26.10.2015

1

► Znalost těchto metod je základem skicování, které je potřebné i v době CAD systémů.

4.OBECNÁ AXONOMETRIE A KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ

Axonometrie

kosoúhlé promítání

vojenská perspektiva

pravoúhlá axonometrie

Kosoúhlé promítání Mongeovo zobrazení

GeoGebra_KP_soucastka_reseni.ggb

26.10.2015

2

4.0.Kartézský souřadnicový systém (O; x,y,z, jednotka j) v E3

O…počátek

i,j,k …ortonormální

vektory

x,y,z…osy

Souřadnicové roviny

p=(x,y)...půdorysna

n=(x,z)...nárysna

m=(y,z)...bokorysna

► V technické praxi se převážně užívá pravotočivý kartézský systém

4.1 Souřadnicový kvádr

Bod B=(xB,yB,zB) v E3

p = (x,y)...půdorysna

n= (x,z)...nárysna

m = (y,z)...bokorysna

Pravoúhlé průměty

B1 průmět B do p

B2 průmět B do n

B3 průmět B do m

► Každý bod B v E3 určuje souřadnicový kvádr se stěnami v souřadnicových rovinách (x,y), (x,z), (y,z) o vrcholech O, B, B1, B2, B3

26.10.2015

3

4.2 Axonometrie bodu Dáno:

souřadnicový kvádr

s...směr promítání

r...rovina (r || s)

rovinu r nakonec

ztotožníme s nákresnou

(tabule, sešit)

► Souřadnicový kvádr bodu B a souřadnicový systém (O; x, y, z; j) promítneme rovnoběžně (směr s) do roviny r. Rovinu nazveme axonometrickou průmětnou.

4.3 Pohlkeova věta:

Tři úsečky v rovině se společným koncovým bodem, které neleží na jedné přímce, můžeme považovat za rovnoběžný průmět tří navzájem kolmých a shodných úseček v prostoru, které mají

společný koncový bod.

► Axonometrie je určena: osovým křížem (Oa;xa,ya,za) a axonometrickými

jednotkami jx,jy,jz GeoGebra_KP_krychle_pr_Pohlke.ggb

26.10.2015

4

4.9 Druhy axonometrií

A) podle axonometrických jednotek na tři skupiny

O

z

x

y

jz

jx

jy

O

z

x

yjx

jy

jz

O

z

x

yjy

jz

jx

isometrie: jx= jy= jz dimetrie: jx= jy jz trimetrie: jx jy jz

4.9 Druhy axonometrií

B) podle směru s promítání na pravoúhlou axonometrii, je-li směr promítání kolmý k axonometrické průmětně r a na obecnou axonometrii (šikmou) pro s r.

Axonometrická průmětna může splynout s některou rovinou souřadnicového trojhranu.

a) kosoúhlé promítání, je-li r(y,z ), (|jx|/|j |=q, jy=jx=j ) b) vojenská perspektiva, je=li r(x,y ), (jx=jy=jz=j)

O

z

x

y

j=jy

j=jz

jx

O

z

x

jz=j

jx=j

jy=j

y

26.10.2015

5

15

z

y

x

[x]

S r

N

M

Q

P

Kosoúhlé promítání je dáno kvocientem zkreslení q = 3/2 a úhlem zkosení w=145°. Sestrojte kružnici k (x,y), k = (S, r = 3cm). Postup: 1. Kružnici určíme sdruženými průměty rovnoběžnými se

souřadnicovými osami. 2. Příčkovou konstrukcí sestrojíme další body elipsy.

rk

4.10.1 Konstrukce kružnice v souřadnicové rovině (x,y).

17

Zobrazení kulové plochy

Sféra (S,r) se zobrazí jako elipsa, jejíž vedlejší poloosa je rovna poloměru r. Ohniska jsou kosoúhlé průměty krajních bodů průměru sféry, který je kolmý k průmětně

k1

p

s

k

E F

x

z

y

E

F

GeoGebra_KP:Pohlke.ggb

26.10.2015

6

18

Pravoúhlá axonometrie

Kosoúhlé promítání

Ortogonální axonometrie

a...axonometrická průmětna

p...půdorysna

n...půdorysna

m...půdorysna

XYZ...axonometrický trojúhelník

O

X

Z

Y

Oa

x

y

z

za

s

a

p

n

m

Axonometrický trojúhelník je ostroúhlý.

Průměty souřadnicových os jsou výšky axonometrického .

Pro odchylky a, b, g souřadnicových os od průmětny platí:

2 2 2cos cos cos 2a b g

26.10.2015

7

Určení ortogonální axonometrie

Axonometrie je určena:

•axonometrickým trojúhelníkem

•průměty souřadnicových os

Pro průměty jx, jy, jz jednotkové délky j

na souřadnicových osách platí:

cos

cos

cos

x

y

z

j j

j j

j j

a

b

g

za

xa

ya

Oa

Z

Y X

jx jy

[y]

[x]

[O]

=[Y]

(O)

j

jz

j

Izometrie

O

X

Z

Y

Oa

x

y

z

za

p

n

m

ya

xa

a

Pravoúhlá axonometrie je izometrií právě tehdy, když je její trojúhelník

rovnostranný.

Odchylky souřadnicových os od axonometrické

průmětny jsou shodné.

a b g

26.10.2015

8

Zkrácení ve směru souřadnicových os

za

xa ya

Oa

Z

Y X

[y]

[O]

[x]

=[Y]

ja

cos

cosa

b

j

b

j

a

b

a= 45°

b = 30°

20,8

3ad d d

Pro délku d úsečky na souřadnicových osách

Zobrazení kružnice v souřadnicové rovině

z

x

y

O

Z

Y X

z

x

y

O

S=S1

N Q

P M

r

0,8r

S

26.10.2015

9

Skicování

M. C. Escher, Waterfall, 1961

Příklady k procvičení: Tečná Rovina kužele Pravidelný šestiúhelník Šroubovice Zborcený hyperboloid

26.10.2015

10

Sítě křivek na hyperbolickém paraboloidu

2. Hypebolický paraboloid U malostranské mostecké věže – restaurace U tří pštrosů

26.10.2015

11

Zborcený hyperboloid

Zborcený hyperboloid