Axonometrie

KG - L

MZLU v Brně

ZS 2008

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 1 / 60

Obsah

1 Úvod

2 Typy axonometrií

3 Pravoúhlá axonometrieZobrazení přímkyZobrazení rovinyPolohové úlohy

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 2 / 60

Princip axonometrie

π . . . půdorysna

ν . . . nárysna

µ . . . bokorysna

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 3 / 60

Princip axonometrie

α . . . axonometrická prů-mětna

α protíná všechny tři osyx , y , z v bodech X ,Y ,Z

∆XYZ . . . axonometrickýtrojúhelník

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 4 / 60

Princip axonometrie

objekty v prostoru promí-táme kolmo do roviny α

do roviny α promítáme i pů-dorysy, nárysy a bokorysy

do roviny α promítneme i osyx , y , z

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 5 / 60

Princip axonometrie

Průmětem os x , y , z vznikáaxonometrický osový kříž

〈O, x , y , z〉.

Průmětem jednotkové úsečkyj na osách x , y , z jsouaxonometrické jednotky

jx , jy , jz .

Věta (Pohlkeova věta)Každé tři úsečky v rovině, které mají společný jeden krajní bod, a kteréneleží v jedné přímce, jsou rovnoběžným průmětem tří vzájemně kolmých astejně dlouhých úseček, které mají společný jeden krajní bod.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 6 / 60

Princip axonometrie

Průmětem os x , y , z vznikáaxonometrický osový kříž

〈O, x , y , z〉.

Průmětem jednotkové úsečkyj na osách x , y , z jsouaxonometrické jednotky

jx , jy , jz .

Věta (Pohlkeova věta)Každé tři úsečky v rovině, které mají společný jeden krajní bod, a kteréneleží v jedné přímce, jsou rovnoběžným průmětem tří vzájemně kolmých astejně dlouhých úseček, které mají společný jeden krajní bod.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 6 / 60

Průmět bodu

souřadnicový kvádr bodu A:

A . . . axonometrický průmět

A1 . . . axonometrický půdorys

A2 . . . axonometrický nárys

A3 . . . axonometrický bokorys

A[a1, a2, a3] ⇒ xA = a1 · jx , yA = a2 · jy , zA = a3 · jz ,xA, yA, zA jsou tzv. redukované souřadnice bodu A.

Pro určení bodu stačí 2 průměty, zpravidla A,A1.

Spojnice bodů A,A1 je tzv. ordinála.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 7 / 60

Průmět bodu

souřadnicový kvádr bodu A:

A . . . axonometrický průmět

A1 . . . axonometrický půdorys

A2 . . . axonometrický nárys

A3 . . . axonometrický bokorys

A[a1, a2, a3] ⇒ xA = a1 · jx , yA = a2 · jy , zA = a3 · jz ,xA, yA, zA jsou tzv. redukované souřadnice bodu A.

Pro určení bodu stačí 2 průměty, zpravidla A,A1.

Spojnice bodů A,A1 je tzv. ordinála.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 7 / 60

Průmět bodu

souřadnicový kvádr bodu A:

A . . . axonometrický průmět

A1 . . . axonometrický půdorys

A2 . . . axonometrický nárys

A3 . . . axonometrický bokorys

A[a1, a2, a3] ⇒ xA = a1 · jx , yA = a2 · jy , zA = a3 · jz ,xA, yA, zA jsou tzv. redukované souřadnice bodu A.

Pro určení bodu stačí 2 průměty, zpravidla A,A1.

Spojnice bodů A,A1 je tzv. ordinála.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 7 / 60

Obsah

1 Úvod

2 Typy axonometrií

3 Pravoúhlá axonometrieZobrazení přímkyZobrazení rovinyPolohové úlohy

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 8 / 60

Typy axonometrií

1 Podle velikosti jednotek jx , jy , jz :

izometriejx = jy = jz

dimetriejx = jy ∨ jx = jz ∨ jy = jz

trimetriejx 6= jy 6= jz

2 Podle směru promítáníI s ⊥ α pravoúhlá axonometrieI s 6⊥ α šikmá (kosoúhlá) axonometrie

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 9 / 60

Speciální axonometrieVolné rovnoběžné promítáníjx : jy : jz = 1 : 2 : 2

∠(x , z) = 135◦, ∠(y , z) = 90◦

Kavalírní promítáníjx : jy : jz = 1 : 1 : 1

∠(x , z) = 135◦, ∠(y , z) = 90◦

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 10 / 60

Speciální axonometrieVojenská perspektivajx : jy : jz = 1 : 1 : 1

∠(x , z) = 135◦, ∠(y , z) = 135◦

Technická izometriejx : jy : jz = 1 : 1 : 1

∠(x , z) = 120◦, ∠(y , z) = 120◦

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 11 / 60

Speciální axonometrie

Technická dimetrie (inženýrská perspektiva)jx : jy : jz = 1 : 2 : 2∠(x , z) = 132◦, ∠(y , z) = 97◦

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 12 / 60

Obsah

1 Úvod

2 Typy axonometrií

3 Pravoúhlá axonometrieZobrazení přímkyZobrazení rovinyPolohové úlohy

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 13 / 60

Pravoúhlá axonometrie

s ⊥ α

obecně trimetrie:

jx 6= jy 6= jz

osy x , y , z se promítají dovýšek trojúhelníka ∆XYZ

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 14 / 60

Průmět přímky

K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používámeaxonometrický průmět a půdorys.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 15 / 60

Průmět přímky

Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 16 / 60

Průmět přímky

Příklad (1)Sestrojte stopníky přímky m, která je dána axonometrickým průmětem ma axonometrickým půdorysem m1.

P . . . půdorysný stopník

M . . . bokorysný stopník

N . . . nárysný stopník

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 17 / 60

Průmět přímky

Příklad (1)Sestrojte stopníky přímky m, která je dána axonometrickým průmětem ma axonometrickým půdorysem m1.

P . . . půdorysný stopník

M . . . bokorysný stopník

N . . . nárysný stopník

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 17 / 60

Průmět přímky

Příklad (1)Sestrojte stopníky přímky m, která je dána axonometrickým průmětem ma axonometrickým půdorysem m1.

P . . . půdorysný stopník

M . . . bokorysný stopník

N . . . nárysný stopník

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 17 / 60

Vzájemná poloha dvou přímek

rovnoběžky různoběžky mimoběžky

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 18 / 60

Zobrazení rovinyRovina se zadává

sdruženými průměty určujících prvků (2 různoběžky,2 rovnoběžky, bod + přímka, 3 body)

pomocí stop:

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 19 / 60

Zobrazení roviny

Zvláštní polohy roviny:

rovina rovnoběžná s π rovina kolmá k π

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 20 / 60

Přímka v rovině

Příklad (2)Je dána rovina σ svými stopami. Sestrojte axonometrický průmět přímkym, m ∈ σ, je-li dáno m1.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 21 / 60

Přímka v rovině

Příklad (2)Je dána rovina σ svými stopami. Sestrojte axonometrický průmět přímkym, m ∈ σ, je-li dáno m1.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 22 / 60

Přímka v rovině

Příklad (2)Je dána rovina σ svými stopami. Sestrojte axonometrický průmět přímkym, m ∈ σ, je-li dáno m1.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 23 / 60

Přímka v rovině

Příklad (2)Je dána rovina σ svými stopami. Sestrojte axonometrický průmět přímkym, m ∈ σ, je-li dáno m1.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 24 / 60

Přímka v rovině

Příklad (3)Rovina σ je dána třemi body A,B,C . Sestrojte stopy roviny σ.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 25 / 60

Přímka v rovině

Příklad (3)Rovina σ je dána třemi body A,B,C . Sestrojte stopy roviny σ.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 26 / 60

Přímka v rovině

Příklad (3)Rovina σ je dána třemi body A,B,C . Sestrojte stopy roviny σ.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 27 / 60

Přímka v rovině

Příklad (3)Rovina σ je dána třemi body A,B,C . Sestrojte stopy roviny σ.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 28 / 60

Přímka v rovině

Příklad (3)Rovina σ je dána třemi body A,B,C . Sestrojte stopy roviny σ.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 29 / 60

Přímka v rovině

Příklad (3)Rovina σ je dána třemi body A,B,C . Sestrojte stopy roviny σ.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 30 / 60

Přímka v rovině

Příklad (3)Rovina σ je dána třemi body A,B,C . Sestrojte stopy roviny σ.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 31 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (4)Sestrojte průsečík přímky a s rovnoběžníkem ABCD. Vyznačte viditelnostpřímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 32 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (4)Sestrojte průsečík přímky a s rovnoběžníkem ABCD. Vyznačte viditelnostpřímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 33 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (4)Sestrojte průsečík přímky a s rovnoběžníkem ABCD. Vyznačte viditelnostpřímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 34 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (4)Sestrojte průsečík přímky a s rovnoběžníkem ABCD. Vyznačte viditelnostpřímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 35 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (4)Sestrojte průsečík přímky a s rovnoběžníkem ABCD. Vyznačte viditelnostpřímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 36 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (4)Sestrojte průsečík přímky a s rovnoběžníkem ABCD. Vyznačte viditelnostpřímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 37 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (4)Sestrojte průsečík přímky a s rovnoběžníkem ABCD. Vyznačte viditelnostpřímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 38 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (5)Sestrojte průsečík přímky a s rovinou σ danou stopami a vyznačteviditelnost přímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 39 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (5)Sestrojte průsečík přímky a s rovinou σ danou stopami a vyznačteviditelnost přímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 40 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (5)Sestrojte průsečík přímky a s rovinou σ danou stopami a vyznačteviditelnost přímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 41 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (5)Sestrojte průsečík přímky a s rovinou σ danou stopami a vyznačteviditelnost přímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 42 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (5)Sestrojte průsečík přímky a s rovinou σ danou stopami a vyznačteviditelnost přímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 43 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (5)Sestrojte průsečík přímky a s rovinou σ danou stopami a vyznačteviditelnost přímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 44 / 60

Průsečík přímky s rovinou - metoda krycí přímky

Příklad (5)Sestrojte průsečík přímky a s rovinou σ danou stopami a vyznačteviditelnost přímky a.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 45 / 60

Vzájemná poloha dvou rovin

Příklad (6)Sestrojte průsečnici rovin σ a %, které jsou dány svými stopami.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 46 / 60

Vzájemná poloha dvou rovin

Příklad (6)Sestrojte průsečnici rovin σ a %, které jsou dány svými stopami.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 46 / 60

Vzájemná poloha dvou rovin

Příklad (6)Sestrojte průsečnici rovin σ a %, které jsou dány svými stopami.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 47 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 48 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 49 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 50 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 51 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 52 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 53 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

2 ML ∩ ABC = {S}pomocí krycí přímky m

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 54 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

2 ML ∩ ABC = {S}pomocí krycí přímky m

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 55 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

2 ML ∩ ABC = {S}pomocí krycí přímky m

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 56 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

2 ML ∩ ABC = {S}pomocí krycí přímky m

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 57 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

2 ML ∩ ABC = {S}pomocí krycí přímky m

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 58 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

2 ML ∩ ABC = {S}pomocí krycí přímky m

3 r = RS

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 59 / 60

Příklad (7)Sestrojte průsek trojúhelníků ∆ABC a ∆KLM.

1 KL ∩ ABC = {R}pomocí krycí přímky k

2 ML ∩ ABC = {S}pomocí krycí přímky m

3 r = RS

KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 60 / 60