BALOTARIO GRUPO 4.pdf

8/15/2019 BALOTARIO GRUPO 4.pdf

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GRUPO 04Integrantes:

1.- Jorge Alexánder Llanos Villegas

072668i

2.- Jonathan Lima Flores

1213210182

3.-Vasquez Cornejo Fernando

1113220494


2/14

11) Un circuito LRC con R12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería que transmite un

voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo enciende después de 10

segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20 segundos y luego desconectada

definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cerca,

determine:

a) La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5 y t=20

2

2

2 10 30

2 2 10 30

2 2

0 0 10

( ) 20 10 30

0 30

0 20 0 10 0 20 30

12 100 20 10 20 30

20 20( ) 12 36 64

20 20( ) 6 8

20( )

6 8

S S

S S

t

E t t

t

d q dq q L R

dt dt c

u t u t

d q dq L q L u t u t

dt dt

q S S S e eS s

q S S e eS S

q S S

10 30

2 2

22 2

10 3010

2 2

30

2 2

20

6 8

20

12 1006 8

1 1 125 5 5

12( )

5 55 6 8

12

5 6 8

S S

S S S

S

e eS

A BS C

S S S S

A B C

S e eq s e

S S S S

S e

S S


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Tomando la inversa

1

101 1

2 2

301 1 30

2 2

6 10

6 10

6 10

6

( )

12

5 5 6 8

12

5 5 6 8

10 cos 2 2 10 10( )

5 5

3 2 2 2 10 10

10

30 cos 2 2 30 30

5 5

3 2

S

S S

t

t

t

L q S

S e L LS S S

S e L L e

S S S

u t e t u t q t

e sen t u t

u t e t u t

e

102 2 30 30

10

0 0 1010

1 10

0 0 3030

1 30

( 5 ) 0

1( 2 0 )

5

t sen t u t

t u t

t

t u t

t

q

q


4/14


5/14

6 10

6 10

6 10

6 10

6 10

6 10

cos 2 2 10 10( )

5

11 2 2 2 10 10

5

3 2 2 2 10 10 30

10 5

cos 2 2 30 30

5

11 2 2 2 30 30

5

3 2 2 2 30 3010

0 0 1010

1 10

0 0 3030

1 30

t

t

t

t

t

t

e t t I t

e sen t u t

e sen t t t

e t t

e sen t u t

e sen t t

t u t

t

t u t

0 0 9

110 9 112

110

0 0 29

130 29 302300

( 8 ) 0

( 40 ) 0

t

t

t t

t

t

t t

t

I

I


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12) Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1 , C=0.01 faradios se conecta a una batería que transmite un

voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo enciende después de 10

segundos permaneciendo conectada por un lapso de 20 segundos y luego desconectada

definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero,

determine: la intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t=8s y t=40s.

L=1 C=0.01faradios R=12ohmios

2

2

10

dl dl L R

dt dt c

Reemplazando los datos:

2

2

2

12 100 0

12 100 0

12 144 400

2

dl dl

dt dt

Q Q

Q

Derivamos: I'(t)

12 544 12 544

24 2412 544 12 544I'(t) 1 2

24 24

t t

c e c e

Luego hallando I '(0 )

( 0 ) 0 ( 0 ) 0

(t) 1( ) ( ) ( )

( )

1'( 0 ) 12( 0 ) ( 0 ) 0

0.01

''( 0 ) 20

''( 0 ) 1 2

12 544 12 54420 1 224 24

1 2

12 544 12 544( ) 0

24 24

I q

I L RI t q t E t

d t c

I

I

t r c c

c c

c x c y

I t xe t ye t t

Entre 8 y 40 segundos

12 544 12 544 12 544 12 54440 40 8 8

24 24 24 24

xe ye xe ye


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PROBLEMA 13.

Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación integro diferencial.

1.- ∫ Solución:

Por transformada de Laplace:

(

)

( )

Hallando la inversa:

2.- ∫ Solución:


( )


8/14

Hallando la inversa:

3.- ∫ Solución:

Por transformada de Laplace

(

)

Aplicando la inversa de Laplace en cada lado:

4.- ∫

Solución:

Por Transformada de Laplace:


9/14

( )

Aplicando la inversa de Laplace a cada lado:

5.- ∫

Solución:


( )

PROBLEMA 14

Demuestra las siguientes propiedades de la función gamma, definida como:

() √


10/14

( )

√

Demostraremos la relación entre la transformada de Laplace con la función gama.

De la definición de la transformada de Laplace: ∫

Por propiedad se sabe: Resolviendo:

De la función gamma, sea y cambiamos t=w, ∫ entonces: ∫ Sea: w=st, entonces t=w/s, dw = sdt

Sustituimos los datos en la ecuación (I)

Ordendando se tiene:

Se ha demostrado que:

I)


11/14

Entonces: ∫

Por lo tanto r(1) = 1

, partiremos de la propiedad:r(x+1)=xr(x)

Que fue demostrada en la parte II

Entonces r(2) = r(1+1)=1r(1) de donde r(1) = 1 que demostramos al principio.

Por lo tanto queda demostrado que r(2)=1

() {

√ }

Haciendo cambio de variable:

()

{

}

{}

Reescribiendo la integral en coordenadas polares:

{

}

{}

( )

{}

() √

II) De la definición de función gamma:


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Calculamos por límites

Resolvemos la integral por partes:

Sea:

Luego:

=[| ∫ ]

= ∫

=

Se demuestra que:

III)

r(n+1) = n!

Deducimos a partir de la demostración hecha en la primera parte, por intuición:

r(1) = 1

r(2) = r(1+1) = 1r(1) = 1= 1!

r(3) = r (2+1) = 2r(2) = 2*1 = 2!

()=(+)=()=∗∗=!( +)=()=(−)!=!Se demuestra que r(n+1) = n!


13/14

PROBLEMA1 5:

Resuelva el siguiente sistema integro diferencial:

Z(0) = -6 ; Y’(0) = 12

y’(t) + z’(t) +z(t) = 0

y’(t) + y(t) + 4 ∫ () u + 10 = 0

SOLUCIÓN.

Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones:

L[y’(t)] + L[z’(t)] + L[z(t)] = L[0]

L[y’(t)] + L[y(t)] + 4L[∫ ()u] + L[10] = L[0]Operando las ecuaciones se tiene:

SY(S) _Y(0) + SZ(S) – Z(0) + Z(S) = 0

SY(S) _Y(0) + Y(S) + 4L[∫ ()u] + = 0Entonces:

(()+()) − ((0) + (0)) + () = 0

()( + 1) − (0) + 4 + = 0

ORDENANDO:

() ( + 1) + (()) = (0) + (0) 4

+

+ () ( + 1) = (0)

Al reemplazar los datos iniciales:

() ( + 1) + (()) = 64

+ () (

+ 1) = 6 −

Aplicamos la regla de cramer para resolver el sistema

Z(S) =

=

=

Z(S) =

= 4[

+

] = 4[

]

Igualando los terminos para hallar A y B:

3 + 4 = ( + ) + (3 − ) , entonces: + = 3 y 3 − = 4


14/14

De donde se obtiene: A= y B=

Entonces:

Z(S) = 4[

+

] =

+

aplicando transformada inversa.

Se tiene:

−1[()] = 5−1[ ] + 7−1[

]

Operando nos queda:

() = 5 −3 + 7

t

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