Bayesův teorém – cesta k lepší náladě

Martina Litschmannová

Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti?

Deterministické procesy Náhodné procesyX

Základní pojmy

• Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá

• Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout(značíme A, B, X, Y, …)

• Elementární jev ω – jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů)

• Základní prostor Ω – množina všech elementárních jevů

• Jev A – libovolná podmnožina základního prostoru

Typy jevů

Padne „7“.

Jev nemožný

Padne méně než „7“.

Jev jistý

Padne „6“.

Jev náhodný

Vztahy mezi jevy a jejich prezentace Vennovými diagramy

Podjev A B

B A

Průnik jevůA B

BA

A B

Sjednocení jevůA B

BA

A B

Rozdíl jevůA - B

BA

A - B

Doplněk jevu

A

A

A

Disjunktní jevy A B =

BA

Úplná množina vzájemně disjunktních jevů

A1

A2

A3

A4

A5

A6

1. De Morganův zákon

BA

BA = BA

BA

2. De Morganův zákon

BA = BA

B

A

BA

Co je to pravděpodobnost?

Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane.

Jak pravděpodobnost definovat?

Statistická definice pravděpodobnosti

nAnAP

n

)(lim)(

Počet realizací pokusu příznivých jevu A

Počet všech realizací pokusu

Klasická definice pravděpodobnosti

Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků.

nmAP )(

Počet výsledků příznivých jevu A

Počet všech možných výsledků

Rodina má dvě děti, z nichž jedno je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?

Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.

333031 ,)A(P

Geometrická pravděpodobnost

Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný.

V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je:

AP A

Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Jaká je pravděpodobnost, že Petr, který nezná jízdní řád, bude na tramvaj čekat déle než 3 minuty?

A

70,0107)( AP

Kolmogorovův axiomatický systém

• Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení.

1. Pravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo.

2. Pravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. 3. Pravděpodobnost sjednocení konečného počtu

vzájemně disjunktních (neslučitelných) jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

Podmíněná pravděpodobnost

BPBAPBAP

Vlastnosti pravděpodobnosti

10 )A(P1.

2.

3.

4.

00 )(P

)B(P)A(PBAPBA

)BA(P)B(P)A(PBAP

0

BPAPBAPnezávislé...B,A

BPBAPBAP

Vlastnosti pravděpodobnosti

)A(P)A(P 15.

6.

7.

8.

)BA(P)B(P)AB(P

BAPBAPBAP 11

BAPBAPBAP 11

Věta o úplné pravděpodobnosti

B1

B2

B3

B4

B5

B6

A

ii

ii

ii

i BPBAPBAPBAPAP

70%

30%

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?

70%

30%

80% 20%

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?

70%

30%

80% 20%

10% 90%

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?

70%

30%

80% 20%

10% 90%

Pravoúhlý Vennův diagram

CHPCHDVPDPDDVPCHDVPDDVPDVP

80,DDVP 20,DKVP

10,CHDVP 90,CHKVP

70,CHP

30,DP

31070103080 ,,,,,DVP

0,06

0,63

0,24

0,07

Rozhodovací strom

Studenti

DDV

KV

CHDV

KV

Pohlaví Délka vlasů

70,CHP

30,DP

10,CHDVP

90,CHKVP

80,DDVP

20,DKVP

0701070 ,,,DVCHP

6309070 ,,,KVCHP

2408030 ,,,DVDP

0602030 ,,,KVDP

Studenti

DDV

KV

CHDV

KV

Pohlaví Délka vlasů

70,CHP

30,DP

10,CHDVP

90,CHKVP

80,DDVP

20,DKVP

0701070 ,,,DVCHP

6309070 ,,,KVCHP

2408030 ,,,DVDP

0602030 ,,,KVDP

CHDVPDDVPDVP

31070103080070240 ,,,,,,,DVP

CHPCHDVPDPDDVP

Bayesův teorém

ABP k

Thomas Bayes(1702 – 1761)

APBAP k

ii

k

BAPBAP

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.

A Jaká je pravděpodobnost,

že náhodně vybraný student je chlapec?

70 %

Apriorní pravděpodobnost

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.

B Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy.

Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec?

Aposteriorní pravděpodobnost

Studenti

DDV

KV

CHDV

KV

Daný stav Výsledek testu

70,CHP

30,DP

10,CHDVP

90,CHKVP

80,DDVP

20,DKVP

0701070 ,,,DVCHP

6309070 ,,,KVCHP

2408030 ,,,DVDP

0602030 ,,,KVDP

31070103080 ,,,,,DVP

DVCHP DVP

DVCHP 2260

310070 ,,,

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek.

B Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy.

Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec?

Aposteriorní pravděpodobnost

2260

310070 ,,,

DVPDVCHPDVCHP

Jak znalost Bayesova teorému může zlepšit náladu???

Biomedicínská aplikaceaneb

naděje umírá poslední

Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce.

Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek.

Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné?

Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?

Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, kdo tuto nemoc dostane. Bez výjimky. Žádné účinné léky na tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce.

Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto, aniž by měl jakékoliv příznaky, se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek.

Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné?

Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má?

Rozhodovací strom

Populace

ZT+

T-

NT+

T-

Daný stav Výsledek testu

00010,NP

99990,ZP

990,NTP

010,NTP

010,ZTP

990,ZTP

0000990

99000010,

,,TNP

0000010

01000010,

,,TNP

0099990

01099990,

,,TZP

98990

99099990,

,,TZP

Populace

ZT+

T-

NT+

T-

Daný stav Výsledek testu

00010,NP

99990,ZP

990,NTP

010,NTP

010,ZTP

990,ZTP

0000990

99000010,

,,TNP

0000010

01000010,

,,TNP

010098000999900000990 ,,,TZPTNPTP

TNP

0099990

01099990,

,,TZP

98990

99099990,

,,TZP

TPTNP

%98,0009804,0010098,0000099,0

Váš test je pozitivní !!!

Váš test je pozitivní !!!Riziko, že jste nemocen stouplo z 0,01% na

0,98%.

Děkuji za pozornost !