, sobre todo de la formación de los profesores de matemáticas.
Con lo anterior, al otorgarle a la HM una mayor importancia en los currículos de los
profesores de matemáticas, y con esto, ofrecerle gran variedad de artefactos al maestro, no solo se
conseguirá un profesor enriquecido en conocimientos histórico-matemáticos, sino que también,
86
se le ofrecerá, la posibilidad de contar con un marco fenomenológico amplio, desde el cual podrá
abordar distintas temáticas de clase, a partir de contextualizaciones apropiadas de distintos temas
abordados en clase, y ejemplos de aplicaciones de dichas temáticas en la vida cotidiana, teniendo
en cuenta que, las matemáticas a través de la historia han ido evolucionando a en parte, para
satisfacer necesidades de la humanidad.
A propósito de lo anterior, contar con un marco de referencia histórico, también le
permitirá al profesor utilizar sus conocimientos matemáticos e históricos sobre el tema a impartir,
de manera tal que, le posibilitará reorientar su discurso de acuerdo con las necesidades de la
población estudiantil con la que esté trabajando, enriqueciendo de esta manera, la capacidad
adaptativa del profesor, para abordar de distintas maneras, problemáticas presentadas en el aula
en torno al aprendizaje de un concepto matemático.
Así mismo, se le otorgará al profesor de matemáticas herramientas que le permitan
“descentrar” su pensamiento, como aseveran Arcavi & Isoda (2007) citados por Guacaneme
(2016), de manera tal que, él (el profesor) podrá adoptar la perspectiva del estudiante, con esto,
entender lo que él piensa o hace, y así, lograr comprender el razonamiento de este, de manera tal
que se le posibilite al maestro reorientar los procesos cognitivos vinculados al aprendizaje del
estudiante para conducirlo a un aprendizaje esperado.
Para el caso particular del artículo de Palmieri, además de aportarle al profesor de
matemáticas los artefactos anteriormente mencionados, evidencia un vínculo entre las
matemáticas y las ciencias; reconozco que, aunque para algunas personas el artículo puede no ser
considerado como un discurso puramente matemático a la luz de la modernidad, nosotros lo
87
consideramos como un documento histórico científico-matemático, ya que, el proceso de
matematización es netamente matemático, y fue desarrollado en una época en donde las
matemáticas eran usadas como herramienta para intentar explicar fenómenos naturales, además,
la matematización del ambiente físico reconoce una actividad legítimamente matemática, en el
cual se hace uso de elementos matemáticos como la ley de las palancas en donde se cuelgan
objetos y el peso no está dado por el peso físico del objeto sino por el tamaño de la magnitud
volumen del objeto, en donde se reconocen magnitudes aparentemente físicas pero que realmente
son geométricas. Así mismo, he de resaltar que la actividad empleada por Galileo es una
actividad legítimamente matemática que podría llegar a ser empleada en la escuela, motivando a
los estudiantes para que matematicen fenómenos de la naturaleza, puesto que, las matemáticas
muestran un poder que no tienen otras ciencias, pues se convierten en una herramienta y lenguaje
para comprender la naturaleza, asunto totalmente deseable en la escuela, las matemáticas en
conexión con las ciencias.
En conclusión, este trabajo, que se basa en el análisis documental del artículo de Palmieri
sobre los modelos mentales de Galileo Galilei, tiene el valor académico y epistemológico de
construir en el profesor de matemáticas y en la comunidad científica, herramientas que
promulgaran un mejor entendimiento en razonamientos interdisciplinares de autores históricos
que veían el conocimiento desde la complejidad, es decir, que entendían los fenómenos que
estudiaban mediante matematización y entendían que las realidades al ser complejas necesitaban
del uso y el entendimiento de varias disciplinas para su resolución y entendimiento.
88
Cabe resaltar que el estudio del documento me genera particular interés por estudiar otros
personajes histórico-matemáticos desde una perspectiva cognitiva, lo cual muy seguramente
podré aplicar en el aula de clases, no solo para hacer caer en la cuenta a los estudiantes de la
importancia de pensar interdisciplinariamente, sino que también me permitirá intentar develar
aspectos cognitivos referentes al proceder de los estudiantes, ¿y es que no es acaso eso parte de la
labor docente?, ¿tratar de interpretar los escritos, procedimientos algorítmicos y representaciones
mentales de los estudiantes?, es de considerar que profesores de matemáticas deban ir más allá de
la espera de un resultado acertado y analizar el ingenio de los estudiantes, ya que, incluso
podríamos (los profesores) terminar siendo los mentores de la próxima gran mente científica. He
de reconocer, que aunque aún queda mucho terreno por recorrer en el estudio de la ciencia
cognitiva e historia de la ciencia, estas permitirán no solo realizar un análisis cognitivo de otros
personajes histórico-matemáticos a profundidad, sino que también permitirán analizar el proceder
cognitivo de los estudiantes de manera análoga a la usada por Palmieri con Galileo, así mismo
permitirá identificar el proceso histórico del conocimiento por el cual están atravesando los
estudiantes durante su aprendizaje para que el maestro pueda guiarlos a un conocimiento deseado
y dotará al profesor de las visiones sobre las Matemáticas enriqueciendo sus competencias.
89
4 Conclusiones
En el presente apartado se procederá a mencionar conclusiones obtenidas del desarrollo
del presente Trabajo de grado; para esto, se tendrá en cuenta los objetivos planteados para el
desarrollo del documento, así como reflexiones personales a partir de la experiencia que deja la
realización de este documento.
Respecto al objetivo de identificar los elementos conceptuales y procedimentales
necesarios que exige la lectura comprensiva del artículo guía, así como develar la manera en que
estos se emplean, se logró en primera instancia identificar elementos que fue necesario estudiar,
tales como: a) la noción de proporcionalidad equimúltiple empleada por Euclides, la cuál, este la
empleaba en magnitudes homogéneas (de la misma naturaleza); b) la necesidad de Galileo
reemplazar lo que consideraba oscuridad en la noción euclidiana de proporcionalidad
equimúltiple por no poder aplicarla eficazmente al mundo de las magnitudes físicas, por lo que se
vio motivado a desarrollar una noción de proporcionalidad aplicable al mundo de las cantidades
físicas, centrándose en su postulado sobre sistemas de balanzas semejantes con disposiciones
semejantes de pesos iguales en equilibrio; c) las definiciones y algunos postulados de los libros 5
y 6 de Elementos para dar cuenta de la visión euclidiana respecto a semejanza de figuras planas;
d) Parte de la teoría Arquimediana sobre semejanza en la distribución centros de gravedad en
figuras planas y en sistemas de balanzas. Estas teorías junto con otras como las del problema del
disco móvil, o el problema del plano inclinado de Pappus, permitieron en segunda instancia
enlazar las nociones expuestas en el estudio, con la propuesta de Galileo de proporcionalidad en
el mundo de las cantidades físicas. De manera análoga ocurrió con la teoría cognitiva abordada
90
como la de la modularidad de la mente de Jerry Fodor, que contribuyó en el entendimiento del
proceder cognitivo de Galileo y el uso de modelos mentales para presentar situaciones de
modelación matemática que para él (Galileo) eran evidentes e irrefutables, lo que por otro lado
lleva a considerar, que los sistemas subyacentes a la fijación de creencias, pueden jugar un papel
importante en el desarrollo de teorías científicas, en algunos casos nublando la perspectiva del
científico y en otros, impulsándolo a defender su postura a partir de argumentos que pueden o no
ser válidos. Con esto, puedo afirmar que se logró eficazmente identificar los elementos de estudio
pertinentes para comprender el texto de Palmieri.
En cuanto al objetivo referente a establecer en qué medida el estudio de un documento de
Historia de las Matemáticas enriquece, más allá de la erudición, al futuro docente de
Matemáticas, en el capítulo 3 del presente trabajo, queda evidenciado que conocer Historia de las
Matemáticas me aportó artefactos que potencialmente se podrán convertir en herramientas en el
momento de aplicarlos a situaciones de enseñanza, por ejemplo al dotar de un contexto a los
estudiantes, exponiendo parte de la vida y obra de distintos personajes históricos que han
aportado e influenciado en el desarrollo y evolución de la humanidad y su pensamiento, y
también, aportando un factor humanizante a las matemáticas y motivando a los estudiantes a
trabajar en sus propias ideas. Por otro lado, he adquirido artefactos relacionados con la ciencia
cognitiva que me posibilitarán reorientar situaciones de clase al permitirme “descentrar” mi
pensamiento para intentar ponerme en la situación del estudiante y, tratar de comprender su
razonamiento, de manera tal que podré no solo guiarlo a un conocimiento deseado, sino también,
91
darle un impulso para que desarrolle sus propias ideas, estimulando la producción propia de su
conocimiento.
Por otro lado, esta actividad amplió mi visión sobre las matemáticas, por lo que ahora las
valoro como una ciencia vinculada a otras ciencias y otras áreas del conocimiento, situación que
puntualmente observo en el caso de Galileo y su matematización física temprana, en donde a
partir del uso de objetos geométricos, y atribuyéndole propiedades de esos objetos a magnitudes
de carácter natural, intentó explicar fenómenos relacionados con el centro de gravedad de cuerpos
y el movimiento de estos; en cuanto a visión de la actividad matemática, ahora valoro de manera
más profunda las condiciones y entornos que han propiciado la producción de conocimiento
matemático, vinculados a necesidades del ser humano, ya sean de carácter puramente intelectual
(como el deseo de Galileo de encontrar explicación a fenómenos físicos vinculados al
movimiento de cuerpos), o como factor resolutivo a problemas (como el caso de Arquímedes y la
ley del empuje o principio de Arquímedes); así mismo, en cuanto a la visión del conocimiento
matemático, reconozco y el valor epistemológico que tiene el estudio de la Historia de las
Matemáticas, ya que, por ejemplo para el caso de Galileo y su matematización física temprana,
soy consciente de la complejidad y valor de la teoría matemática usada por Galileo para efecto de
demostrar sus proposiciones, y la evolución de su proceder y pensar científico a partir del
intercambio de ideas con sus colegas, lo que le permitió obtener resultados favorables para su
producción académica; además, la visión sobre los objetos matemáticos, me conciencia respecto
a la interdisciplinariedad de las matemáticas con otras ciencias y el vínculo entre estas, como en
el caso de la relación entre los objetos geométricos con magnitudes físicas, y me incentiva a tratar
92
de identificar situaciones análogas para conceptos de otras ciencias; por otro lado, la actividad me
dotó de insumos para el aula, de los cuales he mencionado algunos en el párrafo anterior y,
amplió mis competencias personales de lectura, escritura, escucha y habla.
Por otro lado, en lo referente objetivo sobre comprender el texto de Palmieri a partir del
análisis profundo de los conceptos y consideraciones planteadas por el autor, es de considerar
que, aunque no se abordó en su totalidad el estudio minucioso de la teoría matemática y cognitiva
mencionada en el documento, ya que esta es demasiado extensa (hay autores que dedican su vida
entera a estudiar el libro Elementos), si se abordó la teoría necesaria para comprender el artículo
de manera tal que se logró producir un escrito explicativo de autoría propia. De acuerdo con el
primer párrafo del presente apartado, se identificó teoría necesaria para comprender la idea que
Palmieri expresa en su artículo, sin embargo, fue menester escoger cuidadosamente la teoría
puntual a estudiar, dado que, de estudiar a profundidad toda la teoría inmersa en el documento de
Palmieri, como ya se ha mencionado, podría tomar toda una vida; luego de aclarar esto, debo
decir que, logré elaborar un texto explicativo propio que contiene la esencia de la postura de
Palmieri, en donde a grandes rasgos describo los apartados del artículo guía manteniendo la
esencia de la idea de Palmieri para cada uno, de manera tal que el lector puede seguir la
construcción de los argumentos del autor, desde la teoría de los modelos mentales e historia
cognitiva, pasando por el análisis cognitivo del razonamiento de Galileo, y las consideraciones
finales de Palmieri en donde concluye que los sistemas no simbólicos de razonamiento
vinculados a procesos de visualización, parecen funcionar cognitivamente más profundo que los
93
sistemas proposicionales, e invita a trabajar interdisciplinarmente a académicos en historia y
filosofía de la ciencia, así como a científicos y filósofos de las ciencias cognitivas.
En sí, esta actividad fue enriquecedora, no solo desde la perspectiva intelectual histórica,
sino que también enriqueció el vocabulario tanto técnico-científico-matemático como literario,
por otro lado, me ha dotado de artefactos y potenciales herramientas para mi labor docente futura
y potenciaron la mi formación docente en el sentido explicado y desarrollado en el capítulo 3, así
como en párrafos anteriores del presente apartado de conclusiones. En general, considero que se
logró analizar apropiadamente la utilidad y pertinencia de realizar la lectura comprensiva de un
documento histórico-matemático a partir del contraste con las categorías propuestas por
Guacaneme (2016) a favor del saber, el hacer y el ser de un futuro profesor de matemáticas.
Luego de culminada la labor realizada con el presente trabajo, me satisface las distintas
situaciones de esfuerzo que obligó el desarrollo del mismo: las noches en vela, el trabajar con una
lesión que dificultaba el movimiento en uno de mis brazos durante varios meses, la frustración al
no dominar el inglés para una óptima traducción inicial del documento, lo que me motivó a dar lo
mejor de mí mismo para obtener una traducción técnica, elegante y fluida al español, o al no
entender algún aspecto de la teoría a estudiar por lo que debía realizar incontables relecturas de
apartados del documento y teorías vinculadas al artículo guía, con lo que propusimos realizar un
resumen que inicialmente fue casi una transcripción literal a puño y letra de la versión digital de
la traducción, pero en la medida que fui adquiriendo comprensión y dominio de los temas
tratados en el artículo de Palmieri, adquirida a partir del estudio de la teoría matemática,
94
cognitiva y filosófica inmersa en el documento, y luego de varias versiones de resumen, logré dar
forma a un texto explicativo propio, el cual refleja mi comprensión y dominio del artículo guía.
Por otro lado, las horas dedicadas a comprender los aspectos matemáticos, filosóficos y
cognitivos inmersos de manera explícita e implícita en el documento y que en varias ocasiones
me conllevaron a aislarme de las personas que amo, ahora todas esas horas invertidas y esfuerzo
dado parecen triviales y lejanos en comparación con la satisfacción que siento por el trabajo y
producto obtenido del proyecto realizado.
Dejo como sugerencia al Departamento de Matemáticas, destinar mayor atención y
recursos a potenciar los elementos referentes al estudio de Historia de las Matemáticas en el plan
de estudios de los maestros en formación, ya que, como evidencia el presente informe y otros
realizados por distintos estudiantes formados profesionalmente en el Departamento, la HM puede
constituir una poderosa arma académica en la labor del profesor de matemáticas tanto a favor del
Conocimiento del Profesor de Matemáticas, como para su labor y su ser profesional.
95
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96
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Urbaneja, P. M. G. (2004). La historia de las matemáticas como recurso didáctico e instrumento
para enriquecer culturalmente su enseñanza. Suma, 45, 17–28.
97
Anexos
4.1 Anexo 1. Mental models in Galileo’s early mathematization of nature
Esta traducción se hace con fines académicos sin ánimo de lucro comercial para el
desarrollo del presente Trabajo de grado. Dado que no es una traducción autorizada, se sugiere no
citar esta traducción sino la fuente original.
Nota: para la traducción del presente documento usamos el término “Experimentos de
pensamiento” en lugar “Experimentos mentales” ya que junto con mi asesor el doctor
Guacaneme, determinamos que da un sentido al documento mucho más cercano a la tesis de
Palmieri.
98
Stud. Hist. Phil. Sci. 34 (2003) 229–264
www.elsevier.com/locate/shpsa
Mental models in Galileo’s early
mathematization of nature Paolo Palmieri UCL London, Department of Science and Technology Studies, Gower Street, London WC1E 6BT, UK Received 21 June 2001; received in revised form 7 May 2002
________________________________________________________________________
_
1. Introducción: la cuestión de la temprana matematización de la naturaleza de Galileo.
Para distinguir entre los seguidores matemáticos de Arquímedes, especialmente Galileo, y
los seguidores de Aristóteles de finales del siglo XVI, el punto de vista de William R. Shea,
afirmó que ha consultado Matemáticos, bajo la guía de Euclides y Arquímedes, vieron el mundo
en términos de formas geométricas que obedecen a leyes expresables matemáticamente”.9 En mi
opinión, debería aceptarse la opinión de Shea, aunque no solo fuera Euclides y Arquímedes que
escoltaron a Galileo a nuevos territorios como, por ejemplo, Dos Las nuevas ciencias, o el
discurso sobre la flotabilidad. Una imagen más compleja ha ido surgido gracias a una serie de
estudios que han examinado en detalle la aceptación de Galileo de la teoría euclidiana de
proporciones (o razonamiento proporcional) como el lenguaje de la matematización física
temprana.10
9 Shea (1972), p. 5. 10 Véase Drake (1973, 1974a, 1974b, 1987); Giusti (1986, 1992, 1993); Palladino (1991); Palmieri (2001).
Para un tratamiento general de la teoría euclidiana de proporciones me he basado en: Grattan-Guinness
(1996); Sasaki (1985); Saito (1986, 1993). Rose (1975) es la encuesta más detallada de las matemáticas italianas del
Renacimiento. Desde un punto de vista no técnico. Ver también Sylla (1984), pp. 11-43.
99
Hasta hora, ninguna investigación se ha dedicado a los mecanismos cognitivos
subyacentes de La matematización de la naturaleza hecha por Galileo. Este documento aborda
algunas preguntas relacionadas con este tema mediante la adopción de una perspectiva de la
historia cognitiva que se basa en la teoría de modelos mentales (sobre los modelos mentales, ver
Sección 2, Pt. I; sobre la historia cognitiva, ver Sect.2, Pt. II). además, a través de una discusión
sobre el supuesto uso de experimentos de pensamiento de Galileo El artículo sugiere cómo una
perspectiva de la historia cognitiva podría complementar enfoques historiográficos actuales,
apelando así a un público más amplio e interdisciplinario.
Las matemáticas del Renacimiento tardío que Galileo asimiló se enfocaron generalmente
en lenguaje natural. Ese tipo de matemáticas estaba en parte sujeto a las mismas reglas cognitivas
que gobiernan los lenguajes naturales. Hacer matemáticas, especialmente las euclidianas y
arquimedianas, significa construir argumentos matemáticos en la forma de pruebas verbales. Por
lo tanto, para apreciar la importancia de esa práctica hay que respetar su carácter lingüístico.
Además, el discurso matemático fue concertado con diversas construcciones visuales, como los
diagramas de Elementos de Euclides y las representaciones de balanzas y pesos de la tradición
arquimediana. Esas construcciones interactúan con la construcción lingüística de pruebas en el
proceso creativo de la producción de nuevo conocimiento matemático. La mayoría de los
estudiosos de Galileo han tendido a subestimar la importancia de estos factores, a veces debido a
la tendencia anacrónica de reescribir (o repensar inconscientemente) esa forma de las
matemáticas en simbolismos algebraicos.
100
Alrededor de los últimos treinta años, algunos estudios han abordado varias preguntas
referentes a la temprana matematización de la naturaleza hecha por Galileo.11 En particular, las
contribuciones de Winifred Wisan y Enrico Giusti, las cuales son las más relevantes para el
presente proyecto. Ambos académicos han aumentado dramáticamente nuestra conciencia de los
problemas relativos al lenguaje de la filosofía natural matemática hecha por Galileo.12 Ahora
deseo revisar brevemente los resultados de Wisan y Giusti, a fin de indicar cómo este documento
contribuirá a lo que creo que son cuestiones importantes aún no resueltas.
El documento de Wisan es a la fecha el análisis más detallado del corpus de publicaciones
y Materiales inéditos sobre la teoría de Galileo sobre del movimiento acelerado y del movimiento
de los proyectiles. Wisan tuvo en cuenta numerosas fuentes antiguas, medievales y renacentistas
en las que Galileo parece haberse basado, pero llegó a la conclusión de que el trabajo de Galileo
en el movimiento fue “novedoso en su concepción y ejecución”.13 Bajo mi punto de vista, la falla
metodológica que desestima la fuerza del enfoque de Wisan es la traducción del lenguaje
matemático de Galileo a una notación algebraica que fue bastante ajena al renacimiento tardío.
Por ejemplo, en su análisis de la prueba de Galileo en la ley de equilibrio, Wisan proporciona una
reconstrucción que tiene poco que ver con el original de Galileo, simplemente afirma que el
método de Galileo está “en la tradición euclideo-arquimediana”.14 Sin embargo, la traducción de
los argumentos matemáticos verbales a la notación simbólica conlleva inevitablemente al riesgo
11 Drake (1970, 1973, 1974b, 1987); Wisan (1974); Koyre´ (1978); Galluzzi (1979); Giusti (1986, 1992,
1993, 1994, 2001); De Gandt (1995); Machamer (1998); Remmert (1998), Di Girolamo (1999); Wallace
(2000); De Groot (2000). 12 Wisan (1974) y Giusti (1993). 13 Wisan (1974), pág. 110. 14 Wisan (1974), pág. 158.
101
de perder importantes Aspectos que están inextricablemente vinculados con el lenguaje original.
Es difícil encontrar cualquier cosa dentro de la tradición arquimediana que se parezca a cómo
Galileo en realidad remodeló el equilibrio arquimediano (una piedra angular de su estudio
temprano de Máquinas simples y estáticas). En efecto, Wisan no proporciona ninguna pista de
por qué deberíamos suponer que la prueba de Galileo pertenece a esa tradición. Sus conclusiones
dependen de los efectos históricamente borrosos inducidos por la notación algebraica.
No hay duda de que Galileo sabía algo de la tradición arquimediana, especialmente de sus
desarrollos en el renacimiento tardío, tales como el comentario de Guido Ubaldo dal Monte sobre
la obra de Arquímedes “Sobre el equilibrio de los planos”. Pero el tratamiento del equilibrio de
Arquímedes es completamente diferente al de Galileo, y nada en los comentarios de Guido
Ubaldo sugiere Cualquier influencia en Galileo. Por lo tanto, nos quedamos sin respuesta a la
pregunta de cómo Galileo matematizó el equilibrio arquimediano. además, la importancia de este
aspecto de la ciencia Galileana no puede ser negada ya que fue eventualmente publicada por
Galileo en Dos nuevas ciencias como la base misma de su “nueva ciencia” sobre la resistencia de
materiales. Como veremos, necesitamos un acercamiento cognitivo al lenguaje del razonamiento
proporcional para comprender cómo Galileo matematizó el equilibrio Arquimediano.
Desde mi punto de vista, un gran avance en nuestra comprensión del lenguaje temprano
fisicomatemático de Galileo ha sido posible gracias a la investigación de Giusti sobre la teoría
euclidiana de las proporciones tanto en galileo como en la escuela galileana. En primer lugar,
Giusti ha contribuido a aclarar el significado galileano de proporción como una relación de
semejanza entre dos razones formados por cantidades homogéneas. Desde la perspectiva de
102
Galileo, no es posible que existan razones entre cantidades heterogéneas.15 En segundo lugar,
Giusti ha mostrado que la noción de proporcionalidad de Galileo no se puede separar de la noción
de Euclides sobre proporcionalidad equimúltiple, y que el uso Galileo de la técnica de
equimúltiples está basada en la teoría de las proporciones de Euclides (más sobre esto en la
Sección 3).16 Finalmente, Giusti ha iluminado el complejo desarrollo que tuvo la teoría de la
proporción dentro de la escuela de Galileo y el proceso a través del cual otros galileanos, como
Evangelista Torricelli y Giovanni Alfonso Borelli, llegaron a asemejar las formas de pensamiento
tardío de Galileo sobre la teoría de Euclides. La investigación de Giusti nos ha permitido hacer
importantes progresos hacia la comprensión del lenguaje técnico de la matematización de Galileo
del mundo natural. Sin embargo, como veremos, Galileo procedió más allá de la teoría de las
proporciones de Euclides. Por ejemplo, tal como se explicará en relación con los teoremas
tempranos de Galileo sobre centros de gravedad, él apela a recursos cognitivos que no son
descriptibles en el lenguaje euclidiano, pero que salen a la luz desde una perspectiva cognitiva.
Un notable desacuerdo estalló entre Galileo y Christoph Clavius Sobre la legitimidad de las
construcciones visuales en pruebas matemáticas que nos permite aclarar los mecanismos
cognitivos subyacentes a la extensión del razonamiento proporcional de Galileo.
15 Giusti (1993), pp. 57ff. Wallace (2000, pp. 104-105), basa su tesis en que Galileo aplicó el método de una
regresión demostrativa de la reconstrucción de una de las pruebas De Motu de Galileo en las que cuestionablemente
asume relaciones entre pesos y velocidades. Para una visión diferente sobre las matemáticas vs. Paduan
Aristotelianism, ver Ventrice (1989), pp. 163–195. Lennox (1986, p. 51) sostiene que Aristóteles insistió sobre el uso
de las matemáticas en la óptica, mecánica, astronomía y armónicos y que “no parece haber nada en la apelación de
Galileo en su nueva ciencia para demostrar matemáticamente que Aristóteles no ha sido respaldado plenamente “. Esto
puede ser cierto en el caso de Aristóteles, el filósofo griego, pero no logra explicar por qué los aristotélicos del siglo
XVI nunca produjeron algo como el Discurso sobre la flotabilidad (ferozmente opuestos por el aristotelismo) o Dos
nuevas ciencias. 16 Giusti (1986, 1992).
103
Además, existe una pregunta aún no resuelta sobre el supuesto uso de Galileo de
experimentos de pensamiento, especialmente en sus primeros trabajos. Al concluir los estudios
galileanos. (1939), Alexandre Koyré presentó su tesis seminal con respecto al platonismo de
Galileo, retratando la matematización de la naturaleza de Galileo como la reivindicación de un
enfoque platónico al estudio del mundo natural.17 Como es bien sabido, la visión de Koyré de un
Galileo platónico tiene un correlato; un Galileo como “usuario y abusador” de experimentos de
pensamiento18 Muchos estudiosos, como es bien sabido, han seguido la tesis de Koyré sobre el
uso de experimentos de pensamiento. Argumentaré que los modelos mentales y la historia
cognitiva ofrecen un mejor marco para entender el presunto uso de la experimentación de
pensamiento de Galileo. Esto sugiere que los modelos mentales y, en general, los problemas
relacionados con el estudio de los mecanismos cognitivos deberían ser de interés para una
audiencia de académicos en historia y filosofía de la ciencia, así como a científicos y filósofos de
las ciencias cognitivas.
2. Modelos mentales e historia cognitiva.
Esta sección está dividida en dos partes. La primera parte presentará la teoría de modelos
mentales. La segunda parte discutirá lo que veo como los asuntos más polémicos relativos tanto a
la noción de modelo mental como su relación con el análisis histórico.
2.1. Parte I
17 Koyre´ (1978, 1943) 18 Koyre´ (1973), pp. 224–271
104
Quizás la mejor manera de abordar los muchos temas relacionados con la teoría de
modelos mentales es comenzar con una pregunta planteada por el científico cognitivo, Philip
Johnson-Laird, el principal defensor de los modelos mentales: “¿cuántos tipos de representación
mental hay?'19 Según Johnson-Laird, hay tres tipos de representaciones mentales: a)
representaciones proposicionales; b) imágenes mentales; c) modelos mentales. Johnson-Laird se
refiere a esta hipótesis como la hipótesis del “código triple”.20 Veamos ahora En qué se
diferencian los modelos mentales de las otras dos formas de representación mental. Acorde al
punto de vista de las representaciones proposicionales, la mente tiene “un sistema unitario de
representaciones mentales basadas en un lenguaje de pensamiento”.21 Johnson-Laird proporciona
Un ejemplo simple de cómo podrían trabajar las representaciones proposicionales. Suponga que
la siguiente descripción se presenta a los individuos:
La cuchara está a la izquierda del cuchillo.
El plato está a la derecha del cuchillo.
entonces será codificado por sus mentes en representaciones proposicionales. Tal
representación proposicional toma una forma de predicado-argumento, como:
(izquierda-de cuchara cuchillo)
(derecha-de plato cuchillo).
19 Johnson-Laird (1996), p. 90; (1983), pp. 146–166. 20 Johnson-Laird (1996), p. 92. 21 Johnson-Laird (1996), p. 93.
105
Posteriormente, los individuos podrían inferir que: la cuchara está a la izquierda del plato.
Johnson-Laird afirma que la “teoría proposicional explica esta capacidad en términos de una
lógica mental que contiene reglas formales de inferencia “.22 Es importante tener en cuenta que la
sintaxis y el léxico del lenguaje mental que se supone codifica representaciones proposicionales
son desconocidos. Si la mente usa tal sistema, entonces hará tareas deductivas correspondientes a
las de lógica formal. ¿Pero son las representaciones proposicionales y las reglas formales de
inferencia suficientes para explicar cómo la mente funciona en todas las situaciones? Los
hallazgos empíricos sugieren que no.
En un experimento, a los individuos se les presentó una descripción determinada (que es
precisamente uno que corresponde a un solo estado de eventos). Después de escuchar la
descripción, los participantes tenían que decidir si la descripción de un diagrama particular que
representa todos los objetos relevantes era verdadera o falsa. Se repitió la misma tarea,
presentando a los participantes una descripción indeterminada (es decir, una correspondiente a
más de un estado de eventos). La descripción indeterminada fue consistente tanto con el primer
diagrama como con el segundo en el que se habían distribuido los objetos de manera sutilmente
diferente. Después de clasificar las descripciones, los participantes fueron inesperadamente
invitados a ordenar ‘las cuatro versiones de la descripción a su semejanza con la descripción
real’.23 Las dos primeras versiones fueron consistentes con el diseño. Las dos segundas fueron
fallidas. Para las descripciones determinadas los participantes calificaron confiablemente las dos
22 Johnson-Laird (1996), p. 93. 23 Johnson-Laird (1996), p. 96.
106
primeras descripciones más altas que las dos segundas. Para las descripciones indeterminadas
ellos clasificaron de manera confiable la descripción real más alta que la consistente con el
diseño, pero teniendo un significado diferente. Según Johnson-Laird, una interpretación plausible
de estos sorprendentes hallazgos son los siguientes: cuando se enfrentaron con determinadas
descripciones los participantes intentaron construir una imagen o más del Modelo abstracto de la
situación. Pero cuando fueron confrontados con las descripciones indeterminadas ellos
abandonaron la estrategia anterior y trataron de aferrarse a las representaciones proposicionales.
¿Por qué? Porque las imágenes o modelos llevan a una buena memoria para el diseño, pero a una
mala memoria para los detalles textuales. Lo contrario es cierto para las representaciones
proposicionales.24
En resumen, según Johnson-Laird, estos resultados sugieren fuertemente una
“disociación” entre dos tipos de representación, es decir, una preferencia por modelos o Imágenes
para descripciones espacialmente determinadas, y una preferencia por representaciones
proposicionales para descripciones espacialmente indeterminadas ».25
Hasta ahora se ha establecido una distinción entre representaciones proposicionales e
imágenes mentales (o más modelos abstractos).26 Pero ¿hay una diferencia real entre imágenes
mentales y modelos mentales? Según los teóricos de los modelos mentales, los hay.
24 Van der Henst (1999) explora factores pragmáticos que podrían iluminar aún más cómo las
indeterminaciones Afectan el razonamiento deductivo. 25 Johnson-Laird (1996), p. 97. 26 Bonatti (1994a, b) presenta una crítica interesante de la teoría del modelo mental y sugiere que hasta ahora
no hay evidencia convincente para abandonar la hipótesis de una lógica mental basada en reglas de inferencia.
107
En primer lugar, una imagen mental simplemente representa los “aspectos perceptibles de
una situación desde el punto de vista de un observador.27 Por otro lado, ‘un modelo mental
representa individuos por fichas mentales; Representa las propiedades entre los individuos por la
relación con esas fichas y representa las relaciones entre individuos con las relaciones entre estas
fichas'.28 Por lo tanto, el “modelo mental más simple tiene una estructura analógica que
corresponde a la estructura de la situación que representa… como diagramas, estos modelos
simples son isomorfos, o al menos homomorfos, aquello que representan.29 Lo que es interesante
para nuestros propósitos actuales es que los modelos mentales realmente parecen constituir un
tercer tipo de representación mental distinta de imágenes mentales. Los últimos comparten con
los anteriores la estructura analógica con los estados de eventos. Las imágenes y los modelos
mentales son isomorfos con los estados de cosas que ellos representan. Pero los modelos
mentales pueden incorporar elementos abstractos que por definición escapan a la
“imagenhabilidad” (habilidad de crear imágenes).30 En resumen, es importante darse cuenta de
que los modelos mentales son construcciones cognitivas completamente generales, no limitadas a
27 Johnson-Laird (1996), p. 93. 28 Johnson-Laird (1996), p. 102 29 Johnson-Laird (1996), p. 102. Según Johnson-Laird y Byrne (2000), “los modelos mentales son
representaciones en la mente de situaciones reales o imaginarias. Los científicos a veces usan el término “modelo
mental “como sinónimo de” representación mental “, pero tiene un referente más estrecho en el caso de la teoría de
pensamiento y razonamiento “. Vale la pena señalar que la teoría del modelo mental tiene una base empírica fuerte y
muchas ramificaciones en las ciencias cognitivas. Una extensa lista bibliográfica que recoge datos muy recientes. El
trabajo sobre modelos mentales se encuentra en Johnson-Laird y Byrne (2000). 30 Algunos hallazgos sugieren que la negación, por ejemplo, puede ser uno de estos elementos abstractos.
Experimentos llevado a cabo con el cuantificador “solo” mostró que los modelos mentales pueden representar
negación, lo cual es obviamente una relación abstracta (Johnson-Laird, 1996, pp. 114-120). Otros aspectos relativos a
los mecanismos de pensamiento han sido estudiadas en el marco de la teoría de los modelos mentales. Una teoría de
la deducción fue presentada por Johnson-Laird y Byrne (1991) hace una década. (Véase también Johnson-Laird, 1996,
pp. 102-111.) Más recientemente una cuenta del significado de NAI¨ve la causalidad ha sido propuesta totalmente
dentro del marco conceptual de los modelos mentales (Goldvarg &Amp; Johnson-Laird, 2001).
108
tareas de razonamiento, tales como Razonamiento silogístico. Pueden ser tridimensionales,
cinemáticos y dinámicos. . . Los [modelos] pueden incorporar clases de situaciones de una
manera parsimoniosa. Por lo tanto, pueden representar cualquier situación, y las operaciones en
ellos pueden ser puramente conceptuales.31 existe ahora un creciente cuerpo de investigación que
sugiere que muchas formas de razonamiento espacial en los humanos están en gran medida
basados en modelos.32 Aunque las imágenes mentales pueden ser manipuladas mentalmente (por
ejemplo, rotadas), no pueden capturar clases de situaciones.33
En definitiva, según la teoría de los modelos mentales, se pueden distinguir tres tipos de
representaciones mentales: 1) representaciones proposicionales; 2) imágenes mentales; y 3)
modelos mentales. Cada uno de ellos parecen ser usados por humanos bajo diferentes
circunstancias. Las representaciones proposicionales funcionan de acuerdo con las reglas lógicas
de inferencia. La característica más interesante tanto de las imágenes mentales como de los
modelos mentales es su isomorfismo con los estados de eventos que estos representan. Pero los
modelos mentales son capaces de codificar elementos abstractos que, por definición, escapan a la
imagenhabilidad. Además, Los modelos mentales pueden representar clases enteras de
situaciones y ser tanto cinemáticos como dinámicos.
31 Johnson-Laird (1996), p. 124. 32 En particular, ver Glasgow y Malton (1999), quienes desarrollan una semántica formal para el razonamiento
espacial basada en la teoría de los modelos mentales de Johnson-Laird. 33 Richardson (1999), pp. 41ff.
109
2.2. Parte II
En mi opinión, tres problemas metodológicos enfrentan al historiador que ha adoptado un
marco cognitivo. El primer problema se refiere a la noción de representación mental en general.
Es una cuestión de la filosofía de las ciencias cognitivas. El segundo Se refiere al conexionismo y
la teoría general de la cognición. El tercero y más urgente es la aplicabilidad de la ciencia
cognitiva a la historia de la ciencia. En esta segunda parte de la Sección, los dos primeros
problemas solo serán discutidos en la medida en que se apoyan en el tercero, que puede ser
articulado de la siguiente manera. ¿Hasta qué punto los constructos son estudiados por la ciencia
cognitiva de hoy, tales como modelos mentales, mecanismos cognitivos metahistóricos? En otras
palabras, ¿en qué medida aquellos constructos definen las características cognitivas de los
humanos modernos (suponga provisionalmente que moderno significa los últimos cinco o seis
milenios)? Tratemos de responder estas preguntas.
Se ha acumulado una literatura compleja sobre lo que Robert Cummins denomina El
problema de la representación mental, es decir, el problema de la función explicativa asignado a
la noción de representación mental por la ciencia cognitiva empírica. 34 yo, por lo tanto, tendré
que ser extremadamente selectivo y enuclear los asuntos más importantes desde la perspectiva de
un historiador.
Como vimos en la Parte I, aquello que es una representación mental y cómo funciona en
la cognición humana sigue siendo una cuestión empíricamente abierta.35 Sin embargo, de acuerdo
34 Cummins (1991), pp. 1–2. 35 Cummins (1991), p. 1, and, en general, Richardson (1999).
110
con Cummins, la noción de representación mental per se no se puede disociar del marco
conceptual más amplio de una teoría de la cognición. Desde la perspectiva de Cummins es que, si
asumimos una teoría computacional de la cognición, es decir, una según la cual “La cognición
está disciplinada por la manipulación de símbolos”, entonces debemos comprometernos con una
noción ahistórica de la representación mental.36 A primera vista esto parece ir en contra de
muchas investigaciones en la historia y la filosofía de la ciencia, que ha insistido en la
historicidad y acotación cultural del desarrollo científico. En el contexto de la teoría
computacional de la cognición, sin embargo, “ahistórica” tiene una gran connotación técnica.
Significa que los estados computacionalmente equivalentes son representacionalmente
equivalentes, independientemente de la historia del sistema cognitivo que muestra esos estados.
En otras palabras, la capacidad de un sistema cognitivo para calcular, es decir, su capacidad para
representar y conocer depende solo de su estado actual, no de la historia que condujo a ese estado
particular.37
En mi opinión, los historiadores no deben preocuparse por esta noción técnica de
ahistoricidad, que se relaciona con tales mecanismos cognitivos básicos como los modelos
36 Cummins (1991), pág. 13, págs. 80 y ss. Para demostrar este punto, Cummins propone un experimento
mental en el que una maquina hace duplicación de un ser humano copiando molécula por molécula. Entonces él
sostiene que la copia físicamente equivalente preserva la identidad cognitiva del original, pero, naturalmente, no puede
compartir su historia. De ahí la necesidad de un compromiso y de una noción ahistórica de representación mental. 37 Un ejemplo familiar de la mecánica clásica ayudará a comprender esta connotación técnica. Supongamos
que tienes una ecuación diferencial que describe el movimiento de una partícula en un universo newtoniano. En el
momento t y la posición p, el movimiento futuro de la partícula se determinará solo por su estado actual en (p, t); es
decir, su posición y velocidad, más las fuerzas que actúan sobre ella en (p, t). El movimiento futuro de la partícula no
lo hace, depende de su historial, es decir, de su movimiento desde el instante inicial hasta el tiempo t.
111
mentales38. Las habilidades cognitivas por sí solas no explican la historia intelectual.
Necesitamos análisis histórico para desarrollar mecanismos cognitivos metahistóricos con un
contenido históricamente significativo. Este último solo puede provenir de marcos de
conocimiento culturalmente acotados y la rica diversidad de las culturas históricas39.
Yo diría que la ciencia cognitiva y la historia de la ciencia tienen mucho que beneficiarse
de la colaboración interdisciplinaria. Mientras que la ciencia cognitiva empírica no puede
reproducir entornos históricos en un laboratorio, los modelos que tiene para ofrecer pueden ser
aplicados a la historia, siempre que los historiadores puedan historizar esos modelos. Reviel
Netz ha usado recientemente la expresión “historia cognitiva” para referirse a la posibilidad de
describir aquellos mecanismos cognitivos que solo existen 'históricamente, en contextos
específicos.40 Sin embargo, sobre la base de la concepción modular de la mente de Jerry Fodor,
Netz ha atacado una nota pesimista que proclama que la ciencia cognitiva no puede tener acceso
a mecanismos profundos, tales como la fijación de la creencia, que en última instancia, explicaría
el proceso histórico41. No soy un científico cognitivo, pero no comparto el pesimismo de Netz. La
ciencia cognitiva, como toda ciencia, evoluciona, y no veo en su estado actual algo que sugiera
38 Recientemente, Turner (2001) ha aprovechado el mecanismo cognitivo básico conocido como “mezcla de
espacios conceptuales', o integración conceptual, a fin de proporcionar un marco para un nuevo enfoque cognitivo de
la ciencia social. En vista de Turner, la ciencia social está preocupado con el estudio de los seres humanos modernos
cognitivamente, donde 'moderna' significa casi los últimos cincuenta mil años. (Turner, 2001, pág. 4). 39 Se han sugerido diferentes formas de representación mental basados en la teoría evolutiva que no tienen
una noción ahistórica de representación mental como consecuencia directa. Sin embargo, en mi opinión, las diferencias
son irrelevantes porque, en cualquier caso, la escala de tiempo involucrada en los procesos evolutivos representa los
mecanismos cognitivos en los que estamos interesados, las estructuras cognitivas eventualmente estabilizadas de hecho
metahistórico. Ver Millikan (1984, 1993, 2001). 40 Netz (1999), pág. 6. 41 Fodor (1983); Netz (1999), pág. 6.
112
que no será capaz de abordar incluso tales procesos profundos y aún misteriosos como la fijación
de creencias. Igualmente optimista, yo creo que el estudio histórico de la ciencia tiene mucho que
aportar a la ciencia cognitiva, precisamente en la forma de la historia cognitiva de Netz.
Ahora deseo confrontar el desafío que viene del paradigma conexionista en Ciencia
cognitiva. Robert Cummins ha proporcionado un análisis exhaustivo de esta pregunta, que
seguiré antes de hacer explícitas varias conclusiones relevantes al proyecto de este documento.42
En general, dentro del marco de la teoría computacional de la cognición, una capacidad
cognitiva, como la de construir modelos mentales, o la de jugar ajedrez, es una “función cuyos
argumentos y valores están epistemológicamente relacionados”.43 Por lo tanto, por ejemplo, la
capacidad para jugar ajedrez es una capacidad cognitiva. Un programa de ajedrez crea una
instancia de una función cognitiva que media entre los argumentos y los valores. En general, sin
embargo, las capacidades o funciones cognitivas son muy difíciles de especificar.44 El
conexionismo puede en principio, superar el problema de especificación, porque “es posible
“entrenar” una red para tener una capacidad cognitiva sin tener ni siquiera el Inicio de un análisis
de la misma. . . “. 45 Esto implicaría que la definición de la capacidad cognitiva como función de
inferencia es incompatible con el conexionismo. Para nuestros propósitos actuales, la forma más
interesante que toma el desafío conexionista es la tesis de la inconmensurabilidad (nótese que
42 Cummins (1995). 43 Relacionado epistemológicamente significa que los argumentos y valores deben ser especificables en
términos inferenciales del Proceso de razonamiento simbólico (Cummins, 1995, p. 106). 44 Cummins (1995), pp. 106-107. 45 Es difícil especificar en qué consiste, por ejemplo, la capacidad de planificar una fiesta con amigos.
(Cummins, 1995, p. 107).
113
esto no tiene nada que ver con la inconmensurabilidad Kuhniana).46 Ella argumenta que “cuando
un sistema conexionista satisface una función cognitiva, calcula sobre representaciones que no
tienen interpretación en el dominio en el cual la capacidad cognitiva en mira se especifica.47
Cummins sugiere el siguiente contraargumento a la tesis de inconmensurabilidad.
No necesitamos rechazar la noción de función cognitiva siempre que ampliemos su
significado para incorporar funciones cognitivas representacionales no simbólicas, es decir,
Funciones que toman argumentos no simbólicos en valores no simbólicos. Cummins ejemplifica
su punto de vista precisamente con el esquema de razonamiento de Galileo basado en la
Representación de la velocidad, la distancia y el tiempo, mediante entidades geométricas
simples.48 De hecho, según Cummins, el esquema galileano podría aplicarse a cualquier conjunto
de magnitudes que satisfacen las relaciones geométricas entre las entidades geométricas
asociadas por Galileo a las cantidades físicas.
Tal esquema, concluye Cummins, obviamente puede usarse para razonar
geométricamente.49 En este sentido, Cummins propuso la teoría de la imagen de la representación
46 Se denomina argumento de inconmensurabilidad porque se basa en la idea de que “los sistemas de
representación conexionista son inconmesurables (normalmente con los sistemas simbólicos) que debe usarse para
especificar funciones cognitivas” (Cummins, 1995, pág. 110). 47 Cummins (1995), pág. 108. Recordemos que un modelo conexionista se basa en una distribución
Arquitectura cuya estructura de red está dada por nodos y rutas de activación intermedias entre un nivel
generalmente llamado nivel de entrada y un nivel generalmente llamado nivel de salida. En este caso, la
función cognitiva satisfecao por una red conexionista que ha aprendido que tiene sus argumentos y valores especificos
en una forma no simbólica, lo que equivale crudamente a decir que no puede especificar cuáles son las representaciones
simbólicas en el nivel de entrada, cuáles son en el nivel de salida, para explicar qué deducción se ha realizado entre
esas representaciones. 48 Cummins (1995), pp. 112-113. Si bien el análisis de Cummins puede ser históricamente inexacto, no
obstante, da una buena idea, como veremos, de las funciones cognitivas no simbólicas que Galileo usó en sus
matematizaciones tempranas, a saber, modelos mentales. 49 Cummins (1995), pág. 112.
114
mental, según la cual una representación mental es una relación entre dos estructuras isomorfas.50
En palabras de Cummins, la idea básica es que “representar algo es tener su estructura”.51 Para
concluir, argumentaría que podemos generalizar el punto de vista de Cummins en las siguientes
funciones cognitivas. Un modelo mental es una función cognitiva representacional no simbólica
que relaciona dos estructuras isomorfas. Toma argumentos no simbólicos con valores no
simbólicos. Brevemente:
MODELO MENTAL: (argumento no simbólico) → (valor no simbólico).
3. La dimensión visual del razonamiento proporcional de Galileo.
Alrededor de 1588, el joven Galileo circuló un manuscrito que contenía una serie de
teoremas sobre los centros de gravedad.52 Estos teoremas fueron su principal esperanza de
establecer su reputación como matemático obtener una cátedra universitaria. El 8 de enero 1588,
Galileo le escribió a Christoph Clavius en Roma preguntándole su opinión acerca de algunas
dificultades con respecto a sus nuevos teoremas. Galileo le dijo a Clavius que algunas personas
en Florencia ya habían examinado sus teoremas, pero no estaba convencido de que su camino de
proceder fuese este. Más precisamente, lo que Galileo estaba ansioso por saber era si la prueba de
la proposición que sustenta todos los teoremas posteriores fuese capaz “de acallar por completo el
intelecto de Clavius”.53 Se produjo un intercambio de cartas que revela cuán profunda fue la
50 Cummins (1996), especialmente pp. 85-111. 51 Cummins (1996), pág. 93. 52 Los teoremas sobre los centros de gravedad fueron finalmente publicados por Galileo en Dos nuevas
ciencias. (Galilei, 1974, pp. 261–280; 1890–1909, I, pp. 187ff). 53 ‘. . . desidero saper da lei se interly gli quieta l’intelletto ’(Galilei, 1890–1909), X, pp. 22–23).
Desafortunadamente, muy pocas cartas de la correspondencia de Galileo de este período sobreviven. Otros
115
diferencia entre las actitudes de Galileo y Clavius hacia procedimientos matemáticos. Pero antes
de analizar en detalle la discusión entre Clavius y Galileo en la siguiente sección, debemos pasar
a la suposición fundamental qué Constituye la base de los primeros teoremas de Galileo sobre los
centros de gravedad.
Galileo publicó el siguiente postulado:
Suponemos que, de pesos iguales dispuestos de manera semejante en balanzas diferentes,
si el centro de gravedad de un compuesto [de pesos] divide su equilibrio en una cierta razón,
luego el centro de gravedad del otro compuesto también divide su equilibrio en la misma razón.54
El postulado expresa una proporcionalidad que se refiere a un modelo mental; podemos
llamarlo el modelo de equilibrio semejante. Ahora procedo a mostrar cómo podemos reconstruir
el modelo mental.
Hay dos puntos planteados por el postulado de Galileo que son relevantes para nuestro
propósito. En primer lugar, ¿en qué sentido habla Galileo de la “semejanza” de los arreglos de
pesos en diferentes balanzas? En segundo lugar, ¿cuál es el significado de la frase “estar en la
misma razón” refiriéndose a las longitudes de las partes de las balanzas divididas por sus centros
de gravedad? La mejor manera de responder estas preguntas es comenzar con un ejemplo. Vamos
matemáticos quienes participaron en el debate fueron el marqués Guido Ubaldo del Monte (que más tarde jugó un
papel fundamental en la obtención de las publicaciones de Galileo en Pisa y en Padua) y Michael Coignet de Amberes.
Ninguno de ellos comentó la primera proposición de Galileo (al menos en los documentos sobrevivientes). Ver Galilei
(1890–1909), X, pp. 22ss. En ese momento, Guido Ubaldo debe haber estado muy interesado en el trabajo de Galileo
sobre los centros de gravedad desde el Marqués estaba a punto de publicar su propia edición y comentario sobre,
Arquímedes acerca el equilibrio del avión. (Ver Del Monte, 1589.) 54 Galilei (1974), p. 261. Di Girolamo (1999) discute la influencia de arquimedianos en el trabajo de Galileo
sobre los centros de gravedad, pero tampoco se preocupa por la cuestión de la noción de proporcionalidad
El enfoque de Galileo subyacente o con el desacuerdo Galileo-Clavius.
116
a referirnos a la Fig. 1 y consideremos, por ejemplo, tres balanzas I, II, III, en las cuales cuatro
pesos que cuelgan de hilos están dispuestos en disposiciones “semejantes” (de las cuales, más en
un momento). Sean 𝑨, 𝑩, 𝑨′, 𝑩′ y 𝑨′′, 𝑩′′ los brazos de las tres balanzas Y que sus centros de
gravedad estén representados por el símbolo de estrella Deje W1,W2, W3, W4 son los cuatro
pesos, y 𝑫𝟏𝟐𝑰, 𝑫𝟐𝟑𝑰, 𝑫𝟑𝟒𝑰, 𝑫𝟏𝟐𝑰𝑰, 𝑫𝟐𝟑𝑰𝑰, 𝑫𝟑𝟒𝑰𝑰, 𝑫𝟏𝟐𝑰𝑰𝑰, 𝑫𝟐𝟑𝑰𝑰𝑰, 𝑫𝟑𝟒𝑰𝑰𝑰 serán las distancias
de los pesos W1, W2, W3, W4 entre sí, en las balanzas I, II, III. Según el postulado de Galileo:
si en balanzas I, II, III,
como 𝐷12𝐼 es a 𝐷12𝐼𝐼 así que 𝐷23𝐼 es a 𝐷23𝐼𝐼 ,
como 𝐷12𝐼𝐼 es a 𝐷12𝐼𝐼𝐼 así que 𝐷23𝐼𝐼 es a 𝐷23𝐼𝐼𝐼,
como 𝐷23𝐼 es a 𝐷23𝐼𝐼 así que 𝐷34𝐼 es a 𝐷34𝐼𝐼,
etc.,
entonces como A es a B, entonces A 'es a B' y A '' a B ''. Ahora surge la pregunta de si
hemos interpretado correctamente la idea de Galileo acerca de la noción de disposiciones de
pesos. En las balanzas que se muestran en la Fig. 1, las distancias de los pesos entre sí están en la
misma razón. En otras palabras, hemos asignado a la noción de Galileo de la “semejanza” de las
disposiciones de pesos un significado proporcional es decir, la condición de que como 𝐷12𝐼 es a
𝐷23𝐼 entonces 𝐷12𝐼𝐼 es a 𝐷23𝐼𝐼, 𝐷12𝐼𝐼𝐼 es a 𝐷23𝐼𝐼𝐼, etc. Como veremos en la siguiente sección,
esta interpretación está confirmada por el propio uso que hizo Galileo del postulado en la
demostración de su primera proposición en los centros de gravedad. El significado proporcional
117
es definido por la así llamada técnica de equimúltiplos expuesta por Euclides en el Quinto Libro
de Elementos.55
55 Vea, por ejemplo, la interpretación de Clavius de la definición de Euclides de la igualdad de proporciones:
“Se dice que las magnitudes están en la misma proporción, la primera a la segunda, y la tercera a la cuarta,
cuando los equimúltiplos del primero y del tercero, ambos iguales, iguales superan, o no llegan a superar a los
equimúltiplos del segundo y el cuarto, cualquiera que sea esta multiplicación, esos equimultiplos se consideran que se
corresponden entre sí. [En la misma magnitud se dice que son la primera a la segunda, y la tercera a la cuarta. Con la
primera y tercera múltiplos arbitrarios a la segunda y la cuarta. Si múltiplos iguales de lo que sea, puede ser la
multiplicación de estas cosas, que son a la vez de la que cada una inició, o están a la misma altura, han de ser iguales,
puede ser una, o puede ser una que supere; Si, se toman correspondientes entre sí] (Clavius, 1999, p. 209, mi
traducción). Clavius (1999) es una edición facsímil del primer volumen de Clavius (1611-1612).
En la teoría euclidiana de las proporciones, Galileo dependió del análisis de los comentaristas latinos de
finales del renacimiento (y posiblemente, según Giusti (1993), sobre Niccolo` Tartaglia y Federico Commandino´s
Ediciones italianas de Euclides), probablemente a través del vasto comentario de Clavius sobre Elementos, como he
sugerido en Palmieri (2001). De Groot (2000, p. 647), evalúa negativamente la reconstrucción de Giusti del
razonamiento proporcional de Galileo, pero simplemente critica a Giusti (1992, un breve artículo presentado en un
Coloquio), ignorando el tratamiento mucho más articulado en Giusti (1986, 1993), y la Introducción de Giusti a Galilei
(1990), especialmente pp. xxixff. ¿Los elementos Eudoxianos de razonamiento proporcional que De Groot encuentra
en el texto griego de las preguntas mecánicas pseudo-aristotélicas ha sido accesible para Galileo? Acerbi (2000, p. 20)
sugiere que una forma posible para Galileo de acceder indirectamente a fuentes griegas fue Jacopo Mazzoni, profesor
y más tarde colega suyo en Pisa. Pero la técnica de Mazzoni en conocimiento de las matemáticas difícilmente le habría
permitido detectar influencias eudoxianas en el griego. texto de las preguntas mecánicas (Purnell, 1972; Schmitt,
1972). La pregunta parece destinada a permanecer abierta hasta que descubramos evidencia adicional sobre la
capacidad de Galileo para leer matemáticas griegas en su idioma original. Sin embargo, De Groot ha basado su análisis
de las preguntas mecánicas en Apelt. (1888), ahora superado por Aristóteles (1982), perdiendo de vista el contexto
más rico de los comentarios latinos. Sobre las preguntas mecánicas que Galileo habría leído.
118
La fig. 1. El modelo de balanzas semejantes. Disposiciones semejantes de igual
peso W1, W2, W3, W4 en tres diferentes balanzas I, II, III.
Es importante tener en cuenta que Galileo creía que la proporcionalidad equimúltiple fue
una noción completamente oscura. De hecho, en 1641, él dictó a Evangelista Torricelli un
pequeño tramo en el que propuso reemplazar la proporcionalidad equimúltiple con una nueva
definición.56 La extensión de Galileo de la noción de semejanzas con diversas disposiciones de
pesos en diferentes balanzas puede haber sido sugerido por la teoría de la semejanza de figuras
planas de Euclides y por la aplicación de Arquímedes de esta teoría al estudio de los centros de
gravedad sobre el equilibrio de los planos. La preferencia de Galileo para el razonamiento basado
en modelos lo llevó a revertir la teoría euclideo-arquimediana, como las siguientes
consideraciones deberían dejar en claro.
La teoría de la semejanza de figuras planas es desarrollada por Euclides en el Sexto Libro
de Elementos.57 En el caso, por ejemplo, de dos triángulos, si los ángulos del primer triángulo son
ordenados iguales a los ángulos del segundo y los lados alrededor de ellos son Proporcionales,
entonces se dice que los triángulos son semejantes. Uno de los postulados de Arquímedes en
56 Giusti (1993). Palmieri (2001) se centra en la compleja relación entre Galileo y Clavius. Análisis de
proporcionalidad equimultiples. El análisis de Clavius se publicó en su edición de Euclides (Clavius, 1999, pp. 212ff). 57 Véase, por ejemplo, Clavius (1999), pp. 242–304. Cf. La siguiente definición: “Figuras rectilíneas
semejantes. son aquellas que tienen ángulos iguales entre sí y cuyos lados de ángulos iguales son proporcionales
“[símiles figurae rectilineae sunt, quae et angulos singulos singulis aequales habent, atque etiam latera, Quae circum
angulos aequales, proporcional] (Clavius, 1999, p. 242; véase también la traducción ligeramente diferente sobre
Euclides de Heath, 1956, II, p. 188).
119
sobre el equilibrio de los planos indica que figuras planas semejantes tienen sus centros de
gravedad “ubicados de manera semejante” (ver Fig. 2).58
Arquímedes no invoca proporcionalidad en la definición de puntos que son ‘colocados de
forma semejante’, posiblemente porque solo le preocupan las figuras planas. Él define puntos
‘colocados de manera semejante’ en figuras semejantes considerando ángulos.59 Galileo, por lo
tanto, no pudo extender directamente la definición de Arquímedes de puntos “colocados de
manera semejante” Al caso de configuraciones semejantes de pesos sobre balanzas (representadas
geométricamente por líneas rectas). Tuvo que proceder generalizando la noción de Arquímedes.
Los brazos de las balanzas con pesos dispuestos de manera semejante podrían ser pensados como
divididos en segmentos proporcionales por los pesos. Ahora elaboremos esta explicación.
Triángulos semejantes (y, más generalmente, figuras planas semejantes) muestran su
semejanza en un sentido fuertemente visual. El mismo tipo de semejanza visual es evidentemente
discernible en las disposiciones semejantes de pesos sobre las tres diferentes balanzas de la Fig.
1. ¿Se puede conceptualizar esta semejanza visual de balanzas en términos de proporcionalidad?
La Proposición 4 de Euclides, Libro VI, prueba que los lados de los triángulos equiangulares son
de hecho proporcionales y por lo tanto los triángulos equiangulares son semejantes.
58 Postulado de Arquímedes en Archimedis planorum aequeponderantium inventa, vel centra gravitatis
planorum en Arquímedes (1544), p. 125. Esta edición de Arquímedes estaba en la biblioteca personal de Galileo.
(Favaro, 1886, p. 264). Los postiles de Galileo a De Sphaera et Cylindro de Arquímedes han sido publicados en Galilei
(1890–1909), I, pp. 233–242. 59 Según la definición de Arquímedes, los puntos colocados de manera semejante en figuras semejantes son
tales que Las líneas dibujadas desde ellos en ángulos iguales hacia los lados correspondientes forman ángulos iguales
[con los correspondientes lados] (Arquímedes, 1544, p. 125. Ver Fig. 2).
120
Fig. 2. Triángulos semejantes (arriba) con sus centros de gravedad (los puntos negros)
colocados de manera semejante (abajo).
Pero la construcción de Euclides de la noción de figuras planas semejantes se basa
rigurosamente en la aplicación de la proporcionalidad equimúltiple. La Proposición 4, Libro VI,
depende de la primera proposición del Libro VI, en la que mediante la técnica de los
equimúltiplos Euclides muestra que los triángulos (y paralelogramos) que tienen la misma altura
son entre sí como sus bases (Fig. 3). Esto nos lleva inmediatamente a la segunda pregunta
planteada anteriormente: el significado de la proporcionalidad atribuida a los brazos de las
balanzas por el postulado de Galileo.
En lugar de proceder mediante la técnica equimúltiple, Galileo simplemente conjeturó que
al colocar pesos iguales en distancias que están uno al otro en la misma razón - es decir, al
considerar lo que él llamó configuraciones “semejantes” de Pesos - los centros de gravedad de los
diferentes equilibrios deben dividirlos en brazos proporcionales. Primero vio la semejanza de
varias configuraciones de pesos en su modelo mental de balanzas semejantes y subsecuentemente
formuló la hipótesis que los centros de gravedad deben por consiguiente ser particiones de las
121
balanzas en sus brazos proporcionales. Esta generalización de la noción de puntos “ubicados de
manera semejante” de Arquímedes es una reversión de La forma en que Euclides construye
figuras semejantes. Euclides primero demostró que los triángulos equiangulares tienen lados
proporcionales y luego deducen su semejanza, mientras que Galileo Primero reconoció dentro de
su modelo mental la semejanza de configuraciones de pesos y luego conjeturó la
proporcionalidad de sus brazos.
Pero la cuestión del significado de la reversión de Galileo es mucho más profunda. De
hecho, el postulado de Galileo es, a todos los efectos, equivalente a una conjetura sobre la
naturaleza misma de las magnitudes proporcionales, por una razón clara. Galileo no tiene prueba
de que la proporcionalidad equimúltiple se puede aplicar con éxito al caso de sus balanzas. Por lo
tanto, afirma que las proporcionalidades pueden generarse no solo aplicando directamente la
misma técnica, sino también mediante un procedimiento totalmente diferente. Es decir, la
construcción de configuraciones visualmente semejantes de magnitudes físicas, tales como pesos
que cuelgan de balanzas (Fig. 4).
De este modo, el modelo mental de Galileo de equilibrios semejantes logra hacer
homogéneo el mundo de la proporcionalidad euclidiana y el mundo de las cantidades físicas. Este
es un paso notable más allá del alcance del razonamiento proporcional, aunque el significado de
la proporcionalidad entre los brazos de las balanzas sigue siendo algo ambiguo. Esta ambigüedad
se puede ver fácilmente si recordamos el postulado de Galileo y lo reescribimos explícitamente
indicando el tipo de proporcionalidad válido en el primer conjunto de relaciones con 𝐴𝑠í𝐸𝑄 (que
significa “proporcionalidad equimúltiple”):
122
Fig. 3. Los triángulos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.
Fig. 4. Un conjunto de pesos diferente al de la Fig. 2 genera diferentes posiciones de los
centros de la gravedad en las balanzas I, II, III, de modo que, nuevamente, como A es a B, A 'es a
B' y A '' a B ''.
Si en las balanzas I, II, III,
Como 𝐷12𝐼 es a 𝐷12𝐼𝐼 𝐴𝑠í𝐸𝑄 𝐷23𝐼 es a 𝐷23𝐼𝐼,
como 𝐷12𝐼𝐼 es a 𝐷12𝐼𝐼𝐼 𝐴𝑠í𝐸𝑄 𝐷23𝐼𝐼 es a 𝐷23𝐼𝐼𝐼,
como 𝐷23𝐼 es para 𝐷23𝐼𝐼 𝐴𝑠í𝐸𝑄 𝐷34𝐼 es a 𝐷34𝐼𝐼,
123
etc., entonces como A es a B, A 'es a B' y A '' a B ''.
Considerando que el significado de la proporcionalidad entre distancias (como 𝐷12𝐼 es a
𝐷12𝐼𝐼𝐴𝑠í𝐸𝑄 𝐷23𝐼 es a 𝐷23𝐼, etc.) es el de proporcionalidad equivalente, el significado de la
proporcionalidad entre los brazos de las balanzas (como A es a B, entonces A 'es a B' y A ’’ a B
’’) se deja abierta, en el sentido de que la conjetura de Galileo podría resultar ser verdad o no.60
En conclusión, la conjetura implícita en el postulado de Galileo reemplaza la noción
“oscura” de la semejanza equimúltiple de distribuciones de pesos con la semejanza visual
Embebida en el modelo mental de balanzas semejantes (Fig. 5).
4. Pruebas de imagen: objeción constructivista de Clavius a Galileo
James Robert Brown, en su reciente libro sobre la filosofía de las matemáticas, Dedicó
todo un capítulo a la cuestión de la validez de las pruebas matemáticas basadas en imágenes.
Fig. 5. Los modelos mentales de equilibrios semejantes (SB). SB es una función
cognitiva representacional no simbólica que toma un argumento no simbólico (una
60 Cabe señalar que no hay nada en la propuesta de Galileo que impida que uno busque una prueba de que la
conjetura de Galileo es cierta (en el sentido de que uno podría demostrarlo demostrando que la proporcionalidad
equimultiple se mantiene para los brazos de las balanzas). Pero, igualmente, no hay nada que garantice que la conjetura
no es contradictoria.
124
balanza con una determinada disposición de pesos) en un valor no simbólico (un
equilibrio con una disposición de pesos semejantes).
Según Brown, “aunque no es universal, la actitud predominante es que las imágenes no
son más que dispositivos heurísticos; ellas son psicológicamente sugestivas y pedagógicamente
importantes - pero no prueban nada”.61 En contra de esta tendencia filosófica “predominante”,
Brown afirma que quiere hacer un caso de validación de imágenes “como evidencia y
justificación”.62 Galileo y Christoph Clavius debieron compartir una preocupación semejante,
entre quienes surgió un desacuerdo sobre la legitimidad del papel de las imágenes en las pruebas.
La esencia del desacuerdo entre Clavius y Galileo con respecto a La Proposición 1 de esta
última sobre centros de gravedad dependía del punto crucial de la aceptabilidad de la
representación visual como un sustituto para la construcción proposicional. En este sentido me
refiero a la objeción de Clavius como “constructivista”. Mientras que Galileo implícitamente
Invocó el uso de un modelo mental como un medio legítimo de prueba, Clavius insistió que las
pruebas deben construirse proposicionalmente.
La Proposición 1 de Galileo sobre centros de gravedad establece que:
Si cualquier número de magnitudes exceden igualmente una a la otra, el
exceso es igual a la menor de ellas, y están tan dispuestas en una balanza que
cuelgan a igual distancia, el centro de gravedad de todos estos divide la balanza
61 Brown (1999), p. 25. 62 Ibid.
125
para que la parte en el lado de las [magnitudes] más pequeñas sea el doble de la
otra parte.63
Consideremos, pregunta Galileo, cualquier número de magnitudes F, G, H, K, N.
Dejemos que cuelgue de la balanza AB a distancias iguales entre sí, luego el centro de
gravedad X dividirá la balanza de tal manera que BX sea doble a XA (Fig. 6).
No necesitamos seguir los detalles de la prueba verbal de Galileo.64 Los pasos
intermedios de la demostración se basan en una elegante secuencia de transformaciones
realizadas en el modelo mental (fig. 7). Los dos primeros son los siguientes: primera
equivalencia: considerar todas las magnitudes llamadas N, entonces su centro de gravedad
permanece intacto si se recogen para colgar de D. Segunda equivalencia: considere todas
las magnitudes Llamados O, entonces su centro de gravedad permanece inalterado si se
recolectan para que cuelguen de I. De la misma manera, uno puede considerar todas las
magnitudes restantes y formar nuevos equilibrios correspondientes.
63 Galilei (1974), pp. 261–262. 64 El texto complete está en Galilei (1974), 2–263.
126
Fig. 6. El balance de la proposición 1 (adaptado de OGG, I, 188).
La situación resultante es la dada en la Fig. 8, donde tanto la balanza inicial como la
obtenida después de todas las transformaciones que se han realizado se muestran.
Según Galileo, los equilibrios en la Fig. 8 las balanzas en las cuales pesos iguales
están dispuestos de manera semejante. Sus centros de gravedad, por lo tanto, dividen las
balanzas en las mismas razones, es decir, como BX es a XA, así AX 'es a X’D. Ya que
Galileo ha demostrado fácilmente en un Lema anterior, que si la línea AB se biseca en D y
se elige un punto X para que BX sea a XA como AX es a XD, entonces BX es el doble de
XA, ahora puede concluir que X divide las balanzas de tal manera que BX es el doble de
XA.65 Pero la pregunta crucial es: ¿son X y X’ el mismo punto? Según Galileo, son los
mismos Puntos ya que en su modelo mental el equilibrio transformado no es más que el
Equilibrio original visto de una manera diferente.
65 Ver el Lemma en Galilei (1974), p. 261.
127
En enero de 1588, Clavius respondió la solicitud de Galileo de una opinión
señalando que para no plantear la cuestión, era necesario demostrar que X y X' coinciden.66
A finales de febrero, Galileo respondió que “del mismo compuesto, el punto de equilibrio
es el mismo “, independientemente de la forma en que las partes del componente hayan
sido consideradas.67 Además, Galileo le envió a Clavius un nuevo dibujo enfatizando que
las dos balanzas debían considerarse como una y la misma balanza. En un esfuerzo por
aclarar su punto, Galileo volvió a dibujar la balanza original colocando todos los pesos
contiguos entre sí y haciendo hincapié en que el punto de equilibrio del mismo compuesto
no cambia cuando uno lo considera como si estuviese compuesto de cualquiera de las
magnitudes o bien FGHKN o de las magnitudes NORST (Fig. 9).68
66 ‘. . . El chequee ricerca d’essere dimostrato, altrimente mi pare quod petitur principium “(Galilei,1890–
1909, X, pág. 24). 67 ‘. . . del medesimo composto uno e `il punto dell’equilibrio '(Galilei, 1890–1909, X, p. 28). 68 Ibid.
128
Fig. 7. Las dos primeras transformaciones con magnitudes N y O.
Unos días después, Clavius reiteró que al asumir que X y X 'coinciden, Galileo
estaba en efecto planteando que como BX es a XA así AX es a XD. Clavius afirmó que, si
se supone que el centro de gravedad de la balanza final es, por ejemplo, Y (en lugar de X '),
entonces el razonamiento de Galileo llevaría a la conclusión de que como BX es a XA así
AY es a YD. En este caso, la afirmación de Galileo de que BX es doble XA no se
seguiría.69 En otras palabras, Clavius objetó que la suposición de que ambos puntos
coincidan es equivalente a la proporción que se debe probar (BX es a XA como AX es a
XD). En esencia, para Clavius, la visibilidad de la coincidencia de los dos puntos no era
inherente al diagrama de Galileo, y por lo tanto la prueba de Galileo fue inválida.
69 Galilei (1890–1909), X, pp. 29–30.
129
Fig. 8. La situación final: la balanza transformada y la original.
Fig. 9. Todas las magnitudes contiguas entre sí (adaptadas de la respuesta de
Galileo a Clavius).
130
Clavius se opuso al reemplazo de Galileo de la construcción proposicional de la
proporción: “como BX es a XA así AX es a XD” con un salto (exceso) de fe en la
capacidad de su modelo mental para mostrar esa coincidencia mediante sucesivas
transformaciones mentales (Fig. 10).
Fig. 10. El modelo mental de balanzas semejantes utilizado por Galileo en la
proposición 1 sobre centros de gravedad, P1. P1 es una función cognitiva
representacional no simbólica que toma un argumento no simbólico (una balanza
con una determinada disposición de pesos) en un valor no simbólico (una balanza
con una disposición semejante de pesos).
5. Remodelación de Galileo del equilibrio arquimediano.
Esta sección está dedicada a analizar cómo Galileo llegó a la proporcionalidad.
Gobernando el equilibrio arquimediano mediante un modelo mental. En la parte final,
sugiere que el teorema del plano inclinado de Pappus puede haber sido la fuente que inspiró
el enfoque basado en modelos de Galileo para este problema.70 El caso de las balanzas en
equilibrio Es extremadamente interesante ya que deja al descubierto otro modo de
70 Para conocer la importancia del modelo de equilibrio para los mecánicos de Galileo, véase Machamer
(1998), Galluzzi (1979), especialmente pp. 261ff., Y Clavelin (1996), pp. 127ff.
131
funcionamiento de los modelos mentales de Galileo. Además, la prueba de Galileo del
balance arquimediano es fundamental porque sustenta todas las otras proposiciones
relativas a las maquinas simples de la Mecánica (ca. 1600), como la romana, la palanca, el
molinete, el cabrestante, la polea, el tornillo y el tornillo de Arquímedes para elevar el
agua.71 En lugar de seguir los pasos de Arquímedes y demostrar la proporcionalidad de la
balanza de Arquímedes (uno cuyos brazos son inversamente proporcionales a los pesos y
por lo tanto está en equilibrio), Galileo invierte el procedimiento.72 Veamos cómo.
Tanto en La Mecánica y Dos nuevas ciencias, Galileo observa un sólido cilíndrico
en equilibrio y demuestra su equivalencia con la balanza arquimediana (Fig. 11a)73
Consideremos la figura. 11b, que representa un sólido cilíndrico colgante en
equilibrio por dos hilos: CA y DB. La prueba que hizo Galileo sobre el equilibrio
arquimediano se divide en dos partes. La primera consiste en una serie de transformaciones
71 En 1960, Stillman Drake (en Galilei, 1960, p. 154, n.) Afirmó que “el ingenio (y falacia) de La demostración
de Galileo ha sido suficientemente reconocida en otra parte “, refiriéndose a la crítica de Ernst Mach en La ciencia de
la mecánica. Posteriormente cambió de opinión, ya que en Galilei (1974, p. 110, n.), refiriéndose a la misma prueba
repetida por Galileo en Dos nuevas ciencias, afirmó que la prueba de Galileo es “mucho más fácil de seguir que la de
Arquímedes”. Sin embargo, Mach (1989), pp. 17ff., Refiriéndose a la prueba de Galileo, también habló de 'una hermosa
presentación'. La crítica de Mach es demasiado conocida como para necesitar discusión. Ver una discusión en Goe
(1972), Dijksterhuis (1987), págs. 289 y más, y el resumen de Wilbur Knorr del estado quaestionis en Dijksterhuis
(1987), pp. 435ff. 72 Cf. Arquímedes: la ley del equilibrio en Arquímedes (1554), pág. 127, 'Magnitudines quae fuerint en
gravitate commensurabiles, aequeponderabunt, si en distantiis quae secundum gravitatum proporcional
fuerint constitutae, permutatim suspendantur’(Para magnitudes proporcionales a la gravedad de las cuales
es fuerintin, æqueponderabunt, si él es en la relación de las distancias de los cuales son, según la gravedad, la voluntad
que se han establecido, se han de suspender, alternativamente,). La prueba de Arquímedes consta de dos teoremas.
Vale la pena teniendo en cuenta que Galileo prueba la proposición inversa, es decir, si la balanza está en equilibrio,
entonces los pesos son recíprocamente recíprocos según sus distancias desde el punto de apoyo. 73 El resto son en Galileo (1890-1909, 2, pp. 149-191). Una traducción al Inglés para Galileo (1960,
pp. 135-186). Como es bien sabido, la Mecaniche es un texto problemático (Galileo no lo publicó). Ver los
comentarios de Favaro en los manuscritos conservados de Galileo (1890-1909, 2, pp. 149-154), de Drake Introducción
En Galileo (1960), y Galluzzi (1979, pp.179ff).
132
del sólido cilíndrico en equilibrio que lo llevan a reconocer la presencia de una balanza
arquimediana dentro del propio sólido.
La fig. 11. (a) Las figuras originales de la mecánica de Galileo (Ogg, 2, 161) y
dos nuevas ciencias (Ogg,8, 153) que representa un cilíndrico sólido en equilibrio
(arriba), y un paralelepípedo en una configuración semejante de equilibrio (abajo).
(B) Anatomía del modelo mental de Galileo de un sólido cilíndrico en equilibrio.
133
En este nivel de análisis, Galileo simplemente manipula El modelo mental. La
segunda parte es una sencilla aplicación del razonamiento proporcional para probar la
proporcionalidad inversa de brazos y pesos.
Galileo comienza considerando un sólido CDFE suspendido por los puntos C y D y
asumiendo qué si uno es suspendido por el punto medio G, el equilibrio no se ve afectado.
Posteriormente él se imagina cortando el sólido en dos partes desiguales, CS y SD y
agregando una cuerda HI, para que una vez más el equilibrio no se vea afectado.
Finalmente, Se imagina sólidos CS y SD suspendidos por los hilos MK y NL, donde K y L
son los puntos medios de CI e ID (el último cilindro en la Fig. 11b). Ya que él ha obtenido
la configuración final de la Fig. 11b sin alterar la condición de equilibrio ahora puede pasar
a la segunda parte de la prueba y demostrar que los pesos de las partes cilíndricas están
entre sí recíprocamente como sus distancias desde el punto de apoyo (MG, GN) .74 Esta
parte de la prueba es irrelevante para nuestros fines.75 Todo lo que se necesita es el análisis
de Galileo del cilindro de acuerdo con los pasos ilustrados en la Fig. 11b al inspeccionar
mentalmente las tres etapas del modelo mental él es capaz de ver que tanto el cilindro
74 Los detalles están en Galilei (1890–1909, II, pp. 162–163; 1960, pp. 153–154). 75 Básicamente, Galileo muestra que dado que NG es GM, entonces MH es HN, es decir, AH es a HB.
Entonces asume que los volúmenes de las porciones cilíndricas son entre sí como AH es para HB y que los pesos de
Las porciones cilíndricas son como sus volúmenes. La parte geométrica de la última hipótesis se basa en la Proposición
XIII, Libro XII, de Elementos de Euclides, lo que demuestra que las partes de un cilindro cortado por un plano paralelo
a la bases del cilindro son los unos a los otros como sus ejes. Véase, por ejemplo, Clavius (1999, p. 526). Los La parte
física de la hipótesis (los pesos son como volúmenes) es una hipótesis que Galileo cree que es evidente per se. En De
Motu (ca. 1590), él había probado la última hipótesis por medio de la técnica de los equimultiplos. Ver Galilei (1890–
1909, I, pp. 348 y siguientes). El por qué abandonó esa prueba no está del todo claro. Ver Palmieri (2001) para los
problemas relacionados con el análisis de Galileo del peso en términos de la técnica equimúltiple.
134
original, como su transformación en una balanza, corresponden al mismo objeto. Pasamos
ahora a la cuestión de la fuente que puede haber inspirado el enfoque de Galileo.
En 1598, Galileo dio una conferencia en la Universidad de Padua sobre las
cuestiones mecánicas pseudo-aristotélicas.76 No hay duda de que Galileo manifestó un
interés de por vida en las Preguntas mecánicas.77 Por otra parte, ha sido sugerido por los
eruditos de Galileo que las Preguntas mecánicas influyeron en su mecánica.78
Según Antonio Favaro, Galileo tuvo en su biblioteca una edición de las Preguntas
Mecánicas, que fue editada y comentada por Niccolo Leonico Tomeo, pero él podría
también haber estudiado, por ejemplo, el popular parafraseo latino de Alessandro
Piccolomini.79 Un análisis reciente de las estadísticas de Galileo por J. De Groot sugiere
que una característica que influencia el tratamiento temprano de Galileo del plano inclinado
es el principio pseudo-Aristotélico, según el cual “para distancias cubiertas en el mismo
tiempo por puntos a distintas distancias a lo largo de un radio móvil, la razón de lo
76 Ver los rollos universitarios en Galilei (1890–1909) XIX, p. 120. 77 Ver la discusión de 1593 de Galileo sobre el remo (uno de los problemas de las Preguntas mecánicas) en
su Carta al veneciano, Giacomo Contarini (Galilei, 1890–1909, X, pág. 55), y su solución a la paradoja de la rota
Aristotelis en Dos Nuevas Ciencias, en Galilei (1974, pp. 29 y s). Además, véase la correspondencia de Galileo. con
monseñor Giovanni di Guevara sobre diversos aspectos de las Preguntas mecánicas, en Galilei (1890–1909, XIII, pp.
369, 377–378, 389–390; XIV, pp. 23, 34–35, 44; XVI, pp. 378–379, 390, 515–516) y Rose & Drake (1971) para la
historia de ese texto en el Renacimiento. No está claro cómo los dibujos que acompañan el texto desarrollado. Guarino
(1573, Dedicación), por ejemplo, dice “. . . toda la figura ch’io ho fatto delle dimostrationi, ho posto i caratteri citati
dall’Autore; . . . figura, che sino a questi tempi, si sono desiderate nel testo greco. . ., Sugiriendo que el texto del que
tradujo no tiene figuras Sin embargo, su afirmación es algo desconcertante, por la siguiente razón. Antonio guarino
Era un ingeniero militar al servicio de Alfonso II d'Este, duque de Ferrara. Un griego del siglo xv El manuscrito de las
Preguntas mecánicas se conserva en la Biblioteca Este, que contiene algunos diagramas. (Aristóteles, XV, 134v. –
155v.). Por lo tanto, o Guarino no usó el manuscrito de Este o se refiere a otras figuras Literarias sobre la importancia
de los diagramas en las matemáticas y filosofía natural de la El renacimiento. Ver Rider (1993) y Roche (1993). 78 Rose y Drake (1971), Micheli (1991) y De Groot (2000). 79 Favaro (1886). Cf. Leonico Tomeo (1530) y Piccolomini (1547), que pasó por una segunda Edición en latín
y una en italiano.
135
tangencial al movimiento centrípeto es proporcional”.80 Sin embargo, tal principio no está
presente en la comprensión de los comentaristas renacentistas de los pasajes relevantes de
las Preguntas mecánicas. Tanto Leonico Tomeo como Piccolomini, por ejemplo, explican
la Pregunta concerniente a ¿Por qué lo que está más alejado del centro y movido por la
misma potencia se mueve de una manera más rápida? - que es la base del análisis de De
Groot - al mostrar que Hay dos tipos de movimiento poseídos por lo que se mueve.81 Ellos
notan que los movimientos praeter naturam (es decir, hacia el centro) son mayores para lo
que se mueve en un círculo más pequeño, mientras que los movimientos naturales (es
decir, circunferenciales, para Leonico Tomeo, o tangencial, para Piccolomini) son mayores
para lo que se mueve en un círculo mayor. Así, concluyen, lo que está más alejado del
centro se ve menos obstaculizado por el movimiento praeter naturam.82 En la
proporcionalidad del principio de De Groot, esta diferencia Entre naturalis y praeter
naturam simplemente desaparece. De hecho, Piccolomini utiliza esa proporcionalidad para
mostrar que lo que está más lejos del centro debe moverse de manera natural más
rápidamente. Él Afirma que, ya que la razón entre el movimiento praeter naturam y el
movimiento naturalis debe ser la misma para los puntos que pertenecen a un radio de giro,
entonces, según su definición de “más rápidamente”, cuanto más alejado esté el punto del
centro más rápidamente se moverá porque el punto recorrerá una distancia mayor en el
80 De Groot (2000), pp. 651, 655. 81 Leonico Tomeo (1530), pp. 28ff., Y Piccolomini (1547), pp. 11v.ff. 82 Piccolomini (1547), pp. 15v.ff.
136
mismo tiempo.83 Tal dualidad de naturalis y praeter naturam no está en ninguna lugar del
análisis temprano de Galileo sobre el plano inclinado.
Yo diría que algunos aspectos clave de la aplicación de Galileo del razonamiento
proporcional a problemas mecánicos, especialmente el equilibrio arquimediano y el plano
inclinado, han tenido una fuente más directa en el tratamiento de Pappus del plano
inclinado.
La edición de Federico Commandino sobre las Collectiones Mathematicae de
Pappus se publicó en 1588.84 Galileo conoció muy bien el intento de Pappus de resolver el
problema del Plano inclinado. En la Mecaniche, lo critica por haber cometido un error.
(según Galileo) en el supuesto de que se requiere una fuerza para mover un peso en el plano
horizontal y afirma que quiere abordar el mismo problema desde una perspectiva
diferente.85 Sin embargo, no estamos tan interesados en el enfoque diferente de Galileo,
ahora bien entendido,86 como en la explicación basada en el modelo de Pappus del Plano
83 Piccolomini (1547), pp. 15v. ff. Esto es precisamente lo contrario de lo que De Groot (2000, p. 651) atribuye
(quizás correctamente) al autor griego de las Preguntas mecánicas, es decir, que este último no considere los
“movimientos a lo largo de los círculos” como “la base de su comparación de más rápido y más lento”. Todavía para
Piccolomini, a pesar de que los puntos ’tienen la misma proporción de naturales a preamer naturam movimientos,
Cuanto más lejos esté el punto del centro, mayor será su movimiento natural y, por lo tanto, más rápido se moverá.
Guarino (1573, comentario n. 7) parece interpretar este pasaje de una manera diferente y reconstruye la figura.
acompañando la prueba de manera algo diferente de Aristóteles (XV, 138r.), que tiene una figura casi idéntica A la
utilizada por Leonico Tomeo y Piccolomini. Por el significado de natural en los comentarios renacentistas. sobre las
preguntas mecánicas, ver Micheli (1991), Altieri Biagi (1965, pp. 1–24). 84 76 Pappus (1588). Una segunda edición fue publicada en 1602. 85 ' Pappo Alessandrino todavía intentó la presente especulación [sobre el plano inclinado] en el octavo libro
de sus colecciones matemáticas; pero, en mi opinión, no ha tocado el propósito, y es deslumbrado en la suposición de
que él hace, donde supuso, que el peso debe ser movido en el plano horizontal por una fuerza dada: lo cual es falso. . .
. Es mejor buscarlo, dada la fuerza que mueve el peso hacia arriba una hay perpendicular., lo que debe ser la fuerza
que lo mueve en el plano elevado: lo que intentaremos alcanzar con intensión diferente a la de Pappus. (Galilei, 1890–
1909, II, p. 181). 86 Cf. Galluzzi (1979), pp. 191ff., 215ff.
137
inclinado. Es esta explicación la que Galileo pudo haber elaborado y transformado en una
estrategia más general que ya hemos visto en el trabajo de la anatomía del sólido cilíndrico
en equilibrio. El problema de Pappus es este: Encontrar la potencia que adquiere un peso a
lo largo de un plano inclinado dada la potencia que adquiere en el plano horizontal.87 Lo
que se requiere para que la prueba sea concluyente (de acuerdo con Pappus) es el
reconocimiento de que el problema del plano inclinado es, en efecto, un problema
arquimediano de equilibrio (fig. 12).88
Sea el peso A representado por una esfera en el plano inclinado. Sea el peso de la
esfera el mismo que A y sea peso B al A, como EF lo es para FG. En esencia el
razonamiento de Pappus se reduce a imaginar el peso B colocado en el punto G89, de modo
que se puede construir un equilibrio angular que esté en equilibrio alrededor del punto de
apoyo L. Esto es Prácticamente un equilibrio arquimediano (fig. 13). En estas
circunstancias, Pappus Concluye: la esfera no puede rodar hacia abajo en el plano, y
permanece estable exactamente como si fuesen colocados en un plano horizontal.90
En resumen, precisamente como Pappus había visto un equilibrio arquimediano
dentro de la esfera en equilibrio en el plano inclinado (como en la Fig. 12), Galileo vio un
equilibrio arquimediano dentro del sólido cilíndrico en equilibrio. El procedimiento de
87 ‘Dato pondere a data potentia ducto in plano horizonti parallelo, et altero plano inclinato, quod ad subjectum
planum datum angulum efficiat, invenire potentiam, a qua pondus in plano inclinato ducatur’
(Pappus, 1588, p. 313r.). 88 Pappus (1588), pp. 313r., V. 89 ‘. . . Si pondera AB circa centra EG ponantur. . . '(Pappus, 1588, p. 313r.). 90 Pappus (1588), p. 313r.
138
Pappus puede haber proporcionado un marco conceptual para la remodelación mental de
Galileo del Equilibrio arquimediano (fig. 13).
Fig. 12. Arriba: construcción de Pappus para el problema del plano inclinado. LE
es perpendicular al plano inclinado, GE es horizontal y FL vertical (adaptado de Pappus,
1588). Abajo: El equilibrio arquimediano del teorema de Pappus (mi visualización).
139
Fig. 13. El modelo mental de equilibrio arquimediano, AB. AB es una función
cognitiva representacional no simbólica que toma un argumento no simbólico (un cilindro
en equilibrio) en un valor no simbólico (un balance en equilibrio).
6. Conclusión: modelos mentales, experimentos de pensamiento y la historia de
la ciencia
En esta sección final, a la luz de la teoría de los modelos mentales, deseo desarrollar
una nueva perspectiva sobre la irritante pregunta historiográfica sobre el uso de Galileo de
experimentos de pensamiento, y más en general sobre la importancia de un acercamiento
cognitivo a la experimentación de pensamiento. En primer lugar, resumamos los resultados
obtenidos en las Secciones anteriores. Después de presentar una introducción elemental a la
investigación sobre modelos mentales y de discutir su aplicabilidad para, y potencial
importancia en, la historia de la ciencia, yo he sugerido que algunos aspectos de la
matematización de Galileo eran cognitivamente dependientes de modelos mentales no
simbólicos. El kit de herramientas de deducción (parafernalia deductiva) de la teoría de
proporciones de Euclides simplemente proporcionó la estructura simbólica de la
matematización de Galileo. De hecho, fue el uso de modelos mentales que proporcionó la
innovación que permite a Galileo romper la barrera de las tradiciones euclidianas y
arquimedianas.91 Christoph Clavius reconoció este cambio crucial y objetó fuertemente la
91 Esto plantea una pregunta interesante. ¿Las funciones cognitivas no simbólicas representativas están
presentes en Euclides y Arquímedes también? Aunque el caso no se puede discutir aquí, estoy convencido de que son
de hecho, y que Galileo, en su innovación, pudo aprovechar los mismos recursos cognitivos básicos que son en la raíz
de gran parte de las matemáticas griegas. Aquí sólo puedo proporcionar la siguiente pista: Netz (1999, pp. 12– 88) ha
140
manera de proceder de Galileo sobre los centros de gravedad. Pasemos ahora a la cuestión
de la experimentación de pensamiento.
En un influyente ensayo, Alexandre Koyré presentó la tesis de que las primeras
investigaciones De Motu de Galileo en realidad no se basaban en experimentos reales sino
en experimentos de pensamiento.92 Se ha dedicado mucho trabajo académico a esta
pregunta, pero, en mi opinión, el tema que persigue el debate es la noción misma del
experimento mental.93 ¿Qué constituye un experimento de pensamiento? ¿Es un
experimento del pensamiento solo una especie de actividad mental Imitando lo que podría
pasar en una situación real? Koyré no especifica qué está entendiendo por experimento del
pensamiento. Recientemente, se han proporcionado seis explicaciones diferentes relevantes
para nuestros propósitos de en qué podría consistir en un experimento de pensamiento.94
Muy brevemente voy a revisarlos.
1) James Robert Brown ha sugerido que los experimentos de pensamiento son
difíciles de Definir con precisión, aunque podamos reconocerlos fácilmente. Un
experimento mental puede ser destructivo, constructivo, o tanto destructivo como
discutido la práctica griega del diagrama con letras y la “pragmática de las letras”, sugiriendo que el diagrama no era
la representación de otra cosa sino una entidad en sí misma. Una mirada rápida a cómo Galileo puso letras a sus
diagramas revela que hay patrones recurrentes de letras secuenciales que reflejan la forma en que se escriben las
secuencias de sus pruebas verbales. Esto a su vez sugiere que el los diagramas pueden verse no solo como dispositivos
auxiliares sino también como vestigios materiales de modelos no simbólicos, basados en modelos de razonamiento.
¿Podría la práctica griega del diagrama con letras confiarse en funciones cognitivas no simbólicas? 92 El ensayo se publicó originalmente en 1960. Se ha reproducido en Koyre´ (1973, pp. 224–271). 93 Budden (1998), Gendler (1998), McAllister (1996), Sorensen (1992), Brown (1991), Prudovsky (1989),
Geymonat y Carugo (1981), y Kuhn (1977). 94Brown (1991), Norton (1991, 1996), Irvine (1991) y Laymon (1991). El modelo de Sorensen, según a lo
que un experimento mental es simplemente un experimento que “pretende lograr su objetivo sin el beneficio de la
ejecución “, es demasiado genérico para nuestros propósitos actuales (Sorensen, 1992, p. 205).
141
constructivo al mismo tiempo. Lo último es lo que Brown llama un “experimento de
pensamiento platónico”. Un experimento de pensamiento platónico tanto destruye una vieja
teoría y proporciona evidencia de apoyo para una nueva teoría.95
2) Según John Norton, los experimentos de pensamiento son simplemente
argumentos que a) postulan estados de cosas hipotéticas o contrafactuales, y b) invocan
datos irrelevantes para la generalidad de una conclusión.96
3) Desde la perspectiva de Ronald Laymon, los experimentos de pensamiento a
veces pueden entenderse como Límites ideales de la experimentación real. Un experimento
de pensamiento de este tipo sería una situación imaginada, donde un presentador o una
audiencia creen que ciertas leyes o principios científicos les permiten llegar a una cierta
conclusión acerca de una descripción idealizada de algún estado de los asuntos.97
4) Para Andrew Irvine, los experimentos de pensamiento son simplemente
<<Argumentos relativos a eventos particulares o estados de los asuntos de una naturaleza
hipotética (y a menudo contrafactual) que lleva a conclusiones sobre la naturaleza del
mundo que nos rodea>>.98
95 Brown (1991), pp. 122–124. 96 Los detalles irrelevantes para la generalidad de la conclusión son los que hacen que los “experimentos de
pensamiento” semejante a un experimento (Norton, 1991, p. 130). Por ejemplo, un particular irrelevante en este sentido
sería la Presencia imaginada de una audiencia. Estos datos deben ser eliminables, para que cualquier conclusión
alcanzada mediante un buen experimento mental también se pueda acceder mediante un argumento que no contenga
estos detalles. (Norton, 1991, pp. 129ff). 97 Laymon (1991), pp. 167ff. 98 Irvine (1991), p. 150.
142
5) De acuerdo con Tamar Gendler, “para esbozar una conclusión sobre la base de un
experimento del pensamiento hay que hacer un juicio sobre lo que pasaría si el estado
particular de los asuntos descritos en algún escenario imaginario en realidad se puede
obtener”99. Por lo tanto, al “centrarse en escenarios imaginarios y hacer referencia a
detalles, Los experimentos de pensamiento pueden proporcionar un punto de apoyo para la
reorganización de los compromisos conceptuales; esto explica la forma en que nos pueden
proporcionar información novedosa sin aportaciones empíricas”.100
6) En la visión de Nenad Miščević, los experimentos de pensamiento Son un tipo de
razonamiento basado en modelos mentales. Según él, “Los modelos mentales” son un
medio ideal para experimentos de pensamiento.101 Su análisis se basa parcialmente en El
concepto de modelo mental de Philip Johnson-Laird.102
Finalmente, sin especificar en qué consistiría un experimento de pensamiento,
James McAllister ha sugerido que los experimentos de pensamiento per se no poseen
ningún significado evidente, un carácter que ellos adquieren solo bajo ciertos supuestos. En
el caso de Galileo, los experimentos de pensamiento serían evidentemente no inertes solo
bajo el supuesto de lo que McAllister llama la “doctrina galileana de los fenómenos”, según
el cual los sucesos naturales, como las caídas naturales, pueden reconocerse como
ocurrencias del mismo tipo de fenómeno “caída libre”.103 Bajo suposiciones alternativas
99 Gendler (2000), p. 35. Gendler (2000, pp. 33–63) es una reimpresión de Gendler (1998). 100 Gendler (2000), pp. 55–56. 101 Miščević (1992), p. 221. 102 Miščević (1992), pp. 220ff., Johnson-Laird (1983). 103 McAllister (1996), p. 239.
143
tales como, por ejemplo, los de los aristotélicos, la experimentación del pensamiento sería
'evidentemente inerte'.104
McAllister, sin embargo, ha basado su conclusión de que los aristotélicos habrían
rechazado la experimentación de pensamiento de Galileo en una problemática crítica
dirigida contra Galileo por un solo filósofo aristotélico, por lo tanto, atribuyendo
aparentemente a todo el aristotelismo el rechazo generalizado del modo de argumentación
de Galileo.105
Ahora deseo exponer mi interpretación de un ejemplo bien conocido de los
experimentos de pensamiento Galileano - la caída libre de cuerpos pesados- mientras
discutían si se ajusta a las explicaciones propuestas hasta el momento. Posteriormente
examinaré la evidencia relacionada con el argumento de McAllister.
Este experimento del pensamiento fue proporcionado por primera vez por Galileo
en De Motu (ca. 1590), y casi cincuenta años más tarde se publicó en una versión
modificada en “Dos nuevas ciencias”. En la primera parte de su argumento De Motu, el
único representado en Dos Nuevas Ciencias, Galileo propone el siguiente contraargumento
de la afirmación de Aristóteles de que los cuerpos más pesados caen más rápido que los
más ligeros. Si nos imaginamos una pesada bola de cañón y una bola de mosquete que se
104 McAllister (1996), p. 233. 105 La evidencia que McAllister ha aducido se basa en Shea (1972), pág. 11, n. 10, que cita a Giorgio. Las
afirmaciones de Coresio de haber repetido los experimentos de caída libre desde la torre inclinada de Pisa. Cf. Galilei
(1890–1909), IV, p. 242. Sin embargo, lejos de rechazar el modo de argumentación de Galileo, el aristotélico Coresio
presentó una magnífica demostración de contra-argumentación totalmente “conmensurable” con la de Galileo. Ver la
discusión más detallada a continuación.
144
unieron entre sí, entonces tenemos un cuerpo más pesado que debería caer más rápido que
la bola de mosquete o la bola de cañón. Sin embargo, al mismo tiempo, el cuerpo más
pesado combinado debe ser más lento que la bola de cañón, ya que se desacelera por la bola
más ligera actuando como una especie de resistencia. Por lo tanto, una contradicción
destruye la posición aristotélica. En opinión de Miščević, Galileo está aquí basándose en
modelos mentales. Para Miščević, Galileo construye dos modelos mentales separados, uno
de los Cuerpo lentos y uno de los cuerpos rápidos. Luego trata de combinar los dos
modelos, por lo que descubre que un modelo integrado es imposible.106 Sin embargo, estoy
de acuerdo con el punto de vista de Norton de esta parte del experimento de pensamiento a
ser reducible a una prueba de reducción al absurdo, porque Galileo ya ha tenido la garantía
de Simplicio aristotélico que si cuerpos diferentes están unidos entre sí, entonces la
velocidad de caída del cuerpo combinado debe ser una intermedia.107 En la segunda parte
de su argumento Galileo plantea Una pregunta crucial para la relación experimento de
pensamiento vs. modelo mental: imaginemos dos cuerpos idénticos próximos entre sí
cayendo a la misma velocidad ¿Qué pasaría si se combinan para llegar a ser un solo cuerpo
con el doble de tamaño de cada componente (fig. 14)?
Galileo pregunta, ¿por qué debería duplicarse la velocidad del cuerpo recién
formado, como la teoría del movimiento de Aristóteles parece sugerir? 108 En la
106 Miščević (1992), p. 222. 107 Ver Galilei (1974), pp. 66 y siguientes, y Galilei (1960), pp. 28ff. El análisis más articulado de Norton
sobre esto. el ejemplo está en Norton (1996), pp. 340–345. 108 Galilei (1960), pp. 29–30.
145
terminología de Gendler, Galileo aquí estaría proponiendo un experimento de “pensamiento
fáctico”, que es uno que debería responder a la pregunta: “¿Qué pasaría?”109 Pero, de
hecho, Galileo no proporciona respuesta a esa pregunta, tenga en cuenta que al terminar su
argumento con una pregunta retórica, Galileo parece admitir (al menos implícitamente) que
no hay nada absurdo en pensar que una discontinuidad de la velocidad pueda ocurrir en el
momento de la unión de los dos cuerpos el uno al otro.
Fig. 14. El modelo mental de caída libre (en aras de la claridad, he representado
anacrónicamente velocidades con flechas). ¿Se duplica la velocidad del cuerpo unido?
No olvidemos que a lo largo de De Motu, Galileo mismo está muy preocupado por
numerosas preguntas de continuidad / discontinuidad.110 Por lo tanto, deseo sugerir que
109 Gendler (2000), p. xii. 110 De Motu, de hecho, está dominado por preguntas de continuidad / discontinuidad en gran parte de la
discusión de Galileo, él se basa en el movimiento dentro de un medio, especialmente en el problema de movimiento
frente a descanso en la interfaz entre diferentes medios, como el aire y el agua. En uno de los ejemplos más fascinantes,
en que intenta responder a la pregunta ¿qué sucedería?, Galileo imagina una viga y un chip hecho de la misma madera
y flotando sobre el agua, luego imagina mentalmente disminuir el peso (específico) del medio. ¿Qué sucederá cuando
el peso (específico) del agua sea menor que el de la madera? (Galilei, 1960, pp. 27ff., Y el original en latín 1890–1909,
I, pp. 264ff., 348–349).
146
Galileo está aquí tratando de dar sentido a una situación física por medio de un modelo
mental, que toma un argumento no simbólico (dos cuerpos idénticos se cierran entre sí
cayendo a la misma velocidad) en un valor no simbólico (el cuerpo formado imaginando
los dos cuerpos que caen finalmente siendo soldados juntos). Tenga en cuenta que Galileo
no tiene una racionalidad simbólica para negar la posibilidad de una discontinuidad de
velocidad ocurriendo en el momento de la unión de los dos cuerpos. Los modelos mentales
(en el sentido definido en la Sección 2, Parte II) son funciones cognitivas demasiado
básicas -y probablemente demasiado recientes en nuestra historia evolutiva- para
permitirnos resolver problemas dinámicos a priori. Es de suponer que no evolucionamos
intentando esquivar cuerpos caídos en la Sabana africana.
¿Qué sugiere este ejemplo y cómo se ajusta a las explicaciones teóricas examinadas
anteriormente? no se puede negar la inventiva de la objeción de Galileo a Aristóteles. Pero,
¿pero es esta cualidad vaga suficiente para que el modelo mental califique como
experimento de pensamiento? Yo creo que no. El cuerpo que cae no puede ser un
experimento mental: a) en el sentido muy amplio de los experimentos de pensamiento
platónico de Brown, ya que el acertijo de Galileo de continuidad / discontinuidad no es
destructivo ni constructivo; b) en el sentido de Norton y de Irvine, ya que de ninguna
manera es un argumento; c) en el sentido del límite ideal de Laymon, ya que es muy difícil
encontrar lo que las “leyes y principios científicos” son aquello que una audiencia habría
aceptado como una prueba de la afirmación de Galileo sobre la caída de cuerpos. Así, el
147
experimento de pensamiento de Galileo hace uso de un modelo mental, pero no en la
primera parte del argumento como Miščević ha sugerido.
Pasamos ahora a la evidencia escasa, pero reveladora que tenemos en relación con
el argumento de McAllister sobre la recepción aristotélica del modo de argumentación de
Galileo sobre la caída de los cuerpos. En primer lugar, el aristotélico (citado indirectamente
en el argumento de McAllister) que en 1612 discutió algo de la primera crítica de Galileo a
Aristóteles fue Giorgio Coresio, un profesor griego en la universidad de Pisa. Coresio no
criticó los primeros De Motu de Galileo – en ese entonces aún no publicado– pero la
opinión de Jacopo Mazzoni, la cual, Coresio reclamó, había sido compartida por Galileo a
fines de los años 1580.111 Coresio afirmó que Mazzoni, al referirse a De Caelo, 301 a – b,
había argumentado que la experiencia contradice la postura de Aristóteles disputa según la
cual uno podría dividir un cuerpo pesado como la razón de línea CE a línea CD, de modo
que si todo el cuerpo se mueve a lo largo de la línea CE, entonces la parte Tendría que
moverse a lo largo de la línea CD al mismo tiempo.112 Coresio objetó que Mazzoni–Galileo
había fallado en comprender la esencia del argumento de Aristóteles, que tenía como
objetivo demostrar que ningún cuerpo de luz podría descender. Según Coresio, La
interpretación correcta del argumento de Aristóteles es la siguiente.
111 El argumento de Coresio se encuentra en su Opereta intorno al galleggiare de ’corpi solidi, reproducida en
Galilei (1890–1909, IV, pp. 197–244). En la opereta de Coresio, ver De Ceglia (2000). 112 Tenga en cuenta que esta experiencia no tiene nada que ver con la caída de cuerpos y la torre inclinada de
Pisa, pero se refiere al comportamiento de los cuerpos dentro de un medio como el aire o el agua. (Mazzoni, 1597, pp.
192ff.)
148
Primero, suponga que lo pesado se mueve más rápido que lo no pesado (Fig. 15).
Sea A un cuerpo ingrávido y B un cuerpo pesado. Segundo, supongamos que A se mueve a
lo largo de CD y B a lo largo de CE, es decir, a lo largo de la ruta más rápida (como se ha
supuesto). Ahora sea el cuerpo pesado, B, se divide como ya se ha estipulado. Si todo el
cuerpo se mueve a lo largo de CE (la ruta más rápida) entonces la parte tendrá que moverse
a lo largo de CD, a lo largo de la misma línea en la que el cuerpo ingrávido A se mueve.
Así se moverán tanto los pesados como los ingrávidos al mismo tiempo, lo cual es
imposible según el supuesto inicial.113 Pero, Coresio insiste, para entender correctamente el
argumento de Aristóteles en contra de la idea de que un cuerpo ligero posiblemente pueda
descender, debemos atribuir a la noción de aristotélica de “pesado” en el contexto de De
Caelo, 301 a – b, el significado de un mínimo de pesadez idealizado, es decir, de una
pesadez que es menor que cualquier pesadez posible.
113 Galilei (1890-1909), IV, pp. 240–241.
149
Fig. 15. Reconstrucción de Coresio del argumento de Aristóteles. Para ayudar al
lector he añadido provisionalmente. Las figuras, que no están en el texto de Coresio ni en
las de Mazzoni.
Coresio argumenta que si nosotros no Interpretamos De Caelo, 301 a – b, de esta
manera, entonces es realmente posible llegar a una contradicción.114 La implicación de
Coresio parece ser que el argumento original de Aristóteles (según el cual, recordemos, uno
podría dividir un cuerpo pesado como la razón de la línea CE a la línea CD, de modo que si
todo el cuerpo se mueve a lo largo de la línea CE, entonces la parte se movería en el mismo
tiempo a lo largo de CD) resulta ser correcta si asumimos que Aristóteles previó un cuerpo
cuya pesadez es menor que cualquier pesadez posible. En este caso, la velocidad más
pequeña posible corresponde al peso más pequeño posible, ningún cuerpo de luz
descenderá jamás. Coresio parece implícitamente dispuesto a aceptar que hay un sentido de
“pesado” que es tanto compatible con la proporcionalidad de Aristóteles en De Caelo, 301
a – b, como acorde con que todos los cuerpos pesados se podrían en el límite caer (o más
bien dejar de caer) a la misma razón, una proposición que no viola el dictamen fundamental
Aristotélico de que ningún cuerpo de luz puede descender.115 Es claro que, en opinión de
Coresio, la línea de razonamiento de Aristóteles en De Caelo, 301 a – b, debe entenderse
114 Supongamos que la parte elegida del cuerpo pesado es tal que puede elegirse otra parte que es menos
pesada. Ahora, ya que se ha concluido que tanto la parte como la ingravidez se mueven al mismo tiempo, luego se
deduce que la ingravidez tendrá que moverse más rápido que cualquier parte más pequeña que la parte, y por lo tanto,
el cuerpo ingrávido se moverá más rápido que el pesado, lo que está en contra de la estipulación inicial. que el cuerpo
pesado se mueve más rápido que el ingrávido (Galilei, 1890–1909, IV, p. 241). 115 El alumno de Galileo Benedetto Castelli compiló una lista de “errores” contenidos en la opereta de Coresio,
pero significativamente no tenía nada que decir sobre el contraargumento de este último a la crítica de Mazzoni-Galileo
de Aristóteles (Galilei, 1890–1909, IV, pp. 246–285).
150
bajo condiciones idealizadas, si verdaderamente consecuencias absurdas como la del
descenso de los cuerpos de luz no se siguen. Aunque estoy de acuerdo con la opinión de
McAllister de que las explicaciones teóricas dadas de lejos de los supuestos experimentos
de pensamiento de Galileo no prueban que poseen evidencia intrínsecamente significativa,
no veo nada sustancial en la argumentación circunstancial de Coresio contraria a la doctrina
de los fenómenos naturales atribuida por McAllister a Galileo. Lo moral, creo, es claro. La
cuestión de si el razonamiento de Galileo basado en modelos y la idealización de Coresio
eran evidentemente inertes o no, no parece depender únicamente, como ha argumentado
McAllister, de los diferentes supuestos atribuidos a Galileo y al aristotélico Coresio.
Ambos desplegaron estrategias de razonamiento homogéneas y estaban bastante dispuestos
a participar en modos de Argumentación que implicaban alguna forma de abstracción. Es
cierto que en el análisis de Coresio no encontramos modelos mentales, sino una creencia
fija de que el descenso de cuerpos ligeros es imposible. Es igualmente cierto que en De
Motu encontramos razonamiento basado en modelos y posiblemente una creencia ya fijada
de que todos los cuerpos pesados caen a la misma razón 116. Sin embargo, La técnica lógica
de Coresio de reductio ad absurdum es la misma adoptada por Galileo en la primera parte
del argumento sobre la caída de los cuerpos. Sostendría que la pregunta de McAllister
sobre, si los experimentos de pensamiento son evidentemente inertes, podría ser
reformulado en términos de los procesos cognitivos subyacentes a la fijación de creencias.
116 Es extremadamente difícil saber si antes de escribir De Motu Galileo ya había llegado al Conclusión de
que todos los cuerpos pesados caen a la misma razón. Es posible que un estudio en profundidad de Motu revelará si a
finales de la década de 1580 Galileo ya estaba en posesión de esa creencia fija o si De Motu refleja el proceso por el
cual se logró la fijación de la creencia.
151
Esta es una pregunta muy difícil que concierne no tanto a los contenidos de las creencias
fijas—tales como la imposibilidad del descenso de cuerpos de luz o la razón de caída igual
de cuerpos pesados— sino a los mismos procesos subyacentes a la fijación de creencias, en
el sentido Explicado por Jerry Fodor en su teoría de la modularidad de la mente.117 ¿Cómo
se fijan las creencias? Ninguna respuesta parece estar disponible en la actualidad. Además,
si coincidimos con la conclusión de Fodor de que la fijación de creencias no es un
fenómeno cognitivo superficial, sino uno profundo que ocurre a nivel de los llamados
mecanismos centrales que funcionan difusamente a través de subsistemas modulares, y
como tal, según él, más allá de la comprensión de la ciencia cognitiva de hoy, entonces esa
pregunta podría resultar intratable.118 Sin embargo, los modelos mentales, la idealización y,
en general, los esquemas no simbólicos del razonamiento, especialmente cuando involucran
procesos de visualización, parecen funcionar cognitivamente más profundamente que la
lógica verbal y las reglas para la manipulación de símbolos.119 Podrían, por lo tanto, jugar
un papel decisivo en los procesos que subyacen a la fijación de creencias. En otras palabras,
estoy convencido de que los conjuntos de supuestos poco conectados deben tener alguna
relación con la fijación de creencias. La pregunta sigue siendo una de las futuras
exploraciones profundas dinámicas subyacentes a los paquetes de suposiciones que
enmarcaban las actitudes hacia El mundo natural de Galileo y el renacimiento aristotélico.
117 Fodor (1983). 118 Fodor (1983), pp. 101ff. 119 Cummins (1995, p. 120) califica el uso de símbolos en los seres humanos como “un pedacito asombroso
de cultura tecnológica”. La explicación completa de la representación mental dada en Cummins (1996) sugiere que los
niveles más profundos de cognición se basan en esquemas no simbólicos de razonamiento.
152
Para ponerlo en pocas palabras, la pregunta sigue siendo la de perseguir un enfoque
interdisciplinario a los procesos que rigen la fijación de creencias.
Para concluir, la historia cognitiva podría tener el potencial de sacar a la luz todo un
espectro de casos en los que se han aplicado estructuras y mecanismos cognitivos Más o
menos exitosamente durante el desarrollo científico de los últimos milenios. Además,
sugiere un nuevo contexto para plantear preguntas sobre por qué ciertos mecanismos
cognitivos parecen haber sido más o menos exitosos, tanto en diferentes casos individuales
como en diferentes tradiciones históricas. Por un lado, si los humanos son dotados con un
conjunto de herramientas cognitivas básicas evolucionado bajo ciertas circunstancias,
entonces es probable que ciertas herramientas específicas se encuentren trabajando en
muchas circunstancias diferentes. Por otro lado, los procesos como la fijación de creencias
pueden depender en gran medida de la dinámica profunda subyacente a los sistemas difusos
de supuestos. En el caso de Galileo, hemos visto que herramientas cognitivas específicas
como los modelos mentales se aplicaron a la matematización del mundo natural. Si uno
considera ciertos modelos mentales, u otras Formas de idealización, más o menos exitosas,
evidentemente inertes o no, y según a qué criterios, en última instancia, puede ser
irrelevante desde un punto de vista puramente histórico. Sin embargo, la historia cognitiva
puede contribuir al estudio tanto de la evolución y estabilización de los mecanismos
cognitivos como a las dinámicas de fijación subyacentes a los sistemas de creencias difusas,
justo en la intersección de las áreas de interés de los historiadores, Filósofos y científicos
cognitivos.
153
154
Reconomientos
Deseo agradecer al Dr. A. Gregory, al Dr. H. Chang, al Prof. N. Guicciardini, al Prof.
P. Machamer, el Prof. J. Norton y dos evaluadores anónimos por sus comentarios
estimulantes a versiones anteriores de este artículo.
Referencias
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Entre otras obras de Aristóteles, contiene las preguntas mecánicas. Lo he citado como
'Aristóteles (XV)'.
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160
4.2 Anexo 2 Biografía de Galileo Galilei120
“Este gran libro, el universo, solo puede ser entendido si se aprende y se
comprende el lenguaje y el alfabeto con el que está escrito, es decir: el lenguaje de
las matemáticas, triángulos, círculos y figuras geométricas, figuras sin las que sería
humanamente imposible entender una sola palabra, sin ellas, deambularíamos por
un oscuro laberinto”
Galileo Galilei nació en Pisa Italia en 1564, hijo de Giulia Ammannati y Florentino
Vicenzo Galilei, su nombre proviene de una tradición de la toscana que consistía en duplicar el
apellido del hijo primogénito, su padre, más conocido como Vicenzo era un matemático, músico
y compositor reconocido por retar las convenciones establecidas para la composición musical (las
armónicas pitagóricas) para crear sonetos únicos en su elaboración y melodía, fue precisamente
esa rebeldía, la de Vicenzo, la que más acérrimamente heredó Galileo, la que lo catapultaría a la
fama, a su inmortalidad histórica pero también, la que lo condenaría en un mundo cerrado de
pensamiento y reacio a ideas innovadoras capaces de revolucionar la concepción del mundo tal y
como estaba establecido.
120 Esta biografía de Galileo Galilei no es de autoría propia, ha sido tomada principalmente
el discurso del documental de Leighton, M., & Wood, R. (2013). la historia de los humanos 14
Galileo Galilei. Publicado History Channel, y es nutrida con algunos aportes del texto de De
Santillana (1960) y otros videos consultados que han sido referenciados en la bibliografía.
161
De niño Galileo estuvo a cargo de un monje Jesuita amigo de la familia llamado Jacobo
Borhini, quién educó a Galileo en principios fundamentalmente religiosos, en 1581 Galileo
ingresó a la universidad de Pisa para estudiar medicina, matemáticas y filosofía, sin embargo no
terminó su carrera y se retiró en 1585 de la universidad, se enfocó en lo que más le apasionó, las
matemáticas y se dice que en para los 19 años de edad ya había descubierto el isocronismo del
péndulo y a los 22 años inventó la balanza hidrostática.
Aproximadamente por esa época se publicó la traducción completa al Latín de la obra de
Arquímedes para la estática de los cuerpos, la cual Galileo como apasionado matemático leyó y
estudió, esta obra incentivó ese espíritu de rebeldía heredado de su padre Vicenzo salió a flote
para motivarlo a escribir sus propias teorías sobre el movimiento de los cuerpos. En el año de
1591 Galileo obtiene una cátedra en la universidad de Padua gracias a sus estudios sobre la
gravedad y flotación, y en donde trabajó hasta 1610 aunque con un salario no muy bien
remunerado.
Galileo era un seguidor de la obra de Copérnico que era opuesta a la de Aristóteles y la
postura de la Iglesia, la cual proponía, que era la tierra la que giraba en torno al sol y no
viceversa. Fue aproximadamente en el año de 1609 que apareció un invento novedoso, el
catalejo, el cuál permitía al usuario ver a distancias algo lejanas; pronto, Galileo se interesó por
este invento y se hizo con la descripción del mismo para crear sus propios catalejos, sabiendo que
el senado quería hacerse con uno de estos artefactos, Galileo aprovechó la oportunidad para
presentarse ante ellos y ofrecerles un catalejo diseñado por el mismo cuya eficiencia era muy
superior, el senado aceptó y Galileo les entregó uno con nueve aumentos y el senado quedó
162
satisfecho frente a los resultados del catalejo de Galileo, fue entonces que Galileo se animó a
inventar uno muy poderoso, uno de 30 aumentos y el cual se preserva en el museo Galileo o
antiguo instituto y museo de Storia della scienza en Florencia Italia, este artefacto fue bautizado
como Telescopio y le abrió a Galileo las puertas del firmamento en 1610 año de su invento,
gracias a él pudo corroborar con sus propios ojos lo que en su corazón sabía que era cierto,
“Copérnico estaba en lo correcto”, esto lo determinó al observar las cuatro lunas de Júpiter
orbitando al gigantesco astro de nuestro sistema solar, y a su vez, al maravilloso planeta girar en
torno al sol, además, pudo observar la superficie de la luna la cuál describió de la siguiente
manera: uno puede saber con la certeza que nos proporcionan los sentidos, que la luna,
ciertamente no posee una superficie lisa y pulida, al contrario, es rugosa y desigual como la
propia superficie de la tierra, está llena de grandes protuberancias, abismos profundos, suaves
colinas y profundos valles. Entonces, Galileo proclamó sus descubrimientos en su libro titulado
“sidereus nuncius” (también conocido como mensajero sideral). Por lo anterior Galileo se hizo
famoso, recibió un aumento de sueldo y fue nombrado como matemático del gran duque,
acontecimiento que fue aprovechado por este para viajar a Roma y presentar sus descubrimientos
a los monjes jesuitas, así como su gran invento, por lo que algunos monjes quedaron fascinados y
Galileo regresó a Florencia con la alegría de su éxito.
Galileo, continuó trabajando en teorías revolucionarias, como la de átomos de fuego que
eran capaces de atravesar a los cuerpos, y en la descripción de los cuerpos celestes que observaba
en el firmamento con su telescopio, fue una de esas mismas descripciones la que lo llevó a atacar
a Christoph Swagger diciendo “hay personas que intentan privarme de mi gloria fingiendo no
163
haber leído mis tratados” ya que este último afirmó que el sol tiene manchas negras, manchas
que Galileo ya había manifestado haber visto. Posterior a esto Galileo inició una serie de
enfrentamientos en los que se veían envueltas creencias de la Iglesia, por lo que en 1615 fue
requerido en Roma para que, por orden del papa, realizara correcciones en su documento
coperniconiano en dónde afirmaba que el sol estaba estático y los planetas giraban en torno a él.
Se dice que sus detractores alteraron el documento de la entrevista entre Galileo y el papa
anexando que Galileo no podía sostener, enseñar ni defender la teoría copernicana en ninguna
forma y guardaron dicho documento entre los registros del vaticano, para que, en un futuro, dicho
documento se pudiese usar en contra de Galileo por desacato y herejía.
Pasado un tiempo se proclamó un nuevo papa quién se hizo llamar Urbano VIII un buen
amigo de Galileo, por lo que éste se sintió con la libertad de continuar con su arremetida hacia los
Aristotélicos, en el año de 1638 publicó su dialogo sobre los máximos sistemas del mundo, una
disertación sobre todos los puntos que Galileo había querido presentarle al mundo, pero este
generó la ira del papa ya que fue convencido de que Galileo se burlaba de él mediante un
personaje presentado como un torpe que defendía ciertos argumentos, argumentos que
habitualmente defendía el mismo papa; a causa de esto, Galileo fue solicitado por la santa
inquisición, el texto falsificado fue sacado a relucir por algunos monjes jesuitas quienes
esperaban la oportunidad para deshacerse de él; a pesar de que Galileo argumentó que ese
documento no recogía los hechos entre su entrevista con el papa correctamente, fue humillado y
amenazado por la Iglesia ya que los diálogos iban evidentemente en contra de la orden dada a él
por el vaticano en el documento, entonces, Galileo se retractó de sus ideas para así evitar la pena
164
de muerte por herejía “mi error ha sido, lo confieso, la verdad, la ambición de gloria, la pura
ignorancia y el descuido, y me confirmo en mi aseveración. No he sostenido ni sostengo, como
verdadera la opinión que ha sido condenada, del movimiento de la tierra y la inmovilidad del
sol, si me concedieran como deseo los medios y el tiempo para dar una clara demostración de
ello, estoy listo para hacerlo”. A pesar de eso se dio una sentencia severa y se prohibió la
distribución de su libro: “Yo, Galileo, hijo del finado Vincenzo Galilei Florentino, de 70 años de
edad, he sido declarado por el santo oficio, culpable de ser sospechoso de reiterada y vehemente
herejía, eso es como decir que he sostenido y creído que el sol era el centro inamovible del
universo y que la tierra no era el centro y se mueve, con sincero corazón y una fe ciega, abjuro,
maldigo y aborrezco los errores y herejías anteriormente mencionados”. Por si fuera poco, y
para completar las desgracias de Galileo, en la siguiente primavera su amada hija, la madre María
Celeste, su soporte espiritual y con quien Galileo mantenía constante correspondencia, murió.
Lejos de ser abatido, a sus 74 años de edad, Galileo lanza su libro “dos nuevas ciencias”, donde
aborda temas de su más apasionado interés, el movimiento, la mecánica y la filosofía de la
ciencia. Se lanzó a la guerra contra Aristóteles con una de sus frases más recordadas entre los
físicos “cuando una fuerza es imprimida a un objeto, hará que dicho objeto mantenga un
movimiento uniforme” y hoy día permanece esta frase como uno de los pilares de la física.
En 1642 antes de completar su calculadora de satélites, con la que pretendía marcar las
posiciones presentes y futuras de los cuerpos celestes murió Galileo, pero sus descubrimientos,
sus teorías e inventos, han sido y serán inspiración de científicos. Tanta es la admiración y
respeto que despierta en la comunidad científica, que en 1989 la agencia espacial NASA, lanzó la
165
sonda espacial Galileo, en una misión para orbitar Júpiter y así poder estudiar el gigante de
nuestro sistema solar y otros cuerpos celestes; en 2003 la sonda se quedó sin combustible y se
dirigió a la atmosfera del planeta para evitar que ésta colisionara con Europa (uno de los satélites
de Júpiter) y llegase a contaminarla con partículas terrestres. Galileo, impetuoso, rebelde,
impertinente y apasionado científico, tu nombre inmortal vagará por siempre en la historia de la
humanidad.
166
4.3 Anexo 3. Sentencia del Tribunal de la Inquisición, 22 de junio de 1633
“Visto, que tú, Galileo, hijo de Vincenzo Galilei, florentino, de setenta años de edad,
fuiste denunciado en el año 1615 a este Santo Oficio, por sostener como verdadera la falsa
doctrina que algunos enseñan de que el Sol es el centro del mundo y está inmóvil y la Tierra se
mueve, y también con un movimiento diario; por tener discípulos a quienes enseñaste la misma
doctrina; por mantener correspondencia con ciertos matemáticos de Alemania respecto de las
mismas; por publicar ciertas cartas tituladas Sobre las manchas solares en las que desarrollaste la
misma doctrina considerándola verdadera; y por oponerte a las objeciones de las Santas
Escrituras que de cuando en cuando hablan contra tal doctrina, al glosar las dichas Escrituras de
acuerdo con la significación que tú le das; y visto que luego se presentó la copia de un documento
bajo la forma de una carta en que se dice que tú la escribiste a un ex discípulo tuyo y en la que
hay diferentes proposiciones que siguen la doctrina de Copérnico y que contrarían al verdadero
sentido y la autoridad de las Sagradas Escrituras.
Este Santo Tribunal, teniendo, pues, la intención de proceder contra el desorden y daño
resultantes, que fueron en creciente detrimento de la santa fe, por mandato de Su Santidad y de
los eminentísimos señores cardenales de esta suprema y universal Inquisición, los calificadores
teológicos calificaron del modo siguiente las dos proposiciones referentes a la estabilidad del Sol
y al movimiento de la Tierra:
167
La proposición de que el Sol es el centro del mundo y no se mueve de su lugar es absurda
y falsa filosóficamente, y formalmente herética, porque contradice expresamente las Sagradas
Escrituras.
La proposición de que la Tierra no es el centro del mundo y no está inmóvil, sino que se
mueve, y también con un movimiento diario, es igualmente absurdo y falsa en cuanto filosofía, y
desde el punto de vista de la verdad teológica, es, por lo menos, errónea en la fe. (...)
.... decimos, pronunciamos, sentenciamos y declaramos que tú, el dicho Galileo, en razón
de las cuestiones aducidas en el juicio y de lo que confesaste antes, te has hecho, ante el juicio de
este Santo Oficio, vehementemente sospechoso de herejía.
Te condenamos a la prisión formal de este Santo Oficio, durante el tiempo que nos
parezca y, por vía de saludable penitencia, te mandamos que durante los tres años venideros
repitas una vez a la semana los siete salmos de penitencia. Nos reservamos la libertad de
moderar, conmutar o anular, en todo o en parte, los mencionados castigos y penas.”
168
4.4 Anexo 4. Abjuración de Galileo, 22 de junio de 1633
“Yo, Galileo Galilei, hijo del difunto Vincenzo Galilei, de Florencia, de setenta años de
edad, siendo citado personalmente a juicio y arrodillado ante vosotros, los eminentes y
reverendos cardenales, inquisidores generales de la República universal cristiana contra la
depravación herética, teniendo ante mí los Sagrados Evangelios, que toco con mis propias manos,
juro que siempre he creído y, con la ayuda de Dios, creeré en lo futuro, todos los artículos que la
Sagrada Iglesia católica y apostólica de Roma sostiene, enseña y predica. Por haber recibido
orden de este Santo Oficio de abandonar para siempre la opinión falsa que sostiene que el Sol es
el centro e inmóvil, siendo prohibido el mantener, defender o enseñar de ningún modo dicha falsa
doctrina; y puesto que después de habérseme indicado que dicha doctrina es repugnante a la
Sagrada Escritura, he escrito y publicado un libro en el que trato de la misma y condenada
doctrina y aduzco razones con gran fuerza en apoyo de la misma, sin dar ninguna solución; por
eso he sido juzgado como sospechoso de herejía, esto es, que yo sostengo y creo que el Sol es el
centro del mundo e inmóvil, y que la Tierra no es el centro y es móvil, deseo apartar de las
mentes de vuestras eminencias y de todo católico cristiano esta vehemente sospecha, justamente
abrigada contra mi; por eso, con un corazón sincero y fe verdadera, yo abjuro, maldigo y detesto
los errores y herejías mencionados, y en general, todo error y sectarismo contrario a la Sagrada
Iglesia; y juro que nunca más en el porvenir diré o afirmaré nada, verbalmente o por escrito, que
pueda dar lugar a una sospecha similar contra mí; asimismo, si supiese de algún hereje o de
alguien sospechoso de herejía, lo denunciaré a este Santo Oficio o al inquisidor y ordinario del
lugar en que pueda encontrarme. Juro, además, y prometo que cumpliré y observaré fielmente
169
todas las penitencias que me han sido o me sean impuestas por este Santo Oficio. Pero si
sucediese que yo violase algunas de mis promesas dichas, juramentos y protestas (¡que Dios no
quiera!), me someto a todas las penas y castigos que han sido decretados y promulgados por los
sagrados cánones y otras constituciones generales y particulares contra delincuentes de este tipo.
Así, con la ayuda de Dios y de sus Sagrados Evangelios, que toco con mis manos, yo, el antes
nombrado Galileo Galilei, he abjurado, prometido y me he ligado a lo antes dicho; y en
testimonio de ello, con mi propia mano he suscrito este presente escrito de mi abjuración, que he
recitado palabra por palabra.
En Roma, en el convento de la Minerva, 22 de junio de 1633; yo, Galileo Galilei, he
abjurado conforme se ha dicho antes por mi propia mano.”
